£*(|8D. D'OÙ AB = Ç- R

Donc :

Pour faire la transformation cf une relation entre certaines lignes dune figure proposée, il suffira de remplacer, dans cette relation, ces lignes par les lignes correspondantes de la figure homographique, divisées respectivement par les demi-diamètres d'un ellipsoïde quelconque , qui leur seront parallèles, et multipliées par une constante.

Si la relation proposée est homogène, on prendra cette constante égale à l'unité.

(389) Pour les relations d'aires, concevons toujours une sphère faisant partie de la figure proposée; soit S une aire plane, et Z la surface du carré construit sur deux rayons rectangulaires de la sphère, compris dans son plan diamétral parallèle au plan de l'aire S. On aura dans la seconde figure une aire plane S' et la surface 2' du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués de l'ellipsoïde correspondant à la sphère, ces demi-diamètres étant compris dans le plan diamétral parallèle au plan de l'aire S', et l'on aura

D'où

Z est une constante, quelle que soit la direction du plan de Taire S; on conclut donc de là que :

Pour faire la transformation dune relation entre des aires planes cf une figure, il suffit de substituer, dans cette relation, à ces aires, les aires correspondantes de la figure homographique , divisées res-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

peciivement par les surfaces des parallélogrammes construits sur deux demi- diamètres conjugués dun certain ellipsoïde, compris dans des plans parallèles à ceux de ces aires, et multipliées par une constante.

Si la relation proposée est homogène, on prendra cette constante égale à l'unité.

(390) Enfin nous pouvons énoncer de suite cette troisième règle : Pour faire la transformation d'une relation entre les volumes de

différentes parties d'une figure, il suffit de substituer à ces volumes dans cette relation, les volumes des parties correspondantes de la seconde figure, multipliés respectivement par une constante.

Si la relation proposée est homogène, on prendra cette constante égale à l'unité.

(391) On voit que ces principes de transformation introduiront, généralement, dans la nouvelle figure, la considération d'un ellipsoïde.

Cela donne lieu aux observations suivantes , dont l'application se présentera dans beaucoup de questions :

1° Cet ellipsoïde auxiliaire est indéterminé de position ; et généralement il est indéterminé de forme;

2° S'il se trouvait une sphère dans la première figure, il faudrait prendre dans la seconde figure, pour l'ellipsoïde auxiliaire, l'ellipsoïde même correspondant à la sphère, ou du moins un ellipsoïde homothétique (semblable et semblablement placé) ; parce que deux corps homothétiques dans la première figure, donnent lieu dans la nouvelle figure à deux corps qui sont sussi homothétiques entre eux ;

3° Dans les théorèmes qui, par leur nature, seront susceptibles de l'application du principe des relations contingentes, on pourra substituer à l'ellipsoïde auxiliaire une autre surface du second degré.

(392) Nous allons faire diverses applications de ce mode de déformation homographique.

Prenons d'abord une sphère ; le principe de déformation donnera un ellipsoïde à trois axes inégaux ; et les propriétés de la sphère se convertiront immédiatement en propriétés de l'ellipsoïde. Il est évi-

dent qu'au centre de la sphère correspondra le centre de l'ellipsoïde; et qu'à trois diamètres rectangulaires de la sphère correspondront trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde.

(393) Le cube construit sur trois rayons rectangulaires quelconques a toujours le même volume ; donc

Le rhomboïde construit sur trois demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde a toujours le même volume, quel que soit le système de ces trois diamètres.

Soient a, h, c les trois demi-diamètres principaux de l'ellipsoïde, le volume du rhomboïde construit sur trois autres demi -diamètres conjugués sera toujours égal à abc.

(394) Le volume do la sphère est égal au cube construit sur le rayon, multiplié par £ r. Donc

Le volume de t ellipsoïde est égal au volume du rhomboïde construit sur trois demi-diamètres conjugués, multiplié par f n, c'està-dire à ~ t. abc.

(395) Quand deux sphères sont concentriques, les plans tangens à la plus petite retranchent de la plus grande des segmens égaux ; donc :

Quand deux ellipsoïdes sont concentriques et homothétiques , les plans tangens au plus petit retranchent du plus grand des segmens égaux.

Les secteurs correspondant à ces segmens sont aussi égaux. Les cônes circonscrits à l'ellipsoïde suivant les bases des segmens ont aussi des volumes égaux.

(396) Prenons ce beau théorème d'Archimède : Le volume d'un segment de sphère est au cône qui a même base et même hauteur , comme le rayon de la sphère, plus la hauteur de l'autre segment, est à la hauteur de cet autre segment. (De la sphère et du cylindre; livre II, proposition 3.)

On en conclut immédiatement cet autre théorème, démontré aussi par Archimède, pour l'ellipsoïde de révolution seulement. (Des sphéroïdes et dos conoïdes , proposition 32.)

Le volume d un segment d'ellipsoïde quelconque est au cône qui

a même base et même /sommet, comme la moitié du diamètre qui aboutit à ce sommet, plus la partie de ce diamètre non comprise dans le segment, est à cette même partie.

Nous appelons sommet du segment l'extrémité du demi-diamètre qui passe par le centre de la hase du segment.

(397) La surface de la sphère est égale à quatre fois celle d'un grand cercle ; donc

Si ton considère un ellipsoïde comme un polyèdre d'une infinité de faces infiniment petites , V intégrale double qui donnera la somme de toutes ces faces divisées respectivement par les aires des sections faites dans l'ellipsoïde par des plans diamétraux parallèles à ces faces, sera égale à quatre.

(398) Soit une sphère et deux plans fixes menés par son centre ; si autour de ce point on fait tourner un troisième plan , de manière que la somme des angles dièdres qu'il fera avec les deux plans fixes, soit constante, ce plan enveloppera un cône du second degré; et le produit des sinus des angles que chaque arête de ce cône fera avec les deux plans fixes sera constant '.

L'aire du triangle sphérique déterminé sur la sphère par les deux plans fixes et par le plan mobile sera constante, puisque la somme des trois angles de ce triangle sera toujours la même; conséquemment le volume de la pyramide sphérique comprise sous ces trois plans sera aussi constant. Le cône percera la sphère suivant une conique sphérique. Le produit des distances de chaque point de cette courbe aux deux plans fixes sera constant; ce qui prouve que cette courbe est sur un cylindre hyperbolique dont les deux plans fixes sont les plans asymptotes. On conclut de là que :

Étant donné un ellipsoïde, et deux plans fixes menés par son centre, si autour de ce point on fait tourner un troisième plan, de manière que la portion de F ellipsoïde comprise dans F angle trièdre

' J'ai démontré ce» deux proportions dans mon Mémoire sur le* propriété* générale* de* côm* du second degré, art. 84 et 26.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

formé par ces trois plans ait son volume constant, le plan mobile enveloppera un cône du second degré ; et la courbe d'intersection de la surface de l'ellipsoïde par ce cône , sera située sur un cylindre hyperbolique dont les plans asymptotes seront les deux plans fixes.

(399) Si par un point fixe S on mène une transversale qui rencontre un sphère en deux point a , a' , on aura

Sa. Sa' = con»t. ;

Donc

Si par un point fixe S on mène une transversale qui rencontre un ellipsoïde en deux points a, a', on aura

Sa. Sa'

= CODSt.

