Troisième partie. Propositions sur le quadrilatère

1^ La demi-somme des côtés est écrite quatre fois , on en retranche séparément les côtés, et Ton fait le produit des restes. La racine carrée de ce produit est l'aire, iruxacte dans le quadrilatère , mais reconnue exacte dans le triangle ; §§ 167 , 168.

C'est la formule de Brahmegupta, que Bbascara a copiée, sans l'avoir comprise, et sans avoir aperçu qu'il y était question de quadrilatère inscrit au cercle. Voilà pourquoi il dit que la règle est inexacte pour le quadrilatère ; et qu'il prouve ensuite qu'il est absurde de demander l'aire d'un quadrilatère dont on ne connaît que les côtés , parce qu'avec les mêmes côtés, dit -il, on peut former plusieurs quadrilatères différens ^ §§ 169*170, 171 , 172.

2^ Dans le quadrilatère équilatéral, ou losange , l'aire est égale à la moitié du produit

Il forme un rectangle ({uî a même base que le triangle ^ et pour hauteur la moitié de la perpendiculaire. La base supérieure du rectangle retranche du triangle un petit triangle qui est divisé par la perpendiculaire en deux triangles rectangles. Ceux-ci sont égaux respectivement aux deux triangles qu^il faut ajouter à la portion inférieure du triangle proposé pour compléter le rectangle. D*où il conclut que Taire du triangle eat égale i celle du rectangle, et conséquemment égale au produit de la base par la moitié de la perpendiculaire.

Cette démonstration est très-simple et parle aux yeux autant qu^à Pesprit. Ost celle qu^emploient lea Arabes, et qui a été adoptée à la renaissance , particulièrement par Lucas de Burgo et Tartaléa.

' Le seoliaste Suryadasa, auteur de deux commentaires excellens, sur le Lilavati et le Bija-Ganita (Colebrooke ; Brahmegupta and Bhoscara, algebra,^. xxYi), ne parait pas avoir été plus habile que Bhascara dans l'inteUigence de la proposition de Brahmegupta. Car il donne cette singulière raison pour prouver que Taire est exacte dans le triangle et inexacte dans le quadrilatère :

« Si les trois restes sont additionnés ensemble , leur somme est égale à la moitié de la somme de tous les côtés. Le produit de la multiplication continue des trois restes étant multiplié par la somme de ces restes, le produit ainsi obtenu est égal au produit du carré de la perpendiculaire multiplié par le carré de la moitié de la base. C'est une quantité carrée , car un carré multiplié par un carré , donne un carré. La racine carrée étant extraite, le résultat est le produit de la perpendiculaire par la moitié de la base, et o>st Taire du triangle. Donc la véritable aire est ainsi trouvée. Dans un quadrilatère , le produit de la multiplication ne donne pas une quantité carrée, mais une irrationnelle. Sa racine approximative est Taire de la figure \ non pas toutefois la véritable, car divisée par la perpendiculaire elle devrait donner la moitié de la somme de la base et de la oorauste. » {LilavaH,^. 72).

des deux diagonales. L'aire du rectangle est le produit de la base par la hauteur; § 174.

S^ Dans le quadrilatère dont les deux perpendiculaires sont égales , Taire est le produit de la demi-somme des deux bases par la perpendiculaire; §§ 175 , 177.

é"" Dans le losange, la somme des carrés des deux diagonales est égale à quatre fois le carré du côté; § 173-175.

5® Formules qui donnent les segmens que les diagonales d'un quadrilatère dont les flancs sont perpendiculaires sur la base , font Tune sur l'autre par leur point d'intersection; et expression de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la base; § 159, 160.

6" Connaissant les côtés d'un quadrilatère, et l'une de ses diagonales, trouver l'autre diagonale, les perpendiculaires du quadrilatère , et son aire; §$ 178, .... 184.

L'aire est la somme des aires des deux triangles qui ont la diagonale connue pour base; §184.

Les propositions où les différentes parties de cette question sont résolues ne présentent aucune difficulté. Elles reposent sur le principe de la proportionalité des côtés dans les triangles équiangles.

7^ Règle pour former ayec quatre côtés donnés, un quadrilatère qui ait ses deux perpendiculaires égales; § 185-186.

8^ Règle pour trouver les diagonales d'un quadrilatère; § 190.

C'est la règle donnée au § 28 de Brahmegupta, pour le quadrilatère inscrit an cercle. Mais elle ne s'applique point, dans l'ouvrage de Bhascara, à un quadrilatère inscriptible quelconque, parce que ce géomètre n'a jamais prononcé le mot cercle dans aucune de ses propositions relatives au triangle ou au quadrilatère; et qu'il a ignoré absolument que les propositions de Brabmegupta concernassent le quadrilatère inscrit.

