GG
plans tangens à la sphère correspondront les points de contact des plans tangens à la surface A' : on conclut donc du théorème énoncé, d'après la formule
OU
1 I om
Ofi ~ A m'p '
cette propriété générale des surfaces du second degré de révolution à foyers :
Étant mené un plan transversal d'une manière quelconque patrapport à une surface du second degré de révolution, si par une droite quelconque, prise dans ce plan, on mène deux plans tangens à la surface, et qu'on prenne pour chacun des deux points de contact le rapport de ses distances à un foyer de la surface et au plan fixe , la somme de ces deux rapports , si le plan fixe ne rencontre pas la surface , ou leur différence , si le plan fixe rencontre la surface , sera une quantité" constante.
(133) Si le plan fixe est situé à l'infini, les points de contact des deux plans tangens sont les extrémités d'un diamètre de la surface ; la distance d'un de ces points à un foyer est égale à la distance de l'autre point au second foyer ; d'où l'on conclut que :
Dans une surface du second degré de révolution , la somme ou la différence des distances de chaque point de la surface aux deux foyers est constante '.
(134) Pour mieux montrer sous quel rapport le théorème précédent est une généralisation de cette propriété des foyers, nous remarquerons que la droite qui joint les points de contact des deux plans tangens à la surface , passe par le pôle du plan fixe ; et que par conséquent le théorème peut être énoncé ainsi :
1 Nous verrons dans la seconde partie de cet écrit ( $ XXI ) , que ces propriétés, qui i être particulières aux surfaces du second degré de révolution , peuvent dériver d'une propriété générale des surfaces géométriques d'un degré quelconque.
To». XI. 85
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
Si autour cTun point fixe on fait tourner une transversale qui rencontre une surface du second degré de révolution en deux points, la somme ou la différence des distances do ces points à un foyer de la surface, divisées par les distances des mêmes points au plan polaire du point fixe, sera constante.
Ce sera la somme si le point fixe est situé dans l'intérieur de la surface, et la différence s'il est situé au dehors de la surface.
Nous pourrions, par la môme méthode de transformation, démontrer diverses autres propriétés nouvelles des foyers des surfaces de révolution, mais elles se présenteront dans nos applications du principe d'homographie.
(135) Seconde application. Soit un polygone régulier de m côtés circonscrit à un cercle, et soit n un nombre plus petit que m; la somme des puissances n des perpendiculaires abaissées d'un point nie o sur les côtés du polygone, sera constante, quelle que soit la position du polygone par rapport à ce point. Cela résulte d'un théorème de Stewart , qui donne l'expression de la somme de ces puissances n, en fonction du rayon du cercle , du nombre m et de la distance du point o au centre du cercle
Appliquant à ce théorème la formule
on en conclut le suivant :
Si, autour du foyer d'une conique, on fait tourner une rose des vents de m rayons ;
n étant un nombre plus petit que m ;
La somme des puissances n des distances des m points où ces rayons rencontreront la conique, à une droite fixe , divisées respectivement par les puissances n des distances de ces points au foyer de la courbe, sera constante.
(136) On peut remplacer, dans ce théorème, la distance de cha-
1 Somc gênerai tkeorem* of considérable use in the higher parts of maihetnalics ; prop. 40.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
que point de la courbe au foyer, par la distance de ce point à la directrice. On donnera ainsi au théorème un autre énoncé. Maintenant, si l'on observe que le rapport des distances d'un point de la courbe à la droite fixe et à la directrice, est au rapport des distances de la tangente en ce point au pôle de la droite fixe et au foyer, dans une raison constante (voir la Note, § XXVI), on conclut du théorème ci-dessus le suivant :
Si, autour du foyer (Tune conique, on fait tourner une rose des vents de m rayons ; et que par les m points où ils rencontrent la courbe, on lui mène ses tangentes;
n étant un nombre plus petit que m, la somme des puissances n des distances de ces tangentes à un point fixe, divisées par les puissances n do leurs distances au foyer, sera une quantité constante.