D étant le demi- diamètre de f ellipsoïde parallèle à la transversale.

(400) Si par un point fixe on mène des droites aux extrémités a , h d'un diamètre quelconque de la sphère, on aura

S? -♦- Sb' m const.

Donc

Si d'un point fixe on mène des droites aux extrémités d'un diamètre quelconque d'un ellipsoïde, la somme de leurs carrés divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres parallèles à ces droites , est constante.

Ainsi Ton a

Or on a, par le théorème précédent,

Sa. Sa' Sb. Sb'

___ „ const. = A , -= >..

On conclut de là

Sa Sb

Sa~' * Sb' ~ C°n5t'

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

C'est le théorème de l'art. 343 (S XX).

(401) La somme des carrés des droites menées des extrémités d'un diamètre à un point quelconque de la sphère est constante et égale au carré de ce diamètre; donc

La somme des carrés des droites menées des extrémités dtun diamètre de t ellipsoïde à un point quelconque de cette surface , divisés respectivement par les carrés des diamètres parallèles à ces droites , est constante et égale à V unité.

Ainsi soient A, B, les extrémités d'un diamètre de l'ellipsoïde, et m un autre point quelconque de cette surface, et soient D, D', les diamètres parallèles aux deux droites mA, m8, on aura

(402) Si, sur un diamètre d'une sphère et sur son prolongement, on prend deux points conjugués harmoniques par rapport aux extrémités du diamètre, le rapport des distances de ces deux points à un point quelconque de la sphère sera constant ; donc

Si sur un diamètre dun ellipsoïde on prend deux points conjugués harmoniques par rapport aux extrémités de ce diamètre, les distances de chaque point de t ellipsoïde à ces deux points, divisées respectivement par les demi- diamètres parallèles aux droites sur lesquelles se mesurent ces distances, ont un rapport constant.

(403) Si l'on a un système de points dans l'espace, et leur centre des moyennes distances, et que de ce point, comme centre, on décrive une sphère, la somme des carrés des distances d'un point quelconque de cette sphère à tous les points du système sera constante ; donc

Si l'on a un système de points dans l'espace , et un ellipsoïde qui ait son centre de figure au centre des moyennes distances de tous ces points, la somme des carrés des droites menées d'un point quelconque de l ellipsoïde à tous les points, divisés respectivement par les carrés des demi diamètres parallèles à ces droites, sera constante.

(404) Soit un cercle, et deux axes coordonnés rectangulaires rae- To». XI. 104

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

nés par son centre. Qu'on mène deux rayons quelconques rectangulaires ; soient x', y', les coordonnées de l'extrémité du premier, et x", y", les coordonnées de l'extrémité du second; on aura évidemment,

*" = ± y' et y" = x\

Faisons la déformation homographique; nous aurons une ellipse, deux axes coordonnés Ox , Oy, dirigés suivant deux diamètres conjugués, et deux autres diamètres conjugués; et l'on en conclut ce théorème :

L'équation dune ellipse rapportée à deux axes conjugués étant

si Von représente par x', y' et x", y", les coordonnées des extrémités de deux demi-diamètres conjugués quelconques , on aura

Ces relations entre les coordonnées des extrémités de deux demidiamètres conjugués sont très-simple, et peuvent servir à démontrer rapidement les diverses propriétés connues de ces diamètres. Elles pourraient être introduites avec avantage dans la théorie analytique des sections coniques, où on les démontrerait directement.

(405) Qu'on prenne le théorème de Cotes , et qu'on le transporte à l'ellipse, en observant qu'à des secteurs égaux dans le cerle, correspondront des secteurs égaux dans l'ellipse, on aura le théorème suivant :

Si l'on mène dans l'ellipse 2n demi- diamètres , qui divisent sa

surface en 2n secteurs égaux, et qu'on appelle m„, m,, m,, les

points de division consécutifs ; que d un point 0 , pris à volonté sur le demi-diamètre Cm,,, ou sur son prolongement , on mène des droites à tous les points de division;

1° Le produit des droites menées à tous les points de division de rang pair, divisé par le produit des demi-diatnètres parallèles à ces

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

droites, sera égal à

2° Le produit de toutes les droites menées aux points de division de rang impair, divisé par le produit des demi-diamètres parallèles à ces droites, sera égal à

Cm,

Nous pourrions dire que les points de division m„, m,, .... sont pris de manière que l'intégrale de l'élément de l'arc d'ellipse, divisé par le demi-diamètre parallèle à la direction de cet élément, a la même valeur entre deux points de division consécutifs quelconques.

On pourrait généraliser de même le théorème de Moivre.

§ XXIV. Suite du précédent. — Démonstration géométrique des diverses propriétés des diamètres conjugués d'une surface du second degré.

(406) Soient trois rayons rectangulaires r, r1, r", d'une sphère, et trois autres rayons rectangulaires p, p', p" ; le sinus de l'angle que le rayon p" fait avec le plan des deux rayons r, r1, est égal au sinus de l'angle que le rayon r" fait avec le plan des deux rayons P, p'; donc le rhomboïde construit sur les trois rayons r, r1, p", a le même volume que le rhomboïde construit sur les trois rayons r", p, p'. On conclut de là que :

Quand on a deux systèmes de trois diamètres conjugués d'une surface du second degré, le rhomboïde construit sur deux diamètres du premier système et un diamètre du second, est égal au volume du rhomboïde construit sur les trois autres diamètres.

Nous avons déjà démontré (393) que le rhomboïde construit sur trois diamètres conjugués quelconques a toujours le même volume; on peut donc dire que :

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Étant donnés deux systèmes quelconques de trois diamètres conjugués , le rhomboïde construit sur trois quelconques d'entre eux a le même volume que le rhomboïde construit sur les trois autres.

(407) La somme des carrés des cosinus des angles que les trois rayons r, r1, r", font avec le rayon p est égale à l'unité ; donc la somme des carrés des projections orthogonales des trois rayons r, r', r", sur le rayon p, est constante, quel que soit le système des trois rayons rectangulaires r, r1, r" ; on en conclut que :

Si Von projette trois diamètres conjugués dune surface du second degré sur un axe fixe, par des plans parallèles au plan conjugué à cet axe, la somme des carrés des projections sera constante , quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

(408) Si l'on mène une droite perpendiculaire aux plans projetans , la projection othogonale d'un diamètre, sur cette droite, sera égale à sa projection sur le diamètre fixe, multipliée par le cosinus de l'angle que ce diamètre fait avec la droite ; on en conclut que :

La somme des carrés des projections orthogonales de trois diamètres conjugués sur une droite fixe, est constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

(409) Si Ton fait les projections sur trois droites rectangulaires, et qu'on fasse la somme de leurs carrés, on aura pour résultat, que :

La somme des carrés de trois diamètres conjugués est constante.

(410) Appliquant a ce théorème le principe du n° 388, on le généralise de cette manière :

Étant donnés deux ellipsoïdes quelconques , la somme des carrés de trois diamètres conjugués du premier, divisés par les carrés des diamètres du second, qui leur sont parallèles respectivement, est constante.

(41 1 ) Et si la première surface est une sphère, on en conclut que : La somme des valeurs inverses des carrés de trois diamètres rectangulaires d'un ellipsoïde est constante.

