devient j. ^6^=''' W

G^est la formule dont se sont serris quelques auteurs latins, tels que Columelle (Do te rusUed; Ht.V, chap. 2] ; et qui a été employée encore dans les temps modernes. On la trouve dans plusieurs ouvrages de Géométrie pratique (voir Georgii Vallm , de espetendis etfvgiendis rébus ; liber XIY et GBOHcnui Y ; cap. lUI. — // brève trattaio di Geometria del sig. Gio, Franc, Peverone di Cuneo ; in Lione, 1656, in-4o. — Livre III de la Géométrie praiùpie de Henrion ; p. 341 et 349 ; seconde édition, Paris, 1623).

Le morceau de Géométrie en question étant ce qui nous est parvenu de mieux et de plus complet des écrivains latins , et paraissant résumer tout leur savoir en Géométrie ^ nous allons donner l'indication des questions sur lesquelles il roule. Ce sont :

1^ Le calcul de la perpendiculaire dans un triangle dont les côtés sont donnés ^ ;

2^ Le calcul de Taire du triangle , en fonction de cette perpendiculaire; et la formule qui donne Taire en fonction des trois côtés ;

S* Les deux formules qui servent à former un triangle rectangle en nombres entiers, Tun des côtés étant donné en nombre pair ou impair , qui sont :

Pour un nombre impair f — ^^L^ 1 = ( ] + a*.

Pour un nombre pair Ifs'] "*"' '^l($] ""M

4^ L'expression du diamètre du cercle inscrit dans un triangle rectangle, qui est égal à la somme des deux côtés de Tangle droit moins Thypoténuse;

5*^ Le calcul de Taire du carré, du parallélogramme, du losange (ou rhombe) et du quadrilatère à bases parallèles ;

L'auteur appelle Tun des côtés du quadrilatère sa base , et le côté opposé le sommet ou la eorauête (vertex seu ooratisiuê). Le mot corauâtuê ne se trouve plus dans aucun lexique; il n'a peut-être été reproduit chez les Modernes que dans la Margarita philoêophica;

6^ Le calcul (basé sur une règle fausse) des surfaces des polygones réguliers ;

1^ Le rapport — ou —, de la circonférence au diamètre ;

8» Enfin Taire de la sphère , égale à celle de quatre grands cercles ;

Les noms sont si rares dans l'histoire des sciences , chez les Latins , que Ton est réduit à citer les écrivains qui nous ont laissé quelques traces d'un faible savoir en Gréométrie , même sans avoir contribué à ses progrès. C'est ainsi que nous nommerons Martianus Gapella, saint Augustin, Macrobe, Boèce, Cassiodore et Isidore de Séville. Le premier, sur Tépoque duquel on n'est pas d'accord, et que les uns fixent au lU" siècle et d'autres au V% nous a laissé un ouvrage en neuf livres ^, dont les deux premiers , qui forment une sorte d'introduction aux sept autres, sont un petit roman philosophique et allégorique, intitulé : des Noceê de la philosophie et de Mercure , et dont les sept autres sont consa*

' Uantevr prend pour les cdié» da triangle les trois nombres 13, 14 et 15 , dont s*ëtait servi Héron d'Alexandrie dans son traité de Géodésie, et qu'on trouTO aussi dans la Géométrie des Indiens. {Voir ci-dessus Panalyse de l'onTrage de Brahmegnpta).

3 MarUani Minei felicis CapeUm , Carihaginûnêït , viri prooOHSularis , Saiyrioon ,%nguode iVWpfiM- Phile^ logiœ 9t Mercurii NM duo et de sepUm arUbus liieralUfUS libri singulareo , etc.

crés aux sept arts libéraux : la Grammaire, la Dialectique, la Rhétorique , la Géométrie , l'Arithmétique , l'Astronomie ^ et la Musique.

Dans le livre de la Géométrie, Tauteur semble avoir employé ce mot suivant son sens étymologique ; car il débute par des notions de géographie. Ce qui est de la Géométrie proprement dite, se réduit à quelques définitions des lignes, des figures planes et des solides, qui la plupart sont prises d'Euclide , et énoncées sous leur nom grec. Chose assez remarquable, parce que dans d'autres écrits du même temps ou un peu moins anciens , tels que ceux de Boèce , de Gassiodore , les noms grecs ont été remplacés par des dénominations latines.

