TOM. XL

ment par un point de la première ^ rencontrent reêpeetivement leurê homologuée dans la eecofidey en des pointe située sur une conique ; théorème que nous ayioDs énoncé sans démonstration dans un écrit sur le déplacement d'un corps solide dans l'espace (Bulletin universel des sciences j tom. XIV, pag. 321.)

(14) Ou peut donner au théorème général qui fait le sujet de cette Note, cet autre énoncé : Quand un hexagone est inscrit dans une conique , si de deux somsnets on mène des droites aux quatre autres sommets , le rapport anharmonique des quatre premières sera égal au rapport anharmonique des quatre autres;

C'est-à-dire que : Les quatre premières droites rencontreront une transversale quelconque en quatre points , et les quatre autres rencontreront une seconde trans^ versale en quatre points correspondans un à un aux quatre premiers ; et le rapport anharmonique des quatre premiers points sera égal au rapport anharmonique des quatre autres.

Cet énoncé a la plus grande généralité possible , à cause de l'indétermination de position des deux transyevsales.

(15) Supposons que la première transyersale est l'une des quatre droites menées par le second sommet de l'hexagone, et que la seconde transyersale est l'une des droites menées par le premier sommet; alors le théorème qu'on obtient est précisément le premier des théorèmes que Pascal a énoncés dans son Essai pour les coniques • comme se déduisant de son hexagramme.

(16) Maintenant supposons que les deux transyersales se confondent ayeo l'un des côtés de l'hexagone, le théorème qui en résultera sera celui même de Desargues sur l'inyolution de six points.

(17) Dans ce théorème de Desargues, substituons aux segmens compris sur la transyersale entre les deux points de la conique et les quatre côtés du quadrilatère, les expressions de ces segmens en fonction des perpendiculaires abaissées des deux points de la conique sur les quatre côtés ; il en résultera ce théorème :

Un quadrilatère étant inscrit dans une conique y si d'un point quelconque de la courbe on abaisse des perpendiculaires sur ses côtés , le produit des perpendiculaires abaissées sur deux cotés opposés sera au produit des deux autres dans un rapport constant quel que soit le point de la conique.

Au lieu des perpendiculaires, on peut prendre des obliques faisant respectiyement ayec les côtés du quadrilatère sur lesquels elles sont abaissées , des angles constans. Cette proposition est donc le théorème ad quatuor lineas rapporté par Pappus.

(18) Ainsi il est démontré , que Thexagramme mystique, un autre théorème de Pascal aussi sur l'hexagone , celui de Newton sur la description organique des coniques^ celui de Desargues sur l'inyolution de six points , et celui des anciens ad quatuor lineas ^ sont tous des corollaires de notre théorème. On conçoit par là le grand nombre de yérités particulières snr lesquelles ce théorème peut s'étendre, pour en montrer des rapports inaperçus jusqu'à ce jour, et une origine commune et satisfaisante.

Nous pouyons donc regarder ce théorème comme étant, en quelque sorte, un centre ^

d'où dériyent la plupart des propriétés des coniques^ même les plos générales : il serait propre; à raison de cette très-grande fécondité, et de la facilité extrême avec laquelle il se démontre y à servir de fondement à une théorie géométrique des coniques.

(10) Gomme c'est la notion du rapport anharmoniqus qui fait le caractère principal de ce théorème , et qui le rend propre aux innombrables déductions qu'on peut en tirer, nous le désignerons sous le nom de propriété anharmonique des points d'une conique ^

Remarquons que, de même que les théorèmes de Pascal, de Desargues , de Newton, et la question ad quatuor lineaêy sont des corollaires de cette propriété anharmonique , celle-ci peut aussi se déduire, par la même voie, de chacun de ces théorèmes , et servir par conséquent à passer de l'un à l'autre. Ce qui prouve que la notion du rapport anharmonique est véritablement le lien commun entre ces divers théorèmes , et qu'ils ne diffèrent l'un de l'autre que par la forme.

On avait déjà remarqué les rapports, nous pouvons même dire la presque identité qui a lieu entre les théorèmes de Desargues et de Pascal , mais non point entre ceux-ci et les autres théorèmes principaux que nous avons cités. On démontrait , au contraire , chacun de ces théorèmes d'une manière différente, et toujours incomparablement plus longue que la démonstration intuitive que nous aTons donnée du théorème en question.

(20) Nous pourrions aussi déduire de ce théorème la belle proposition de Garnot , concernant le rapport des segmens faits par une conique sur les trois côtés d'un triangle tracé dans son plan, et qui exprime une propriété de six points pris sur une conique, tout aussi générale que les théorèmes de Desargues, Pascal et Newton.

(21) Enfin notre propriété anharmonique est encore susceptible d'une nouvelle forme, qui en fait une proposition nouvelle , différente de toutes celles qui précèdent , et qui se prête à un nouveau genre de déductions extrêmement nombreuses.

