M CO
Donc : Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
rapport à une surface du second degré, et que par les points où ils rencontreront la surface, on mène les sis plans tangens; ces plans feront sur une droite fixe , menée arbitrairement par le point fixe, six segment , compris entre ce point et ces plans respectivement , dont les carrés auront la somme de leurs valeurs inverses , constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.
(46) Supposons que, par le point o, ont ait mené trois droites fixes perpendiculaires entre elles; on aura pour chacune d'elles une équation semblable a la précédente; les ajoutant membre à membre, et remarquant que la somme des valeurs inverses des carrés des segmens qu'un plan quelconque fait sur trois axes rectangulaires issus d'un même point, est égale à la valeur inverse du carré de la distance de ce point au plan , on en conclura ce théorème :
Si, par un point fixe , on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré , et que par les six points où ils percent la surface , on mène six plans tangens à cette surface , la somme des valeurs inverses des carrés des distances de ces six plans au point fixe sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.
(47) Si l'on suppose, dans le théorème exprimé par l'équation du n° 44, que le premier point o soit situé à l'infini , les segmens ao, €o, etc., seront égaux, comme induis, et l'on aura l'équation :
tu -+- Ci -4- y\ ■+- etc. mm const.
Ce qui exprime que :
Si dans un plan diamétral dune surface du second degré on prend trois droites, de manière que la polaire de chacune d'elles passe par le point de concours des deux autres, et que par ces trois droites on mène six plans tangens à la surface, la somme des carrés des segmens compris entre un point fixe de l'espace et ces six plans, sur une droite menée par ce point parallèlement au diamètre conjugué au plan diamétral, cette somme, dis-je, sera constante quel
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
que soit le système des trois droites prises comme il est dit, dans le plan diamétral.
§ XI. Autres propriétés des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point. — Réflexions sur les mélfiodes de transformation.
(48) Soient trois axes rectangulaires ox, oy, os, et «ne droite quelconque om menée par le point o; que , par le point m de cette droite, on mène trois plans perpendiculaires respectivement aux trois axes, et les rencontrant aux points a,', V, c,' j on aura
om wim oa',' -+- ob',' -♦- oc','-
Nous pouvons exprimer ce théorème en disant que la somme des carrés des trois projections de la droite om , sur trois axes rectangulaires, est constante, quelle que soit la position de ces trois axes ; ainsi I on a
ôô\' -+- ôF,1 ■+- ôc^' == const.
Pour transformer ce théorème, concevons une sphère qui ait pour centre le point o : les trois axes ox , oy , oz, seront, en direction, trois demi-diamètres conjugués de cette sphère : soient a,, c,, les points où ils la rencontrent; nous pourrons mettre notre équation sous la forme
... <*»', ob', oc',
• • • • » ^ ^ -+- ' ' — COUM .
oa, ob, oc*
Faisons la figure corrélative. Nous aurons une surface du second degré, trois droites X, Y, Z, comprises dans un plan O, qui seront telles que la polaire de chacune d'elles par rapport à cette surface, passera par le point de concours des deux autres; soient X', Y', Z', ces trois polaires; elles passeront par le pôle t du plan O, pris par rapport à la surface; et elles seront trois axes conjugués relatifs à ce
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
point i. Ce sont les droites qui correspondent aux trois droites situées à l'infini dans les plans y os, sox t xoy , de la première figure.
Nous aurons encore, dans le plan O, une quatrième droite correspondant à la droite om ; et si l'on mène par cette droite un plan transversal M, il correspondra au point m.
Aux trois plans menés par ce point m, perpendiculairement aux trois axes oxy oy, os , correspondront les trois points où le plan M rencontre les trois axes conjugués dont nous venons de parler.
D'après cela, on voit aisément que, aux quatre points o, o,', o, et l'infini, situés sur l'axe or, correspondront, dans la nouvelle figure, quatre plans passant par la droite X : le premier est le plan O ; le second passe par le point où le plan M rencontre l'axe X' qui est la polaire de la droite X; le troisième est tangent à la surface en l'un des deux points où cet axe la rencontre; et le quatrième passe par le point i.
