VU + M' + N

Soit o l'origine des coordonnées, qui est le centre de la surface; on a

om" s"

et par conséquent,

om

om'

Soit fi le point où la droite om" perce le plan mobile, dont le point m" est le pôle; et soit oa le demi-diamètre de la surface, dirigé suivant cette droite; on a comme on sait,

664 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

D'où

oa om 1

oT ^I>'' VL- M -+- M'

Cette équation exprime les relations géométriques qui ont lieu entre le point directeur m' {x' , y', s') et le plan mobile. On en tire

on. = oa. const.

Ce qui donne lieu à ce théorème :

Si du centre (Tune surface du second degré on mène un rayon à chaque point d'une figure proposée A' , et qu'on prenne sur ce rayon, à partir du centre de la surface, un segment qui soit à ce rayon divisé par la distance du point de la figure à un plan fixe, et multiplié par le carré du demi-diamètre de la surface comprit sur ce rayon, dans une raison constante, le plan mené par F extrémité de ce segment, parallèlement au plan diamétral conjugué à la direction du rayon, enveloppera une autre figure A qui sera corrélative de la proposée.

(123) Si le plan fixe est à l'infini, cette figure A sera précisément la polaire réciproque de la proposée.

Car, dans ce cas, on a L => o, M = o, N = o, et l'équation du plan mobile se réduit à

Ax'x + By'y Cm'm = I .

qui est l'équation du plan polaire du point (x', y', z',), par rapport à la surface du second degré.

Et la formule géométrique prend alors la forme connue

oa

Ainsi le mode de transformation exprimé par le théorème ci-dessus comprend, comme cas particulier, celui que donne la théorie des polaires réciproques.

(124) Ce mode de transformation jouit de la propriété suivante,

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

qui est l'une des plus utiles dans les applications de cette théorie , savoir, que

Le plan corrélatif d un point est parallèle au plan diamétral de la surface auxiliaire, qui est conjugué à la droite qui va du centre de cette surface à ce point.

Sous ce premier rapport, le mode général de transformation offre donc les mêmes facilités dans ses applications, que celui des polaires réciproques.

(125) Mais, sous un autre rapport, il offre un grand avantage que n'a pas cette théorie. C'est que, à un même point de l'espace considéré comme appartenant successivement aux deux figures, ne correspond pas, dans les deux figures, un même plan, comme cela a lieu dans la théorie des polaires. Ainsi par exemple, au point pris pour centre de la surface auxiliaire, considéré comme appartenant à la figure A', correspond V infini dans la surface A; et à ce point, considéré comme appartenant à la figure A, correspond le plan fixe dans la figure A'.

Cette différence rend notre mode de transformation immédiatement applicable à plusieurs relations métriques auxquelles la théorie des polaires réciproques n'est pas propre.

Quelques exemples éclairciront cela.

(126) Mais disons d'abord que le mode de transformation se simplifie quand la surface du second degré est une sphère. Alors les plans de la figure A sont perpendiculaires aux rayons menés du centre de la sphère aux pu mis correspondans de la figure A'; et la formule de transformation est, en comprenant le rayon de la sphère dans le coefficient constant ,

Et si l'on vient à supposer que le plan fixe P, sur lequel sont abaissées les perpendiculaires m'p' , soit à l'infini, la formule se réduira à

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

(127) Il faudra se rappeler toujours, dans les applications de la formule générale, que, au point o considéré dans la figure À, correspond le plan fixe dans la figure A\

D'où il suit que :

1° A un plan M mené par le point et considéré comme appartenant à la figure À, correspond, dans la figure A' , un point situé dans le plan fixe P ;

Ce point est sur la perpendiculaire au plan M, menée par le point o (126).

2° A une droite L, menée par le point o, et considérée comme appartenant à la figure A, correspond, dans la figure A', une droite située dans le plan P;

Cette droite est l'intersection de ce plan par le plan mené par le point o perpendiculairement à la droite L.

(128) La formule

ne donne directement que les points m' de la figure A' correspondans aux plans de la figure A, et non les plans de la figure A' correspondans aux points de la figure A. Mais il est facile d'en tirer la manière de construire ces plans. Pour cela , étant donné un point s de la figure A, on concevra mené par ce point un plan perpendiculaire à la droite os; on prendra dans la surface A' le point correspondant à ce plan , et la droite correspondante à la droite os ; le plan mené par ce point et par cette droite sera le plan cherché.