Le livre d'arithmétique de Martianus Capella est plus savant que son livre de Géométrie. Il est, comme l'arithmétique de Boèce, une imitation des ouvrages platoniciens et pythagoriciens, particulièrement de celui de Nicomaque , qui traite des propriétés des nombres et de leurs divisions en diverses catégories, de nombres pairs, impairs , composés, parfaits, imparfaits, abondans, diminutifs, plans, solides, triangulaires, etc.

Saint Augustin a écrit sur la musique. On lui attribue aussi, assez légèrement, des principes d'arithmétique et de Géométrie; mais qui n offrent qu'une simple nomenclature.

Il en est de même du traité de Géométrie de Cassiodore , compris dans son seizième livre , qui traite des sept arts libéraux , et de la partie géométrique de cette espèce d'encyclopédie que le célèbre Isidore de Séville a laissée sous le titre A'Étymologies,

La Géométrie de Boèce a plus d'importance que les écrits dont nous venons de parler; parce qu'elle est plus savante, qu'elle fait connaître pour la première fois, chez les Latins, la Géométrie d'Euclide , et qu'elle contient quelques traits intéressans de l'histoire des sciences. Nous allons donner une analyse de cet ouvrage , qui est aujourd'hui peu connu.

Il est en deux livres. Le premier est une traduction à peu près littérale des définitions et des énoncés des propositions des quatre premiers livres d'Euclide. Ensuite on trouve , sous le titre defiguris geometriciê y quelques problèmes résolus par Boèce, qui n'offrent rien d'intéressant.

Ce premier livre est terminé par l'exposition d'un nouveau système de numération, différent des systèmes grec et romain , qui fait usage de neuf chiffres, et que l'on a cru reconnaître pour être précisément notre système de numération actuel. Mais ce point de l'histoire des sciences , qui depuis deux siècles a fixé l'attention des savans, n'a pas encore été résolu d'une manière définitive. Nous reviendrons , plus loin, sur ce passage intéressant de la Géométrie de Boèce. Nous discuterons aussi , dans un article spécial , un autre passage du même livre , où nous croyons trouver la description du pentagone étoile ou de seconde espèce.

Le second livre est consacré à la Géométrie pratique , telle qu'elle était connue des arpenteurs romains. L'analyse que nous avons donnée , en parlant de Frontinus , d'un traité de Géométrie pratique, resté manuscrit , répond à ce second livre , qui parait avoir

' Dans oe huitième liTre «e trouTe un chapitre très-remarquable, intitulé : Quod Ullus non êtt eentmm omnibus planeiis , où Martianus GapeUa fait tourner Mercure et Vénus autour du soleil. C'est là que Copemio a pris la première idée de son système.

été copié snr ce maniiscrit ^ et qui n'en diffère essentiellement qu'en deux points, au désa- Tantage de Boéce. Cet écrivain célèbre ne donne pas la formule pour le calcul de Taire du triangle par les trois côtés, qui se trouye dans le manuscrit, et donne la règle inexacte, employée par les arpenteurs romains , pour le calcul de Taire du quadrilatère , qui ne s'y trouve pas.

£n donnant les deux formules pour construire un triangle rectangle en nombres entiers, Tun des côtés étant connu, Boèce attribue à Archytas celle où ce côté est pair. Proclus, comme on sait, attribue cette formule à Platon et Tautre à Pythagore.