Le rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à celui des quatre points de la première figure, auxquels ces plans correspondent, lequel est Exprimons le rapport anharmonique des quatre plans par celui des quatre points où ils rencontrent l'axe X'. Soient «, a', a, les trois premiers de ces quatre points, dont le quatrième est i; on aura
on', aa' ia' oo, sa ' ta
Par chacune des deux autres droites Y' , Z' , passeront pareillement quatre plans, qui donneront lieu aux deux équations
ob\ Cb' m ib' ol7 ~ C b '' ïb '
oc\ r«! • il
oc, yc ' M
où l'on conçoit parfaitement les points représentés par les lettres
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 611
On aura donc, d'après l'équation (1), la suivante, qui en est la transformée,
/au ta' y /Cb' «'A' V /yc' t'c'Y
[m ïo~J "*" [cT 1 ïb) "** 1 ïc~J =
/ta ia'\, f ib ib'y fie ic'\
D'où résulte ce théorème :
Étant donnés une surface du second degré et un plan transversal; si, autour d'un point i, pris arbitrairement , on fait tourner trois axes conjugués par rapport à la surface, et qu'on désigne par a, 6, y, les points où ils rencontrent le plan polaire du point i ; par a, b, c, trois des six points où ils rencontrent la surface; et enfin par a', b', c', les trois points où ils rencontrent le plan transversal, on aura
fia ia'\> fib ib'y fie ie'y
w {z:7a)^{Tc:Tc)*{ry:7y)'m
quel que soit le système des trois axes conjugués menés par le point i.
(49) Ce théorème exprime une propriété très-générale des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs a un point.
L'indétermination de position du plan transversal par rapport à la surface , ou de la surface par rapport au plan, permet de faire différentes suppositions qui conduisent à quelques théorèmes assez simples.
Ainsi, en supposant le plan transversal parallèle au plan polaire du point fixe t, les rapports
if ût V
aV b'C' Ty
seront égaux ; et l'on aura
~ïa ib ic ax ' b; cy
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
ce qui exprime que :
Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport a une surface du second degré, la somme des carrés des segment compris entre le point fixe et trois des points où les trois axes rencontreront la surface , divisés respectivement par les carrés des segmens compris entre ces trois points et le plan polaire du point fixe, sera constante, quelque soit le système des trois axes conjugués.
(50) Dans l'équation générale (2), qui a lieu pour une position arbitraire du plan transversal, remplaçons le rapport ^ par le rapport des perpendiculaires abaissées des deux points a, a' sur le plan O. Soient ap , a'p' ces perpendiculaires; le premier terme de l'équation (2) deviendra
Changeons de la même manière les deux autres termes , nous aurons l'équation
(8) (5) :($J"ctc'=sconst-
(51) Maintenant, c'est un théorème de géométrie élémentaire, trèsfacile à démontrer par une comparaison de triangles, que si l'on mène par le point i une perpendiculaire au plan mené par ce point et l'intersection des deux plans M et O; que cette droite rencontre le plan M au point d' , et que de ce point cf on abaisse une perpendiculaire d's' sur le plan O, on aura
Cette équation a lieu quelle que soit la direction de la droite ia'. D'après cela, l'équation (3) devient
oonat.
igitized by Googl
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
ou, en faisant passer le facteur dans le second membre, et le comprenant dans la constante ,
co*. ' (a'id') ■+■ etc.
Cette équation exprime une propriété générale des systèmes de trois axes conjugés d'une surface du second degré, relatifs à un même point. La direction de la droite id , dans ce théorème, est arbitraire, puisque le plan transversal M, qu'elle a remplacé, était lui-même de position arbitraire.
(52) Si l'on conçoit, menées par le point i, deux autres droites, on aura, par rapport à elles, deux équations semblables à la précédente. Et si l'on suppose ces deux droites et la première id perpendiculaires entre elles, on aura, en ajoutant membre à membre ces trois équations,
— .+- — -»- — — consl. ; ap' cr
Ce qui exprime ce théorème :
Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré , et que, sur chacun deux, on prenne un des deux points où ils perceront la surface; les trois points ainsi pris jouiront de celte propriété, que la somme des carrés de leurs dislances au point fixe, divisés respectivement par les carrés de leurs distances au plan polaire du point fixe, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugés.
(53) Supposons, dans le théorème général (48), que le plan 0 soit à l'infini; le point i sera le centre de la surface; les trois axes conjugués ia, ib, ic seront trois diamètres conjugués; les rapports |j, , etc. , seront égaux à l'unité, et l'équation (2) se réduira à
1! -h 1£ + 1°L = const.; w'J ÏF ic'1
To«. XI. 78
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
ce qui prouve que :
La somme des carrés de trois demi-diamètres conjugués d'une surface du second degré , divisés par les carrés des segmons faits sur ces diamètres par un plan transversal fixe, est constante.
