X CY - 1 *'X + C'Y

Ces formules ont été données par Waring pour transformer une courbe en une autre (Transformare unam curvam in alteram) , dans ses Miscellanea analytica de œquationihus algebraicis et curvarum proprietatihus , in-4°, Cantabrigiœ 1762; puis dans son traité des courbes géométriques intitulé : Proprietaies algebraicarum curvarum, in-4°, 1772. L'auteur se borne à dire que la nouvelle courbe sera du même degré que la proposée, sans faire entrevoir quelles seront les propriétés communes aux deux courbes, et quels pourront être les usages et les applications de ce mode de transformation. Il ajoute seulement que la construction d'une courbe semblable à une courbe donnée, et la construction d'une courbe dont les coordonnées de chaque point sont dans des rapports constans avec les coordonnées du point correspondant d'une courbe proposée, sont des cas particuliers de ses formules. Dans la préface du second ouvrage, Waring dit

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que ce mode de transformation est la généralisation de la méthode de Newton comprise dans son Lemme 20 du premier livre des Principes. Mais nous ferons voir dans la suite de ce paragraphe que cette généralisation ne porte point sur la forme des figures, mais seulement sur leur position respective.

Ainsi, quoique Waring ait donné, pour transformer une courbe en une autre du même degré, les formules mêmes qui expriment la construction de nos figures homographiques , nous pouvons dire néanmoins que notre théorie de la transformation homographiquo est nouvelle, tant sous le rapport des propriétés des figures que l'on y considère, que sous le rapport de ses usages pour la démonstration et pour la généralisation des propositions de géométrie.

(297) Reprenons les formules (5) ; les coordonnées x , y, de la nouvelle figure sont comptées sur les mêmes axes qne les coordonnées X, Y de la figure proposée. Si l'on veut se servir de deux systèmes d'axes coordonnés différens, on pourra simplifier les formules, comme dans le cas des figures à trois dimensions, et les réduire à la forme

Ces formules expriment la construction des figures homographiques les plus générales de forme et de position. Les deux axes ox, oy étant considérés comme deux droites appartenant à la seconde figure, les axes OX , OY sont les droites correspondantes dans la première figure; et l'une de ces droites, la seconde OY, est prise parallèle à la droite qui correspond, dans la première figure, à l'infini de la seconde, et cette droite est celle qui a pour équation

(298) On peut encore trouver des formules répondant à toute la généralité de construction des figures homographiques , et néanmoins un peu plus simples que ces dernières.

En effet , qu'on rapporte les points de la première figure à deux axes

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coordonnés, dont l'un OX soit la droite qui correspond, dans cette figure, à l'infini de la seconde, et dont l'autre OY soit pris arbitrairement ; et qu'on rapporte les points de la seconde figure à deux axes coordonnés dont le premier ox soit la droite qui correspond à l'infini de la première figure, et l'autre oy soit la droite correspondant à l'axe OY de la première figure; on aura, d'après le théorème (176) les deux équations

Ainsi ces deux équations, quoique très-simples, expriment les figures homographiques les plus générales.

Ce sont précisément les formules données par Newton.

Nous pouvons donc dire que les formules de Newton sont aussi générales que celles de Waring, puisque les unes et les autres répondent à la forme et à la position les plus générales des figures homographiques. Mais il y a cette différence entre les unes et les autres, que dans celles de Waring les points sont rapportés à un même système d'axes coordonnés, tandis que dans celles de Newton il y a deux systèmes d'axes coordonnés difTérens.

(299) Jusqu'ici nous avons supposé aux deux figures une généralité absolue de position l'une par rapport à l'autre. Mais une question se présente naturellement, c'est de rechercher quelle position relative il faut donner aux deux figures, pour qu'étant rapportées à un même système d'axes coordonnés, elles soient exprimées par les formules les plus simples.

Les considérations précédentes conduisent à la solution de cette question. En effet, quelles que soient les formules relatives à un même système d'axes coordonnés, ces formules donneront lieu, si on change la position relative des deux figures, à des formules de môme forme, relative à deux systèmes d'axes coordonnés. Les formules relatives à un même système d'axes coordonnés ne pourront donc pas être plus simples que les formules les plus simples relatives à deux systèmes d'axes coordonnés. Celles-ci sont les formules (7); il faut donc voir

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si ces formules conviennent à un même système d'axes coordonnés; c'est-à-dire si l'on peut placer deux figures homographiques données, de manière qu'il existe dans leur plan un système d'axes coordonnés pour lequel les formules qui lient entre elles les deux figures soient de la forme

A fit

Voici la solution de cette question.

Que l'on cherche la droite I, dans la première figure, qui correspond à l'infini de la seconde; et la droite J' de la seconde figure, qui correspond à l'infini de la première. Que l'on place les deux figures de manière que les deux droites soient superposées sur une même droite L. Cette position , qui laisse encore quelque chose d'arbitraire puisqu'on peut faire glisser l'une des deux droites sur l'autre, satisfera à la question. On prendra la droite L pour l'axe des y. Voici comment on déterminera l'axe des x. Il existe toujours dans deux figures homographiques quelconques , quelle que soit leur position, une certaine droite qui, considérée comme appartenant à l'une des deux figures, est ellemême son homologue dans l'autre. (Voir ci-dessous, § XXV). Ainsi pour la position que nous venons de donner aux deux figures, il existe une telle droite. C'est cette droite qu'on prendra pour l'axe des x.

De cette manière, l'axe des y , considéré comme appartenant à la première figure, correspondra a l'infini de la seconde; et, considéré comme appartenant à la deuxième figure, correspondra à l'infini de la première. Et l'axe des x , considéré comme appartenant à l'une des deux figures, sera son homologue dans l'autre. Donc, d'après les théorèmes (176 et 177), on aura les formules

Ce qu'il fallait démontrer.

(300) Ainsi nous pouvons dire que étant données deux figures dont les points se correspondent un à un , et sont liés par les relations suivantes entre les coordonnées X, Y de chaque point de la

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première figure et les coordonnées x , y du point correspondant de la seconde figure, rapportées aux mêmes axes coordonnés

on peut, en changeant la position relative des deux figures , trouver un système d'axes coordonnés, tel que les relations entre les coordonnées de deux points correspondans soient de la forme

Ce théorème est un de ceux dont la démonstration semblerait être particulièrement du domaine de l'analyse, puisqu'il s'agit d'un changement de système d'axes coordonnés. Mais cette voie serait longue et difficile, parce qu'il ne suffit pas de changer le système de coordonnées, il faut encore changer la position relative des deux figures proposées , ce qui exigerait, en analyse, de très-longs calculs. Les considérations géométriques, au contraire, procurent une démonstration extrêmement simple du théorème, et une solution de la question qui en dépend.

§ XVII. Théorie des figures homologiqucs. Leur construction.

(301) Soient a, b , c, d, quatre points d'une figure , dans l'espace ; formons une figure homographique dans laquelle les quatre points correspondant à ces points, respectivement , soient ces points eux-mêmes.

Soit un cinquième point m de la figure proposée, et m' son homologue dans la figure homographique. Soient les points où les trois plans mbc , mca, mab , rencontrent les trois arêtes ad, bd, cd, du tétraèdre abcd, et a', é', /, les points où les trois plans m'bct m'ca, m'ab, rencontrent les mêmes arêtes; nous avons vu qu'on aura

x \ .f. ev — l x"\ + C 'Y - l '

To*. XI.

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Le point m' peut être pris arbitrairement dans l'espace. Supposons qu'il soit situé sur la droite dm , et soit $ le point où cette droite rencontre le plan abc , on aura

ax ax Jm dm'

7x 1 77 ~ HZ : lw ;

parce que l'un et l'autre membres de cette équation expriment le rapport anharmonique des quatre plans abc , mbc , m'bc, dbc. Comparant cette équation à la première des trois précédentes, on en conclut cette valeur de ). ,

d m dm'

On trouvera que n et v ont la même valeur ; de sorte que les troix coefficient constans u, v, sont égaux entre eux.

(302) Réciproquement quand ces trois coefficiens sont égaux, chaque point m! de la seconde figure est situé sur la droite menée du point correspondant m, au sommet d du tétraèdre abed. Car soit m" le point où le plan mbc rencontre la droite dm , on aura

ax ^ ax' dm dm" dl ' ~dx~' = dm" dm'7''

Soit m"' le point où le plan m'ac rencontre la même droite dm ; on aura

bC fcf dm dm'" Te '' dC' = dm ' THF''

Les premiers membres de ces deux équations sont égaux, puisque nous supposons dans les équations (1) X = les seconds membres sont donc égaux aussi; d'où l'on conclut que les points m" , m'" se confondent; c'est-à-dire que les deux plans m'bc, m' ca passent par le môme point de la droite dm, ou, encore, que les deux droites cm' , dm se rencontrent.

Ainsi , quand A = pies deux droites dm , cm' se rencontrent foujours, quels que soient les deux points homologues m, m'.

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Pareillement, si l'on a , À = v, les deux droites dm, hm' se rencontreront. Donc si l'on a en même temps 3i = p — v, les deux droites cm', hm' rencontreront la droite dm; c'est-à-dire que le point m' sera sur la droite dm.

Ainsi, quand dans les équations (1) on a X mm p mm », deux points homologues quelconques des deux figures sont toujours en lignes droite avec le point d.

(303) Il suit de là que :

Chaque point du plan abc est lui-même son liomologue dans les deux figures;

Et, par conséquent, deux plans correspondons des deux figures rencontrent le plan abc, suivant la même droite ;

Etefetu? droites homologues quelconques percent ce plan au même point.

On reconnaît, à ces propriétés descriptives, les figures homologiques de M. Poncelet. Le point d est leur centre dhomologie , et le plan abc leur plan dhomologie.