A la suite de ce livre de Géométrie pratique, on a joint une autre partie, qui ne se trouve pas dans tous les manuscrits de Boèce, et dont voici le sujet. Après une sorte de dissertation sur Torigine, Tutilité et Texcellence de la Géométrie, Boèce rapporte la substance d'une lettre de J. César , où Ton voit que ce grand homme voulait que la Géométrie servtt de règle dans tout Tempire romain et ses colonies, pour ce qui regardait la mesure et la limitation des terres, les édifices publics et particuliers, les fortifications des villes et les grands chemins. L'auteur énumère ensuite les diverses matières qui peuvent donner lieu à controverses dans les opérations de la mesure des terres. Il remarque quelles sont les qualités que doit avoir un arpenteur, et donne les noms de ceux qui ont eu le plus de célébrité, et des empereurs par ordre desquels ils ont travaillé. Il donne ensuite la nomenclature des bornes diverses dont on se servait pour distinguer les provinces , les grands chemins et les possessions des particuliers. Puis il énumère les connaissances qui sont nécessaires en arithmétique et en Géométrie , pour être un parfait géomètre. Ces connaissances embrassent les propriétés des nombres et leur divisions en nombres pairs, impairs , composés, etc. ; Tordre logique que Ton doit suivre en Géométrie ; les définitions des figures que considère la partie la plus élémentaire de cette science , et les différentes mesures en usage chez les arpenteurs romains.

Enfin l'ouvrage est terminé par un morceau qui ne concerne que l'arithmétique, et que nous avons reconnu , en effet , n'être qu'une réunion de divers passages du premier livre de l'arithmétique de Boèce, pris, dans Tordre suivant, du chapitre 32, de la préface, et des chapitres 1 , 2, 1 , 32, 19, 20, 22^ 12, 26 et 27. Tout ce morceau est sans doute étranger à la Géométrie de Boéce, et y a été joint à tort par quelque compilateur.

Les éditions de Boèce, et la plupart des manuscrits, ne contiennent que deux livres de Géométrie. Cependant il existe quelques manuscrits qui en contiennent cinq. M. Libri en signale un à Florence , à la bibliothèque de St.-Laurent i. Nous voyons dans la Bibliotheca bibltothecarum de Montfaucon (lom. I*', pag. 88), qu'il en existe aussi un dans la bibliothèque du Vatican , avec un traité sur les nombres , en deux livres^ [Boetii de numerù duo /f&W),qui parait être différent de l'arithmétique. Il est à désirer que ces manuscrits , qui peuvent être utiles pour l'histoire des sciences , sortent enfin de la poussière des bibliothèques.

> Hiêt<nre des sciences en Italie, tom. !«' , p. 89.

Sur lepMsage du premier livre de la Géométrie de Boèoe, relatif à un nouveau

système de numération.

Le passage de la Géométrie de Boèce, dont il s'agit, parait être resté inaperçu pendant long-temps y quoique les manuscrits des œuvres de cet écrivain ne soient pas rares , et que sa Géométrie ait été imprimée dés 1491 , puis en 1499 et en 1570. Ce n'est , je crois y que vers le milieu du XYIP siècle que Isaac Yossius , dans ses notes sur la géographie de Pomponius Hcla , fit connaître ce passage , et signala les neuf caractères ou chiffres , qu'il contenait. Depuis , ça été une question souvent agitée , de savoir si c'est bien précisément de notre système de numération que Boèce veut parler, et si les Grecs en ont eu connaissance , ainsi qu'il le rapporte.

Ce point historique offrait un grand intérêt , par lui-même , et comme devant être d'une haute importance dans la question plus générale de l'origine du calcul indien , et des voies qu'il avait suivies pour se répandre au loin, et apparaître tout à coup parmi nous, au commencement du XIIP siècle, dans de nombreux ouvrages i.

Cependant on n'a point encore été d'accord jusqu'ici sur la vraie signification du passage de Boèce, et l'opinion émise le plus généralement a été en faveur d'une autre pièce, du X® siècle, qui est une lettre et un petit traité attribués à Gerbert (devenu pape en 999,

^ lo L^oavrage de Léonard Fiboiiacci , de Pise, commençant ainsi : Incipit liber Ahbaci, composUus à Leonardo filio Bonacci Pisano^ in anno 1202; et dani leqael se trouTcnt aussi, poar la première fois, en Europe , les principes de l^algèbre.