On reconnaît que la règle énoncée par Bhascara concernait seulement , dans l'esprit de ce géomètre, le quadrilatère à diagonales rectangulaires, formé au moyen de deux triangles rectangles générateurs , comme nous l'avons dit dans nos observations à la soite du § 38 de Brabmegupta. Cela est confirmé parla règle plus simple, et propre uniquement à ce cas particulier , que Bhascara substitue à la règle générale dans son S 191-192.

Une autre observation de Bhascara prouve encore bien clairement qu'il a ignoré qu'il fût question dans Brahmegupta du quadrilatère inscriptible au cercle; c'est qu'il lui reproche d'avoir donné une règle générale pour déterminer des diagonales qui , dit*il , étaient indéterminées. Voici tout ce passage de Bhascara :

« S 187-189. Les côtés ont pour mesure 52, et 39'; la corauste est égale & 25 et )> la base à 60. Ces nombres ont été pris par les anciens auteurs , comme exemple d'une » figure ayant ses perpendiculaires inégales ; et les mesures précises des diagonales ont » été trouvées 56 et 63.

1 Remarquons ici en passant que Bhascara, pour exprimer 30, procède par soustraction, à la manière des Latins j i] dit : 40 moins 1 {one lésa ihanforty), Kais il parait que ce mode de composition des nombres n^est pas général dans Plnde. ChaturTcda ne le suit pas; il prononce toujours trente-neuf {ihirty-ninê), (Voir ses commentaires sur les§ 21 et 33 de Brahmegupta).

To«. XI. 57

» Former avec ces quatre mêmes cAlés, un autre quadrilatère qui ait d'autres diago- » nales , et particulièrement celui qui aura ses perpendiculaires égales. »

Bhascara résout cette question ; puis il ajoute :

« Ainsi avec les mêmes côtés ^ il peut y avoir différentes diagonales dans le tétragone.

» Quoiqu'indéterminées , les diagonales ont cependant été trouyées comme déterminées » par Brabmegupta et d'autres. Leur règle est la suivante:

» § 100. Règle, Les sommes des produits des côtés aboutissans aux extrémités des dia<- » gonales étant divisées Tune par Tautre, et multipliées par la somme des produits des )> côtés opposés , les racines carrées des résultats seront les diagonales dans le trapèze.

» L'objection qu'on peut faire contre ce moyen de trouver les diagonales , c'est qu'il » est long; comme je vais le faire voir en proposant une méthode plus courte.

» § 191-192. Règle. Les cathètcs et les côtés de deux triangles rectangles, multipliés )) réciproquement par les hypoténuses, sont les côtés; et de cette manière est formé un » trapèze dans lequel les diagonales peuvent se déduire des deux triangles.

» Le produit des cathétes ajouté au produit des côtés est une diagonale ; la somme des » produits des cathétes et des côtés, multipliés réciproquement, est l'autre diagonale.

» Quand cette courte méthode se présentait , je ne sais pourquoi une règle laborieuse » a été employée par les premiers écrivains. »

Bhascara ajoute que : « Si la corauste et l'un des flancs changent de place, l'une des » diogonales deviendra égale au produit des hypoténuses des deux triangles rectangles.»

Nous devons conclure de ce passage, que Bhascara n'a pas compris les propositions de Brabmegupta qu'il reprend. Celui-ci, comme nous l'avons déjà dit, n'a pas énoncé les formules données au $ 191-192 de Bhascara, parce qu'elles n'étaient , dans son esprit, qu'une simple vérification de la rationalité des diagonales , et non pas le sujet d'une proposition.

Bhascara remarque qu'en changeant de place deux côtés contigus du quadrilatère , on en forme un second, où Tune des diagonales est différente, et a pour expression le produit des hypoténuses des deux triangles générateurs. Cela est vrai ; mais Bhascara ne dit pas plus pour ce second quadrilatère que pour le premier , quelles seront ses propriétés qui avaient été l'objet de l'ouvrage de Brabmegupta. II ne remarque pas non plus que ce nouveau quadrilatère a deux angles droits.

9° Calcul des segmens que les diagonales et les perpendiculaires d'un quadrilatère, et les côtés prolongés, font les uns sur les autres; §§ 193-194, 195-196 , 197, 198-200.

On suppose connus les côtés , les diagonales et les perpendiculaires.

Tous ces calculs sont sans difficulté ; ils reposent sur le principe de la proportionnalité des côtés dans les triangles équiangles.

Telles sont les propositions sur le quadrilatère. Elles forment , avec celles qui concernent le triangle , la partie de l'ouvrage de Bhascara qui correspond aux dix-huit premiers paragraphes de celui de Brabmegupta. Avant de passer aux autres propositions de Bhascara, nous allons faire ressortir les différences que ces premières ont avec celles de Brahmegupta, dont elles ne sont qu'une imitation. Ces différences portent sur les points suivans :

1<> Toutes les propositions de Bhascara sont étrangères au cercle dont il est question formellement dans Ténoncé des §§ 26 et 27 de Brahmegupta, et qui joue le rôle principal dans plusieurs autres propositions.

