V. 247 avant J.-C

approfondi^ dans toutes leurs parties^ les ouvrages des quatre grands géomètres de l'antiquité ^ Euclide^ Archimède^ Apollonius et Pappus, qu'il a traduits et commentés^ dit formellement : a Archimède n'est » yéritablement difficile que pour ceux à qui les méthodes des An- » ciens ne sont pas familières; il est clair et facile à suivre pour ceux » qui les ont étudiées \ »

S 11* Apollonius fit sur les sections coniques un traité en huit li- apollorius, vres. Les quatres premiers renfermaient tout ce qu'on avait écrit avant lui sur cette matière^ où il avait seulement étendu et généralisé certaines parties; c'est ce qu'on appelait alors les Élémens des coniques; les quatre autres comprenaient les inventions propres de ce grand géomètre.

Ce fut Apollonius qui considéra le premier les coniques dans un cône ohlique quelconque à base circulaire ; jusque-là on ne les avait conçues que dans le cône droit ^ ou de révolution; et encore avait-on toujours supposé le plan coupant perpendiculaire à l'une des arêtes du cône; ce qui obligeait à prendre trois cônes d'ouverture différente^ pour former les trois sections coniques. On désignait ces courbes par les mots section du cône acutangle, section du cône obtusangle, et section du cône rectangle ^ elles ne prirent les noms A' ellipse , ^hyperbole et de parabole que dans l'ouvrage d'Apollonius ^.

Tout ce savant traité repose à peu près sur une propriété unique des sections coniques^ qui dérive directement de la nature du cône où ces courbés sont formées. Cette propriété, que laissent ignorer la plupart des traités modernes, mérite que nous la fassions connaître ici, comme étant la clef de toute la doctrine des Anciens, et comme étant absolument nécessaire pour l'intelligence de leurs ouvrages.

Concevons un cône oblique à base circulaire, la droite menée de

1 Préface de la traduction des OEurres d*Archiméde«

^ Cependant les deux mots ellipse et parabole étaient connus d'Archimède. Le premier se troaye dans le titre de Tun de ses traités {delà quadrature de la parabole)^ quoiqu'il ne s*y rencontre jamais dans le texte : et le second commence à être employé dans la proposition 9" du liyre des conoïdes et des sphéroïdes.

To«. XL 3

18 fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

son sommet au centre du cercle qui lui sert de base est appelée I We du cône. Le plan mené par Faxe^ perpendiculairement au plan de la base^ coupe le cône suivant deux arêtes , et détermine dans le cercle un diamètre : le triangle qui a pour base ce diamètre^ et pour côtés les deux arêtes^ s'appelle le triangle par Vawe. Apollonius suppose , pour former ses sections coniques^ le plan coupant perpendiculaire au plan du triangle par Vaxe. Les points où ce plan rencontre les deux côtés de ce triangle sont les sommets de la courbe; et la droite qui joint ces deux points en est un diamètre. Apollonius appelle ce diamètre latiss transversum.

Que par l'un des deux sommets de la courbe on élève une perpendiculaire au plan du triangle par l'axe; qu'on lui donne une certaine longueur^ déterminée comme nous le dirons après; et que, de l'extrémité de cette perpendiculaire, on mène une droite à l'autre sommet de la courbe , maintenant que par un point quelconque du diamètre de la courbe, on élève perpendiculairement une ordonnée^ le carré de cette ordonnée, comprise entre le diamètre et la courbe, sera égal au rectangle construit sur la partie de l'ordonnée comprise entre le diamètre et la droite, et sur la partie du diamètre comprise entre le premier sommet et le pied de l'ordonnée. Telle est la propriété originaire et caractéristique qu'Apollonius reconnaît à ses sections coniques, et dont il se sert pour en conclure, par des transformations et des déductions très-habiles, presque toutes les autres. Elle joue, comme on voit, dans ses mains, à peu près le même rôle que l'équation du second degré à deux variables dans le système de Géométrie analytique de Descartes.

