X.LM.I I.M.I C.1W.I X.M.1 M.Î

ATaidc de ce tableau, substitué à la table de multiplication , nous allons pouvoir, je crois, donner un sens intelligible au texte de Boèce, dont je reprends la traduction:

<( Voici comment ils se servaient du tableau qui vient d'être décrit. Ils avaient des » apiees ou earaetèree » de diverses formes. Quelques-uns s'étaient fait des notes A'apice^,

» telles que X répondait k l'unité, VP à deux; ^^ à trois; UJUiL ^ quatre;

» X i cinq ; J/ à six ; J[ ^^ à sept ; O à huit ; et enfin (\ à neuf , Quelques

temps où la connaissance des lettres arabes sUntroduisait parmi nous. Il attribuait aux quatre saiTans, Arhas , Quimaê, Zenis et Temeniaê^voïe origine bébralque {Dêmonstratio Evangelica, prop« lY. Voir aussi Heilbronner , HUioria matheseos, p. 744).

' Noos reproduisons ici les neuf chiffres sous la forme «pi^ils ont dans ce passage de notre mannsorit. Plusieurs

» antres y pour faire usage de ce tableau, prenaient les lettres de Talphabet; de manière » que la première répondait à Tunité, la seconde à deux; la troisième à trois , et les T» suivantes aux nombres naturels suiyans. D'autres enfin, se bornaient à employer, dans » ces opérations , les caractères usités avant eux pour représenter les nombres naturels. » Ces apices (quels qu'ils fussent), ils s'en servaient , comme de la poussière ' ; de ma- » nière que s'ils les plaçaient sous l'unité-, chacun d'eux ne représentait toujours que » des digiU.y^

Cette dernière phrase et les suivantes sont très-importantes. C'est là que nous croyons voir ce qui fait précisément le caractère propre de notre système de numération , c'est-àdire la valeur de poêiiion deê chiffrée. Pour les comprendre, il faut fixer son attention sur le tableau que nous avons décrit et tracé ci-dessus. Car c'est ici que se montrent l'utilité et l'usage de ce tableau.

Nous reprenons la dernière phrase deBoèce, et nous continuons :

« S'ils plaçaient ces divers apicee sous Tunité (c'est-à-dire dans la colonne deê unitée)^ » ils représentaient toujours des digiU,

» Plaçant le premier nombre, c'est-à-dire deux (car l'unité, comme il est dit dans les » arithmétiques , n'est pas un nombre , mais l'origine et le fondement des nombres) , » plaçant donc deuao sous la ligne marquée di», ils convinrent qu'il signifierait vingt; » que trois signifierait trente; quatre, quarante; et ils donnèrent aux autres nombres » suivans les significations résultantes de leur propre dénomination.

» En plaçant les mêmes apices sous la ligne marquée du nombre cent, ils établirent 1^ que 2 signifierait deux cents; 3, trois cents ; 4, quatre cents ; et que les autres ré- » pondraient aux autres dénominations.

» Et ainsi de suite dans les colonnes suivantes : et ce système n'exposait à aucune erreur. »

On peut voir , je crois , dans ceci une description assez claire du principe de notre système de numération , la valeur de position des chiffres , croissant suivant une progression décuple en allant de droite à gauche. Les colonnes dont il était fait usage, et qui sont formellement indiquées dans le texte par le mot paginula on pagina ( petite bande), permettaient de se passer du zéro , parce que là où nous l'employons , on laissait la place vide. Un passage de l'arithmétique de Planude s'accorde avec cette supposition, que, dans l'origine de notre système de numération, on se servait de colionnes qui dispensaient de l'usage du zéro. Car Planude dit que le zéro (rCcf/oa) se tnet élans les places vides ; et comme les places augmentent les valeurs des chiffres , ainsi font les zéros qui rem-

sont différent, comme on Toit, de oenx qui te tronTent aTOO lenrt nomt en dehort da texte j oe qui fait tnppoter que cenx-ci ont été ajoatét par quelque copitte. Gela nout confirme dant Popinion que cette ligne de chîffret ne faitait pat partie , dant l'autographe de Boèce , du tahUau dont il parle ; et que ce tableau te compotait tenlement de colonnet verticalet an haut detquellet étaient intcritt let nomhret un, dix, cent, mille^ etc., tîgnifiant ^tnitéê , dixaines , centaines , etc.