(304) Ainsi, les figures homologiques rentrent dans la théorie des figures homographiques et ne sont qu'un cas particulier du mode général de construction de celles-ci.

Les relations métriques qui ont lieu d'une manière générale entre les figures homographiques, s'appliquent donc aux figures homologiques.

De là nous allons conclure différentes relations métriques entre ces figures, qui n'ont point encore été remarquées, et sur lesquelles repose une partie considérable des applications de la théorie des figures homologiques.

(305) En général, les relations métriques des figures sont encore plus importantes et plus utiles à connaître que leurs relations purement descriptives, parce qu'elles sont susceptibles d'un plus grand nombre d'applications, et que d'ailleurs elles suffisent presque toujours pour arriver à la connaissance des relations descriptives. Aussi nous regardons comme le côté faible de l'école de Monge, en géométrie spéculative, de s'appuyer spécialement et par principe, sur les

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propriétés descriptives des figures. La méthode des transversales est plus féconde, et procure des résultats plus variés, plus généraux et plus complets. Un exnmen comparatif de quelques théories géométriques, ou seulement de quelques théorèmes obtenus par les deux méthodes, justifierait constamment cette observation.

(306) Appliquons le principe de l'art. 175 aux figures homologiques. Prenons pour l'un des deux plans fixes de la première figure un plan passant par le centre d'homologie, ce plan sera lui-même son homologue dans la seconde figure ; et si l'on remarque que le rapport des distances de deux points homologues à ce plan est égal au rapport des distances de ces points au centre d'homologie, on en conclura que :

Dans deux figures homologiques , le rapport des distances de deux points homologues au centre d'homologie, est au rapport des distances de ces points à deux plans homologues, quelconques, mais fixes, dans une raison constante, quels que soient ces points.

(307) Ce théorème admet deux corollaires qui sont deux propriétés importantes de la théorie des figures homologiques.

D'abord nous pouvons prendre pour représenter les deux plans fixes homologues des deux figures, leur plan dhomologie ; il en résulte que :

Dans deux figures homologiques , le rapport des distances de doux points homologues au centre d'homologie, est au rapport des distances de ces deux points au plan d'homologie, dans une raison constante.

Soient a, a' les deux points homologues, S le centre d'homologie, et « le point où la droite Saa' rencontre le plan d'homologie; le rapport des distances des deux points a, a', à ce plan sera égal à jjjjïj on aura donc, d'après l'énoncé du théorème,

Sa xa

s7 : 2 " consL

C'est la relation que nous avons déjà démontrée dans nos applications du principe de Dualité (§ VII).

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(308) Ainsi, étant donnée une figure, et étant pris un point S et un pian fixe, si de ce point on mène une droite à chaque point a de la figure , qu'on la prolonge jusqu'à sa rencontre en a avec le plan fixe , et qu'on prenne sur cette droite un point a' tel que l'on ait

Sa xa

Sa' sn' ^ '

). étant une constante quelconque; le point a' appartiendra a une figure homologique à la proposée.

Le point S et le plan fixe seront le centre et le plan d'homologie des deux figures.

La constante À peut être égale à l'unité. Alors les points a, a' sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points S et a.

(309) Soit P le plan de la seconde figure, qui correspond à l'infini de la première; ce plan est parallèle au plan d'homologie, parce que deux plans homologues doivent se couper sur ce plan d'homologie.

Le plan qui dans la première figure correspond à l'infini de la seconde, sera pareillement parallèle au plan d'homologie.

Le rapport des distances d'un point o' de la seconde figure, à un plan fixe mené par le point S et au plan P, sera dans une raison constante avec la distance du point a de la première figure au même plan fixe (176).

Or le rapport des distances des deux points a , a', au plan fixe est égal à jTt; on a donc, en appelant a i' la perpendiculaire abaissée du point a' sur le plan P,

Sa'

Sa — A. — ,

>. étant une constante , pour tous les points des deux figures.

Ainsi : si cTm« point fixe on mène un rayon à chaque point a d'une figure , et que sur ce rayon on prenne un point a' tel que le rapport de ses distances au point fixe et à un plan fixe, soit au rayon dans une raison constante, ce point appartiendra à une seconde figure, homologique à la première.

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Le centre d'homologie sera le point fixe; et le plan d'homologie sera parallèle au plan fixe.

La distance entre ces deux plans sera égale à la valeur inverse de la raison constante donnée.

Car pour un point « du plan d'homologie, on aura Sa = Sa', et

1 = 4r ou ai' =»>., et d'après l'énoncé, la raison constante est j

(310) Ainsi, si une figure À est donnée, et que le point S et le plan I' étant pris arbitrairement , on mène de ce point des rayons à tous les points a de cette figure, et qu'on prenne sur ces rayons des points a' déterminés par l'équation

ces points a' appartiendront à une seconde figure A' homologique à la première.

Le centre d'homologie sera le point S et le plan d'homologie sera parallèle au plan I'. Sa distance à ce plan sera égale à la constante X.

Réciproquement, si la figure A' est donnée, et que le point S et le plan l soient pris arbitrairement , l'équation

servira à déterminer les points a dune seconde figure A qui sera Iwmologique à la proposée.

Ces théorèmes seront susceptibles de nombreuses applications.

(311) 1' étant le plan de la figure A', qui correspond à l'infini de la figure A , soit J le plan de la figure A qui correspond A l'infini de A'; et soit aj la distance d'un point a de la figure A au plan J, et a'i' la distance du point correspondant a' au plan I'; on aura, d'après le principe du n° 177,

aj. a'i' - const.

Cette équation donne une manière nouvelle de former la figure

homologique d'une figure proposée, au moyen du centre d'homologie et de deux plans parallèles entre eux.

La construction des figures homologiques serait susceptible d'une plus ample discussion, dans laquelle nous n'entrerons pas ici.

§ XVIII. Applications de la théorie des figures homologiques. Propriétés générales des surfaces géométriques.

(312) Soient deux surfaces géométriques, d'un degré quelconque, homologiques entre elles; et soit S leur centre dhomologie.

Que par une droite, prise arbitrairement dans un plan fixe P, on mène les plans tangens à la première surface; et soient a, b, c, .... leurs points de contact. A ces plans tangens correspondront des plans tangens à la seconde surface, en des points a', b', c', .... homologues aux points a, b , c, ....; et ces plans tangens passeront par une même droite située dans un plan fixe P', correspondant, dans la seconde figure, au plan P de la première.

Soient ap, a'p'y les perpendiculaires abaissées des points a, a' sur les plans P, P' respectivement; on aura

5? : 7j> - coost- - A (308>-

Soit aV la perpendiculaire abaissée du point a' sur un plan fixe 11' mené arbitrairement dans l'espace; et mettons l'équation sous la forme

Sa ap aV Sa' ' aV a'p

Soient pareillement bp et b'p', les perpendiculaires abaissées des points b, b' sur les plans P, P', respectivement, et b'r.' la perpendiculaire abaissée du point b' sur le plan n'; on aura de môme

51 • hJL II Sb' : v*>~ *' bp'

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Et ainsi pour les autres points.

Or les points a', h', .... étant les points de contact de la seconde surface par des plans tangens menés par une même droite prise dans un plan fixe P' on a (218)

<iV iV

+ ïy

Ou a donc aussi

Sa ap Si bp Sa7 * «V Si* ' èV "*" •"■

OU

Sa Sa' Si S»*

Ce qui exprime ce théorème :

5» Ion a deux surfaces géométriques homologiques , et que par une droite prise arbitrairement dans un plan fixe, on mené les plans tanrjens à la première surface ; puis , qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact, au centre a"homologie et au plan fixe , et qu'on divise ce rapport par celui des distances du point homologue dans la seconde surface, au même point et à un plan fixe mené arbitrairement dans f espace, la somme de tous les quoiiens ainsi formés sera constante.

Ce théorème donne lieu à deux corollaires qui sont eux-mêmes des propriétés très-générales des surfaces géométriques.

(313) Que Ton suppose un second plan II" parallèle au plann', et qu'on fasse pour ce second plan l'équation analogue à l'équation précédente; puis, qu'on retranche ces deux équations l'une de l'autre; tous les termes du premier membre de l'équation résultante auront un facteur commun qui sera la distance entre les deux plans II', n"; faisant passer ce facteur dans le second membre, on aura l'équation :

Sa Si

— : Sa' : Si' •+* .... = const. ;

ap bp

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ce qui exprime ce théorème :

Quand deux surfaces géométriques sont homologiques , si par une droite , prise dans un plan fixe, on mène les plans tangens à la première ; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au centre d'homologie et au plan fixe, puis le quotient de ce rapport divisé par la distance du point homologue dans la seconde surface, au centre d'homologie ; la somme de tous ces quotiens sera constante , quelle que soit , dans le plan fixe , la droite par laquelle on a mené les plans tangens.

(314) Supposons que le plan IT, dans le théorème (312), se confonde avec le plan P, et que celui-ci soit situé à l'infini, les perpendiculaires ap, hp, o'ïï', b'z', .... seront infinies, et les rapports

ap bp •V' ÏV

seront égaux à l'unité; de sorte que l'équation (1) se réduira à

Sa S6

s? sP * •• = """^

Ce qui prouve que :

Quand deux surfaces géométriques sont homologiques , si F on mène à la première tous ses plans tangens parallèles à un mémo plan quelconque y la somme des distances des points de contact au centre d'homologie, divisées respectivement par les distances des points homologues de la seconde surface au même centre d'homologie, sera constante, quel que soit le plan auquel les plans tangens seront parallèles.

(315) Ces trois théorèmes s'appliquent à des courbes géométriques homologiques, planes ou à double courbure. Conséquemmcnt ils s'appliquent à deux sections plunes d'un cône quelconque géométrique, parce que ce sont deux courbes homologiques , dont le centre d'homologie est le sommet du cône.