2"* La formule pour Taire du quadrilatère (inscrit au cercle), donnée par Brahmegupta; est déclarée inexacte par Bhascara.

3* L'expression générale des diagonales du quadrilatère inscrit, donnée par Brahraegupta , est censurée par Bhascara , comme étant d'un calcul pénible , et est regardée par lui comme n'étant applicable qu'à un quadrilatère d'une construction particulière.

4<» Plusieurs propositions de Brahmegupta ne se trouvent point dans Touvrage de Bhascara. Telles sont les suivantes :

I"*. L'expression du diamètre de cercle circonscrit à un triangle ou à un quadrilatère;

IK L'expression particulière du diamètre du cercle circonscrit à un quadrilatère ayant ses diagonales rectangulaires;

I^^ La propriété de ce quadrilatère, qui consiste en ce que la perpendiculaire sur l'un de ses côtés, menée par le point d'intersection des deux diagonales , passe par le milieu du côté opposé;

ly® La manière de former un triangle isocèle ouscalène dont les côtés et la perpendiculaire soient des nombres rationnels ;

y® La manière de former un quadrilatère inscriptible au cercle, dont deux côtés opposés y ou bien trois côtés, soient égaux , et dont toutes les parties, ainsi que le diamètre du cercle , soient rationnels.

L'absence de ces dernières propositions (ly** et y°) dans Fouvrage de Bhascara prouve que ce géomètre n'a point eu en vue comme Brahmegupta , de résoudre la question de construire un quadrilatère inscriptible au cercle, et dont toutes les parties soient rationnelles.

Enfin nous devons dire que l'ouvrage de Bhascara contient quelques propositions sur le triangle rectangle , qui ne se trouvent pas dans celui de Brahmegupta ; et qui , en effet, y eussent été étrangères à la théorie qui est l'objet de cet ouvrage.

En résumé : l'ouvrage de Brahmegupta résolvait complètement, et avec précision , la question de construire un quadrilatère inscriptible au cercle , dont toutes les parties fussent rationnelles. Aucune proposition n'était étrangère & cette question, ni inutile pour sa solution.

Celui de Bhascara n'a point un objet unique. On peut le diviser en trois parties principales , indépendantes les unes des autres.

Dans la première, on donne l'expression de la perpendiculaire dans un triangle; et la formule pour le calcul de l'aire de cette figure en fonction des trois côtés ;

Dans la seconde, on traite de la construction d'un triangle rectangle en nombres rationnels, et de quelques questions sur le triangle rectangle;

Dans la troisième , l'auteur calcule différentes lignes dans un quadrilatère quelconque dont on connaît les quatre côtés et une diagonale.

n y a donc des différences nombreuses et tranchées entre les deux ouvrages. Malgré

ces différences, nous devons reconnaître que le plus récent n'est qu'une imitation oa une copie du premier; copie imparfaite et défigurée, qui prouve éridemment queBbascara n'a pas compris l'ouvrage de Brahmegupta.

Les notes de divers scoliasles , qui accompagnent le texte du Lilavati , nous montrent que ces écrivains n'ont pas été plus heureux que Bhascara , et qu'ils n'ont pas eu non plus l'intelligence des propositions de Brahmegupta.

Mais les propositions qu'il nous reste à citer du chapitre YI du Lilavati ont beaucoup plus de valeur que celles auxquelles elles correspondent dans le Traité de Brahmegupta. Nous allons en présenter les principales , où l'on aura à remarquer surtout une expression très-approchée du rapport de la circonférence au diamètre, et une formule trèssimple pour le calcul approximatif d'une corde en fonction de son arc.

S 201. « Le diamètre du cercle étant D, l'expression D. j^ est à peu prés la circonfé- » rence ; D. y est l'approximation employée dans la pratique. )»

Ces deux expressions ne se trouvent pas dans l'ouvrage de Brahmegupta. Le rapport y est celui d'Archimède. Le premier i^ est plus exact; car il est égal à 3,14160 , et l'ou a Y = 3,1428571.... Pour obtenir une plus grande approximation il faut se servir du rapport 3,1415926....

L'approximation des Indiens i est remarquable surtout à cause du petit nombre de

chiffres qui y entrent. Toutefois le rapport d'Adrien Metius,^ = 3,14159292 est

préférable.

§ 203. « Règle. Le quart du diamètre multplié parla circonférence est l'aire du cercle. » Cette aire multipliée par 4 est la surface de la sphère. Cette surface , multipliée par le » diamètre et divisée par 6 est la valeur précise du volume de la sphère. »

S 205-206. « Règle. Soit D le diamètre du cercle; D' ^^ est l'aire du cercle d'une ma- )> mère assez rapprochée; D^-j^ est sa mesure grossière employée dans la pratique; » -j- -♦- 5p -j- est la mesure du volume de la sphère. »

Ces deux dernières expressions résultent du rapport d'Archimède; car on a

n DJ M 1)3 2. D3 D^ 22 14~ 4 ' 7 '""S ■*■ 21' ii ~r* T'

§ 206-207. Ce sont les relations entre la corde, sa flèche et le diamètre du cercle, données par Brahmegupta; §41 et 42.