On voit par là que le diamètre de la courbe, et la perpendiculaire élevée à l'une de ses extrémités su£Bsent pour construire cette courbe. Ce sont là les deux élémens dont se sont servis les Anciens pour établir leur théorie des coniques. La perpendiculaire en question fut appelée par eux latus erectum; les Modernes ont d'abord changé ce nom en celui de latus rectum, qui a été long-temps employé; et ensuite l'ont remplacé par celui de paramètre^ qui est resté. Apol-

lonltts^ et les géomètres qui écrivirent après lui^ donnèrent différentes expressions géométriques^ prises dans le cône^ de la longueur de ce latus rectum pour chaque section : mais aucune ne nous a paru aussi simple et aussi élégante que celle de Jacques Bemouilli. La Toici : <c Que Fon mène un plan parallèle à la base du cône, et situé -à la même distance de son sommet que le plan de la section conique proposée y ce plan coupera le cône suivant ou cercle^ dont le diamètre sera le lattis rectum de la conique \ »

De là on conclut aisément la manière de placer une conique donnée sur un c6ne aussi donné.

$ 12. Les plus belles propriétés des sections coniques se trouvent dans le traité d'Apollonius. Nous citerons celles des asymptotes^ qui font la partie la plus considérable du livre 2; le rapport constant des produits des segmens faits par une conique sur deux transversales parallèles à deux axes fixes ^ et menées par un point quelconque (propositions 16 à 23 du livre 3); les propriétés principales des foyers de l'ellipse et de Thyperbole, qu'Apollonius appelle points dP application (même livre, propositions 45 à 52) *; les deux beaux théorèmes sur les diamètres conjugués (7® livre, propositions 12 et 22; 30 et 31).

Nous devons citer encore le théorème suivant, qui est devenu d'une si haute importance dans la Géométrie récente, comme étant la base de la théorie des polaires réciproques, et dont De la Hire> auparavant, avait déjà fait le fondement de sa théorie des coniques :

c( Si par le point de concours de deux tangentes à une section » conique, on tire une transversale cpii rencontre la courbe en deux » points, et la corde qui joint les points de contact des deux tan- » gentes en un troisième point; ce troisième point, et le point de )) concours des deux tangentes seront conjugués harmoniques par » rapport aux deux premiers. » (Livre 3, proposition 37.)

Les 23 premières propositions du livre 4 sont relatives à la division harmonique des lignes droites tirées dans le plan d'une conique. Ce

' Novum thearetna pro docirina êêeiianum conicarum ( Acte Erad. ann. 1689, pag. 586 ). * Foy. la note IV.

sont^ pour la plupart , divers cas du théorème général que nous venons d'énoncer. Dans les propositions suivantes^ Apollonius considère le système de deux coniques^ et démontre que ces deux courbes ne peuvent se couper qu'en quatre points. Il examine ce qui arrive quand elles se touchent en un ou en deux points^ et traite de divers autres cas de la position respective qu'elles peuvent présenter.

Le cinquième livre est le monument le plus précieux du génie d'Apollonius. C'est là qu'ont paru pour la première fois les questions de maxima et de minima. On y retrouve tout ce que les méthodes analytiques d'aujourd'hui nous apprennent sur ce sujet; et l'on y reconnaît le germe de la belle théorie des développées. En effets Apollonius prouve qu'il existe^ de chaque côté de l'axe d'une conique^ une suite de points d'où l'on ne peut mener à la partie opposée de la courbe qu'une normale; il donne la construction de ces points^ et observe que leur continuité sépare deux espaces qui présentent cette différence remarquable^ savoir : que de chaque point de l'un on peut mener deux normales à la courbe^ et que d'aucun point de l'autre on n'en peut mener aucune. Yoilà donc les centres dosculation^ et la développée d'une conique parfaitement déterminée.