Appliquons donc le théorème (312) à deux sections planes d'un To«. XI. 99

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cône, et remarquons que les perpendiculaires abaissées des différons points d'un plan sur un autre plan fixe sont proportionnelles aux perpendiculaires abaissées des mêmes points sur la droite d'intersection des deux plans; on aura cette propriété générale des surfaces coniques: Si l'on fait deux sections planes dans un cône géométrique ; et que par un point d'une droite fixe, prise dans le plan de la première section, on mène toutes les tangentes à cette courbe; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au sommet du cône et à la droite fixe, et qu'on divise ce rapport par celui des dislances du point homologue dans la seconde section, au sommet du cône et à une droite fixe menée arbitrairement dans le plan de cette seconde courbe; la somme de tous les quotiens ainsi formés sera constante , quel que soit le point de la droite prise dans le plan de la première section par lequel on a mené les tangentes à cette courbe.

(316) Si l'on suppose que la droite fixe dans la seconde section, soit a l'infini, le théorème prendra cet énoncé :

Si l'on fait deux sections planes dans un cône géométrique quelconque, et que par chaque point dune droite fixe, prise dans le plan de la première section, on mène toutes les tangentes à celte courbe , la somme des distances des points de contact au sommet du cône , divisées respectivement par les distances de ces points à la droite fixe et par les distances des points correspondons, dans la seconde courbe, au sommet du cône, sera constante.

(317) Si la droite fixe, prise dans le plan de la première section, est à l'infini, le théorème devient le suivant :

Si l'on fait deux sections planes dans un cône géométrique , et que l'on mène à la première courbe toutes ses tangentes parallèles à une même droite quelconque , la somme des distances des points de contact au sommet du cône, divisées respectivement par les distances des points homologues dans la seconde section, au sommet, sera une quantité constante.

Ces théorèmes s'appliquent d'eux-mêmes à deux courbes planes ho-

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Biologiques situées dans un même plan, si au sommet du cône on substitue, dans leur énoncé, le centre d'homologie des deux courbes planes.

§ XIX. Surface» dti second degré homologiques. Propriété fondamentale des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point.

(318) Deux surfaces du second degré homologiques sont inscrites dans un mémo cône qui a pour sommet le centre d'homologie; ce cône peut être imaginaire, bien que son sommet soit réel.

Mais on ne peut pas dire d'une manière absolue que, réciproquement, quand deux surfaces du second degré sont inscrites dans un mémo cône, elles sont toujours homologiques. Car, par exemple, si l'une des deux surfaces est un hyperboloïde à une nappe et l'autre un ellipsoïde ou un hyperboloïde à deux nappes, il est évident qu'il ne peut y avoir homologie, car l'hyperboloïde a une nappe pouvant être engendré par une ligne droite, sa figure homologiquc ne peut être aussi qu'une surface sur laquelle on peut tracer des lignes droites, c'est-à-dire un hyperboloïde à une nappe , ou un paraboloïde hyperbolique.

Il est un autre cas où deux surfaces du second degré inscrites dans un même cône ne sont pas homologiques; c'est celui où Tune des surfaces est un hyperboloïde à deux nappes placé à l'extérieur du cône, et l'autre un ellipsoïde, ou bien un hyperboloïde à deux nappes compris dans l'intérieur du cône, parce que dans ce cas aucune droite menée par le sommet du cône ne peut rencontrer en même temps les deux surfaces ; par conséquent aucun point de l'une de ces surfaces ne peut avoir son homologue dans l'autre.

Mais dans les autres cas , où une droite menée par le sommet du cône pourra rencontrer les deux surfaces en même temps, elles seront homologiques; et l'on pourra prendre pour leur plan d'homologie, indifféremment, l'un ou l'autre des deux plans des courbes d'intersection (réelles ou imaginaires) des deux surfaces. Cela résulte du théo

78* MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

rème général démontré dans le § VIII de nos applications du principe de Dualité '.

' Généralement deux surfaces du second degré inscrites dans un cone se coupent suiTaat deux courbes planes (réelles ou imaginaires). Ce théorème est connu; mais il me semble qu'on l'énonce d'une manière trop absolue ; car on suppose que , dans le cas même où les deux courbes sont imaginaires, leurs plans sont toujours réels.

Cela n'est pas ; car ces plans peuvent être imaginaires , comme il arrive dans toutes les questions où les choses qu'on considère sont doubles, ou admettent deux solutions.

Tour en donner un exemple , qu'on conçoive une section elliptique faite dans un hyperbeloïdc à une nappe, et un cône circonscrit à cette surface suivant cette section ; qu'on fasse dan» le cône une seconde section elliptique qui rencontre la première en deux points, et qu'on inscrive dans le cône un ellipsoïde qui le touche suivant cette seconde section. Cet ellipsoïde et l'hyperboloïde devront se couper suivant deux courbes planes , réelles ou imaginaires. Dans ce cas ces deux courbes sont imaginaires ; car l'ellipsoïde est renfermé dans l'intérieur du cône , et l'hyperboloïde est tout-a-fait en dehors. Mais de plus, leurs plans sont aussi imaginaires; car ils doivent passer par les deux points d'intersection des deux courbes de contact du cone et des deux surfaces ; et si ces plans étaient réels , chacun d'eux couperait réellement les deux surfaces. Ce qui n'est pas possible puisqu'elles n'ont point de courbe d'intersection réelle.

Ainsi , dans ce cas , il est démontré que les deux plans sont imaginaires ; il n'y a de réel que leur droite d'intersection.

L'analyse conduit aux mêmes conclusions. Car soit F = o l'équation d'un cone, ou plus généralement d'une surface quelconque du second degré ; l'équation d'une seconde surface du second degré inscrite dans cette première, sera de la forme

F -+- wP' a= O,

P = o étant l'équation du plan de la courbe de contact des deux surfaces. Pareillement l'équation d'une troisième surface inscrite aussi dans la première sera

P' = o étant l'équation du plan de la courbe de contact.

Des équations de ces deux surfaces inscrites dans la première , on tire

mP1 — m'P" =

D'où

Cette d'ouble équation représente les deux plans sur lesquels se coupent les deux surfaces. Mais on voit que ces plans ne seront réels que quand les deux coefficiens m et m' seront de mêmes signes; et qu'ils seront imaginaires quand ces deux coefTicicns seront de signes contraires. Et dans ce cas l'équation donne les deux suivantes

P = o, P* mm o.

Ce qui prouve que les deux surfaces n'ont point d'autres points d'intersection que sur la droite même sur laquelle se coupent les deux courbes de contact. Les deux points d'intersection peuvent être imaginaires; mais cette droite est toujours réelle, parce qu'elle est l'intersection des plans des deux courbes de contact.

(319) Les différons modes de construction des figures homologiques que nous avons donnés dans le § XVII, appliqués aux surfaces du second degré, conduisent à différentes propriétés nouvelles de ces surfaces, relatives particulièrement à leurs relations métriques. Nous n'entrerons pas dans le détail de ces diverses propriétés; nous allons seulement examiner un mode de construction qui va nous conduire à une propriété nouvelle et fondamentale des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point.

(320) Soit une surface du second degré A, un point fixe S, et un plan fixe P mené arbitrairement. Que du point S on mène une droite à chaque point a de la surface, et qu'on prenne sur cette droite un second point a' tel que l'on ait

Sa' = y — , ap

ap étant la perpendiculaire abaissée du point a sur le plan P, et X étant une constante; le point a' appartiendra à une seconde surface du second degré homologique à la proposée. Le centre d'homologie sera le point S, et dans cette seconde figure , l'infini correspondra au plan P de la première.

Deux plans homologues dans les deux figures, auront pour pôles, pris par rapport aux deux surfaces respectivement, deux points homologues. Supposons que le plan P ait pour pôle dans la première surface le point S, centre d'homologie; ce point étant lui-même son homologue, sera le pôle du plan situé à l'infini par rapport à la nouvelle surface; c'est-à-dire que ce point S est le centre de figure de la nouvelle surface. Ainsi :

Étant donnée une surface du second degré, tout point de V espace peut être pris pour le centre d'homologie d'une seconde surface homologique à la proposée , et ayant son centre de figure en ce point.

(321) Cette seconde surface est indéterminée de grandeur, puisque ses demi-diamètres Sa' ont pour expression

Sa' = A - , ap

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

où A est une constante arbitraire. Mais cette surface est déterminée d'espèce pour une position donnée du point S; c'est-à-dire que, quelle que soit la grandeur de cette surface , elle sera toujours semblable a une certaine surface unique, dont la nature ne dépendra que de la position du point S par rapport à la surface proposée.

(322) Mais si la surface A' est donnée, la surface A sera indéterminée d'espèce et de position ; parce que pour la former on disposera arbitrairement du plan fixe P. On construira ses points par la formule

ap a

fis

(323) Si la surface A' est une spbère, on aura— = constante. Or, il est évident qu'à cause de la forme symétrique de la sphère, la surface homologique A doit être de révolution , et avoir pour axe de révolution la perpendiculaire au plan fixe, menée par le centre de la sphère; l'équation — = constante exprime donc une propriété des surfaces de révolution. Propriété connue, du reste.

Ainsi nous pouvons dire que :

Une surface du second degré de révolution, et une sphère qui a son centre en F un des foyers de cette surface , sont deux figures homologiques ; leur centre dhomologie est ce foyer.

(324) Il suit de là que :

Deux surfaces du second degré de révolution, qui ont un foyer commun, sont homologiques, et leur centre dhomologie est ce foyer.

Car si l'on conçoit une sphère avant ce foyer pour centre, elle sera homologique à chacune des deux surfaces; d'où l'on conclut que celles-ci sont homologiques entre elles '.