(137) Ce théorème et le précédent sont susceptibles d'une foule de conséquences, que nous ne pouvons examiner ici. Mais eux-mêmes ne sont que des cas particuliers de propriétés des coniques très-générales et où n'entre pas nécessairement la considération de leurs foyers. Une partie, par exemple, sont relatives aux diamètres des coniques, et sont une généralisation des propriétés des diamètres conjugués. Nous reviendrons , dans un autre moment, sur cette théorie, qui nous parait nouvelle, et qui comprendra un très-grand nombres de théorèmes.
(138) Troisième application. Si, autour de deux points fixes, pris sur une circonférence de cercle, on fait tourner deux droites, dont le point d'intersection soit toujours sur la circonférence, les distances de ces deux droites à un point fixe pris arbitrairement sur la circonférence, seront entre elles dans un rapport constant.
Qu'on prenne ce point fixe pour le point o, et qu'on applique à ce théorème la formule de transformation
on obtient cette propriété générale des coniques :
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
Étant menées trois tangentes fiscs à une conique, si l'on mène une quatrième tangente quelconque , elle rencontrera les deux premières en deux points, qui seront tels que le rapport de leurs distances à la troisième tangente sera au rapport de leurs dislances à un foyer de la courbe, dans une raison constante.
(139) Si la conique est une parabole, on pourra prendre pour la troisième tangente fixe sa tangente située à l'infini, et l'on aura cette propriété de la parabole :
Étant menées deux tangentes fixes à une parabole , une troisième tangente quelconque les rencontre en deux points dont le rapport des dislances au foyer de la courbe est constant.
(140) En considérant, dans le théorème général, deux positions de la tangente mobile, qui feront, avec les premières tangentes fixes, un quadrilatère, on en conclura ce théorème :
Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique, le produit des distances d une cinquième tangente quelconque à deux sommets opposés du quadrilatère est au produit des distances de la même tangente aux deux autres sommets, dans un rapport constant;
Et ce rapport est égal au produit des dislances d'un foyer de la conique aux deux premiers sommets du quadrilatère , divisé par le produit ries distances du même foyer aux deux autres sommets '.
On voit que chacun des deux foyers joue, en quelque sorte, le même rôle, par rapport aux quatre sommets du quadrilatère , que chacune des tangentes a la courbe.
(141) La seconde partie de ce théorème donne une relation entre les quatre sommets d'un quadrilatère circonscrit à une conique et les deux foyers de la courbe , qui est exprimée par le théorème suivant :
J La première partie de ce théorème donne immédiatement , en vertu du théorème de l'article 15U (§ XXVI), le suivant :
Quand un quadrilatère est inscrit dans une conique, le produit des distances d'un point quelconque de la courbe à deux côtés opposés du quadrilatère est au produit des distances du même point aux deux autres côtés, dans une raison constante.
C'est le théorème ad très aut quatuor iincas des Anciens.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique, le produit des distances d'un foyer à deux sommets opposés, est au produit des distances du môme foyer aux deux autres sommets, dans une raison qui reste la même, quel que soit celui des deux foyers qu'on a pris *.
(142) Quatrième application. Soit le théorème de Cotes sur la ' division du cercle en parties égales. Donnons-lui, pour en faciliter la transformation, cet énoncé : (( Un polygone régulier de 2m côtés » étant circonscrit à un cercle, si d'un point O, pris sur la droite » indéfinie menée par le centre du cercle et par le point de contact m du premier côté du polygone, on mène des droites aux points de » contact de tous les autres côtés;
» 1° Le produit des droites menées aux points de contact des côtés » de rang impair sera égal à OC" — R";
» 2° Le produit des droites menées aux points de contact des côtés » de rang pair sera égal à OC" — Rm ;
» R étant le rayon du cercle, et le point C son centre. »
Faisons la transformation. Au cercle correspondra une conique ayant son foyer en O (131); aux côtés du polygono correspondront des points de la courbe, situés sur des rayons qui diviseront l'espace angulaire autour de ce foyer en 2m parties égales; aux points de contact des côtés du polygone , correspondront les tangentes à la conique menées par les points pris sur elle. Ces tangentes se construiront comme nous l'avons dit (128). Ou obtiendra ainsi un théorème,
• Si l'un de» foyer» est à l'infini , cette raison sera égale à l'unité , d'où il suit que :
Quand un quadrilatère est circonscrit à une parabole, te produit des distances du foyer de la courbe à deux sommets opposés du quadrilatère , est égal au produit des distances de ce foyer aux deux autres sommets.