(54) Enfin supposons que la surface, dans le théorème général (48), soit de révolution, et ait un foyer situé au point t; le plan 0, qui est le plan polaire de ce point, sera le plan directeur correspondant à ce foyer, et les trois axes conjugués t'a, ib, te, seront rectangulaires ; de plus les trois rapports jjj , etc. (50) , seront égaux et constans, et l'équation (3) se réduira à
7p' ïy' 7?
— — - =— -»- r-^-s = const.
m' ib' ùf
Ce qui signifie que :
Étant donnés deux plans et un point fixe dans l'espace, si autour de ce point on fait tourner trois axes rectangulaires , qui rencontreront le premier plan en trois points , la somme des carrés des distances de ces trois points au second plan, divisés respectivement par les carrés de leurs distances au point fixe, sera constante.
Ce théorème peut se démontrer directement au moyen de la proposition exprimée par l'équation
ÛT ta'
T*' = VP' co$- (o',d')' (8,)'
(55) Il est curieux de voir tant de théorèmes diflférens, et dont plusieurs sont des propriétés si générales des surfaces du second degré, résulter d'une simple proposition de géométrie élémentaire relative aux projections d'une ligne droite sur trois axes rectangulaires. Cet exemple suffirait pour montrer l'utilité et la puissance des nouvelles méthodes de transformation.
Ces méthodes nous paraissent répondre parfaitement à cette pensée de M. Poinsot : a En géométrie, comme en algèbre, la plupart des » idées différentes ne sont que des transformations; les plus lumi-
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
» neuscs et les plus fécondes sont pour nous celles qui font le mieux » image, et que l'esprit combine avec le plus de facilité dans le discours » et dans le calcul. » (Êlémens de statique, 6e éd. , p. 351). Ce sont ces idées les plus lumineuses et les plus fécondes, que les méthodes de transformation feront découvrir, soit en établissant les liens cachés qui ont lieu entre une foule de propositions qui semblaient d'abord isolées et étrangères les unes aux autres, soit en variant très-diversement, par des procédés certains, les formes d'une idée primitive.
Et que l'on ne croie pas que cette foule de théorèmes divers, qu'on peut aujourd'hui multiplier indéfiniment par ces méthodes, doivent compliquer la géométrie, et en rendre l'étude plus longue et plus pénible. Toutes ces propositions, nouvelles ou plus générales que celles qu'on connaissait déjà, auront, au contraire, pour effet certain, de simplifier cette science et d'en étendre les doctrines.
En effet, d'une part, les propositions d'un nouveau genre donneront lieu à des théories et à des considérations géométriques nouvelles ; et d'autre part, les propositions qui rentreront dans des théories connues forceront, par leur généralité, d'élargir les bases actuelles de ces théories, et de les asseoir sur des principes susceptibles de déductions plus diverses et plus générales. Car nous considérons les méthodes de transformation comme des moyens précieux pour la découverte de théorèmes nouveaux , et la démonstration de quelques vérités partielles; mais quand il s'agit de vérités appartenant à une théorie déjà formée, les démonstrations que procurent ces méthodes artificielles ne nous paraissent pas complètement satisfaisantes; cette théorie doit trouver en elle-même les ressources nécessaires pour la démonstration directe des vérités qui lui appartiennent, sans qu'on soit obligé de s'appuyer sur les vérités correspondantes dans la théorie corrélative. Ainsi, par exemple, si nous faisions entrer dans un traité des surfaces du second degré les propriétés nouvelles que nous avons trouvées dans les paragraphes précédons, telles que celle des axes conjugués relatifs à un point, ce serait directement que nous démontrerions ces propriétés, et non par le principe de dualité. Ce sont ces démonstrations directes qui,
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
nécessairement, amèneront un perfectionnement notable dans les théories géométriques.
Ainsi, ce n'est pas seulement sous le rapport du grand nombre de propositions qu'on introduira dans la géométrie, que nous reconnaissons une haute utilité aux méthodes de transformation ; mais c'est aussi parce qu'il en résultera un perfectionnement certain des méthodes et des théories, et que, par suite, la science gagnera en étendue et en facilité.