1 En Général, quand deux figures sont homologiques à une troisième, et ont atecelle le mfme centre d'homologie , elles sont aussi homologiques entre eiles, et ont ce mémo point pour centre (fhomologie.

En effet soit S le centre d'homologie commun aux trois figures ; a un point de la première , et a', a", ses homologues dans la seconde et la troisième. Soit P un plan de la première figure et P'. P", les plans homologues dans les deux autres. Soient enfin ap, a'p', a"p", les perpen-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 787

(325) Ces deux théorèmes sont la source d'un grand nombre de propriétés des surfaces du second degré de révolution, considérées par rapport à leurs foyers. Quelques-unes de ces propriétés, celles particulièrement qui ne concernent que les relations descriptives des surfaces, sont connues; mais beaucoup d'autres, où entre la considération des relations métriques, seront entièrement nouvelles. Nous exposerons celles-ci dans un paragraphe particulier (§ XXI).

(326) Reprenons les deux surfaces homologiques A, A', dont la seconde a son centre de figure au centre d'homologie.

Considérons dans la surface A' trois diamètres conjugués; leur propriété caractéristique est que le point situé à l'infini sur chacun d'eux a pour plan polaire, par rapport à la surface, le plan des deux autres. Les trois droites homologues, dans la surface A, jouiront donc de la propriété que le point où chacune d'elles perce le plan fixe (qui est le plan polaire du point S), a pour plan polaire le plan des deux autres. D'où il suit que chacune de ces trois droites a sa polaire comprise dans le plan des deux autres. Ces trois droites sont donc ce que nous avons appelé axes conjugués relatifs au point S. Or ces trois droites sont, en direction, les trois diamètres conjugués de la surface A'; donc

Chaque système de trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un point fixe , forme , en direction , un système de trois diamètres conjugués d'une seconde surface du second degré, qui a son centre en ce point;

diculaires abaissées des points a, a', a", sur les plans P, P*, P", respectivement. On aura

Sa ap Sa ap

Sa' ~~ * ~ëFp' ' Ct Sa" ~ «>" '

Doù

Sa" ~ A o>"'

Cette équation prouve que le point a" appartient à une figure bomologique à celle a laquelle appartient le point a' (806). Les plans P', P" se correspondent , dans ces deux figures; et le point S est leur centre d'homologie.

le théorème est démontre.

7fi8

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Cette seconde surface est homologique à la proposée; et le centre lïhomologie est le point fixe.

Les demi- diamètres de cette seconde surface se construisent par la formule

Nous donnerons, plus loin, deux autres constructions de ces demidiamètres, sans se servir du plan fixe, qui est le plan polaire du point S par rapport à la proposée.

(327) Du théorème précédent, et surtout de la formule

découlent naturellement les propriétés des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré relatifs à un point ; car ces propriétés seront des conséquences de celles des diamètres conjugués d'une surface du second degré.

Ainsi, l'on en conclut d'abord que, parmi tous les systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point, il en est un où les trois axes sont rectangulaires.

(328) Ces trois axes déterminent sur la surface les points pour lesquels le rapport — a une valeur maximum ou minimum.

Sa

Si l'on demande les points pour lesquels le rapport — a une valeur donnée, ces points seront sur une courbe à double courbure provenant de l'intersection de la surface par un cône du second degré ayant son sommet au point fixe. Les axes principaux de ce cône seront précisément les trois axes conjugués rectangulaires de la surface, relatifs au point S.

Car il est clair que ce cône passera par la courbe d'intersection de la surface A' par une sphère concentrique j ce qui prouve qu'il sera du second degré, et qu'il aura pour axes principaux les trois diamètres conjugués rectangulaires de la surface A'.

(329) Soient trois axes conjugués Sa, Sb, Se, de la surface A , et

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Sa', Sb', Se', les trois demi-diamètres conjugués de la surface A/, qui leur correspondent ; on aura

Sa Sb Se

Sa' = A —, Sb' = X - , Se' = A - , ap bp cp

ap, bp, cp, étant les perpendiculaires abaissées des points a, b, c, sur le plan P, qui est le plan polaire du point S par rapport à la surface A.

La somme des carrés des trois demi-diamètres Sa', Sb', Se', est constante; on a donc aussi

\aPj \bPj \*pj

ce qui exprime un théorème déjà démontré (52 et 191).

(330) La somme des carrés des projections des trois demi-diamètres Sa', Sb', S&, sur une droite, est constante; on en conclut le théorème (191).

(331) La somme des carrés des aires des triangles formés par les trois demi-diamètres conjugués Sa', Sb', Se', pris deux à deux, est constante ; de sorte qu'on a

(Sa'. Si', sin. a'SA')1 -4- (Sa'. Se*, sin. a'Sc')' + (Sb'. Se', sin. b'Sc'Y ma const.

On a donc

(Sa. Sb. sin.aSt)' (Sb. Se. sin. bSc)' (Se. Sa. sin. cSo)' ap". bp1 bp . cp" cp'. ap'

Les numérateurs sont les carrés des aires des triangles formés par les trois axes Sa, SA, Se, pris deux à deux. Cette équation exprime donc une propriété de ces trois triangles.

(332) Enfin si Ton a deux systèmes de trois demi-diamètres conjugués de la surface À', le tétraèdre formé par trois quelconques de ces six demi-diamètres est égal en volume au tétraèdre formé par les trois autres. Exprimant le volume d'un tétraèdre par le produit des trois demi-diamètres qui le forment, multiplié par une fonction des angles que ces droites font entre elles, on en conclut que :

To«. XI. 100

Si Fort a dans une surface du second degré , deux systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point, le volume du tétraèdre formé par trois quelconques de ces six droites, divisé par le produit des perpendiculaires abaissées des extrémités de ces trois droites sur le plan polaire du point fixe, sera égal au volume du tétraèdre formé par les trois autres droites, divisé par le produit des perpendiculaires abaissées des extrémités de ces trois droites sur le même plan.

(333) Si les trois demi-diamètres Sa', Sb', Se', sont rectangulaires, on sait qu'on aura

S^' * Sb" * s7" "

donc

ce qui exprime le théorème (201).

(334) La formule

(1) Sa' = A -

ap

peut être transformée de deux manières en une autre, qui donnera les demi-diamètres Sa' de la surface homologique A', sans se servir du plan P.

Soit b le second point où la droite Sa rencontre la surface proposée A', bp, la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan P, et b' le point homologue sur la surface A'; on aura

Si' = A ~ bp

Mais Sb' =» Sa', puisque ce sont deux demi-diamètres de direction

Sb

opposée ; donc Sa' «=- Ji j- Le plan P étant le plan polaire du point S, par rapport à la surface A , les plans tangens à cette surface aux points

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 791

a, b, se coupent sur ce plan; on a donc, d'après la propriété générale des surfaces géométriques (219),

1 ±L = COIWt.;

ap bp

le signe -f étant pris quand les perpendiculaires ap, bp, seront dirigées dans le même sens, et le signe — quand elles seront en sens contraire. Le premier cas a lieu quand le point S est dans l'intérieur de la surface, et le second quand ce point est pris au dehors de la surface.

De cette équation on conclut

— ± — -oast - Sa Si n

D'où

Ainsi cette équation servira à déterminer les demi-diamètres de la surface h!, de même que l'équation (1).

On prendra le signe + quand le point fixe S sera dans l'intérieur de la surface, et le signe — quand il sera au dehors.

On conclut de cette équation, ce théorème : .

Si autour d'un point fixe on fait tourner une droite qui rencontre une surface du second degré en deux points , et qu'on prenne sur cette droite, à partir du point fixe, un segment dont la valeur inverse soit proportionnelle à la somme des valeurs inverses des distances des deux points de la surface au point fixe, si ce point est dans t intérieur de la surface, ou à la différence des valeurs inverses des deux mêmes distances, si le point fixe est au dehors de la surface, t extrémité de ce segment sera sur une seconde surface du second degré, qui sera homologique à la proposée; le centre dhomologie sera le point fixe ; et ce point sera aussi le centre de figure de la nouvelle surface.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

(335) Les différens théorèmes que nous avons indiqués ci-dessus au sujet du rapport — , s'appliquent, comme on voit, à l'expression

Ainsi nous pouvons dire que, si l'on demande de mener la droite Sab de manière que cette quantité soit un maximum ou un minimum , trois directions de la droite satisferont à la question; et ces trois directions seront à angle droit. Si le point S est au dehors de la surface, elles seront les trois axes principaux du cône circonscrit à la surface et ayant son sommet au point S.

Si on demande que l'expression

ait une valeur donnée , la droite Sab aura pour lieu géométrique un cône du second degré et ce cône aura pour ses axes principaux, les trois directions pour lesquelles cette expression a une valeur maximum ou minimum.

Si la droite Sab prend trois directions rectangulaires, la somme des carrés des valeurs correspondantes de l'expression

sera constante. Etc., etc.

' Ce sont cet cônes du second degré dont M . Legendre s'est servi pour régler la marche de ses intégrales dans sou mémoire sur l'attraction des sphéroïdes sur des points extérieurs , et dont il n'a donné que l'expression analytique. Et les droites qui jouissent d'une propriété de maximum , et qui marquent la limite des intégrales , sont précisément les axe* conjugué» rectangulaires de l'ellipsoïde attirant, relatif» au point attiré; ce sont aussi les axes principaux communs à tous ces cônes. Les considérations géométriques précédentes procurent une interprétation géométrique de plusieurs autres résultats analytiques obtenus par M. Legendredans son mémoire, et font connaître particulièrement la signification d'un beau théorème relatif a l'attraction de différens ellipsoïdes semblables et concentriques sur un même point extérieur. (Voir Mémoire» de t Académie de* Science» de Pari»; année 1788 , p. 454).