1 Le rapport -—r ne doit pas être attribué à Bhascara ; il est beaucoup plus ancien que ce géomètre.

On le trouTent sous la forme 20000 ' ^^°^ Talgébre de Mohammed ben Husa , ({ui , après aroir donné les

deux rapports y et j/ÏÔ", dit que les astronomes se seryent d'un troisième , qui est |~?^ • ( Voir p. 71

de la traduction de H. Frédéric Rosen.)

D'après cela on peut se demander si ce rapport appartient aux Indiens ou aux Arabes. M. Rosen et M. Libri

pensent qu'il est d'origine indienne. (Voir Mohammed bon Musa , Algebra iranslaied by F. Rosen, p. 199; et

Histoire des sciences mathématiques en Italie, pn^. 128.) Ce rapport est connu en Europe depuis long-temps.

Purbach en parle dans son traité de la construction des sinus , et Stevin dans sa Géographie.

S 209-211 et 212. u Dans le. cercle dont le diamètre est 2000^ les côtés du triangle » équilatéral inscrit, et des autres polygones réguliers sont : pour le triangle 1732 -^; pour »Ietétragone 1414- ; pour le pentagone 1175^; pour l'heiagone 1000; pour Fepta- » gone867— ; pour Toctogone 765 ^; et pour le nonagone 683 ~ »

L'auteur ajoute : « De différens autres diamètres on déduira d'autres côtés, comme » nous le montrerons sous le titre de cotutrueiion de* siniM, dans le traité sur les ^A^- » riques.

y> La règle suivante enseigne une méthode expéditive, pour trouver les cordes par » une approximation grossière. )>

§ 213. Soit c la circonférence, a Tare; D le diamètre et G la corde; on aura :

^ 4D. a(c^a) ic^ — a(c — a)

Cette formule approximative est très-curieuse; il serait intéressant de savoir comment les Indiens y sont parvenus. M. Servois Ta obtenue en prenant la formule qui donne, en série, le sinus d'un arc en fonction de cet arc (Voir Correspondance sur l'école Polytechnique , tom. III, troisième cahier).

§ 214. Exemple. Le diamètre étant 240, les cordes des arcs de 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 et 180 degrés seront 42, 82, 120, 154, 184, 208, 226, 236 et 240.

§ 215. Formule qui donne Tare a> en fonction de la corde G, de la circonférence e et du diamètre D.

On tire cette formule de celle du § 213, en résolvant une équation littérale du second degré.

Les chapitres VU , YIII , IX et X ne contiennent rien de plus que ceux auxquels ils correspondent dans l'ouvrage de Brahmegupta.

Le chapitre XI a pour objet le calcul des distances par Tombre du gnomon. On y trouve les questions traitées par Brahmegupta, et, de plus, celle-ci: un gnomon étant éclairé par deux points lumineux différens, si on connaît la différence des ombres et la différence de leurs hypoténuses , on saura déterminer les ombres.

Cela se réduit à ce problème :

Connaissant la perpendiculaire d'un triangle , la différence des segmens quelle fait sur la hase , et la différence des deux autres côtés , construire le triangle.

Soit A la hauteur, ou perpendiculaire, du triangle, (^ la différence des segmens; et d

la différence des côtés; les segmens seront égaux à

C'est la formule de Bhascara.

On trouye dans le Bija-Ganita plusieurs questions de Géométrie résolues par le calcul ^ et plusieurs règles d'algèbre démontrées par la Géométrie. Toutes ces questions sont traitées avec une précision et une élégance bien remarquables.

Dans quelques-unes , qui pouyaient être résolues de plusieurs manières y c'est la solution la plus simple que l'auteur a choisie , on croit lire un passage de Y Arithmétique universelle, où Newton donne des préceptes si judicieux sur le choix des inconnues.

Ainsi , ayant à trouver la base d'un triangle scalène dont les côtés sont 13 et 5, et Taire 4, Bhascara remarque que « si Ton prend pour l'inconnue la base cherchée, » on tombe sur une équation quadratique. Mais si Ton cherche la perpendiculaire abais- » sée sur l'un des côtés donnés, du sommet opposé, et les segmens faits sur ce côté, on » en déduit, par une simple extraction de racine carrée, la base cherchée. Elle est 4. » (Bija-Ganita, §117.)

Bhascara donne deux démonstrations du carré de l'hypoténuse. La première consiste à chercher par une proportion , l'expression des segmens faits sur l'hypoténuse par la perpendiculaire *, et à ajouter ensemble ces deux segmens. C'est la démonstration employée par Wallis. {De sectianibits angtdaribuêy cap. YI.)

