OS O'S

où S désigne le point de concours des deux transversales, la conique se réduira à un point; c'est-à-dire^ que la droite aa' passera toujours , dans toutes ses positions, par un même point.

C'est ce qui a lieu, par exemple, quand les points E, £', sont placés au point de con-

cours S des deux tranversales. De sorte que Téquation

Oa OW

Sa Sa'

appartient à ud point.

Nous reyiendrons, dans un autre moment, sur le théorème qui fait le sujet de cette Note. Nous le considérerons alors comme une propriété des figures homographiques ; et nous lui donnerons cet autre énoncé, qui est très-propre à en montrer de nombreuses applications.

Quand deux droite* , dans un plan, sont divisées homo graphiquement , les droites gui joignent un à un les points de division de la première aux points homologues de la seconde , enveloppent une conique tangente aux deux premières droites.

On peut remplacer, dans le théorème ci-dessus, le système des deux transyersales fixes par une circonférence de cercle. On a alors ce théorème :

Étant donnés quatre points fixes quelconques O, E , O' , E' sur une circonférence de cercle; si Von prend sur cette circonférence deux points variables a , a' , tels que Von ait la relation

sin. \ aO sin. i a'O'

sm. i aE sm. ^ a £

A et /x étant deux constantes,

La corde aa', enveloppera une conique qui aura un double contact avec le cercle , et qui touchera la droite EE\

Cette proposition , jointe aux deux qui nous ont déjà présenté de l'analogie ayec le rapport anharmonique de quatre points, et Tinvolution de six points, donne lieu à une théorie dans laquelle une foule de propriétés du système de deux lignes droites se trouyent transportées au cercle; et tout cela s'applique par une transformation conyenable, aune section conique quelconque; ce qui offre une source nouyelle de propriétés de ces courbes.

Nous nous bornerons ici à faire remarquer qu'en prenant pour les points £ , £', dans le théorème ci-dessus, les extrémités des diamètres qui passent par les deux points O, O' , respectivement , on donnera à Téquation cette forme plus simple

tang. i aO -4- A tang. i a'O' = /u ,

qui exprime un nouveau théorème.

Parmi les corollaires qui dérivent de ce théorème, on trouve cette propriété du cercle osculateur en un point d'une conique :

Étant mené le cercle osculateur en un point A d'une conique, toute tangente â cette courbe le rencontre en deux points, qui sont tels que la différence des cotangentes des demi-arcs compris entre ces points et le point A est constante.

NOTE XVIL

( TROISliMB BPOQUB , § 24. )

Sur Maurolicus et Guarini.

Maurolicus, le plus sayant géomètre de son temps ^ est auteur d'ua grand nombre d'oayrages, où se trouyent souyent des innovations heureuses et des traces de génie.

C'est à lui qu'on doit cette remarque, qui fut, entre ses mains, la base de nouveaux principes de Gnomonique, que l'ombre de l'extrémité d'un style décrit chaque jour un arc de section conique : et c'est à cette occasion qu'il composa son traité des coniques dont nous ayons parlé, et qui fait le sujet du 3"* livre de sa Gnomonique, intitulée de Imei^ horariù lihri III, qui parut d'abord en 1553, puis en 1575. Mais ce traité des coniques se borne à ce qui était nécessaire pour la Gnomonique; et ne comprend pas toutes les propriétés de ces courbes , qui se trouvent dans Apollonius.

Nous citerons encore de Maurolicus l'introduction, dans les calculs trigonomé triques, des sécantes, dont il imprima une table dans le volume intitulé TheodoHi sphcericorutn KiW III, année 1558.

L'analyse est aussi infiniment redevable à ce géomètre , qui pourtant est peu cité à ce sujet. C'est lui qui introduisit le premier l'usage des lettres, à la place des nombres, dans les calculs de l'arithmétique , et qui donna les premières règles de l'algorithme de l'algèbre. Maurolicus voulait, par cette innovation, éleyer les opérations numériques à la même généralité, et à la même abstraction que les opérations graphiques de la Géométrie, dont l'ensemble est présent à l'œil, et peut même être suiyi mentalement, et a le singulier avantage de se prêter à mille applications diyerses.

Nous avons cité Guarini à l'occasion du théorème de Ptolémée, dans la Note VI, et de la théorie des coniques en parlant du grand traité de De La Hire.

