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est un maximum ou un minimum. C'est-à-dire que si Ton prend un autre point quelconque m , le rapport

m A. in A'

mB.mB'

atteindra son maximum ou son minimum quand le point m viendra se confondre avec l'un des deux points E, F qui sont conjugués harmoniques par rapport aux deux A, A', et par rapport aux deux B , B'.

(18) Deux systèmes de points A, A' et B, B' et leur point central 0 , jouissent de la propriété suivante, démontrée par Pappus (propositions 46 , 46 ,... et 66 du livre septième des Collections mathématiques ) :

Si l'on prend sur la droite j4B , ou sur êon prolongement , un point quelconque m, on aura toujours la relation

mA.mA' — mB.mB' = (AB -+- A'B'). mO.

' H. Poncelet a présenté d^ane antre manière cette dUcnssion relatÎTe aux deux points E ,F^ en te serrant de la constnictîon géométrique propre à la détermination de ces deux points (Voir Traité des Propriétés pro' fsetives, pag. 201).

Ed prenant les points milieu a , S des deux segmens ÂÂ' et BB' , on change cette relation en celle-ci :

mA.mA' — mB.mB' = SaC. mO*

(19) En supposant que le point m se confonde successivement avec A , A' , B, B', on aura des relations particulières entre les cinq points A , A' , B , B' et 0, qui ont aussi été démontrées par Pappus, propositions 41 , 42 et 4d.

Propriétéi géométriques,

(20) La plus ancienne propriété géométrique de Tinvolution de six points^ se trouve dans Pappus (proposition 130 du septième livre), où Ton voit que quand les quatre cAtés et les deux diagonales d'un quadrilatère sont rencontrés par une diagonale quelconque en six points , A , A' ; B , B' ; et G , G' , dont les deux premiers appartiennent à deux côtés opposés , les deux suivans aux deux autres côtés opposés , et enfin les deux derniers aux deux diagonales , on a entre les segmens formés par ces points, les équations (B).

Il résulte évidemment de cette proposition que, réciproquement, quand une des équations (B)a lieu, on peut faire passer par les six points , les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère; et Ton conclut de là, par la proposition de Pappus, que les trois autres équations (B) ont lien en vertu de la première.

Voilà comment, au moyen de la proposition géométrique de Pappus , on démontre cette propriété arithmétique de Tinvolution de six points , savoir , que Tune quelconque des équations (B) comporte les trois autres.

Et comme, en combinant ces équations entre elles, on en déduit immédiatement les équations (A) , il se trouve aussi démontré , par la seule proposition de Pappus, que les six points où une transversale menée arbitrairement dans le plan d'un quadrilatère rencontre ses quatre côtés et ses deux diagonales , ont entre eux les relations exprimées par les équations (A).

(21) La démonstration du théorème de Pappus est facile ; mais au moyen de ce que la relation d'involution est projective, on peut simplifier cette démonstration , en projetant le quadrilatère de manière qu'il devienne un parallélogramme.

C'est ainsi qu'a fait M. Brianchon pour démontrer ce théorème , dans son Mémoire sur les lignes du second ordre.

(22) Il ne parait pas que les relations (A) , qui comprennent huit segmens, aient été connues de Pappus. Gar parmi ses propositions sur le quadrilatère coupé par une transversale, nous n'en trouvons qu'une qui se rapporte à ces relations; c'en est un cas parti* culier. La transversale est menée par le point de concours de deux côtés opposés, parallèlement à une diagonale (proposition 133). Les deux propositions qui précèdent celle-là pourraient être aussi considérées comme des cas particuliers des relations (A); mais comme elles viennent immédiatement après la proposition 130, dont elles sont aussi des cas par-

ticuliersy nous deyons les y rattacher , et les regarder comme des corollaires des relations (B) qu'exprime cette proposition 130.

(23) Les équations (A) ne paraissent pas remonter au delà de Desargues ; c'est sous leur forme que ce géomètre a caractérisé Vinvolution de six points , à Toccasion du beau théorème suivant y qui est deyenu si fécond dans la Géométrie récente, savoir , que :

Un quadrilatère étant inscrit dans une conique ^ les points où une transversale quelconque rencontre la conique et les quatre côtés du qfiadrilatère, sont en involution.