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

(336) Maintenant, écrivons l'équation (2) sous la forme

J /S6*Sa\ Sa' * V Sa. SA )

On sait, par une propriété générale des surfaces du second degré, que d étant le demi-diamètre de la surface, parallèle à la sécante Sa A,

on a soTsï ~ const-> quelle que soit la direction commune de ce diamètre et de cette sécante. Il vient donc

1 , SA ± Sa =„. __

Or, si le point S est dans l'intérieur de la surface, (Sa + Sb) est la corde comprise dans la surface sur la droite Sab ; et si le point S est au dehors de la surface, (SA — Se) est cette corde; la désignant par c, on a donc, dans les deux cas,

OU

ce qui exprime que :

Si autour d'un point fixe on fait tourner une droite qui rencontre une surface du second degré en deux points , et qu'on porte sur cette droite, à partir du point fixe , un segment proportionnel au carré du diamètre de la surface qui lui est parallèle, divisé par la corde comprise dans la surface sur cette droite, V extrémité de ce segment sera sur une surface du second degré qui sera homologique à la proposée. Le point fixe sera le centre d homologie des deux surfaces , et le centre de figure de la seconde.

On déduit de là plusieurs théorèmes relatifs à l'expression —, correspondant aux différentes propriétés connues des diamètres d'une surface du second degré. Nous n'avons pas besoin d'insister sur cet objet.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

§ XX. Propriétés générales, nouvelles, des surfaces du second degré.

(337) Les propriétés générales des surfaces géométriques, démontrées dans le § XVIII, s'appliquent aux surfaces et aux courbes du second degré, et donnent lieu à de nombreux corollaires où se trouvent plusieurs propriétés nouvelles de ces surfaces et de ces courbes. On y distinguera particulièrement certaines propriétés concernant leurs foyers. Nous réunirons celles-ci dans le paragraphe suivant. Nous allons présenter d'abord des propositions d'une plus grande généralité.

Supposons dans le théorème (312) que les deux surfaces soient du second degré; par une droite prise dans le plan fixe on pourra mener deux plans tangens à la première surface; la corde qui joindra les deux points do contact passera par un point fixe, qui sera le pôle de ce plan par rapport à cette surface; nous pouvons donc énoncer ce théorème :

Quand deux surfaces du second degré ont un centre dhomologie , si autour d'un point fixe on fait tourner une corde de la première surface, les rapports des distances des extrémités de cette corde au centre dhomologie et au plan polaire du point fixe, divisé respectivement par les rapports des distances des deux point* homologues dans la seconde surface , au même centre dhomologie et à un plan fixe mené arbitrairement, auront leur somme ou leur différence constante.

Ce' sera la somme , si le point fixe et pris dans l'intérieur de la surface, et la différence , s'il est pris au dehors.

Ainsi soient a, h, les extrémités delà corde de la première surface; a' , b', les points homologues de la seconde; ap, bp, les perpendiculaires abaissées des points a, b sur le plan polaire du point fixe, pris par rapport à la première surface ; et o'ît , b\ les perpendiculaires abaissées des points a', b', sur un plan fixe n mené arbitrairement; on aura

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 795

(338) Si le plan fixe mené arbitrairement est à l'infini , on conclut du théorème (313) celui-ci :

Quand deux surfaces du second degré ont un centre dhomologie , si autour d'un point fixe on fait tourner une corde de la première surface, la somme ou la différence des rapports des distances des extrémités de la corde au centre dhomologie et au plan polaire du point fixe, divisés respectivement par les distances des points homologues de la seconde surface au centre dhomologie, sera constante.

Ainsi 1 on a

Sa Sb

— ; Sa ± — ; Sb' = coiut.

ap ' bp '

On prendra le signe -f- quand le point fixe sera dans l'intérieur de la surface, et le signe — quand il sera au dehors.

(339) Si ce point fixe est le centre de la première surface, son plan polaire sera à l'infini, et le théorème prendra cet énoncé :

Quand deux surfaces du second degré sont homologiques , si du centre dhomologie on mène deux rayons aux extrémités dun diamètre de la première, la somme ou la différence de ces rayons divisés respectivement par les rayons menés aux points homologue* dans la seconde surface, sera constante.

Ce sera la somme quand la première surface sera un ellipsoïde , et la différence quand elle sera un hyperboloïde.

Si dans ce théorème on suppose que le centre d'homologie des deux surfaces soit le centre de figure de la première, on obtient le théorème de l'art. (334) que nous avons démontré directement.

(340) Dans les trois théorèmes précédens, on peut suposer que la seconde surface se confonde avec la première, de manière que deux points de celle-ci, situés en ligne droite avec le centre d'homologie, seront homologiques; et le plan d'homologie sera le plan polaire du point pris pour centre d'homologie. Car soient a, a', les points où une droite menée par le point fixe S rencontre une surface du second degré, et soit « le point où elle rencontre le plan polaire P du point S j on aura ,

796 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

comme on sait,

Sa xa Sa xa — = — . ou — ! — = 1 = const. :

Sa' aa! Sa' xa '

ce qui prouve que les points a et a' peuvent être considérés appartenant à deux figures homologiques (308).

Si le point S est pris au dehors de la surface, son plan polaire, qui est le plan d'homologie, divisera la surface en deux nappes, qui pourront être considérées comme étant les deux figures homologiques.

(341) D'après cela, le théorème (337) donne le suivant :

Si, autour d'un point fixe O, on fait tourner une corde dune surface du second degré, et que dun second point fixe S on mène aux extrémités a, b de cette corde, deux droites qui rencontreront la surface en deux autres points a', b'; et qu'on appelle ap, bp, les perpendiculaires abaissées des points a, b, sur le plan polaire du point 0, et a'jr , b'it, les perpendiculaires abaissées des points a', b', sur un autre plan fixe mené arbitrairement, on aura

Sa S£ S6 SA'

ap o'r ± : b r ™ COn>t*

On prendra le signe -f- quand le point O sera dans l'intérieur de la surface, et le signe — quand il sera au dehors.

(342) Si le plan fixe pris arbitrairement est à l'infini l'équation se réduira à

Sa Sb

- : Sa' ± - : SA' - const. (1*8).

ap bp

(343) Si le point O est le centre de la surface, son plan polaire est à l'infini, et l'équation, d'après le théorème (339), se réduit à

Sa SA

Sa' S6' ~~ COn*t*

Donc :

Si d un point fixe on mène deux rayons aux extrémités d un dia-

d by Oooglc

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

mètre d'une surface du second degré, ils rencontreront la surface en deux autres points ,* et la somme ou la différence des deux rayons divisés respectivement par les segtnens compris entre le point fixe et ces deux autres points , sera constante.

Ce sera la somme si la surface est un ellipsoïde, et la différence si elle est un hyperboloïde.

(344) Si sur un diamètre quelconque d'une surface du second degré on prend deux points fixes situés de part et d'autre et à égale distance du centre, les droites menées de l'un de ces points aux extrémités d'un autre diamètre quelconque, seront égales réciproquement aux droites menées de l'autre point aux extrémités du même diamètre. D'après cela, on peut donner au théorème précédent cet autre énoncé:

Si sur un diamètrequelconque dune surface du second degré on prend, de part et dautre et à égale distance du centre , deux points fixes, et que de ces points on mène des rayons à un point quelconque de la surface, la somme ou la différence de ces deux rayons divisés respectivement par les autres segmens faits sur eux entre les points fixes et la surface , sera constante.

Ainsi soient F , F' les deux points fixes pris sûr un diamètre quelconque d'une surface du second degré, de part et d'autre et à égale distance du centre ; que de ces points on mène deux rayons aboutissant à un même point quelconque m de la surface, et rencontrant cette surface en deux autres points n, n' , on aura, quel que soit le point m,

— ± — - = consi.

Fn F V

Ce sera + si la surface est un ellipsoïde, et — si elle est un hyperboloïde.

(345) Dans les trois théorèmes des art. 337, 338, 339, les deux surfaces peuvent se réduire à des coniques situées sur un même cône; alors on aura diverses propriétés des cônes du second degré.

Ainsi le théorème (337) donne le suivant :

Étant fait deux sections planes dans un cône du second degré, si Toi. XI. 101

autour d'un point fixe , pris dans lo plan de la première section , on fait tourner une corde qui rencontre cette courbe aux points a, b, et que ap, bp, soient les perpendiculaires abaissées de ces points sur la polaire du point fixe , prise par rapport à cette première section, et a'rr, 1/tt, les perpendiculaires abaissées des points homologues de la seconde section sur une droite fixe menée arbitrairement dans lo plan de celte courbe , on aura , en appelant S le sommet du cône ,

Sa Sa' Sb Sb'

— • — ± — : = const.

ap o't bp b'r

Ce sera lo signe + quand le point fixe pris dans le plan de la première section sera dans l'intérieur de cette courbe, et le signe — quand il sera au dehors.

(346) Si la droite prise dans le plan de la seconde section est à l'infini, l'équation devient

Sa Si

— I Sa' ± Sf = conM.

V bP

(347) Si le point fixe, pris dans le plan de la première section, est le centre de cette courbe, la polaire de ce point est à l'infini, et l'équation devient

Sa' Si' ~ COnS''

ce qui exprime que :

Si ton fait deux sections planes dans un cône du second degré , la somme ou la différence des arêtes menées aux extrémités d'un diamètre quelconque de la première section, divisées respectivement par les segmens compris sur ces arêtes, entre le sommet du cône et la seconde section, sera constante.

Ce sera la somme si la première section est une ellipse, et la différence si elle est une hyperbole.