La seconde est tout-à-fait d'origine indienne ; elle est fort remarquable. Sur les côtés d'un carré , Bhascara construit intérieurement quatre triangles rectangles égaux entre eux, ayant pour hypoténuses ces côtés , et il dit voyez. En effet , la vue de la figure suffit pour montrer que Taire du carré égale les aires des quatre triangles (ou quatre fois Taire de Tun d'eux), plus Taire d'un petit carré qui a pour côté la différence des deux côtés de l'angle droit de Tun des quatre triangles. C'est-à-dire que Ton a, en appelant o Thypoténuse d'un des triangles et a , i ses deux autres côtés ,

ah c» = -4— + (a— ib)' = 2afc -+. {a^-hy, ou, c' = o^-h6\

ce qui est la proposition qu'il fallait démontrer (Bija-Ganita, § 146). Les formules d'analyse

2ofc ^ (a—by= a'-f-ft', (o + fc)' — (a*-t-fc')= âafc , (a-^by — 4ab «= (a^by ,

sont démontrées par des figures qui parlent aux yeux et à l'esprit, sans qu'il soit besoin d'aucune explication (§ 147, 149 et 150).

Pour la résolution en nombres rationn els de Téquation indéterminée du second degré ,

as -^ by -^ c = xy ^

Bhascara fait yoir y par une figure qui donne une signification géométrique à cette équation y qu'elle peut se transformer en celle-ci

(a? — b) (y — a) = fli -♦- c.

D*où il conclut qu'on peut prendre pour les valeurs rationnelles de or et de y •

, ab-i-c

ft

n étant un nombre arbitraire.

Bhascara appelle cette démonstration géométrique. Il en donne ensuite une purement algébrique (§ 212-214).

Plusieurs questions de Géométrie sont résolues dans le Bija-Ganita^ comme application des règles d'algèbre. Quelques-unes dépendent d'équations indéterminées du second degré. Telles sont ces deux- ci : « Trouver (en nombre rationnels) les côtés du triangle » rectangle dont Taire est exprimée par le même nombre que Thypoténuse y ou bien « est égale au produit des trois côtés.» (§ 120.)

Dans le premier cas, les côtés du triangle sont "r> 1' ^^ T ' ^^ ^^^^ '^ second cas, ils sont — j îî ®' Î5« Bhascara ajoute qu'on peut trouyer d'autres solutions >.

Ces détails montrent que les Indiens, du temps de Bhascara du moins, appliquaient l'algèbre à la Géométrie , et la Géométrie à l'algèbre. Nous ne trouTons pas les mêmes traces d'une alliance aussi intime entre ces deux sciences , dans l'ouvrage de Brahmegupta. C'est probablement parce qu'il est écrit beaucoup plus succinctement que celoi de Bhascara; qu'il contient beaucoup moins d'exemples des règles algébriques, et qu'il n'en donne jamais aucune sorte de démonstration. Mais nous deyons penser que cette application de l'algèbre à la Géométrie, qui donne aux ouvrages de Bhascara un caractère particulier, date d'un temps bien antérieur à cet écrivain, d'autant plus qu'elle a fait aussi le caractère des ouvrages arabes plusieurs siècles avant l'âge de Bhascara ; au temps, par exemple, de Mohammed ben Musa (IX^ siècle). Les Arabes n'ont pu puiser que chez les Indiens, cette manière de procéder en mathématiques, qui n'était point pratiquée par les Grecs.

Nous avons rejeté l'idée que les ouvrages indiens nous présentassent des élémens de

1 Les deux problèmes dépendent respectivement des deux équations ;

Géométrie , de même qu'ils nous offrent des traités d'arithmétique et d'algèbre. Nous croyons avoir démontré , en effet , que tel ne pouvait avoir été l'objet de l'ouvrage de Brahmegupta, qui roule sur une seule question de Géométrie. Mais nous ne pouvons en dire autant de l'ouvrage de Bhascara; et nous consentons à y voir le résumé des connaisssances géométriques en circulation dans les temps modernes chez le peuple indien. La manière dont l'auteur a défiguré l'ouvrage de Brahmegupta pour former le sien , et les notes des divers scoliastes , dont aucun ne l'a repris, nous prouvent que la science a singulièrement décliné chez les Indiens, et qu ils n'ont plus de véritable traité de Géométrie.

Nous ne saurions nous prononcer de même sur l'état de la science au temps de Brahmegupta. Les documens nous manquent ; et nous ne pourrions dire si l'intelligence et le génie mathématiques de cet écrivain et de ses contemporains étaient bien à la hauteur des ouvrages si parfaits et si remarquables qu'il nous a transmis ; ou bien si ces ouvrages ne seraient pas eui-mêmes, comme ceux des écrivains postérieurs , de simples fragmens d'un savoir véritable et très-ancien, qui auraient échappé à la destruction des temps et qui n'auraient point encore perdu, dans le siècle de Brahmegupta, leur perfection et leur pureté primitive. Le célèbre hollandais Stevin , qui admettait un siècle sage <( où les )> hommes ont eu une connaissance admirable des sciences», siècle qui avait précédé celui 'des Grecs et qui ne lui avait transmis qu'une faible partie seulement de son savoir antique i, Stevin, disons-nous, et notre illustre Bailly^ ne balanceraient point à se prononcer dans cette question , à la vue des ouvrages si étonnans de Brahmegupta.

