AT

on aura donc

orf ~~ Â7 : £ '

d'où

■* - (w : od-

On a semblablement

Mettant à la place de ox' , oy' , os', ces valeurs dans l'équation (1 ) de la surface proposée , on aura une équation où les trois rapports

A£ n/ cr

•r ' iv ' »r '

qui déterminent la position de chaque plan tangent à la nouvelle surface , entreront au degré m. Cette équation ne contiendra pas d'autres variables que ces trois rapports; car ù, od, etc., sont des constantes. On peut comprendre ces constantes dans les coefficiens de l'équation; on a donc cette propriété générale des surfaces géométriques : Quand on a une surface géométrique , et un tétraèdre situé d'une manière quelconque dans l'espace, chaque plan tangent à la surface fera deux segmens sur chacune des trois arêtes aboutissant au sommet du tétraèdre; si on forme les rapports des trois segmens situés du côté de la base aux trois autres respectivement, ces trois rapports auront entre eux une relation constante d'un degré égal au nombre des plans langens qu'on pourra mener à la surface par une même droite.

To«. XI. 80

Et, réciproquement :

Si, ayant un tétraèdre, on mène un plan de manière que , si on forme le rapport des segmens quil fera sur chaque arête aboutissant au sommet du tétraèdre (le segment situé du côté de la base du tétraèdre étant pris pour numérateur dans ce rapport), les trois rapports ainsi faits aient entre eux une relation constante du degré m, le plan enveloppera une surface à laquelle on pourra mener m plans tangens par une même droite.

(74) Ainsi, si la relation est du premier degré, le plan tournera autour d'un point fixe ;

Si la relation est du second degré, le plan enveloppera une surface du second degré. D'où Ton peut conclure différentes propriétés des surfaces du second degré.

(75) Nous avons trouvé

od;

si le point i est à l'infini, on aura seulement

et pareillement

Mettant ces valeurs dans l'équation (1), et comprenant les constantes

od oe oJ

Â7' B*' Cj'

dans les coefficiens de l'équation, on aura une équation

f (Ar, b/, cr) = p,

qui sera du degré m par rapport aux variables Àf, Bv', C$'. Donc : Si Fon a une surface géométrique, et que par trois points fixes

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

on mène trots axes parallèles entre eus ; chaque plan tangent à la surface coupera ces axes en trois points dont les distances aux trois points fixes respectivement auront entre elles une relation constante oTun degré égal au nombre des plans tangens qu'on peut mener à la surface par une même droite; Et réciproquement.

(76) Ainsi : Si Von a dans Vespace trois droites parallèles entre elles, sur lesquelles sont pris trois points fixes, et qu'on porte surces droites, à partir de ces trois points fixes, trois segmens qui aient entre eux une relation constante du premier degré, le plan déterminé par les extrémités de ces segmens passera, dans toutes ses positions , par un point fixe.

(77) Reprenons l'expression de ox' ,

ut' = f : -^7- Y od.

Supposons les trois points A, 13, C, à l'infini; il viendra

ox' =.!.. iJ. od;

et pareillement

ou' — — . il. oe,

0* =^-. ■>. of.

Mettant ces valeurs dans l'équation (1), et faisant entrer les constantes dans les coefficiens, on aura une équation

F(îF' ^'^) = 0

où les variables

ir ' v 1 »r

entreront au degré m.

Donc

Quand on a une surface géométrique , si par un point on tire

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

trois axes fixes quelconques, chaque plan tangent à la surface les rencontrera en trois points dont les distances au point fixe auront entre leurs valeurs inverses une relation constante dun degré égal au nombre de plans tangens qu'on pourra mener à la surface par une même droite ; Et réciproquement.

(78) Ainsi : si ton prend sur les arêtes ef un angle trièdre trois points dont les distances au sommet de l'angle aient entre leurs valeurs inverses une relation constante du premier degré, le plan déterminé par ces trois points passera, dans toutes ses positions, par un point fixe.

(79) Concevons le tétraèdre i'ABC, et le plan qui coupe ses trois arêtes «A, t'B, iC, aux points v', ç'; soient p, p', p", p'", les distances de ce plan aux quatre sommets i, A , B , C ; on aura

/ Ar r b/ r «r

7 ~~W' T~^' T ~~ tf7' on aura donc, d'après le théorème (73), une relation

où les trois rapports entreront au degré m; si donc on multiplie tous les termes par pm , on aura une équation homogène du degré m entre les quatre distances p, p' , p" , p'".

Donc

Dans toute surface géométrique , les distances de chacun de ses plans tangens à quatre points fixes , pris arbitrairement dans t espace, ont toujours entre elles une relation homogène d'un degré égal au nombre des plans tangens {réels ou imaginaires) qu'on peut mener à la surface par une même droite.

Et , réciproquement :

Quand les distances <fun plan mobile, à quatre points fixes, ont entre elles une relation homogène du degré m, ce plan enveloppe

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

une surface courbe, à laquelle on peut mener, par une même droite quelconque, m plans tangens {réels ou imaginaires)

(80) Ainsi, si l'on demande un plan, tel que ses distances à quatre points fixes, multipliées respectivement par des constantes, aient leur somme égale à zéro, une infinité de plans satisferont à la question , et tous ces plans passeront par un même point. Et en effet on sait que ce point serait le centre de gravité des quatre points fixes, s'ils avaient des masses proportionnelles aux constantes qui multiplient les distances du plan mobile à ces points.

$ XVI. Nouvelle méthode de géométrie analytique.

(81) Les théorèmes précédens offrent une manière de déterminer, par une équation entre trois variables, tous les plans tangens à une surface courbe , analogue à celle par laquelle on détermine en géométrie analytique, par une équation entre trois variables, tous les points d'une surface.

On prendra arbitrairement dans l'espace un tétraèdre /ABC. Un plan rencontrera les trois arêtes t'A , t'B, «C,en trois points £, y, ç, qu'il suffira de connaître pour que le plan soit déterminé. On déterminera ces points eux-mêmes par les rapports

AÇ Bv CK

17' ÏT'

qu'on pourra appeler les coordonnées du plan, et que nous repré-

' Ce théorème t'applique à un nombre quelconque de points Gxes ; c'est-à-dire que : Étant donné» plutieur» point» fixe» dan» l'espace , ti on mène un plan de manière que »e» distance» à ces point» aient entre elle» une relation homogène constante du degré m, ce plan oirt" toppera, dans toutes te» positions, une turface géométrique à laquelle on pourra mener m plan» tangent par une même droite.

Ce théorème se conclut , par le principe de dualité , de cette autre proposition , dont la démonstration résulte des premiers principes de la géométrie analytique, savoir: Le lieu d'un point dont let dittance* à plutieur* plant fixe» ont entre elles une relation conttante du degré m, est une turface géométrique qu'une droite quelconque rencontre en m point» (réel» ou imaginaire»).

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

senterons par x, y , s. Chaque système de valeurs de ces trois coordonnées donnera un plan. Donc une équation entre ces trois coordonnées représentera une infinité de plans , tous assujettis à une certaine loi exprimée par cette équation, et qui, par conséquent, envelopperont une certaine surface.