Nous pouvons citer, à l'appui de ces réflexions , la théorie des coniques. On s'est effrayé parfois du nombre prodigieux de propositions dont elle s'est accrue depuis une trentaine d'années; et cela a détourné peut-être de l'étude de la géométrie ; cependant les personnes qui ont suivi ce développement, penseront certainement qu'un traité des coniques qu'on écrirait aujourd'hui, et qui embrasserait toutes ces propositions récentes ainsi que toutes les anciennes, serait beaucoup plus facile, plus lumineux, et plus court en paroles, en même temps que plus étendu en doctrine, que le grand traité d'Apollonius, et que les ouvrages célèbres de De la Hire, de L'Hôpital, et de R. Simson.
§ XII. Transformation des propriétés du centre des moyennes distances d'un système de points. Centre des moyennes ]
(56) Soient plusieurs points a, A, c, en ligne droite; on sait qu'il
existera sur cette droite un certain point g tel que, quel que soit un autre point m pris sur cette droite, on aura toujours l'équation
ma -+- mb + me + .... = n.mg ,
OU
mg mg mg
M étant le nombre des points a, b, c,
Le point g est appelé le centre des moyennes distances des points a, c, b '.
1 La théorie du centre des moyennes distance* contient implicitement celle du centre de gra-
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
Faisons la figure corrélative, nous aurons des plans A, B, C, .... G et H passant par une même droite, et un dernier plan I, passaut aussi par cette droite, et correspondant au point situé à l'infini sur la droite ma. L'équation ci-dessus donnera, en vertu de la seconde partie du principe de corrélation (13),
( sin. M. A sin. I,A sin. M,B a «in. I.H
sin. iM,G * sin. I,G «in. M,G * sin. I,G
OU
sin. M, A sin. M,B sin. M,G
v ' sin. I,A sin. I.B au. 1,6
Tirons une transversale quelconque qui rencontrera ces plans aux points a, S, y, 0,/*et<; on aura
fix ^ ix sin. M, A sin. IA 7Î ! Ti ~ sin. MG : sin. IG '
et par conséquent
fia fiC fty fti
ix tC iy A
Le point m était arbitraire dans l'équation ( 1 ) ; donc le plan M , et par suite , le point y. sont aussi arbitraires dans les équations (2) et (3) : prenons ce point a à l'infini, l'équation (3) deviendra
Donc, quelle que soit la transversale menée à travers les plans
vitè, parce que, pour passer de la première à la seconde, il suffit de supposer i points du système se réunissent en un seul. On introduit de la sorte, dans l'équation (1), comme dans toutes celles qui se rapportent à cette théorie, des coefficiens dont chacun marque le nombre des points réunis en un seul , et peut être regardé comme la masse de ce point unique. Ainsi nous pouvons, pour plus de simplicité, ne parler que du centre de» moyenne* distance* , et néanmoins les théorèmes que nous obtiendrons s'appliqueront d'eux-mêmes au centre de gravité d'un système de points matériels.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
A, B, C,... , G et I, les points où elle percera ces pians donneront toujours lieu à cette équation.
Maclaurin a appelé, dans cette équation, la distance «S la moyenne harmonique entre les distances ut, të, iy.... 1 ; et M. Poncelet a appelé le points le centre des moyennes harmoniques des points a, 6, y,.... par rapport au point t \
(57) L'équation (4) exprime donc ce théorème, qui est le corrélatif de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points situés en ligne droite, exprimée par l'équation (1) :
Etant donnés plusieurs plans A, B, C, et un dernier plan I ,
passant tous par une même droite ; il existera toujours un certain plan G, passant aussi par cette droite , et jouissant de cette propriété, que, si Von mène une transversale quelconque , le centre des moyennes harmoniques des points où elle percera les plans A ,
B , C, ... par rapport au point où elle percera le plan I , sera toujours dans ce plan G.
