N=:A.10'' H- B.IO''-* H- C.IO'-^ H- ... H- E.IO.* H- F

où chacun des nombres générateurs Â, B, G , E, F, est l'un quelconque des neuf

premiers , un , deux , trois , , neuf.

I Ce dernier Ters «^applique ici au chiffre 0. Cependant , dans la snite de Pécrit , le 9 est appelé eelentù. Quelle est la raison de ce double nom| sipos et oslenHs, qui se tronTe aussi, comme nous TaTons yu ci-dessus , dans le manuscrit de Boèce ?

Dans ce nouTel écrit on remarque, à la suite des neuf chiffres , comme aussi dans celui de Boèce , un rond , qui représente sans doute le xéro. Le mot sipos, dans le principe, n'aurait-il pas été destiné à cette dixième figure , à laquelle il conTient bien ? Alors il manquerait ici un Ters pour le chiffre 9 , eeUntis,

Nous soumettons ces questions aux lecteurs à qui la connaissance de rhébren pourra en faciliter la solution.

^ Gonrade Dasypodius, IsaacYossius, Huet,Dom Calmet,£douard Bernard , Weidler, Jean Ward, Bayer, Yilloison , Hontncla.

II a paru en Italie , au commencement de ce siècle , une nouTelle dissertation sur la question qui nous occupe; elle a pour titre : Msmoris sulle cifre arMche. llilan, 1813, grand in-4o. Nous ne noua sommes pas encore procuré cet écrit.

Qaelle est donc la différence réelle entre les deux systèmes de numération? C'est qu'après aToir représenté^ dans Tun et l'autre, les neuf nombres de l'ordre des unités par neuf caractères particuliers y les Grecs représentent les neuf nombres de chacun des ordres suivans par d'autres caractères différens , tandis que les Indiens les représentent par les neuf premiers caractères eui-mèmes; dont les valeurs diverses sont différentiées et indiquées par les places qu'ils occupent : et comme ces places sont les mêmes dans les deux systèmes, on voit que les calculs ne doivent point être plus difficiles dans l'un que dans Fautre, et qu'ainsi il n'y avait pas de raison bien majeure pour substituer le système indien , quoique plus savant et plus complet , au système grec ; substitution qui aurait pu se faire entre les mathématiciens; mais qu'il n'aurait pas été facile d'imposer à tout un peuple. On en trouve la preuve chez les Romains , dont le système de numération rendait les calculs extrêmement pénibles, et qui néanmoins l'ont conservé, quoiqu'ils connussent celui des Grecs qui lui était infiniment supérieur.

Une objection, qui au premier abord parait très-forte contre l'opinion de ceux qui pensent que les Grecs ont connu le système indien , c'est que dans le leur ils n'avaient pas de moyen pour exprimer de très-grands nombres (ils s'arrêtaient à quatre-vingt-dixneuf millions), et qu'Ârchimède a écrit un livre des Principes, pour remédier à ce défaut, et s'est ser?i dans son Arénaire du moyen qu'il avait imaginé. Si dans l'école de Pythagore , dit-on , on avait possédé le système indien, Ârchimède l'eût connu, et n^aurait pas eu besoin de chercher les moyens d'exprimer de grands nombres; puisqu'il lui aurait suffi de proposer ce système. Sans doute, si Ârchimède avait voulu créer un nouveau système de numération, on en conclurait qu'il ne connaissait pas celui des Indiens; mais tel n'a point été son but; il n'a voulu que trouver le moyen d'exprimer de grands nombres dans le système même des Grecs. Qu'a-t-il fait pour cela? II a appliqué à ce système, à partir -de la limite où il cessait de satisfaire aux besoins du calcul , le système indien , c'est-à-dire la valeur dé position ies chiffres. Est-ce là une preuve qu'Ârchimède ignorait ce système indien? Peut-on dire même qu'il n'en avait pas parlé dans son livre des Principes y qui ne nous est pas parvenu, et qui roulait sur la numération, et appliquait au système des Grecs le principe des valeurs de position des chiffres. Dans son Arénaire il n'a point eu à entrer dans les détails qui se seront trouvés dans les Principes, parce que cet ouvrage n'avait pas pour objet d'exprimer de grands nombres, comme on parait le croire quelquefois ; il avait pour objet uniquement de calculer le nombre des grains de sable qui se trouveraient dans la sphère décrite du soleil comme centre et embrassant les étoiles fixes. Et ce nombre calculé , il voulait l'exprimer dans le système de numération des Grecs. C'est pour cela qu'il propose de donner aux chiffres placés au delà de la huitième colonne, des valeurs de position , qui étaient les mêmes que dans le système indien.

Le peu de documens qui nous restent, ne nous dit pas comment se faisait la fixation de ce point à partir duquel les chiffres avaient une valeur de position. Était-ce par un signe particulier ? ou bien fallait-il que les huit premières colonnes fussent en nombre complet? ce qui aurait introduit dans le système grec la considération du zéro, sous une forme quelconque , telle qu'un point , un vide ou une colonne. On sait , du reste , que le zéro était

connu des Grecs, et qu'il leur servait à marquer Tabsencè de degrés ou de minutée , etc., dans leurs calculs des fractions sexagésimales i.

Toutes ces considérations n'étaient pas au-dessus du génie d'Archimède; mais rien, ce me semble , ne doit nous autoriser à dire qu'il n'a pas pu en puiser le principe dans la connaissance du système indien ; ou bien que s'il ayait connu ce système , il eût fait autrement dans son Arénaire.

Mais Apollonius, dira-t-on, s'est occupé aussi, après Archimède, de perfectionner le système de numération des Grecs; il a réduit à quatre colonnes les octades ou tranches de huit colonnes d' Archimède ; s'il eut connu le système indien , il aurait appliqué à partir de la seconde colonne , le principe de valeur de position qu'il appliquait à la cinquième.

Hais, pour juger le travail d'Apollonius, qui ne nous est point parvenu, et dont le résultat seul nous est connu par des fragmens de Pappus , il faut rechercher pourquoi il s'est fixé à quatre colonnes , plutôt qu'à trois ou à cinq. La raison nous parait être celle-ci : C'est que les Grecs avaient trente-six chiffres pour exprimer tous les nombres composés de quatre colonnes, tels que 2354. Les vingt-sept premiers chiffres étaient des lettres différentes de leur alphabet; et les neuf suivantes , qui exprimaient les mille, étaient les neuf chiffres des unités , marqués d'un iota, ou d'un accent. C'étaient ces trente-six mêmes chiffres qui leur servaient à exprimer les nombres au delà des simples mille, jusqu'à la huitième colonne exclusivement; et à partir de la cinquième colonne, ces chiffres représentaient des myriades, et on plaçait au-dessus d'eux la lettre m, ou bien après eux, et avant la quatrième colonne, les lettres mv pour désigner ces myriades. Ces signes étaient embarrassans, compliquaient les calculs, et pouvaient faire naître des erreurs; et Apollonius a voulûtes supprimer. C'est ce qu'il a fait en imaginant les tranches de quatre colonnes , et en leur donnant des valeurs de position.

Nous voyons dans cette idée d'Apollonius, de même que dans celle d'Archimède, l'intention de conserver religieusement les caractères employés par les Grecs avec leur signification, et de les approprier à l'expression de tous les nombres possibles. Et nous voyons que ces deux grands géomètres sont parvenus à leur but de la manière la plus heureuse, en attribuant à ces caractères des valeurs de position , suivant le principe même de la numération indienne.

Cela prouve-t-il qu'ils aient ignoré absolument ce système indien ?

Sur un passage de la Géométrie de Boèce, relatif au pentagone régulier de seconde espèce, — Origine et développement des polygones étoiles,

Boèce, dans le premier livre de sa Géométrie, qui est une traduction de propositions prises des quatre premiers livres d'Euclide, ne donne pour chaque théorème, ou problème, que son énoncé et la figure qui s'y rapporte.

Sa dernière proposition prise d'Euclide est le problème d'inscrire dans un cercle un pentagone régulier (proposition XI* du 4™« livre d'Euclide) ; après l'énoncé de cette ques-

^ Voir le Mémoire de M. Delambre sur Tarithmétique des Grecs.

tion , 86 tronte, suivant Tusage ^ la figure qui s'y rapporte , et cette figure a cela 'de remarquable , qu'elle présente à la fois le pentagone ordinaire et le pentagone étoile, ou de seconde espèce.

De plus 9 après cette figure se trouTO une explication qu'on ne rencontrait pas à la suite des autres propositions y et qui nous a paru avoir pour objet de justifier cette double figure^ ou plutôt ce nouveau pentagone , présenté comme répondant au problème proposé.

Gomme ce passage de Boéce est assez difficile à comprendre, et que nous pouvons trèsbien nous tromper dans la signification que nous lui donnons , nous allons le rapporter ici 9 en suivant le texte d'un manuscrit beaucoup plus correct que l'édition de Basic ( 1570).

« Inira daium circulum, quinqtumyulum quod est œquilaterutn atqtie œquiangu-- » lum designare non disconvenit. »

Ici se trouve la figure qui répond à la question; et l'auteur ajoute :

« Nam omnia quœcumque sunt numerorum ratione sud constant; et proportiona-^ » literalii es aliis constituuntur. Circumferentiœ œqualitate multiplicationibus suis » quidem excedentes ; atque altematim portionibus suis terminum facientes. »

// faut inscrire dans le cercle un pentagone équilateral et équiangle,

La figure qui répond à la question, présente deux pentagones, dont l'un est de forme nouvelle , et diffère , par conséquent, du pentagone ordinaire. Boèce le justifie ainsi:

Car tout ce qui est exprimé en nombres , a lieu par la propre raison des nombres ; et ceux-ci se déduisent proportionnellement les uns des autres.

Les arcs ' deviennent plus grands d*une quantité égale à eux-mêmes, par leur doublement, et leurs cordes ^^ prises de deux en deux, forment le périmètre ^ de la figure.

Si cette traduction du texte de Boèce est admissible, elle nous parait répondre à la construction du pentagone étoile. En effet, soient Â, B, G, D, E, les cinq sommets du pentagone régulier ordinaire. Les arcs que soutendent ses côtés sont AB, BG, GD, DE, EA. Qu'on les double , ils deviennent ABG, BGD, GDE, DEA, EAB; et les cordes de ceux-ci sont AG , BD , GE , DA , EB. Qu'on prenne ces cordes de deux en deux , on a AG , GE , £B , BD, DA : et considérées dans cet ordre, ces cordes forment le pentagone étoile.

^ CircumferenHa est , dans plusieurs autres passages de Boèce, la dënomination des arc7dn cercle.

3 Nous traduisons porHonibtts par le mot cordes, parce qneportio est la dënomination du segment de cercle, qui n^en avait point d^autre chez les Latins. (Poriio circuli est figura quœ suh rectâ et circuit cireumferentiâ cûnHneiur). Et ici nous supposons que Boèce a pris le tout pour la partie , c'est-à-dire le segment pour sa corde , parce que le mot corde n'avait pas alors de dénomination simple , on disait linea inseripta.

* Les Latins appelaient terminus l'extrémité d'une ligne, et le périmètre d'un polygone ou d'une figure quelconque [Figura est quod sub aliquo vel aliguibus TsaBiHis confinetur. Définition de Boèce}.

Du reste 9 on ne doit peut-être pas s'étonner de trouver dans Boéce cette figure; car il parait^ comme nous allons le montrer ci-dessous, qu'elle a été connue dans l'antiquité, particulièrement de Py thagore ; et de plus , on la retrouve au XIIP siècle dans le commentaire de Campanus sur Euclide ; et pendant trois ou quatre cents ans , la théorie des polygones étoiles , qu'on appelait alors polygones égrédienê , a été cultivée et avait même pris de l'extension. Mais cette théorie , depuis, s'est perdue , et est restée ignorée, parce que, sans le concours de l'analyse algébrique^ elle n'offrait qu'un intérêt de curiosité et n'apportait aucune utilité réelle en Géométrie. Hais l'illustre géomètre qui Ta créée de nouveau au commencement de ce siècle , et dont elle porte le nom, lui a donné une importance qu'elle ne peut plus perdre, en montrant son véritable caractère scientifique, et le lieu analytique qui l'unit nécessairement et d'une manière indissoluble aux polygones anciens^.

Néanmoins cette théorie peut faire honneur au moyen âge , où l'on a si rarement l'occasion de signaler quelques traces de génie, et quelques germes d'innovations fécondes. C'est pourquoi nous allons rapporter ce que nous avons trouvé à ce sujet dans l'histoire d'une époque dont il nous reste de trop rares documens.