Il résulte du théorème (73) qu'une équation F [x , y , s) = o, où. les variables s, y, s, n'entrent qu'au premier degré, représente un point; c'est-à-dire que tous les plans déterminés par cette équation passeront par un même point; qu'une équation du second degré représente une surface du second degré; et en général qu'une équation du degré m représente une surface à laquelle on peut mener m plans tangens par une même droite.

(82) Deux équations qui devront avoir lieu en même temps, détermineront les plans tangens communs aux deux surfaces que ces équations individuellement représentent ; ces deux équations représenteront donc la surface développable circonscrite à ces deux surfaces.

Pareillement trois équations donneront les plans tangens communs aux trois surfaces représentées par ces équations.

Il suit de là que , quand trois surfaces seront inscrites dans la même développable, les équations de deux d'entre elles devront rendre identique l'équation de la troisième.

Ainsi, si l'on a deux surfaces du second degré représentées par les équations F = o, f = o, toute autre surface du second degré, inscrite dans la développable circonscrite aux deux premières , aura son équation de la forme F -f- A. /* = o, X étant une constante.

(83) Chaque plan tangent à une surface la touche en un point qu'on déterminera par une formule semblable à l'équation du plan tangent à une surface dans le système de coordonnées en usage.

Ainsi soient F (x, y, s) = o l'équation de la surface, et x' , y', s' , les coordonnées de son plan tangent; l'équation du point de contact sera

dF d¥ d¥

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

(84) Si l'on veut avoir l'intersection de la surface par un plan, on indiquera que le point dont nous venons de donner l'équation doit être sur ce plan. Soient a, 6, y, les coordonnées de ce plan; on aura l'équation de condition

Cette équation représente une surface dont les coordonnées courantes sont x' , y', s'. Cette surface est telle que les plans tangens à la surface proposée, en ses points d'intersection par le plan (a, 6, y), lui sont aussi tangens. Donc cette équation et celle F {x' , y' , s') = o de la surface proposée, représentent une développable circonscrite à celle-ci suivant sa courbe d'intersection par le plan dont les coordonnées sont «, S, y. Ainsi cette courbe d'intersection est déterminée.

(85) Nous ne pousserons pas plus loin ces analogies, qui suffisent pour faire voir le mécanisme de ce nouveau système, et à quel genre de questions il conviendra particulièrement. Mais on conçoit que, pour l'employer avec avantage, il est nécessaire de le présenter directement et d'une manière élémentaire, pour connaître la signification des coefficiens de certaines équations qui se représenteront toujours, telles que celles du point et de la ligne droite. La méthode par laquelle nous venons d'exposer les propriétés principales de ce système ne suffit pas pour donner les expressions géométriques de ces coefficiens, parce qu'ils renferment les segmcns, od, oe, of, (73), qui appartiennent à l'ancien système. Nous reviendrons donc sur cette nouvelle "méthode de géométrie analytique, pour l'exposer directement, et avec les développemens nécessaires.

(86) On remarquera que quand les trois axes t'A, t'B, t'C, sur lesquels sont comptées les trois coordonnées de chaque plan, sont parallèles entre eux, ces trois coordonnées deviennent précisément les segmens A|, Bv, C|, d'après le théorème (75). Le système alors se simplifie beaucoup, et a une plus grande analogie avec le système de coordonnées de Descartes.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Au contraire, quand les trois axes t'A, t'B, iC, passent par un même point, et que le plan ABC est à l'infini, les trois coordonnées de chaque plan sont, d'après le théorème (77) , les valeurs inverses des distances du point t aux points où le plan rencontre les trois axes l'A, t'B, t'C.

§ XVII. Suite du précédent. — Applications du nouveau système

de géométrie analytique.

(87) Première application. Considérons le système de coordonnées le plus général, celui où l'on a un tétraèdre i'ABC, et où les coordonnées de chaque plan sont les rapports

A? Bv et

On démontrera aisément, en faisant les mêmes raisonnemens que pour la démonstration du théorème I (§ II), le suivant, qui d'ailleurs est le corrélatif du théorème (9) :

Quand, dans l'équation d'un point mobile , les coefficiens des coordonnées courantes sont trois variables liées entre elles par une relation du premier degré, le point engendre un plan;

Si les coefficiens ont entre eux une relation du second degré, le point engendre une surface du second degré ;

Et, en général, si les trois coefficiens ont entre eus une relation du degré m, le point engendre une surface qui est rencontrée en m points par une transversale quelconque.

(88) Ce théorème conduit à une propriété géométrique du centre de gravité de quatre points matériels.

En effet, soient x' , y', z' , les trois coefficiens des variables, dans l'équation d'un point; cette équation sera

x, y, s, sont les coordonnées qui déterminent chaque plau qui passe

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

par ce point. Nous avons vu (79) qu'on peut les remplacer par les distances p, p' , p" , />"', de ce plan aux trois sommets s, A, B, C, du tétraèdre; on aura donc

•V + yV + -4- K; m* o.

Nous avons vu aussi (80) que le point que représente cette équation est le centre de gravité des quatre points i, A, B, C, si on leur suppose des masses proportionnelles aux quantités K , x' , y' , et z' . On conclut donc du théorème précédent celui-ci :

Si F on a quatre points fixes matériels, et qu'on prenne leur centre de gravité $ et que , la masse de l'un deux restant constante, celles des trois autres points varient en conservant entre elles une relation constante du degré m, le centre do gravité des quatre points engendrera une sur/ace du degré m.

On pourrait faire varier les masses des quatre points; mais alors il faudrait qu'elles eussent entre elles une relation homogène ; le centre de gravité de ces quatre points engendrerait une surface d'un degré égal à celui de cette relation.

(89) Deuxième application. Pour faire une seconde application du nouveau système de coordonnées à une question qui offrirait des difficultés, si on voulait faire usage du système ordinaire, proposonsnous de démontrer cette propriété générale des surfaces géométriques :

Étant donnés une surface géométrique , deux plans fixes et un axe parallèle à î intersection de ces deux plans, si on mène un plan transversal quelconque, et que par les deux droites suivant lesquelles il coupera les deux plans fixes on mène les deux faisceaux de plans tangens à la surface, les produits des segmens compris sur rase fixe , entre le plan transversal et les deux faisceaux de plans tangens, seront entre eux dans un rapport constant, quel que soit le plan transversal.

Prenons un système de trois axes coordonnés Ax, By, Ca, parallèles entre eux. Que le plan des deux axes Ax, By, et celui des deux axes Aw , Cs , soient les deux plans donnés.

Tom. XI. 81

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Soit F (x, y,z)=*o l'équation de la surface. Soient x' , y', s', les coordonnées d'un plan transversal; les plans tangens menés à la surface, par la droite d'intersection de ce plan transversal et du plan des deux axes \ i . Tî y . couperont l'axe A - en des points dont les distances s au point C seront données par l'équation

On peut mettre cette équation sous la forme

ai, . - rfF. rf'F (,-«')' rf-F («-«')■

r^.«)+3r(— )*^-ÏT- + -ssnzsr =0'

m étant le degré de l'équation de la surface.