2f> Le Traité d'Arithmétique pratique de Jordan Rémorarius (yers 1200), resté manuscrit dans la bibliothèque saTilienne, sous le titre : Algorismus Jordanie tam in integris qvam infractis demonstratus. Cet ouTrage est différent de TArithmétique spéculative en dix livres , du même auteur , mise au jour et illustrée par Fabre d'itaples, en 1406.

3o Le traité d* Arithmétique de Saoro Bosco , intitulé : Traetatue Mgorismi, écrit en 1286 , en vers , et commençant par ces deux-ci :

fftec algorismus, ors prtesêns , diciiur in quâ Talibus Indorum fruimur bis quinque Jiguris,

4o Un passage du Speeulum doctrinale , de Vincent de Beauvais (1194-1264), intitulé : De camputo et algO" riemo (livre XYI, chap. 0), où la connaissance de nos neuf chiffres, et de leurs valeurs de position , ainsi que Tusage du séro , sont parfaitement exposés.

fio VAlgorisme , ou Traité d'Arithmétique , écrit en français par un anonyme, sous Philippe-Ie-Hardi (1270- 1286). (M. Daunou, dans le Discours sur Tétat des lettres en France , au XIII' siècle , mis en tête du tom. XYI de Vniatoire littéraire de la France (in-4o, Paris, 1824), fait mention de ce Traité, qu*il dit exister dans la bibliothèque de S^e.Geneviève , sous le n» BB 2 , in-4o ; mais malgré les recherches réitérées de Hl. les conservateurs de cette bibliothèque , nous n*avons pu l'y trouver).

6o Le Traité de Maxime Planude , écrit en grec, vers la fin du XIII« siècle, sons le titre : Calcul selon les Indiens , dit le grand calcul.

U est asses singulier qu'aucun de ces traités d'Arithmétique, qui sont si précieux pour l'histoire des aciences, et qui marquent un grand pas de l'esprit humain , n'ait pas encore été imprimé.

Outre ces ouvrages , il existe d'autres écrits du même temps, tels que le Calendrier de Roger Bacon, les Lettres de Jordan Némorarius , et les traités De sphœra et De computo de Sacro Bosco , où il est fait usage de« chiffres arabes.

sous le nom de Sylvestre II) y où Ton a aperçu notre système de numération , et Ton a répété j depuis que Wallis a émis cette opinion dans son Hiêtoire de V Algèbre, que Gerbert , le premier y nous a fait connaître le système de numération indien y qu'il avait appris des Sarrazins, en Espagne. Et c'est Topinion émise encore dernièrement par l'illustre président de la société asiatique de Londres , dans sa savante dissertation sur l'origine de l'algèbre > . Mais il faut dire ici que c*est plutôt d'après le témoignage unique d'un historien du XIP siècle , Guillaume de Malmesbury , dont les paroles ^ ont été empruntées et reproduites un siècle après par Vincent de Beauvais ' , qu'on a fondé cette opinion, que sur le traité même de Gerbert , que l'on a rarement lu , et que Wallis particulièrement n'a pas connu. El^ chose assez singulière , si c'eût été l'examen de ce traité qui eut servi de base à Topinion de Wallis , nous ne balancerions pas à dire que la question agitée au sujet du passage de Boèce est résolue par cela même , et qu'à Boèce doit être reporté l'honneur attribué à Gerbert. Car la comparaison que nous avons faite du traité de Gerbert avec le passage de Boèce y ne nous laisse aucun doute qu'il roule absolument sur le même sujet et sur le même système de numération ; et que l'un et l'autre ont la même origine. Cette remarque, qui n'avait pas encore été faite , aura besoind'être justifiée; j'y reviendrai dans un autre moment, et ferai alors quelques autres observations auxquelles peut donner lieu le traité de Gerbert ^ Je dois ici me renfermer uniquement dans l'examen du passage de

^ Tkiê (Gerbert)» upon his reium , he communicaied to Chriêiian Europe , taûching ihe method of numberê uudêr ihe désignation o/* Abacas, a name apparenilyfirst inirodueed hy him (rationes numeroram Abaoi), hy rules abstruse and difficult to be understood , as William of Malmesbury affirme. It was probably owiny to this obscvriiy of his rules and manner or treaiiny ihe Arabian , or rather Indian arithmetic , that it mode so Utile progress between his time and ihat ofthe Pisan {Leonardo ofPisa), (Golebrooke, Brahmegupta and Bhascara, il/^e6ra^dit8ertation, p. lui.)