(412) La somme des carrés des perpendiculaires abaissés des extré-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

mités de trois rayons de la sphère, rectangulaires, sur un diamètre fixe, est constante ; donc

Si, des extrémités de trois demi-diamètres conjugués quelconques d'un ellipsoïde, on abaisse sur un diamètre fixe des obliques parallèles au plan conjugué à ce diamètre, la somme des carrés de cesobliques, divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres qui leur sont parallèles, sera constante.

(413) Soient les trois rayons rectangulaires r, r1, r"; la somme des carrés des cosinus des angles que les trois plans qu'ils déterminent deux à deux font avec un plan donné, est égale à l'unité; on en conclut que la somme des carrés des projections othogonales des parallélogrammes construits sur ces rayons deux à deux , sur le plan donné, est constante ; donc

Un rhomboïde étant construit sur trois diamètres conjugués d'un ellipsoïde , si ton projette ses faces sur un plan fixe, par des droites parallèles au diamètre conjugué à ce plan, la somme des carrés des projections sera constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

(414) Si on mène un plan perpendiculaire aux droites projetantes, on aura les projections othogonales des faces du rhomboïde sur ce plan; elles seront égales aux projections sur le premier plan, multipliées par le cosinus de l'angle des deux plans ; d'où il suit que :

Les faces du rhomboïde construit sur trois diamètres conjugués quelconques d'un ellipsoïde étant projetées orthogonalement sur un plan fixe, la somme des carrés de leurs projections est constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

(415) Faisant les projections sur trois plans rectangulaires et ajoutant leurs carrés, on en conclut que :

La somme des carrés des faces du rhomboïde construit sur trois diamètres conjugués est constante.

(416) Substituant, dans ce théorème, au parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués, l'aire de la section faite dans l'ellipsoïde par le plan de ces deux diamètres , et appliquant au

826 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

théorème le principe de transformation du n° 389, on a le suivant :

Étant donnés deux ellipsoïdes concentriques, la somme des carrés des aires des sections faites dans le premier par trois plans conjugués, divisés respectivement par les carrés des aires des sections faites par les mêmes plans dans le second ellipsoïde, est constante.

(417) Si la première surface est une sphère, il s'ensuit que : Dans un ellipsoïde, la somme des valeurs inverses des carrés des

sections faites par trois plans rectangulaires, est constante.

Pour appliquer ce théorème et le précédent aux hypcrboloïdes, on substituera aux aires des sections diamétrales les aires des rhombes construits sur deux diamètres conjugués compris dans les plans de ces sections.

(418) On voit par les théorèmes précédens, que les propriétés des faces des rhomboïdes construits sur trois diamètres conjugués sont analogues aux propriétés relatives aux longueurs de ces diamètres. Et en effet, les unes se peuvent déduire des autres facilement, au moyen du théorème suivant :

Si par le centre dune surface du second degré on élève sur chaque plan diamétral une perpendiculaire proportionnelle à taire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués compris dans ce plan, l'extrémité de cette perpendiculaire sera sur une seconde surface du second degré.

Soient Oa, Ob, les deux demi-diamètres conjugués pris dans le plan diamétral, et Oy la perpendiculaire élevée sur leur plan, laquelle est égale à l'aire du parallélogramme construit sur Oa et Ob. Concevons le demi-diamètre Oc qui forme avec les deux premiers un système de trois demi-diamètres conjugués, et menons le plan tangent à la surface, au point c , et la perpendiculaire Op sur ce plan. Cette perpendiculaire sera en raison inverse de l'aire du parallélogramme construit sur Oa et Ob, d'après le théorème (393). Donc 0/ est en raison inverse de Op. Donc le point y appartient à la surface polaire réciproque delà proposée, prise par rapport à une sphère auxiliaire con-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

centrique. Cette surface polaire est du second degré ; le théorème est donc démontré.

(419) Reprenons une sphère, et soient r, r', r", trois rayons rectangulaires; menons un diamètre fixe p; le plan tangent à l'extrémité du rayon r rencontre le diamètre p en un point dont la distance au centre de la sphère a sa valeur inverse égale au cosinus de l'angle que le rayon r fait avec le diamètre p : donc les plans tangcns aux extrémités des trois rayons r, r1, r", font sur le diamètre p trois segmens dont les valeurs inverses ont la somme de leurs carrés constante; donc

Les plans tangens à une surface du second degré aux extrémités de trois demi-diamètres conjugués, rencontrent un diamètre fixe en trois points dont les distances au centre de la surface ont la somme des carrés de leurs valeurs inverses constante.

(420) Soient les trois rayons rectangulaires r, r', r", et un plan fixe P. Projetons sur ce plan, par des droites parallèles au rayon r", le parallélogramme construit sur les deux premiers rayons r, r' ; la projection sera égale à ce parallélogramme divisé par le cosinus de l'angle que son plan fait avec le plan P; donc la valeur inverse de cette projection sera égale à la valeur inverse du parallélogramme, multipliée par le cosinus; si on projette de même sur le plan P les deux autres parallélogrammes construits, l'un sur r et r", et l'autre sur r', r", ou aura trois projections dont la somme des valeurs inverses des carrés sera égale à une constante. On en conclut, dans les surfaces du second degré , une propriété que nous pouvons énoncer ainsi :

Les faces du rhomhoïde construit sur trois demi-diamètres conjugués dune surface du second degré, rencontrent un plan fixe suivant six droites qui sont parallèles deux à deux, et qui, prises quatre à quatre, déterminent trois parallélogrammes; la somme des valeurs inverses des carrés de ces trois parallélogrammes a une valeur constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués. On peut exprimer ce théorème de cette manière : Un rhomboïde étant construit sur trois demi-diamètres conjugués

828 * MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

quelconques dune surface du second degré, si on projette chacune de ses faces sur un plan fixe, par des droites parallèles au diamètre conjugué au plan de la face projetée, la somme des valeurs inverses des carrés des projections sera constante, quel que soit le système des trois demi-diamètres conjugués.

(421) Si d'un point de l'espace on abaisse des perpendiculaires sur trois plans rectangulaires quelconques, menés par un point fixe, la somme des carrés de ces perpendiculaires sera constante, et égale au carré de la distance des deux points; donc

Si cFun point m de l'espace on abaisse sur trois plans diamétraux conjugués quelconques d'un ellipsoïde trois obliques parallèles respectivement aux trois diamètres conjugués à ces plans , la somme des carrés de ces obliques , divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres qui leur sont parallèles, sera constante, et égale au carré de la droite menée du point m au centre de f ellipsoïde, divisé par le carré du demi-diamètre compris sur cette droite.

Ainsi soient a, h, c, trois demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde; prenons leurs directions pour celles de trois axes coordonnés Ox, Oy, Oz, et soient x, y, s les coordonnées d'un point m de l'espace; soit Od le demi-diamètre de la surface compris sur la droit Qm, on aura l'équation

x* y' a' Ôm

T **■ iT •*■ ~i — =7' • b' c1 od

quel que soit le système des trois demi-diamètres conjugués a, b, c. Cette équation fait voir que la quantité

est plus grande ou plus petite que l'unité, suivant que le point m est pris au dehors ou au dedans de l'ellipsoïde; et qu'elle est précisément égale à l'unité, quand le point m est pris sur la surface; c'est-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

à-dire que l'équation

appartient à tous les points de la surface.