Les racines (z — s') de cette équation sont les segmens compris sur l'axe des s, entre le plan transversal et les plans tangens; leur produit est égal à

Mais la transversale donnée est parallèle à l'axe Cs, donc les segmens interceptés sur elle, entre le plan transversal et les plans tangens, sont proportionnels aux segmens interceptés entre les mômes plans sur l'axe Cs. Ainsi le produit des segmens faits sur la transversale est égal à

K.1.2....»i. FQr',y «') t*»F ' dz-

K étant une constante qui ne dépend que de la distance de la transversale donnée au plan des deux axes Ax, By.

Pareillement, si par la droite d'intersection du plan transversal et du plan des deux axes Ax, Cs, on mène les plans tangens à la surface, le produit des segmens compris sur la transversale, entre le

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

plan transversal et les plans tangcns, sera égal à

KM.2....W. F (*', y', s') d-F '

K/ étant une seconde constante qui ne dépend que de la distance de la transversale au plan des deux axes kse , Cs.

Le rapport des deux produits des segmens faits sur la transversale, suivant l'énoncé du théorème, est donc égal à

Ce rapport est constant, parce que l'équation de la surface étant du degré m, les deux expressions

d»F d"F dy'-' dz'">

sont des nombres : le théorème est donc démontré.

(90) Notre système de coordonnées peut procurer aussi une démonstration directe des propriétés générales des surfaces géométriques, que nous avons déduites (§ XIII), par le principe de dualité, du théorème de Newton sur les diamètres des courbes. Nous avons donné cette démonstration directe dans la Corresp. math, de M. Quetelet, t. VI, p. 81. Je ne pense pas que le système de coordonnées en usage puisse conduire à une démonstration de ces propriétés, d'un nouveau genre, des surfaces géométriques.

§ XVHI. Construction analytique des figures corrélatives.

(91) Dans les applications que nous venons de faire du principe de dualité, pour démontrer des propriétés générales de l'étendue, nous avons fait usage de ce principe seul, pris dans toute sa généralité, sans avoir besoin de construire les figures corrélatives, et sans avoir égard aux différentes variétés de formes qu'elles pourraient présenter, suivant le mode de construction qu'on emploierait.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Mais on peut demander de construire la figure corrélative d'une figure donnée. Cela se fera très-aisément de deux manières générales, analyliquement et géométriquement.

D'abord par l'analyse. On prend l'équation générale d'un plan, rapportée à trois axes coordonnés quelconques, et renfermant, au premier degré, les coordonnées x' , y' , z' , d'un point; cette équation sera de la forme

(1) Xr' •+• Y y' + Z*' = U,

X, Y, Z et U, étant des fonctions linéaires des coordonnées courantes x, y y z.

Si on veut déterminer un plan de la figure corrélative, correspondant à un point de la figure proposée, on mettra les coordonnées de ce point dans l'équation (1) à la place de x' , y' , z' ; et cette équation deviendra celle du plan cherché.

Si on veut déterminer un point de la figure corrélative, correspondant à un plan de la figure proposée, on prendra l'équation de ce plan; je la suppose

(2) Lm + My + Me — 1 j

et les coordonnées du point cherché seront données, ainsi que nous l'avons démontré (1), par les trois équations

(3) X = LU, Y = Ml\ Z = NU,

où ces coordonnées n'entrent qu'au premier degré.

(92) Si, réciproquement, on veut déterminer, dans la première figure, le plan auquel correspondra tel point désigné de la seconde figure, on fera usage des mêmes équations (3), où l'on remplacera les coordonnées x, y , z, qui entrent dans les polynômes X, Y, Z, et U, par les coordonnées x" , y", z" du point donné de la seconde figure; et ces équations donneront les valeurs des paramètres L, M, N, du plan cherché.

Désignons par X", Y", Z", U", ce que deviennent les polynômes

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

X, Y, Z, U, par la substitution dont nous venons de parler; on aura

vf v" 7"

I — Met N—

et l'équation du plan de la première figure, auquel correspond le point (x" , y" , 3",) de la seconde figure, sera

(93) Remarquons que si le point x", y", s", était considéré comme appartenant à la première figure, le plan qui lui correspondrait dans la seconde, aurait pour équation

X*'* + Yy" + Z*" = U.

Cette équation difiere, en général, de la précédente; ce qui fait voir que :

Dans deux figures corrélatives , à un même point de l 'espace, considéré successivement comme appartenant à la première figure, puis à la seconde, correspondent deux plans différens.

Dans quelques modes de construction des figures corrélatives, tel que celui des polaires réciproques , ces deux plans se confondent toujours. Mais c'est là un caractère particulier de ces figures, étranger en quelque sorte au principe de dualité, et dont en effet nous n'avons point eu besoin de faire usage dans nos applications de ce principe.

Nous donnerons dans un des paragraphes suivans la théorie générale des figures corrélatives qui jouissent de cette propriété particulière.

(94) Nous avons dit comment on déterminera, au moyen des trois équations linéaires (3), les coordonnées du point qui correspond, dans une figure corrélative, à un plan de la figure donnée. Comme ce calcul, sans offrir de difficulté, est un peu long, nous allons en donner le résultat.

Conservons à X, Y, Z et U, les expressions générales que nous leur avons données (8); et désignons par le symbole (ab'c") le polynôme

a (6V — b"c') h- a' (b"c — 6c") + a" (bc' — b'c);

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

par le symbole (a'b"c"') ce que devient ce polynôme quand on y change a en a', b' en b" , et c" en c'" ; par (d'a"b"') ce que devient ce premier polynôme, quand on y change a en d' , b' en a", et c" en b'" ; et ainsi de suite.

Les expressions des coordonnées x, y, z, du point qui correspond au plan donné, seront

(db'c") — (d'b"c"')\. -f- (H"b"'c) M — (d"'be') N

* ~ (ab'c") — (oW) L -+- (a"b"'c) M - (a'"fcc) N '

(da'c") - (d'a"c'") L + (d"a"'c) M — (£Wj N y ~ (aA'c") — (a'4'V") L («"fc"'c) M — (a"'fcc' ) N '

(da'b") — (rf'a"&'") L -i- (d"a"b) M - (<f "ot"1 N

* ~ (ab c") - (a'b' c'") L {a"b"'c) M - (a"'6c' ) N '

Au moyen de ces formules, on connaîtra tous les points de la figure corrélative, correspondans à des plans déterminés de la figure proposée.

Ainsi la construction des points et des plans de la figure corréla tive la plus générale d'une figure proposée sera extrêmement facile.

(95) Si cette figure proposée est une surface courbe exprimée par son équation, nous avons vu (art. 3) comment, par une simple élimination , on trouvera l'équation de la surface corrélative.

Et si l'on veut déterminer cette surface par points, on observera que chacun de ses points est le pôle, ou point correspondant , d'un plan tangent à la surface proposée (théorème II). Les coordonnées de ce point seront donc données par les formules précédentes, où L, M, N, seront les cocfficiens de l'équation du plan tangent en un point de la surface proposée.