(348) Si dans le théorème (346) on suppose que le cône soit de révolution , et que la seconde section soit un cercle, les arêtes Sa', Sb',

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

seront de longueur constante, on aura donc l'équation

Sa Sb

— ± — = const.; ap bp

ce qui exprime que :

Une section plane quelconque étant faite dam un cône de révolution, si autour dun point fixe du plan de cette courbe on fait tourner une droite qui la rencontre en deux points, la somme ou la différence des dislances de ces deux points au sommet du cône, divisées respectivement par leurs distances à la polaire du point fixe, prise par rapport à la courbe, sera constante.

Ce sera la somme quand le point fixe sera pris dans l'intérieur de la courbe, et la différence quand il sera pris au dehors.

(349) Si le point fixe est le centre de la courbe , l'équation devient

Sa ± Sb = const.

D'où l'on conclut que :

Quand un cône de révolution passe par une section conique, la somme ou la différence des arêtes aboutissant aux extrémités dun diamètre de cette courbe est constante.

Ce sera la somme si la courbe, est une ellipse, et la différence si elle est une hyperbole.

(350) Si dans le théorème (347) on suppose que le cône soit de révolution, et que la première section soit un cercle, son centre sera sur l'axe du cône, et le théorème prendra cet énoncé :

Quand un cône de révolution passe par une conique, la somme des valeurs inverses des arêtes comprises dans un plan quelconque mené pur l'axe du cône est constante.

$ XXI. Propriétés nouvelles des surfaces du second degré de révolution, et des cônes du second degré.

(351) Nous avons démontré (324) que : Quand deux surfaces du

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

second degré de révolution ont un foyer commun , quelle que soit la position respective de ces deux surfaces , elles sont homologiques , et leur centre dhomologie est leur foyer commun.

Appliquons aux deux surfaces le théorème (337), nous aurons celui-ci :

Quand deux surfaces du second degré ont un foyer commun F, si autour d'un point fixe quelconque O on fait tourner une corde de la première surface, et que a et b soient ses extrémités; qu'on mène les rayons Fa, Fb, qui rencontrent la seconde surface aux points a', b', homologues des points a, b; que ap, bp, soient les perpendiculaires abaissées des points a, b, sur le plan polaire du point O, pris par rapport à la première surface; et a'r, b'*, les perpendiculaires abaissées des points a', b', sur un autre plan fixe n, mené arbitrairement dans l'espace , on aura

Sa Sa' Sb Sb'

— : — ± — : — = consl.

ap or bp b r

Le signe + ayant lieu quand le point fixe est pris dans l'intérieur de la première surface, et le signe — quand il est pris au dehors.

(352) Ce théorème donne lieu à plusieurs conséquences. D'abord on en conclut, comme nous l'avons fait voir (art. 313), un

théorème où n'entre point la considération du plan II, et qui est exprimé par l'équation

— : Sa' ± ^ : Si' - consi.

ap bp

(353) Maintenant, prenant pour le plan n, dans le théorème général, le plan polaire du point fixe O par rapport à la première surface, et supposant ce plan polaire à l'infini, le point O sera le centre de cette surface ; les rapports

ap bp a'r' b'r

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

seront égaux à l'unité , et l'équation deviendra

Sa' S6' COn'1'

Ce qui prouve que :

Quand deux surfaces du second degré de révolution ont un foyer commun , si par ce point on mène deux rayons vecteurs aux extrémités d'un diamètre de la première surface , la somme ou la différence de ces deux rayons divisés respectivement par les rayons de la seconde surface qui ont la même direction qu'eux, est constante.

Ce sera la somme si la première surface est un ellipsoïde, et la différence si elle est un hyperboloïde.

(354) Le rayon mené d'un foyer à un point quelconque d'une surface de révolution est égal au rayon mené par le second foyer, parallèlement au premier, mais en sens contraire; d'après cette remarque, on voit aisément que le théorème peut prendre cet énoncé :

Si Von a doux surfaces du second degré de révolution placées dune manière quelconque dans l'espace , la somme ou la différence des deux rayons vecteurs menés des deux foyers de la première à un point quelconque do cette surface , divisés respectivement par les rayons vecteurs de la seconde surface menés respectivement de ses deux foyers, parallèlement à ces deux premiers, sera constante.

(355) Ce théorème est une généralisation assez, remarquable de la propriété connue des foyers d'une surface du second degré. Car si l'on suppose que la seconde surface soit une sphère, on a précisément cette propriété, c'est-à-dire que

La somme ou la différence des rayons vecteurs menés des deux foyers d'une surface du second degré de révolution à un point de la surface est constante.

(356) Si l'on suppose, au contraire, que la première surface soit une sphère, on aura ce théorème :

Si par les deux foyers d une surface du second degré de révolution, on mène deux rayons vecteurs sous une même direction

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quelconque , la somme de leurs valeurs inverses sera constante. Ce qui revient à dire que :

Toute corde menée par un foyer d'une surface du second degré de révolution, est divisée en ce point en deux parties dont la somme des valeurs inverses est constante.

(357) Supposons, dans le théorème (362) que la seconde surface soit une sphère, les lignes Sa', Sb', seront des rayons de cette sphère; on peut les faire passer dans le second membre de l'équation qui devient :

Sa Sb

— ± — = const.

ap bp

Ce qui prouve que :

Si d'un foyer (Tune surface du second degré de révolution on mène deux rayons vecteurs aux extrémités d'une corde de la surface, qui tourne autour d'un point fixe, la somme ou la différence de ces deux rayons divisés respectivement par les perpendiculaires abaissées de leurs extrémités sur le plan polaire du point fixe, pris par rapport à la surface, sera constante.

Ce sera la somme si le point fixe est pris au dedans de la surface et la différence s'il est pris au dehors.

(358) Si dans le théorème (351) le point fixe est le foyer commun aux deux surfaces, on aura

Sa Sb

ap bp " COn*L '

il restera donc

a'r . AV

rfc = const . .

Sa' Sb' '

ce qui prouve que :

Si par un foyer dune surface du second degré de révolution on tire une transversale quelconque , qui rencontrera la surface en deux points, la somme des distances de ces points à un plan transversal quelconque, divisées respectivement par leurs distances au foyer sera constante.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

(359) Si l'on prend pour le plan transversal le plan directeur correspondant au second foyer de la surface, on en conclut que :

Si dun foyer dune surface du second degré on mène deux rayons aux extrémités dune corde passant par le second foyer, la somme de ces deux rayons divisés respectivement par les dislances de leurs extrémités au second foyer sera constante.

Dans ce théorème, comme dans le précédent, c'est la somme que nous prenons et non la différence, parce que, dans les deux cas, le point autour duquel tourne la corde de la surface est dans son intérieur.

(360) Quand une corde d'une sphère tourne autour d'un point fixe, il est facile de démontrer que les tangentes trigonométriques des demi-angles que les rayons de la sphère menés aux extrémités de la corde font avec le rayon mené au point fixe, ont leur produit constant Supposons que la sphère ait son centre au foyer d'une surface du second degré de révolution ; ces deux surfaces seront homologiques, et le foyer sera leur centre d'homologie. Les points qui correspondront, dans la surface de révolution, aux extrémités de la corde de la sphère seront sur les prolongemens des rayons menés à ces extrémités; on conclut donc, de la propriété de la sphère, cette propriété des surfaces de révolution :

Si dun foyer dune surface du second degré de révolution, on mène deux rayons aux extrémités dune corde qui tourne autour dun point fixe, le produit des tangentes trigonométriques des demiangles que ces deux rayons feront avec la droite qui joint le foyer au point fixe, sera constant, quelle que soit la corde menée par ce point.

(361) Si le point fixe est pris au dehors de la surface, et que la

1 Ce produit est égal à R étant le rayon de la sphère, et D la distance du point fixe à

son centre.

Ce théorème, considéré dans le cercle, est dû à Lagrange , qui s'en est servi pour résoudre le problème d'inscrire dans un cercle un triangle dont les trois côtés passent par trois points donnés. (Voir Mémoire, de l'Académie de Berlin, ann. 1776, page Î86.)

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

corde soit menée tangentiellement à la surface, son point de contact sera sur une courbe plane; et, d'après le théorème, le rayon vecteur mené à chaque point de cette courbe fera un angle constant avec la droite menée du foyer au point fixe ; d'où l'on conclut ce théorème : Le cône qui a pour sommet un foyer dune surface de révolution et pour base une section plane de la surface , est de révolution et a pour axe la droite menée du foyer au sommet du cône circonscrit à la surface suivant sa section plane.

(362) Si la corde, en tournant autour d'un point fixe, reste toujours dans un même plan , ses extrémités seront sur la section faite par ce plan dans la surface, et le cône qui aura cette section pour base et le foyer de la surface pour sommet, sera de révolution; d'où l'on conclut que :

Si autour d'une droite fixe, menée par le sommet dun cône de révolution, on fait tourner un plan transversal , il coupera le cône suivant deux arêtes qui seront telles que le produit des tangentes trigonométriques des demi-angles qu'elles feront avec la droite fixe, sera constant.

(363) Par la considération du cône supplémentaire, formé par les perpendiculaires aux plans tangens du premier, on conclut de ce théorème le suivant :

Étant donné un cône de révolution et un plan fixe mené par son sommet, si par un droite prise dans ce plan et passant par le sommet du cône , on mène deux plans tangens à cette surface, le produit des tangentes trigonométriques des demi-inclinaisons de ces plans tangens sur le plan fixe sera constant.

(364) Ce théorème et le précédent donnent lieu à deux propositions de la géométrie de la sphère, dont voici l'énoncé :

1° Un petit cercle étant tracé sur une splière, si autour dun point fixe on fait tourner un arc de grand cercle qui rencontre le petit cercle en deux points, le produit des tangentes trigonométriques des demi-arcs compris entre ces deux points et le point fixe, sera constant.