(422) Soient deux droites fixes menées par le centre de la sphère , la somme des produits des cosinus des angles qu'elles font avec trois rayons rectangulaires est égale au cosinus de l'angle qu'elles font entre elles; ainsi cette somme est constante, quel que soit le système des trois rayons rectangulaires; on conclut de là que la somme des produits des projections orthogonales des trois rayons sur les deux droites, est constante. Et si l'on conçoit deux plans diamétraux perpendiculaires respectivement aux deux droites fixes, on peut dire que la somme des produits des perpendiculaires abaissées des extrémités des trois rayons rectangulaires sur les deux plans, est constante.

A ces trois perpendiculaires, correspondront, dans la figure homographique, les obliques abaissées des extrémités de trois demidiamètres conjugués de l'ellipsoïde, sur deux plans diamétraux, parallèlement aux diamètres conjugués à ces plans. Ces obliques seront proportionnelles respectivement aux perpendiculaires abaissées des mêmes points sur les deux plans fixes; on a donc ce théorème :

Étant menés deux plans fixes par le centre dun ellipsoïde, la somme des produits des perpendiculaires abaissées des extrémités de trois demi-diamètres conjugués sur ces deux plans, sera constante.

Si les deux plans sont conjugués, cettesomme est égale à zéro.

(423) Si l'on conçoit deux droites perpendiculaires aux deux plans respectivement, les perpendiculaires abaissées sur ces plans seront égales aux projections othogonales des demi-diamètres sur ces droites ; on peut donc dire que :

La somme des produits des projections de trois demi-diamètres conjugués sur deux droites fixes, est constante.

Si les deux droites se confondent, on aura, comme simple corollaire, le théorème (408).

To«. XI. 105

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

(424) Soient deux plans fixes et trois plans rectangulaires quelconques menés par le centre de la sphère , la somme des produits des cosinus des angles que ces trois plans feront avec les deux plans fixes sera constante et égale au cosinus de l'angle des deux plans. Il s'ensuit que si l'on conçoit trois rayons rectangulaires , la somme des produits des projections, sur les deux plans, des rhombes construits sur ces rayons pris deux à deux, sera constante.

On conclut de là un théorème semblable, à l'égard des projections des parallélogrammes faits sur trois demi-diamètres conjugués pris deux à deux; ces projections étant faites sur deux plans fixes par des droites parallèles aux diamètres conjugués à ces plans; et si Ton conçoit deux autres plans perpendiculaires respectivement à ces deux droites, les projections othogonales sur ces plans seront égales respectivement aux premières projections multipliées par les cosinus des angles que les premiers plans font, respectivement, avec les deux nouveaux; on peut donc énoncer ce théorème :

Un rhomboïde étant construit sur trois demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde, si ton projette ortkogonalement chacune de ses faces sur deux plans fixes, et qu'on fasse le produit de ces deux projections, la somme de ces produits est constante, quel que soit le système des trois demi-diamètres conjugués.

Si les deux plans se confondent, on a le théorème (414).

(425) Si par un point fixe on mène dans la sphère trois cordes rectangulaires, la somme de leurs carrés sera constante (Géométrie de position, p. 166); donc

Si par un point fixe on mène dans un ellipsoïde trois cordes parallèles à trois diamètres conjugués quelconques, la somme de leurs carrés, divisés respectivement par les carrés do ces diamètres, est constante.

Le point fixe peut être pris sur la surface de l'ellipsoïde.

(426) Si par un point pris dans l'intérieur d'une sphère on mène trois plans rectangulaires, la somme des aires des trois sections est constante (Géométrie déposition, p. 167); donc

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Si par un point fixe pris dans tiniérieur d'un ellipsoïde on mène trois plans parallèles à trois plans conjugués quelconques, la somme des aires des trois sections, divisées respectivement par les aires des sections diamétrales fàites par les plans conjugués, sera constante.

§ XXV. Réflexions sur la théorie des figures homographiques. — Démonstration de quelques-unes de leurs propriétés générales.

(427) Nous n'avons considéré, dans ce Mémoire, la théorie des figures homographiques que comme méthode de transformation propre à la démonstration et à la généralisation des propositions de géométrie. Mais cette théorie est susceptible de développemens d'une autre nature. Deux figures homographiques, situées d'une manière quelconque dans l'espace, donnent lieu à un ensemble de propositions assez nombreuses qui appartiennent à la théorie propre de ces figures, et ces propositions pourront, soit dans leur généralité, soit dans divers cas particuliers, être utiles et offrir des résultats intéressans. Par exemple, deux corps semblables, ou deux corps parfaitement égaux, quelle que soit leur position dans l'espace , forment un système de deux figures homographiques; les propriétés générales de ces figures appartiendront donc aux deux corps. La théorie des figures homographiques conduira donc aux propriétés générales du déplacement fini quelconque, ou du mouvement infiniment petit d'un corps solide dans l'espace.

On voit donc que cette théorie mérite d'être étudiée pour elle-même, indépendamment de ses usages pour la transformation des figures. Aussi nous comptons revenir sur cet objet.

Nous nous bornerons, dans ce moment, à faire connaître seulement deux propriétés générales des figures homographiques, qui trouveront des applications fréquentes dans diverses recherches géométriques. Elles justifieront la forme des énoncés que nous avons donnés à deux propriétés des coniques, dans nos Notes XV et XVI \ et nous en

832 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

déduirons une propriété particulière à deux figures homographiqucs planes , dont nous avons fait usage précédemment (§ XVI, art. 299.)

Ensuite nous appliquerons, dans le paragraphe suivant, la théorie des figures homographiqucs à la perspective et particulièrement à une question dont nous avons parlé au sujet de la perspective de Stévin (Note XVIII); question dont ce savant géomètre hollandais n'a résolu que des cas particuliers, et qui depuis n'a jamais reçu une solution complète.

(428) Quand on prend, dans deux figures homographiques, trois droites qui se correspondent, aux points a, b,c,d, .... de la première correspondent des points a', b', & , d, .... de la seconde; et quatre quelconques des premiers points ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points qui leur correspondent.

Nous dirons que les deux droites sont divisées homographiquement par les points o, b, c, .... et a', b', c', ....

Pareillement aux plans A, B, C, menés par une droite de la

première figure, correspondent des plans A', B', C, .... passant par la droite correspondante de la seconde figure. Et le rapport anharmonique de quatre quelconques des plans A, B, G, .... est égal à celui des quatre plans correspondais. Nous dirons que les premiers plans forment un faisceau et que les plans correspondans forment un second faisceau, et que ces deux faisceaux de plans sont homographiques.

Si les figures étaient planes, au lieu de faisceaux de plans , nous considérerions des faiceaux de droites; et nous dirions que deux faisceaux correspondans sont homographiques.

Ainsi, en résumé,

Deux droites sont divisées homographiquement, quand le rapport anharmonique de quatre points quelconques de la première est égal au rapport anharmonique des quatre points correspondans de la seconde;

Deux faisceaux de droites , compris dans un môme plan ou dans deux plans différons, sont homographiques , quand le rapport anharmonique de quatre droites quelconques du premier faisceau est égal au rapport anharmonique des quatre droites correspondantes du second faisceau ;

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Et deux faisceaux de plans sont homographiques quand le rapport anharmonique de quatre plans quelconques du premier faisceau est égal au rapport anharmonique des quatre plans correspondans du second faisceau.