Ainsi soit

l'équation de cette surface; et

l'équation de son plan tangent au point {x' , y' , z') ; p' et q' étant les coefficiens différentiels % , ^ où l'on a remplacé les coordonnées x ,

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

y, s, par a?', y', s'. On a

L— /»v + tfy M = />v -4-?y N ^ + 9y - ? " Substituant ces valeurs dans les formules précédentes, on obtient

(rf&'c") (pV + g'y'-*') — (<f&V") / + (d"b"'c) g' -4- (<f "bc') * ~ (ab'c") {p'x' ■+- g'y'-*') — (a'i'V") p' +- (a"b'"c) ?' + (a'"^') '

{da'c") (pV -t- ?y— g') — (d'aV") -4- (d"a"'c) g' -4- («TW) y ~~ (ai'c") (j»V -4- 9y— *') — (a'b"c"')p' •+• (a"b"'c)q' -+- (a"bc) '

(<fa'A") (PV -4- g'y'— s') — (rfV'fc'") p -f- (d"a"'b) g' -4- (tf'afc") 5 ~~ (ab'c") (p'x' ■+■ çy-«') — (o'i'V") p' h- (a"A"'cJ g' -+- (a*"Ac* ) '

Telles sont les coordonnées d'un point de la surface corrélative d'une surface proposée, en fonction des coordonnées d'un point de celleci. Les deux points se correspondent; mais comme jusqu'ici le mot correspondant nous a servi pour désigner la relation entre deux parties corrélatives dans une figure et sa transformée , telles que un point et un plan, nous dirons que ces deux points des deux surfaces sont réciproques.

On reconnaît les points réciproques dont Monge avait donné une expression particulière dans le titre d'un mémoire qui , je crois, n'a pas été publié. (Voy. la note XXX.)

§ XIX. Construction géométrique des figures corrélatives.

(96) Soient a , b , c , d , e , cinq points quelconques delà figure proposée; on pourra prendre arbitrairement dans l'espace cinq plans A, B, C, D, E, comme devant correspondre respectivement à ces ciuq points, dans la figure corrélative qu'il s'agit de construire. ($11, théorème V).

Il nous faut déterminer dans cette figure :

1° Le plan qui correspondra à un sixième point quelconque de la figure proposée;

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Et 2° le point qui correspondra à un plan quelconque de cette figure proposée.

Pour cela, considérons le tétraèdre abed. Par le point e menons trois plans passant respectivement par les trois arêtes ab , bc, ca\ et par un sixième point m menons trois autres plans passant aussi par les trois arêtes ab , ac, bc.

Soit M le sixième plan de la figure corrélative, qui correspond au point m; c'est le plan que nous voulons déterminer. Aux quatre plans qui, dans la première figure, passent par l'arête ab, et qui sont cab, dab , eab, mab, correspondent, dans la seconde figure, les quatre points CAB, DAB, EAB, MAB1. Le rapport enharmonique des quatre plans est égal au rapport enharmonique des quatre points. (Théorème IV.) Cette égalité fera connaître le point MAB, c'est-à-dire le point où le plan cherché coupe la droite d'intersection des deux plans donnés A, B. Une égalité semblable fera connaître le point où le même plan cherché rencontrera la droite d'intersection des deux plans donnés A, C; et enfin une troisième égalité semblable fera connaître le point où ce plan rencontre la droite d'intersection des deux plans B, C. Ainsi le plan cherché est déterminé par trois de ses points. C'est la première question que nous avions à résoudre.

Maintenant, pour trouver le point n qui correspond à un plan N de la première figure, on prendra le point où ce plan N rencontre l'arête da du premier tétraèdre ; à ce point correspondra, dans le second tétraèdre , le plan mené par l'arête DA et par le point cherché. On aura ainsi sur l'arête da quatre points qui seront 1° a, 2° d, 3° le point où le plan ebc rencontre l'arête da , et 4° le point où le plan N rencontre cette arête; et l'on aura quatre plans correspondans, passant par l'arête DA, lesquels seront 1° A, 2° D, 3° le plan mené par le point où le plan E rencontre l'arête BC, et 4° le plan mené par le point cherché. Le rapport anharmonique de ces quatre plans

1 Nous désignons un point par les trois lettres qui représentent trois plans passant par ce

point.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

sera égal à celui des quatre points; cette égalité fera connaître le quatrième plan, celui qui passe par le point cherché.

Deux autres égalités semblables feront connaître deux autres plans menés par les deux arêtes DB, DC, respectivement, et passant par le point cherché. Ainsi ce point sera donné par l'intersection de trois plans qu'on déterminera facilement.

Le problème de la construction géométrique des figures corrélatives est donc résolu complètement.

(97) Dans la pratique, on exprimera le rapport anharmonique de quatre plans par celui des quatre points où ces plans rencontrent une transversale ; et on prendra pour cette transversale l'arête du tétraèdre opposée à celle par laquelle passent les quatre plans.

On réduira, de cette manière, la construction des figures corrélatives à des formules très-simples et d'une grande généralité.

Les quatre plans A, B, C, D, de la seconde figure, forment un tétraèdre dont les quatre faces correspondent respectivement aux quatre sommets du tétraèdre abcd de la première figure. Désignons par a', b', c', d', les quatre sommets opposés à ces faces respectivement.

Soient s, « les points où les deux plans ebc , mbc rencontrent l'arête ad; et soient / , «' les points où les deux plans E , M rencontrent l'arête a'd' du second tétraèdre.

Le rapport anharmonique des quatre plans abc, dbc , ebc, mbc sera le même que celui des quatre points, a, d,i, «; mais il est égal, comme nous l'avons dit ci-dessus (96), à celui des quatre points d' , a', e', «', qui correspondent aux quatre plans, dans la seconde figure; on aura donc

d'où

ad : 72 ™ x'a' '' iV 5

Le rapport est une quantité constante, quel que soit le

646 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

point m , puisqu'il ne dépend que de la position du point donné e et du plan pris arbitrairement E, qui lui correspond. Ainsi l'on a

aa a'd ad ci a

> étant une quantité constante.

Pareillement 6 étant le point où le plan mac rencontre l'arête bd du premier tétraèdre ; et & le point où le plan M rencontre l'arête b'd' du second tétraèdre, on aura

Cb Cd

(t étant une constante.

Et enfin, appelant y le point où le plan mab rencontre l'arête cet; et / le poiut où le plan M rencontre l'arête c'd' du second tétraèdre, on aura

, , yc y'd

(Œ) rd = "W>

v étant une troisième constante.

(98) Ces trois équations donnent immédiatement la construction des points et des plans de la figure corrélative d'une figure proposée.

Car les points «',6', /, déterminés par ces équations, appartiennent respectivement à trois plans passant par les arêtes b'c', c'a', a'b' du second tétraèdre, et correspondans aux trois points a, S, y; et réciproquement les trois points a, 6, y appartiennent à trois plans, passant par les trois arêtes bc, ca, ab du premier tétraèdre, et correspondans aux points a',6', /.

D'après cela , veut-on construire le plan de la seconde figure qui correspond à un point m de la première ? Par ce point m on mènera les trois plans mbc , mca t mab qui rencontreront les arêtes ad, bd} cd en trois points; on regardera, dans les formules ci-dessus, «, 6, y, comme étant ces trois points; et alors «', 6', / seront les poiuts où

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 647

le plan cherché rencontre les trois arêtes a'd' , b'd' , c'd' du second tétraèdre.

Veut-on construire le point de la seconde figure, correspondant à un plan de la première? On regardera, dans les formules, a, 6, y, comme étant les points où le plan donné rencontre les trois arêtes ad, hd, cd du premier tétraèdre ; et alors a , S' , ■/ seront les points où les trois plans menés par le point cherché et les trois arêtes b'c', c'a' , a'b' du second tétraèdre rencontreront les arêtes opposées a'd' , b'd , c'd' ; ce point sera donc déterminé '.