Pour nous , qui n'avons point à aborder ici une si haute question historique , nous nous bornerons à appeler sur la partie géométrique des ouvrages de Brahmegupta et de Bhascara, qu'on avait négligée jusqu'ici, Tattention des savans orientalistes, et des érudits qui s'occupent de l'histoire de l'Inde et delà marche de la civilisation humaine. Cette partie géométrique pourra leur procurer quelques documens et quelques aperçus utiles.

Sur la Géométrie des Latins.

Nous continuerions , pour ainsi dire, le même sujet, en passant de la Gréométrie des Indiens à celle des Arabes. Hais , comme ce que nous aurons à dire de celle-ci j se liera plus naturellement encore avec les premiers travaux des géomètres européens , à la renaissance des lettres, où nous verrons l'élément arabe non moins répandu, et non moins influent que l'élément grec , nous allons faire de suite une courte digression pour dire quelques mots de la Géométrie chez les Latins.

1 OEuvreê mathématiques de Simon Stevin ; in-fol., leyde, 1634. Géographie; définition VI, p. 106.

^ « Cet méthodes taTBntea , pratiquées par des ignorant , ces systèmes, ces idées philosophiques, dans des V tètes qui ne sont point philosophes , tout indique un peuple antérieur aux Indiens et aux Ghaldéens : peuple n qui eut des sciences perfectionnées , une philosophie sublime et sage , et qui , en disparaissant de dessus la 9 terre , a laissé aux peuples qui lui ont succédé quelques vérités isolées , échappées à la destruction, et que le » hasard nous a conservées. » {Histoire de l'astronomie ancienne, livre III , § xviii).

Les sciences mathématiques furent extrêmement négligées par le peuple romain , où les esprits supérieurs ne s'appliquèrent qu'à l'art de la guerre, et à l'éloquence. La Géométrie j particulièrement , fut à peine connue à Rome. L'astronomie y fut plus en honneur, et l'on peut citer plusieurs écrivains célèbres, tels que Yarron, J. César, Gicéron, Lucrèce, Virgile, Horace, Sénèque, Pline, qui possédaient la connaissance des phénomènes du ciel. Mais aucun ne les regarda comme devant être l'objet de recherches scientifiques et ne fit faire un pas à la science. On ne cite même que Sulpicius Gallus qui ait cullifé l'astronomie pratique , et qui ait prédit des éclipses.

La Géométrie semble n'a?oir eu pour objet unique chez les Latins, que de mesurer les terres et d'en fixer les limites: et les arpenteurs, qu'on appelait agrimeruores ou grotnatici , étaient des hommes très-considérés , qu'on regardait comme les yrais dépositaires de la science. Cependant , quelques fragmens de leurs écrits qui nous sont parvenus , nous portent à leur refuser absolument le titre de géomètres. Car , outre que ces écrits roulent sur les questions les plus élémentaires de la Géométrie pratique, nous y trouvons des erreurs grossières. L'aire du triangle et l'aire du quadrilatère y sont calculées d'une manière inexacte. Nous avons rapporté leurs règles en parlant du § 21 de la partie géométrique des ouvrages de Brahmegupta.

Malgré la considération dont les Gromatici ont joui à Rome , à raison des services qu'ils rendaient dans les diCTérentes contrées de ce vaste empire , et quoique les noms des plus habiles nous aient été transmis par Boèce, à peu près tous aujourd'hui sont inconnus dans l'histoire de la Géométrie.

Mais quelques hommes véritablement célèbres à d'autres titres, avaient cultivé les sciences pour elles-mêmes. Yarron, qui passa pour le plus savant des Romains, et qu'ils regardaient comme un second Platon, avait écrit sur F Arithmétique, la Géométrie, l'Astronomie , la Musique et la Navigation. Il est fâcheux qu'aucun de ces ouvrages ne nous soit parvenu. Cet écrivain mérite d*être cité surtout pour avoir soupçonné l'aplatissement de la terre , comme nous l'apprend un passage de Gassiodore.

L'architecture de Yitruve nous prouve qu'il fut un des hommes de son temps qui eurent le plus de connaissances en mathématiques.

On peut citer encore Julius Sextus Frontinus , qui a écrit en ingénieur habile sur la conduite des eaux. Son livre, qui est intitulé : De aquœductibuê urhiê Romœ nous est parvenu. On a de lui un autre ouvrage estimé sur l'art militaire ^

Nous supposons que Frontinus avait écrit aussi sur la Géométrie, et qu'un Traité de la mesure des surfaces, que nous trouvons dans un manuscrit du XP siècle, avec d'autres fragmens des Gromatici romains, parmi plusieurs ouvrages de Boèce, peut lui être attribué 2.