(429) Les deux propriétés générales du système de deux figures homographiques que nous allons démontrer sont les suivantes :

Première proposition. — Quand deux droites, placées d'une manière quelconque dans l'espace, sont divisées homographiquement , les droites qui joignent deux à deux les points de division correspondans, forment un hyperbolotde à une nappe.

En effet quatre points de division a, b, c, d, de la première droite, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points correspondans a', b', c', d', de la seconde droite. Il s'ensuit (ainsi que nous l'avons démontré dans notre Note IX, page 306) que, une droite quelconque qui s'appuiera sur trois des quatre droites aa'f bb' , ce', dd', s'appuiera nécessairement sur la quatrième; d'où il suit que ces quatre droites appartiennent à un hyperboloïde à une nappe.

(430) Deuxième proposition. — Quand on a dans F espace deux faisceaux de plans homographiques , les droites suivant lesquelles se coupent deux à deux les plans correspondans, forment un hyperbolotde d une nappe.

Cette proposition résulte directement de la précédente; car soient L, L', les axes des deux faisceaux ; A , B, C, D, .... les plans du premier faisceau, et A', B', C, D', .... les plans correspondans du second; les plans A, B, C, D, .... rencontreront la droite L' en des

points a,b, c, d, ; et les plans A', B', C, D', rencontreront

la droite L en des points a', b', c', d Les quatre points a, b, c,

rf,ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre plans A, B, C, D; les quatre points a', b', c', d , ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre plans A', B', C, D'. Mais par hypothèse le rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à celui des quatre plans correspondans A, B, C, D. Donc le rapport anharmonique des qua trepoints a, b, c, d, est égal à celui des quatre points a', b', c', d'.

834 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Donc les quatre droites aa'r bb', ce' , dd' , appartiennent à un hyperboloïde à une nappe. Or la droite aa' est l'intersection des deux plans A, A'j bb' est l'intersection des deux plans B, B', et ainsi des antres;

donc, etc.

(43 1 ) Les deux propositions précédentes ont leurs analogues dans la géométrie plane, et celles-ci exigent des démonstrations particulières.

Première proposition. — Quand deux droites situées dans un même plan sont divisées homographiquement , les droites qui joignent deux à deux les points de division correspondons, enveloppent une conique qui est tangente aux deux droites proposées.

Cela résulte évidemment de la propriété enharmonique des tangentes d une conique, que nous avons démontrée dans la Note XVI.

(432) Deuxième proposition. — Quand on a dans un plan deux faisceaux homographiques , les droites de l'un rencontrent respectivement les droites correspondantes de Vautre en des points situés sur une conique qui passe par les centres des deux faisceaux.

Cela résulte de la propriété anharmonique des points d'une conique, démontrée dans notre Note XV.

(433) Cette proposition et la précédente conduisent à une propriété remarquable du système de deux figures homographiques situées dans un même plan, dont voici l'énoncé :

Quelle que soit la position de deux figures homographiques dans un même plan, il existe généralement trois points qui, considérés comme appartenant à la première figure, sont eux-mêmes leurs homologues dans la seconde ; et trois droites qui, considérées comme appartenant à la première figure, sont elles-mêmes leurs homologues dans la seconde ;

Deux des trois points peuvent être imaginaires, le troisième est toujours réel;

Et deux des trois droites peuvent être imaginaires , et ta troisième ost toujours réelle '.

' C'est cette proposition dont nous avons fait usage dans un paragraphe précédent (art. Î99 ).

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

Il est évident que quand les trois points sont réels, les trois droites sont précisément celles qui joignent deux à deux ces trois points.

Pour démontrer le théorème, concevons dans les deux figures deux faisceaux correspondans dont les centres soient O, 0'; les droites de l'un rencontreront respectivement les droites correspondantes de l'autre en des points situés sur une conique. Pour deux autres faisceaux ayant leurs centres en deux points correspondans û, û', on aura pareillement une seconde conique. Les deux coniques passeront évidemment par le point d'intersection des deux droites Où, O'û'j parce que ces deux droites sont des rayons correspondans dans les premiers faisceaux, ainsi que dans les deux autres. Soient A, B, G, les trois autres points d'intersection des deux coniques; je dis que chacun de ces points, considéré comme appartenant à l'une des deux figures, est lui-même son homologue dans l'autre. En effet, les deux droites O'A , 12' A de la seconde figure correspondent respectivement aux deux droites OA, QA de la première; donc le point d'intersection des deux premières correspond au point d'intersection des deux autres; c'està-dire que le point A, considéré comme appartenant à l'une des deux figures, est lui-même son homologue dans l'autre.

Maintenant, les deux coniques ayant toujours un point d'intersection réel, qui est le point de concours des deux droites Oû, O'û', elles auront toujours un second point d'intersection réel; donc l'un des trois points A, B, C, est toujours réel.

Quand les trois points A,B, C, sont réels, chacune des trois droites AB, BC, CA, considérée comme appartenant à l'une des deux figures, est évidemment sa correspondante dans l'autre figure ; de sorte qu'on peut dire que dans deux figures homographiques situées dans un même plan, il existe, généralement, trois droites dont chacune est elle-même son homologue dans les deux figures; et de là on peut conclure que de ces trois droites l'une et toujours réelle, parce qu'une question qui admet trois solutions en a toujours une réelle ; mais on démontrera cela directement, par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait pour démontrer la réalité d'un des trois points. Au lieu de

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

prendre des faisceaux correspondans, on prendra des droites divisées homographiquement, et l'on considérera les coniques enveloppées par les droites joignant les points de division correspondans. Cette démonstration est sans difficulté d'après ce qui précède. Ainsi le théorème est démontré dans toutes ses parties.

(434) Quand on sait à priori que deux des trois point A, H, C, sont réels, on en conclut que le troisième est réel aussi, parce qu'alors les deux coniques qui servent à déterminer ces points ont trois points d'intersection réels, et par conséquent ont leur quatrième point d'intersection réel aussi.

Pareillement quand deux des trois droites en question sont réelles, la troisième est nécessairement réelle aussi.

§ XXVI. Application de la théorie de* figures homographiques à la perspective et à la construction des bas-reliefs.

(435) Une figure plane et sa perspective sur un plan sont deux figures homographiques ; car elles satisfont à la condition constitutive des figures homographiques, savoir que, à chaque point et à chaque droite de Tune, correspondent un point et une droite dans Vautre.

Il suit de là que les relations générales, descriptives et métriques, de deux figures homographiques, et les propriétés qui en dérivent, s'appliquent à deux figures planes qui sont la perspective l'une de l'antre.

De ces propriétés, on n'a considéré, généralement, que celles qui sont purement descriptives; et c'est sur elles qu'ont reposé la plupart des applications que l'on a faites de la perspective en géométrie spéculative, depuis que Desargues et Pascal, il y a deux cents ans, ont introduit cette méthode dans la théorie des coniques. En fait de relations métriques, on s'est borné généralement aux relations harmoniques ; et quoique Pascal, dans son Essai pour les coniques, ait mis au nombre

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 837

des propositions principales qui lui servaient dans son traité complet de ces courbes, la propriété que nous appelons égalité des rapports anharmoniques de deux groupes de quatre points correspondons, on n'a pas tiré de cette proposition, si simple et si féconde, tout le secours qu'elle pouvait apporter dans les applications de la perspective en géométrie rationnelle. Aussi ces applications nous paraissent n'avoir pas reçu tout le développement dont elles étaient susceptibles. L'élément le plus important et le plus indispensable en géométrie, les relations métriques, manquaient à cette théorie.