Apollonius fait usage d'une hyperbole auxiliaire^ dont il détermine les élémens^ pour construire les pieds des normales abaissées d'un point donné sur la conique proposée. Toutes ces recherches sont traitées avec une sagacité admirable.

Ce grand ouvrage avait fait donner à Apollonius le surnom de géomètre par excellence^ ainsi que le rapporte Geminus.

Les sept premiers livres seuls nous sont parvenus; les quatre premiers dans leur langue originale^ et les trois suivans en arabe. Halley a rétabli le huitième dans sa magnifique édition des Coniques d Apollonius ^ la seule qui soit complète \

S 13. Apollonius avait laissé d'autres écrits nombreux^ qui avaient la plupart pour objet Vanalyse géométrique. Mais un seul^ le traité De

' Apollonii Pergœi conicorum libri octo ; in-foL, Oioniae ; 1710.

H. Peyrard , dans les préfaces de sa traduction d*Archimède , et de sa tradaction d'EucIide

né 276 avant J.-C.

Sectione rationisy nous est parvenu; d'autres^ qui avaient pour titres : De Sectione spatii; De Sectione determinatd; De Tactionibus; De Inclinationibus ; de Lacis planis^ ont été rétablis par divers géomètres^ dans les deux siècles derniers^ d'après les indications de Pappus.

Apollonius a la gloire aussi d'avoir appliqué la Géométrie à l'astronomie. On lui attribuera théorie des épicycles^ qui servaient à expliquer les phénomènes des stations et des rétrogradations des planètes. Ptolémée le cite à ce sujet dans son Almageste.

S 14. Parmi les contemporains d'Archimède et d'Apollonius^ on dis- iratosthènb ; tingue Ératosthène^ qui naquit 276 ans avant l'ère chrétienne (11 ans après Archimède et 31 ans avant Apollonius). Ce philosophe^ profond dans tous les genres de savoir^ et qui fut, sous le troisième Ptolémée^ directeur de la bibliothèque d'Alexandrie, avait mérité d'être placé au même rang que les trois célèbres géomètres de l'antiquité, Aristée, Euclide et Apollonius, qui avaient travaillé sur l'analyse géométrique. Pappus cite de lui un ouvrage en deux livres, qui se rapporte à cette méthode, mais qui ne nous est point parvenu. Il avait pour titre : De Zocis ad Medietates; nous ne savons ce qu'étaient ces lieux.

Ératosthène avait inventé pour la solution des deux moyennes proportionnelles, un instrument appelé mésolabe^ qu'il décrit lui-même dans une lettre adressée au roi Ptolémée, et où il fait l'histoire du problème de la duplication du cube. Cette lettre nous a été conservée par Eutocius, dans son commentaire sur la sphère et le cylindre d'Archimède. Pappus donne aussi, dans ses Collections mathématiques, la construction du mésolabe d'Ératosthène.

S 15. Les travaux d'Archimède et d'Apollonius ont marqué l'époque la plus brillante de la Géométrie ancienne.

Depuis, on a pu les regarder comme l'origine et le fondement de

en trois langues, avait annoncé une tradnction française des coniques d'Apollonias. Plasieurs feuilles étaient déjà imprimées quand la mort est venu enlever ce savant laborieux. Il serait à regretter que le fruit de ses travaux fût perdu pour la France. Les fonds destinés à Tencouragement des sciences ne sauraient avoir une application plus utile que la publication de cet ouvrage.

22 fflSTOroE DE LA GÉOMÉTRIE.^

deux grandes questions qui ont occupé les géomètres à toutes les époques^ et auxquelles se rattachent la plupart de leurs travaux ^ qu'elles divisent en deux classes; de telle sorte qu'elles semblent se partager le domaine de la Géométrie.