Mais disons d'abord sur quelle autorité nous avons avancé que le pentagone étoile avait été considéré dans l'antiquité , particulièrement par Pythagore.

Nous trouvons dans Y Encyclopédie d'AUtediuê'^ , au XV* livre, qui traite de la Géométrie, immédiatement après la construction du pentagone régulier ordinaire, le passage suivant :

« Pentagonum etiatn ita êcribitur, et à superstitioêU notatur hoc notnine iesus. »

(Ici se trouve figuré le pentagone étoile, avec les lettres i, e , 9 ^ u^ s , placées à ses cinq sommets. )

« Si pentagone ita constructoaddas lineam ex super iori angulo in opporitum angu- « lum ductam,fiet illa figura, quam vocan^ sanitatem Pythagorse; quia Pythagoras ^ » hac figura delectatus^ adscribebat êingulis prominentibuê angulis has quinque » litteras t; , / , c , ^ , a. Germani vocant ein Trudenfus : quia êacerdotes veteres Ger- » manorum et Gallorum vocabantur Druidœ : qui dicuntur calaco* (peut-être cal- » ceos) hujus figurœ ges tasse, ^>

Kircher dans son Arithmologia^ ( pars V , De Magicis amuletis ) , parle dans le même sens du pentagone étoile; qu'il appelle j9^n/a/pAa, parce que deux côtés contigus forment , avec un autre côté qui les coupe , la lettre A. Il désigoe ses sommets par les lettres u, y, c, fr, a. Voici le passage de cet auteur : « In quibus (sigillis magicis) nilfre- » quentius occurrit , quant pentalpha et hexalpha ; est autem pentalpha nil aliud, )» quàm linearis figura in quinque A diductum , quibus Grœci uyâcn , id est salu-

^ Voir article 15 du Mémoire êur les polygones elles polyèdres; par M. Poinsot. (Journal de Vècole polytechnique ; Xe cahier , t. 4).

^ Encyclopœdia universa. Ilerbornœ, 1620, in-4o. — Item Secunda aucta, ibid. 1630, in -fol, 2 toI. — Item Lugduni , 1649 , in-fol., 2 vol.

^ Arilhmologia, sive de ahdiiis numerorum mysieriis, qud origo, aniiquiias, et fahrica nvmerorum exponitur , etc., etc. Romas, 1665, in-4o.

y> iêtn et santiaiem ejpprifnehant ; qno Antioehum vexillo impoêito , juêsu AUxmidri » m somno apparenth , mox admirabilem à Galaiis vicioriatn reporiasse Magi fin* y» gunt , eoque tanquam summœ felicitatis êymholo in suis nugameniis uiuntur. »

Ensuite Kircher rapporte plusieurs circonstances mystérieuses où Ton faisait usage du pentalpha.

Au XVP siècle lo fameux alchimiste Paracelse a encore regardé l'étoile pentagonale comme Temblème de la santé ^

Nous voyons dans la Bibliothique mathématique de Murhard que le savant professeur Kaslner a traité du pentalpha et de Yhexalpha, dans ses Recueils de Géométrie (Geometri^che Ahhandlungen, Ersie Sammlung, Anwendungen der ebenen Géométrie und Trigonométrie. Gotlingen, 1700, in-8®).

Passons à la théorie proprement dite des polygones étoiles.

Nous en trouvons les premiers germes dans les commentaires que Gampanus y géomètre du XnP siècle, a joints à sa traduction des élémens d'Euclide, faite sur un texte arabe, et la première qui ait paru en Europe. Au sujet de la trente-deuxième proposition du premier livre, qui dit que la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits, Gampanus a présenté le pentagone étoile comme exemple d'un polygone jouissant aussi de cette propriété du triangle, d'avoir la somme de ses angles égale à deux droits. Cette proposition a été reproduite dans les éditions de l'Euclide de Zamberti, où se trouvent, avec les commentaires de ce géomètre, ceux de Gampanus 2; et divers autres auteurs en ont fait usage dans leurs propres commentaires sur les élémens d'Euclide ; tels sont Lucas de Burgo< , Peleticr ^ et Clavius^. Ramus, dans ses Scholœ mathematicœ^^ liv. DL, a aussi cité le pentagone étoile, comme exemple d'une figure, autre que le triangle, dont les angles ont leur somme égale à deux droits^.

Hais tous ces géomètres se sont bornés , comme Boèce et Gampanus , à la considération du pentagone étoile , sans faire entrevoir la théorie à laquelle ce genre de figures pouvait donner lieu. Nous trouvons que c'est un écrivain du commencement du XIY* siècle , Brad-

' c( SieUam pentagonicam , sêu Germanico idiomaU pedem Truttœ , Thêophnuto ParaceUo Hgnum

êanitaiiê, ( Kepler, ffarmontceê Mundi, liber secnndui , p 60. )

^ Les GommenUires de Campanns ont été imprimés seuls en 148a et 1491 , puis aTeo les Commentaires de ZambeHi en 1606, 1616, 1637, 1646.

' Euelidis opéra a Campano interprété fidissimo tralata, Lucaê Paciolus , theeifogus inngnis , altissima maihematiearum diecipHnarum scientia rariseimus judicio castigatissimo detersit, emendavit, etc., etc. Yenetiis , 1600, in-fol.

* DêmonetroHonum in Euelidis EUmenta Oeomêtrica, libri ses. Lyon , 1667 , in-S». — Item, 1610, in-4o. •— Lee six première livrée des élémens géométriques d^Euclide, aveo Us démonstrations de Jacquos Peletier , du Mans, GenéTO , 1628 , in-8o.

^ Euelidis elementorum , lihri JCr 'j aceessit XVI de solidorum regularium comparatione , etc. RorosB, 1674, in-S». A en de nombreuses éditions.

^ So\olarummaiksmaHoarum, libri XXXI. Trancf., 1669,in<-4o. — Item, Basileas, 1660. — Item, Trancf., 1500. — Item, ifnd., 1627.

^ Sic quinquangulum é oontinuatis ordinatis quinqaanguli laieribus faetum aquat quinze intêriores angvlos duelus reotis»

wardin ^ qui , le premier^ a étendu la théorie du pentagoue étoile aux polygones d'un plus grand nombre de côtés , et qui a fondé la yéritable doctrine des polygones étoiles.

L'ouvrage dans lequel nous la trouyons, a pour titre: Geometria speculaiiva Thome Bravardini , recoligen^ omne* concluêiones geometricas êtudentibuê artium, et philosophiœ Arisiotelis ,valde necessariaê, simul cum quodam tractatu de quadrature circuit; noviter editio. Parisiis, apud Reginaldum Gbauldicre, in -fol., yingt feuilles, sans date. La première édition de cette Géométrie était de 1496 1; plusieurs autres ont paru en 1505, 1508, etc. ^. Nous ne connaissons que celle que nous venons d^ citer.

Après avoir traité des polygones réguliers ordinaires, qu'il appelle figures simple*, Bradwardin consacre un chapitre aux polygones étoilé&, qu'il nomme figures à angles égrJdiens. Il dit que ces polygones sont formés par le prolongement des côtés d'un polygone simple , jusqu'à leur rencontre deux à deux; et il ajoute qu'il n'a pas vu qu'il ait été parlé de ces nouvelles figures par d'autres géomètres que par Gampanus , qui en a traité en peu de mots et accidentellement.

Voici l'analyse de cette partie de l'ouvrage de Bradwardin.

Le pentagone est la première figure à angles égrédiens. La somme de ses angles est égale à deux droits. La somme des angles des autres polygones à angles égrédiens va en augmentant de deux droits, comme dans l'ordre des figures simples.

Gela s'accorde avec la formule S==:2 (m — 4), qui donne la somme des angles du polygone égrédient de //i côtés.

Les polygones égrédiens dn premier ordre donnent lieu, parle prolongement de leurs côtés jusqu'à leur rencontre deux à deux, aux polygones égrédiens du second ordre; comme les polygones simples ont formé les polygones égrédiens du premier ordre.

L'eptagone est la première figure à angles égrédiens du second ordre ; il provient de l'eptagone à angles égrédiens du premier ordre ; celui-ci est la troisième figure du premier ordre.

Pareillement le pentagone égrédient, première figure du premier ordre, avait été formé du pentagone simple, troisième figure de l'ordre des polygones simples. Cette analogie conduit Bradwardin à énoncer ce principe général : la première figure d'un ordre est formée par le prolongement des côtés de la troisième figure de tordre précédent.

Enfin l'auteur termine en disant qu'il serait trop long de parler des angles de ces figures ; mais qu'il croit , sans pouvoir l'assurer , que la première figure de chaque ordre a la somme de ses angles égale à deux droits, et que dans les autres figures cette somme va en augmentant toujours de deux droits en passant d'une figure à la figure suivante.

Les figures représentées en marge de l'ouvrage, sont le pentagone, l'hexagone, l'eptagone et l'octogone du premier ordre ; l'eptagone , l'octogone et le nonagone du second ordre , et enfin le nonagone, le décagone et le dodécagone du troisième ordre.

Deux siècles après Bradwardin, Charles de Bouvelles, dont on ne cite ordinairement qu'une prétendue solution de la quadrature du cercle , a reproduit dans diverses éditions

' Heilbronner, Hisioria Matheseos , p. 523.

â. Hontucla, Histoire des mathématiques^ t. I^r, p. 673.

d'uD traité de Géométrie ^ , la théorie des polygones igridietiM} mais moins complètement que n'avait fait Bradwardin. On trouve dans son ouyrage le pentagone igrédientjï{\ï'\\ a appelé aussi êaillanty et dont il prouve que la somme des^cinq angles est égale à deux droits , rhezagone igridUnt, composé de deux triangles , l'eptagone égridieni , provenant du prolongement des côtés de Tcptagone ordinaire , et Teptagone plu^ igrédieni^ formé par le prolongement des c6tés de l'eptagone égrédient , et dans lequel l'auteur prouve que la somme des angles est égale à deux droits.

On a fait mention de cette théorie dans Textrait de la Géométrie de Bouvelles, inséré dans les Appendices de la Margarita philoêophica ^

Ces premières notions sur la théorie des polygones étoiles y ont passé inaperçues dans les nombreuses éditions de cet ouvrage , comme dans celles de la Géométrie de Bouvelles, dont on n'a parlé qu'au sujet et sous l'inspiration d'une fausse solution de l'inscription de l'eptagone régulier au cercle, et d'une prétendue quadrature du cercle, empruntée du cardinal Nicolas De Gusa.

On trouve dans les figures de la perspective de Daniel Barbaro', le pentagone, l'hexa* gone et les deux eplagones étoiles. Mais il ne parait pas que l'auteur ait eu Vintention de produire ces nouveaux polygones, il a voulu seulement montrer que les polygones réguliers ordinaires donnent lieu de deux manières à d'autres polygones qui leur sont semblables. La première est de prolonger leurs cAtés jusqu'à leur rencontre deux à deux (comme pour former le polygone de seconde espèce) ; les points de rencontre sont les sommets d'un second polygone semblable au proposé. La seconde manière est de tirer toutes les diagonales allant de chaque sommet au second ou au troisième sommet après lui ; elles forment par leurs intersections un autre polygone, semblable aussi au proposé. Mais dans ces deux modes de construction, on forme aussi un polygone étoile, qui se trouve être la partie la plus remarquable de la figure.

Rircher , que nous avons cité déjà ci-dessus au sujet du pentalpha et de Vhexalpha, a fait usage, dans un autre ouvrage^, de l'eptagone du second ordre (ou troisième espèce) pour rendre sensible l'explication comprise dans un passage remarquable de Dion Gassius, au sujet des sept jours de la semaine que les Égyptiens ont consacrés aux dieux dont les sept planètes portaient le nom. Ges planètes étaient, dans l'ordre de leurs distances à la terre , Saturne , Jupiter , Mars , le Soleil , Vénus , Mercure et la Lune. Kircher les suppose

I Géomeirim infroiuctioniê liM sês, Iretisculis annotaiiontbus êxplanati, quibus anneofuniur libelli dé eireuli quadrature, et de eubicatione êpkêrœ , et introduotio in perspectivam Caroli BovilU. Paris , 1A03, în-fol.

Cet oQTrage, moins Vinirodueiio in perspectivam, a été reproduit en français , sous le titre : Livre eingU" lier et utile, touchant l'art et pratique de Géométrie, composé nouvellement en françois , par maître Charles de Bouvelles , chanoine de iVoyon ^ Paris , 164d, in-4o. D^autres éditions ont paru en 1647, 1651, 1667 et 1608.

BouTelles a composé beaucoup d'autres onTrages, où il s'est montré philosophe, théologien, historien, orateur, poète et oanoniste.