Ces relations métriques sont les mêmes que celles que nous avons démontrées pour les figures homograpbiqucs les plus générales. Elles dérivent, comme celles-là, de l'égalité des rapports enharmoniques de deux groupes de quatre points correspondans. Nous allons les reproduire ici, en adaptant leur énoncé aux figures particulières que l'on a à considérer dans la perspective.

(436) 1° Quand deux figures planes sont la perspective Cune de Vautre , le rapport des distances dune droite quelconque de la première à deux points fixes de cette figure, est au rapport des distances de la droite correspondante dans la seconde aux deux points correspondans à ces deux points fixes, dans une raison constante.

(437) 2° Quand deux figures planes sont la perspective C une de Vautre, le rapport des distances d un point quelconque de la première à deux droites fixes de cette figure , est au rapport des dislances du point homologue de la seconde, aux deux droites correspondantes , dans une raison constante.

(438) Dans ce second principe, une droite de chacune des deux figures peut être située à l'infini; ce qui donne lieu aux deux corollaires suivans qui seront utiles dans beaucoup de questions :

Premier corollaire. — Quand deux figures planes sont la perspective l'une de l'autre, la distance dun point quelconque de la première à une droite fixe prise dans le plan de cette figure, est dans une raison constante avec le rapport des distances du point homologue de la seconde figure à deux droites fixes, dont la première Ton. XI. 106

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

correspond à la droite prise dans le plan de la première figure, et la seconde est Fintersection du plan de la seconde figure par le plan mené par Fœil parallèlement à celui de la première figure.

(439) Deuxième corollaire. — Quand deux figures planes sont la perspective F une de F autre , si F on mène dans le plan de la première la droite correspondante à F infini de la seconde (c'est-à-dire la droite qui est l'intersection du plan de la première figure par le plan mené par l'œil parallèlement à celui de la seconde), et dans le plan de la seconde figure la droite qui correspond à Finfini de la première, les distances de deux points homologues quelconques des deux figures à ces deux droites, respectivement, auront leur produit constant.

(440) Ces théorèmes, qu'on n'avait pas encore donnés, je crois, permettront d'appliquer les principes de la perspective dans beaucoup de questions où l'on n'a point encore songé à en faire usage. Par exemple, on généralisera les propriétés des diamètres conjugués, et celles des foyers des sections coniques, comme nous avons fait à l'égard des surfaces du second degré par la théorie des figures homographiques. Mais il est inutile d'entrer dans plus de développemens à ce sujet.

Passons à d'autres rapprochemens entre la théorie de la perspective et celle des figures homographiques.

(441) Puisqu'une figure plane et sa perspective sur un plan sont deux figures homographiques, on doit se demander si, réciproquement, deux figures planes homographiques quelconques peuvent toujours être considérées comme la perspective l'une de l'autre ; ou , en d'autres termes , si deux figures planes homographiques quelconques peuvent toujours être placées sur une même surface conique.

Si cela est, on conçoit que le problème de la perspective d'une figure plane sera réduit à une question de simple géométrie plane, sans considération aucune de géométrie à trois dimensions , savoir, de construire la figure homographique d'une figure donnée, qui satisfasse à certaines conditions de forme et de position.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 839

Il est donc important de résoudre la question que nous venons de poser.

(442) Pour parvenir à sa solution, remarquons qu'une figure homographique d'une figure proposée sera parfaitement déterminée si l'on connaît quatre points qui doivent correspondre, un à un, à quatre points de la figure proposée; de sorte que la question se réduit à celle-ci :

Étant donnés deux quadrilatères plans , dont les sommets de Vun correspondent, un à un, aux sommets de Vautre , on demande de les placer dans F espace de manière qu'ils soient la perpsectioe Vun de Vautre.

Il est clair que, dans cette position, les quatre côtés du premier quadrilatère rencontreront respectivement les quatre côtés correspondans du second quadrilatère en quatre points qui seront sur une même droite qui sera l'intersection des plans des deux figures. Et l'on sait que si autour de cette droite on fait tourner le plan d'une des deux figures, pour l'appliquer sur l'autre , les deux figures se trouveront, sur ce plan, dans les mêmes conditions que dans l'espace, c'est-à-dire que les droites joignant les sommets du premier quadrilatère, respectivement aux sommets correspondans du second, concourront encore en un même point. (C'est un des théorèmes de Desargues. Voir deuxième Époque, g 28.)

(443) D'après cela, le problème se ramène à cette question de géométrie plane :

Étant donnés dans un plan deux quadrilatères quelconques dont les sommets de Vun correspondent un à un aux sommets de Vautre, on demande de les placer, dans leur plan, de manière,

1° Que les droites joignant les sommets de Vun aux sommets correspondans de Vautre, concourrent en un même point;

El 2° que les côtés correspondans se rencontrent un à un en quatre points situés en ligne droite.

Solution. On regardera les quatre sommets a, b, c, d, du premier quadrilatère, comme appartenant à une première figure quelconque,

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

et les quatre sommets a', b', c', d du second, comme appartenant à une seconde figure qui doit être homographique à la première. Nous savons construire cette seconde figure; c'est-à-dire que nous savons trouver tous ses points correspondans à des points donnés de la première; et réciproquement nous savons déterminer à quels points de la première figure correspondent des points désignés de la seconde. La construction des points des deux figures sert à déterminer leurs droites correspondantes ($ XV, art. 272).

On cherchera la droite I qui dans la première figure correspond à l'infini de la seconde; et la droite J' qui dans la seconde figure correspond à l'infini de la première.

On placera les deux figures de manière que les deux droites I, J' soient parallèles entre elles. Le côté ab de la première figure rencontre la droite I en un point e qui correspond au point e' situé à l'infini, dans la seconde figure, sur la droite a' h'. A une droite quelconque eg menée par ce point e, correspondra dans1 la seconde figure une droite e'g' parallèle à la droite a'b'. Menons eg parallèle, ellemême, à la droite a'b', et supposons qu'on ait déterminé la droite e'g' qui lui correspond.

Pareillement, par le point f où le côté cd rencontre la droite I, menons une parallèle fh à la droite c'd , et soit fh' la droite correspondante dans la seconde figure (le point f étant à l'infini).

Les deux droites eg , fhse rencontreront en un point S , et les deux droites e'g't fh' se rencontreront en un second point S'.

On placera les deux figures de manière que les deux angles eSf, e'S'f, qui sont égaux, soient superposés l'un sur l'autre; et le problème sera résolu.

Démonstration. Remarquons d'abord que les deux droites I, J', dans cette position des figures, seront encore parallèles entre elles; ce qui est évident.

