CHAPITRE
troisième époque.
>e»c*»t£S , § 1 er. Le plus signalé service rendu à la Géométrie est du à Descartes.
U96-10W ç;e philosophe, par son inappréciable conception de l'application de V algèbre à la théorie des courbes, se créa les moyens de franchir les obstacles qui avaient arrêté les plus grands géomètres jusqu'alors, et changea véritablement la face des sciences mathématiques1.
Cette doctrine de Descartes, dont aucun germe ne s'est trouvé dans les écrits des géomètres anciens, et la seule peut-être dont on puisse dire, comme Montesquieu de son Esprit des lois, prolem sihe matre créât a ii , cette doctrine, dis-je, eut pour effet de donner à la Géométrie le caractère d'abstraction et d'universalité qui la distingue essentiellement de la Géométrie ancienne. Les méthodes créées par Cavalleri, Fermât, Roberval, Grégoire de St.-Vinccnt, portaient aussi, dans leurs principes métaphysiques, le cachet de cette généralité; mais ne l'avaient point dans leurs applications. La conception de Descartes, seule, procurait les moyens d'appliquer ces méthodes d'une manière uniforme et générale; elle était l'introduction nécessaire aux nouveaux
1 L'application de l'algèbre à la théorie des courbes est l'objet de la Géométrie de Descartes , qui parut à Leydc en 1637 , avec son Traité de$ Météores et sa Dioptrique , à la suite et comme estais de sa célèbre Méthode, sur laquelle repose la philosophie moderne.
Aucun système , certainement , n'avait jamais été produit avec l'autorité que donnaient à la Méthode de Descartes de tels Essai*.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
calculs de Leibnitz et de Newton, qui dès lors n'ont point tardé à surgir de ces belles méthodes.
La Géométrie de Descartes, outre ce caractère éminent d'universalité, se distingue encore de la Géométrie ancienne sous un rapport particulier, qui mérite d'être remarqué; c'est qu'elle établissait, par une seule formule, des propriétés générales de familles entières de courbes; de sorte que l'on ne saurait découvrir par cette voie quelque propriété d'une courbe, quelle ne fasse aussitôt connaître des propriétés semblables ou analogues dans une infinité d'autres lignes. Jusque-là, on n'avait étudié que des propriétés particulières de quelques courbes, prises une à une, et toujours par des moyens duTérens qui n'établissaient aucune liaison entre différentes courbes.
Aussi la Géométrie prit dès lors un essor rapide, et ses progrès s'étendirent sur toutes les autres sciences qui sont de son domaine. L'algèbre elle-même en reçut d'utiles secours; ses opérations symboliques devinrent plus faciles ù saisir, son importance s'accrut; et ces deux branches principales de nos connaissances positives marchèrent d'un pas également assuré.
Quant à l'algèbre, nous nous bornerons à dire que l'un des premiers et des plus grands avantages que la Géométrie lui procura, fut l'interprétation et l'usage des racines négatives, que jusque-là on regardait comme insignifiantes, et qui avaient si fort embarrassé les anciens analystes.
La méthode des coefïiciens indéterminés, que Descartes créa dans sa Géométrie, et dont il fit un si heureux usage, pour la construction des lieux solides, est aussi une des découvertes les plus ingénieuses et les plus fécondes de l'analyse.
S 2. L'esprit et les procédés de la Géométrie de Descartes sont trop connus de toutes les personnes qui ont les premières connaissances en mathématiques, pour que nous entrions ici dans aucun développement.
ÎVous allons tout de suite présenter un aperçu des travaux des principaux écrivains, parmi les contemporains de Descartes, qui cultivèrent
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
les premiers sa Géométrie et qui s'en servirent pour étendre le cercle des vérités mathématiques, particulièrement dans la théorie des courbes.
On distingue d'abord Fermât et Roberval. nu». Le premier, digne émule de Descartes, employait lui-même, déjà, des procédés analytiques semblables à sa Géométrie , avant qu'elle eût paru. Mais la nature et le caractère spécial de ses travaux, basés en grande partie sur sa belle méthode De maximis et minimis, les rapprochent beaucoup plus des doctrines de la Géométrie ancienne que de celles de Descartes.
wBEKTAt. Roberval, que la rivalité jalouse qui a existé entre lui et ce grand philosophe portait à critiquer minutieusement la nouvelle Géométrie, contribua de cette manière à en répandre la connaissance. Ce géomètre a fait d'ailleurs, en quelque sorte, amende honorable, en laissant sous le titre De resolutione œquationum, une application intelligente de cette méthode a la construction des lieux par leurs équations. •Elevai, § 3. Dès que la Géométrie de Descartes eut paru, de Beaune en iMi-i«5i. pénétra l'esprit et l'excellence, et en facilita la lecture par des Notes, très-estimées de Descartes lui-même, sur les passages qui, par leur concision et la nouveauté du sujet, offraient des difficultés aux meilleurs géomètres.
C'est de Beaune qui, le premier, conçut l'idée d'introduire dans la théorie des courbes les propriétés de leurs tangentes, comme élément propre à leur construction; et qui, par une question de cette nature proposée à Descartes, donna ainsi naissance à la méthode inverse des tangentes.
Il s'agissait de construire une courbe telle que le rapport de sa soutangente (prise sur l'axe des abscisses) à l'ordonnée, fût dans une raison constante avec la partie de l'ordonnée comprise entre la courbe et un axe fixe faisant un demi-angle droit avec l'axe des abscisses, passant d'ailleurs par l'origine de la courbe \
• lettre* de Detcartet , loin. VI , pag. 215.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
Ce problème, difficile, même avec le secours du calcul intégral, et qui a occupé, à la naissance de ce calcul, Leibnitz et les frères Bernoulli, a été résolu par Descartes, qui, avec son habitude de vaincre les plus grandes difficultés en Géométrie, sut ramener la question aux lieux géométriques, en considérant chaque point de la courbe comme l'intersection de deux tangentes infiniment voisines; et découvrit ainsi que la courbe avait une asymptote parallèle à l'axe fixe, et que la soutangente prise sur cette asymptote était constante. Ces propriétés ont conduit Descartes à la construction de toutes les tangentes de la courbe, et à celle de la courbe elle-même par l'intersection de deux règles qui se mouvaient avec des vitesses déterminées. L'incommensurabilité de ces deux mouvemens lui fit voir que la courbe était mécanique, et de celles auxquelles ne s'appliquait point son analyse. Aussi n'en donna-t-il pas l'équation. (Lettres do Descartes, t. VI, p. 137.) 1
Descartes n'avait compris dans sa Géométrie que les courbes dont l'équation, dans son système de coordonnées, était d'un degré fini; il les appela courbes géométriques, et donna le nom de mécaniques à toutes celles qui n'étaient pas géométriques. Leibnitz a substitué à ces dénominations celles de courbes algébriques et courbes transcendantes. On se sert maintenant indifféremment des deux expressions géotnétriques et algébriques, pour désigner les courbes que Descartes a considérées dans sa Géométrie. Mais nous emploierons toujours la première, parce que les courbes auxquelles elle s'applique se distinguent de toutes autres par certaines propriétés géométriques qui leur sont communes, tout aussi bien que par la nature de leurs équations; et de plus on peut démontrer ces propriétés avec les seuls secours de la Géométrie, et sans employer le système de coordonnées et les formules algébriques de Descartes.
1 La lettre dans laquelle Descnrtcs communique à De Beau m- ses idées sur cette question d'un nouTeau genre, qu'il regarde comme lïnrorse de sa règle des tangentes, nous parait mériter de figurer comme Tua des documens les plus importans dans 1 histoire des nouveaux calculs.
•To«. XI. 13
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
S 4. Schooten écrivit un commentaire étendu sur la Géométrie de !» -les» Descartes, et fit de nombreuses applications de cette méthode dans plusieurs parties de ses Exercitationes Geometricœ, principalement dans le livre 3«, qui est la restitution des lieux plans d'Apollonius; et dans le livre 5e, intitulé : De lineis curvis superiorum generum, ex solidi sectione orlis. C'est là que nous trouvons le premier exemple de la méthode des coordonnées appliquée aux courbes considérées dans l'espace; mais il est vrai qu'il n'y est question que de courbes planes, et que Schooten n'a besoin d'employer que deux coordonnées. Mais ce genre de spéculations n'en était pas moins nouveau alors, et un premier pas dans la Géométrie analytique à trois dimensions, qui, comme nous le verrons à la fin de cette troisième Époque, ne s'est développée que cinquante ans plus tard.
Schooten a écrit un Traité de la description organique des coniques, où il enseigne différentes manières de décrire ces courbes d'un mouvement continu. La description de l'ellipse par un point d'une droite, dont les extrémités glissent sur les côtés d'un angle, était déjà connue; Guido Ubaldi et Stévin l'avaient donnée, et elle était duc aux géomètres anciens, ainsi que nous l'avons dit en parlant de Proclus. Schooten la généralisait , en prenant le point décrivant au dehors de la droite mobile. L'ouvrage contient, outre la description des sections coniques, leur quadrature par la méthode des indivisibles de CavaNeri.
5 5. Le second livre des Exercitationes Geometricœ, est un recueil de problèmes résolus par la ligne droite seulement. Ce sont les premiers exemples que nous trouvons de ce genre particulier de Géomè) trie, qui a été traité dans ces derniers temps d'une manière spéciale^ par MM. Servois et Brianchon, sous le nom de Géométrie de la règle. \ A la suite de ce livre, et sous le titre d'Appendix, Schooten résout \ douze problèmes, dans lesquels il suppose que des obstacles rendent y des points, ou des lignes, inaccessibles ou invisibles dans certaines positions. Il confesse qu'il a été porté à ce genre de recherches par la lecture d'un ouvrage intitulé Geomelria peregrinans, où l'auteur se proposait de résoudre, en se servant de jalons seulement, les problèmes
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
de Géométrie pratique, qui se présentent particulièrement à la guerre. Cet ouvrage, anonyme et sans date, a paru à Schooten n'être pas ancien et avoir été imprimé en Pologne.
S 6. Les secours que l'analyse fournissait à la Géométrie étaient si grands et si merveilleux, que Schooten fut un des mathématiciens qui voulurent attribuer à cette méthode la clarté et l'élégance que les Anciens apportaient dans les démonstrations et les constructions de leurs théorèmes et problèmes, les accusant d'avoir supprimé, pour rendre leurs inventions plus capables d'exciter l'admiration de la postérité, la véritable voie qu'ils avaient suivie. Pour appuyer cette opinion, Schooten fit voir par de nombreuses questions traitées des deux manières ', qu'efFectivement la méthode synthétique peut toujours se déduire de la méthode analytique. Mais Schooten ne s'attachait pas assez à la vraie signification que les Auciens avaient donnée au mot analyse, et aux exemples que Pappus particulièrement nous avait laissés de cette méthode, et ce fut là la cause de son erreur ; car ne reconnaissant point d'autre analyse que celle qui repose sur l'emploi de l'algèbre, et n'en trouvant aucun vestige avant Diophante, il en concluait que les Anciens avaient caché leur analyse.
Cette accusation, portée par Schooten, l'avait été en premier lieu par Nonius dans son algèbre, et a été reproduite au chapitre II de l'algèbre de Wallis; mais depuis elle est restée sans créance et a paru absurde.
5 7. Sluze et Hudde perfectionnèrent les méthodes de Descartes et un, de Fermât, pour mener les tangentes et déterminer les maxima et
HCPDE ,
minima:et le premier, s'appliquant a la belle construction que Des- îew-no*. cartes avait donnée des équations du troisième et du quatrième degré, par un cercle et une parabole, eut la gloire de la compléter, en se servant d'un cercle et d'une section conique quelconque de grandeur donnée; généralisation alors très-désirée des géomètres.
« Traclatiu de concinnandis demonttrationibus geometricù ex calculo algebmïco. Ouvrnge pofihume. On y trouve une démonstration analytique du théorème de Ptolémée aur les segment qu'une transversale fait sur les trois cotés d'un triangle.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
de witt, § 8. Le célèbre pensionnaire de Hollande, Jean De Witt, simplifia UM-167J. la théorie analytique des lieux géométriques de Descartes, et imagina une théorie nouvelle et ingénieuse des sections coniques, fondée sur diverses descriptions de ces courbes, sur le plan, sans se servir du cône, et dont il sut tirer avec habileté, par la pure Géométrie, leurs propriétés principales.
Les descriptions de De Witt se faisaient par des intersections de lignes droites qui, généralement, étaient les côtés d'angles mobiles. Jusque-là il n'y avait eu que la parabole qu'on eût décrite de la sorte. L'ellipse et l'hyperbole tiraient leur génération du cercle directement, ou bien nécessitaient l'emploi de cette courbe dans leurs divers modes de description.
Cependant nous devons dire que Cavalleri avait déjà eu l'idée de rechercher pour l'ellipse et l'hyperbole un mode de description par la ligne droite, analogue à celui de la parabole; et ses recherches avaient eu un premier succès que ce célèbre géomètre avoue lui avoir causé un vif plaisir '. Voici le principe de sa méthode, que nous présentons sous un énoncé plus général, qui la fera mieux concevoir : <( Que l'on ait un angle, et qu'on mène des transversales parallèles entre elles; que, des points où chaque transversale rencontre les deux côtés de l'angle, on mène deux droites aboutissant respectivement à deux points fixes; ces deux droites se couperont en un point qui aura pour lieu géométrique une conique passant par les deux points fixes. »
Ce n'est pas ce théorème général que Cavalleri démontre, mais seulement un de ses cas particuliers ; il suppose l'angle droit, les deux points fixes placés sur ses côtés, et la direction des transversales telle que ces deux points sont les sommets de la courbe.