1 lia varie ceupulperem diaperger§„„^èct fait allution tant doute à la pouttière, an pulvis erttditus de Cicéron (De naturd Deorum, lib. II), que let Ancient étendaient tur leurt abaquet pour y tracer lenrt figuret de Géométrie.

pliêêent les placée vides^. Ainsi, antérieurement à l'usage du zéro, il y avait des places vides; ce qui ne pouvait se faire qu'au moyen de cohnnes. Peut-être , quand on aura voulu supprimer les colonnes, et ne pas s'astreindre à l'usage d'un tableau préparé pour ce genre de calculs, aura-t-on laissé seulement celles où se trouvaient des zéros; de sorte qu'alors deux petites lignes verticales (formant une co/onne) auraient fait l'of* fice du zéro. Ensuite on aurait changé cette figure en celle du zéro actuel , qui est d'une description plus simple.

Après avoir exposé succinctement le principe du nouveau système de numération , Boèce donne les règles de la multiplication et de la division. Voici comment il s'eiprirae:

« Dans les multiplications et les divisions, il faut savoir, et observer avec soin, dans » quelle coloicice on doit placer les digits , et dans laquelle les articulée. Car, si un )» nombre des unités est multiplicateur d'un nombre des dizaines^ on place les digits » dans les dixaines, et les articulés dans les centaines; si le même nombre est multiplica- » teur d'un nombre des centaines , on place les digits dans les centaines , et les articulés » dans les mille; s'il est multiplicateur d'un nombre des mille, on place les digits )) dans les mille , et les articulés dans les dix mille ; et multiplicateur d'un nombre des » cent mille, on place les digits dans les cent mille, et les articulés dans les mille-mille.

» Hais si un nombre des dixaines est multiplicateur d'un nombre des dixaines, on » place les digits dans la GOLOirirE marquée cent , et les articulés dans les mille;

)» S'il est multiplicateur d'un nombre des centaines , on place les digits dans les mille , » et les articulés dans les dix-mille ;

» Multiplicateur d'un nombre des mille , on place les digits dans la colonne des dix i> mille , et les articulés dans celle des cent mille ;

)) Et multiplicateur d'un nombre des cent mille, on place les digits dans les mille- » mille , et les articulés dans les dix mille-mille.

» Semblablemeut, un nombre des centaines étant multiplicateur, etc. , etc.

Tout ce passage est très-intelligible , et répond parfaitement aux règles que nous observons pour la multiplication ; il confirmerait, au besoin , le sens que nous avons donné aux phrases précédentes. C'est dans ce passage principalement qu'on a trouvé de l'analogie avec notre système de numération.

Viennent ensuite les règles de la division. L'auteur commence ainsi :

« Maintenant les divisions , de quelques grands nombres qu'il s'agisse y deviennent » faciles pour le lecteur dont l'esprit est préparé par ce qui précède. Aussi nous n'en par- » lerons que sommairement ; et s'il se rencontre quelque difficulté, nous laissons à l'atteny> tion du lecteur le soin de la résoudre. »

L'obscurité du texte ne nous permet pas d'en traduire la suite; nous supposons qu'il nous est parvenu tronqué et défectueux ; mais cette suite n'est pas nécessaire pour fixer notre opinion sur le système de numération que Boèce vient d'exposer ; ce qui précède suffit.

* Delambre, Histoire de l'astronomie ancienne, t. I«r, p. 510.