3 Abaeum certe primus a Saraeenis rapiens , régulas dédit y qum a sudantibus abacistis vis intelliguntur . Voir De gestis Anglorum libri V, (Livre II , p. 64 et 85.)

s Spéculum historiale. Duaci, 16d4, in-fo. Voir livre XXIY , chap. 08 , p. 097.

^ Par exemple , ce traité , et la lettre d^envoi qui lui sert de préfaoe y sont-ils bien de Gerbert ? Et en supposant qu^ils roulent sur notre système de numération (ce que je crois], leur origine directe vient-elle des Sarrasins d^Espagne ? Ces deux questions, qui sont soulevées ici pour la première fois depuis que , sur Pautorité de Malmesbury , on a fait honneur à Gerbert de ^importation du système arabe , ne sont peut-être pas déponr- Tues dUntérét. Car cette lettre et le traité, qu^on croit généralement être resté manuscrit, sont imprimés en entier , sons le titre de numerorum divisione, dans les OEuvres de Bède (672-735), comme étant de cet écrivain. U est asses étonnant qu^ils n'y aient pas été aperçus , surtout par Hontucla et par Delambre , qui , Tun et l'autre, ont parlé de ce chapitre des œuvres mathématiques de Bède. (Voir Histoire des mathématiques, tom. I^r, p. 405 , et Histoire de Vaetronomie ancienne , tom. f , p. 322.)

Maintenant, ce sera peut-être un point d''histoire à résoudre, de savoir si la lettre et le système de numération attribués à Gerbert , sont de lui ou de Bède.

Sans vouloir aborder cette question, qui est du ressort des saTans écrivains qui continuent V Histoire littéraire de la France, nous nous permettrons de dire que la grande ressemblance, quant au fond et dans les mots mêmes, que nous reconnaissons entre ce Traité et le passage de Boèce, nous porte à le croire de l'éoriTain le plus rapproché de ce dernier; c'est-à-dire de Bède, qui ne lui est postérieur que de deux siècles. Une autre raison, c'est que du temps de Gerbert, les Maures d'Espagne devaient se servir^ comme les Indiens et les Arabes , du zéro (ou àvi point , comme Eéro)\ de sorte que Gerbert, en transmettant leur système de numération, aurait fait usage et aurait parlé expressément du séro, dont nous ne pouvons trouTer aucune trace dans le traité en question^ où nous supposons que ce signe auxUiaire est suppléé par l'emploi de colonnes , oomme

Tom. XI. 59

la Géométrie de Boèce , qui est la partie la plus importante de cet ouvrage , surtout comme document historique unique.

Voici la traduction à peu près littérale , qui nous parait rendre le sens de ce passage :

a Les Anciens avaient coutume d'appeler digitê toute espèce de nombre au-dessous de » la première limite , c'est-à-dire ceux que nous comptons depuis un jusqu'à dix, qui » sont 1,2,3,4,5, 6, 7, 8 et 9.

» Ils appelaient articulée tous ceux de l'ordre des dixaines, et des ordres suivansà » l'infini ^ ;

» Nombres compoêiê tous ceux compris entre la première et la seconde limite , c'est- » à-dire , entre dix et vingt , et tous les autres suivans , excepté les limitée ;

» Et nombres incompoeée tous les digitê et toutes les limitée \

» Les nombres multiplicateurs changent de place entre eux ; c'est-à-dire que tantôt le

dans Boèce , ainsi qne nous allons le dire. Xnfin nne troisième considération , qui rend admissible Topinion que Bède a pu écrire ce Traité , c^est que Ton trouTe nos chiffres dans quelques manuscrits très-anciens des OBUTres de cet écrÎTain , ainsi que Ta remarqué Wallis dans son llUtoirt de P Algèbre (p. 11).

' C*est-à-dirc tout décuple ou centuple , etc., d^un digit.

