SUITE DE LA PRÉCÉDENTE

Sur la propriété anharmoniqite de» tangente» d'une conique.

Les théorèmes dont il a été question dans la ?iote précédente concernent les point* d'une conique. On sait qu'il correspond à plusieurs d'entre eux d'autres théorèmes analogues, concernant les tangente* de la courbe. Ainsi à l'hexagamme de Pascal correspond le théorème de M. Brianchon sur l'hexagone circonscrit ; au théorème de Desargues correspond celui-ci, qui a été donné en premier lieu, je crois, par M. Sturm 1 : « Quand un quadrilatère est circonscrit à uue conique , les droites menées d'un point quelconque à ses quatre sommets et les deux tangentes menées de ce point à la courbe, forment un faisceau en inTolulion. » Au théorème des Anciens ad quatuor lincat nous parait cor-

1 Ce théorème était le *ujet d'un mémoire annoncé comme derant faire *uite è deux premier» mémoire» de M. Sturm , Ht la théorie de* ligne* du deuxième ordre , intérêt dan* le* Annales d« Malhc matù/ues , tom. XVI et XVII , mai* qui n'a pal paru.

NOTES

rcspondre le suivant, que nous avons démontré dans notre premier Mémoire sur le* transformation* parabolique* 1 : « quand un quadrilatère est circonscrit à une conique, une tangeutc quelconque à la courbe a le produit de ses distances a deux sommets opposés du quadrilatère dans un rapport constant avec le produit de ses distances aux deux autres sommets; » enfin M. Poncclet a montré, dans sa Théorie de* polaire* réciproque* , que le théorème de Newton sur la description organique des coniques a pareillement son correspondant ; et qu'il en est de même aussi du théorème de Carnot sur les segmens faits par une conique sur les trois côtés d'un triangle 2.

On doit penser que tous ces nouveaux théorèmes, qui expriment chacun une propriété générale de six tangentes d'une même conique, doivent dériver tous , de même que ceux auxquels ils correspondent, d'une seule et unique proposition qui correspondra à celle que nous avons appelée , dans la Note précédente, propriété anharmonique des points d'une conique.

C'est ce qui a lieu en effet, et cette nouvelle proposition peut s'énoncer ainsi :

Quand deux droites, situées dans un même plan, sont divisées chacune en quatre segmens, et que le* points de division de la première droite correspondent un à un à ceux de la seconde ; si le rapport anharmonique des quatre premiers points est égal au rapport anharmonique des quatre uutret, le* quatre droite* qui joindront un à un les points correspondons , et les deux droites données, seront six tangentes d'une même conique 3.

On conçoit aisément que ce théorème comprendra une infinité de propositions diverses concernant la description des coniques par leurs tangentes. Car il existe une infinité de manières de concevoir deux droites divisées de telle sorte que le rapport anharmonique de quatre points quelconques de la première soit égal à celui des quatre points correspondans de la seconde.

Eu recherchant dans les coniques d'Apollonius, et dans les auteurs modernes, les diverses propositions qui concernent les tangentes d'une conique , nous avons reconnu que presque toutes ne sont que des applications ou des corollaires du théorème que nous venons d'énoncer. Les théorèmes principaux que nous avons cités au commencement de cette Note, tel que celui de M. Brianchon , ne sont que des expressions différentes ou des transformations de celui-là, qui, de la sorte, est un lien commun entre ces divers théorèmes, et sert à passer de l'un à l'autre.

Nous appellerons ce théorème la propriété anharmonique des tangente* d'une conique.

Il nous reste à donner la démonstration de ce théorème. Quelques mots suffiront.

1 Art. 10, pag. 289dulom. V de la Correspondance mathématique de Bruxellei. » Journal de mathématiques, de II Crelle , tom. IV.

1 Quand le* deux droite* donnée» ne sont pas dan» un même plan , le» droits qui joignent , un h un , leur» point» de diviiion , forment alor» un hyperboloîde à une nappe. Co que nous avons démontré sous un autre énoncé dans la Correspondance de l'école Polytechnique , tom. II , pag. 440. C'est de ce théorème général dan» l'espace , que nous airons déduit la propriété de» coniques dont il s'agit (voir ta Correspondance mathématique de M. Qnetelet , tom. IV , pag. 864).

NOTES

Le théorème exprimant une égalité de deux rapports anharmoniques , qui se conservera quand on fera la perspective de la figure, il suffit de la démontrer dans le cercle qui sert de base au cône sur lequel la conique est tracée. Il faut donc prouver que quand un angle est circonscrit à un cercle, si l'on mène quatre tangentes quelconques au cercle, le rapport anbarmonique des quatre points où elles rencontreront le premier côlé de l'angle sera égal à celui des quatre points où elles rencontreront le deuxième coté. Or cela est évident; car la partie de chacune des tangentes qui est comprise entre les deux côtés de l'angle est vue du centre du cercle sous un angle de grandeur constante; et par conséquent les segmens que dcui tangentes forment sur les deux côtés de l'angle sont vus, du centre , sous des angles égaux. D'où l'on conclut que les quatre droites menées du centre aux points où les quatre tangentes rencontrent le premier côlé de l'angle , ont leur rapport anbarmonique égal à celui des quatre droites menées du centre aux points où ces tangentes rencontrent le deuxième côté; et conséquemment les points de division du premier côté ont leur rapport anbarmonique aux points correspondans du deuxième côté.

Ainsi le théorème est démontré.

Ce théorème peut prendre une nouvelle forme, et s'exprimer par une équation à trois termes, qui en fait une proposition différente, susceptible de nouvelles et nombreuses applications.

Nous présenterons cette nouvelle propriété des coniques sous l'énoncé suivant : Étant donnée* datif un plan deux transversale* , et étant pris arbitrairement

deux point* fixe* O, E , *ur la première, et deux point* fixe* O' , E' , *ur la seconde ;

ti deux point* variable*, a, a', parcourent ce* deux droite*, de manière que l'on

ait la relation conttante

Oa OV

X et fi étant de* coefficient constant ;

La droite aa', dan* chacune de se* position*, touchera toujour* une même conique qui tera tangente aux deux trun*ver*ale* fixes.

Cette proposition est susceptible d'un grand nombre de corollaires qu'on obtient en disposant diversement des données de la question, qui sont les deux transversales, les quatre points pris sur elles, et les deux coefficiens / et p..

Si ces données ont entre elles la relation :