§ XX. Suite du précédent. — Discussion des formules pour ta construction géométrique des figures corrélatives. Divers théorème de géométrie qui s'en déduisent. Généralisation d'un porisme d'Euclide.

(99) Les formules (a) conduisent naturellement à divers corollaires, dont plusieurs offrent des propositions de géométrie, nouvelles et très-générales.

B'abord ces formules expriment le théorème suivant :

Étant donnés deux tétraèdres quelconques abcd, a'b'c'd', si par chaque point d'une figure donnée on mène trois plans passant respectivement par les trois arêtes bc, ca, ab du premier tétraèdre, et rencontrant ses arêtes opposées aux points

Puis, qu'on prenne sur les arêtes d'à', d'b', d'e' du second tétraèdre, trois points S' , y' de manière qu'on ait toujours

aa ad' Cb C'd' yc y'tt

Td-'VÏ' X , [i et v étant trois coefficiens constans.

' Nous regrettons d'avoir clé obligé de réserver exclusivement le mot correspondant jwur

6 48 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Le plan déterminé par les trois point 6', y' enveloppera uno seconde figure qui sera corrélative de la première.

De sorte qu'aux points de la première figure qui seront situés dans un même plan, correspondront, dans la seconde figure, des plans passant tous par un même point.

(100) Maintenant, remarquons que si du point m on abaisse des perpendiculaires sur les plans abc et dbc, leur rapport sera égal à celui des perpendiculaires abaissées du point « sur les mêmes plans, lequel est égal à

ax. sin. (da,abc) ai

— — : — ou — X const.

ax. sin. (da,dbc) dx

Dans le tétraèdre a'b'c'cT, le rapport des perpendiculaires abaissées des deux sommets d , a', sur le plan «'£'/, est égal à ^A; donc, puisque est proportionnel à ^, d'après les équations ci-dessus, nous pouvons dire, que le rapport des distances du point m aux deux faces abc y dbc est proportionnel au rapport des distances du plan M aux deux sommets a* , a' du second tétraèdre. D'où il suit que :

Dans deux figures corrélatives , le rapport des distances d'un point quelconque de la première figure à deux plans fixes de cette figure , est au rapport des distances du plan qui correspond à ce point , dans la seconde figure, aux deux points qui correspondent aux deux plans de la première, dans une raison constante , quel que soit le point pris dans la première figure.

(101) De là on conclut le théorème suivant, qui n'est autre que le théorème (99) présenté sous un autre énoncé :

Étant donnée une figure dans l'espace, et étant pris deux tétraèdres quelconques , dont A, B, C, D sont les faces du premier, et a, b, c, d les sommets du second;

Si de chaque point m de la figure proposée on abaisse des per-

désigner, dans la figure corrélative, le plan ou le point qui correspondent à un point ou à un plan de la figure proposée. Si nous avions eu une autre expression , nous aurions appelé corrtëpondam le» points tels que * et «' , cl nous aurions pu ainsi abréger le discours dans ce qui précède.

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MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

pendiculaires sur les quatre faces du premier tétraèdre, et qu'on •prenne les rapports de la première perpendiculaire aux trois autres;

Et que Von mène un plan transversal M , de manière quêtant prises ses distance/: aux quatre sommets a, b, c, d du second tétraèdre , les rapports de la première distance aux trois autres soient dans des raisons constantes avec les trois premiers rapports , respectivement , ce plan M, qui correspondra ainsi, dans toutes ses positions, aux points m de la figure proposée , formera une seconde figure corrélative de celte proposée.

(102) La propriété caractéristique des figures corrélatives consiste en ce que, aux points de l'une, qui sont situés dans un même plan, correspondent, dans l'autre, des plans passant tous par un même point. D'après cela, on conclut du théorème (99) cette proposition de géométrie.

Étant donnés un tétraèdre SABC, et un plan , situés d'une manière quelconque dans l'espace ,*

Si, par chaque point de ce plan, on mène trois plans, passant respectivement par les trois arêtes à la base ABC du tétraèdre, et rencontrant respectivement les trois arêtes opposées SA, SB, SC, en trois points a, 6, y; et qu'on forme les rapports des segmens que ces points font sur ces arêtes, lesquels rapports sont

a S CS yS 2T CB' "yC;

Puis, que Ton prenne arbitrairement un second tétraèdre S' A' B' C , et que ton divise ses arêtes au sommet , par trois points «',€',/, de manière que les trois rapports

s'A' CW r'C «'S' ' CS' ' y 'S' '

soient aux trois premiers, respectivement , dans des raisons constantes et quelconques ;

Le plan déterminé par ces trois points 6\ /, qui correspondra

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

dans toutes ses positions aux différens points du plan donné, passera toujours par un même point fixe.

(103) Ce théorème, qui résulte ici comme corollaire de notre théorie analytique des figures corrélatives, en renferme néanmoins toute la doctrine. Et si ce simple théorème de géométrie était démontré à priori, et directement , nous en conclurions toute la théorie de ces figures, comprenant leurs relations descriptives et leurs relations de grandeur.

C'est ce théorème dont nous avons voulu parler dans la partie historique de cet ouvrage (5e Époque, § XXXIV), en disant que la théorie générale des transformations analogues à celles que présente la théorie des polaires réciproques, et d'où résulte le principe de dualité, dérivait d'un seul théorème de géométrie. IXous donnerons dans un autre écrit la démonstration géométrique et directe de ce théorème, et nous ferons voir comment tout ce qui se rapporte à cette doctrine de transformation peut en dériver. De sorte que le calcul algébrique dont nous avons fait usage pour exposer cette théorie, ne sera nullement nécessaire ; et les ressources de la pure géométrie lui suffiront, comme cela doit être , puisque cette théorie est elle-même une simple question de géométrie.

(104) Reprenons les trois équations (a), sur lesquelles est fondée la construction des figures corrélatives ; et supposons que la face abc du premier tétraèdre soit située à l'infini ; les segmens «a, €b,yc seront infinis, et dans l'équation

an ro a'(f e'd' ad id x'a' ' t'a

qui a donné lieu aux trois (a) , le rapport ^ deviendra égal à l'unité ; cette équation se réduira donc à

xd ~ «V : t'a'

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MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Ainsi les trois équations (a) deviennent

On pourra faire usage de ces formules pour certaines transformations de figures dont les propriétés seraient exprimées en fonction des projections de leurs points sur trois axes fixes.

(105) Maintenant supposons que le sommet d du second tétraèdre, lequel peut être pris arbitrairement dans l'espace, soit situé à l'infini. L'équation

td x'd- t t d- ~*d 77 : 77

s'écrira

xd = a x . . ;

xd t'a' '

et, à cause que le rapport ^ est égal à l'unité, on aura

4^- est une constante ; on a donc enfin

Et pareillement

LCd^tt.C'b'.

\ yd = V . r'c'.

Ainsi ce sont là les trois équations qui serviront aux transformations , quand on voudra que le point qui correspondra, dans la seconde figure, à l'infini de la première, soit lui-même à l'infini.