Deux raisons concourent à nous autoriser à former cette conjecture. D'abord, Boèce,

' Straiagêmaium lihri quatuor,

^ Ce manutcrit , grand in - folio , sur parchemin , appartient à la bibliothèque de la ville de Chartret. X. le D' G, Hacnel Ta inscrit dans ses Catalogi librorum manuêcriplorum , etc. (Lipsîse, 1819, in-4o), sons le titre suivant : Aristoielis lib, elenchoruni; Boetii Loyica , Rkêtorica , Ariihmeiica , JHusica ;

Toï. XI. 58

aa commeDcement du second livre de sa Géomélric, qui roule sur la mesure des surCaces , nomme Julius Frontinus comme ayaqt élé très-habile dans cet art , et annonce qu'il lui a fait des emprunts pour ce second livre. Vers la fin de Touvrage, Boéce donne la liste des principaux arpenteurs romains, et y inscrit Julius Frontinus. Cette double circonstance nous prouve que cet auteur avait écrit sur la Géo^lél^ie pratique. Ensuite , nous remarquons que le morceau de Géométrie que nous trouvons dans le manuscrit dont nous venons de parler y présente avec le second livre de Boéce tant de points de ressemblance, qu'on en doit conclure avec certitude que Tun des deux ouvrages a été copié en grande partie sur l'autre. Le style pur et plus facile de ce morceau de Géométrie , annonce qu'il est antérieur à l'époque où a vécu Boéce ; nous sommes donc porté naturellement à conclure qu'il est l'ouvrage même de Frontinus auquel Boéce a annoncé qu'il avait fait des emprunts.

Juin Firmici maihematica ; Matemi Junioria geometria ,• canonea , tabulœ et diversa de asironomid.

Ce titre eit emprunté d^une note placée sur la partie intérieure de la couverture en bois du Tolume| et qui parait aussi ancienne que lui ; elle est ainsi conçue :

In hoc volumine continentur :

Liber elencorum Àristoielis j

Logicoj Retkortca, Ariikmetica, MuHca , Boecii;

Maihematica Julii Firmici , Matemi Junioris ;

Geometria ;

Canonea, tabula etaliade Aatronomia.

Vis-à-Tis les mots Maihematica Julii^ etc., se trouve une annotation qui paraît aussi fort ancienne , et où nous croyons lire : Hanc auppoaitam credo. Et, en effet, nous ne trouvons aucune pièce de Julius Firmicns Hatcrnus. Mais il est vrai que, malheureusement, il manque 104 feuilles (140... 243) dans ce manuscrit, à partir du chap. 20 du second livre du traité de la musique de Boèce. Nous supposons que le reste de la musique occupait 64 feuilles à peu près; de sorte que 40 feuilles auraient contenu d'autres matières qui nous sont inconnues et où aurait pu se trouver quelque chose de Firmicns Haternus ; cependant on ne connaît et on ne cite de cet auteur que son traité d^astrologie en 8 livres.

La feuille 244, la première après la lacune, contient la fin d'un écrit sur les corps réguliers. Puis, on trouve différentes pièces , placées les unes à la svite des autres , sans titres , et sans indication d'auteurs , et qui traitent, la plupart, de la Géométrie des arpenteurs romains et dps mesures dont ils faisaient usage. Nous avons distingué parmi ce pèle-mèle les morceaux suivans, dont les deux derniers surtout rendent le manuscrit très-précieux :

lo Celui que nous attribuons k frontinus ;

So Le livre d'arithmétique de Hartianus Gapella;

8o Le cinquième livre de l'ouvrage De re ruaiicà de CoIumelle,.qyi traite de là mesure des champs;

4o Différens autres fragmcns de Géométrie , des arpenteurs romains ^

6o TJn passage dul5« chap. des Étymologiea d'Isidore de Séville, qui traite des mesures;

6o Les deux livres de la Géométrie de Boèce, dont le premier contient les neuf chiffres et le passage relatif au nouveau système de numération ; et dont le second est terminé par un autre passage encore relatif à cette numération , et qui ne se trouve pas dans les éditions qu'on a données de Boèce ;

7o Enfin un autre écrit sur l'usage des neuf chiffres, qui présente des analogies frappantes , d'une part avec les passages de Boèce et la lettre de Gerbert , et d'autre part avec notre propre système de numération.

Cet écrit , dont il parait qu'on n'a point encore eu connaissance , pourra jeter quelque jour sur la question encore controversée, delà vraie signification des passages de Boèce et de Gerbert, et de la date précise de l'introduction en Europe, de la numération indienne.

Le manuscrit est terminé par quelques notions de la sphère céleste , puis un traité d'astrologie et des tables astronomiques.