^ Pages 1331 , 1233 et 1236 de l'édition de 1635. a Pentagonus uniformis dicitur, eujus latera non se 9iutuointsroidunt. Egredisns verà^ ovin ejus latera se invicem sécant Jlexagonus,.., n

s La pratioa délia perspetHva di monsignor Daniel Barbaro , Venise , 1589 , in-fol.

^ jirs magna lucis et umbra in dêcem libres digesta Rom», 1646 , in-fol , pages 217 et 637.

To«. XI. 61

rangées dans cet ordre sur une circonférence de cercle ; et en passant snccessivement de la première à la quatrième, de la quatrième à la septième, de celle-ci à la troisième , etc., il trace une figure qu'il appelle eptagone (c'est Teptagone de troisième espèce) , dont les sommets consécutifs désignent les sept jours de la semaine , dans leur ordre natureL Ainsi Saturne répond au samedi, le Soleil au dimanche, la Lune à lundi, Mars à mardi, Mer-* cure à mercredi , Jupiter à jeudi et Vénus à vendredi. La formation de cet eptagone , dit Kircher , est une belle propriété du nombre sept.

Les ouvrages dont nous avons parlé jusqu'ici , bien que leurs auteurs aient joui d'une certaine célébrité, ne sont plus guère connus depuis long-temps; parce qu'en effet ik ne se recommandaient point par ces productions du génie qui immortalisent les œuvres et leurs auteurs, où Ton aime à rechercher encore, après des siècles, les pensées des inventeurs et les traces de leurs efforts. Il n'y a donc rien d'étonnant que le polygone de Boèce, celui de Gampanus, et la théorie de Bradwardin, soient inconnus aujourd'hui. Mais nous avons à citer maintenant, dans l'histoire de cette théorie, un nom célèbre , on ouvrage mémorable, une de ces découvertes rares qui font la gloire des temps modernes , enfin des considérations analytiques qui, il y a deux siècles, auraient dû faire une impression profonde sur l'esprit des géomètres. Mais Kepler a devancé son siècle; car c'est de lui qu'il s'agit, et de l'ouvrage de V Harmonique du monde % et de la belle proposition sur le rapport de4 earrés' des temps des révolutions ausf cubes des distances au soleil, et de cette autre, d'un genre tout différent, jpu'ufi6 mime équation détermine les diverses espèces de polygones d'un même nombre de câtés. On observera sans doute aujourd'hui qu'aucune conception nouvelle ne s'était jamais présentée dans des circonstances en apparence plus favorables pour assurer rapidement à Tauteur une gloire durable. Gepen* dant la savante théorie de Kepler est tombée dans l'oubli, et, de son livre immortel, il n'est resté que l'énoncé de sa grande loi des mouvemens des corps célestes; encore a-t-elle été méconnue , et peut-être dédaignée , par ses contemporains , parmi lesqads on nomme à regret et Descartes et Galilée; encore a-t-il fallu que , près de 80 ans plus tard , Newton l'expliquât, la fit comprendre et lui donnât la vie^I La théorie des polygones , qui a guidé Kepler dans ses longues et pénibles spéculations, a été encore moins favorisée; la simple curiosité ne s'en est pas mêlée ; rien n'a pu la sauver d'un oubli complet : oobli qui nous rappelle cette triste réflexion que fait Bailly, précisément au sujet des lois, de Kepler : « C'est donc en vain qu'on découvre des vérités ; on parle à ses contemporains, ils n'écoutent pas ! » Non ce n'est pas en vain ; mais trop souvent les vérités nouvelles ne sont que pour l'avenir.

' Harmonices Mundilihri F. Lincii Anstrie ; 16l9,m-fo].

^ Kepler a prëTU en quelque sorte que les dëcouTertes qui lui «Taient coûté 17 ans de travail , ei de traTail continu , ne seraient comprises qu^après un long interralle de temps :

<i Le sort en est jeté, dit ce grand homme , aTec l'accent de l'enthousiasme, j'écris un lÏTre qui sera lo par w ceux de l'ftge présent on par la postérité, il n'importe : qu'il attende son lecteur pendant cent ans f Dieu ]t n'a-t-il pas attendu six mille ans le contemplateur de ses couTres? » (Jaeio in aleam, lUrumque êcriio, seu prœsentihug , sêu posiêris legendum; nihil interesi : especiat ille suum lectorem pêr annoê entium ; H Deus ipse p9r annorum sena mUlia contemplatorem prastolatus est, Harbohices Siiiisi , liber Y ; p. 179.)

L'oayrage do Kepler est en cinq livres. Le premier , qui a pour titre : De figurarum regularium y quœ proportioneê harmoniccLê pariunt , oriu, clcuêibus, ardine et differeniiù , cau/tà seientiœ et démons trationis , est consacré à la théorie générale des figures régulières , et comprend en particulier celle des polygones étoiles.

Dans le préambule , Kepler reproche à Ramus d'avoir critiqué le X*> livre d'Euclide, et d'avoir voulu le rejeter de la Géométrie. Il se propose de le compléter, en traitant des polygones réguliers qui ne sont pas inscriptibles dans le cercle géométriquement, et en montrant ce qui les distingue de ceux qu'on sait inscrire. Il promet d'écrire sur cette partie de la Géométrie en philosophe, et d'une manière plus claire, plus aisée et plus populaire qu'on n'a fait jusqu'alors.

Ce livre commence par de nombreuses définitions, indispensables pour comprendre l'ouvrage ; mais dont nous ne rapporterons ici que les defix ou trois sui?antes.

Les figures régulières sont celles qui ont leurs côtés égaux, et leurs angles égaux. ^

On les distingue en deux classes. Les unes sont primaires et radicales $ ce sont les polygones réguliers ordinaires; et les autres sont étoilées ; celles^i sont formées par les prolongemens des côtés d'une figure radicale K

Inscrire une figure dans le cercle, c'est déterminer par une construction géométrique (c'est-à-dire au moyen de la ligne droite et de la circonférence), le rapport de son côté au diamètre du cercle.

Ensuite Kepler rappelle plusieurs propositions du X* livre d'EncHde, dont il se servira. Et il commence à la proposition trente-cinq , à traiter des différons polygones réguliers. Il considère d'abord ceux qui sont inscriptibles dans le cercle géométriquement

On remarque , quant aux polygmies étoiles , le pentagone de seconde espèce , l'octogone et le décagone de troisième espèce, le dodécagone des troisième et cinquième espèces , les pentédécagones des deuxième, quatrième et septième espèces , et l'étoile de 24 côtés, des cinquième , septième et onzième espèces.

Passant aux polygones qui ne peuvent pas être construits géométriquement , il démontre que l'eptagone ordinaire et sea deux étoiles sont du nombre. Alors il a recours à l'analyse , pour lui reprocher bientôt de n'être pas plus habile , et de ne rien lui apprendre. Ce passage contient plusieurs aperçus analytiques qui auraient dû préserver l'ouvrage de l'oubli.

« On m'objectera , dit-il (page 34), l'art analytique, appelé algèbre par l'arabe Greber , y> et cessa par les Italiens : car les côtés des polygones de toute espèce paraissent pouvoir » être déterminés par cette méthode.

)i Par exemple, pour l'eptagone. Juste Byrge, qui dans ce genre a imaginé des choses )) très-ingénieuses et même incroyables, procède ainsi etc. »

Kepler cherche par des considérations géométriques l'expression du côté de l'eptagone régulier inscrit au cercle , en fonction du rayon ; et il parvient à cette équation:

7 — 1 4 {/ -+- 7 iiîj — 1 vj œquè valent figurœ nihili ;

' Kepler ne dit pat si cette idée de polygones étoiles est de loi , ou sUl Ta empruntée de quelque outrage antérieur.

ou , suivant nos symboles actuels ,

oikx est le rapport du côté de Teptagooe au rayon du cercle.

« La valeur de la racine d'une telle équation , dit-il , n'est pas unique; car il y en a deux » pour le pentagone, trois pour Teptagone , quatre pour le nonagone , et ainsi de suite. »

Il ajoute que (pour Teptagone) les trois racines sont les côtés de trois eptagones différens y qu'on peut concevoir inscrits dans le même cercle.

Voilà l'interprétation bien nette des trois racines de l'équation qui donne le côté de l'eptagone régulier inscrit au cercle. Voilà la notion analytique qui unit nécessairement la théorie des polygones étoiles à celle des polygones des Anciens.

Kepler exprime encore, plus loin, ce même principe en des termes remarquables , car en avouant les difficultés que fait naître la fécondité même de l'analyse, il reconnaît tout ce que cette méthode a de beau.

« Jusqu'ici, dit-il, le côté d'un polygone, et celui d'une étoile du même nom, avaient » eu chacun une description propre et sûre. Dans l'analyse algébrique , ce qu'il y a surtout » d'admirable (quoique ce soit là précisément ce qui embarrasse le géomètre), c'est que » la chose demandée ne peut pas être donnée d'une seule manière. Mais , encore bien que » ce ne soit pas démontré généralement, poursuivons ce que nous avons commencé » plus haut, qu'il y a autant de nombres qui satisfont à l'équation, qu'il se trouve, dans » la figure, de cordes ou de diagonales de longueurs di£férentes ; conune , dans le penta- » gone , deux; dans l'eptagone , trois ; dont un pour le côté, et les autres pour les diago- » nales. C'est pourquoi , enfin , tout ce qui est énoncé du rapport du côté de la figure » au diamètre, est commun aux rapports de toutes ses autres lignes au même diamètre.»

Kepler reproduit ces mêmes considérations dans la proposition suivante, où il démontre que la division d'un arc en trois, cinq, sept, etc. parties, n'est pas possible géométriquement. «Plusieurs lignes, dit-il, répondent à la question, et d'une propriété com- » mune à plusieurs choses on ne peut rien conclure de spécial et de particulier à l'une » d'elles. ' »

Le second livre, intitulé : De figurarum regularium congruentià , traite encore des polygones réguliers, puis des polyèdres. Kepler passe en revue les différentes manières d'assembler des polygones, soit de même espèce, soit d'espèces différentes, pour remplir exactement une surface plane , et pour former des polyèdres réguliers.

1 Aa miliea de cet considérations mathématiques si justes et si profondes , on trouTC «jaelques rëfleziont <iui annoncent l'usage bixarre et chimérique que Teut faire de ses saTantes spéculations sur les polygones le génie de Kepler, dominé par les idées pythagoriciennes et platoniciennes sur les propriétés cosmographiques des nombres : tel est ce passage qui termine la proposition 46* : a U est donc prouTé que les » côtés de ces figures doiTent rester inconnus, et sont de leur nature introuTables. Et il n'y a ri§n d^étow n nant en ceci, que ce qui ne peut se rencontrer dans l' Archétype du monde, ne puisse être emprimi dans la SI conformation de ses parties, »

Ce sont de pareilles idées qui ont conduit Kepler à Tune des plus grandes découyertes qu'on ait jamais faites !

Le livre III, Dé or tu proporiionum harmonicarum , deque naturd et differentih rerum ad eantum pertinentium , qui ne traite que de Tharmonie musicale y est étranger à la Géométrie et a Tastronomie.

Dans le livre lY , qui a pour titre : De configuratianihu» harmonici^ radiorum êideralfum in Terra, earumque effectu in ciendie Meteorie, aliteque Naturalibus , Kepler fait usage des polygones étoiles et de la valeur de leurs angles, auxquels il compare les configurations, ou distances angulaires des planètes : ces angles correspondent à des circonstances et à des phénomènes sublunaires qui diffèrent suivant qu'ils appartiennent à tels ou tels polygones. Les configurations efficaces , celles qui sont propres à stimuler la nature sublunaire et les qualités intérieures de Tâme, sont exprimées par les angles des polygones inscriptibles géométriquement. On y trouve le carré, le triangle, le pentagone de seconde espèce, Teptagone de troisième espèce, le décagone de troisième eapèce , et le dodécagone de cinquième espèce.