La première de ces deux grandes questions est la quadrature des figures curvilignes^ qui a donné naissance au calcul de l'infini^ imaginé et perfectionné successivement par Kepler, Gavalleri, Fermât, Leibnitz et Newton;

La seconde est la théorie des sections coniques, pour laquelle ont été inventées d'abord l'analyse géométrique des Anciens, puis les méthodes de la perspective et des transversales; qui était le prélude de la théorie des courbes géométriques de tous les degrés, et de cette partie considérable de la Géométrie, qui ne considère dans les propriétés générales de l'étendue que les formes et les situations des figures, et ne se sert que d'intersections de lignes ou de surfaces, et de rapports de distances rectilignes.

Ces deux grandes divisions de la Géométrie, qui ont leur caractère particulier, pourraient être désignées par les dénominations de Géthmétrie des mesures et Géométrie des formes et des situations^ ou Géométrie d'Archimède et Géométrie d'Apollonius.

Ces deux divisions, du reste, sont celles de toutes les sciences

mathématiques, qui ont pour but, suivant l'expression de Descartes,

AiiisTOTi, la recherche de V ordre et de la mesure^. Aristote avait déjà émis la

384-322. même pensée en ces termes : «De quoi s'occupent les mathématiciens

» si ce n'est de V ordre et de la proportion? *»

Cette définition des sciences mathématiques, et les deux grandes divisions qu'elle y marque, s'appliquent surtout à la Géométrie. On a donc lieu de s'étonner que celle-ci soit appelée communément, même

' u Tons les rapports qui peuvent exister entre les êtres d'un même genre se réduisent a deux, Vordre et la meâure, n (Règles pour la direction de V esprit; ouvrage posthume de Descartes, 14* règle.)

Précédemment Descartes avait déjà dit : u Toutes les sciences qui ont pour but la recherche de Vordre et de la mesure se rapportent aux mathématiques, n (Ibid,y 4* règle.)

* 3* chapitre du 1 !• livre de la Métaphysique d* Aristote,

dans les meilleurs traités, la science qui a pour objet la mesure de rétendue. Cette définition est évidemment incomplète et donne une idée fausse du but et de l'objet de la Géométrie. Cette obseryation n'est peut-être pas dépourvue de toute espèce d'intérêt, et nous lui donnerons suite dans la Note Y.

§ 16. Après Archimède et Apollonius, et pendant trois ou quatre siècles, quelques géomètres renommés ajuste titre, sans égaler ces deux grands hommes, continuèrent d'enrichir la Géométrie de découvertes et de théories utiles; ensuite vinrent, pendant deux ou trois siècles encore, les commentateurs qui nous ont transmis les ouvrages et les noms des géomètres de l'antiquité; puis enfin les siècles d'ignorance, où la. Géométrie a sommeillé chez les Arabes et les Persans, jusqu'à la renaissance des lettres en Europe.

Nous allons énoncer rapidement les principaux travaux des écrivains lès plus célèbres qui fleurirent dans les deux premières périodes de cet intervalle de dix-sept siècles- Mais nous devons dire d'abord que Tépoque où nous entrons est celle des grands progrès de l'astronomie. C'est à cette science principalement que se rapportent les travaux des géomètres que nous allons avoir à citer, et que ces géomètres, à l'exception de Nicomède, doivent en grande partie leur célébrité.

Ce changement de direction dans les esprits était une suite nécessaire des grandes découvertes d'Archimède et d'Apollonius, qui demandaient des siècles d'étude et de méditation, avant qu'on pût aller au delà, dans les matières qu'avaient traitées ces deux grands génies.

§ 17. Les ouvrages de Nicomède ne nous sont point parvenus; et ricobbm, ce géomètre ne nous est connu que comme inventeur de la conchoïde^ dont il fit un usage ingénieux pour résoudre, par un procédé mécanique, le problème des deux moyennes proportionnelles, et celui de la trisection de l'angle.

La conchoïde, déjà célèbre par cette circonstance, qu'elle résolvait les deux plus fameux problèmes de l'antiquité, acquit une importance nouvelle, par la remarque que fit Viète, que tous les problèmes dont