Les régies que Tautear donne pour la dhision , nous paraissent se rapporter aux cinq cas snmns : '

1^ Diviser des dixaines par des dixaines , ou des centaines par des centaines, etc.;

2® Diviser des dixaines , ou des centaines , ou des mille, etc., par des unités; ou bien des centaines ou des mille, etc., par des dixaines;

3** Diviser des dixaines ou un nombre composé de dixaines et d'unités , par un nombre composé de dixaines et d'unités;

4^ Diviser des centaines ou des mille , etc., par un nombre composé de dixaines et d'unités;

6^ Enfin, diviser des centaines ou des mille, par on nombre composé de centaines et d'unités.

Ici se termine le premier livre de la Géométrie de Boèce.

Le passage que nous venons de rapporter est le seul que l'on ait cité comme traitant d'un nouveau système de numération, et c'est le seul probablement qui se trouve dans les manuscrits sur lesquels on a travaillé jusqu'ici. Mais celui que nous avons sous les yeux , contient encore, à la fin du second livre, un second passage sur le même sujets qui mérite d'être connu, car il nous parait montrer bien distinctement la valeur de position des chifiTres. Le voici :

Après le tableau des fractions de l'once, Boèce ajoute :

« Dans la formation du tableau ci-dessus , ils (les Anciens) se servaient de caractères de n diflérentes sortes et de formes différentes. Mais nous , nous n'en employons pas d'autres , y> dans tout ouvrage de ce genre , que ceux que nous avons tracés dans la construction de » Vabaquê. Nous avons assigné la première ligne de ce tableau aux unités; la seconde aux » dixaines ; la troisième aux centaines ; la quatrième aux mille ; et enfin les autres lignes » aqx limitée ^ des autres nombres. Si on place des apices sur la première ligne , ils repré- » senteront des unités; sur la seconde des dixaines , sur la troisième des centaines ; sur la Y> quatrième des mille , et ainsi de suite des autres. »

Ensuite Boèce donne les valeurs des fractions de l'once , dont auparavant il a donné seulement les noms, digituê , étalera, quadrans , drachma , etc.

Tout ce passage se rattache évidemment au tableau des divisions de l'once , et doit être rétabli dans l'ouvrage de Boèce.

De ce qui précède , nous croyons pouvoir conclure que le système de numération exposé par Boèce, est le système décimal , dans lequel les neuf chiffres dont il se sert prenaient des valeurs de position, croissant en progression décuple en allant de droite à gauche; et enfin que ce système de numération était précisément celui des Indiens et des Arabes , et le nôtre actuel; avec cette différence légère, que , dans la pratique, les places où nous mettons le zéro, restaient vides alors; et que cette dixième figure auxiliaire était suppléée par l'emploi de colonnes marquant distinctement l'ordre des unités, dixaines, centaines , etc.

' Ici Boèce donne eo mot limes une acception semblable à celle qu^il a prise cbei les Modernes. Voir dans une note ci^dessas^ le pat«age cpie nous avons eiié de VÂlgoriihmus demonstratus de Scboner.

Nous devons ajouter ici que dans le manuscrit dont nous nous servons , à la suite des neuf chiffres tracés avec leurs noms sur une même ligne, se trouve, après le neuf, un dixième caractère qui est un rond dans lequel est une petite lettre a. Ce dixième signe représente , bien probablement , le zéro ; Ya qui y est inscrit est peut-être la terminaison du mot syphra ; ou la première du mot arciM que nous trouvons employé dans une autre pièce contenue dans le même manuscrit, et relative au même système de numération, pour exprimer le mot colonne , parce que les colonnes qui y sont tracées sont surmontées d'arcs de cercles , de sorte que cette lettre a voudrait dire que le rond tient lieu d'une colonne. Cette origine du zéro serait assez naturelle.

Nous ne supposons pas que cette dixième figure se soit trouvée dans l'autographe même de Boèce ; elle aura été ajoutée plus tard. Mais il est bon de la remarquer dans un manuscrit du W siècle, parce que c'est une opinion partagée par des écrivains d'une grande autorité, que le zéro ne nous a été apporté qu'au commencement du XIII* siècle par Fibonacci.