Le y* livre a pour titre : De harmoniâ perfectissimà motuum cœlestium , ortuque ex iisdem Exeentricitatum , semidiametrorumque et Temporum periodicorum, Kepler y G|>mpare les cinq corps réguliers aux rapports harmoniques; et cherche à y découvrir des analogies avec les mouvemens des planètes. C'est dans ce Y* livre, comme l'indique le titre, que se trouve sa magnifique loi du rapport constant des carrés des temps des révolutions des planètes aux cubes de leurs distances au soleil ^

On voit par l'analyse que nous venons de donner de l'ouvrage de Kepler, que la doctrine des polygones étoiles y joue un rôle important et nouveau sous le rapport analytique. Cependant nous ne saurions en trouver depuis aucune trace , quoiqu'elle eût dû se présenter dans la théorie des sections angulaires qui a occupé souvent les géomètres. Wallis particulièrement , qui , un demi-siècle seulement après Kepler, a écrit l'histoire de l'algèbre, et un traité des sections angulaires, n'aurait pas dû la passer sous silence. Ce géomètre a bien vu que la seconde racine de l'équation du second degré par laquelle

> On rerient toujours atec une tentibilité mêlée de Tënéraiion sur le« termes mèmet dont Kepler se sert pour aanoDcer se grande dëcouTerte ; ils expriment tout son bonheur , et toute l'importance qu'il a mise à pénétrer ce secret si caché :

a Après aToir trouTé les Traies dimensions des orbites par les observations de Brahé et par l'effort continu 9 d^nn long trayail, enfin, dit-il, enfin ^ j'ai déoouTert la proportion des temps périodiques à l'étendue de » ces orbites ;

Sera quidem respexit inertem , Méspexit tamen, «t longo post tempore vêntt /

» Et si TOUS Toulei en savoir la date précise, c'est le 8 de mars de cette année 1018, que d'abord conçue dans > mon es|irit , puis essayée maladroitement par des calculs , partant rejetée comme fausse , puis reproduite le » 15 de mai ayeo une nouTelie énergie , elle a surmonté les tendres de mon intelligence : mais si plei- I» nement confirmée par mon traTail de 17 ans sur les observations de Brahé , et par mes propres médita- » lions parfaitement concordantes, que Je croyais d'abord rêver et laire quelque pétition de principe : n mais plus de doutes j c'est une proposition très-certaine et très-exacte, que le rapport entré Uê tempe y périodiqmes de devMpkuUtêe eet prècUémeni eeequi'» altère du rapport des moyennee dietancee, » ( Litre V^ pag. 18».)

on détermine le côté du pentagone régulier inscrit au cercle, en donnait la diagonale > ; mais cette interprétation géométrique de la racine étrangère ne suffisait pas ; il fallait la rapprocher de Ténoncé même de la question , pour y voir non pas seulement une diagonale y mais le côié d'un second pentagone. Cette idée qui nous parait si simple aujourd'hui^ et qui complète la solution analytique de la question, a échappé aux BernouUi, à Euler, à Lagrange , et n'est venue que de nos jours à Tesprit d'un géomètre.

La doctrine des polygones égrédiens de Bradwardin , a été vivement combattue par un auteur du XYIP siècle , Jean Broscius, dans un ouvrage intitulé : jipologia pro Aris^ totele et Euclide contra P. Ramum et alto*. Dantisci, 1652, in-4^ Elle n'avait rien à redouter d'aucune attaque , qui n'aurait dû, servir même qu'à la propager , et à en répandre la connaissance. Cependant, par un hasard singulier, cet outrage de Broscius est peut-être le dernier qui ait traité de ces polygones , qui depuis sont tombés entièrement dans l'oubli , et qui n'ont même réveillé aucun souvenir, au commencement de ce siècle , quand H. Poinsot les a créés et remis sur la scène.

Voici ce que contient l'ouvrage de Broscius, sur ces polygones.

D'abord il reprend fortement Ramus pour s'être servi du pentagone étoile , comme exemple d'une figure , autre que le triangle, où la somme des angles était égale à deux droite. « Ce qui prouve , dit-il , l'ignorance de Ramus en Géométrie. Car cette figure est un dé- » cagone qui a cinq angles rentrans et cinq angles saillans , et la somme de ces angles est » égale à seize droits. »

Broscius cite l'ouvrage de Bradwardin , et prouve qu'on peut former une infinité de figures dites à angles égrédiens, de 7,9, 11, etc., côtés, dans lesquelles, comme dans celle de Ramus , la somme des angles soit égale à deux droits. Bradwardin n'avait fait que soupçonner cette belle proposition , sans la démontrer ; et Charles de Bonvelles ne l'avait appliquée qu'à i'eptagone égrédient de troisième espèce. Broscius va plus loin ; il considère les figures de différentes espèces pour un même nombre de côtés , et donne la somme de leurs angles.

Il trouve qu'il y a trois espèces d'eptagones, y compris I'eptagone ordinaire, dans lesquels la somme des angles est 10 , 6 et 2 droits ;

Trois espèces d'octogones, dans lesquels la somme des angles est 12, 8, 4 droits;

Six espèces de figures à 14 angles égrédiens (y compris le polygone ordinaire de 14 côtés), dans lesquelles la somme des angles est égale à 24, 20, 16, 12, 8 et 4 droits-.

Sept espèces de figures à quinze angles égrédiens, dans lesquelles la somme des angles est égale à 26, 22, 18^ 14, 10, 6 et 2 droits.

Ces résultats s'accordent avec la loi trouvée par M. Poinsot , d'après laquelle la somme

1 Cette remarque avait déjà été faite probablement, oa tiède et demi auparavant, par StifeU; car on trouve dant «on algèbre le* expreisiont du côté et de la diagonale du pentagone régulier en fonction du rayon du cercle circonscrit (voir son Arithmetica intégra, fol 178 t« ), et en supposant quHl n'ait point obtenu ces eipressions par la résolution de Téquation du second degré, leur forme a dû lui montrer que -les carrés faits sur ces lignes sont les racines d^une semblable équation; car ce géomètre, très-babile algébriste pour son temps , était fort exercé dans la résolution des équations du second degré.

des angles de chaque polygone est S=2(ffi — 2 A), m étant le nombre de côtés du polygone, et h celui qui marque Yêêpiee , ou Vordre de cette figure.

Le point de vue «ous lequel Broscius considère ces nouvelles figures , en les regardant comme des polygones à angles êaillariM et rentrant alternati?ement , et dont les côtés ne se coupent pas, le conduit à un mode de construction nouYcau de ces figures, et à une propriété curieuse d'isopérimétrie.

Prenons pour exemple un eptagone régulier ordinaire, et marquons les points milieux de ses sept côtés. Qu'autour de la droite qui joindra deux points milieux consécutifs, on fasse tourner le petit triangle que cette droite retranche de Teptagone, et que ce triangle s'applique entièrement sur la surface de la figure. Qu'on fasse tourner semblablement autour de chacune des six autres droites joignant deux points milieux consécutifs , le petit triangle qu'elle retranchait de l'eptagone; tous ces petits triangles formeront , dans leurs nourelles positions, un nouTcau polygone de qnatone côtés , à angles saillans et rentrans alternatiteinent.

Ce nouTeau polygone de quatorze côtés a évidemment le même périmètre que l'eptagone proposé.

Maintenant, qu'autour de chaque droite qui joint deux sommets d'angles rentrans consécutifs, on fasse tourner le petit triaâgle que cette droite retranche du polygone, on formera de celte manière un troisième polygone de quatorze côtés , ayant encore ses angles alternativement sailtans et rentrans ; et ce nouyeau polygone aura évidemment son périmètre égal à celui du second, et par conséquent à celui du premier.

Les surfaces de ces trois polygones sont extrêmement difiérentes entre elles ; puisque le second est placé dans l'intérieur du premier, et le troisième dans l'intérieur du second.'

Maintenant, on reconnaît aisément que le second polygone n'est autre que l'eptagone de seconde espèce dans lequel les portions de ses côtés comprises dans son intérieur auraient été effacées; et que pareillement le troisième polygone n'est autre que l'eptagone de troisième espèce , dont les parties de ses côtés comprises dans son intérieur auraient aussi été effacées.

Voici donc une nouvelle manière de former les polygones égrédiens , en les faisant dériver les uns des autres. Cette méthode méritait d'être remarquée, surtout à cause de cette circonstance singulière, que tous les polygones déduits ainsi d'un premier, quel qu41 soit , ont toujours le même périmètre.

Nous ne trouvons pas d'autre ouvrage où l'on ait parlé des polygones égrédiens , jusqu'au commencement de ce siècle où cette théorie a reparu toute nouvelle, sans que son célèbre auteur et les géomètres qui l'ont admirée , se soient doutés du rôle qu'elle avait déjà joué pendant quatre siècles.

Géométrie des Arabes.

Depuis le VHP siècle jusqu'au XIIP , l'Europe demeura plongée dans une ignorance profonde. L'amour et la culture des sciences furent concentrés pendant ce long intervalle

chez un seul peuple , les Arabes de Bagdad et de Gordoue. C'est à eux que nous aTons dû la connaissance des ouyrages grecs qu'ils avaient traduits pour 'leur usage, et qu'ils nous ont transmis , long-temps avant qu'ils nous parvinssent dans leur langue originale. Jusqu'à ces derniers temps, on a pensé que c'était là la seule obligation que nous eussions aux Arabes ; et l'on a négligé de rechercher et d'étudier leurs propres ouvrages , pensant que l'on n'y devait trouver rien d'original , ni d'étranger aux doctrines et à l'érudition grecques. C'est une erreur sur laquelle on revient aujourd'hui, surtout depuis qu'on connaît les ouvrages hindous, et que l'on sait que les Arabes y ont puisé les principes du calcul algébrique qui les distingue essentiellement des ouvrages grecs. Hais il y a trop peu de temps que celte erreur est détruite, et les ouvrages arabes nous sont encore inconnus. Un assez grand nombre existent depuis plusieurs siècles en Eu* rope, la plupart dans leur langue originale et quelques-uns en latin, ayant été traduits dans les XIP et XIIP siècles. Faisons des vœux pour que leur importance soit appréciée et pour qu'ils ne tardent pas à sortir des bibliothèques où ils sont restés enfouis : alors seulement on pourra songer à une véritable histoire scientifique des Arabes. Pour le mo* ment il n'est possible de réunir que quelques faits principaux et quelques données éparses , qui ne permettraient pas de juger avec confiance de la part que cette grande et illustre nation a prise dans l'œuvre de la propagation et du perfectionnement des sciences mathématiques, et où n'apparaîtrait pas dans un jour suffisant le caractère que ces sciences ont reçu du mélange des élémens grec et hindou qui les ont constituées. Mais ce caractère se montre dans les ouvrages des Européens au XY* siècle, ouvrages imités de ceux des Arabes , et c'est là pour le moment où nous pourrons Tétudier et le reconnattre avec évidence.

Le goût et l'ardeur des Arabes pour les sciences se développèrent rapidement au VIII* siècle, où commença le règne des Abbassides. Ces princes , nobles imitateurs des Ptolémées d'Egypte , firent de Bagdad le centre de tous les talens du monde '. Ils recueillirent avec activité toutes les lumières qu'ils purent trouver chez les nations que les successeurs du prophète et les Ommiades avaient subjuguées. Les Arabes s'approprièrent ainsi des sciences toutes faites 2, dont ils devinrent les seuls dépositaires, quand, par suite d'une fatalité attachée à l'espèce humaine , elles déclinaient et se perdaient chez les peuples qui les avaient créées et perfectionnées pendant des siècles. Les Grecs surtout et les Hindous^ furent tributaires dans ce contingent scientifique. Telle est l'origine des sciences, de la Géométrie particulièrement, chez les Arabes.

Les élémens d'Euclide paraissent être le premier ouvrage qu'ils traduisirent, sous le

1 tïbn , Histoire des sciences mathématiques en Italie, tom. l^^ pag. 117.

3 a On ne peut point douter que Ie»|Arabe8 n'aient eu depuis la fondation du Khalifat et rëtablistement de leur empire, une grande estime pour lei art« et pour les sciences , puisqu'ils ont traduit en leur langue tous lee meilleurs Ityres grecs , hëbreui, ohaldëens et indiens, u ( D'Herbelot , Bibl. orientale, au mot ££m [seiênce] ).

' On lit dans la Bibl, orientale de D^fferbelot, au mot ketab (qui signifie Traité) , les titres d'un grand nombre d^ouTTages que les Arabes avaient traduits ou imites des ouvrages indiens , sur toutes les parties des teiencee mathématiques et philosophiques.

régne^d'Almansory dans le Vni* siècle. BientAt après on dut aux encouragemens éclairés du calife Al Mamoun (qui commença à régner à Bagdad en Tan 814) la connaissance des ouvrages d'Archimède , d'Apollonius ^ d'Hypsicle, de Ménélaus, de Tbéodose et TAlmageste de Ptolémée.

Dés lors les progrès des Arabes dans les sciences furent rapides ; et le IX" siècle compta des géomètres habiles et d'un saToir très-étendu.