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2° Un petit cercle étant tracé sur une sphère, si par un point pris arbitrairement sur un arc de grand cercle fixe, on mène deux arcs de grands cercles tangens au petit cercle, le produit des tangentes trigonométriques des demi-angles qu'ils feront avec lare de grand cercle fixe, sera constant.

(365) La première de ces deux propositions peut être considérée comme répondant au théorème de géométrie plane qui exprime la propriété des segmens des cordes qui se coupent dans le cercle.

La seconde correspond aussi à un théorème de géométrie plane qui consiste en ce que :

Si de chaque point dune ligne droite tracée dans le plan d'un cercle on mène deux tangentes au cercle, le produit des tangentes trigonométriques des demi-angles quelles feront avec la ligne droite fixe, sera constant.

(366) Les deux propositions précédentes peuvent être considérées comme exprimant, la première une propriété de quatre points pris arbitrairement sur la circonférence d'un petit cercle de la sphère; et la seconde une propriété de quatre arcs de grands cercles tangens à un petit cercle. Sous ce point de vue , ces deux propositions seront très-utiles dans la géométrie de la sphère. Nous en ferons diverses applications dans un autre moment.

On peut encore dire que la première exprime une propriété du quadrilatère sphérique inscrit à un petit cercle; et la seconde une propriété du quadrilatère sphérique circonscrit à un petit cercle.

§ XXII. Méthode pour les relations angulaires. — Transformation de la sphère en un sphéroïde aplati.

(367) Considérons deux figures homographiques à trois dimensions ; qu'elles soient coupées respectivement par deux plans homologues quelconques P, P'; les sections seront deux parties homologues des deux figures, de sorte qu'elles seront elles-mêmes deux figures planes To«. XI. 102

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homographiques. On pourra placer les deux corps de manière que ces deux figures planes soient la perspective l'une de l'autre; c'est-à-dire de manière que les droites joignant les points a de la première aux points homologues a' de la seconde , concourent en un même point 0 de l'espace. (Cela sera démontré dans le § XXVI.)

Considérons ce point O comme appartenant a la première figure; il lui correspondra un point O', dans la seconde figure; et aux droites Oa correspondront les droites O'o'. De sorte que les deux figures seront placées de manière que toutes les droites issues du point O dans la première, rencontreront toutes leurs homologues, respectivement, en des points situés sur un même plan P'.

Et, plus généralement,

Deux droites homologues quelconques rencontrent respectivement les deux plans P, P', en deux points a, a' qui sont en ligne droite avec le point O.

(368) Maintenant, prenons pour le plan P', qui est arbitraire, celui dont le correspondant, dans la première figure, est à l'infini; les points a seront à l'infini; on peut donc dire que :

Les deux figures seront placées de manière que, si ton prend deux droites homologues quelconques , une parallèle à la première, menée par le point O, rencontrera la seconde sur le plan fixe P'.

(369) Réciproquement, une figure étant donnée, nous pouvons en construire une seconde, qui ait une telle forme et une telle position, par rapport à la première, que cette relation ait lieu.

En effet, une figure étant donnée, prenons cinq points arbitraires, dans l'espace, a', b', c' , d' et O' pour former la figure homographique; et convenons que ces points correspondront à cinq points de la première figure, que nous allons déterminer.

Que le point O' corresponde à un point O pris arbitrairement dans la figure proposée. Que les points a' , b' , c' , correspondent respectivement aux points de cette figure situés à l'infini sur les droites Oa', Ob' , Oc'; et que le point d' corresponde à un point de la première

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figure pris sur la droite menée du point 0 au point où la droite O'd' rencontre le plan a'b'c'.

Nous pourrons, avec ces données, construire la figure homographique de la proposée.

Dans cette figure, il est clair que le plan a'b'c' correspond à l'infini de la proposée.

Le point # correspond au point situé à l'infini sur la droite 0 ; .

Ainsi les quatre points a', b' , c', <?', situés dans un même plan, correspondent à quatre points situés sur les droites Oa' Ob', Oc', OJ\ Ce qui prouve que la figure située dans le plan a'b'c' est en perspective avec son homologue dans la première figure. Par conséquent tout autre point t' du plan a'b'c' a son homologue à l'infini sur la droite (V.

Il s'ensuit que

Toute droite, dam la seconde figure, aura son homologue, dans la première, parallèle à la droite menée du point 0 au point où celte droite de la seconde figure rencontre le plan a'b'c'.

Et si l'on regarde le point O comme faisant partie de la seconde figure, et qu'on le fasse entrer dans les propriétés de cette seconde figure, on voit qu'aux angles que différentes droites de la première figure font entre elles, correspondront des angles égaux, faits par les droites menées du point O aux points où les droites homologues, dans la seconde figure, rencontrent le plan a'b'c'.

Diverses applications de cette méthode particulière vont en faire connaître parfaitement l'usage.

(370) Supposons que la figure proposée soit une sphère ayant son centre au point O; la seconde figure sera une surface du second degré. Prenons le point O', qui est arbitraire, sur la perpendiculaire abaissée du point O sur le plan P'. Cette surface sera alors de révolution autour de la droite 00' , parce que tout sera symétrique de part et d'autre d'un plan mené par cette droite. Ce moyen de déformation donnera donc des propriétés des surfaces du second degré de révolution, correspondantes à des propriétés de la sphère.

Après avoir disposé du point O' et du plan P', nous pouvons encore

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prendre arbitrairement un point d! pour correspondre à un point d de la sphère, en observant cette seule condition que les droites Od, O'd se rencontrent sur le plan P\ Ainsi , pour un point O' et un plan P' déterminés, on pourra former une infinité de surfaces de révolution homographiques à la sphère; et les propriétés de la sphère produiront des propriétés de ces surfaces.

Nous pouvons faire en sorte que l'une de ces surfaces ait son centre au point O qui est le centre de la sphère.

En effet, prenons le point d de la sphère sur la droit 00'; le point correspondant d' de la surface sera aussi sur la droite 00'; et ce point d' peut être pris arbitrairement sur cette droite. Cherchons en quel lieu il doit être placé pour que la surface ait son centre au point O.

Remarquons que le point O' correspond au point O de la première figure , et le plan P' correspond au plan à l'infini de cotte première figure. Ce plan à l'infini est le plan polaire du point O par rapport à la sphère; le plan P' est donc le plan polaire du point 0' par rapport à la surface de révolution. Donc, si le point O est le centre de cette surface, on aura Qd'2 = 00'. 0ô\

Il faut donc prendre le point d' de manière que l'on ait cette égalité; et alors la surface aura son centre au point O.

Pour déterminer un point m' de la surface, correspondant à un point donné m de la sphère, on mènera par le point m les deux droites mO, mdj dont les correspondantes passeront par les points O' et d' respectivement. La première passera par le point où la droite Ow perce le plan P' , et la seconde passera par le point où une parallèle à la droite md, menée par le point 0, perce ce plan P'. Ainsi le point m' sera déterminé.

Si la droite Ow est parallèle au plan P', la droite O'm' sera parallèle à Ow. On trouve aisément, par une comparaison de triangles semblables, que O'm' = Od'. De sorte que, une corde de la surface, menée par le point 0', perpendiculairement à l'axe de révolution, est égale au diamètre dirigé suivant cet axe. Cela prouve que ce diamètre est le plus petit de la surface ; car s'il était le plus grand, on ne pour-

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rait pas inscrire dans la surface une corde qui lui fût égale. Ainsi la surface est un ellipsoïde aplati. Et le point O' jouit de cette propriété qu'il est pris sur l'axe de révolution de manière qu'une corde menée par ce point, perpendiculairement à cet axe, est égale au diamètre de l'ellipsoïde dirigé suivant cet axe.

Le plan P' est le plan polaire du point O' par rapport à l'ellipsoïde. Si on veut le déterminer directement sans chercher d'abord le point O', on trouve cette expression remarquable de sa distance au centre de l'ellipsoïde, savoir que :

La valeur inverse du carré de la distance de ce plan au centre de l ellipsoïde , est égale à la différence des valeurs inverses des carrés des deux demi axes principaux de Vellipse génératrice de Vellipsoïde.

(371) Dans ce qui va suivre nous désignerons toujours le plan en question par P' , et son pôle par O'. Il est bien entendu que ce plan et ce point ne sont pas arbitraires, et qu'ils sont, au contraire, absolument déterminés. Seulement si on les prend à droite de Péquateur de la surface, il existera pareillement, à gauche, un pareil plan et un pareil point. Nous regrettons de n'avoir pas à donner à ce plan et à ce point des dénominations particulières. Ces dénominations pourraient tirer leur origine de celles de foyer et plan directeur; car le plan et le point en question ont une relation directe avec le foyer et le plan directeur d'un ellipsoïde de révolution allongé. C'est que si l'on fait la transformation polaire de cet ellipsoïde, par rapport à une sphère concentrique, on obtient un ellipsoïde aplati, dans lequel le plan et le point en question correspondent respectivement au foyer et au plan directeur de I ellipsoïde proposé.

(372) Concevons une sphère ayant son centre au point O, et l'ellipsoïde de révolution, aplati, formé homographiquement comme nous l'avons dit; prenons le plan P' et le point O' de cet ellipsoïde; ce plan correspondra à l'infini de la première figure; et ce point correspondra au point O, centre de la sphère.

Nous allons passer en revue différentes propriétés de la sphère qui s'appliqueront à l'ellipsoïde.

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Tout cône qui a pour base une section plane de la sphère et pour sommet le centre de cette surface, est de révolution.

A ce cône correspondra, dans l'ellipsoïde, un second cône ayant pour base une section plane de cette surface, et pour sommet le point 0' ; et ce second cône rencontrera le premier sur le plan P'; d'où l'on conclut que :

Tout cône qui a pour sommet le point 0' et pour base une section plane de V ellipsoïde , rencontre le plan P' suivant une conique qui, vue du centre de la surface , paraît être un cercle.

(373) Un cône circonscrit a la sphère est de révolution. A ce cône correspond un cône circonscrit à l'ellipsoïde, qui rencontre le plan P' suivant une conique qui correspond à l'infini du premier cône. Si donc par cette conique on fait passer un cône qui ait son sommet au centre de l'ellipsoïde, il sera parallèle au cône circonscrit à la sphère; donc

Tout cône circonscrit à Vellipsovle rencontre le plan P' suivant une conique qui, vue du centre , paraît être un cercle.

(374) Un plan tangent à la sphère est perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de contact; donc

Un plan tangent à F ellipsoïde et la corde menés du point 0' au point de contact, rencontrent le plan P' suivant une droite et en un point qui sont tels, que la droite menée du centre à ce point est perpendiculaire au plan mené par le centre et par cette droite.

(375) Deux plans tangens à la sphère font des angles égaux avec la corde qui joint les points de contact ; donc

Étant menés deux plans tangens à V ellipsoïde et la corde qui joint les points de contact, si par les droites suivant lesquelles ces deux plans rencontrent le plan P', on mène deux plans passant par le centre de la surface, ils seront également inclinés sur la droite menée du centre au point où la corde qui joint les points de contact rencontre le plan P'.

(376) Dans la sphère, deux droites polaires réciproques sont à angle droit, donc

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Deux droites polaires réciproques par rapport à ï ellipsoïde , rencontrent le plan P' en deux points qui sont tels que les droites menées de ces points au centre de Vellipsoïde sont à angle droit.

(377) Trois diamètres conjugués de la sphère sont rectangulaires ; donc

Trois axes conjugués de l'ellipsoïde , relatifs au point 0' , rencontrent le plan P' en trois points tels que les droites menées du centre de Vellipsoïde à ces trois points sont rectangulaires.

(378) Beaucoup d'autres propriétés de la sphère s'appliqueraient avec la même facilité à l'ellipsoïde aplati. Il est inutile de nous étendre davantage sur cet objet.

Comme nous l'avons dit ci -dessus , la théorie des polaires réciproques, ou plus généralement, le principe de Dualité, établit une relation très-simple entre les ellipsoïdes de révolution allongé et aplati, et peuvent servir à passer des propriétés de l'un aux propriétés de l'autre ; de sorte que nous aurions pu déduire les théorèmes précédens des propriétés connues de l'ellipsoïde allongé. Mais ce n'était pas là notre but. Nous avons voulu donner une méthode qui servit à tirer directement, des propriétés de la sphère, les propriétés de l'ellipsoïde aplati, de même que par la théorie des figures homologiques on peut démontrer celles de l'ellipsoïde allongé. {Voir % XIX et XXI.)

§ XXIII. Méthode propre pour toutes sortes de relations , de longueurs, d'aires et de volumes.

(370) Dans la transformation homographique d'une figure , le plan situé à l'infini peut être pris pour son homologue dans la nouvelle figure.

Dans ce cas, les formules générales qui nous ont servi à la construction des figures homographiques [S XV, équations (a) ] se sont simplifiées et sont devenues

ad = A. a'd\ Cd = n. Cd", yd = y. yd'. (Êq. (d) , art. Î83.)

nu

Ces formules expriment que :

Étant pris trois axes coordonnés quelconques Ox, Oy, Oz, dans In première figure; et dans fa seconde trois axes coordonnés O'x', 0y, O'z' , qui soient précisément les droites correspondantes aux premiers axes; sixt y, z, désignent les coordonnées (f un point quelconque m de la première figure, rapportées aux trois premiers axes , e' x' y y ' > > Ie* coordonnées du point correspondant de la deuxième figure, rapportées aux trois autres axes, on aura

X, p et v étant trois constantes.

Réciproquement, quand, entre les points de deux figures rapportées à deux systèmes d'axes coordonnés quelconques, on a ces relations, ces deux figures sont homographiques , et ont cela de particulier, que le plan situé à l'infini, considéré comme appartenant à l'une d'elles, est lui-même son homologue dans l'autre.

(380) Des formules (2) nous déduirions aisément toutes les propriétés des deux figures, et notamment celles sur lesquelles vont reposer les applications que nous allons faire de ce mode de transformation; mais nous préférons, pour ne point nous écarter de la voie purement géométrique que nous avons suivie jusqu'ici , déduire ces propriétés, particulières aux deux figures, do la théorie générale des figures homographiques.

(381) Soient donc deux figures homographiques, telles que le plan situé à l'infini dans la première soit lui-môme son homologue dans la seconde. Les propriétés caractéristiques des deux figures seront, sous le rapport des relations descriptives, que à deux droites parallèles dans l'une , correspondront deux droites parallèles dans l autre; et conséquemment, à deux plans parallèles dans F une, correspondront deux plans parallèles dans Vautre; cela est évident;

Et sous le rapport des relations métriques, que deux droites homologues sont divisées en parties proportionnelles par des points homologues ; c'est-à-dire que a, b, c, d, .... étant des points de la

première figure situés en ligne droite, et a', b', c', d', .... les points correspondons dans la seconde figure, les segmens ab, cd, .... sont proportionnels aux segmens a'b', b'c', .... En effet on a

ba da b'a' ^ d'à'

te : H = ïv : 77'

Supposons le point d à l'infini, le point d' sera aussi à l'infini et l'équation deviendra

ba AV bc ~~ bc' '

Ainsi les segmens ab, bc, sont proportionnels aux segmens a'b', b'c'.

(382) Il suit de là que quand une droite de la première figure est divisée en parties égales, la droite homologue dans la seconde figure est aussi divisée en parties égales par les points correspondant aux points de division de la première droite.

(383) Les deux sortes de relations descriptives et métriques que nous venons de reconnaître à nos figures homographiques donnent lieu à trois propriétés principales de ces figures, sur lesquelles reposent les applications auxquelles ce mode de déformation sera propre.

Ces trois propriétés sont les suivantes :

1° Le rapport de deux segmens pris sur deux droites parallèles quelconques dans la première figure , est égal au rapport des deux segmens correspondons dans la seconde figure.

2° Le rapport des aires de deux polygones plans quelconques situés dans deux plans parallèles , appartenant à la première figure, est égal au rapport des aires des deux polygones correspondons dans la seconde figure.

3° Les volumes de deux parties correspondantes des deux figures seront entre eux dans un rapport constant.

(384) Nous allons démontrer successivement ces trois propositions. Soient ab, cd, deux lignes parallèles, dans la première figure, et

a'b', c'd, les deux lignes correspondantes de la seconde figure; il faut To». XI. 103

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prouver qu on a

cd = c'rf '

Les deux lignes ac, bd se coupent en un point e, et l'on a

ab ta

cd ec

Pareillement les deux lignes o'c', b'd' se coupent en un point e', et l'on a, parce que les deux lignes a'b', c'ef sont parallèles,

Or on a

ea e'a'

donc les premiers membres des deux équations sont égaux; c'est-àdire que

7d = 7*' c' Ql F' p'

(385) Soient deux aires planes T, U, situées dans deux plans parallèles, et appartenant à la première figure, et soient T', U', les aires correspondantes dans la seconde figure; elles seront aussi dans deux plans parallèles entre eux.

Quelle que soit la forme des deux polygones T, U, on peut les décomposer chacun en un certain nombre de petits parallélogrammes tous égaux entre eux, et ayant leurs côtés parallèles À deux axes fixes. T contiendra m de ces parallélogrammes, et U en contiendra n. Le rapport des aires des deux polygones sera — • Tous ces petits parallélogrammes auront pour correspondans dans la seconde figure d'autres parallélogrammes, et ceux-ci seront aussi égaux entre eux (382); de sorte que les deux polygones T', U', seront divisés en autant de parallélogrammes, respectivement, que les deux T, U; par conséquent le rapport de leurs aires sera aussi ^ • Il sera donc égal au rapport des aires des deux premiers polygones.

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(386) Il nous reste à démontrer la troisième proposition , savoir :

que deux parties correspondantes des deux figures homographiques

ont leurs volumes dans un rapport constant.

Soient V, V, les volumes de deux polyèdres corrcspondans; il faut

démontrer que le rapport y es' constant, quels que soient les deux polyèdres, c'est-à-dire que v et »' étant les volumes de deux autres polyèdres correspondans, on aura

En effet, que l'on divise chacun des deux corps V , t>, en un certain nombre de petits rhomboïdes égaux entre eux, en menant trois séries de plans parallèles, dont les plans de chaque série soient également éloignés entre eux; supposons que les deux corps contiennent, le premier m rhomboïdes, et le second n; le rapport de leurs volumes

sera — •

Les deux corps corrcspondans V, v', dans la seconde figure, seront divisés aussi en m et n rhomboïdes, qui seront différons des premiers, mais qui seront aussi égaux entre eux. De sorte que le rapport des volumes de ces deux corps sera — « Il est donc égal au rapport des volumes des deux premiers corps. C. Q. F. P.

(387) Les trois propositions que nous venons de démontrer serviront pour faire la transformation des relations de distances, d'aires et de volumes d'une figure.

La transformation des relations de volumes se fera immédiatement, puisque les volumes des différentes parties de la nouvelle figure sont proportionnels aux volumes des parties correspondantes de la figure proposée.

(388) Pour opérer la transformation des relations de distances et des relations de surfaces, concevons qu'une sphère fasse partie de la figure proposée. Il lui correspondra, dans la nouvelle figure, un ellipsoïde.

Soit une ligne quelconque AB de la figure proposée, et R le rayon

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de la sphère qui lui est parallèle; on aura dans la nouvelle figure une ligne A'B' et un demi-diamètre D' de l'ellipsoïde, qui sera parallèle au rayon R, et l'on aura