6Ô3 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

C'est ce qui a lieu, par exemple, dans la transformation parabolique, et dans la transformation par voie de mouvement infiniment petit, ou bien par la considération d'un système de forces.

(106) Mais ces divers modes particuliers de transformation rentrent, comme on le voit, dans le principe général exprimé par les trois équations ci-dessus; et ce principe général conduirait immédiatement à toutes les propriétés nouvelles des courbes et des surfaces courbes auxquelles nous sommes parvenu dans nos deux mémoires sur la transformation parabolique \ Et cela justifie ce que nous disions, au commencement du premier de ces deux mémoires, que ce n'était point un privilège exclusif pour la théorie des polaires réciproques, de pouvoir servir à la transformation des figures; qu'il existait d'autres moyens, qui même étaient d'une grande simplicité. Et si l'on observe que les formules (c) ne sont qu'un corollaire des formules (a), on verra que les théorèmes auxquels elles conduisent, tels que ceux que nous avons obtenus par la transformation parabolique, ne sont, ainsi que nous l'avions annoncé alors ', que des cas particuliers de théorèmes plus généraux qui répondent aux formules (a).

(107) Supposons que les bases abc, a'b'c' des deux tétraèdres soient l'une et l'autre à l'infini, les rapports jj- et J^?, dans l'équation (A), seront égaux à l'unité; et il en résulte que les trois équations (a) deviendront

Cd' '

(108) Si les deux sommets d , d des tétraèdres sont l'un et l'autre

1 Corretpondanc* mathématique et phy$ique, tom. V et VI ; années 1839 et 1830. * Ibid. , tom. V, pog. 303.

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 653

à l'infini, les formules deviendront

rc==—-'

(109) Nous pourrions encore supposer que les deux tétraèdres se confondissent, et ensuite que leur base commune, ou leur sommet commun fût à l'infini.

(110) Les différens cas que nous venons d'examiner donneraient lieu à divers théorèmes, semblables au théorème général (99), mais qui n'en seraient que des corollaires; par cette raison nous nous dispenserons de les énoncer.

(111) Enfin, il nous reste un dernier cas à examiner, qui va nous conduire à un mode général de description purement graphique, des figures corrélatives, et à un théorème de géométrie, correspondant, dans l'espace, à une proposition sur l'hexagone inscrit à deux lignes droites, souvent répétée par Pappus, et regardée par R. Simson comme un des porismes d'Euclide.

Supposons que les quatre sommets a', b', c', d' du second tétraèdre soient placés respectivement sur les quatre faces opposées aux sommets a, b, c, d du premier tétraèdre.

Soit e un cinquième point donné de la première figure ; prenons pour le plan correspondant E, dans la seconde figure, le plan déterminé par les trois points e', 9', / où les trois plans ebc , eca, eab rencontrent respectivement les trois arêtes d'à', d'b'j d'e' du second tétraèdre. Soient e, <p, x les points où ces trois plans rencontrent les trois arêtes da, db, de du premier tétraèdre.

Soient m un sixième point quelconque de la première figure, et M le plan correspondant dans la seconde figure; soient a, S, y les points où les trois plans mbc, mca, mab rencontrent respectivement les trois arêtes da, db, de; et «', 6', ■/ les point où le plan M To*. XI. 83

rencontre les trois arêtes d'à', d'b', d'c' du second tétraèdre. On aura l'équation

aa ta a'd' % t'd' ad ' (d a.' a ' c'a'

Le premier membre de cette équation exprime le rapport anharmonique des quatre plans abc, dbc, tbc, xbc qui passent par l'arête bc. Les trois premiers de ces plans rencontrent l'arête d'à' du second tétraèdre aux points d' , a' , e ' ; soit «" le point où le quatrième de ces plans rencontre cette arête; le rapport enharmonique des quatre plans s'exprimera d'une seconde manière, par le rapport an harmonique des quatre points d' , a' , «' , a" , lequel est

On a donc l'égalité

aa ta a"d' t'd1 • •

ad ' td aa' ' t'a'

Comparant cette équation à la précédente, on en conclut que les deux points J, a" se confondent; c'est-à-dire que les point a est à l'intersection de l'arête da' par le plan mbc. D'où l'on conclut que le plan M correspondant au point m , passe par les trois points où les plans mbc, mca, mab rencontrent respectivement les trois arêtes d'à', d'b', de'.

On a donc ce théorème :

Étant donnés dans l'espace, un triangle et un angle trièdre dont le sommet est situé sur le plan de ce triangle, et dont les arêtes correspondent une à une aux côtés du triangle ; si par chaque point dune figure donnée, on mène trois plans passant respectivement par les trois côtés du triangle et rencontrant respectivement les trois arêtes opposées de V angle trièdre, en trois points; le plan déterminé par ces trois points enveloppera une figure corrélative de la proposée.

(112) Et, par conséquent :

Ce plan passera toujours par un même point, quand le j>otnt de la première figure parcourra un plan.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

C'est en cela que consiste le théorème de géométrie a trois dimensions qui correspond à celui de géométrie plane, connu sous le nom de porisme d'Euclide, et qu'on énonce ainsi :

Étant donnés , dans un plan, deux points fixes et un angle dont le sommet est placé sur la droite qui joint ces deux points ; si de chaque point d'une droite donnée on mène deux droites à ces deux points fixes , elles rencontreront respectivement les deux côtés de l'angle en deux points qui détermineront une droite qui tournera autour dun point fixe \

(113) Si, dans le théorème ci-dessus, on place les sommets du triangle abc de manière qu'ils soient respectivement dans les plans des faces correspondantes de l'angle trièdre, alors on démontre que le plan des trois points a , 6' , / , passe par le point m, c'est-à-dire que

' M. Poncelet a aussi remarqué que ce porisme d'Euclide offrait un moyen de transformer les fi|jurcs sur le plan. (Jnalyte de» tran*rer*ale* appliquée à la recherche de* propriété* projecticts de» ligne» et turface» géométrique». Voir Journal de M. Crelle , t. VUI , p. 408 ; année 1882.)

Pour conserver à cette proposition le nom de poritme, il faut l'énoncer sous la forme d'un théorème local, ainsi que nous venons de le faire, d'après R. Simson dans son traité de Poritmatibu» (proposition 3-1). Mais ce théorème est susceptible d'un autre énoncé , plus simple et plus expressif, dont s'est servi Pappus, en le considérant comme une propriété de l'hexagone inscrit à deux droites. Cette propriété consiste en ce que le* troi* point* de contour* de* côté* oppotét de cet hexagone tout en ligne droite. On peut se demander quel sera , dans la géométrie à trois dimensions, l'énoncé correspondant à celui-là. Pour répondre à cette question, nous présenterons sous une autre forme le théorème de Pappus; nous diront que :

Étant donné* trois point* quelconque* *ur une droite , et troi* autre* point* quelconque» *ur une seconde droite; *i l'on regarde ceux-ci comme le* tommet» de troi* triangle* ayant retpectitement pour bate» le» troi» segment formé» par le» troi» premier» point», prit deux à deux; il panera par les extrémitét de chaque legmenl , outre le* deux coté* du triangle quia pour base ce segment; deux autres côtés appartenant aux deux autres triangles; ces deux côtés se couperont en un point, et l'on aura de la sorte trois point» ;

Ces trois points seront en ligne droite.

Le théorème correspondant . dans l'espace , sera le suivant :

Étant pris arbitrairement dans un premier plan quatre point», et dan» un autre plan quatre autres point*; si ceux-ci tont regardés comme le* tommet* de quatre tétraèdres ayant pour base» retpeclicement let quatre triangles formé» par le» quatre premier» point» , pri» troi» à troi»; par Us côtés de chacun de ces triangles il pâtu ra , outre les troi* face» du tétraèdre qui a pour base ce triangle, troi* autres plans appartenant retpeclicement aux trois autre» tétraèdre»; ce» trois plan* m couperont en un point; et l'on aura ainsi quatre points dan» l'espace;

Ces quatre points feront dan» un mime plan.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

le plan correspondant à chaque point m de la figure proposée passera par ce point.

Ainsi les deux figures corrélatives seront les mêmes que celles que nous avons formées par voie de mouvement infiniment petit.

De là pourraient découler plusieurs conséquences que nous sommes obligé d'omettre, parce qu'elles s'écarteraient de l'objet de cet écrit.

§ XXI. Différentes méthodes particulières pour former des fig

corrélatives.

(114) Il nous reste à axaminer diverses méthodes paticulières, propres à la construction des figures corrélatives, dont nous n'avons point voulu parler encore, pour mieux montrer combien le principe de dualité j démontré directement, et envisagé de la manière la plus générale dans ses deux parties, est d'un usage facile et spontané. Mais on conçoit que des méthodes particulières pourraient, dans certains cas, offrir des avantages, parce qu'elles établiraient, entre deux figures corrélatives, quelques rapports particuliers, qui n'ont pas lieu explicitement, en général, dans deux figures corrélatives quelconques. Par exemple, ne pourrait-on pas établir la corrélation de manière qu'il y eût, entre les deux figures, des relations concernant certains élémens de ces figures, tels que les volumes, les surfaces, les longueurs de courbes, etc. De telles corrélations particulières conduiraient certainement à une foule de vérités géométriques qu'on ne peut soupçonner.

Le moyen de recherche, dans cette question d'une si haute importance, nous semble renfermé dans le peu d'analyse qui nous a servi à mettre en évidence le principe de dualité. En effet, pour former une figure corrélative d'une figure donnée, analytiquement, ou géométriquement, on a à disposer de quinze constantes arbitraires; et chaque variation dans une, ou dans plusieurs de ces constantes, donnera une figure différente. On devra donc prendre l'équa-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Co7

tion générale du plan mobile où entrent ces quinze constantes , et chercher quelles sont les différentes variétés de cette équation, ou les valeurs particulières de ces constantes, qui peuvent conduire à des modes de construction des figures corrélatives, propres à mettre en évidence des relations de certaine nature entre les deux figures. Ce ne sera point le hasard qui guidera dans de telles recherches. Mais différens rapprochemens entre des propriétés connues, différentes circonstances géométriques, pourront conduire à des analogies qu'on soumettra è l'analyse que nous venons d'indiquer comme la source commune de toutes les méthodes pour établir la corrélation.

Nous allons examiner rapidement plusieurs de ces méthodes, et montrer ce que les figures ont de particulier et de caractéristique dans chacune d'elles.

La première, et la seule qui soit encore connue, est fondée sur la théorie des polaires réciproques , si usitée maintenant , mais à laquelle on n'a point appliqué, dans sa généralité, et comme type unique des relations métriques transformables, le théorème qui constitue la seconde partie du principe de dualité.

$ XXII. Méthode des polaires réciproques. Réflexions sur la transformation des relations métriques.

(115) Toute surface du second degré est représentée par l'équation

A*' -+- By' -+- C*' -+- Dxy -+■ Ext + Fy* +■ G* -+- Hy I* — 1 = o.

Si Ton circonscrit à cette surface un cône ayant son sommet au point (a?', y', z'), sa courbe de contact avec la surface sera sur le plan qui a pour équation

( JA*' + Dy* -+- E*' h- G) * -+- (ÎEy' Dx* -♦- F*' -4- H ) y -t- (Kt' + Ex" +■ F/ -»- I) «

Cette équation ne contenant qu'au premier degré les coordonnées

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a' , y', s' , il résulte du théorème I (§ II) que, si le sommet du cône parcourt un plan, le plan de contact tournera autour d'un point fixe; si le sommet du cône parcourt une droite , le plan de contact tournera autour d'une droite; et en général, si le sommet du cône par- » court une surface du degré m, le plan de contact roulera sur une surface à laquelle on pourra mener, par une même droite, m plans tangens. C'est-à-dire que le plan de contact formera une figure corrélative de la figure parcourue par le sommet du cône.

Le plan de contact mobile est appelé le plan polaire du sommet du cône, et ce sommet est dit le pôle du plan.

Ainsi la théorie des pôles et plans polaires peut servir pour la construction des figures corrélatives.

(116) Ajoutons à ces propriétés descriptives des figures polaires réciproques, la suivante, qui concerne leurs relations de grandeur :

Si le sommet du cône prend quatre positions a , b, c, d, en ligne droite, le plan de contact prendra quatre positions A, B, C, D, telles qu'on aura toujours

Sin. C,A Sin. D,A ca do Sin. C,B : Sin. D,B = ~ïb W

Ce qui résulte du théorème IV ( § II).

Cette relation complète la théorie des polaires réciproques, considérée dans ses applications à la construction des figures corrélatives et à la démonstration des deux parties du principe de dualité.

(117) Remarquons que l'équation du plan mobile, telle que la donne cette théorie, ne renferme que neuf constantes arbitraires, tandis que l'équation générale qui nous a servi à démontrer le principe de dualité, en contient quinze. Le mode de construction des figures corrélatives qui résulte de cette théorie n'est donc pas le plus général; de sorte qu'une figure donnée, et sa corrélative construite par cette théorie, n'offrent pas, dans leur ensemble, la plus grande généralité possible (ce que nous rendrons évident dans le § suivant). On peut donc espérer qu'en disposant convenablement des quinze constantes arbitraires, on parviendra à des modes de construction

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

qui offriront, entre les deux figures, des relations que ne peut donner la théorie des polaires; de même qu'en variant la forme de la surface du second degré auxiliaire, on peut obtenir de cette théorie des propriétés différentes des figures.

Ainsi en prenant une sphère pour surface auxiliaire, M. Poncelet, et d'autres géomètres ensuite, sont parvenus à des résultats fort intéressans concernant les relations d'angles des figures. (Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques; journal de MrCrelle, t. 4.)

En prenant un paraboloïde, nous avons obtenu des résultats d'un autre genre, concernant principalement les relations métriques. (Correspondance mathématique de M. Quetelet , t. V et VI.)

(1 18) On sait que quand le plan polaire d'un point passe par un second point, réciproquement le plan polaire de ce second point passe par le premier. C'est de là qu'est venue la dénomination de polaires réciproques. Cette propriété résulte de ce que l'équation du plan polaire d'un point (x' ,y' , s'), ne change pas, quand on y met x, y , 3 , à la place de x' , y' , s' , et réciproquement.

Ainsi les plans polaires des différens points d'un plan P passent par un même point p, qui lui-même a pour plan polaire, par rapport à la même surface, précisément le plan P.

Il suit de la que, dans les figures corrélatives construites par la théorie des polaires, à un même point de l'espace, considéré comme appartenant successivement à la figure proposée, puis à sa corrélative , correspond un même plan.

(119) Cela n'a pas lieu en général dans la construction des figures corrélatives; ainsi que nous l'avons déjà vu (93). C'est donc là un des caractères particuliers des figures corrélatives construites par la théorie des polaires. Ce caractère se présente dans d'autres modes de construction , ainsi que nous le verrons dans un des paragraphes sui- ▼ans. Mais il est important de remarquer ici que cette identité de construction des deux figures corrélatives, l'une par l'autre, dans la théorie des polaires, doit être regardée, dans la théorie générale des figures corrélatives, comme un fait accidentel, tout-à-fait indifférent

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

soit pour la démonstration du principe de dualité , soit pour l'application de cette théorie à la transformation des propriétés de l'étendue.

(120) Nous ne saurions trop appeler l'attention du lecteur sur l'équation du n° (116),

Sin. C,A Sin. D,A ca da Sin. C,B : Sin. D,B = 7b ' db'

qui représente toutes les relations qui sont transformables immédiatement par la théorie des polaires, de même que par les autres méthodes du même genre. Faute d'avoir aperçu cette relation, et de l'avoir reconnue comme le type unique de toutes celles qu'on pouvait soumettre à la théorie des polaires réciproques, on a été obligé de faire intervenir dans les transformations polaires la théorie des déformations par voie de perspective , pour les figures planes, et par la considération des figures homologiques . pour les figures à trois dimensions. De sorte qu'on a fait dépendre les applications du principe de dualité, de la théorie des figures homologiques tandis que l'un

' M. Poncclct , dans son Mémoire sur la théorie générale de$ polaire» réciproque», après avoir pris une conique, ou une surface du second degré quelconque, pour transformer les relations descriptives, prend , pour la transformation des relations métriques, un cercle et une sphère. Puis il justifie cette méthode et démontre la généralité de ses résultats , en ces termes : « On peut » remarquer en passant , qu'attendu la nature particulière des relations que nous venons d'exa- » miner, ces différens théorèmes auraient lieu , d'une manière analogue, dans le cas où, a >■ la place d'un cercle , on prendrait une section conique quelconque pour directrice ou auxi-

liairc; car on peut toujours considérer l'un de ces systèmes comme la perspective ou projec- ■ tion centrale de l'autre, pourvu néanmoins que les figures auxquelles ils se rapportent soient » elles-mêmes projectives de leur nature, et ne concernent par conséquent aucune grandeur » constante et déterminée.

» Au surplus, je crois devoir le dire expressément , cette observation, qui s'applique éga- » lement au cas de l'espace que nous aurons bientôt à examiner , n'ajoute rien à la généralité ■> des conséquences qu'il est possible de déduire des théorèmes précédens, quoique leur énoncé » suppose que les figures polaires réciproques soient prises simplement par rapport h un cercle » auxiliaire. >i (Voir Journal de M. Crclle, t. IV , p. 58.)

Ainsi M. Poncclct démontre à potteriori, au moyen de la perspective, la généralité de ses transformations faites sur le plan avec un cercle pour conique auxiliaire. Pour le cas de l'espace il n'indique pas la démonstration analogue; mais on comprend que ce sera par son ingénieuse théorie des figures homologiques , dont il a déjà fait de nombreuses et belles applications dans le supplément de son Traité de» propriété» projectile» de» figures.

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et l'autre doivent avoir une égale indépendance et une égale facilité d'action. Et si même Ton veut établir entre l'un et l'autre des rapports, ce sera la théorie des figures homologiques qui pourra dériver complètement du principe de dualité, comme nous le ferons voir au commencement de la seconde partie de cet écrit, tandis que ce principe ne peut nullement dériver de cette théorie. Aussi , dans nos applications du principe de Dualité, nous n'avons point été obligé de rechercher, comme on avait fait auparavant, les relations projectives , c'est-à-dire qui sont transformables par la perspective ou par la théorie des figures homologiques; l'équation ci-dessus, et les diverses interprétations que nous lui avons données (§ III) , ont représenté toutes les relations transformables dont nous n'avons point eu à faire l'énumération. Il nous a suffi toujours de ramener les relations proposées à la forme du rapport anharmonique , et de leur appliquer, d'une manière invariable, le principe de l'équation (I) (méme$, art. 12) ou de ses diverses interprétations.

Mais, pourra-t-on dire, la relation anharmonique est elle-même projeclive, et par conséquent de celles que l'on sait transformer par la théorie des polaires. Cela est vrai. Mais il est vrai aussi, 1° que cette relation n'a jamais été transformée d'une manière générale, et qu'elle n'aurait pu l'être, dans l'état où nous avons pris la théorie des polaires en entreprenant cet écrit, qu'au moyen d'une sphère ou d'un paraboloïde pour surface auxiliaire ; parce que la propriété des surfaces du second degré exprimée par l'équation ci-dessus, est nouvelle; 2° que, bien que la relation anharmonique soit projective, on n'a pas songé à la prendre pour le type unique des relations projectives, ni des relations transformables par le principe de dualité, c'est-à-dire pour la forme unique à laquelle devaient être comparées et ramenées toutes les autres relations ; ce qui donne un caractère de généralité et de précision aux méthodes de transformation, qui auparavant étaient restreintes, et avaient quelque chose de vague et d'incertain dans leurs applications.

Les théorèmes nouveaux auxquels nous sommes parvenu dans les To«. XI. fl4

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

paragraphes précédons, la généralité qu'ils comportent et la facilité avec laquelle nous les avons obtenus, nous semblent justifier l'importance que nous attachons à la relation anharmonique et à l'équation ci-dessus.

(121) Cette équation, abstraction faite de son importance dans la théorie des polaires réciproques considérée comme moyen de transformation des figures, exprime une belle propriété des surfaces du second degré, dont on n'a pas encore fait usage, et qui mérite d'être introduite dans la théorie de ces surfaces, où elle sera susceptible d'applications très-nombreuses. Nous en présenterons, pour le moment, une seule, qui , concernant la description des figures polaires réciproques , ne sera point étrangère à l'objet de cet écrit : et même les théorèmes que nous y démontrerons nous seront utiles dans le paragraphe suivant. Mais pour ne point interrompre notre examen des différentes méthodes particulières propres à la construction des figures corrélatives, nous reportons cette application de l'équation en question, dans un dernier paragraphe sous le titre de Note.

§ XXIII. Autre méthode tirée de la considération des surfaces du second degré, et plus générale que celle des polaires réciproques. Applications de celte méthode.

(122) Soit l'équation d'une surface du second degré Prenons pour l'équation d'un plan mobile

Kx'x -f- By'y -h Czs =1+U'+ My' -4- W .

où x't y', s' , sont les coordonnées du point directeur m' (§ premier).

Nous allons parvenir , par la considération de la surface du second degré, à une relation géométrique entre ce point directeur et le plan mobile.

Ce plan a pour pôle , dans la surface du second degré , un point

m" dont les coordonnées x" , y", s", ont pour expressions

1 + Lx' + My' Nx' '

l-l-Lx' + My' + Ns '