Si l'on suppose que les deux premiers sommets du quadrilatère soient deux points de la courbe , les deux autres sommets se confondront avec le point de concours des tangentes en ces deux points ; et il en résultera ce théorème :
Ou, tu.-! un angle est circonscrit à une parabole, le produit des distances des points de contait de ses deux côtés au foyer de la courbe, est égal au carré de la distance de son sommet à ce foyer.
Ce théorème est un de ceux dont Lambert s'est servi dans ses Insigniores orbital cometarum proprietates. (Section 1", lemme 3.)
correspondant, dans une conique quelconque, au théorème de Cotes.
L'expression de ce théorème est un peu compliquée. Pour la simplifier nous supposerons que la droite qui, dans la nouvelle figure, est corrélative du point O de la première figure, soit située à l'infini. Alors on a le théorème suivant :
Si Ion divine Fespace angulaire autour du foyer dune conique en 2m parties égales, en menant 2m rayons, dont le premier coïncide avec le grand axe; et qu aux points où ces rayons rencontrent la courbe, on lui mène ses tangentes;
Le produit des distances des tangentes de rang impair, au foyer, sera égal à —-^ ;
Et le produit des distances des tangentes de rang pair, au foyer,
sera éqal à — — — .
J a™ -+- cm
a et h étant les deux demi-axes principaux, et c F excentricité de la conique.
Si la conique est une parabole, on a ce théorème : Si Fon divise Fespace angulaire , autour du foyer d'une parabole, en 2m parties égales, par 2m rayons, dont le premier coïncide avec F axe de la parabole, et qu'on mène les tangentes à la courbe aux m points où les rayons de rang pair la rencontrent, le produit des perpendiculaires abaissées du foyer sur ces tangentes sera égal à la puissance m de la distance du foyer à la directrice.
$ XXIV. Autres modes de construction des figures corrélatives : — Par le déplacement fini, ou infiniment petit , dun corps solide libre dans Fespace. — Parla considération d un système de forces appliquées à un corps solide libre.
(143) Quand on a un corps solide placé d'une manière quelconque par rapport à trois axes coordonnés, que nous supposerons rectangulaires, on sait que si l'on fait éprouver à ce corps un mou-
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 675
vement infiniment petit, les variations des coordonnées de chacun de ses points seront données par les formules suivantes, dues à Euler;
s*' = si — yVN *'m ,
Jy' = /m — aVL -4- jr'eTN ,
is! = Jn — xVM -+- yVL ,
où les coefficiens £/, $m , àn, âh, <MI, sont constans pour tous les points du corps. (Voir les Mém. de l Académie de Berlin , ann. 1750, pag. 185 — 217, ou la Mécanique analytique de Lagrange, tom. Ier, pag. 169.)
L'équation du plan mené par un point (x', y', s'), perpendiculairement à l'élément rectiligne décrit par ce point, pendant le mouvement infiniment petit du corps, est
(x-x') ix + (y-y') Jy' + (m-b') /j' — #,
OU
xtx' -t- yty + zês! = x'Jx' -t- yVy' + *'J*'.
Mais le second membre est égal, d'après les formules ci-dessus, à x'dl + y'àm + s'àn ; l'équation du plan est donc
atfjr' ■+■ yêtf +■ *Js' = *V/ yVm +■ «Vu.