(58) Remarquons que si la transversale était menée parallèlement au plan I, on aurait
et l'équation (2) deviendrait
tut -t- fiC -+- m> ■+- •••• — »>H*-
Ce qui prouve que le point S est le centre des moyennes distances des points a, 6, y,
Ainsi nous pourrions dire que le plan G est tel que toute transversale, parallèle au plan I, le rencontre en un point qui est le centre des moyennes distances des points où cette transversale rencontre les plans A, B,C,
(59) La position du point Q, qui est le centre des moyennes harmo-
1 J M de son Traite des propriétés générales des courbes géométriques.
2 Mémoire sur le* centres des moyennes harmonique* . inséré dans le l. III du Journal de Mathématiques de M. Oelle.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 619
niques des points a, 6, y,.... par rapport au point t, est déterminée indifféremment par l'équation (4), ou par l'équation (3), qui contient un point arbitraire p ; de sorte que ces deux équations sont identiques. Cette identité résulte de la propriété même du centre des moyennes distances, exprimée par l'équation (1) où le point m est indéterminé; mais on peut en donner une démonstration directe, très-facilement.
D'abord on passera de l'équation (3) à l'équation (4) en remplaçant, dans la première, fia par fu — ta, (£ par p — <6;et ainsi desautres segmens.
Réciproquement, on passera de l'équation (4) à l'équation (3) en prenant l'équation identique
m tC ty A
-4- • • » ■ — fi • .
a $C ty A
et la retranchant de l'équation (4), après avoir multiplié les deux membres de celle-ci par p; car il en résulte
IA
tu — 'C
ut — iy
ux
Ainsi l'identité des deux équations (3) et (4) est démontrée directement. Elle exprime une propriété importante du centre des moyennes harmoniques d'un système de points situés en ligne droite.
(60) Maintenant, si nous considérons l'équation (4), non plus sous le rapport de sa signification propre dans la théorie du centre des moyennes harmoniques, mais comme exprimant une relation entre cette théorie et celle du centre des moyennes distances, relation fondée sur le principe de dualité, nous aurons ce théorème, qui nous sera utile dans la suite :
(( Si l'on a plusieurs points en ligne droite, et leur centre des )) moyennes distances, et qu'on fasse la figure corrélative, on aura » des plans passant par une même droite; dont le dernier, qui corres-
)> pondra au centre des moyennes distances , sera tel que si on tire )) une transversale quelconque, le point où elle rencontrera ce dernier » plan sera le centre des moyennes harmoniques des points où elle » percera tous les autres plans, par rapport au point où elle percera » le plan correspondant au point situé à l'infini sur la droite des points » de la première figure. »
(61) Considérons plusieurs points en ligne droite, a, b, c,..., et leur centre des moyennes harmoniques g, pris par rapport à un point o de cette droite; on aura
il M
oa ob og
OU
oa ob
Faisons la figure corrélative. \ous aurons n plans A, B, C,... un plan O, et un dernier plan G, plus un plan I, correspondant au point de la droite ab situé à l'infini ; tous ces plans passeront par une même droite. Menons une transversale quelconque, qui rencontrera ces plans aux points a, S, 0 et < ; on aura, d'après la seconde partie
du principe de dualité,
uS iS uê it
• + ~ • ~ •■>• ^m " ; m « uC tC
OU
ta i» it — + — - -(-.... = n. —
ou, suivant ce qui vient d'être démontré ci-dessus,
Ce qui prouve que :
(( Quand on a plusieurs points en ligne droite, et leur centre des » moyennes harmoniques par rapport à un point de cette droite; m si l'on fait la figure corrélative, on aura des plans passant par une
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
w même droite, dont l'avant dernier sera tel que si Ton mène une » transversale quelconque, elle rencontrera ces plans en des points » dont l'avant dernier sera le centre des moyennes harmoniques des )> premiers par rapport au dernier. »
(62) Soient des points a, b, c,.... placés d'une manière quelconque dans l'espace, et g leur centre des moyennes distances ; la propriété de ce point est que, si par tous ces points on mène des plans parallèles entre eux, une transversale quelconque les rencontrera en des points dont le dernier sera le centre des moyennes distances de tous les autres.
Faisons la figure corrélative; nous aurons des plans À, B, C,.... placés d'une manière quelconque dans l'espace, et un dernier G, correspondant au centre des moyennes distances g. Tous les plans menés parallèlement entre eux par les points a, b,.... g, donneront lieu à des points situés sur les plans A, B,.... G, et tous sur une même droite passant par le point i qui répond à l'infini de la première figure; le dernier de ces point sera le centre des moyennes harmoniques de tous les autres par rapport au point t (60) ; on a donc ce théorème :
Quand on a plusieurs plans, placés dune manière quelconque dans V espace, si, autour d? un point fixe, on fait tourner une transversale, et qu'on prenne sur elle le centre des moyennes harmoniques des points où elle perce les plans, par rapport au point fixe , ce centre aura pour lieu géométrique un plan.