Trob frères , Mohammed , Hamet et Hasen y fils de Musa ben Schaker, furent célèbres, par les traductions qu'ils donnèrent de diyers ouvrages grecs et hindous , et par leurs propres écrits sur toutes les parties des sciences mathématiques , dont plusieurs nous sont parvenus. Des tables astronomiques que Mohammed ben Musa avait dressées clanê le système indien ^ furent long-temps célèbres dans TOrient, Mais un ouvrage beaucoup plus précieux et plus important à nos yeux , est son Traité d'Algèbre , le plus ancien qui fût connu jusqu'à ces derniers temps, où ceux des Hindous nous sont parvenus. C'est dans cet ouvrage que nous avons puisé nos premières connaissances algébriques , d'à* bord par l'entremise de Léonard de Pise qui avait été s'instruire en Arabie , et ensuite en l'ayant nous-mêmes à notre disposition, et en le traduisant au XIIP siècle. De là, on a regardé Mohammed ben Musa comme l'inventeur de l'Algèbre i, et son nom est resté y à juste titre, en grande réputation chez les géomètres européens. Cependant son

1 Cardan dit, aa commencement de «on Àra magna : ffœo ars oiim à MahomeU , Mêsis Arabie fUio , initium sumpsii. Eienim hujus rêi locuples ieêtis Lêonardus Pisanus.

U répète la même cboae dans ion traité De suhtiliiaie (Ht. XVI) , où il place Hobammed ben Husa aprds Archytat , et le neuvième parmi lei douze plut grandi génies de la terre. Jluic Màhomêtua Moisis filius ArahSf Algehraticœ ut ita dicam artis inventor, succsdiU Ob id inventum ah arHs noniins cognomen adepius esi.

Tartalea attribue aussi à Mobammed ben Husa , PinTCntion de l'algèbre , qu'il appelle dans le titre de la YI« partie du Traité général des nombres et des mesures : Antica pratiea speculativa de larte magna, detta in Araho Mgehra et Almucabala , over regola délia cosa, trovaia da Maumeih^ figlio de Moise arabe, la quale se puo dire la perfetta arte del ealculare , eto.

On ayait attribué d'abord PinTention de l'algèbre à Geber , autre géomètre arabe* Ainsi, Stifcis , célèbre algébriatre allemand, contemporain de Cardan , écrit au professeur fflilichius : Tuo guoque consilio usus , Algebram Ç^ quam persuasisti bonis rationibus à Gebro astronome, autore ejus, ita esse nuncupatam) muliis esemplis Ulustraiam scripsi {Arithmeiiea intégra, pag. 226 ▼»); et appelle souTent l'algèbre Régula Gebri. Cette opinion était encore partagée au XVII» siècle (voir Kepler, Harmoniees Mundi lib. I, prop. 45) ; mais comme elle n'avait pas d'autre fondement que la ressemblance des mots, elle n'a pu se soutenir, surtout quand on a connu la vraie étymologie du mot Algèbre , qui provient de la double dénomination Algebr V Almocabelah, dont se serrent toujours les Arabes, et qui signifie opposition et comparaison. Cette dénomination, que nous avons remplacée par le seul mot Algèbre j se rapporte asseï bien aux équations dont le mécanisme est le fondemenl de toute la science.

D'autres écrivains , à la tète desquels on trouve Regiomontanos et Scbeubel , avaient regardé Diopbante comme le premier inventeur de l'algèbre, et cette opinion a prévalu généralement; parce qu'en effet, Diopbante avait une grande antériorité sur les Arabes, lais aujourd'hui la question de priorité est entre lea Grecs et les Hindous. Brabmegupta est postérieur de deux siècles à Diopbante, mais la perfection de son ouvrage annonce certainement que l'algèbre avait déjà une existence très-ancienne dans l'Inde.

Car, ainsi que le dit Peletier dans son Algèbre, c'est là une de ces choses qui, loin de devoir leur invention à un seul auteur, n^ont pris règle, forme et ordre gu'après un long temps de drcuitions , dHntermissione et de continuelles esercitations d'esprit,

ToM. XI. 62

ouvragé y auquel ^ ne fût-ce que par reconnaissance, étaient si légitimement dus les bon* neurs de l'impression , est resté manuscrit , et depuis trois siècles dans l'oubli , quand pour la première fois, en 1831, M. Rosen Fa publié en arabe et en anglais. M. Libri tient aussi de reproduire , dans le P' yolume de son Hùtoire des sciences en Italie , l'une des traductions latines que Ton conservait à la bibliothèque royale. Celle-ci n'est pas aussi complète que le manuscrit dont s'est servi M. Rosen. La partie géométrique, entre autres , ne s'y trouve pas.

On sait que Mohammed ben Musa avait tiré des Indiens une partie de ses connaissances mathématiques ^ Nous devons penser que c'est d'eux qu'il reçut l'algèbre. Son ouvrage présente des points de ressemblance certains avec les leurs , et nullement avec celui do Diophante. Mohammed y fait usage, comme les Indiens, de considérations géométriques, pour mettre dans tout son jour la certitude des opérations de l'algèbre; on distingue surtout la manière dont il démontre , par cette méthode , les règles pour la résolution de l'équation du second degré dont il considère trois cas \ L'ouvrage cou-

* Cabtki , BiUiotheca Araiicû'IIispana , pag. 427-428. — Golueooki, Brahmêgupia and Bhoseara Àlgêhra / Dissertation, pag. lxxu. — F. Roses, Aigehra of Mohammed ben Musa, Préface , pag. fin.

3 Ces trois cas dont l'auteur ne donne que des exemples numériques, sont exprimés par le* trois équations littérales :

as^ -4- ^4? — 0 = 0, ax^ — bs — c =s o,

aj?2 — ^47 -H C := 0.

Le quatrième cas que peut présenter Péquation générale du second degré est

as^ -♦- ô* -h c = 0 ,

où tous les termes sont positifs. Hohammed n'en parle pas , parce que les racines , dans ce cas , sont toujours négatives.

Dans les autres équations il ne prend que les racines positives, ti laisse de c6té , comme insignifiantes, les racines négatives.

Dans la troisième , ax^ -^ bs -^ 0 = 0, où les deux racines

sont positÎTes (supposé qu'elles sont réelles], Mohammed dit qu'on les calcule l'une et l'antre, mais que dans chaque cas il faut s'assurer qu'elles répondent à la question. On essaie d'abord la première , qui pro* Tient du signe />/««; et si elle ne convient pas, la seconde, qui provient du signe moins, conviendra certainement. ( When you meet wHh an instance which refers you to ihis case , iry its solution by addition, and ifthat do not serve, then subtraction certainly will. Page 11.)

Les Indiens admettaient aussi les deux racines, dans les cas où elles convenaient toutes deux {BijorGanita, § 130, 130), et en rejetaient une, comme absurde, dans d'autres cas {ibid,^ § 140, 141). Par exemple dans cette question : L'ombre d*un gnomon qui a douze doigts de hauteur, étant diminuée du fiers de l'hypoténuse, devient 14 doigts, quelle est l'ombre? On est conduit pour déterminer l'ombre, à une équation du second degré dont les deux racines sont positives et égales à ^ et à 9. La première convient parce qu'étant plus grande que 14, elle peut, étant diminuée du tiers de l'hypoténuse, devenir égale à 14; mais la seconde étant plus petite que 14 , elle doit être rejetée , dit Bhascara , à cause de son absurdité fby reason of its incongruity),

Lucas de Burgo suit en tout point Mohammed ben Musa ; il considère trois cas aussi ; il donne la solution de chacun dans un strophe de quatre vers latins ; puis il la justifie par des considérations géomé-

fient aussi y comme ceux des Indiens^ une partie géométrique sur la mesure des surfaces.

On y remarque les trois expressions ■—, 1^10 et |^ du rapport approché de la circonférence au diamètre, qui, comme nous Tavons dit, ont été connues des Indiens î; et les trois nombres 13, 14 et 15 pris pour les côtés d'un triangle que nous avons trou- Tés aussi dans les ouvrages de Brahmegupta et de Bhascara.

L'ouvrage de Mohammed est beaucoup moins étendu que ceux-ci; il ne traite pas comme eux des équations indéterminéeê du second ni du premier degré. Nous en trou- Yons la raison dans la préface de l'auteur qui nous apprend qu'il a composé ce traité succinct , à la demande du calife Al Mamoun , pour faciliter une foule d'opérations qui se présentent dans le commerce des hommes et dans les besoins de la vie.

Ce passage suffirait pour nous prouver que les Arabes possédaient alors des ouvrages plus étendus et d'un ordre plus élevé, si nous ne savions pas qu'en effet ils connaissaient les savans ouvrages des Indiens, et qu'eux-mêmes ont écrit sur la résolution des équations du troisième degré , comme nous le dirons plus loin.

Quoi qu'il en soit, c'est un fait bien remarquable et digne de la méditation des savans de l'Europe, qu'un traité d'algèbre, regardé comme élémentaire au IX^ siècle chez les Arabes, et en quelque sorte comme manuel pratiquée l'usage du peuple, a été 700 ans après l'jdrê magna des Européens , et la base et l'origine de leurs grandes découvertes dans les sciences \

triques. Qaant au cas où les deux racines sont positives, il reconnaît qu'elles peuvent convenir Tune et Pautre dans certaines questions , mais que dans d^autres Tune seulement satisfait. ( Siche luno e laltro modo êatisfa el ihema. Ma a le volte se hane la verita a luno modo. A le volte a laltro. El perche se cavando la radiée del ditio rémanente de la mita de le ooee non satisfacesse al thema, £ tu la ditia R ( radice ) agiongi a la mita de le cose^ e haverai el quesito : et mai fallara che a une de H doi modi non eia eatisfatto el qtiesitOj cioe giongnendola , overo cavandola del dimeccamento de le cose, etc. (Summa de Aritkmetica, etc. Distinotio8, tracta tus 6, art. 12.) *

Ces rapports manifestes , qui ont lieu entre Ponvrage de Mohammed ben Hnsa et ceux des Indiens , d^une part , et celui de Lucas de Burgo, de Fautre , montrent bien l'origine de Talgèbre des Européens , et Fin* flnence directe que les ouvrages arabes ont eue sur les progrès et le caractère des sciences mathématiques à la renaissance. Tel a été Pobjet de cette note.

fi2832 3027

I II paraît que le rapport ■ = — -r = 8,14160 est dû aux Indiens , et quUls l'avaient trouvé en calculant le côté du polygone régulier de 768 côtés. GV Indiani, eome apparisce da un lihro deiBramini^ intitolato Ajin-Akbari, avean trovato con ingegnosissimo metodo Geometrico, mediante Vinscrizione di un poligono regolare di 768 lati, che la circonferenza del circolo sta al diamètre corne 3927 a 1250. ( Saggio sulla storia délie matematiche, opéra del sig, P. Frauchimi, Lucca, 1821 , in-8o.) Th. Simpson est parvenu de luimême au rapport 3,1416, par Tinscription du polygone de 768 côtés \ il a obtenu même le rapport plus approché . (r. ses Élim* de Gèom.) Sa méthode est très-simple ; je ne sais pourquoi on n'en parle jamais.

^ Jusqu'ici nous n'avions connu des Arabes que le traité d'algèbre de Mohammed ben fflusa. C'est le seul du moins dont les géomètres du XYI» siècle, Lucas de Burgo, Cardan, Peletier, Tartalea, Stevin, etc., aient parlé. Mais beaucoup d'autres auteurs arabél ont écrit sur l'algèbre ; on trouve les noms de plusieurs d'entre eux et les titres de leurs ouvrages dans la Bibliothèque orientale de D'Herbelot , au mot Gehr ; et an mot Ketab (pag. 966 , 2»« colonne ) 967 , !'• coL ; 981 , !'« col. ; édit. in-fol. de 1697).

II existe un ouvrage, traduit de l'arabe en anglais, à Calcutta, en 1812^ qui traite de l'Arithmétique, de la Géométrie et de l'Algèbre, et dont je m'étonne que l'on ne parle pas depuis quelques années qu'on

Mohammed ayait écrit sur les triangles plans et sphériques un traité qu'on dit exister encore sous le titre : De figuris planiê et êphœricu.

On possède aussi un ouvrage de Géométrie qu'il a composé probablement en commun avec ses deux frères , Hamet et Hasen, car il a pour titre JTerba filiorum Moysi, filii Schaker, Mahumeti, Hameti, Hasen. Dans cet ouvrage se trouve démontrée la formule de Taire du triangle en fonction des trois côtés ; et Tapplication en est faite au triangle qui a pour ses côtés les trois nombres 13 , 14 et 15, comme chez les Indiens. La démonstration est celle que Fibonacci et Jordan Nemorarius ont donnée au XIIP siècle et que Lucas de Burgo et Tarlalea nous ont fait connaître. Elle parait appartenir aux Arabes , car elle est différente de celle de Héron d'Alexandrie.

Les trois fils de Musa ben Schaker ont écrit beaucoup d'autres ouvrages dont on trouve l'indication dans la Btbliotheca Arahico-Hupana de Casiri (tom. P', pag. 418).