âx', èy', âs' sont des fonctions linéaires des coordonnées x', y', z' ; de sorte que l'équation du plan ne contient ces coordonnées qu'au premier degré. On a donc, d'après le théorème 1 ($ H), cette propriété générale du mouvement d'un corps solide :
Quand un corps solide éprouve un mouvement infiniment petit, les plans normaux aux trajectoires des pointe du corps situés dans un même plan, passent tous par un même point;
Les plans normaux aux trajectoires des points situés sur une même droite, passent tous par une même droite ;
Les plans normaux aux trajectoires des points situés sur une surface du second degré, sont tous tangens à une autre surface du second degré;
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
Et, en général, les plans normaux aux trajectoires des points dune surface du degré m, envoloppent une seconde surface géométrique à laquelle on peut mener m plans tangens par une même droite.
(144) Ainsi, quand une figure de forme quelconque, éprouve un déplacement infiniment petit, les plans normaux aux trajectoires de ses points enveloppent une seconde figure qui est corrélative de la première.
Yoilà donc une manière très-simple de concevoir la description des figures corrélatives.
(145) Cette méthode offre des avantages dans la géométrie spéculative, parce que les figures y ont une dépendance particulière, qui n'a pas lieu dans la théorie des polaires; c'est que chaque plan de la nouvelle figure passe par le point correspondant de la figure proposée. Cela fait que la seconde partie du principe de corrélation, c'eslà-dire le théorème IV , n'a plus besoin de démonstration ; il est une conséquence immédiate de la construction des figures.
(146) Mais il y a entre les deux figures un rapport de relations métriques beaucoup plus simple, qui repose sur ce théorème :
// existe dans le corps un certain axe qui n'a de mouvement que dans sa propre direction ;
Les plans normaux aux trajectoires de deux points quelconques a, b du corps rencontrent cet axe en deux points a, 6, qui sont les pieds des perpendiculaires abaissées sur lui, des points a, b;
De sorte que Von a toujours
stC = âb. cos. ( ab, X ) ;
X désignant la direction de l'axe en question.
Ainsi l'on aura, entre les distances des points de la figure proposée et les segmens que les plans correspondans , dans la figure corrélative, intercepteront sur Taxe X, des équations de cette forme. Ces équations serviront à convertir les relations métriques de la figure donnée en relations appartenant à la nouvelle figure.
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MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 677
Nous nous bornons, pour le moment, à énoncer cette proposition, pour ne pas surcharger cet écrit de détails étrangers à son but principal ; nous nous proposons de revenir sur ce sujet , pour établir, par de simples considérations de géométrie, les propriétés générales du mouvement d'un corps solide; lesquelles propriétés sont nombreuses et intéressantes, et sont susceptibles, quoique purement géométriques, d'apporter quelque lumière dans plusieurs questions de . mécanique.
(147) Le déplacement fini quelconque d'un corps solide dans l'espace peut donner lieu aussi à la construction de figures corrélatives. Cette construction est fondée sur le théorème suivant :
Si l'on a dans F espace deux figures parfaitement égales, et placées a" une manière quelconque Fune par rapport à Vautre ;
Que l'on joigne par des droites les points de la prem ière figure aux points correspondans de la seconde; et que par le milieu de chacune de ces droites on lui mène un plan normal}
Tous ces plans envelopperont une figure qui sera corrélative de chacune des deux figures proposées , et corrélative , aussi, d'une troisième figure formée par les points milieux des droites qui joignent les points homologues dans les deux premières.
Ainsi, si la première figure est plane, la troisième sera plane aussi; et les plans menés par ses diiTérens points passeront par un même point (ce point sera situé dans le plan de celle troisième figure).
Si la première figure est une surface du second degré, la troisième figure sera aussi une surface du second degré ; et les plans menés par ses points envelopperont une autre surface du second degré.
Nous donnerons dans un autre écrit la démonstration de ces théorèmes, qui peut se faire par de simples considérations de géométrie, ou par l'analyse \
> On peut vcriGer aisément ces théorèmes, au moyen des formules suivantes relative» au déplacement fini d'un corps solide dans l'espace, en fonction des six coefficiens indépendans qui suffisent pour exprimer ce déplacement.