M. Poncelet a appelé ce plan, dans son Mémoire cité ci-dessus, le plan des moyennes harmoniques , relatif au point fixe.
Il est remarquable que ce théorème soit précisément le corrélatif de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points.
Maclaurin a démontré ce théorème pour le cas d'un système de lignes droites situées d'une manière quelconque dans un plan1; nous le reproduisons ici pour montrer cette relation remarquable qui existe
1 De linearttm geometricarum proprietatibuB generaUbut tractatu», § 26.
To». XI. 79
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
entre ce théorème et la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points. On n'aurait pas supposé à priori des rapports aussi directs et aussi simples entre deux propositions en apparence si différentes.
(63) En appliquant le principe de dualité au théorème que nous venons de démontrer, on parvient immédiatement au suivant :
Quand on a un système de points a, b, c,.... dans l'espace, et un plan fixe I , si par une droite , prise arbitrairement dans ce plan , on mène des plans passant par tous ces points ; puis qu'on tire une transversale quelconque, et qu'on prenne sur elle le centre des moyennes harmoniques des points où elle percera ces plans , par rapport au point où elle percera le plan I, le plan mené par ce centre et par la droite prise dans le plan I , passera par un point fixe, quelle que soit cette droite.
Ce point fixe a été appelé par M. Poncelet le centre des moyenne* harmoniques des points a, h, cy.. par rapport au point I.
Ce théorème est une généralisation de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points; car si le plan I est à l'infini , le point fixe sera précisément le centre des moyennes distances des points a, b, c
(64) Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points, par rapport à un plan , jouit de diverses autres propriétés que nous omettons ici, parce que nous reviendrons sur cette théorie dans la seconde partie de cet écrit, en appliquant le principe de déformation homographique.
§ XIII. Théorème de Netcton sur les diamètres des courbes. — Propriétés nouvelles des surfaces géométriques.
(65) Soit une surface géométrique. Si on tire des transversales parallèles entre elles, et qu'on prenne le centre des moyennes distances des points où chacune d'elles rencontrera la surface, le lieu géométrique de ces centres sera un plan.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
Cela est une conséquence du théorème que Newton a donné sur les diamètres des courbes géométriques, au commencement de son Énumération des lignes du troisième ordre.
Faisons la figure corrélative; nous aurons une nouvelle surface géométrique: aux transversales correspondront des droites, toutes situées dans un même plan, qui correspondra au point de concours (situé à l'infini) des transversales; d'après ce que nous avons démontré (60) , sur la transformation de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points situés en ligne droite, on aura ce théorème :
Quand on a une surface géométrique et un plan , situé dune manière quelconque dans T espace, si par une droite , prise arbitrairement dans ce plan , on mène les plans langens à cette surface; puis, qu'on tire une transversale quelconque et qu'on prenne sur elle le centre des moyennes harmoniques des points où elle percera tous les plans tangens , par rapport au point où elle percera le plan donné ; le plan mené par ce centre et par la droite prise dans le plan donné, passera par un point fixe , quelle que soit cette droite.
(66) Si la surface primitive est l'ensemble de plusieurs plans, sa transformée se réduira à plusieurs points isolés, et le théorème exprimera la propriété du centre des moyennes harmoniques d'un système de points, déjà démontrée ci-dessus (63).
(67) Si par les points où une des transversales T, dans la première figure , rencontre la surface , on mène les plans tangens à cette surface, et qu'on prenne le centre des moyennes distances des points où toute autre transversale rencontre ces plans tangens , ce centre sera sur le plan P, lieu géométrique des centres relatifs à la surface. Car ce point sera sur un plan fixe P', parce que les plans tangens forment une surface géométrique ; mais quand la transversale sera infiniment voisine de la première T, les points où elle percera la surface se confondront avec les points où elle percera les plans tangens ; les deux plans P, P', auront donc plusieurs points communs , et se confondront.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
Faisant la figure corrélative, on conclut aisément de là , d'après le théorème (66) , ce nouveau théorème :
Quand on a une surface géométrique et un plan fixe situé dune manière quelconque dans F espace, si par une droite , prise arbitrairement dans ce plan, on mène les plans tangens à la surface, le centre des moyennes harmoniques de leurs points de contact avec la surface, relatif au plan fixe, sera toujours le même point de l espace, quelle que soit la droite prise dans ce plan.