Alkindus, l'un de leurs plus célèbres contemporains, que Cardan met comme Mohammed ben Musa au nombre des douze plus puissans génies du monde ^ , a aussi écrit sur toutes les parties des mathématiques. Cardan cite ayec éloge son traité De régula sew qttanti" tatum \ Nous avons dit dans la Note YI quel était l'objet de cette règle des six quantités , qui s'effectuait par le calcul ou par une construction géométrique déduite du théorème do Ptolémée.

Alkindus avait écrit sur l'arithmétique des Indiens (/)« Arithmetieà indieà)^ et sur l'algèbre (Z^6 quantitate relative, seu Algehrâ), Nous ne citerons pas ses autres ouvrages, qui sont extrêmement nombreux. Une partie doit se trouver encore dans les bibliothèques d'Espagne. Plusieurs, sans doute, offriraient de l'intérêt s.

•^occupe d'ëtndier lliîstoire des «oieneet obei les Indiens et les Arabes. Iloas troayons le titre suiTUit de cet ouvrage que nous ne connaissons pas encore, dans le catalogue de la bibl. de M. Langlès, art, 669, The khoolasui-ool''hisab, a compendium of arithmetio and geotnetry; in ihe arabtc language, by Buhae» oodd-^een, of Amool in Syria^ wiih a translation intopersian and commentary, by ihe lat9 Muoluvfêe Buoshun Ulee of Juonpoor: to wkich is addod a treatiso on alyebra, by Nvjm^od-den Ulee khan,head Qatoo, to tho Sudr Deoioaneê and Nizamut Vdalui. Revised and editêd by Tarinee Churun Mitr, Mttoluwee Jan Ulee and Ghoolam Ukbur» Calcutta, Pereira, 1812, grand in^».

M. Libri vient de mettre au jour un ouvrage d'algèbre traduit de Poriginal arabe en latin , et resté manuscrit à la bibliotbèque royale , sous le titre : Liber augmenti et diminutionis vocatus numeratio divinationis, es eo quod sapientes Indi posueruntj quem Abraham compilavit, et secundum librum qui Indorum dictus est, oomposuit.

Cet ouvrage est précieux sons plusieurs rapports. D'abord il est essentiellement différent de celui de Mobammed ben lusa ; car il roule uniquement sur les règles de fausse position simple et double. Et ensuite il nous apprend que ces règles viennent des Indiens. On les avait attribuées jusqu'ici aux Arabes , sur l'autorité de Lucas de Burgo, qui les a appelées règles d^Uelcataym, u e vocabulo jérabo, » {Sumtfia de Ariih., 0/c., Distinctio septima, tractatus primus.)

Hais dans d'antres ouvrages du même temps , on les appelle Régula falsi , seu augmenti et deeremenii , comme le compilateur Abrabam (voir Algorithmus de integris, minutiiê vulgaribus ^ ao proportionibus, cum annesis de tri, falsi , aliisgue regulis. Liptick , 1607 , in-4o. )

« De subtUitaU libH XXI ^ lib. XVI.

3 Ibid,, lib. XVI. ^ Practica arithmetioe y cap. 46. — Opus novum de proportionibus numerorum , etc. Propositio quinta.

^ Tel siSrait son traité . d'aritbmétique indienne. Car U est asseï singulier que , depuis si long-temps qn'on

Tbébit bcn Corah, disciple de Hobammed ben Husa, fut aussi un géomètre célèbre qui embrassa les mathématiques dans toute leur étendue. Parmi les nombreux ouvrages qu'il a laissés ^ et dont on trouye le catalogue dans Gasiri , il en est un dont le titre De problematibtu algebrioU geometrieà ratione comprohandis , aurait dû piquer vivement la curiosité des géomètres; car il annonce que Tbébit avait appliqué l'algèbre à la Gréométrie. C'est sans doute le titre de cet ouvrage qui a fait dire à Hontucla que : <c Tbébit a écrit sur la certitude des démonstrations du calcul algébrique ^ ce qui pour- » rait donner lieu de penser que les Arabes eurent aussi Tidée beureuse d'appliquer » Falgèbre à la Géométrie. » Cette conjecture est devenue pour nous un fait certain , constaté déjà par Falgèbre de Hobammed ben Musa ^ et dont on trouve une preuve plus convaincante encore dans un autre ouvrage dont on doit la connaissance récente à M. L.-Am. Sédillot,

Cet ouvrage est un fragment d'algèbre (trouvé dans le manuscrit arabe n^" 1104 de la bibL royale ), où les équations du troisième degré sont résolues géométriquement

M. Sédillot nous apprend qu'avant de passer à la solution de ces équations, l'auteur donne celle du problème des deux moyennes proportionnelles , qu'il résout par deux paraboles ^ et dont il se sert pour la solution de certaines équations. Le géomètre arabe se serait-il aperçu que toutes les équations du troisième degré peuvent se résoudre par les deux moyennes proportionnelles, et la trisection de l'angle; ce qui est, comme on sait, une des découvertes qui ont fait honneur à Viète. Il construit les racines des équations de la forme afi — ax — b^=:o, par un cercle et une parabole. Mais nous pensons qu'il ne s'agit encore que d'équations numériques , les seules qu'on trouve dans les ouvrages arabes et chez les Modernes jusqu'à Viète , à qui est dû le pas immense qu'il fallait franchir pour arriver à l'idée et à la considération d'équations littérales.

Toutefois , malgré cette restriction dans les spéculations algébriques des Arabes , nous pouvons dire que non-seulement ils ont possédé Falgèbre, mais qu'ils ont connu aussi Fart d'exprimer graphiquement les formules, et d'en présenter aux yeux la signification; art si beau et si précieux que Kepler regrettait de ne pas savoir ^, et qui a été l'une des grandes conceptions de Viète.

On avait toujours pensé que les Arabes n'avaient pas été au delà des équations du second degré. On fondait cette opinion sur ce que Fibonacci et Lucas de Burgo s'étaient

agite la question de l^origine de notre tystème de numération , et <{u'on ne peut 8'accorder sur la signification du passage de Boèce et de la lettre de Gerbert qui s'y rapportent , on n'ait pas , au lieu de raisonner sur la forme des chiffres, qui nécessairement a dû varier, comparé ces deux pièces aTOO les traités d'arithmétique quelea Arabes nous ont laissés, et dont aucun, je orois, n'a été ni traduit, ni publié dans le texte original.

1 Kepler , ne pouTant traduire graphiquement la propriété que représente l'équation du second degré qui donne le rapport du côté du pentagone régulier au rayon du cercle circonscrit , s'exprime ainsi : Quamodo affeetionem reprœaentalo ? gvo aciu gêomeirico? NuUa alio id dooeor faoere , quàm usurpando proportionem ^ quam qumro: princifdum peiitur. Miser calculator^ desHtatus omnibus geometriœ prœsidiis, hœrens inter spinêta fiumentrum , frustra cossam suum respectai. Uoo uuum est disorimen inter cossicas et inter geome^ trieas deierminationes, ( Haikohigis hdbvi liber I; pag. 87.)

arrêtés à ce point de la science i. Montucla , le premier, Ta mise en doute , et a pensé que les Arabes pouvaient bien a?oir traité des équations du troisième degré ; il se fondait sur le titre Algehra cubica, seu de probUmatutn soUdorum resolutione, d'un manuscrit apporté de l'Orient par le célèbre Golius , et qui se trouve dans la bibl. de Leyde \ Le fragment d'algèbre trouvé par M. Sédillot confirme la conjecture de Montuda, et en fait un des points les plus importans de Tbistoire scientifique des Arabes.

Mais nous devons dire que rien ne nous autorise encore à penser qu'ils aient connu la résolution algébrique des équations du troisième degré, c'est-à-dire l'expression des racines de ces équations. Le titre du manuscrit de la bibl. de Leyde semble, au contraire^ indiquer qu'il y est question de leur construction géométrique par les lieux solides ( les sections coniques) , comme dans celui de la bibl. royale de Paris.

La trigonométrie est une des parties des mathématiques que les Arabes cultivèrent avec le plus de soin, à cause de ses applications à l'astronomie. Aussi leur dut* elle de nombreux perfectionnemens qui lui donnèrent une forme nouvelle , et la rendirent propre à des applications que les Grecs n'auraient pu faire que très-péniblement.

Les premiers progrès de la trigonométrie datent d'Albategnius, prince de Syrie 3, qui florissait yers l'an 880 et qui mourut en 928. C'est ce grand astronome , surnommé le Ptolémée des Arabes, qui eut l'heureuse et féconde idée de substituer aux cordfis des arcs, dont les Grecs se servaient dans leurs calculs trigonométriques , les demi-cordes des arcs doubles y c'est-à-dire les sinus des arcs proposés. « Ptolémée , dit-il , ne se servait des cordes entières que pour la facilité des démonstrations ; mais nous , nous avons pris les moitiés des arcs doubles ^. »

Albategnius est parvenu à la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique COS. a sscos. b COS. e. + sin. h. sin. c. cos. A , dont il a fait diverses applications ^.

On trouve dans ses ouvrages la première idée des tangentes des arcs, et l'expression ■jjr^ , dont les Grecs ne se sont pas servis. Albategnius la fait entrer dans les calculs de gnomonique et l'appelle ombre étendue. C'est la tangente trigonométrique des Modernes. On voit qu' Albategnius avait des tables doubles , qui donnaient les ombres correspondantes aux hauteurs du soleil, et les hauteurs correspondantes. à des ombres; c'est-à-dire les tangentes des arcs , et les arcs correspondans à des tangentes. Mais ses tables étaient calculées pour le rayon 12 , tandis que celles des sinus l'étaient pour le rayon 60; ce qui prouve qu'il n'a pas eu la pensée d'introduire ces tangentes dans les calculs trigonométriques ®.

' Fibonacci résout bien quelques équations d^un degré supérieur , mais qui s« réduisent au second.

3 Histoire des Mathématiques , iom» l^ , pag. 883.

' Le nom propre de ce géomètre est Hohammedben Geber ; il fut surnommé al Batani^ parce qu^U était né à Batan , Tille de la Hésopotamie , et de ce nom les Hodernes ont fait celui de Albategnius.

^ Delambre , Histoire de Vastronomie du moyen Age, pag. 12.

^ Ibid, , pag. dl, 164. On sait que la formule correspondante, cos. A. = sin. B sin. C cos. a — cos. B cos. C, est due à Viète qui Ta donnée en 1693 dans son Variorum de rébus mathêmaticis responsorum liber ootaTUs.

6 Delambre, Histoire de l'astronomie du moyen âge ,p, 17.

C'est à Aboul Wefa et & Ebn Jounis , qni lui sont postérieurs d'un siècle, qu*est dû ce DOQTeau pas.

Aboul Wefa (937-998), après a^oir exposé la théorie des sinus, définit d'autres lignes Irigonométriques « qu'il emploiera dans son ouvrage pour les faire servir à la solution de différons problèmes de Tastronomie sphérique. »

Ce sont les tangentes et cotangentes , qu'il appelle ombre verse et ombre droite ^ei les sécantes qu'il appelle diamètre de Vombre,

Aboul Wefa a calculé sa table de tangentes pour un rayon égal à 60 : il n'a pas calculé les sécantes.

On n'a point cette table des tangentes ; mais ce qu'il importait de savoir , c'était la date certaine de leur introduction dans le calcul trigonométrique.

Cette heureuse révolution dans la science, qui en bannissait ces expressions composées et incommodes qui contenaient le sinus et le cosinus de l'inconnue, ne s'est opérée que 600 ans plus tard chez les Modernes;onena fait honneur à Regiomontanus; et près d'un siècle après lui Copernic ne la connaissait pas encore.

Ebn Jounis (979-1008) se servit aussi des ombres ou tangentes et cotangentes , et en eut aussi des tables sexagésimales ^

n eut le premier l'idée de calculer des arcs subsidiaires qui simplifient les formules , et dispensent de ces extractions de racines carrées qui rendaient les méthodes si pénibles. Ces artifices de calcul, aujourd'hui si communs, sont restés long-temps inconnus en Europe, et ce n'est que 700 ans plus tard qu'on en trouve quelques exemples dans les ouvrages de Simpson (Delambre , Histoire de l'astronomie du moyefi âge , pag. 166).

La trigonométrie sphérique doit à Geber , astronome qu'on suppose avoir vécu vers Tan 1050, la formule Cos. C«=3sin. B cos. o, qui est la cinquième des six qui servent à la résolution des triangles rectangles^. La sixième, Cos. a^a cot. B. cot.C, est resté inconnue jusqu'au XYP siècle; on la doit à Yiète.