Soient x, y, s les coordonnées d'un point du corps dans sa position primitive, et x', y% s'
To». XI. 86
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
( 1 48) Le mode de construction des figures corrélatives que nous a fourni le déplacement infiniment petit d'un corps solide , peut être présenté d'une autre manière, où n'entre pas l'idée de mouvement. Voici comment :
Soit une vis, placée d'une manière quelconque dans l espace; concevons que par tous les points d'une figure proposée passent des hélices de la vis;
1° Les plans normaux à ces hélices, menés par les points de la figure, envelopperont une seconde figure qui sera corrélative cfo la première ;
2° Le segment compris sur Vaxe de la vis, entre deux plans normaux, sera égal à la projection orthogonale de la droite qui joint les deux points correspondons.
De sorte que les relations métriques de la première figure seront faciles à transporter dans la seconde.
(149) Il résulte de là que si ton coupe la surface d'une vis (à
le» coordonnée» du même point considéré après le déplacement ; ces coordonnées ont des valeurs de la forme
*'=/ x]/ 1 — (L'h-M -t-N ) -4- (Ma — Ny)-4- * ^ l , ^ f4"1- L.(Lr-4-My-*-NS), ,/ = m + y i/l-^'+M'+îV) (Nx-Ls) +- 1~^,~^ . ^M, ^ • M.(L*-+-My+Ns),
»' = «-+-* V l-(L, + M' + N')-4-(Ly-Mj)+ *~ jr^T^ ^ N. (Lc+My+Ni);
où /, m, », L, M, N, sont six cocflîciens indépendans.
Ces formules sont la généralisation de celles d'Eulcr, qui ne convenaient qu'à un déplacement infiniment petit du corps solide.
Elles peuvent servir aussi pour la transformation d'un système de coordonnées rectangulaires en un autre système de coordonnées rectangulaires. Et sous ce rapport elles satisfont à une question qui a occupé dans un temps les géomètres , savoir, de trouver de telles formules qui ne contiennent que le» trois coeûlciens indépendans nécessaires et sufftsans pour exprimer la position des nouveaux axes, et où ces coefficiens entrent d'une manière symétrique.
Les formules de Monge qui ont résolu cette question (Mémoires de l'académie de Turin; ann. 1784 et 1785) ont l'inconvénient de contenir six expressions radicales différentes. Le* formules précédentes n'en contiennent qu'une.
MEMOIRE DE GEOMETRIE
filets triangulaires ou rectangulaires, indifféremment) par un plan quelconque, et que parles différent points de la courbe d'intersection on mène les plans normaux aux hélices qui passent par ces points , tous ces plans passeront par un même point. Ce point sera situé dans le plan coupant.
Ces considérations, qui conduisent à diverses propriétés nouvelles de la vis, offrent des méthodes de géométrie descriptive pour le dessin des épures relatives à différentes questions qui se présentent dans les arts.
(150) Voici enfin un dernier mode de construction des figures corrélatives, que nous pouvons exposer sans calcul.
Qu'on conçoive un système de forces sollicitant un corps solide libre; on pourra les remplacer d'une infinité de manières par deux forces uniques F , F'. L'une de ces forces sera tout-à-fait arbitraire de direction ; c'est-à-dire qu'on pourra prendre une droite quelconque pour représenter la direction de cette force; la seconde force sera alors tout-à-fait déterminée en direction et en grandeur.
Si on cherche le plan du moment principal des forces du système, relatif à un point quelconque de la force F, ce plan passera par la force F'. Donc si on fait tourner la première force autour d'un point fixe , la seconde ne cessera pas d'être dans un même plan , qui sera le plan du moment principal du système de forces , relatif au point fixe. Et réciproquement, quelle que soit la position de l'une des deux forces dans ce plan , l'autre force passera par le point fixe; d'où il suit que les plans des momens principaux du système de forces, relatifs aux différens points du plan, passeront par le point fixe.
On conclut de là que :
Si l'on conçoit dans F espace un système de forces, et que ton prenne les plans des momens principaux de ces forces, relatifs à tous les points dune figure , ces plans envelopperont une seconde figure qui sera corrélative de la première ; c'est-à-dire que les plans relatifs à des points situés sur un plan passeront par un même point; ceux relatifs à des points situés en ligne droite passeront par une
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
môme droite; ceux relatifs à des points situés sur une surface du second degré envelopperont une seconde surface du second degré, etc.
(151) Quant aux relations métriques de la nouvelle figure, on les conclura de celles de la figure proposée , au moyen de la proposition suivante, dont la démonstration est sans difficulté, mais serait ici sans intérêt :
Si F on prend un certain axe fixe , parallèle à la résultante de toutes les forces ( l'axe que M. Poinsot a appelé l'axe central des momens '), le segment intercepté sur cet axe par deux plans quelconques appartenant à tune des deux figures , sera égal à la projection orthogonale , sur cet axe , de la droite qui joint les deux points correspondons dans t autre figure.
§ XXV. Caractères particuliers de divers modes de construction
des figures corrélatives.
( 1 52) Nous avons vu que la théorie des polaires réciproques n'offre pas la construction la plus générale des figures corrélatives, parce qu'elle ne donne à disposer que de neuf constantes, au lieu de quinze. Il en est de même des autres modes que nous venons d'exposer dans le paragraphe précédent, dans chacun desquels on ne peut disposer que de six constantes. Dans ces dernières méthodes, les figures corrélatives ont un caractère particulier; c'est que les plans d'une figure passent par les points de l'autre figure auxquels ils correspondent. Mais ces méthodes ont un autre caractère propre, qui leur est commun avec celle des polaires réciproques, et qui ne se présente pas d'une manière aussi palpable ; c'est une réciprocité parfaite entre deux figures corrélatives; réciprocité qui consiste en ce que si, après avoir construit la figure corrélative A' d'une figure A, on voulait, par le même mode de construction, former
' Éièmens de statique ; Q" édition , pag. JS8.
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la figure corrélative de A', on retrouverait la figure A. Cela a lieu, comme on sait, dans la théorie des polaires, parce que le point fixe par lequel passent tous les plans polaires des différens points d'un plan, a précisément pour plan polaire ce plan (118). Il en est de même dans la construction des figures corrélatives par voie de mouvement infiniment petit j c'est-à-dire que si la figure qui est l'enveloppe des plans normaux aux trajectoires des points de la figure proposée, éprouvait elle-même le même mouvement, les plans normaux aux trajectoires de ses points envelopperaient la première figure; cela provient de ce que le point par lequel passent les plans normaux aux trajectoires de tous les points d'un plan a sa trajectoire normale à ce plan.
Il en est de même aussi dans le mode de construction fondé sur la considération d'un système de forces; c'est-à-dire que si après avoir construit la figure enveloppe des plans des momens principaux d'un système de forces, relatifs aux différens points d'une première figure, on construisait la figure enveloppe des plans des momens principaux des points de cette nouvelle figure, par rapport au même système de forces, on retrouverait la première figure; cela vient de ce que le point par lequel passent les plans des momens principaux des différens points d'un même plan a précisément son moment principal situé dans ce plan.
(153) Il est naturel de chercher s'il n'existerait pas d'autres systèmes de figures corrélatives où une pareille réciprocité aurait lieu.
Nous allons prendre la question d'un peu plus haut; et d'abord nous proposer la suivante :
Quand un point directeur parcourt une surface A, le plan mobile enveloppe une surface A' (§ II, théorème I);
Si Von suppose qu'un nouveau point directeur parcoure cette surface A' , quelle devra être Véquation d'un nouveau plan mobile entrainô par ce nouveau point directeur, pour qu'il enveloppe la première surface A ?
Soient x' , y' , s' les coordonnées du point directeur situé sur la
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surface A, et