(68) Si le plan fixe est à l'infini , on conclut de ce théorème cette autre propriété singulière des surfaces géométriques :
Étant donnée une surface géométrique , si on lui mène ses plans tangens parallèles à un même plan, leurs points do contact avec la surface auront pour centre des moyennes distances un point fixe, quelle que soit la direction commune des plans tangens.
(69) Les propriétés générales des surfaces géométriques, que nous venons de démontrer, ont lieu, bien entendu, pour les courbes planes; et elles s'appliquent aussi aux courbes à double courbure ; car dans les théorèmes connus d'où nous les avons déduites, par notre principe de transformation, la surface proposée pouvait être développable et donner pour transformée une courbe à double courbure (17).
(70) Ces théorèmes, combinés entre eux, et appliqués à des systèmes de cônes et de cylindres circonscrits à une surface géométrique, ou passant par une même courbe à double courbure, conduisent à plusieurs autres théorèmes curieux qui sont une généralisation des propriétés des cônes circonscrits à une surface du second degré, et ayant leurs sommets sur une droite ou sur un plan.
Il ne peut entrer dans l'objet de cet écrit de nous étendre davantage sur ce genre tout nouveau de propriétés générales des surfaces et des courbes géométriques. Nous en avons fait d'ailleurs l'objet d'un mémoire spécial inséré dans la Correspondance mathématique de M. Quetelet. (Voir le second Mémoire sur la transformation parabolique des relations métriques des figures. Correspondance, t. VI.)
IXous donnerons dans la seconde partie de cet écrit quelques autres
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 623
propriétés des courbes et des surfaces géométriques , qui appartiennent à la même théorie.
§ XIV. Propriété du quadrilatère gauche; double génération de Vhyperboloïde à une nappe, par une ligne droite mobile.
(71) Soit un quadrilatère gauche aa'b'b ; on sait que si Ton mène une droite mm' qui divise les côtés opposés ab, a'b', proportionnellement, c'est-à-dire de manière qu'on ait
1° La droite mm' sera dans un plan parallèle aux deux autres côtés aa', bb ;
2° Cette droite rencontrera toute droite, telle que»»', qui s'appuie sur les côtés aa'y bb', et qui est parallèle au même plan que les deux côtés ab, a'b' . {Géométrie de Legcndro, 5e livre.)
Faisons la figure corrélative. Nous aurons un second quadrilatère gauche aa'€S' , dont les plans des angles a, <*', 6, que nous désignons par A , A', B, B', correspondent respectivement aux sommets a, a', b, b' du premier. Aux points m , m' correspondront, dans la nouvelle figure, deux plans M , M' passant respectivement par les deux côtés o£, «'£'; et aux points », n' correspondront deux plans passant respectivement par les deux côtés ax', €S'.
Soient I, I' les deux plans qui correspondent aux points situés à l'infini sur les deux côtés ab , a'b'; ces plans passeront par les deux côtés <£ , a'e' respectivement ; et l'on aura
sin. M, A < sin. I,A ma •in. M,B : sin. I,B = ^'
sin. M',A' sin. I',A' m'a'
sin. M',B' ' sin. l',B' " " m'b'
626 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
On a donc, d'après l'équation (I):
sin. M, A sin. I.A sin. M', A' . «in. I.A' ( ' sin. M,B 1 sin. I,B ~~ sin. M',B' : sin. I.B'
C'est-à-dire que le rapport enharmonique des quatre plans A, B, I, M, est égal au rapport anharmonique des quatre plans A', B', I', M'.
Les droites aa', bb', mm' étant parallèles a un même plan , on peut les considérer comme s'appuyant sur une même droite située à l'infini; les droites qui leur correspondent, dans la nouvelle figure, s'appuieront donc aussi sur une même droite ; et celte droite rencontrera la droite d'intersection des deux plans I, I', puisque celle-ci correspond aussi à une droite située à l'infini, et que toutes les droites à l'infini sont considérées comme étant dans un même plan.
Enfin, la droite nn' étant dans un plan parallèle aux deux côtés ab, a'b', ces trois droites peuvent être considérées comme s'appuyant sur une même droite située à l'infini; à cette droite située à l'infini correspond la droite d'intersection des deux plans I, I'; à la droite nn' correspondra donc une droite quelconque s'appuyant: 1° sur la droite d'intersection des deux plans A , A'; 2° sur la droite d'intersection des deux plans B, B'; et 3° sur la droite d'intersection des deux plans I, I'.