Ainsi la pensée qui a dirigé De Witt, dans ses descriptions des coniques par la ligne droite, n'était pas absolument nouvelle; mais Cavalleri s'étant borné à un seul théorème, l'un des plus restreints de
] 1 Eiercitationet geometricm *ex. BotMNlin, in-4"; 1647.
De modo facili deteribendi sectionei conicas , et m omnibu* uni forint. {L'xercilatto teila.)
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 101
cette théorie qui est extrêmement féconde, l'ouvrage de De Witt présente réellement un caractère de nouveauté qui mérite d'être remarqué dans l'histoire de la Géométrie.
Outre ce caractère de nouveauté, nous trouvons aussi, dans les descriptions de De Witt, le germe de cette célèbre description organique des coniques, donnée par Newton dans le 1er livre des Principes, puis répétée dans VÊnumération des lignes du troisième ordre, et dans V Arithmétique universelle. On obtient, en effet, plusieurs théorèmes de De Witt, en supposant, dans celui de Newton, qu'un angle soit nul et son sommet situé à l'infini.
La préface de l'ouvrage de De Witt nous apprend qu'il le regardait comme l'introduction à une théorie générale et à l'énumération des courbes d'un ordre supérieur. Idée féconde, que réalisèrent, cinquante ans après, Newton, Maclaurin et Braikenridge.
§ 9. Wallis écrivit, le premier, un Traité analytique des sections «*u», coniques, suivant les doctrines de la Géométrie de Descartes. Mais sa m^nm. prédilection fut pour cette autre partie de la Géométrie, qui se rattache aux découvertes d'Archimède. En appliquant aussi, dans son Arithmétique des infinis, la puissante analyse cartésienne à la méthode des indivisibles de Cavalleri, il fit faire à la Géométrie des progrès \ immenses dans toutes les questions qui sont aujourd'hui du domaine du calcul intégral.
S 10. Huygens, Van Heuraet et Neil furent aussi les promoteurs de VA* HEURAET ? SEU. la Géométrie de Descartes.
Ces deux-ci se partagent la gloire d'avoir résolu, les premiers, le problème de la rectification d'une ligne courbe, qui passait auprès de quelques géomètres pour être, par sa nature, absolument insoluble, et qui, du reste, offrait, à cette époque, de grandes difficultés d'un ordre nouveau.
§ 11. Huygens est célèbre à tant de titres, et ses travaux fout tant d'honneur à la Géométrie, qu'il nous faut entrer ici dans quelques détails.
Ce grand géomètre sut à fond la méthode de Descartes, s'en servit,
102 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
et la perfectionna même dans plusieurs de ses applications. Mais son goût irrésistible le retint fidèle à la méthode des Anciens, où la force de son génie savait triompher des plus grandes difficultés.
S'il ne s'agissait que de marquer la place qu'Huygens doit occuper dans l'histoire des mathématiques, il suffirait de dire que Newton ne l'appelait que du surnom de Grand (Summuë Hurjenius), et ne parlait de ses découvertes qu'avec admiration. « Il le tenait pour l'écrivain le plus éloquent qu'il y eût parmi les mathématiciens modernes , et pour le plus excellent imitateur des Anciens, admirables suivant lui, par leur goût et par la forme de leurs démonstrations 1. »
Voici un aperçu des découvertes qu'Huygens dut à la Géométrie des Anciens, et qui montre bien toutes les ressources que peut offrir cette méthode à celui qui sait en pénétrer l'esprit et y découvrir les voies de l'intuition qui lui est propre.
Iluygens, en s'occupant de la quadrature approchée du cercle et de l'hyperbole, trouva entre ces deux courbes des rapports nouveaux et singuliers.
Il donna la rectification de la cissoïde, quand on n'avait encore rectifié que deux courbes, la parabole cubique et la cycloïde.
Il détermina les surfaces des conoïdes paraboliques et hyperboliques ; premier exemple de telles déterminations de surfaces courbes.
| On lui doit des théorèmes curieux sur la logarithmique, et les solides qu'elle engendre. Toutes ces propriétés, qui n'avaient été qu'énoncées par Iluygens à la suite de son discours sur la cause de la pesanteur, ont été démontrées par Guido-Grandi, à la manière des Anciens. Huygens résolut le problème de la chaînette, imaginé par Galilée,
1 Peniberton , Préface des Klèmens de la philosophie netclonienne.
On peut penser que cette admiration méritée pour le style géométrique d'IIuygens causa chez le grand Newton une sorte d'émulation qui lui fit adopter la même manière d'exposition et de méthode dans son immortel ouvrage des Principes , quoiqu'il fût déjà en possession de toutes les ressources de l'analyse la plus savante.
Nous énonçons celte opinion d'après M. leB">". Maurice, qui l'a éniiso dans son excellente Notice sur la rie et les travaux d'I/uygens.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
qui y avait échoué, et remis sur la scène par Jacques Bernoulli; et le célèbre problème de la courbe aux approches égales, proposé par Leibnitz, comme défi, aux disciples de Descartes, à l'occasion de son démêlé sur la mesure des forces vives. Ces deux questions paraissaient aui deux illustres géomètres qui les proposaient, nécessiter impérieusement le calcul intégral. Huygens sut les résoudre par les seules ressources de la Géométrie ancienne.
S 12. Le célèbre traité De horologio oscillatorio doit prendre place à côté de l'ouvrage des Principes, dans l'histoire des grandes conceptions de l'esprit humain; il en est l'introduction indispensable que Newton eût dû créer, si le génie d'Huygens ne l'eût prévenu.
Chacun des chapitres de ce traité suffirait seul pour exciter l'admiration.
Le premier est la description des horloges à pendule, qui offraient , pour la première fois, la mesure exacte du temps.
Le deuxième, intitulé De descensu gravium, complétait la grande découverte de Galilée sur l'accélération des corps qui tombent librement par la pesanteur, ou qui glissent sur des plans inclinés. Huygens considérait leur mouvement sur des courbes données. C'est là qu'il démontra cette célèbre propriété de la cycloïde , d'être la courbe tautochrone dans le vide.
Le troisième (De evolutione et dimensiono linearum curvarum) est la célèbre théorie des développées ; acquisition capitale pour la théorie des courbes, et dont les usages dans toutes les autres parties des sciences mathématiques sont devenus aussi fréquens qu'étendus. Cette importante découverte ne fut point urte simple spéculation géométrique dans les mains d'Huygens. Il sut en tirer les plus heureuses conséquences, pour démontrer une foule de propositions neuves et remarquables, telles que divers théorèmes sur les rectifications des courbes, et la propriété de la cycloïde, d'avoir pour développée une seconde cycloïde égale, qu'on peut considérer comme la cycloïde même, déplacée dans le sens de sa base de toute la longueur de la demi-cir-
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
conférence du cercle générateur, et dans le sens perpendiculaire à la base, de la longueur du diamètre de ce cercle l.
Dans le quatrième chapitre de YHorologium osciUatorium , Huygens résolvait d'une manière générale et complète le fameux problème des centres d oscillation , qui avait été proposé parMersenne, et fort agité entre Descartes et Roberval. C'est dans cette solution que l'on vit, pour la première fois, l'un des plus beaux principes de la mécanique, connu depuis sous le nom de principe de la conservation des forces vives.
Enfin , le cinquième chapitre , où Huygens donnait une seconde construction de ses horloges, est suivi des treize célèbres théorèmes sur la force centrifuge daus le mouvement circulaire.
Ce fut l'application de cette théorie au mouvement de la terre autour de son axe, et au mouvement de la lune autour de la terre, application qui dérivait virtuellement des propositions 2, 3 et 5, qui fit découvrir à Newton la loi de la gravitation de la lune vers la terre.
Cette même théorie semblait être le complément de celle des développées, pour conduire naturellement à la connaissance des forces centrales dans le mouvement curviligne, qui fut aussi l'une des grandes découvertes de Newton, et qui lui donna la démonstration à priori des fameuses lois de Kepler. Mais ces rapprochemens échappèrent à l'esprit d'Huygens, occupé de tant d'autres grandes conceptions.
S 13. Le traité de la lumière est un des plus beaux monumens du génie d'Huygens, qui sut appliquer, avec une sagacité admirable, la Géométrie à son ingénieuse théorie des ondes. On y remarque surtout la belle loi mathématique, qu'il découvrit dans les phénomènes de la double réfraction du spath d'Islande. C'était, je crois, la première
1 Par celte disposition, la cycloïde et sa développée forment on pont à doux étages; le piédroit de l'étage supérieur repose sur la clef de l'étage inférieur.
On a coutume de dire que la développée de la cycloïde est une seconde cycloïde égale et posée dans une situation renversée, ou bien posée en sens contraire. { V oyex l'Analyse des infiniment petits du marquis de Lhopital , pag. 98, et Y Histoire des Mathématiques de Montucla, tom. II, pag. 7â et 154). Celte manière de s'exprimer est erronée. C'est pour cela que nous avons décrit minutieusement la position de la cycloïde et de sa développée.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
apparition, qui s'est reproduite depuis, des surfaces du second degré dans les phénomènes naturels. Cette grande découverte a été complétée parFresnel, qui, pour expliquer les phénomènes de la polarisation de la lumière, a substitué aux ondes ellipsoïdales d'Huygens une surface du quatrième degré '. Fresnel, qu'une mort prématurée a enlevé aux sciences physiques et mathématiques, dont il était déjà l'un des plus illustres adeptes , a rendu une nouvello vie par ce grand travail à la théorie d'IIuygens, tombée depuis plus d'un siècle dans un oubli inexplicable ; il l'a replacée au rang qu'elle doit occuper parmi les grandes vérités du monde physique.
C'est ici le lieu de remarquer encore une belle déduction mathéma-
1 Fresnel a donne , pour cette surface du quatrième degré , la construction géométrique suiTante, qui est extrêmement remarquable et qui conserve aux surfaces du second degré le principal rôle dans toute cette théorie : Qu'on conçoit*** ellipsoïde (dont les deux demi-diamètres principaux sont proportionnels aux racines carrées des trois élasticités principales du milieu, ou bien aux vitesses de la lumière suivant les axes de ces élasticités) ; qu'on mène par le centre de cette surface une transversale quelconque et qu'on porte sur cette droite , à partir du centre , dfs segmens égaux aux demi-diamètres principaux de l'ellipse résultant de la section de la surface par le plan diamétral perpendiculaire à la transversale , les extrémités de ces segmens seront sur la surface du quatrième degré en question. (Voir le Mémoire de Fresnel, sur la double réfraction, dans le tom. VII des Mémoires de l'Académie; le Mémoire de M. Ampère sur la Détermination de la surface courbe des ondes lumineuses dans un milieu dont l'élasticité est différente suivant les trois directions principales, etc., imprimé dans les Annales de chimie et de physique, année 1828, et le Traité de la lumière de Herschel, tom. II, pag. 190 de la traduction de MM. Verhulst et Quetelet. )
D'après ce théorème, les belles lois de polarisation, découvertes dans ces derniers temps par d'illustres physiciens , et particulièrement celles de MM. Biot et le docteur Brewster , donnent immédiatement des propriétés géométriques de l'ellipsoïde, et en général des surfaces du second degré.
Ainsi ces phénomènes optiques , qui ont déjà jeté une si vive clarté sur tout ce qui tient à la structure intime des corps cristallisés , peuvent apporter les mêmes secours dans l'étude de la Géométrie rationnelle.
On ne peut trouver un plus bel exemple de l'enchaînement qui unit toutes les sciences , ni une preuve plus évidente que des secours mutuels leur sont nécessaires pour suivre leur marche progressive d'un pas sûr et rapide.
Puisse-t-on voir surtout, dans ce rapprochement , que les surfaces du second degré sont destinées à jouer un rôle important dans toutes les déductions des lois les plus générales de la nature , et que l'on ne peut trop se hâter d'étudier et d'approfondir les innombrable! propriétés géométriques que présentent ces surfaces , soit dans leur constitution propre , soit dans leurs relations entre elles.
Tom. XI. 14
106 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
tique, tirée par Huygens de sa Théorie de la lumière; mais qui a eu besoin d'être créée de nouveau, dans ces derniers temps, par ML Quetelet , pour fixer l'attention des géomètres et porter les fruits dont elle était susceptible. Huygens, par l'application de son système ondulatoire, a trouvé que a quand des rayons incidens émanés d'un point fixe, ou parallèles entre eux, se réfractent sur une courbe, si l'on conçoit une circonférence de cercle décrite du point lumineux comme centre , ou bien une droite perpendiculaire a la direction des rayons parallèles, et que de chaque point de la courbe dirimante, comme centre, on décrive une circonférence d'un rayon qui soit dans une certaine proportion constante avec la distance de ce point, à la circonférence ou à la droite fixe, toutes ces nouvelles circonférences auront une courbe enveloppe, à laquelle les rayons réfractés seront tous normaux. »
Cette courbe est la forme de Y onde réfractée. C'est de là qu'Huygens concluait la loi du rapport constant des sinus d'incidence et de réfraction.
