OS OS

Es * A FÎT = ^

où S désigne le point de concours des deux transversales, la conique se réduira à un point; c'est-à-dire, que la droite aa' passera toujours, dans toutes ses positions, par un même point.

C'est ce qui a lieu, par exemple, quand les points E, E', sont placés au point de cou-

cours S des deux tranversales. De sorte que l'équation

Oo OV

sr - * w - *

appartient a un point.

Nous reviendrons, dans un autre moment, sur le théorème qui fait le sujet de cette Note. Nous le considérerons alors comme une propriété des figures homographique* ; et nous lui donnerons cet autre énoncé, qui est très-propre à en montrer de nombreuses applications.

Quand deux droite* , dans un plan , sont divitée* homographiquement , le* droite* qui joignent un à un le* point* de division de la première aux point* homologue* de la teconde , enveloppent une conique tangente aux deux première* droite*.

On peut remplacer, dans le théorème ci-dessus, le système des deux transversales fixes par une circonférence de cercle. On a alors ce théorème :

Étant donné* quatre point* fixe* quelconque* O, E , O' , E' «ur une circonférence de cercle; *i l'on prend *ur cette circonférence deux point* variable* a , a' , tel* que l'on ait la relation

sin. { aO sin. { a'O'

un. iaE **" ^ sin. [ a'E' =="'

À et p. étant deux confiante* ,

La corde aa', enveloppera une conique qui aura un double contact avec le cercle, et qui touchera la droite EE .

Cette proposition, jointe aux deux qui nous ont déjà présenté de l'analogie avec le rapport anharmonique de quatre points, et l'involution de six points, donne lieu à une théorie dans laquelle une foule de propriétés du système de deux lignes droites se trouvent transportées au cercle; et tout cela s'applique par une transformation convenable, a une section conique quelconque; ce qui offre une source uouvclle de propriétés de ces courbes.

Nous nous bornerons ici à faire remarquer qu'en prenant pour les points E, E', dans le théorème ci-dessus, les extrémités des diamètres qui passent par les deux points O, O' , respectivement , on donnera a l'équation cette forme plus simple

lang. { oO + * lainf. J a'O' = n ,

qui exprime un nouveau théorème.

Parmi les corollaires qui dérivent de ce théorème, on trouve cette propriété du cercle osculatcur en un point d'une conique :

Étant mené le cercle atculateur en un point A d'une conique, toute tangente à cette courbe le rencontre en deux point*, qui *ont tel* que la différence de* cotangente* de* demi-arc* comprit entre cet point* et le point A e*t confiante.

NOTES

note xm

époque , § 24. )

Sur Maurolicus et Guarini.

Maurolicus, le plus savant géomètre de son temps, est auteur d'un grand nombre d'ouvrages, où se trouvent souvent des innovations heureuses et des traces de génie.

C'est à lui qu'on doit celte remarque, qui fut, entre ses mains, la base de nouveaux principes de Gnomonique, que l'ombre de l'extrémité d'un style décrit chaque jour un arc do section conique : et c'est à celte occasion qu'il composa son traité des coniques dont nous avons parlé, et qui fait le sujet du 3" livre de sa Gnomonique, intitulée de lineù horariit libri 111, qui parut d'abord en 1553, puis en 1575. Mais ce traité des coniques se borne à ce qui était nécessaire pour la Gnomonique ; et ne comprend pas toutes les propriétés de ces courbes , qui se trouvent dans Apollonius.

Nous citerons encore de Maurolicus l'introduction, dans les calculs trigonomé triques, des sécantes, dont il imprima une table dans le volume intitulé Theodotii tphœricorum libri III, année 1558.

L'analvse est aussi infiniment redevable à ce géomètre, qui pourtant est peu cité à ce sujet. C'est lui qui introduisit le premier l'usage des lettres, à la place des nombres, dans les calculs de l'arithmétique , et qui donna les premières régies de l'algorithme de 1 algèbre. Maurolicus voulait, par celte innovation, élever les opérations numériques à la même généralité, et à la même abstraction que les opérations graphiques de la Géométrie, dont l'ensemble est présent à l'œil, et peut même être suivi mentalement, et a le singulier avantage de se prêter à mille applications diverses.

Nous avons cité Guarini à l'occasion du théorème de Ptoléméc, dans la Note VI, et de la théorie des coniques en parlant du grand traité de De La Hire.

L'ouvrage de ce géomètre, dont nous nous étonnons de ne trouver aucune mention chez les auteurs qui ont écrit sur l'histoire des mathématiques, est intitulé : Euclide* adaucttu et methodicua , mathematicaque univenalù (in-fol. de plus de 700 pages, sur 2 colonnes, Turin 1071). Il contient 35 traités sur différentes parties de la Géométrie théorique et appliquée. Le 32e peut être regardé comme un chapilrc de notre Géométrie descriptive actuelle. 11 traite delà projection sur des plans, des lignes qui proviennent de l'intersection de la sphère , du côno et du cylindre entre eux ; et du développement , sur un plan, de ces courbes à double courbure.

To*. XI.

NOTES

Guarini est auteur aussi d'un ouvrage sur l'astronomie, intitulé : Mathematica cœlt*ti* , in-fol. Milan 1G83 ; que Wcidlcr et Lalande ont cité , le premier avec ces mol* d'éloge, A ptr*picuitate cotmnendatur.

Ces deux célèbres écrivains auraient pu comprendre aussi dans leurs bibliographies astronomiques, un autre ouvrage de Guarini , intitulé : Placita philotophica (in-fol. Paris , IGOfi), où, parmi d'autres matières relatives à la physique, à la logique et à la métaphysique , I auteur détruisait le système de Ptoléméc et y substituait certaines lignes spirales dans lesquelles il faisait mouvoir les planètes. Il émit aussi une opinion extraordinaire sur le Qui et le reflux de la mer , et sur divers autres phénomènes.