De là on conclut ce théorème :
Étant donnés trois plans A , B , /, passant par une droite et trois autres plans quelconques A', B' , f, passant par une seconde droite; si autour de ces deux droites on fait tourner deux plans M , M't de manière que le rapport anharmonique des quatre plans A, B , I, M, soit égal au rapport anharmonique des quatre autres plans A', B', I', M' , la droite a* intersection des deux plans M , M' s'appuiera, dans toutes ses positions , sur toute transversale qui s'appuierait sur les trois droites d 'intersection des plans A, B, /, parles plans A', B', I\ respectivement.
Cela prouve que la droite d'intersection des deux plans M, M', engendre un hyperboloïde à une nappe ; et comme la transversale sur laquelle cette droite s'appuie dans toutes ses positions est indéter-
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
minée, on en conclut aussi la double génération de cette surface par une ligne droite.
Ce théorème correspond à celui que nous avons appelé, dans la géométrie plane , propriété anharmonique des points d'une conique (voir la Note XV). Il nous sera très-utile dans la théorie des surfaces du second degré.
(72) Remarquons que l'équation (2) donne
m. M, A m sin. M', A' sin. I,A # sin. I',A'
sin. M,B * tin. M',B' = sin. I,B " sin. I',B' ~ COn"t"
" * est égal au rapport des distances d'un point du plan M. aux deux plans A, B. Prenons ce point sur la droite d'intersection des deux plans M, M'. Le rapport des distances du même point aux deux plans A', B', est égala g^py Ce rapport est donc au premier dans une raison constante ; donc
Si F on demande un point dont le rapport des distances à deux plans donnés soit au rapport de ses distances à deux autres plans , dans une raison constante, le lieu géométrique de ce point sera un hyperboloïde à une nappe.
Cela est encore un exemple assez remarquable qui montre la possibilité de tirer par nos méthodes de transformation, d'un simple théorème de géométrie élémentaire, des propriétés générales des surfaces du second degré.
S XV. Transformation des propriétés générales des surfaces géométriques rapportées à trois axes coordonnés.
(73) Soient une surface géométrique du degré m, et trois axes coordonnés ox ,oy, os; que par chaque point de la surface on mène trois plans parallèles, respectivement, aux trois plans coordonnés; les segmens ox', oy' } os' , que ces plans formeront sur ces axes, auront entre eux une relation constante du degré m, quel que soit le point
MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE
de la surface; cette relation, que nous représentons par
est l'équation de la surface.
Formons la figure corrélative ; nous aurons une surface géométrique a laquelle on pourra mener, par une droite quelconque , m plans tangens (réels ou imaginaires); et trois droites situées dans un même plan 0 : les trois sommets A, B, C du triangle formé par ces trois droites correspondront aux plans coordonnés ys, sx et xy; de sorte que les trois droites BC, CA, AB, correspondront respectivement aux trois axes ox , oy, os. Aux trois plans menés par un point de la première surface, parallèlement aux trois plans coordonnés, correspondront les trois points «', où un plan tangent à la nouvelle surface rencontrera les trois droites fixes menées des trois sommets du triangle au point », qui correspond à l'infini de la première figure. Aux trois points x', y', s', correspondront les trois plans menés par les trois côtés du triangle et par les trois points où le plan tangent rencontre les trois droites issues du point t; soient X', Y', V ces trois plans.
Prenons sur les axes ox , oy, os, trois points fixes d, e, f; et soient D, E, F, les trois plans correspondans, lesquels passent par les trois côtés du triangle ABC ; les trois plans «BC , i'AC, t'AB, correspondront aux trois points situés à l'infini sur les trois axes ox, oy, os; on aura donc
sin. Q,X' m sin. tBCX od ~ sin. 0,D : $in. iBC,D '
«in. 0,V sin. i"CA,Y' sin. 0,E *" sin. iCA,E '
sin. O.Z' sin. iAR.Z sin. O.F " sin. t'AB,F
Soient 6, t, 9, les points où les trois plans D, E, F, rencontrent respectivement les trois axes iA, t'B, iC; le second membre de la pre-
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
mière de ces trois équations sera égal à