Il est extrêmement facile de démontrer ce théorème par de simples considérations de Géométrie i.

(24) Et Ton en conclut successi?ement les deux suivans, qui sont plus généraux : Quand deux coniques sont circonscrites à un quadrilatère , si Von tire une transversale quelconque qui rencontre ces courbes en quatre points, et deux côtés opposés du quadrilatère en deux autres points; ces six points seront en involution.

Quand trois coniques sont circonscrites à un même quadrilatère , une transversale quelconque les rencontre en six points qui sont en involution.

Ces deux théorèmes sont^ comme on voit, une généralisation de celui de Desargues, qui s'en conclut comme corollaire. H. Sturm les a démontrés le premier par l'analyse 2.

(26) Le dernier pourrait servir à démontrer les différentes propriétés de Tinvolution de six points , que nous avons appelées arithmétiques. Pour cela on considérerait différentes autres coniques passant par les quatre mêmes points que les trois premières ; chacune d'elles pouvant être déterminée par une cinquième condition. Si Ton demande qu'une de ces cohiques soit tangente à la transversale , on trouvera les points doubles ; si l'on veut qu'une des coniques ait une asymptote parallèle à la transversale y on trouvera le point central; etc.

(26) Une propriété bien importante de Tinvolution de six points ^ c'est que : Si d'un point pris arbitrairement, on mène des droites à ces six points , les relations d'in-^ volution {A) et [B) , qui ont lieu entre les segmens compris entre les points , auront lieu aussi entre les sinus des angles formés par les six droites qui interceptent ces segmens.

On a coutume de démontrer cette proposition y en exprimant les segmens en fonction des sinus des angles qui les comprennent. Mais la théorie du rapport anharmoniqne de quatre points nous en fournit une démonstration plus simple. Car il suffit de remarquer que chacune des relations d'involution (A) et (B) est une égalité de deux rapports anharmoniques ( ainsi que nous le ferons voir dans la deuxième partie de cette Note ). Ces rapports conservent les mêmes valeurs quand on y substitue, aux segmens, les sinus des angles qui comprennent ces segmens ; par conséquent la relation d'involution a lieu entre les sinus des angles que les six droites font entre elles.

Réciproquement , quand une telle relation a lieu entre les sinus des angles que six

» Voir la Note XV.

^ Annales de Maihématiquea ,iom. lYII, pag. 180.

droites issues d'ao même point font entre elles ^ une transversale quelconque rencontre ces six droites en six points qui sont en involution.

On dit que ces six droites forment un faisceau en involution,

(27) Telles sont les six tangentes menées d'un même point à trois coniques qui sont inscrites dans un même quadrilatère.

(28) On peut regarder comme une des coniques, dont un axe est nul, la droite' qui joint deux côtés opposés du quadrilatère; comme une seconde conique, la droite qui joint les deux autres sommets; et enfin comme une troisième conique, la droite qui joint les points de concours des côtés opposés. Et Ton conclut du théorème, général que nou^ Tenons d'énoncer plusieurs corollaires, dont Fun est ce théorème :

Les six droUee menées d'un mime point aux quatre sommets et aux deux points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère forment un faisceau en involution; de sorte que toute transversale rencontrera ces six droites en six points qui seront en involution.

( 29 ) Nous ne trouvons dans Pappus qu'une proposition qui puisse se rattacher à ce théorème; c'est la 135® du septième livre. Il faut supposer deux côtés du quadrilatère parallèles entre eux, et que la transversale leur soit parallèle et passe par le point de con* cours des deux autres côtés.

(30) La relation d'involution nous parait devoir se présenter souvent dans plusieurs théories géométriques , particulièrement dans celle des coniques. Cependant on ne la guère considérée que dans le système de trois coniques inscrites ou circonscrites à un même quadrilatère , et dans les cas particuliers d'un tel système.

Nous montrerons, à la fin de la deuxième partie de cette Note, que cette relation peut se présenter dans beaucoup d'autres circonstances.