Ainsi, de même que Tschirnhausen a considéré, depuis 1 , la courbe enveloppe des rayons réfractés, de môme Huygens considérait la courbe normale a ces rayons. La première seule a fait impression sur l'esprit des géomètres, et sa considération est devenue la base de leurs travaux en optique. La seconde a passé inaperçue, comme si elle n'avait pas reposé, comme la première, sur une construction purement géométrique, et indépendante du système, alors douteux, qui y avait donné naissance.
Et cependant la courbe d'Huygens est généralement beaucoup plus simple que celle de Tschirnhausen , et se prête mieux à l'étude des propriétés optiques des courbes. Il nous suffit de dire, par exemple,
• Tschirnhausen a communiqué en 1682 , à l'Académie des Sciences do Paris , ses premières vues et ses premiers résultats sur la théorie des caustiques : Huygens avait présenté à la même académie, trots ans auparavant, son Traité de la Lumière. Il était alors en possession depuis long-temps de sa théorie des développées; il n'aurait donc eu à faire qu'un pas facile pour donner son nom aux célèbres caustiques dont l'invention et les usages en optique, et en Géométrie pour la rectification de certaines courbes , ont fait la gloire de Tschirn-
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
que la caustique de Tschirnhausen, produite par réfraction dans le cercle, s'est refusée jusqu'à ce jour à toutes les ressources de l'analyse qui n'a pu encore en donner l'équation, tandis que lu courbe analogue d'Huygens est tout simplement une ovale de Descartes (courbe du quatrième degré), dont quelques considérations de Géométrie, ou quelques lignes d'analyse font connaître la nature ou l'équation \
Néanmoins, les courbes d'Huygens sont restées inaperçues, et ce n'est que depuis 10 ans que M. Quetelet, en cherchant à diminuer les difficultés d'analyse que présentent les questions de réfraction de la lumière, imagina de substituer, dans cette théorie, aux caustiques de Tschirnhausen des courbes qui en fussent les développantes, et parvint, en suivant cette idée heureuse, et par de pures considérations de Géométrie , à la construction de ces développantes par l'enveloppe d'un cercle mobile; ce sont ces courbes, qui répondent, comme on voit, aux ondes réfractées d'Huygens, que M. Quetelet appela caustiques secondaires; cet habile géomètre en a étendu la doctrine au cas où les rayons incidens étaient perpendiculaires à une même courbe , et au cas de l'espace où les rayons incidens sont normaux à une même surface s.
Cette extension était comprise aussi dans la théorie d'Huygens. Il en résulte immédiatement cette belle loi de la réfraction de la lumière, à savoir que « des rayons incidens, qui sont normaux à une même surface, jouissent de la même propriété après une réfraction sur une autre surface quelconque; et conséquemment se divisent après cette réfraction en deux groupes, qui forment deux séries de développables qui se croisent à angles droits. » Théorème que Malus, le premier, avait aperçu dans un faisceau de rayons émanés d'un même point, ou pa-
' Dans la réfraction sur une droite , la différence entre les deux courbes de Tschirnhausen et d'Huygens n'est pas moins sensible : la première est une courbe du sixième degré , dont le calcul est asseï long , et la seconde est simplement une ellipse ou une hyperbole , ainsi que l'a trouvé, le premier, M. Gergonne. [Annale» de Math. , tom. XI, pag. 229.)
Ce savant géomètre avait eu déjà la pensée qu'il se pourrait bien que les caustiques eussent pour développantes des courbes beaucoup plus simples qu'elles. {Annal, de Math. , tom. V, pag. 289.)
2 Nouveaux Mémoire» de l'Académie de Bruxelles, tom. III, IV et V.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
rallèles entre eux, mais qu'il avait cm, d'après le résultat de calculs trop compliqués, ne pouvoir être étendu à un système de rayons normaux à une même surface \ C'est M. Dupin qui, le premier, par de pures considérations de Géométrie, donna au théorème de Malus toute la généralité qu'il devait comporter '.
On voit, par les considérations qui précèdent, quelles ouvertures utiles et fécondes le traité de la lumière d'IIuygens présentait aux géomètres, qui auraient eu confiance plus tôt dans les vues de ce grand génie. Exemple remarquable de la lenteur avec laquelle avancent et se perfectionnent nos connaissances positives, et leçon sévère pour l'orgueil de l'esprit humain.
Cette digression est étrangère peut-être aux progrès propres des méthodes géométriques; mais du moins, elle roule sur l'une de leurs plus belles applications aux sciences physiques, et peut-être pourra-t-elle porter quelques-uns de nos jeunes lecteurs à ce genre de recherches géométriques, qui est encore neuf et qui promet d'abondans résultats \
S 14. La sagacité admirable qu'IIuygens a montrée dans toutes les grandes questions qu'il a soumises à la Géométrie, ne l'a point abandonné dans ses recherches sur la mécanique, telle que la fameuse question du choc des corps, qu'il résolut en même temps que "Wallis et Wren; et dans ses découvertes astronomiques, qui rendent son nom inséparable de ceux de Kepler, Galilée et Newton.
' Mémoire $ur l'optique, art. 22 et 27 , dans le U« cahier du Journal de l'École Polytechnique.
* Application» de Géométrie et de Mécanique ; Mémoire tur le» route» de la lumière, p. 192.
* M. Hamilton , directeur de l'observatoire de Dublin , en continuant les beaux travaux de Frcsncl . est parvenu a soumettre tous les phénomènes si compliqués et si délicats de la lumière à un calcul analytique nouveau , qui parait devoir conduire aux lois mathématiques qui dominent toute cette vaste et importante théorie.
Nous avons appris de M. Quctelet, avec un extrême plaisir , qu'un autre savant géomètre , H. Mac Cullagh , poursuit les mêmes recherches que M. Hamilton, mais par de pures considérations géométriques.
Puissent les travaux de M. Mac Cullagh réhabiliter la Géométrie auprès de. personnes d'un esprit juste et impartial, et rendre aux méthodes d'Uuygcns et de Newton l'estime qu'elles méritent.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
Quoique la méthode des Anciens ait été presque toujours son seul instrument de raisonnement et de recherches, il connaissait toutes les ressources non-seulement de la Géométrie de Descartes, mais aussi du nouveau calcul de Leibnitz, qu'il avait étudié dès que cette sublime découverte avait paru, et dont il avait su apprécier tous les avantages \
S 15. Nous devons citer parmi les contemporains de Wallis et um», d'IIuygens, qui ont le plus contribué à l'avancement de la Géométrie, >«<>->«« Barrow, le professeur de Newton à l'université de Cambridge. Ce géomètre publia en 1669 ses Lcctiones Geometricœ , ouvrage rempli de recherches profondes sur les propriétés des courbes, et particulièrement sur leurs dimensions. On y remarqua surtout dans la dixième leçon , sa Méthode des Tangentes ; méthode peu différente, il est vrai , de celle de Fermât, mais qui cependant, par la considération du petit triangle différentiel et l'introduction dans le calcul de deux quantités infiniment petites au lieu d'une seule, était un pas de plus vers la doctrine et l'algorithme de Leibnitz.
On doit à Barrow, que ses connaissances dans les langues grecque et arabe mettaient en état de rendre ce service aux sciences, des versions latines, estimées, des élément et des données d'Euclide ; des quatre premiers livres d'Apollonius, des ouvrages d'Archimède et des sphériques de Théodose. Les démonstrations, dans tous ces ouvrages, se trouvent pour la plupart refaites et simplifiées extrêmement.
On a recueilli en 1684, sous le titre de Lectiones mathematicœ , les leçons faites par Barrow à l'université de Cambridge, sur la philosophie des mathématiques, dans les années 1664, 1665 et 1666; plus quatre leçons d'une date incertaine, qui ont pour objet d'indiquer la méthode par laquelle Archimède a découvert ses plus beaux théo-
1 L'université de Leyde possède de riches manuscrits qui lui ont été légués par Iluygcn» , où se troure, outre les productions de ce grand homme , une collection de lettres qu'il receyait de tous les savans. Messieurs les curateurs de cette université ont pensé , il y a quelques années , à faire imprimer une partie de ce précieux dépôt. Un projet aussi louable ne peut reccToir trop tôt son exécution.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
rèmes, et de montrer combien peu elle diffère de l'analyse moderne '. On ne pouvait remplir ce but avec plus de précision et de clarté que ne l'a fait Barrow; mais on regrette que ses autres leçons mathématiques soient hérissées de citations grecques qui en rendent la lecture difficile.
Enfin , Barrow, dans ses Lectiones opticœ, a appliqué avec habileté la Géométrie à un grand nombre de questions concernant la réflexion et la réfraction sur des surfaces courbes. Il a construit les points où se réunissent les rayons infiniment voisins; mais, malgré son goût et son habitude des spéculations géométriques, il n'a pas songé à considérer la courbe qui naît de la succession de ces points ou de l'enveloppe de ces rayons; comme Huygens, qui a touché de près aussi à la découverte de cette courbe , il en a laissé l'honneur à Tschirnhausen.
§ 16. C'est ici le lieu précisément de parler du géomètre que nous venons de nommer.
ocBiMMvtu , Tschirnhausen a reçu une grande célébrité de ses fameuses causlesi - 170*. tiqUes, Cette invention, en effet est devenue aussitôt la base de plusieurs théories physico-mathématiques. Considérée comme pure spéculation géométrique, elle avait le double avantage d'offrir un second exemple après les développées d'Huygens, de la génération des courbes comme enveloppes d'une droite mobile, et de donner naissance à une infinité de courbes rectifiables.
Ces caustiques, de même que les développées, étaient en quelque sorte une application pratique de l'idée de De Beaune, d'exprimer la nature des courbes par quelque propriété commune à leurs tangentes.
Mais ce n'est point cette considération abstraite qui a conduit Huygens et Tschirnhausen a l'invention des courbes qui portent leur nom ; et ce fut Lcibnitz qui donna suite à l'idée de De Beaune, et la généralisa môme en cherchant la courbe enveloppe d'une infinité de
1 Quo planiù$ apparent qualem ilie sublUistimtu vir (Arcbihdes) anatytin utnrpàrit, ci quant hodiemœ nos Ira parum diuimilem.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
lignes droites ou courbes déterminées et liées entre elles par une propriété commune
S 17. Tschirnhausen, homme de génie et l'un des plus passionnés pour la science qu'il cultivait, a encore eu d'autres jtitres , après l'invention de ses caustiques, à un rang distingué dans l'histoire de la Géométrie.
Dans un traité intitulé Medicina mentis, publié en 1686 2, dont l'objet principal était d'indiquer les règles qui doivent nous guider dans la recherche de la vérité , Tschirnhausen , partant de cette idée, que les êtres mathématiques sont formés par le mouvement rapporté à quelque chose de fixe, proposa une génération nouvelle et universelle des courbes. Il les concevait décrites par un stylet qui tend un fil qui, étant fixé par ses extrémités à deux points fixes, glisse sur un ou plusieurs autres points fixes , ou s'enroule sur une ou plusieurs courbes de nature connue. C'était, comme on voit, une généralisation du mode de description des coniques au moyen de leurs foyers; généralisation que Descartes avait déjà eu l'idée de transporter à la description de ses ovales \
Tschirnhausen divisa les courbes en plusieurs genres, suivant qu'il y avait plus ou moins de foyers, et siùvant la nature des courbes fixes. • U apprit à mener les tangentes aux courbes ainsi décrites ; c'est là l'origine du problème de la tangente à une courbe exprimée par une équation dont les variables sont les distances d'un point quelconque de la courbe à plusieurs points fixes.
§ 18. Ce problème a eu quelque célébrité, et a été résolu de différentes manières originales par les premiers mathématiciens do
1 Acta Erud. Lipt. , ann. 1692 et 1694, et OEuvrcs de Uibnitz , loin. III , p. Î64 et 296.
1 Medicina mentit, site tentamen genuinw logicœ, in quâ disseritur de methodo detegendi incognitos tentâtes. In-4°, Arast.
On trouve dans le loni. III do la Bibliothèque universelle et historique ( ann. 1686) , une analyse trèt-détaillée de cet ouvrage remarquable de Tschirnhausen.
» Géométrie de Descartes , liv. 2». Ces courbes, imaginées par Descartes, ont joué un grand rùle surtout dans sa Dioptrique, Nous n'en parlerons que dans notre quatrième Époque , où nous les trouverons reproduites dans le 1" livre des Principes de Newton.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
l'époque : d'abord par Fatio de Duiller, qui releva une erreur échappée à Tschirnhausen, et dont la solution, basée sur de simples considérations de Géométrie, nous parait offrir un des beaux exemples, aujourd'hui très-rares, de la méthode des Anciens dans la construction des tangentes puis par le marquis de Lhopital qui, par la considération des infinimens petits, et sans calcul, en donna une construction élégante et de la plus grande généralité 2 ; et dans le même temps par Leibnitz, dont la solution « qui a cet avantage que l'esprit y fait tout sans calcul et sans diagramme, » repose sur un beau théorème de mécanique qu'il imagina à cet effet \ Quelques années après , Herman compléta en quelque sorte cette théorie, en donnant une construction très-simple du rayon de courbure des mêmes courbes de Tschirnhausen, calculé directement et par la pure Géométrie, sans se servir des coordonnées auxiliaires de Descartes
M. Poinsot a étendu aux surfaces ce mode de génération des courbes et la construction de leurs normales, et s'en est servi utilement dans un fort beau mémoire sur la mécanique \
■ Réflexions de M. Fatio de Duiller sur une méthode d« trouver le» tangente» de certaine» ligne» courbe», BibliothCqci tummit » ' bistokiqfi , toni. V, année 1688.