Cette distinction des nombres, en digitê et en articulée ^ %ye\i pour objet surtout de donner des dénominations spéciales au chiffre des unités et à celui des dizaines, dans un nombre exprimé par deux chiffres, tel que 27 j parce que ces deux chiffres , considérés dans un calcul , pondaient bien ne pas représenter les Téritables unités et dixaines de la question. C^est ce qui a lieu, par exemple, si le nombre 27 résulte, dans une multiplication, du produit du premier chiffre du multiplicateur par le second ou le troisième chiffre du multiplicande.

Les dénominations àe digitê et artioulie {digitue ti articulue) méiiitni bien d^ètre remarquées ioi, car on peut dire qu'elles suffiraient seules pour indiquer qu^il est question de notre système de numération, avec lequel elles se sont toujours présentées depuis : au X« siècle ou antérieurement , dans le Traité attribué i Gerbert; au XUI« siècle dans les ouTrages de Sacro Bosco, de Vincent de Beautais, etc.; et à la renaissance dans tous les traités d'arithmétique, qui commencent toujours comme ce passage de Boèce. ( Voir Opueeuivm de prasi numerorvm quod algoriemum vacant, pièce très-ancienne, trouvée et mise au jour en 1503, parlosse Clicthovée; Margarita phileeophicas Sumtna de Ariihmetica de Lucas de hmgO'yAlgerUhmue demenetraiue de Schoner 'j S eptetn partium Logieticœ arithmeticee gueetûmee^ de Schroter^ Arithmetica pracUca sis guinque pariée digeeta , de lorsianus ; Ariihmetioa practica librie IF abeoluia, d'Oronce Finée ; Ariihmeticœ praeHcee methodus facilis , de Gemma Trisius, etc.)

^ Ainsi les /sm»V«« étaient des nombres, et n'étaient autres que les aftîcM/^#.

Il n'y avait donc , dans le fait , que trois espèces de nombres', les digiie, les articulée et les nombres eeimpoeèe.

Cette division des nombres en trois espèces, était enseignée dans tous les traités d'arithmétique , à la renaissance. Le mot liiuee , que nous avons traduit par limite , était aussi employé dans plusieurs ouvrages j mais il n'y désignait pas des nombres j il s'appliquait à des collections de nombres. On appelait limitée (LATiiii) les différens ordres d'unités^ dixaines, centaines, etc., que les Grecs appelaient Bwea^ç, kinùprimue limée éieiX l'ordre ou la colonne des unités \ secundus limée , l'ordre ou la colonne des dixaines ; et ainsi de suite.

Le passage suivant de VAlgoriihmue demoneiratue ,àe Sohoner , définit bien nettement la signification des mots digitue , articvlue, numente compoeitue, et limée.

Bigitus eet omnis numerue minor decem. Articulus eei omnie numerue gui digiium décuplai , aui digiH deeuplum, aui decupli decuplum , et sic in infinitum, Separantur autem digiH et articuli in limites* Limes eet eollectio novem numercrum, qui aut digiH euni, aui digitorum œgue mulHplices , quilibei eui relaUvi, Limée iiaque primue digitorum. Secundue primo rum articulorum, TerHue eei eeeundorum arHculorum, Ei eie in infinitum, Numerue compositus est qui eeneiai es numerie divereorum lim*ium. Item numerue compoeitue eei qui plurUue figurie eignificaHvie reprceeeniaiur.

» plus grand est le multiplicateur du plus petit , et tantôt le plus petit est le multiplicateur » du plus grand. Souyent un nombre est multiplicateur de lui-même. Hais les nombres » les plus petits sont toujours diviseurs des plus grands.

» Des pythagoriciens , pour éviter de se tromper dans leurs multiplications ^ divisions et » mesures (car ils étaient en toutes choses d'un génie inventeur et subtil), avaient imaginé » pour leur usage un tableau, qu'ils appelèrent, en l'honneur de leur maître, table de » Pyikagore ; parce que, ce qu'ils avaient tracé, ils en tenaient la première idée de ce » philosophe. Ce tableau fut appelé par les Modernes abmciu.