Gette nouvelle proposition s'exprime par une égalité à trois termes. On peut l'énoncer ainsi :

Étant données dans un plan deux transversales; et étant pris sur la première , deux points fixes quelconques O , E , et sur la seconde deux points & ^ E\ aussi quelconques;

Si , autour de deux pâles fixes P, P' y pris arbitrairement dans le plan de la figure , on fait tourner deux droites qui rencontrent les deux transversales , respectivement 9 en deux points a , a' , déterminés de manière que Von ait la relation

Oa OV

^'^ e;-^^êv=^^

A et. [JL étant deux constantes ;

Le point de concours des deux droites fnobiles engendrera une conique qui passera par les deux pôles P, P\

* Noos disons des pointa d^une conique, parce que nous verrons dans la Note suivante que les coniques jouissent d*une seconde propriété anharmonique, analogue à cette première, et qui concerne leurs tangentes.

(22) Ce théorème , où il y a tant d'élémens arbitraires , tels que les directions des transversales , les positions des quatre points pris sur elles; celles des deux pôles , et les valeurs des deux coefficiens , ne diffère point , au fond , des propriétés générales des coniques dont il a été question dans cette Note; car nous le déduisons, comme chacune d'elles ^ de notre proposition an harmonique. Mais sa forme permet d'en étendre les applications beaucoup plus loin que l'on n'a fait à l'égard de chacune de ces propositions.

(23) Ainsi , par exemple , si l'on suppose les deux points £ , £', placés sur la droite qui unit les deux pôles P, P', l'équation , au lieu d'exprimer une conique , devient celle d'une simple ligne droite. De là résultent , comme corollaires d'autant de propriétés des coniques, une infinité de propriétés de la ligne droite; et parmi ces propositions se trouvent divers systèmes de coordonnées, particulièrement celui de Descartes.

Il est plusieurs autres manières de faire que l'équation représente une ligne droite. Il suffit, en général, de satisfaire à une seule relation de condition entre les données delà question , qui est exprimée par l'équation

Oe

OV

ê;-^'ev==^'

£ et e étant les points où les deux transversales rencontrent la droite qui joint les pôles P, F.

Nous montrerons, dans un autre écrit, les nombreux usages auxquels l'équation (A) nous a paru se prêter dans la théorie des coniques , et dans celle des transversales.

(24) Je reviendrai aussi ailleurs sur la propriété anharmonique des coniques, exprimée sous la forme d'une égalité à deux termes par le théorème (2) ; parce qu'elle se présentera dans la théorie des figures homographîquejt dont elle est une propriété générale. Nous l'énoncerons alors en ces termes :

Deux faisceaux homographiques étant éitués dans un même plan, les droites du premier rencontrent respectivement les droites du second, en des points qui sont sur une conique qui passe par les centres des deux faisceaux.

Cet énoncé, qui substitue à l'idée de rapport anharmonique, qui est déjà trèssimple, mais qui ne concerne directement qu'un faisceau de quatre droites, une autre notion qui comprend explicitement toutes les droites d'un même faisceau, apportera dans les applications du théorème une promptitude et une facilité nouvelle.

(25) On nous pardonnera peut-être la longueur de cette Note , si l'on remarque qu'elle contient, avec leurs démonstrations, la plupart des propriétés les plus belles et les plus générales de la théorie des coniques. L'analyse, certainement, n'aurait point été plus briéve, ni plus facile, dans cette circonstance, que la pure Géométrie.

Nous observerons , à cette occasion , qu'aucune de ces propositions , qui sont pourtant les plus considérables et les plus fécondes de toute la théorie des coniques, n'entre aujourd'hui dans les ouvrages analytiques où l'on étudie ces courbes. Ces ouvrages ne sont véritablement pas des traités des coniques; ce sont des applications de la Géométrie analytique,

et une introduction à la théorie générale des courbes ; et dans ces applications on démontre, non pas les propriétés les plus générales et les plus importantes des coniques, mais celles seulement qui sont les plus élémentaires et les plus restreintes , parce qu'elles se prêtent mieux aux formules de l'analyse. Les autres, qui seraient les plus utiles, et sur lesquelles reposent les progrès incessans delà théorie des coniques, restent inconnues aux jeunes géomètres qui n'ont étudié cette importante théorie que dans les traités de Géométrie analytique.

L'étude des coniques a donc rétrogradé , depuis un siècle , d'une manière extraordinaire. Gela est fâcheux ; non-seulement à cause du rôle important que ces célèbres courbes jouent dans toutes les parties de la Géométrie , et qui rend leur connaissance indispensable; mais aussi parce que , en principe général, on doit, dans toutes parties des sciences, accoutumer l'esprit à toujours établir ses spéculations sur les mérités les plus générales que pré^ sente chaque théorie. C'est le plus sûr, si non l'unique moyen, de.simplifier l'étude d'une science et d'en assurer les progrès.