Tschirnhausen a répondu à ce» réflexions de Fatio , et reconnu son erreur dans le tom. X du même recueil , même année.
1 Analyse de» infiniment petit* , section î«, proposition 10.
* Leibnitz considère la question sous cet énoncé : « Mener la tangente d'une ligne courbe qui se décrit par des filets tendus. > Sa construction est fondée sur une règle générale de la composition de» mouvement , qu'on peut énoncer ainsi , eu substituant à l'idée de mouvement celle de force , comme a fait Lagrange en reproduisant dans sa Mécanique analytique la condition d'équilibre qui résulte du principe de Leibnitt. « Si tant de forces qu'on voudra , qui sollicitent un point, sont représentées en grandeur et en direction par des droites, leur résultante passera par le centre de gravité des points extrêmes de ces droites , et sera égale en grandeur à la distance de ce point au point sollicité , multipliée par le nombre des forces. » (Journal de» Savant, sept. 1693, et OEuvret de Leibnitt, tom. III , pag. 283.)
Ce théorème peut être étendu au cas où les forces sont appliquées à des points différens d'an corps solide libre dans l'espace. (Corretpondance mathématique de Bruxellet, tom. V, pag. 106.)
4 Methodu» inveniendi radio, otculi in curvis es foci» descriptis. Acta E«cdit., «nn. 170S} pag. 501.
» Théorie générale de l'équilibre et du mouvement de» tyttèmct; 13"" cah. du Journ. de l'école
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 113
$ 19. Revenons à Tschîmhausen. En 1701, ce géomètre annonça à l'Académie des sciences une nouvelle méthode générale, propre à suppléer le calcul infinitésimal dans plusieurs questions de haute Géométrie , telles que la construction des tangentes et des rayons de courbure '. Mais sa solution, qui reposait sur l'analyse de Descartes, n'était qu'une imitation des deux méthodes que ce grand géomètre avait données du problème des tangentes, et qui consistaient à supposer que deux points d'une courbe distans d'abord l'un de l'autre d'une quantité finie , venaient à se confondre.
Le titre suivant : Essai dune méthode pour trouver les touchantes des courbes mécaniques , sans supposer aucune grandeur indéfiniment petite % sous lequel Tschirnhausen présenta l'une de ses découvertes, fit grande sensation alors; et il devait en effet piquer vivement la curiosité des géomètres et assurer à son auteur, déjà célèbre, une gloire immortelle, si sa promesse était pleinement remplie. Mais cette méthode, loin de convenir à toute courbe mécanique proposée, ne s'appliquait qu'à un genre de courbes qui avaient pour abscisses des arcs d'une courbe géométrique à laquelle on savait mener les tangentes, et pour ordonnées des parallèles à une droite fixe ; et le calcul employé par Tschirnhausen était le même que pour le cas ordinaire où les abscisses étaient comptées sur une droite, au lieu d'être comptées sur un arc de courbe. Mais cette méthode avait toujours le mérite d'être une extension de celles de Descartes qui , pour maintenir l'universalité et la suffisance de sa Géométrie, en avait exclu , comme on sait, les courbes mécaniques , désignant par ce mot celles qui ne pouvaient pas se déterminer par une mesure exacte et connue. Dès 1 682, Tschirnhausen avait exposé sa méthode des tangentes aux courbes géométriques, dans les actes de Leipzig, sous le titre Nova melhodus tangentes curvarum expedite determinandi, et avait annoncé qu'il l'appliquerait plus tard aux courbes mécaniques.
polytechnique. Ce mémoire Tient d'être reproduit dans la 6* édition de la Statique de M . Poiniot. 1 Histoire et Mémoire» de l'Académie de» Science», ann. 1701. i Mémoire» de l'Académie de» Science» , ann. 1702.
Ton. XL 15
114 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
i« mi- g 20. Le but constant de Tschirnhausen , dans ses diverses spéculations géométriques, était de rendre la Géométrie plus aisée, persuadé que les véritables méthodes sont faciles; que les plus ingénieuses ne sont point les vraies , dès qu'elles sont trop composées , et que la nature doit fournir quelque chose de plus simple.
Nous rapportons à dessein cette pensée de Tschirnhausen, persuadé que toutes les vérités géométriques sont de même nature ; qu'elles doivent être toutes également susceptibles de démonstrations faciles, et très-souvent intuitives. Et en effet, combien n'a-t-on pas d'exemples que celles qui avaient semblé d'abord présenter les plus grandes difficultés, et se refuser même à tontes les ressources des méthodes connues, sont devenues ensuite les plus simples et les plus évidentes? C'est qu'elles dépendaient de théories qui n'étaient point encore formées ou assez étendues, ou qui ne reposaient point sur leurs véritables bases.
C'est en cela, soitdit en passant, que nous parait consister le principal avantage de l'analyse moderne sur la Géométrie. La première de ces deux" méthodes a le merveilleux privilège de négliger les propositions intermédiaires dont la seconde a toujours besoin , et qu'il faut créer quand la question est nouvelle. Mais cet avantage, si beau et si précieux, de l'analyse , a son côté faible, comme toutes les conceptions humaines ; c'est que cette marche pénétrante et rapide, n'éclaire pas toujours suffisamment l'esprit; elle laisse ignorer les vérités intermédiaires qui rattachent la vérité trouvée avec le point de départ, et qui doivent former avec l'une et l'autre un ensemble complet et une véritable théorie. Car est-ce assez, dans l'étude philosophique et approfondie d'une science, de savoir quunc chose est vraie, si l'on ignore comment et pourquoi elle l'est, et quelle place elle occupe dans l'ordre des vérités auquel elle appartient ?
Il faut, ce me semble, dans l'état actuel de la Géométrie, pour atteindre le but de Tschirnhausen, le perfectionnement indéfini de cette science, toujours observer, dans les spéculations auxquelles on appliquera son esprit, les deux règles suivantes :
HISTOIRE DE LA GEOMETRIE
1° Généraliser de plus en plus les propositions particulières, pour arriver de proche en proche à ce qu'il y a de plus général ; ce qui sera toujours, en même temps, ce qu'il y aura de plus simple, de plus naturel, et de plus facile;
2° Ne point se contenter, dans la démonstration d'un théorème ou la solution d'un problème , d'un premier résultat , qui suffirait, s'il s'agissait d'une recherche particulière, indépendante du système général d'une partie de la science; mais ne se satisfaire d'une démonstration ou d'une solution, que quand leur simplicité, ou leur déduction intuitive de quelque théorie connue, prouvera qu'on a rattaché la question à la véritable doctrine dont elle dépend naturellement.
Pour indiquer un moyen de reconnaître si la pratique de ces deux règles a conduit au but désiré, c'est-à-dire si l'on a rencontré les vraies routes de la vérité définitive, et pénétré jusqu'à son origine, nous croyons pouvoir dire que, dans chaque théorie, il doit toujours exister, et que l'on doit reconnaître, quelque vérité principale dont toutes les autres se déduisent aisément, comme simples transformations ou corollaires naturels; et que cette condition accomplie sera seule le cachet de la véritable perfection de la science. Nous ajouterons, avec un des géomètres modernes qui ont le plus médité sur la philosophie des mathématiques, « qu'on ne peut se flatter d'avoir le dernier mot d'une théorie , tant qu'on ne peut pas l'expliquer en peu de paroles à un passant dans la rue \» Et en effet, les vérités grandes et primitives, dont toutes les autres dérivent, et qui sont les vraies bases do la science, ont toujours pour attribut caractéristique la simplicité et l'intuition \
1 Opinion de SI. Gergonne, qui en faisait l'application à la nourelle théorie des caustique* de SI. Quclelct. Nouteatts Mémoire» de F Académie de JJruseiles , tora. IV, pag. 88.
2 Cette opinion, admise dans les sciences positives, est un résultat d'expérience, auquel conduit la culture de chacune d'elles. Mais on peut aussi la justifier à priori. Car les principes les plus généraux , c'est-à-dire qui s'étendent sur le plus grand nombre de faits particuliers , doivent être dégagés de» diverses circonstances qui semblaient donner un caractère distinctifet différent à chacun do ces faits particuliers, considéré isolément, avant qu'on eût découvert leur lien et leur origine commune ; car s'ils étaient compliqués de toutes
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
DMdM d« u Giomé- §21. On aura remarqué, dans cette analyse succincte des progrès prodigieux que la Géométrie a faits dans l'intervalle d'une trentaine d'années, que ces progrès furent dus principalement à deux grandes conceptions : celle des indivisibles de Cavalleri, et celle de V analyse appliquée aux lignes courbes, de Descartes.
La première s'adaptait aux formes et aux procédés accoutumés de la Géométrie ancienne ; et l'on regarda comme appartenant à la Géométrie pure des Anciens les découvertes auxquelles conduisit cette méthode de Cavalleri.
La deuxième, véritable instrument analytique, faisait de la Géométrie une science toute nouvelle, qui exciterait l'étonnement et l'admiration d'Archimède et d'Apollonius, qui n'en ont laissé aucun germe; on l'a appelée Géométrie mixte. Géométrie analytique, ou Géométrie de Descaries.
Mais, tandis qu'une sorte de division s'établissait ainsi dans les méthodes de la Géométrie, un troisième mode de procéder, une troisième espèce de Géométrie, pour ainsi dire, prenait naissance. C'est celle que nous avons déjà dit avoir été employée par Pascal et Desargues , et dont les premiers germes se trouvaient dans les porismes d'Euclide, et nous ont été conservés par Pappus dans ses collections mathématiques.
Ainsi donc nous voyons la Géométrie divisée en trois branches :
La première comprend la Géométrie des Anciens, aidée de la doctrine des indivisibles et de celle des mouvemens composés;
La deuxième est l'analyse de Descartes, accrue des procédés de Fermât, dans sa méthode de maximis etminimis, pour calculer l'infini ;
La troisième enfin est cette Géométrie pure, qui se distingue essentiellement par son abstraction et sa généralité ; dont Pascal et Desargues ont donné les premiers exemples dans leurs traités des coniques,
ces circonstances ou propriétés particulières, ils en porteraient l'empreinte dans tous leurs corollaires , et ne donneraient lieu , généralement , qu'à des vérités excessivement embarrassées et compliquées elles-mêmes. Ces principes les plus généraux sont donc nécessairement , par leur nature , les plus simples.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
et dont nous verrons que Monge et Carnot, au commencement de ce siècle , ont assis les fondemens sur des principes larges et féconds.
Cette troisième branche de la Géométrie, qui constitue aujourd'hui ce que nous appelons la Géométrie récente, est exempte de calculs algébriques, quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations métriques des figures que de leurs relations de situation, ou descriptives ; mais elle ne considère que des rapports de distances rectilignes d'un certain genre, qui n'exigent ni les symboles ni les opérations de l'algèbre.
Cette Géométrie est la continuation de V analyse géométrique des Anciens , dont elle ne diffère point quant au but et à la nature de ses spéculations; mais sur laquelle elle offre d'immenses avantages, par la généralité, l'uniformité et l'abstraction de ses conceptions, et de ses méthodes, qui ont remplacé les propositions particulières, incomplètes et sans liaison, qui formaient toute la science et l'unique ressource des Anciens, et surtout par l'usage, si utile, de la contemplation des figures à trois dimensions dans les simples questions de Géométrie plane.
C'est dans cette Géométrie générale que rentrent les théories et leurs applications, auxquelles on a donné, dans ces derniers temps, les dénominations de Géométrie de la règle , et Géométrie de situation, suivant qu'on y faisait usage d'intersections do lignes droites seulement, ou d'intersections de courbes ou de surfaces, dans l'espace, pour découvrir les propriétés descriptives des figures.
Des trois branches, bien distinctes, que nous venons de reconnaître dans la Géométrie, la seconde, qui est l'analyse de Descartes, offrit un tel attrait, et de si prodigieux avantages, qu'elle fut cultivée avec une prédilection marquée par les grands géomètres que nous avons nommés dans le cours de cette troisième Epoque.
Il est vrai que cette Géométrie de Descartes, loin d'offrir un ordre de spéculations particulières, n'était autre qu'un instrument universel, propre à toutes les conceptions géométriques anciennes et modernes.
§ 22. Quelques mathématiciens cependant furent encore fidèles à la
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
?^ méthode des Anciens. Parmi eux on distingue surtout De La Hire. - >t i» nu, Ce géomètre, quoique familiarisé avec l'analyse de Descartes, enri- Kuo-nis chit la Géométrie pure de plusieurs ouvrages écrits dans le style des Anciens , et qui eurent beaucoup de succès.