Maintenant, les deux droites Se, Sf de la première figure, ont pour correspondantes, dans la seconde, les deux droites S'e', S'f; les points S et S' se correspondent donc. Par conséquent , quand l'angle e'S'f est

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. Ml

superposé surl'angle eSf, le point S est lui-même son correspondant dans la seconde figure; et les droites Se, Sfsont elles-mêmes aussi leurs correspondantes dans la seconde figure. Il existe donc une troisième droite qui est elle - même sa correspondante dans les deux figures (§ précédent art. 434).

Le point situé à l'infini sur la droite I, considéré comme appartenant à la première figure , est à l'intersection de la droite I et de la droite située à l'infini; son homologue est donc, dans la seconde figure, à l'intersection de la droite située à l'infini et de la droite J'; c'est-à-dire que ce point est lui-même son homologue dans les deux figures. Par conséquent la droite Si, menée par le point S , parallèlement aux droites I, J' est elle-même son homologue dans les deux figures, de même que les deux droites Se, Sf. Il suit de là qu'une quatrième droite quelconque Sk sera aussi son homologue dans les deux figures, parce que les quatre droites Se, Sf, Si, Sk, considérées comme appartenant à la première figure, ont leur rapport enharmonique égal à celui des quatre droites correspondantes dans la seconde figure. Les trois premières de celles-ci sont Se , Sf et S* elles-mêmes, la quatrième est donc aussi la quatrième du premier groupe.

Il suit de là que deux points homologues quelconques a, a', des deux figures, sont en ligne droite avec le point S; ce qui est l'une des deux conditions du problème.

Il reste à prouver que deux droites homologues quelconques se rencontrent sur une droite fixe.

Soit E le point de rencontre de deux droites homologues ab, a'b'; si on considère ce point comme appartenant à la première figure, son homologue sera sur la droite SE et sur la droite a'b'; ce sera donc le point E lui-même. Soient e et / les points où la droite SE rencontre les deux droites I et J'. Considérons sur la droite SE les quatre points de la première figure qui sont S, r, E et l'infini, et les quatre points homologues de la seconde figure, lesquels sont S, l'infini, E et Egalant le rapport anharmonique des quatre premiers points à celui des

842 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

quatre autres, on a

ES ES E* " fV

d'où

Cette équation fait voir que le point E est sur une droite parallèle aux deux droites I, J', et distante de la première I d'une quantité égale à la distance du point S à la seconde J'. C'est sur cette droite que se couperont, deux à deux, toutes les droites correspondantes des deux figures. Ainsi la seconde condition de la question sera remplie. Ce qu'il fallait prouver.

(444) Maintenant si l'on veut placer les deux figures dans l'espace, de manière qu'elles soient la perspective l'une de l'autre, il suffira de faire tourner l'une d'elles, la seconde par exemple, autour de la droite sur laquelle se coupent les droites correspondantes. Pour chaque position de cette figure il y aura perspective : le lieu de l'œil variera de position j et l'on démontre aisément, par des comparaisons de triangles semblables, que, dans toutes ses positions, l'œil se trouve toujours sur une circonférence de cercle, dont le centre est sur la droite I, et dont le plan est perpendiculaire à cette droite. Quand le plan de la seconde figure aura fait une demi-révolution complète, il se retrouvera abattu sur le plan de la première figure. Cette position des deux figures, comprises encore dans un même plan, présentera une seconde solution de la question qne nous avons résolue, de placer deux quadrilatères dans un même plan, de manière, etc.

Nous aurions pu obtenir directement cette seconde solution, comme la première ; mais pour cela il aurait fallu retourner le plan du second quadrilatère et l'appliquer de nouveau sur celui du premier.

(445) Puisque deux quadrilatères dont les sommets se correspondent un à un peuvent être mis en perspective, on en conclut que deux figures planes homographiques quelconques peuvent être placées de manière à être la perspective tune de Vautre.

(446) // mit de là que deux figures qui sont des perspectives dif-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 843

férentes dune même figure plane, peuvent être placées de manière à être la perspective Vune de Vautre.

Ou, en d'autres termes:

Quand deux cônes passent par une même courbe plane, de quelque manière qu'on les coupe respectivement par deux plans , les deux courbes d'intersection pourront être placées sur un troisième cône.

Donc, si l'on fait la perspective B d'une figure plane A, puis la perspective G de la figure B, puis la perspective D de la figure C, et ainsi de suite, toutes ces perspectives étant faites sur des plans quelconques et pour des positions différentes do l'œil, la dernière figure pourra être produite directement par une perspective de la première.

(447) Le problème que nous avons résolu au sujet de deux quadrilatères plans donne lieu naturellement à cette autre question :

Étant donnés deux pentagones gauches quelconques, dont les sommets de l'un correspondent un à un aux sommets de l'autre, peut^m les placer dans l'espace de manière que leurs sommets correspondons soient sur des droites concourantes en un même point, et que leurs côtés correspondons se coupent en des points situés sur un même plan?

Le premier pentagone étant regardé comme appartenant à une figure quelconque , le second déterminera une figure homographique ; la question revient donc à celle-ci :

Deux figures homographiques quelconques à trois dimensions peuvent-elles être placées de manière à être 'homologiques ?

La réponse à cette question est négative, ainsi que nous allons le démontrer.

Que l'on cherche dans la première figure le plan I qui correspond à l'infini de la seconde; et dans celle-ci le plan J' qui correspond a l'infini de la première.

Que par un point m de la première figure on mène une droite ma parallèle au plan I ; et qu'on cherche la droite homologue m'a' de la seconde figure; elle sera parallèle au plan J'; car le point «' où elle rencontrera ce plan correspondra au point * situé à l'infini sur la

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

droite ma de la première figure; mais ce point a situé à l'infini est sur le plan I, puisque ma est parallèle à ce plan; donc son correspondant a' dans la seconde figure est à l'infini. Donc la droite m'a' est parallèle au plan J'. Ainsi toutes les droites ma,mb, me,... menées par le point m parallèlement au plan I, ont leurs homologues m'a', m'b', m' c',...., parallèles au plan J'. Si les deux figures étaient placées homologiquement, les deux plans I, J' seraient parallèles entre eux, et les droites ma, mb , me,.... seraient parallèles respectivement aux droites m'a', m'b' , m'e' Or, on peut bien placer les deux figures de manière que les deux plans I, J' soient parallèles entre eux, et que deux droites correspondantes ma, m'a' soient parallèles entre elles; alors deux autres droites correspondantes mb, mb" seront aussi parallèles entre elles; mais aucune des autres droites me, md,.... de la première figure, ne sera, en général, parallèle à sa correspondante.

En effet, prenons deux figures homographiques quelconques, plaçons-les de manière qu'une droite quelconque ab de la première coïncide avec son homologue a'b' dans la seconde, et de plus que les deux points correspondans a, a' coïncident; il existera sur ces droites un second point h qui coïncidera avec son homologue b' ; et il n'en existera pas un troisième, sans quoi les deux droites seraient divisées en parties égales 1 ; ce qui est un cas particulier de la division homo graphique de deux droites.

1 En effet soit * le point de la droite ab qui correspond a l'infini de la droite a'b', et soit f le point de celle-ci qui correspond à l'infini de la première; considérons sur 06 les quatres points a, 4, 1, et l'infini, et sur a'b' les quatre points correspondans, o', (ou a, puisque ces deux points sont superposés), b', l'infini , et/; égalons les rapports anharmoniques de ces deux groupes de quatre points ; on aura

ba 4a 4i ^ fa '

Cette équation fait voir que si l'on veut que les points b et b' coïncident , il faudra qu'on ait bi =fa ; condition qui détermine la position commune des poinU b , 4'.