D'où l'on conclut que :

Pour construire le plan S' de la figure A', correspondant à un point s de la figure A, on tirera la droite os, sur laquelle on prendra le point déterminé par la formule

Par le point o on mènera un plan perpendiculaire à la droite os; ce plan coupera le plan fixe P suivant une droite ; le plan mené par cette

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

droite et par le point *' sera le plan cherché, qui correspond dans la figure A' au point * de la figure A.

(129) Première application. Soit une sphère A ayant son centre en o. Menons -lui un plan tangent; la distance oy. de ce plan au point o sera égale au rayon R de la sphère ; on aura donc

m'p' „ „ , ont' x. — R ; d'où — =const.

Ce qui prouve que la figure A' est une surface du second degré d<* révolution, qui a un foyer en o, et le plan P pour plan directeur correspondant à ce foyer.

Nous aurions pu dire à priori que la surface A' serait de révolution , parce que la sphère proposée A est placé symétriquement par rapport au plan P; et alors l'équation £p = const. aurait démontré la propriété du foyer et du plan directeur.

(130) Considérons trois plans diamétraux rectangulaires dans la sphère A; il leur correspondra, dans la surface de révolution A', trois points situés dans le plan P, qui seront tels que le plan polaire de chacun de ces points, par rapport à la surface de révolution, passera par les deux autres points. Ces trois points seront, par construction, sur les perpendiculaires aux trois plans diamétraux de la sphère, menées par le point o. Ces trois droites sont trois axes conjugués 1 de la surface de révolution relatifs au point o, parce que ce point est le pôle du plan fixe, par rapport à cette surface; on conclut de là que :

Dans une surface du second degré de révolution > trois axes conjugués relatifs à un foyer sont rectangulaires.

(131) Supposons maintenant que la figure A soit une sphère ayant son centre en un point quelconque *. La surface A' sera du second degré, et Ton aura un plan S, correspondant au point *, qui sera le plan polaire du point o par rapport à cette surface A' \

1 Voir § IX , art. 35 la définition des axe* conjugué» relatif» à un point.

1 Car, en général, le plan correspondant au point » est le plan polaire, par rapport à la surface A', du point qui correspond à l'infini de la première figure (27); et ici ce point est le centre de la surface auxiliaire, c'est-à-dire le point o (128).

A trois plans diamétraux rectangulaires de la sphère, correspondront trois points situés dans le plan S, qui seront tels que le plan polaire de chacun d'eux, par rapport à la surface A', passera par les deux autres. Les droites menées du point o à ces trois points seront rectangulaires, comme étant, par construction, perpendiculaires respectivement aux trois plans diamétraux de la sphère; et ces trois droites seront trois axes conjugés relatifs au point o, puisque ce point est le pôle du plan S, par rapport à la surface A'. Ainsi trois axes conjugués relatifs au point o , sont rectangulaires; ce qui prouve que la surface A' est de révolution , et quelle a le point o pour foyer, et le plan S pour plan directeur correspondant.

Cette surface est située d'une manière quelconque par rapport au plan P, puisque la direction de son plan directeur S dépend de la position du centre * de la sphère proposée, et que ce centre est pris arbitrairement dans l'espace.

Si la sphère enveloppe le point o , la surface A' ne coupera pas le plan P; parce que si elle le coupait, à la courbe d'intersection correspondrait un cône circonscrit à la sphère, et ayant le point o pour sommet.

Et si, au contraire, le point o se trouve au dehors de la sphère A, le plan P coupera la surface A'.

(132) C'est un théorème de géométrie élémentaire, facile à démontrer, que « si autour d'un point fixe on fait tourner une trans- » versalc qui rencontre une sphère en deux points, et qu'on mène » les plans tangens en ces points, la somme ou la différence des va- » leurs inverses des distances de ces plans au point fixe sera con- » stante. » Ce sera la somme quand le point fixe sera pris au dedans de la sphère, et la différence quand il sera pris au dehors.

Prenons pour le point fixe le point o, et appliquons ce théorème à la sphère. A chaque transversale menée par le point o, correspondra, dans la seconde figure, une droite comprise dans le plan P; aux points où la transversale rencontre la sphère, correspondront les plans tangens à la surface A' , menés par cette droite ; et aux