» Par ce moyen , ce qu'ils avaient trouvé par un effort d'esprit, ils pouvaient en rendre » plus aisément la connaissance usuelle et générale , en le montrant pour ainsi dire à l'œil. Y> Ils donnaient à ce tableau une forme assez curieuse , qui est représentée ci-dessous. »

Ici se trouve la table de multiplication dans les éditions de Boèce , et probablement dans les manuscrits que les divers écrivains qui ont disserté sur ce passage ont eu à leur disposition , car toujours ils ont raisonné dans cette supposition , et Weidier , particulièrement , s'en est fait un argument pour prouver que ce sont bien nos chiffres et notre système de numération que Boèce a décrits i. Hais cette table de Pythagore ne se trouve pas dans un très-beau manuscrit du XP siècle, appartenant à la bibliothèque de Chartres, qui est souvent plus correct que l'édition de 1570. Cette circonstance m'a fait nailre l'idée que peut-être ce n'était pas la table de multiplication (à laquelle , sur l'autorité même de ce passage, on avait donné depuis le nom de Pythagore)^ dont Boèce avait réellement parlé. Et j'ai pensé dès-lors que la difficulté que l'on avait trouvée à donner un sens aux paroles de l'auteur, pouvait provenir de ce qu'on voulait les appliquer à cette table de multiplication. Hais que faut-il mettre à sa place? Notre manuscrit ne répond pas entièrement à cette question ; cepShdant il peut mettre sur la voie.

Yoici ce que nous y trouvons :

Sur une première ligne , sont les neuf caractères par lesquels Boèce représentait les neuf premiers nombres, un, deux, trois , neuf. Ils y sont écrits de droite à gauche , et audessus d'eux sont leurs noms , comme il suit :

Sipos GiLKirru Tbvihus. Zbnm. Galtis. Qsikas Abbas Obmu. Anobab. Iqir ^

©(TS'AlgH BH)!; I

On voit à la suite du neuf, un rond dans lequel est inscrite la lettre a; nous parlerons plus loin de ce dixième signe.

I SpicUegium ohtervationum ad historiam notarum nuwteralium pertinenitum, etc. Vitteinbcrg, in-4o, (28 page.), 1766.

^ Ces noms BTaieni déjà été trouTët dans un manuscrit , par le sarant orientaliste Greaires. I^e célèbre Hnet , éirèque d^Avranche , pensait qu'ils y avaient été insérés postérieurement à Boéce , en fayeur des Orientaux , au

Au-dessous de cette première ligne en est une seconde , sur laquelle sont les chiffres romains IyXyG,H,XyG, M.I, etc , écrits de droite à gauche.

Trois autres lignes , ensuite , contiennent en chiffres romains , d'autres nombres qui sont respectÎTement la moitié y le quart et le huitième de ces premiers.

Enfin , sur deui autres lignes , sont d'autres caractères romains représentant les fractioDs de ronce;et sur une dernière ligne , sont les nombres 1,2,3, 4, 12, écrits en chiffres romains.

De tout cela , nous ne prenons que la ligne des chiffres I, X, G, M, X, etc.; et nous sap-

> posons que la table dont Boèce ^eut parler , « que les Anciens , dit-il , appelaient tabU de

Pyihagore ^ et à laquelle les Modernes ont donné le nom A* Abaque , » n'était poiot la

table de multiplieatian , mais un tableau destiné à faire les calcnls dans le nouyean

système de numération qu'il va exposer.

Voici ce qui caractérisait ce tableau , et ce qui le rendait propre à cet usage.

Dans la partie supérieure , était une ligne horizontale , divisée en un certain nombre de parties égales; et des lignes verticales parlaient des points de division. Ces lignes , prises deux à deux consécutivement , formaient des colonnee.

Sur les portions de la ligne horizontale , comprises entre ces colonnes, étaient inscrits , en allant de droite à gauche, les chiffres romains I,X,G,M,X,G, H.I, X.]II.I,etc.) signifiant un, dix , cent, mille , dix mille, cent mille , mille mille , dix mille mille, etc.; comme il suit :