Les deux points a', 4', coïncidant avec leurs homologues a, 4, deux autres points homologues c, c', ne peuvent pas coïncider, à moins qu'il n'en soit de même de tous les autres points o", d\ etc. Car si les quatre points a , 4 , c , d , correspondent respectivement aux quatre points a , 4 , c , d', en égalant les rapports anharmoniques , on trouve que les points d, d', coïncident.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 845

Supposons donc les deux points a, b, de la première droite superposés sur les deux points a', b't de la seconde. Soient m, m', deux points homologues quelconques des deux figures ; menons du premier, aux points a,b, c,.... de la première droite, les rayons ma, mb, me,...., et du second, aux points correspondans de la seconde droite, les rayons m'a', m'A', m'c',.... Menons par la droite ab (a'b') un plan transversal quelconque; regardons-le comme appartenant à la première figure et soit Q' son homologue dans la seconde ; puis, regardons-le comme appartenant à la seconde figure et soit P son homologue dans la première.

Maintenant faisons la transformation homographique du système des deux figures, de manière que le plan transversal passe à l'infini , c'est-à-dire que son homologue dans les nouvelles figures soit à l'infini, les deux plans P, Q', deviendront parallèles entre eux; ce seront les deux plans que nous avons désignés ci-dessus par I et J'. Les droites ma, mb deviendront parallèles respectivement aux droites m'a', m'b'; mais les autres droites, me, md,.... ne deviendront pas parallèles à leurs correspondantes. Les deux figures ne seront donc pas homologiques.

(448) Ainsi nous pouvons dire que :

Deux figures homographique* à trois dimensions ne peuvent pas, en général, être placées de manière à être homologiques.

Il suit de là que les figures homographiques sont d'une forme plus générale que les figures homologiques.

(449) Toutes les propriétés des figures homographiques s'appliquent aux figures homologiques ; conséquemment elles doivent s'observer dans la construction des bas- reliefs. Ainsi les diverses relations métriques qui existent entre deux figures homographiques, ont lieu aussi entre une figure à trois dimensions et sa perspective-relief, de même qu'entre une figure plane et sa perspective sur un plan. Et si , au lieu de supposer qu'un relief est fait pour une position unique de l'œil, de même qu'une perspective plane, on le considère plusgénélement, comme une représentation dun objet, dans laquelle des

Ton. XL 107

pointa correspondent à des points et des surfaces planes à des surfaces planes , alors la théorie des reliefs ne serait autre que la théorie générale des figures homographiques; il y aurait simplement à prescrire certaines règles générales à observer dans la disposition des données de la question pour produire, selon la destination du relief, la plus parfaite illusion pour telle et telle place du spectateur. Mais ces règles d'ordonnance ne pourraient point être absolues, et dépendraient dans chaque question de l'expérience et du sentiment de l'artiste; après quoi il resterait à construire géométriquement le relief, considéré comme figure homographique de l'objet qu'on veut représenter.

§ XX VII. Note ($ XI, art. 228). Construction graphique des tangentes et des cercles oscillateurs des courbes géométriques.

(450) Que l'on applique le théorème du $ XI à une courbe plane géométrique; et que l'on prenne le point m infiniment voisin du point de la courbe où l'on veut mener la tangente; que les trois transversales mi, mj, ij, soient menées tout-à-fait arbitrairement; et que les points a, b, soient ceux où les deux premières rencontrent l'arc de la courbe duquel le point m est infiniment voisin ; cet arc sera pris pour la tangente, et le rapport ^ sera égal au rapport des sinus des angles que les deux droites mj, mi font avec cette tangente; après avoir remplacé le premier rapport par le second, on pourra supposer que le point m soit sur la courbe même; alors, en substituant dans l'équation de l'art. 227, au rapport ^ le rapport des sinus des angles 6, a, que les deux droites mj, mi font avec la tangente à la courbe au point m, on aura l'équation

sin. C mb'.mh".... im.ia'.ia" .... je. je'. je".... sin. * ma', ma,".... jm.jb'.jb".... te. ic '. te" ....

Tous les facteurs du second membre sont des segmens faits sur les

d by Oooglc

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

trois transversales arbitraires mi, mj , ij, de sorte que le second membre est connu; et conséquemment la direction de la tangente est déterminée.

Ainsi ce problème des tangentes, qui a eu une si grande célébrité il y a 200 ans, qui était <c le plus beau et le plus utile » que Descartes ait désiré savoir, se trouve résolu géométriquement, d'une manière tout-à-fait générale et très-simple, pour les courbes même auxquelles s'appliquaient les deux solutions analytiques de ce philosophe.

Si l'on applique l'analyse à cette solution , on obtiendra la formule employée en géométrie analytique.

(451) L'équation (2) conduit avec la même facilité à la solution d'un problème d'un ordre plus élevé que celui des tangentes, du problème des cercles oscillateurs aux différens points d'une courbe géométrique.

En effet, soient pris sur une courbe géométrique trois points consécutifs b, atb', infiniment voisins. Par le point a soit menée, arbitrairement, une droite rencontrant bb' en m et la courbe aux points

a', a", Soient b", b'",... les points où la corde bb' rencontre la

courbe ; et menons une transversale quelconque qui rencontrera ma en », mb enj, et la courbe en c, c', c".... On aura l'équation

ma. ma' . ma" .. ... jb. jh'. jb" ic.ic'.ic"

to. ta . ta Mi MO . mu je» je • je • ••••

Concevons le cercle qui passe par les trois points b, a, b'; et soit e le point où la droite ma le rencontre, on aura

ma. me = mb. mb'

d'où

mb, mb'

et d'après l'équation ci-dessus,

ma', ma".... jb. jb' . jb" .... ic.ic'.ic".... me ■ — J< X ■ •

mb' «••• tQ m 143 ■ t'i JC • JC • JC

Pour chaque transversale menée par le point a on aura une équation

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

semblable. Ainsi l'on déterminera autant de points qu'on voudra du cercle passant par les trois points b, a, b'. Et si l'on suppose que ces trois points se confondent, on aura le cercle osculateur à la courbe. Alors la droite bb' devient la tangente à la courbe au point m, et ce point m se confond avec le point de réunion des trois points b, a, b' ; la formule devient donc

wifï . «i/i ... /mi . ih ir. te ■ te .»•• ,ne = y — : L- v

miV i„' i„" ,v Uf*

La tangente au point m étant connue, il suffira de déterminer un seul point e, pour que le cercle osculateur soit connu. Si Ton veut calculer son diamètre . on mènera la transversale mi perpendiculaire à la tangente; alors l'expression de me sera la longueur du diamètre du cercle.

On convertira aisément cette solution graphique en la formule analytique connue.

(452) Il est important d'observer que pour co genre de solution graphique des deux problèmes que nous venons de résoudre, il faut que la courbe soit tracée complètement , de manière que les transversales que l'on mène la rencontrent en autant de points réels que la courbe en comporte, c'est-à-dire, en autant de points réels qu'il serait indiqué par le degré de l'équation de la courbe, exprimée dans le système de coordonnées en usage.

TABLE DES MATIÈRES

DANS LE MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE