AX -+- BY -4- CZ
De ces trois équations , on tirera les valeurs des trois inconnues x ,
L'expression de la perpendiculaire abaissée d'un point (*' , y' , *'), sur le plan qui a pour
aj-4-4y-4-c* — 1=9,
(as' ■+■ iy' -4-cs' — 1 ) \/l — cot.a x,y — c«i.ji,j — cot 'ji -4-2 co». x,y. cot. x,m. cot. yj.
•in.a »,*-4-e3 tin.Jx,y — 2a 6 tin. y,*, un. *,xcot (*x,jy) — 8actio.s,y. tin. m, y cot. (ys,ys) — 24e tin t,jr. tin. #,y cot. (x*,xy).
To». XI. 97
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
y t s, qui déterminent la position du point m correspondant, dans la seconde figure, au point M de la proposée. Ainsi le problème est résolu.
(292) Les trois équations (1) renferment toute la théorie des figures homographiques. En donnant des valeurs convenables aux divers coefficiens qui y entrent , on exprimera par ces formules les différens modes de transformation particuliers. Mais nous n'entrerons point ici dans la discussion de ces formules, qui ne peut offrir aucune difficulté, surtout si Ton prend pour base la discussion des modes de construction géométrique que nous avons donnée dans le § précédent.
(293) La première figure étant donnée de forme et de position par rapport aux trois axes coordonnés , les douze coefficiens A., B, C, A', B', C, A", B", C", A'", B'", C", sont des quantités connues, et il n'y a d'arbitraires dans les formules (1) que les quinze coefficiens o, b, c, o', b't c', a", b", c", a'", b'", c'", X, p et v, qui servent à déterminer la forme de la nouvelle figure et sa position, dans l'espace, par rapport a la première.
Ainsi, pour effectuer la construction la plus générale des figures homographiques , tant par rapport à leur forme qù a leur position dans l'espace, on a à disposer de quinze coefficiens arbitraires.
Mais si l'on fait abstraction de la position de la nouvelle figure par rapport à la première , et qu'on ne considère que sa forme, on n'aura k disposer que de neuf coefficiens. Car il faut six conditions, et par suite six coefficiens indépendans pour fixer la position d'une figure dans l'espace, comme on le voit par les formules du déplacement d'un corps solide, que nous avons données dans la note de la page 677. Il s'en suit que des quinze coefficiens a, b, c, etc., six serviront à déterminer la position de la seconde figure dans l'espace , et les neuf autres à déterminer sa forme. Et en effet, cinq plans donnés, correspondans à cinq plans de la première figure, suffisent pour déterminer la seconde figure, quelle que soit leur position dans l'espace. Il suffit donc de chercher combien de données sont nécessaires pour déterminer la forme de la pyramide tronquée formée par ces cinq plans.
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Or, l'un d'eux coupe les quatre autres suivant un quadrilatère qu'on détermine par cinq conditions, et il reste à déterminer les quatre inclinaisons de ces quatre plans sur le premier; ce qui se fait par quatre données. Il en faut donc, en tout, neuf. Ainsi, une figure étant donnée, pour construire une figure homographique de la forme la plus générale en faisant abstraction de sa position dans V espace, on a à disposer de neuf coefficiens arbitraires.
(294) Les valeurs des trois coordonnées x, y, s, d'un point de la seconde figure, en fonction des coordonnées X, Y, Z, du point correspondant de la première figure, tirées des trois équations (1), seront de la forme
«X -t- CY yZ — 1
Il n'est pas nécessaire de calculer les expressions de x, y, s, pour vérifier qu'elles sont en effet de cette forme ; en voici une démonstration à priori.
Considérons les trois plans coordonnés y os, sox,xoy, comme appartenant à la seconde figure, et cherchons les plans correspondans dans la première figure ; soient
*r -4- Cy -t- y» —l=o, a' s -4- Cy -4- y'* — 1 = o, al' s -4- C'y -4- y"» — 1 = o,
leurs équations.
Concevons qu'on ait cherché le plan qui, dans la première figure, correspond à l'infini de la seconde (273) ; et soit
son équation.
La distance du point m (a?, y, s) de la seconde figure au plan xoy sera proportionnelle au rapport des distances du point M (X, Y, Z),
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de la première figure, aux plans qui correspondent, l'un au plan xoy, et l'autre à l'infini; ce rapport est
aX + <TY -f- yZ — 1
«'"x •+■ ry+ r'"z— i x con8t"
La distance du point m au plan yoz est égale À la coordonnée x multipliée par une constante; on a donc une équation de la forme
— ** ■+■ cY yZ — I
On aura des valeurs semblables pour les valeurs de y et de x. C'est ce que nous voulions démontrer.
Ainsi les formules (2) expriment la construction des figures homographiques les plus générales, quant à leur forme et à leur position.
(295) Dans ces formules, les coordonnées des points des deux figures sont comptées sur les mêmes axes coordonnés. Si l'on voulait rapporter celles de la seconde figure à d'autres axes que celles de la première, on pourrait simplifier les formules.
Car regardons les trois axes ox, oy, os, comme appartenant à la seconde figure, et soient OX, OY, OZ, les trois droites correspondant à ces axes dans la première figure; prenons -les pour trois nouveaux axes coordonnés auxquels se rapporteront les coordonnées des points de la première figure; soit
aX -4- CY yZ — |=.o
l'équation du plan de cette première figure qui correspond a l'infini de
la seconde; on aura, d'après le théorème (176) les trois équations
aX -+- CY 4- yZ - 1'
* «X + CY -+- yZ - 1 ' >Z
* ~~ «X + ,-Y -+- yZ - I
X, ju, vf étant trois constantes.
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Si l'on prend les trois axes coordonnés OX, OY, OZ, de manière que le plan ZOY soit parallèle au plan qui, dans la première figure, correspond à l'infini de la seconde , l'équation de ce plan sera simplement
Et les formules seront
x mm
Telles sont les formules les plus simples qui expriment , dans toute la généralité possible , la construction des figures homographiques.
(296) Pour les figures planes, les formules les plus générales , relatives à un même système d'axes coordonnés, sont