Ce morceau de Gréométrie, du reste , peut faire honneur à cet écriTain^ et est plus digne de porter son nom que le traité De qualitate agrorum qu'on lui a attribué. Car nous le regardons comme l'écrit le plus parfait qui soit sorti de la plume d'un géomètre latin j sans en excepter le second livre de la Géométrie de Boèce. Car d'une part nous trouvons dans cet écrit la formule pour la mesure de Taire du triangle par les trois côtés ; et d'autre part y nous n'y trouvons pas la règle inexacte dont tous les arpenteurs romains se servaient pour mesurer l'aire du quadrilatère^; règle reproduite ^par Boèce lui-même.

De nombreux points de ressemblance nous font penser que c'est ce traité qui a servi , à la renaissance des lettres^ à composer la partie géométrique de l'encyclopédie qui a paru en 1486 , et a eu depuis de nombreuses éditions sous le titre de Margarita philoêophica. Indépendamment de cette circonstance, qui doit lui donner quelque prix à nos yeux, ce traité aurait mérité les honneurs de l'impression, comme étant le meilleur écrit de Géométrie qui nous soit venu des Romains.

Nous devons dire , cependant , que nous y trouvons , dans le calcul de l'aire des polygones réguliers en fonction du côté , une erreur que Boèce a commise aussi, et qui a encore été reproduite à la fin du XY^ siècle dans la Margarita philoêophica.

L'auteur se sert de la formule suivante :

Soit a le côté du polygone régulier, et n le nombre de ses côtés; son aire a pour expression

L'absurdité de cette formule est palpable; d'abord parce qu'elle n'est pas homogène, et ensuite parce qu'on en conclurait, par une simple équation du second degré, l'expression du côté d'un polygone régulier inscrit au cercle, en fonction du rayon du cercle , et réciproquement le rayon en fonction du côté. Questions qui dépendent, comme on sait , d'équations de degrés supérieurs.

Peut-être tout le passage qui concerne la mesure des polygones réguliers , a-t-il été introduit par un écrivain postérieur dans le morceau de Géométrie que nous attribuons à Frontinus. Car la règle qui concerne le triangle équilatéral est en contradiction avec une autre règle parfaitement géométrique donnée auparavant. Ainsi nous trouvons

1 Voir page 313 da recaeil intitalë : Rei agraria auciores legetque varim; eurd WUelmi Qoesii, eujut ace$duni indices, anUquitaUê agrarim ti nota, unà eum /V. Rigaliii nolis et observaHonibus. Amst., 1674, ÎD-4o; et page 17d de TouTrage de Columelle , De re rustied libri XII, Paris , 1643 , in-So.

^ On reconiiaii cette formule dans les règles que Tauteur donne pour les polygones réguliers de 7, 8 , 9 , 10 , 11 et 12 côtés; mais pour le triangle, le pentagone et l'hexagone , il se sert des formules suivantes :

Pour le triangle, — ,

Pour le pentagone , — ,

Pour rnexagone , — •

d'abord , sous le titre de trigono ysapleuro .' « a étant le côté d'un triangle isopleure , » a' — (-)^est le carré de la perpendiculaire; la perpendiculaire multipliée par j est Taire » du triangle. Soit a s= 30 , il vient

(30)' ^ n^ y« 675 = (26)' ; et 26 X Y = 390.

» C'est l'aire du triangle. » Cette régie est exacte , et l'application numérique l'est aussi, en négligeant toutefois les fractions dans l'extraction de la racine de 675 ^ On doit s'étonner alors de trouver ensuite ^ encore sous le litre de trigono ysopleuro , cette seconde règle : « a étant le côté du triangle isopleure, son aire est "?"''■ Soit a = 28, l'aire

» du triangle sera —^ — , ou — = 406. »

Remarquez que, de la sorte, le triangle dont le côté est 28 , a une plus grande surface que celui dont le côté est 30. Ce rapprochement entre les deux exemples numériques de l'auteur , semble annoncer que la seconde régie lui est étrangère et a été prise d'un autre écrit.

Cette seconde manière de procéder est suivie de sa démonstration , mais qui ne présente qu'une pétition de principe. Voici le raisonnement de l'auteur. Une aire donnée S est la surface d'un certain triangle équilatéral , dont le côté est égal à |/88-^^ — ' ^ Mettant à la place de S l'aire trouvée ^-j^ on a pour résultat a, qui est le côté du triangle proposé ; donc Taire trouvée est exacte.

Le défaut de cette prétendue démonstration est manifeste, car la formule

|/8.aire -+- 1 — 1 côté = 5 '

est précisément , sous une autre forme, la même que celle-ci : aire = ^ ^ * , qu'il s'agit de démontrer.

Hais pour passer de Tune à l'autre de ces deux formules , il faut résoudre une équation littérale du second degré. Cette circonstance est assez remarquable dans la Géométrie des Latins.

1 Prendre |/675 = 26, o*e«i la même chose que 16.|/3=26^ ou ^3=-^* Diaprés cela TeipreMion de Taire du triangle, qui est exactement

fl3 «. aa 26 13