Ces deux formules sont celles qui contiennent les deux angles obliques du triangle. Les Grecs n'avaient eu qne les quatre premières, qui leur suffisaient, parce que dans leurs applications de la trigonométrie à l'astronomie , le cas des trois angles connus ne se présentait pas.

Tels sont les principaux perfectionnemens que les Arabes apportèrent à la trigonométrie.

Ils purent ainsi cultiver l'astronomie avec succès. Aussi comple-t-on un très-grand nombre d'auteurs arabes qui s'adonnèrent à cette science. Nous n'avons point à parler ici des progrès qu'ils y firent ; et nous dirons seulement quelques mots de l'une de ses applications, la gnomonique, qui n'est au fond qu'une question de pure Géométrie.

Les Arabes attachèrent une grande importance à la construction des cadrans qui étaient à peu près leur seul moyen de compter le temps. Dès le neuvième siècle, des géomètres

' Delambre, Histoire de Pastronomie du moyen tf</«,p. 164.

^ Hou* appelont B , G ^ 1e« deux angles oblique* do triangle ; 6 , o, lea côté* opposés , et a Phypoténuse.

célèbres s'en occupaient. C'est à cet art que se rapportaient sans doute deux ouTrages d'Alkindus, intitulés : Z>« horolog. sciathericorum descriptione ; et De horolog, harir sontali prœêtantiore , et les deux suiyans de Thébit ben Gorah : De horometrià seu horU diumiê ac noctumù; et De figura linearum qt&as gnomometrum (styli apicis umbra) percurrit. Ce dernier titre semble annoncer que Thébit se seryait de la considération des sections coniques dans la construction des cadrans. Nous allons Toir cette méthode pratiquée savamment par un autre géomètre arabe du XIIP siècle. Maurolycus en a eu la première idée chez les Modernes; et elle a donné à son ouvrage un caractère d'originalité qui lui a fait honneur.

L'écrivain arabe auquel la gnomonique parait le plus redevable , est Aboul Hhassan Ali , de Maroc ) qui vivait au commencement du XIII* siècle; son ouvrage avait pour titre: Livre qui réunit les commencement et les fins, parce qu'il se compose de deux parties distinctes , dont la première traite des calculs et la seconde des instrumens et de leur usage. M. Sédillot , dont les sciences mathématiques et les langues orientales déplorent la perte récente (en 1832}^ a fait une traduction de cet ouvrage qui a été mise au jour par les soins de M. L. Am. Sédillot , son fils , sous le titre : Traité des instrumens astronomi-' ques des Arabes (2 vol. in-4*, Paris, 1834).

Cet ouvrage est un traité complet et très-détaillé de la gnomonique des Arabes. U contient plusieurs choses nouvelles qui sont de l'invention d'Aboul Hhassan.

On y trouve pour la première fois les lignes des heures égales, dont les Grecs n'avaient point fait usage. U paraît que cette innovation , qui a été conservée chez les Modernes , est due à l'auteur lui-même , car il dit : « Ceci fait partie des choses inusitées que nous donnons dans cet ouvrage , comme le résultat de nos méditations et de nos réflexions. » (Liv. UI, chap. 14). U expose dans le plus grand détail la construction des lignes d'heures temporaires (appelées aussi heures antiques, inégales ^ ^ Judaïques).

Dans les chapitres XXYI et suivans , intitulés : Détermination du paramètre et de V axe principal des parallèles , en quelque lieu que ce soit, Aboul Hhassan se sert des propriétés des sections coniques pour décrire les arcs des signes. U calcule les paramètres et les axes de ces courbes , en fonction de la latitude du lieu y de la déclinaison du soleil et de la hauteur du gnomon.

Cette partie de l'ouvrage prouve que le géomètre astronome Aboul Hhassan, était un homme de mérite. Il ne donne pas la démonstration de ses règles , mais elle devait se

' Cet heures étaient égales entre elles pendant un même jour, mats leur durée changeait d'un jour à l'autre , parce qu'elle était toujours la douzième partie du temps compris entre le lever et le coucher du soleil. Les lignes qui marquaient oes heures étaient des courbes très-peu différentes de la ligne droite , ainsi que l'a reconnu ffl. Delambre , par le calcul. {Histoire de roêtronomie ancienne^ ^*'^» P« ^t ). Hais la nature de cea lignes n'est pas encore connue ; elle peut faire le sujet d'une heUe question d'analyse , qui se réduit à ceci :

Que sur une demi-sphère on suppose tracés des arcs de cercle dans des plans parallèles entre eus, et inclinés sur le plan du grand cercle qui sert de hase à la demi-sphère ; que ces arcs parallèles soient divisés dans un rapport donné; les points de division formeront une courbe à double courbure, située sur la demi-^hère ; que par cette courbe on fasse passer un cône ayant son sommet au centre de la demi-sphère^ la section de ce cône par un plan, sera la ligne d'une des heures égales.

trouYer dans an Traité des êeetians coniques, qu'il ayait composé. M. Delambre , qui a approfondi toute cette partie géométrique de Fouvrage d'Aboui Hhassan , la trouve bien préférable aux procédés enseignés par Gommandin et Glavius, qui ont aussi tracé leurs arcs des signes par des moyens tirés de la théorie des coniques. Cependant il reconnaît que les règles du géomètre arabe n'ont pas encore toute la simplicité dont elles sont susceptibles : il fait usage de la hauteur du pôle pour déterminer le paramètre y ce qui complique et allonge les calculs bien inutilement, puisque Texpression de ce paramètre, réduite aux élémens indispensables, est indépendante de la hauteur du pôle, et ne contient que la déclinaison et la hauteur du gnomon , ainsi que le démontre M. Delambre. C'est là un théorème assez remarquable, dit-il, et qui était assez important en gnomonique pour n'être pas négligé par les auteurs qui ont donné des méthodes si compliquées pour tracer les arcs des signes d'après les propriétés des sections coniques ^

Ce théorème , en langage géométrique , signifie que toutes les sections d'un cane droit, faites par des plans coupans , également éloignés de son sommet, ont le même paramètre.

Cette propriété du cône droit a lieu aussi dans le cône oblique. Cela résulte du beau théorème de Jacques Bernoulli , que nous ayons énoncé en parlant des coniques d'Apollonius , et qui lui a servi à déterminer le paramètre dans les sections du cône oblique (en supposant les plans coupans perpendiculaires au triangle par l'axe).

On attribue à Mahomet Bagdadin , géomètre du X® siècle , un élégant traité sur la division des surfaces, qui a été traduit par Jean Dée et Coromandin ^.

Cet ouvrage a pour objet de diviser une figure en parties proportionnelles à des nombres donnés, par une droite menée d'après certaines conditions. Il se compose de vingt-deux propositions, dont sept sont relatives au triangle, neuf au quadrilatère et six au pentagone. L'auteur les énonce sous la forme de problètiies , dont il donne la solution, qu'il démontre ensuite.

Cet ouvrage , par sa nature , est un complément nécessaire d'un traité de géodésie; aussi il a été imité par tous les géomètres modernes dans leurs traités de Géométrie pratique.

Dée et Commandin pensèrent que ce traité pouvait provenir d'Euclide , qui, au rapport de Proclus, dans son commentaire sur le premier livre des Elémens , avait aussi écrit sur la division des figures. Cette opinion n'a pas été partagée par Savile ; et depuis , la question est restée indécise. Nous sommes tout-à-fait porté à attribuer l'ouvrage à un géomètre grec; à Euclide, si l'on veut (puisque Proclus cite de lui un traité De divisionibus)'^ car il ressemble parfaitement, par sa forme et par la pureté du style géométrique , aux ouvrages des Grecs, et nullement à ceux des Arabes, qui, alliant la science des premiers à celle des Hindous, avaient introduit le calcul algébrique dans leur Géométrie, et démontraient leurs propositions les plus générales sur des données numériques, et non pas dans

1 Histoire dé Pastronomie du moyen âge , p 536.

3 De superficierum divisionUus liber Machomeio Bagdedino aecriptus, Nune pritnùm Joannis Dee Londineneie , ei Federici Commandini Urbinatie operd in lucem editus, Federici Commandini de eadem re libellus. PUaurî, 1570 , iii-4o.

ToM. XI. 63

rétat de généralité et d'abstraction que présentent celles du traité en question. Ajoutons que les Grecs avaient écrit sur la Géodésie dès ks premiers temps de Técole d'Alexandrie , comme nous le Toyons par un ouvrage de Héron laneien , mis au jour par M. Yenturi; et que s'ils n'avaient pas eu leur traité De divisiimibu* superficierum^ c'eût été une lacune que ne peut faire supposer la perfection qu'ils donnaient à leurs ouvrages.

L'optique a été traitée chez les Arabes par un grand nombre d'auteurs y dont le plus célèbre est Alhasen. Son ouvrage y qui nous est parvenu % se recommande par des considérations de Géométrie savantes et étendues. On y remarque surtout la solution d'un problème qui dépendrait, en analyse, d*une étjuation du quatrième degré. Il s'agit de trouver le point de réflexion sur un miroir sphérique, le lieu de l'œil et celui de l'objet étant donnés. Ce problème a occupé de célèbres géomètres modernes, tels que Sluze,Huygens, Barrow, le marquis de Lhopital, K. Simson. Ce dernier l'a résolu très -simplement par de pures considérations de Géométrie, (^ac^tonum oonicarum libri Y. Appendix, p. 223.)

On a pensé que l'ouvrage d' Alhasen était imité du traité d'optique de Ptolémée. Ça été l'opinion de Montucla. Mais Delambre , quoiqu'il fût généralement porté en faveur des Grecs, ne Ta pas partagée. Il a même pensé qu'il se pouTait qu' Alhasen n'eût pas eu con* naissance de l'ouvrage de Ptolémée, parce que le sien lui est très-^supérieur'. Quoi qu'il en soit, l'ouTrage d' Alhasen fait honneur aux Arabes, et nous devons le regarder comme ayant été l'origine de nos connaissances en optique. Yitellion , géomètre polonais, l'un des plus savans du XIIP siècle , y a puisé utilement pour la composition de son traité d'optique, le premier qu'ait fait paraître un géomètre européen.

On doit à M. L. Am. Sédillot la connaissance récente d'un ouvrage original des Arabes , intitulé : Traité de* connue* géométriqtte* , par Hassan ben Haithem ^.

Ce géomètre florissait vers l'an 1009, et mourut au Caire, en 1038. Il a composé un commentaire de l'Almageste , et un autre sur les définitions qui sont en tète des Èlémens d'Euclide.

Son traité des connues est divisé en deux livres: «Le premier, dit-il, comprend des » choses tout-à'fait neuves et dont le genre même n'a pas été connu des anciens géomè- » très, et le second contient une suite de propositions analogues à celles qui ont été » traitées dans le livre des Data , mais qui ne se trouvent pas dans cet ouvrage d'Euclide. >>

Sous le titre de Prolégomènes , l'auteur se livre à une discussion métaphysique sur la

I Imprimé à Bàle en 1672, avec la trouième édition de l'optique de Yitellion , sous le titre : OpHcaihesauruê. ^ Alhazeni ArahU libri sepiem, nuncprimum ediH, Ejusdem liber de orepusouliê einubiumaseensiotnbuê,IUm Fitellionis Thuringo-Poloni libri decem,à Fr, Risnero , in-fol.

^ Histoire de P astronomie ancienne, p. 412 du tome II.

' Nouveau journal asiatique , mai 1834.

La copie «ur laquelle H. Sédillot a fait cette traduction est du 3 juin 1144; elle se trouTC, arec six autres opuscules sur les mathématiques, dans le manuscrit arabe, n» 1104 de la bibl. royale. H. Sédillot promet de faire connaître ces pièces, dont une, qui est le fragment d'algèbre sur la résolution des équations du troisième degré dont nous avons parlé plus haut , sera Pun des monumens les plus précieux de Tbistoire des sciences cbet les Arabes.

définition des conmiesy leurs diyisions et subdiTisions ; et la nature des quantités aux* quelles elles se rapportent.

Ces préliminaires , dit M. Sédillot, qui caractérisent Fesprit des érudits du temps de Hassan ben Haithem , permettent d'apprécier assez exactement la philosophie mathématique des Arabes.

Mais le satant traducteur ne nous fait connaître que le commencement de ces prolégomènes , et nous ne voyons pas bien quelle peut être l'application de ces distinctions subtiles aux propositions de Géométrie qui forment le corps de TouTrage; sans doute elles portaient sur la forme même que Tauteur a donnée aux énoncés de ces propositions ; mais montraient-elles l'utilité de cette forme inusitée, et le caractère scientifique y ainsi que la Traie destination de ces propositions? C'est là ce qu'il nous importerait de sayoir.