Le sens que nous avons donné au passage de Boèce a reposé sur cette double supposition , que le mot ahacus , qui s'y trouve employé, ne s'applique point à la table de multiplir cation, comme on l'avait supposé jusqu'ici, mais bien à un tableau d'une disposition particulière, propre à la pratique des nombres dans notre système de numération. Cette double supposition n'est pas contredite par les documens littéraires qui nous restent sur la signification ancienne du mot abacu^, et se trouve confirmée par celle qu'il a prise dans le moyen âge , et qu'il avait encore au XVP siècle. ,

En effet :

1° On sait par divers auteurs grecs et romains, qui ont fait usage, avant Boèce, des mots c£a^ et abacus, qu'ils signifiaient proprement un tableau sur lequel les j4nciens faisaient leurs calculs d arithmétique et leurs figures de Géométrie, (^ofVPolybe, V* livre; Plutarque, F'ie de Caton d'Utique, sur la fin; Perse, satyre 1", vers 131 ; Martianus Capella, De nuptiis Philologiœ et Mercurii; liber VI, de Geometriâ),

2° Nulle part, avant Boèce, il n'est parlé ni de la table de multiplication ^ ni de la table de Pythagore; ce n'est que sur l'autorité de ce passage de sa Géométrie, où s'est trouvée, dans des manuscrits, la table de multiplication , qu'on a appliqué, depuis, à cette table, les noms de mensa pythagorica , et de abacus pythagorieus.

Et il est & remarquer que , dans son traité d'arithmétique , où Boèce a fait un grand usage de cette table , pour mettre en évidence les propriétés des nombres considérés dans leurs diverses catégories en nombres triangulaires, pentagonaux , etc., il ne l'a désignée ni sous le nom de Pythagore, ni par le mot abacus.

On ne trouve après Boèce qu'un seul auteur ancien , Bède, qui ait appelé mensa pythagorica seu abacus numerandi, une table de multiplication, qui est beaucoup plus étendue que celle dont nous faisons usage. Hais il faut vérifier si ce double titre est bien dans les manuscrits de Bède, surtout dans les plus anciens.

S° Le mot abacus est employé dans la lettre et dans le traité De numerorum dioisione^ attribués à Gerbert , et là évidemment il ne désigne pas la table de multiplication , mais

bien le Douyeau système de Dumération que l'auteur expose. Or, comme nous l'ayons dit dans une note précédente y ce système est absolument le même que celui de Boèce ; nous en dcyons donc conclure que, dans Boèce aussi , le mot ahactiê a une signification particulière qui se rapporte à ce système.

Nous supposerons que Boèce s'est servi de ce mot abactts (sous-entendant peut-être pythagorictui) pour désigner le tableau propre à faire les calculs dans le nouveau système de numération ; et qu'un écrivain postérieur, tel que Gerbert, a donné ce nom au système lui-même.

Cette conjecture semble confirmée par l'opinion que Wallis a fondée sur de nombreux documens historiques, savoir : que le mot abacus, dans le moyen âge et à la renaissance, a élé employé comme synonyme de algorismuê {De jilgebrâ tractatuê ^ p. 16); que l'un et l'autre ont toujours désigné la pratique des nombres par les chififres arabes, c'est-à-dire notre système de numération ^ {ibid.y pag. 19); et que dans quelqu'auteur où l'on trouvera le mot algoriêmtis , on en pourra conclure avec certitude que ces chiJDTres étaient connus au temps de cet écrivain ^.

Le passage delà Géométrie de Boèce, et le traité de numerorum divisione attribué à Gerbert, sont jusqu'ici les seuls monumens anciens de notre système de numération , qui nous soient connus. Nous en avons trouvé un troisième, à la suite de la Géométrie de Boèce, dans le manuscrit du XP siècle dont nous ayons parlé. Nous ferons connaître cette pièce dans un autre écrit. Elle confirmera Je crois, le sens que nous avons donné au passage de Boèce. Les neuf chiffres y ont les noms igin , androê , etc.; et leurs valeurs , c'està-dire les nombres qu'ils expriment, sont indiqués par neuf vers que voici :

Ordîne prîmigeno* nomen possidet Igin.