L'ouvrage de ce géomètre, dont nous nous étonnons de ne trouver aucune mention chez les auteurs qui ont écrit sur l'histoire des mathématiques, est intitulé : Euclides adauctuê et metkodicus, mathematicaque univerêalis (in-fol. de plus de 700 pages, sur 2 colonnes, Turin 1671}. Il contient 35 traités sur différentes parties de la Géométrie théorique et appliquée. Le 32"* peut être regardé comme un chapitre de notre Géométrie descriptive actuelle. Il traite de la projection sur des plans , des lignes qui proviennent de \ l'intersection de la sphère , du cône et du cylindre entre eux ; et du développement , sur i un plan , de ces courbes à double courbure.

Tox. XI. 44

Gaarini est auteur aussi d'ua ouyrage sur rastronomie , intitulé : Maihemaiiea cœlestià' , in-fol. Milan 1683 ; que Weidler et Lalande ont cité ^ le premier avec ces mois d'éloge, j4 perspicuitate commendatur.

Ces deux célèbres écrivains auraient pu comprendre aussi dans leurs bibliographies astronomiques , un autre ouvrage de Guarini , intitulé : PlacUa philosophica ( in-fol. Paris , 1666) , où , parmi d'autres matières relatives à la physique , à la logique et à la meta- \ physique, Tauteur détruisait le système' de Ptolémée et y substituait certaines lignes '• spirales dans lesquelles il faisait mouvoir les planètes. Il émit aussi une opinion extraordinaire sur le flux et le reflux de la mer , et sur divers autres phénomènes.

NOTE XVIU.

(TROISliBIB ÉPOQUE , § 34.)

Sur Vtdentité des figures homologtques avec celles qu'on décrit dans les pratiquas de la perspective. — Remarque sur la perspective de Stevin.

Il est aisé de reconnaître que les figures de De La Hire, celles de Le Poivre, et les figures homologiqnes sont identiquement les mêmes que celles que Ton décrit dans la méthode de perspective qui fait usage du point de vue et dids points de distance. Car celles-ci jouissent des deux caractères distinctifs des premières, qui sont : 1° que leurs lignes homologues concourent sur une même droite, qui est la ligne de terre; 2° que leurs points homologues sont sur des droites concourantes en un même point (qui serait le rabattement du point de Tœil sur le plan du tableau , si le plan horizontal mené par l'œil eut tourné autour de la ligne horizontale).. VLàis cette seconde propriété des figures qu'on décrit dans la pratique de la perspective par le point de vue et les points de distance, est rarement démontrée dans les traités de perspective; car, quoique ces ouvrages soient extrêmement nombreux , nous n'avons peut-être aperçu cette propriété que dans ceux d'Ozanam , de Jeaurat, de Lambert (édition de 1773 ), et dans le traité récent de M. Choquet.

Dans d'autres méthodes de perspective , telles que celles de Stevin , de S'Gravezande , de Taylor et du P. Jacquier , qui se servent du point de l'œil rabattu sur le plan de la

figure y ridentité des figures construites y avec les figures de De La Hire^ de Le Poiyre, et les figures homologiques, est éTidente, parce qu'il est fait usage, dans ces pratiques, des deux propriétés caractéristiques que nous avons énoncées.

S'GraTezande et Taylor sont cités souvent , et à juste titre, comme ayant traité la perspective d'une manière neuve et savante : mais nous nous étonnons que l'on passe sous silence Stevin qui, un siècle auparavant, avait aussi innové dans cette matière, qu'il avait traitée en profond géomètre, et peut-être plus complètement qu'aucun autre, sons le rapport théorique.

Ainsi, nous ne trouvons que dans cet auteur la solution géométrique de cette question , qtti est rinverse de la perspective : Étant données dans un plan et dans une position quelconque l'une par rapport â Vautre, deuof figures qui sont la perspective l'une de l'autre , on demande de les placer dans l'espace de manière que la perspective ait lieu , et de déterminer la position de Vœil.

Stevin , il est vrai , ne résout que quelques cas particuliers de cette question , dont le plus difficile est celui où l'une des figures est un quadrilatère et la seconde un parallélogramme.

Le cas où les deux figures sont deux quadrilatères quelconques comporte toute la question. Mais Stevin ne pouvait le résoudre, parce qu'il ne faisait usage que des propriétés descriptives des figures de la perspective; et qu'il eût fallu considérer aussi leurs relations métriques.

Nons aurons occasion de résoudre cette question générale dans les applications de de notre principe de transformation homographique.