Il fut aussi le digne continuateur des doctrines de Desargues et de Pascal, et introduisit dans la Géométrie, principalement par une nouvelle façon d'engendrer les coniques snr le plan, plusieurs innovations qui se rapportent aux méthodes récentes. C'est donc à un double titre que nous avons à citer ici ce célèbre mathématicien.
Ses principaux ouvrages écrits dans le style de la Géométrie ancienne sont : le grand traité des sections coniques , intitulé Sectiones conicœ in novem libros dislribulœ ( in-fol., Paris 1685); son Mémoire sur les épicyclotdes , contenant leurs dimensions, leurs développées et leur usage en mécanique pour la construction des roues dentées 1 ; un second mémoire sur le même sujet , généralisé et appliqué à toutes sortes de courbes, sous le titre : Traité des roulettes, où Von démontre la manière universelle de trouver leurs touchantes, leurs points d inflexion et de rebroussement, leurs superficies et leurs longueurs, par la Géométrie ordinaire 2 ; et un mémoire sur les conclwïdes en général, contenant leurs tangentes, leurs dimensions, leurs longueurs, leurs points d'inflexion; (inséré dans les mémoires de l'Académie des sciences, année 1708).
Nous devons ajouter à cette liste le Traité de Gnomonique , qui parut en 1682, et qui était un ouvrage vraiment nouveau, où De La Hire résolvait toutes les questions graphiquement, sans trigonométrie
1 Ce mémoire a para en 1694, parmi d'autres mémoires de mathématiques et de physique de De I-a Hire. Il a été imprimé de nouveau dans le tom. IX des anciens Mémoire* de l'Académie de» Science*.
De La lïire y dit qu'il y a vingt ans qu'il avait découvert les épicycloïdes et leur usage en mécanique. Depuis , Leibnitz a reve ndique l'honneur de cette double invention pour le célèbre astronome Iloemer, qui l'aurait imaginée en 1074, pendant son séjour à Paris. Mais, comme nous l'avons déjà dit, il parait, d'apri-s Do La Hire lui-même, que la partie mécanique, au moins, do cette invention remonte à Desargues.
1 Imprimé en 1704 dans les Mémoire* de l'Académie des Sciences.
HISTOIRE DE LA GEOMETRIE
même rectiligne, et en n'employant que le compas, la règle et le fil-aplomb.
S 23. Le traité des sections coniques eut une grande réputation dans toute l'Europe savante, et fit regarder De La Hire comme un auteur original sur cette matière. Sa méthode en effet, quoique purement synthétique comme celle des Anciens, en différait pourtant essentiellement. Les Anciens avaient considéré les sections coniques dans le cône, mais seulement pour en concevoir la génération et en démontrer quelques propriétés principales (dont la plus considérable était le rapport constant du carré de l'ordonnée au produit des segmens faits sur l'axe) et faire servir ensuite ces propriétés primitives à la recherche et à la démonstration de toutes les autres : de sorte qu'ils formaient leur théorie des coniques sans connaître la nature ni aucune propriété du cône, et indépendamment de celles du cercle qui lui sert de base; et même Apollonius démontre souvent les propriétés du cercle de la même manière et en même temps que celles de l'ellipse. De La Hire conçut une marche plus rationnelle et plus méthodique, et conséquemment plus courte et plus lumineuse. Il commença par établir les propriétés du cercle qui devaient se représenter
' Si l'on demande la raison de la fécondité de cette propriété des coniques , on dira , en Géométrie analytique, que c'est parce qu'elle n'est autre que Véquation même de la courbe, et que dès-lors il n'est point étonnant qne celle propriété se prête à toutes les transformations que l'on ferait subir à cette équation. Mais en Géométrie pure, il faut remonter à une raison plus directe , et prise de la nature seule de la chose, et non empruntée d'un système do coordonnées auxiliaire et artificiel ; et l'on reconnaît alors que cette raison est que la relation en question exprime une propriété de six points pris sur une conique. Mais ces six points n'ont pas entre eux toute la généralité de position possible ; quatre de ces points sont deux à deux sur deux droites parallèles.
Mais, malgré cette condition restreinte , la relation dont il s'agit suflit pour construire une conique par points , quand on en connaît cinq , donnés arbitrairement. On conçoit donc qu'elle doit suffire aussi pour conduire à toutes les propriétés des coniques. Mais il faudra souvent suivre une voie moins directe, qui nécessitera quelques détoura de plus que si l'on connaissait une relation générale de six points quelconques d'une conique. Cette observation explique pourquoi les beaux théorèmes de Desargues et de Pascal, qui expriment cette relation tout-à-fait générale de six point» d'une conique, ont apporté dans cette théorie une facilité inconnue aux Anciens.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
dans les coniques, particulièrement celles qui tiennent à la division harmonique; et ensuite, il en fit usage pour découvrir et démontrer dans les sections du cône les propriétés analogues. Et cette méthode eut cela de remarquable alors, qu'elle ne faisait point usage du triangle par Taxe, et qu'elle s'appliquait indistinctement à toutes les sections du cône.
Cette manière de procéder était, comme on voit, dans l'esprit de celle de Desargues et de Pascal, qui, par la perspective, transportaient aux coniques les propriétés du cercle. De La Rire a pu aussi emprunter du Brouillon projet des Coniques de Desargues, l'usage heureux que l'auteur' y faisait de la proportion harmonique et de quelques relations d'involution. C'est sous ces deux rapports que nous regardons ce géomètre comme le continuateur des doctrines de Desargues et de Pascal.
S 24. Nous devons dire que la nouvelle méthode qui fait dériver les propriétés des coniques de celles du cercle, et de la considération du solide dans lequel ces courbes prennent naissance , avait déjà été pratiquée par deux géomètres du siècle précédent. D'abord par Verner, de Nuremberg, qui avait démontré ainsi plusieurs propriétés élémentaires des sections coniques 1 ; et ensuite avec plus d'étendue et d'une manière plus savante, par le célèbre Maurolicus de Messine, qui, après avoir traduit plusieurs écrits des Anciens, mit au jour, entre autres nombreux ouvrages de lui-même, un Traité des Coniques, où il suivit cette marche nouvelle, attribuant à celle qu'avaient suivie les Anciens, la prolixité de leurs démonstrations *,
Il est juste de citer encore à ce sujet Guarini, contemporain de De Lallire, qui avait aussi donné en 1671, un Traité des Coniques,
' /. Vemcri Libellât tuper vigintiduobut eicmentis contrit , etc. ; in-4°. 1522.
* Quoniam Apolloniut omnia feri conicorum demonttrata conatut est in planum rédige re , antiquioribut intignior; neglectâ cenorum deteriptione , et aliundè quœrent argumenta , cogilui pertœpe obteuriut et indirectè demonttrare id , qued contemplando tolidœ figura tectionem , apertiutet breciut demonttratur. (D. F&ahciki Maciomci OriiactJLA iatmiâtica. In-4°; Veneliii, 1578 ;pag. Î80.)
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
où il faisait un usage fréquent de la considération du cône, pour démontrer leurs propriétés. On y remarque surtout une démonstration extrêmement simple, et qui s'applique aux trois sections coniques en même temps , de la propriété du rapport constant des produits des segmens faits sur des cordes parallèles, qui avait toujours exigé la connaissance de plusieurs propositions préliminaires. Cette méthode était un progrès dans la théorie des coniques; mais Guarini, extrêmement savant du reste dans toutes les parties de la Géométrie, ne l'a pas suivie systématiquement et avec le talent de De La Hirc. ( Voir au sujet de Maurolicus et de Guarini la Note XVII.)
S 25. Nous dirons, en passant, qu'outre la méthode des Anciens et celle adoptée par De La Dire, nous en concevons une troisième qui n'a point été employée, et qui eût été propre pourtant, si nous ne nous abusons, à simplifier extrêmement les démonstrations, et à mettre dans tout leur jour les principes et la véritable origine des diverses propriétés des coniques : sous ce rapport, on ne peut se dissimuler que la méthode des Anciens n'offrait qu'obscurité.
Cette méthode eût consisté à étudier les propriétés du cône luimême, et à les formuler, indépendamment et abstraction faite de celles des coniques; et celles-ci se seraient déduites des premières avec une facilité et une généralité ravissantes. On le concevra sans peine, car partout où les Anciens employaient trois démonstrations différentes pour démontrer la même propriété dans les trois sections coniques, ellipse, hyperbole et parabole, parce qu'ils s'appuyaient sur les caractères particuliers à chacune de ces courbes, une seule démonstration suffira pour démontrer, dans le cône même, la propriété analogue, d'où celles des trois coniques doivent se déduire comme de leur vraie et commune origine.
De cette manière, on eût vu prendre naissance dans le cône à plusieurs propriétés des coniques, telles que celle des foyers, qu'il semble qu'Apollonius ait devinée; et que ce géomètre, ni aucun de ceux qui l'ont suivi, n'ont rattachée ni aux propriétés du cercle, ni à celles du cône; de sorte que l'origine première de ces points singuliers, celle
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
qui ne participe que de la nature du cône où la courbe prend naissance, est restée ignorée.
Un autre avantage de la méthode que nous indiquons eût été de former, en même temps qne la théorie des coniques, celle des cônes à base circulaire, dont très- peu de propriétés étaient connues jusqu'à ces derniers temps. Cela n'eût présenté aucune difficulté; et nous croyons pouvoir en indiquer comme preuve l'essai que nous avons fait de cette méthode dans un mémoire, où, en n'admettant que les seules propriétés du cercle dont la plupart sont évidentes, nous sommes parvenu à un très-grand nombre de propriétés nouvelles des cônes du second degré, dont une partie sont analogues et conduisent a celles des foyers des coniques; ce qui montre comment l'existence de ces points et leurs propriétés se rattachent à celles du cône '.
On penserait, à la lecture des premiers mots du Traité des sections Coniques de Wallis, que la méthode que nous venons de proposer fût celle que suivit ce grand géomètre. Car il annonce qu'ayant reconnu que la théorie des coniques est difficile, et dans le but de la simplifier, il va d'abord étudier la nature du cône mieux que n'ont fait les Anciens, pour en déduire, comme de leur vraie source, les propriétés de ces courbes. Mais Wallis se hâte d'ajouter qu'il se bornera aux principales de ces propriétés , à celles qui peuvent conduire à la découverte de toutes les autres. Et en effet, après avoir démontré celle qui lui sert à exprimer les coniques par une équation entre deux coordonnées, à la manière de Descartes, il suit une autre marche, et donne un traité analytique de ces courbes.
g 26. Revenons au traité de De La Hire. Cet ouvrage est divisé en neuf livres. Le premier, qui est le fondement de tout le reste, traite successivement des propriétés de la division harmonique d'une ligne droite; de celles des faisceaux harmoniques; et enfin des lignes divisées harmoniquement dans le cercle. Il s'y trouve aussi quelques
> Mémoire de Géométrie pure tur le* propriété» générale* de» cône» du tecond degré. Ifi-4» ; 1830. x
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
cas particuliers de la relation d'involution de six points, quoique cette relation ne s'y trouve pas dans toute sa généralité. Ce livre est une introduction d'où se déduisent, dans la suite, des démonstrations faciles et générales de théorèmes qui avaient coûté aux Anciens de longs et pénibles développemens. C'est en cela que consistent la nouveauté et le mérite de la méthode de De La Hire.
A l'exception du problème ad très et quatuor lineas, et des beaux théorèmes généraux qui faisaient la base des ouvrages de Desargues et de Pascal, toutes les autres propriétés connues des coniques se trouvaient réunies, pour la première fois, dans le traité de De La Hire, et démontrées synthétiquement d'une manière uniforme et élégante. Plusieurs étaient dues à ce géomètre. Parmi celles-ci, nous citerons d'abord la théorie des pôles, qui consiste dans les trois théorèmes suivans :
1° « Si, autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale qui » rencontre une conique en deux points , les tangentes en ces points » se croiseront toujours sur une même droite. ( Profitions 27 et 28 du livre l« , et 24 et 27 du livre 2. ) .......
Et réciproquement « Si de chaque point d'une droite on mène deux )> tangentes à une conique, la droite qui joindra les deux points de » contact passera par un point fixe. » ( Propositions 26 et 28 du livre 1", et 23 et 26 du livre 2.)
Ce point a été appelé, dans ces derniers temps, le pôle de la droite, et cette droite la polaire du point.
2° « Si par un point fixe on mène plusieurs transversales qui rencontrent une conique, les droites qui joindront deux à deux les points de rencontre de deux quelconques des transversales se rencontreront sur la polaire du point fixe. » (Propositions 22 et 23 du livre 1er, et 30 du livre 2. )
3° Enfin u Le point où chaque transversale rencontrera la polaire )> du point fixe sera le conjugué harmonique de ce point fixe, par » rapport aux deux points où cette transversale rencontre la courbe.» ( Propositions 21 du livre 1", et 23 et 26 du livre 2.)
124 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
Cette dernière proposition était connue d'Apollonius.
Elle est, dans le traité de De La Hire , la proposition fondamentale dont presque toutes les autres se déduisent. On voit, par exemple, dans la proposition 3 du 3e livre, comment elle conduit naturellement à la propriété du carré de l'ordonnée comparé au rectangle fait sur l'axe.
Ainsi cette proposition joue dans le grand traité de De La Ilire le même rôle que la proposition du la tus rectum dans Apollonius ; que le théorème de l'involution de six points dans le Brouillon projet des Coniques de Desargues; et que l'hexagrammc mystique dans l'ouvrage de Pascal.
Il est aisé de voir que, des trois propositions que nous avons énoncées, les deux premières sont comprises dans le théorème sur le quadrilatère inscrit aux coniques, que nous avons dit que Pascal avait probablement déduit de son hexagramme, et que la troisième est une conséquence aussi de ce même théorème, au moyen de la 131 me proposition du 7° livre des Collections matliématiques , que nous avons citée en parlant de Pappus.
Mais l'ouvrage de Pascal n'ayant jamais été publié, De La Hire a le mérite de l'invention de ces belles propositions. Depuis elles ont été reproduites par Maclaurin, dans son Traité des Fluxions, et dans son Traité des courbes géométriques ; par R. Simson, dans son Traité des Sections coniques ; par Carnot, dans sa Théorie des Transversales ; et par divers autres géomètres.
La première et sa réciproque ont été démontrées dans la Géométrie descriptive de Monge, d'une manière intuitive fort élégante, et ont été étendues par cet illustre géomètre aux surfaces du second degré. C'est de cette époque que datent l'importance et les usages de cette théorie des pôles, renfermée auparavant dans les ouvrages profonds que nous venons de nommer, et presque inconnue aux jeunes géomètres qui n'ont étudié les coniques que dans les traités analytiques.
Parmi d'autres propriétés remarquables des sections coniques , dues à De La Hire , nous citerons encore le lieu géométrique du sommet
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
d'un angle droit circonscrit à une conique, lequel est un cercle pour l'ellipse et l'hyperbole, et une droite pour la parabole (8° livre, propositions 26 , 27 et 28) 1 j et c'est Monge aussi qui a généralisé cette proposition, et fait voir que le point d'intersection de trois plans rectangulaires, tangens à une surface du second degré, se trouve toujours sur une sphère, qui devient un plan si la surface est un paraboloïde.
De La Hire a aussi considérablement enrichi la théorie des foyers, et donné une construction élégante et facile, par la ligne droite et le cercle , d'une conique qui doit passer par trois points et dont le foyer est donné. Problème utile en astronomie, et pour lequel le célèbre astronome et géomètre Ualley , qui l'avait résolu le premier, avait employé une hyperbole
S 27. Jusqu'à Descartes, il n'y avait eu qu'une manière de concevoir la génération des coniques, c'était dans le solide; c'est-à-dire, dans le cône à base circulaire. Mais la Géométrie de cet illustre novateur fit, comme dans les autres parties des mathématiques, une révolution complète dans la théorie de ces courbes : elle apprit à leur donner naissance sur le plan, et sans qu'il fut besoin d'employer la considération du cône. Il suffisait à Descartes de remarquer que dans son système de coordonnées toutes les coniques étaient représentées par l'équation générale du second degré. Ce mode d'expression analytique
1 De La Hiro a aussi donné (dans les Mémoire» de l'Académie de» Science», année 1704), le lieu des angles égaux, aigus ou obtus, circonscrits à une conique , lequel est une courbe du quatrième degré, qui se réduit au second, et devient une hyperbole, quand la conique proposée est une parabole.
Dans ce même mémoire, De La Hire a traité la même question pour la cycloïde , et est parvenu à ce résultat curieux , savoir , que tous les angles égaux , droits , aigus ou obtut , circonscrits à cette courbe, ont leurs sommets sur une seconde cycloïde raccourcie ou alongée.
Nous avons trouvé que les épicycloïdes du cercle jouissent de la mémo propriété; c'est-àdire que :
Si à une èpicycloïde engendrée par un point d'une circonférence de cercle qui roule »ur un autre cercle fixe, on circonscrit de» angle» fou» égaux entre eus, leur» sommets gérant situés sur une épicucloïde alongée ou raccourcie.
a Methodu» directs et geometrica cuju» ope incestigantur Apkelia , etc., Planetarum.li\n*ACtiojs raiLOSoniQCBs , année 1676, n° 128.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
était propre à la recherche et au développement de leurs nombreuses propriétés. Cette méthode fut adoptée d'abord par Wallis, qui, le premier, donna un traité analytique des sections coniques, et depuis par la plupart des géomètres qui écrivirent sur ces courbes. Cependant ou continua encore pendant un siècle, de considérer les coniques dans le cône; et les traités qui parurent dans cet intervalle réunirent les deux méthodes, celle des Anciens et celle de Descartes.
La manière de Desargues et de Pascal de considérer les coniques, rentrait dans celle des Anciens, puisqu'ils formaient ces courbes par la perspective du cercle. Mais leur méthode tirait un de ses principaux avantages de l'emploi de la théorie des transversales, dont les Anciens avaient fait usage dans les systèmes de lignes droites seulement, et non dans la théorie du cercle ni des coniques.
Grégoire de St.-Vincent, comme nous l'avons dit, avait imaginé de nombreuses manières de former les coniques, l'une par l'autre; Schooten en avait donné diverses descriptions organiques ; De Witt avait fait un pas de plus, en formant ces courbes de différentes manières assez générales, dont il s'était servi avec habileté pour démontrer leurs propriétés principales; mais ses modes de description n'étaient pas les mêmes pour les trois courbes.
De La llire, ayant sous les yeux la manière universelle, mais ana lytique de Descartes, et les tentatives de De Witt, chercha aussi un mode de description générale des coniques sur le plan, qui pût servir à démontrer leurs mêmes propriétés que dans le solide.
§ 28. Il exécuta son dessein de deux manières , dans deux ouvrages qui précédèrent son grand traité de 1685, et commencèrent sa réputation comme géomètre, en 1673 et 1679.
Dans le traité de 1679 De La llire définit les sections coniques des courbes, telles que la somme ou la différence des distances de chacun de leurs points à deux points fixes, est constante, ou bien dont
1 Nouveaux élément des tection* coniquei. Les lieux géométrique*. La conttruction ou élection de» équation». (In- 12; 1679.)
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
chaque point est à égale distance d'un point et d'une droite fixes. De ce seul point de départ, il conclut un grand nombre de propriétés de ces courbes.
Cette manière de présenter la théorie des coniques a été adoptée par plusieurs géomètres, qui en ont fait la base de leurs ouvrages; tels que le marquis de Lhopital, R. Simson, Guisnée, Mauduit, etc.
De La Hire réunit à cet ouvrage deux autres parties différentes sur les lieux géométriques, traités par la méthode de Descartes, et sur leur usage pour la construction des équations.
Cette dernière partie est terminée par la construction, en n'employant que la ligne droite et le cercle, d'un des plus fameux problèmes sur les coniques, qui est de leur mener une normale par un point pris au dehors de la courbe. Anderson ', Sluze et Huygens l'avaient résolu pour la parabole seulement ; ce qui n'offrait pas une grande difficulté, parce que la question n'ayant dans ce cas que trois solutions , elle pouvait être résolue par un seul cercle. Mais le cas de l'ellipse et de l'hyperbole, qui admet quatre solutions, était une question très-difficile, qui suffisait pour prouver toute la sagacité de De La Hire dans l'analyse de Descartes.
8 29. Le traité de 1673, intitulé : Nouvelle méthode en Géométrie, pour les sections des superficies coniques et cylindriques, est celui où De La Hire se montre vraiment original et novateur, et celui surtout qui nous porte à mettre ce géomètre au rang des fondateurs de la Géométrie Moderne.
Cet ouvrage se compose de deux parties, dont chacune offre une méthode nouvelle, et a un mérite différent. Le titre que nous venons d'énoncer se rapporte plus particulièrement à la première partie, où Fauteur considère les coniques dans le cône : la deuxième, où il les engendre sur le plan, est intitulée Planiconiques.
La première partie peut être regardée comme un essai de la méthode que De La Hire a suivie, douze ans après, dans son grand traité; car
1 A. Àndertoni Exenitationum mathematicarum Decas prima, etc. Pari»; 1610, in-4".
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
il y commence par vingt lcmmes qui roulent sur la même matière que le 1er livre de ce traité, et dont il se sert ensuite pour démontrer avec une généralité nouvelle alors, et sans se servir du triangle par l'axe, les principales propriétés des coniques. Mais ses démonstrations sont loin d'offrir le même degré d'élégance et de simplicité que celles du traité de 1685.
Dans ses Planiconiques , De La Ilire imagina une description générale des coniques sur le plan, au moyen du cercle, comme dans l'espace, et sans connaître aucune propriété de ces courbes : puis, il fit voir que les courbes ainsi engendrées sont effectivement les mômes que celles que l'on peut tracer, dans l'espace, sur le cône. Ce que cette méthode a' surtout de beau, c'est que les mêmes lemmes qui ont servi à transporter aux sections du cône les propriétés du cercle, servent pareillement pour les appliquer aux planiconiques , et les démonstrations restent les mêmes que dans la première partie.
§ 30. Ce premier ouvrage de De La Hire étant extrêmement rare, et les auteurs qui en ont parlé dans le temps , n'en ayant point fait connaître l'esprit %, on nous pardonnera d'entrer ici dans quelques développemens pour dire ce qu'était cette merveilleuse théorie des planiconiques , restée si long-temps ensevelie et ignorée, et qui offrait la première méthode suffisamment générale pour la transformation des figures en d'autres figures du même genre.
Concevons dans un plan deux droites parallèles entre elles, que l'auteur appelle l'une formatrice, l'autre directrice, et un point appelé
1 Les Transactions philosophiques , année 1676, n" 129, rendent un compte favorable de l'ouvrage de De La Hire, mais ne parlent pas de la partie des Planiconiques.
Le Journal des Satans, année 1674 (17 décembre), après avoir donne l'analyse de la première partie de l'ouvrage , dit ces seuls mots des planiconiques, qui devaient suffire pour les préserver de l'oubli : « L'auteur a «jouté à su nouvelle méthode un traité des planiconiques , » qui est très-beau et très-commode , puisque, par là , il n'est plus besoin d'imaginer aucun * solide, ni plan , que celui sur lequel est la figure. »
Wolf, dans son Commentaire des principaux écrits des géomètres, cite les autres ouvrages de De La Hire et omet celui dont il est ici question. Montucla n'en dit mot non plus. Cependant Cornélius à Deughem en avait fait mention dans sa Bibliographica mathematica, et Murrhard , depuis , l'a inscrit aussi dans sa Bibliotheca mathematica.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
pôle. Par chaque point M d'une courbe donnée dans le plan , on mène , sous une direction arbitraire, une transversale ; elle rencontre la directrice en un point qu'on joint au pôle par une droite, et la formatrice en un deuxième point par lequel on tire une parallèle à cette droite. Cette parallèle rencontre la droite qui va du point M au pôle, en un point M' , qui est dit formé par le point M.
Chaque point de la courbe proposée formera ainsi le point correspondant d'une seconde courbe.
Les points d'une ligne droite formeront des points appartenant a une deuxième ligne droite, et ces deux droites se couperont sur la formatrice.
Enfin , les points dun cercle formeront les points dune section conique.
Pour démontrer cette proposition sans supposer aucune propriété des coniques, DeLallire imagine un cône à base circulaire, dans lequel est faite une section plane ; il abat le plan du cercle sur celui de la section en le faisant tourner autour de la droite d'intersection de ces deux plans; puis, prenant cette droite pour formatrice, une seconde droite (qui, dans la position primitive du plan du cercle, était son intersection par un plan mené par le sommet du cône parallèlement à celui de la section), pour directrice, et pour pôle un certain point qu'il détermine convenablement, il prouve, par des comparaisons de triangles semblables, que la section peut être formée par le cercle \
Telle est la méthode par laquelle De La Hire effectuait sur le plan, sans avoir besoin d'aucun solide, ni d'autre plan que celui de la figure, les sections d'un cône. C'est ce qu'il appelait réduire le cône et ses sections en plan, f appliquai à ces sections planes, dit-il dans la préface de son traité de 1679, les mêmes démonstrations que j'avais faites pour les solides, et je puis dire que cet ouvrage eut asses de bonheur pour mériter ï approbation des plus savons géomètres.
L'éclat que jeta cette première production de De La Hire fut de peu
1 Cette démonstration eut assex difficile ; le principe de perspective que noua «vous déduit du théorème de Desargues en offre une qui est naturelle et d'une extrême simplicité.
To». XI. 17
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
de durée, et cet ouvrage, malgré son mérite incontestable, est, depuis plus d'un siècle, tombé dans l'oubli; ce dont nous nous étonnerions, si nous ne savions que chaque époque a ses questions du moment, et que les idées les meilleures et les plus fécondes, pour être bien saisies, doivent venir dans le temps où les esprits sont tournés vers l'objet auquel elles se rapportent. L'étude des sciences nous offre à chaque pas la preuve de cette vérité '. lb mmm< S 3 1 . La méthode de De La Hire a pourtant été reproduite, ou plutôt inventée de nouveau, en 1704, par Le Poivre (de Mons), géomètre inconnu de nos jours, mais qu'il y aurait injustice à ne pas nommer à côté de Desargues, Pascal et De La Dire dans l'histoire de l'origine et des progrès de la Géométrie moderne. Son ouvrage est intitulé : Traité dos sections du cylindre et du cône , considérées dans le solide et dans le plan, avec des démonstrations simples et nouvelles. (In-8° de 60 pages). La partie relative à la description des coniques sur le plan n'est au fond que la méthode de De La Hire, mais présentée d'une manière très-différente qui mérite que nous en exposions ici l'esprit et les procédés \
Il parait que la première idée de l'auteur a été de tracer sur un cône une section plane, sans mener effectivement le plan qui la con-
' Nous pourrions ajouter avec Montucla: «Qu'il est des préjugés jusque dans la Géométrie , et qu'il est rare que ceux qui sont dès long-temps accoutumés à une certaine manière de raisonner soient disposés à quitter une ancienne habitude pour en contracter une nouvelle. » (Histoire det mathématique* , tom. II, pag. 14-*.)
ï 11 a été rendu compte do cet ouvrage dan* le Journal des Sacans , année 1704 ; et dans les Acta eruditorum , année 1707.
L'article fort étendu du Journal des Sarans parait supposer que la métliodu de Le Poivre est prise de celle de De La Hire. Mais la voie d'invention est trop différente dans l'une et l'autre , pour que nous adoptions cette conjecture. Ajoutons que l'ouvrage de Le Poivre a un mérite qui ne se trouve pas dans celui de De La Hire et qui n'a point été remarqué par l'auteur du l'article du journal; c'est de contenir un second mode do description de ses figures, basé sur leur* relotions métriques , dont l'auteur aurait pu tirer un parti considérable s'il eût poussé plus loin cette idée heureuse.
Le Journal d« Leipsig parle très-favorablement de l'ouvrage de Le Poivre. « Aon solum , inquit , intra paucat pagella* pahnarias tectionum conicarum proprietates mira facilitate ac perspicuitate esplicat; sed tnter cas quoque aliquot proponit anteà parum cognitas.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
tient; ce qu'il fait de deux manières : par l'intersection de chaque arête du cône par une autre droite menée convenablement, ou bien par une proportion dont le dernier terme détermine sur chaque arête le point de la section. Puis, il remarque que ces mêmes procédés peuvent s'exécuter aussi sur le plan même du cercle qui sert de base au cône, comme dans l'espace, et donner naissance aux mêmes courbes.
Concevons un cône à base circulaire; un plan coupant mené arbitrairement déterminera sur le cône une section; c'est cette courbe qu'il s'agit de construire en faisant abstraction du plan sur lequel elle se trouve. Pour cela, il faut d'abord prendre dans l'espace les élémens nécessaires à la détermination de la position de ce plan ; ce qui peut se faire de diverses manières. Le Poivre prend la trace du plan coupant sur la base du cône et une seconde droite parallèle à cette trace, et qui est l'intersection du plan de la base par le plan mené par le sommet du cône parallèlement au plan coupant. Ces deux droites et le sommet du cône déterminent la position du plan coupant; ces trois données devront donc suffire pour la construction de la courbe qui résulterait de l'intersection du cône et de ce plan, s'il existait réellement.
Or, il est aisé de voir que, pour effectuer cette construction, il n'y a qu'à mener par un point M du cercle, base du cône, appelé cercle générateur, une transversale quelconque qui rencontrera la trace du plan coupant et sa parallèle, en deux points; joindre le deuxième de ces points au sommet S du cône, par une droite, et mener par l'autre point une parallèle à cette droite. Cette parallèle sera évidemment dans le plan coupant, et rencontrera l'arête SM du cône, en un point M' qui appartiendra à la courbe cherchée. Pour un autre point du cercle générateur, on aura un autre point de la section.
Cette construction est générale , quelle que soit la position du point S dans l'espace ; et elle subsiste quand ce point est situé sur le plan du cercle, auquel cas il n'y a plus de cône. La courbe formée alors par le point est encore une section conique '.
1 Pour s'en convaincre, il suffit de concevoir la courbe que nous venons de construire dans
Ainsi, la constructiou de l'auteur s'applique à la description des coniques sur le plan, comme dans l'espace. Pour le cas du plan, c'est comme on voit , la même construction que celle de De La Hire. Le point S est le pôle , la trace du plan coupant est la formatrice , et sa parallèle est la directrice.
S 32. Il y a, en général, dans les questions de Géométrie deux manières d'appliquer les solutions auxquelles la théorie a conduit. La première, est de déterminer les points cherchés par des constructions de lignes; la seconde de les déterminer par des formules qui se réduisent ensuite a des calculs numériques. 11 est toujours utile de chercher ces deux genres de solutions, parce que chacune comporte des propriétés de la figure, que l'autre n'indique point; et la question n'est résolue complètement que quand elle a été envisagée sous toutes ses faces, et que les diverses propriétés graphiques et métriques qui se rattachent aux deux solutions dont nous parlons , ont été découvertes et mises dans tout leur jour.
La construction que nous venons de donner pour décrire les coniques, soit dans l'espace, soit sur le plan, appartient au premier mode de solution. Pour la convertir en une formule numérique, on compare deux triangles semblables qui ont un sommet commun au point M du cercle générateur, et on en tire une proportion entre leurs côtés adjacens à ce sommet. Cette proportion donne la distance du point M' de la conique au point correspondant du cercle; c'est la formule cherchée
l'espace , et de la projeter sur le plan du cercle, avec toute* les lignes qui ont servi à sa construction. On aura en projection une courbe, et des droites qui serviront à sa construction, comme les droites dans l'espace à la construction de la section du cône; c'esl-à-diro que la construction do la courbe projetée sera absolument semblable à celle de la courbe située dans l'espace : et si l'on prend les lignes projetantes perpendiculaires a la trace du plan de la section sur celui de la base du cône , et également inclinées sur ces deux plans , alors la courbe projetée sera parfaitement égale à celle de la section du cône; ce sera donc une section conique.
On conclut de là aussi que, pour transporter aux coniques les propriétés du cercle, une seule démonstration suffira , soit qu'on considère la conique sur le plan du cercle ou dans l'espace. 1 II eût mieux valu prendre pour inconnue la dislance du point M' au point S ; la formule
S 33. La méthode de De La Ilire et de Le Poivre était la plus heureuse et la plus féconde qu'on pût imaginer pour découvrir les nombreuses propriétés des coniques par celles du cercle; mais les avantages qu'elle offrait ne devaient point se borner à cet usage particulier; elle avait un avenir plus grand, comme offrant un moyen général de tmnsformer, sur le plan, les figures en d'autres du môme genre, ainsi que ferait la perspective.
L'importance de ces méthodes, qui forment une des doctrines principales de la Géométrie récente , nous engage à entrer encore dans quelques considérations au sujet de celle de De La Hire et de Le Poivre, qui montreront ses rapports avec les pratiques de la perspective , avec une méthode analogue imaginée dans le même temps par Newton, et avec plusieurs autres méthodes, d'invention plus moderne, dont nous aurons à parler dans la suite.
Le mode de transformation du cercle en une conique sur le plan, employé par De La Ilire et Le Poivre, a pour propriété caractéristique que : à chaque point et à chaque droite considérés comme appartenant au cercle générateur, correspondent un point et une droite appartenant à la conique; et les relations de position des deux figures sont telles que deux points correspondons sont en ligne droite avec un point fixe S, et que deux droites correspondantes concourent sur un axe fixe, qui est la droite que nous avons appelée formatrice dans la méthode de De La Hire, et qui nous représentait, dans celle de Le Poivre, la trace d'un plan coupant.
Ce point S et l'axe fixe, considérés comme appartenant au cercle,
aurait conduit naturellement à diverses propriétés des coniques, particulièrement à celles de leurs foyers, dont l'auteur n'a rien dit. Il eût suffi , pour cela , de placer le point S au centre du cercle générateur.
Cette dernière observation , relative à la position du point S , s'applique aussi au Traité de De La Hire qui démontre les propriétés des foyers, mais en supposant ces points connus à priori, comme dans les coniques d'Apollonius , et sans être conduit à leur découverte. En plaçant le pôle au centre du cercle, la formatrice et la directrice étant d'ailleurs quelconques (mais parnllèles entre elles), on forme une conique qui a pour foyer le pùle : et diverses propriétés du cercle s'appliquent immédiatement a la conique, relativement à son foyer.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
sont eux-mêmes leurs correspondons par rapport à la conique; de sorte qu'ils jouent le même rôle par rapport à chacune des deux courbes.
Si, du point fixe, on peut mener deux tangentes au cercle, elles seront aussi tangentes à la conique; et si l'axe fixe rencontre le cercle en deux points, la conique passera par ces deux points.
On démontre encore que, quand deux droites sont parallèles, leurs correspondantes concourent en un point situé sur la droite que nous avons appelée la directrice , de sorte qu'un point quelconque situé à l'infini dans la première figure, a pour correspondant dans la seconde figure un point situé sur la directrice ; ce qui prouve, parce qu'il n'y a qu'une ligne droite qui puisse correspondre à une ligne droite, que tous les points d'un plan qui sont à l'infini doivent être considérés comme situés sur une même ligne droite.
g 34. On reconnaît, à ces diverses propriétés, les figures homologiques dont M. Poncelet a donné, le premier, la théorie dans son Traité des propriétés projectives. Le pôle S est le centre d'homologie; et la formatrice est taxe d'homologie.
Les personnes qui ont l'habitude des pratiques de la perspective reconnaîtront aussi, dans ce mode de déformation, les figures mêmes que l'on trace sur un plan, comme devant être la perspective l'une de l'autre.
Ainsi, qu'on regarde la formatrice (ou axe d'homologie), comme la ligne de terre, la directrice comme la ligne horizontale , le pied de la perpendiculaire abaissée du pôle (ou centre d'homologie) sur cette directrice, comme le point de vue, et enfin que, pour déterminer le point de distance, on porte, à partir du point de vue, un segment égal à cette perpendiculaire, sur la directrice; puis, qu'avec ces données on construise la perspective de la conique décrite par De La lïire, on trouvera précisément son cercle générateur. (Voyez la Note XVIII.)
Ainsi, la description générale des coniques sur le plan, qu'avait désirée ce géomètre , existait à son insu depuis long-temps ; mais elle ne servait que comme simple pratique de la perspective à l'usage seulement des artistes. De La Hire a le mérite très-grand d'avoir le premier
HISTOIRE DE LA GEOMETRIE
conçu l'idéedc se servir d'une telle déformation de figure comme méthode de Géométrie rationnelle, pour transporter directement à une courbe les diverses propriétés d'une autre courbe décrite sur le même plan.
Cette méthode était une généralisation de deux autres modes de transformation d'une figure en une autre de même nature. Le premier consiste a mener d'un point fixe des rayons à tous les points d'une courbe, et à les prolonger dans un rapport constant ; leurs nouvelles extrémités forment une seconde courbe semblable à la première et semblablemcnt placée par rapport au point fixe; le second mode de transformation consiste à abaisser de tous les points d'une courbe des ordonnées sur un axe fixe, et à les prolonger à partir de cet axe dans un rapport donné; leurs extrémités appartiennent à une seconde courbe qui est du même degré et du même genre que la proposée ; et les tangentes en deux points correspondans de ces deux courbes se rencontrent sur l'axe fixe. C'est de cette manière que Stévin , Grégoire de St. -Vincent et, avant eux, le célèbre peintre Albert Durer, formaient l'ellipse au moyen du cercle. On tombe sur ces deux modes de déformation en supposant dans celui de De La II ire que la trace et la directrice, dans le premier cas, et le point S dans le second, soient à l'infini.
Nous trouvons dans la Géométrie des lignes courbes de John Leslie une construction des coniques, par l'intersection de deux droites mobiles autour de deux pôles fixes, qui revient à celle de De Lallire. Ce célèbre géomètre a tiré cette construction des pratiques de la perspective; mais il n'en a point fait usage comme De La Ilire et Le Poivre, pour démontrer les propriétés des coniques.
S 35. Dans le même temps que De La Hire conçut sa méthode de description des coniques au moyen du cercle, IVewton en imagina aussi une du même genre, dont le but général était d'opérer sur le plan des transformations de figures, dans lesquelles des points répondissent à des points, et des droites à des droites ; et où certaines droites convergentes devinssent parallèles. Il donna cette méthode dans le premier
1 Geometrical analytit and Gtometry of cuire Unes, efc. , Edinburgh, 1821 , in-8°.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
livre de ses Principes , et montra comment elle pouvait servir pour transformer une conique quelconque en un cercle et simplifier ainsi des problèmes difficiles.
Ce grand géomètre donna une construction géométrique et une expression analytique, l'une et l'autre très-simples, de ses figures transformées; mais sans laisser apercevoir la route qui l'avait conduit à ce mode de transformation des figures ; et c'est peut-être pourquoi il a été peu cultivé depuis, car l'esprit éprouve toujours quelque difficulté et quelque répugnance aux choses qui ne portent pas en elles plus que l'évidence qui convainc , et où ne se trouve pas celle qui éclaire et montre les véritables raisons des choses. Nous avons été curieux de comparer cette méthode à celle de De La Hire et de rechercher les différences qui pouvaient les caractériser, et donner quelque avantage à l'une sur l'autre, espérant par là retrouver le fil qui avait pu guider Newton. Nous avons reconnu que ses figures n'étaient autres que celles de De La Hire placées dans une position différente, l'une à l'égard de l'autre; et qu'on peut aussi les produire par la perspective, en les abattant ensuite sur un même plan, mais d'une autre manière que ne l'avait fait De La Hire; et c'est ainsi probablement que Newton aura imaginé sa méthode. Ce procédé est en effet une des pratiques de perspective enseignées par quelques auteurs, dont nous citerons Yignole, Sirigati, Pozzo. {Voir la Note XIX.)
5 36. 11 nous serait facile de montrer les ressources immenses que ces méthodes de transformation des courbes sur un plan auraient offertes dès il y a un siècle et demi aux géomètres, si une fatale et injuste prévention ne les avait éloignés de la culture de la Géométrie pure. Mais il nous suffit d'avoir fait voir que celle de De La Hire particulièrement, conduisait aux mêmes transformations et au même but que la belle théorie des figures homologiques, dont M. Poncelet a tiré des résultats aussi nombreux que remarquables. Cette méthode d'ailleurs, comme celle de Newton , n'est qu'un corollaire de notre principe général de déformation homographique , et nous ferions double emploi en nous étendant ici davantage sur ses applications.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
S 37. En terminant cet historique des premières méthodes de transformation des courbes, nous remarquerons que la manière ingénieuse par laquelle Le Poivre est parvenu à la sienne aurait mérité aussi l'attention des géomètres; car elle repose sur une idée qui comprend tout un système de Géométrie descriptive, ou de représentation graphique, sur une aire plane, des corps situés dans l'espace. Cette idée consiste à représenter, dans la pratique de la perspective, un plan situé dans l'espace, par deux droites parallèles tracées sur le tableau, dont Tune est la trace du plan, et l'autre la trace d'un plan parallèle mené par le point de l'œil. De cette manière, une droite est déterminée par deux points, qui sont ceux où cette droite et sa parallèle menée par le point de l'œil percent le tableau. Ainsi, voilà un moyen de représenter sur un plan tous les corps de l'espace, en se servant uniquement d'un point Gxe pris arbitrairement au dehors de ce plan. Ce nouveau mode de Géométrie descriptive a été conçu et mis à exécution , il y a peu d'années, par M. Cousinery, ingénieur des ponts et chaussées. Nous reviendrons sur l'ouvrage de ce géomètre, quand nous en serons à parler de la Géométrie descriptive de Monge.
S 38. Les travaux des géomètres que nous avons cités au commen- "^Jf^j^jgf*1 cernent de cette troisième Epoque, comme les promoteurs de la Géométrie de Descartes , ne roulèrent généralement que sur la Géométrie plane. Cependant, ce célèbre philosophe, comprenant toute la portée et la puissance de sa doctrine des coordonnées, ne l'avait pas restreinte aux courbes planes, et en avait montré l'usage dans la théorie des courbes à double courbure. Pour cela , des points d'une courbe quelconque tracée dans l'espace, il abaissait des perpendiculaires sur deux plans rectangulaires ; leurs pieds formaient deux courbes planes qu'il rapportait chacune à deux axes coordonnés situés dans son plan, et dont l'un était l'intersection des deux plans.
Cette doctrine des courbes situées dans l'espace conduisait, comme on voit, au système de coordonnées à trois dimensions, et à l'expression d'une surface par son équation unique entre ces trois coordonnées. Mais les spéculations des géomètres se bornèrent pendant long-temps To>. XI. • 18
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
aux courbes planes; et la Géométrie analytique à trois dimensions ne se développa que plus d'un demi-siècle après. parent . C'est , je crois , Parent qui représenta pour la première fois, en 1 700, 1666-1716. une surface courbe par une équation entre trois variables, dans un mémoire qu'il lut devant l'Académie des sciences.
Ce mémoire, écrit d'une manière assez peu soignée, comme les autres ouvrages de l'auteur, géomètre, du reste, très-habile et pourvu de connaissances très-variées, mérite pourtant d'être remarqué comme offrant la première application de notre système de coordonnées dans l'espace; et cette application portait sur des questions assez difficiles. On y trouve l'équation de la sphère, et celle de son plan tangent ; la détermination des ordonnées maxima et minima dans certaines sections de la sphère ; les équations de diverses surfaces du troisième degré , et des courbes à double courbure passant par les points auxquels répondent des ordonnées maxima et minima ; enfin , la construction des points d'inflexion de certaines courbes tracées sur les surfaces1.
Depuis, Jean Bernouilli a aussi exprimé les surfaces par une équation entre trois coordonnées, à l'occasion du problème de la ligne la plus courte qu'on puisse tracer sur une surface, entre deux points donnés.
ciAiBABt , Mais ce ne fut qu'en 1731, que Glairaut, dans son célèbre Traité des 17» - nés. courbes à double courbure , qu'il composa à l'âge de 16 ans 3, exposa pour la première fois, d'une manière méthodique, la doctrine des coor-
1 Des affections des superficies : 1» de leurs plans tangens ; 2° des plus grand* et plus petit* des superficie* et de leurs plu* grands et plus petits absolus; 3" des courbes qui soutiennent ou contiennent les plus grands et plus petits des superficies; À' des courbes qui soutiennent ou contiennent les inflexions des superficies. Voir le deuxième volume des Euai* et Recherche» de mathématique* et de physique de Parent; 3 vol. in-12, seconde édition,
3 Dès 1 âge de 12 ans , Clairant s'était déjà annoncé dans le monde savant , par un mémoire sur quatre courbes géométriques , qui a été jugé digne d'être imprimé à la suite d'un mémoire de son père , dans le recueil de l'Académie de Berlin {Mitcellanea Berolinetuia , tom. IV, ann. 1734).
Son frère puîné, mort à l'âge de 18 ans , avait annoncé la même précocité de talent, en mettant au jour, à U an*, un écrit sur Dicerte* quadrature» circulaire* elliptique* et hy-
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
données dans l'espace, appliquée aux surfaces courbes et aux lignes à double courbure qui naissent de leur intersection.
Les questions relatives aux tangentes de ces courbes, à leur rectification, à la quadrature des espaces qu'elles déterminent par leurs ordonnées, sont résolues dans ce traité avec une élégance et une facilité qui ne le cèdent aux méthodes actuelles que sous le rapport de la symétrie des formules, introduite par Monge dans son grand Traité de ^application de l'Algèbre à la Géométrie.
La dénomination de courbe à double courbure adoptée par Clairaut, parce qu'une telle courbe participe de la courbure de deux courbes planes qui en sont les projections , est due à Pitot qui l'avait employée mot , dans un mémoire, concernant l'hélice tracée sur un cylindre droit cir- mi-nu culaire, lu à l'Académie des sciences en 1724.
8 39. Nous avons eu occasion de faire voir, en parlant d'Architas, de Geminus et de Pappus, que les courbes à double courbure n'ont pas été étrangères aux études des Anciens. Depuis, et jusqu'à Clairaut, d'où
perbolique», suivi d'une construction des paraboles cubiques et de diverses autres courbes par des roouvemens continus.
Ce petit ouvrage, qui a obtenu l'approbation de l'Académie des sciences de Paris en 1730 , et qui a été imprimé en 1731 , mérite d'être placé, dans le cabinet des bibliographes, à côté de YEttai pour le» conique» de Pascal , et des Recherche» sur le» courbe» à double courbure du frère aioé de l'auteur. La rareté du livre ajoute au prix de cette curiosité littéraire, offerte par un géomètre de 14 ans.
1 Pitot, en se proposant de carrer la courbe appelée d'abord la compagne de la cyclotde, puis , par Leibnitz , la ligne des sinus , parce que ses abscisses seraient égales aux sinus des ordonnées si on enroulait celles-ci sur une circonférence de cercle ; Pitot, dis-je, trouve : 1° que cette courbe est ce que devient, dans le développement d'un cylindre droit circulaire sur son plan tangent, l'ellipse qui aurait été formée sur ce cylindre par un plan sécant incliné de 80 degrés sur son axe , et 2° que cette courbe provient aussi d'une hélice tracée sur le même cylindre, et projetée sur un plan parallèle à l'axe du cylindre.
Ces deux propositions ont été démontrées depuis dans plusieurs ouvrages.
La courbe dont il s'agit, considérée comme provenant d'une ellipse, dans le développement du cylindre, a fixé l'attention de Schubert, qui en a donné la quadrature et la rectification , dans les Noua Acta de Pétersbourg, tom. XIII, année 1798 - 1798.
Burja , dans un Mémoire sur le» connaissances mathématique» d'Àrietote, a remarqué que ce prince des philosophes de l'antiquité a parlé de cette inèine courbe dans la question sixième de la dixième section de ses Problème».
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
datent leur théorie et le rang qu'elles ont pris dans le vaste ensemble des propriétés de l'étendue, on les retrouve encore dans les travaux de plusieurs géomètres.
Voici, pour compléter l'historique de ces courbes, un exposé rapide et suivant Tordre des temps, des différentes circonstances où ces courbes se sont présentées, mm, En 1530, Noniu s, portugais, et plus tard Wright, Stevin, Sneilius, u«2-is;; examinèrent la Ioxodromie qui est une courbe à double courbure tracée sur le sphéroïde terrestre. C'est la route parcourue par un vaisseau dirigé toujours sur le même rumb de vent. On doit à Ilallcy cette pro priété curieuse de la Ioxodromie, d'être la projection stéréographique de la spirale logarithmique.
Vers 1630, Robcrval, dans son Traité des indivisibles , considéra la courbe à double courbure, décrite par un seul trait de compas sur la surface d'un cylindre droit circulaire, et démontra diverses propriétés de cette courbe, et de celle qui en résulte par le développement du cylindre sur un plan.
i» lotaàti, Peu après, La Loubère étudia aussi cette courbe, et l'appela cyclo- 1800-1*6» cylindrique.
En 1637, Descartes, A la fin du second livre de sa Géométrie, dit quelques mois des courbes à double courbure, sans s'occuper d'aucune en particulier; mais ce peu de mots en comprenait toute la doctrine '. Pascal résolut un problème sur la spirale conique qui est une ligne
1 Descari ei indique aussi la construction «Je» normale* aux lignes à double courbure; mais sur ce point il commet une erreur ; car il suppose que les normales aux deux courbes planes , qui sont les projections de la courbe à double courbure , sont elles-mêmes les projections d'une normale à cette courbe. Cela peut se dire des tangentes, mais non des normales.
Quelque peu d'importance qu'ait cette erreur , et quclqu'étrangère même qu'elle soit à la méthode qui constitue la Géométrie do Descartel , il est Tort étonnant qu'elle ail échappé aux envieux comme aux admirateurs qu'a fait naître cette œuvre immortelle, et à Robcr val surtout, qui se mit l'esprit à la torture pour y découvrir quelque défaut. Bien plus, le P. Rabucl, dans son Commentaire , démontra la construction indiquée par Descartes. II est vrai qu'il omet , dans cette prétendue démonstration , de citer les élémens d'Eticlirie , comme il a coutume de faire à peu près une fois par chaque ligne.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
à double courbure tracée sur un cône droit {Œuvres de Pascal, tom. V, pag.422).
Le P. Courcier, dans son traité : Opusculum de sectione superfi- councm». ciei sphœricœ per superficiem sphœricam, cylindricam atque conicam,etc.f in-4°, 1663, eut à considérer d'une manière spéciale des courbes à double courbure. Ce sont celles qui naissent de l'intersection de la sphère par le cône et le cylindre droits à base circulaire, et de l'intersection de ces deux surfaces entre elles, considérées dans toutes les positions qu'elles peuvent présenter. Cet ouvrage, quoique le sujet n'offre pas de difficultés sérieuses, mériterait d'être plus connu qu'il ne l'est '.
Un problème proposé en 1692 par Viviaui, où il s'agissait de percer mun , dans une voûte hémisphérique quatre fenêtres, telles que le reste de i«»-"w. la voûte fût quarrable, était résolu par des lignes à double courbure; et donna lieu à Wallis, Leibnitz et Bernouilli, de considérer sur la sphère de telles courbes.
Herman, en répondant à la question de tracer sur la sphère des ««■*», courbes rectifiables, proposée dans les Actes de Leipzig de 1718, fut conduit à la considération de l'épicycloïde sphérique, engendrée par un point de la surface d'un cône de révolution qui roule sur un plan, son sommet restant fixe.
En 1728, Guido-Grandi considéra sur la sphère deux courbes a «"»•-«*«*». double courbure qu'il appela clélies, et dont il donna la quadrature. L'une de ces courbes est simplement l'intersection de la sphère par une surface héliçoïde rampante, dont l'axe passe par le centre de la sphère.
Enfin parut l'ouvrage de Clairaut, qui fonda la théorie des courbes à double courbure, et dès lors les spéculations concernant ces courbes se multiplièrent considérablement.
' Frczier, dans son Traité de Stéréotomie , a considéré les mêmes courbes que le P. Courcier. Celui-ci le» avait appelées curcitegœ ; Freiier les appelle imbricatœ (en forme de tuile
VV\\V\\A^X\V\V\V\\VV\V\V\^\NA.NV\\VV\VV\\V\\V\V\VV\\VVV\V\V\V\VV\\VVV\\\NA,%V\\\V\X\\A,VV.A\\\\\\\\VV\