Andrat ecce locum previndicat ipse secundum. Ormts p08t numerus non compositus sibi primu».

* Hoqs voyons qa'en effet au commencement du X1II« siècle, Fibonacci appelle son traité d^arithmétique , Ltbêr abhaci.

Un siècle après , un autre auteur italien, Paolo di Dagomari , qui eut de la célébrité comme géomètre^ astronome et littérateur , était surnommé Paolo dell* abbaco , o^est-à-dire Paul de Varithmétique , à cause de sa grande habileté dans la science des calculs.

A. la fin du Xy« siècle, Lucas Paccioli dit que notre système d^arithmétique a été appelé abacus , pour dire à la manière des Arabes , muodo arabico ; mais que sui'vaot d^autres , ce mot dérive d'un mot grec. {Summa de ArUhmeiica. Distinctio 2"; de numeratione).

Un ouvrage du même temps , de ¥r. Pellos ,a pour titre : Sen segue de la art de ariihiaeticha, e semblaniment

de Jeumetria dich ho nonimat compendion de lo abàgo complida es la opéra per Fr. Pellos Impresso

in Jliaurino , lo présent compendion de abago per 1402.

Enfin Clic thoTée , au commencement du Xyi« siècle, appelle son traité d'arithmétique Praxis numerandi quein ahacum dicunt, et y joint un traité semblable d'un auteur ancien qui lui est inconnu , et qu'il intitule : Opusculum de Prasi numerorum quod algorismum vûcant. Ce qui prouve bien qu'an temps de Glicthovée^ ahacus et algorismus étaient synonymes et s'appliquaient à notre système de numération , comme l'a pensé Wallis.

3 £t ubieungue in scriptore aliquo Algorismi nomen reperitur, certo eoncludas figuras hasoe eâ atate fuisse eognitas (db algbbra tbactatus^ p. 12).

' Ici se trouve un blanc dans le manuscrit. Le mot sibi conviendrait.

Toi. XI. 60

Denique bis binos snccedens indicat Arbas.

Significat quinos ficto de nomioe Quimoi,

SexU tenet Cakit perfecto munere gaudens.

Zenù enim digne septeno fulgel honore.

Octo beatificos Temenias exprimit unus.

Hinc sequitur Sipos est qui rota namque yocatur ' .

Nous De nous sommes occupé y dans cette note, que de rechercher la vraie signification du passage de Boéce, et de fixer notre opinion dans la question de savoir s'il se rapportait à notre système de numération. Mais ce passage a donné lieu à une autre question , qui est même celle qui a été le plus souvent discutée ; c'est de savoir si , comme le dit Boéce , ce système a été connu des pythagoriciens. Plusieurs écrivains Font pensé ^; mais le plus grand nombre n'ont pu admettre que les Grecs aient possédé un système de numération supérieur au leur, et dont ils auraient méconnu Texcellence au point de le laisser se perdre dans l'oubli. Cette objection est grave; et Montucla, pour y répondre, suppose qu'il s'agit des Grecs d'un temps rapproché , où le savoir et l'amour des sciences étaient déjà sur leur déclin. Cette supposition est plausible; mais est-il bien nécessaire d'y avoir recours? Nous pensons que Montucla ne l'a faite que parce que l'on s'exagère , en général, la différence qu'il y a entre le système de numération des Grecs et celui des Indiens, et la difficulté prétendue à opérer dans le premier. Il nous semble qu'au contraire les deux systèmes diffèrent très-peu l'un de l'autre. Tous deux ont pour base la progression décuple; et expriment un nombre quelconque de la même manière, par unités, dixaines, centaines, mille, etc., au moyen des neuf nombres radicaux et générateurs un, deux,

trois, , neuf, qui forment l'ordre des unités, et servent à former l'ordre des dixaines,

des centaines , des mille , etc. En un mot les deux systèmes de numération reposent l'un et l'autre sur la même formule suivante , qui exprime la composition d'un nombre quelconque :