Cette forme est la même que celle des données d'Euclide, de sorte que ce traité est une imitation et une continuation du lirre des données du géomètre grec; mais avec cette différence que les propositions du premier livre «choses tout-à-fait neuves, et dont le genre même n'a pas été connu des Anciens, » roulent sur des propositions locales, tandis que toutes celles d'Euclide étaient des théorèmes ordinaires où tout est déterminé.

Ainsi, dans les données d'Euclide, l'objet d'une proposition était de démontrer que telle chose (point, droite, ou quantité), devant résulter de telle construction ou de telles conditions , était parfaitement connue; et de déterminer la valeur et la position de cette chose.

C'est là aussi l'objet des propositions du premier livre des connues de Hassan ben Haithem ; mais il y a dans chaque question une indétermination de condition , résultante de la considération d'un lieu géométrique.

Ces propositions sont de deux espèces.

Dans les premières il s'agit de démontrer que tel lieu y formé par la succession de points déterminés par telles conditions, est parfaitement connu; et de donner la construction directe et immédiate de ce lieu.

Voici l'énoncé d'une proposition de cette espèce :

« Lorsque de deux points connus de position on mène det^ lignes droites qui se coupent enun point, où elles forment un angle connu, et qu^ensuite on prolonge directement une des deux lignes, si le rapport de cette ligne à son prolongement est connu, son extrémité sera sur une circonférence de cercle connue déposition. » (Proposition VII du 1" livre.)

Dans toutes ces propositions, le lieu géométrique est la ligne droite ou circulaire. Elles paraissent prises en général des lieux plans d'Apollonius.

Dans les propositions de la seconde espèce , ce n'est pas le lieu géométrique qu'il s'agit de déterminer , mais quelqn'antre chose qui s'y rapporte , et qui doit être commune à une infinité de points ou de lignes , à cause d'une indétermitiation dans les conditions de construction. Exemple:

« Lorsque deux cercles connus sont tangens, et que Vun est dans Vintérieur de Vautre, si Von mine au petit cercle une tangente dont Vextrémité [autre que le point de

tangence) soit terminée à la circonfirence du grand cercle ^ et qu'on joigne par une droite cette extrémité au point de tangence des deux cercles^ le rapport de cette der-niire ligne à la tangente est un rapport connu. » (Proposition XIX.)

Cette dernière proposition et celles de son espèce, sont , comme on Toit , dans le genre des porismes d'Euclide, entendus suivant la doctrine de R. Simson.

Les premières , qui sont différentes , parce que la chose à déterminer est le lieu géométrique , répondent à Tidée que nous nous étions faite sur la nature et la yraie destination de ces porismes, avant de connaître cet opuscule du géomètre arabe. (Voir Note IIL)

Cet ouvrage est le seul, jusqu'à ce jour, qui nous ait présenté de l'analogie, ou du moins une apparence d'analogie , avec le célèbre traité des porismes d'EucIide. Celte circonstance lui donne du prix à nos yeux; et la découverte de cet opuscule , qui vient confirmer en quelque sorte l'opinion du savant géomètre GastilIon,qui pensait qu'au XIIP siècle le traité d'Euclide existait encore en Orient, nous permet du moins d'espérer de trouver encore parmi les nombreux manuscrits arabes , restés jusqu'ici inconnus au fond des bibliothèques , quelques traces de cette doctrine des porismes. Nous ne savons si c'est à cette théorie que se rapporte un ouvrage de Thébit ben Corah , que nous trouvons indiqué sous le titre suivant dans le catalogue des manuscrits orientaux de la bibliothèque de Leyde : Datorum sive determinatorum liber continens problemata geometrica. Cet ouvrage , par son titre et par le nom de l'auteur , se recommande à l'attention des géomètres qui possèdent la langue arabe.

Toutes les propositions du second livre des connues sont dans le genre , mais différentes de celles d'Euclîde ; elles appartiennent, comme celles-ci, à la Géométrie élémentaire , (à la ligne droite et au cercle); mais plusieurs offrent un degré de plus de difficulté. Elles sont de celles qu'on propose aujourd'hui comme exercices , aux jeunes étudians qui possèdent déjà les élémens de la Géométrie. Nous citerons les suivantes :

Lorsqu'on a un triangle dont les côtés et les angles sont connus, et qu'on mine une ligne du sommet à la base , si le rapport du carré de la ligne au rectangle formé sur les deux segmens de la base est un rapport connu , la ligne menée sera connue de position» (Proposition XY.)

Lorsque sur la circonférence d'un cercle connu de grandeur et de position on prend deux points par lesquels on mène deux droites qui se rencontrent en un autre point de cette circonférence , si le produit des deux droites est connu , chacune de ces droites sera connue de grandeur et déposition, (Proposition XXII.)

Lorsqu'on a deux cercles connus de grandeur et de position, et qu'on mine une droite tangente aux deux cercles , cette droite est connue de grandeur et déposition. (Propositions XXIV et XXV, dernières de l'ouvrage.)

« Toutes ces choses , dit en terminant Hassan ben Haithem , sont d'une utilité majeure pour la résolution des questions géométriques , et n'ont été dites par aucun des anciens géomètres. )>

Cet ouvrage mérite , par sa nature, d'être placé entre les données et les porismes d'Euclide, et les lieux plans à' Afollonias^ d'une part^ et les ouvrages de R. Simson et de

Stewart^de Tautre;!! forme comme eux des compUmens de la Géométrie élémentaire , destinés à faciliter la résolution des problèmes.

On a cru trouver dans cet ouvrage de Hassan ben Haitbem , de l'analogie avec la Gréométrie de position « comme D'Alembert et Garnot Tout entendue. » Mais nous ne pouvons voir dans la pensée de D^Alembert, qui lui-même en reconnaissait la réalisation contraire à la nature de Talgébre ^ , dans la Géométrie de position de Garnot , et dans l'ouvrage du géomètre arabe , une telle analogie. Garnot, dans sa Géométrie de position , a eu principalement en vue d'établir la véritable théorie des quantités négatives ; et la Géométrie de position ne fut , dans son esprit, et dans le fait , que la Géométrie ordinaire , dans laquelle, d'après cette doctrine des quantités négatives , une seule démonstration , établie sur un état suffisamment général d'une figure , devait s'appliquer immédiatement et sans nouveaux frais, à toute autre forme de la figure ^

C'est à ce caractère nouveau de généralité , de facilité et de brièveté , et à la nature des théories et des nombreuses propositions nouvelles que contenait l'ouvrage de Garnot, qu'il a dû son importance scientifique et l'heureuse influence qu'il a eue sur les progrès de la Géométrie pure.

Sans mettre en œuvre l'idée de D'Alembert,le livre de Garnot n'a donc aucune analogie avec l'ouvrage du géomètre arabe sur les connues géométriques.

Nous ne pouvons terminer notre aperçu des travaux des Arabes en Géométrie sans dire un mot du célèbre astronome et géomètre persan Nassir Eddin de Thus (1201-1274), dont les ouvrages, qui traitent de toutes les parties des connaissances humaines, sont écrits en langue arabe. On y remarque , outre ceux qui se rapportent à l'astronomie , des traductions de plusieurs ouvrages grecs, d'EucIide, d'Archimède et de Théodose; un traité d'algèbre et un compendium d'arithmétique et d'algèbre. De tous ces ouvrages , les élémens d'Euclide seuls ont été publiés dans la célèbre imprimerie des Médicis ( Rome , 1594, in-fol.), avec les commentaires de Nassir Eddin, qui sont estimés et qui, contenant plusieurs démonstrations nouvelles des propositions d'Euclide, ont servi à plusieurs auteurs modernes , dans le temps où la connaissance de la langue arabe était plus répandue qu'aujourd'hui. On y distingue une démonstration du cinquième posttilatum ,

' « U serait à tonliaiter que l'on troaTât moyen de faire entrer la situation dans le calcul des problèmes j cela les simplifierait extrêmement pour la plupart ; mais l'état et la natnre de l'analyse algébrique ne paraissent pas le permettre. i> (Encyclopédie , article sitvatior.)

^ C'était là une véritable innoTation que u'aTaient point osé se permettre , quelques années auparavant , deux mathématiciens qui avaient fait de la Géométrie pure l'objet spécial de leurs travaux , et qui lui avaient dû leur célébrité. Kons voulons parler de R. Simson et de Stewart qui donnaient , d'une proposition , autant de démonstrations que la figure à laquelle elle se rapportait prenait de formes différentes par le changement de position respective de ses parties. Garnot , au contraire , après avoir démontré une proposition sur une figure considérée dans un état général de construction, montrait ce que deyenaient cette proposition et les formules qui l'exprimaient , ou qui s'y rapportaient , quand la figure changeait de forme par le changement de position de ses différentes parties. Ces nouvelles formules , qu'il appelait corrélative* , par rapport à la première , et qu'il déduisait immédiatement de celle-ci , sans démonstration, auraient été démontrées directement comme la première elle-même , par Simson et Stewart.

que Wallis a trouvée ingénieuse , et qu'il a reproduite dans le tom. II de ses œuvres.

De ce qui précède nous conclurons en résumé :

Que les Arabes ont montré une grande estime et un goût prononcé pour les sciences mathématiques ;

Qu'ils ont eu une connaissance complète des ouvrages et du saiioir des géométrea grecs ;

Qu'ils ont perfectionné la trigonométrie d'une manière notable j et que cette partie de la Géométrie a reçu d'eux sa forme moderne, indispensable pour les progrès de l'astronomie ;

Qu'ils ne paraissent pas avoir été au delà des Grecs dans les autres parties de la Géométrie, soit parce qu'ils n'ont pas eu le génie inventeur, soit parce qu'ayant acquis rapidement de grandes connaissances dans toutes les parties des sciences, ils ne se sont pas donné la peine de chercher à en reculer les limites ;

Mais qu'ils ont eu , sous un autre rapport , un véritable avantage sur les Grecs ;

Qu'ils ont possédé l'algèbre des Indiens , et qu'ils ont connu l'application de l'algèbre à la Géométrie;

Que leurs travaux en ce genre ont été poussés jusqu'à la solution des équations du troisième degré par une construction géométrique ;

Enfin , qu'en traitant Tune par l'autre , et par les secours que ces deux parties se prêtaient mutuellement, la Gréométrie des Grecs et l'algèbre des Hindous, ils ont empreint leur science mathématique d'un caractère propre , caractère original qu'ils ont transmis aux Européens, et qu'il faut prendre entre les mains de ceux--ci pour l'origine et le fondement de la supériorité rapidement acquise au XVt siècle sur les géomètres de l'Antiquité.

Géométrie chez les Occidentaux att moyen âge.

Pendant que les Arabes fournissaient une rapide et brillante carrière dans les sciences, les Européens étaient plongés dans l'ignorance. Ainsi , après Isidore de Séville , qui est le dernier que nous ayons nommé dans notre aperçu sur les travaux des Latins, peu d'écrivains , jusqu'au XIP siècle , nous ont laissé quelques traces , non-seulement de la culture, mais de quelques connaissances des sciences. Vers cette époque, un premier mouvement intellectuel s'opéra en Europe, et de nombreux efibrts furent faits pour y transporter les sciences anciennes delà Grèce, conservées et cultivées par les Arabes. Ce mouvement se reproduisit avec une nouvelle énergie vers le milieu du XV* siècle, et favorisé alors par la connaissance que Ton eut des manuscrits grecs , prépara les grandes découvertes du XYP siècle, d'où date l'immense supériorité des Modernes sur les Anciens, dans les sciences mathématiques.

Nous allons jeter un coup d'oeil rapide sur les travaux qui se rapportent à la Géométrie pendant cet intervalle de 800 ans.

Tiii« SIÈCLE. Au commencement du YIIP siècle, Bède eut une grande érudition pour son temps ^

et écrivit sur beaucoup de matières différentes. Ses ouvrages qui se rapportent aux mathématiques sont : 1<> deux traités sur la musique théorique et pratique; 2"* différentes pièces sur Tastronomie , où Ton distingue un petit écrit De circuliê sphœrœ et polo , un de gnomonique sous le titre De tnenêurâ horologii, et un De astrelabio , où il se sert de constructions graphiques ; 3® et enfin quelques pièces sur l'arithmétique. Une intitulée De arithmetieiê numeris , est un extrait extrêmement succinct de quelques définitions prises des traités d'arithmétique d'Apulée et de Boécc^, dont les noms sont cités par Bède. Une autre ^ De loquelâper gestum digitorum, montre à compter par les doigts et leurs articulations. Ce livre a été emprunté et reproduit par divers auteurs.

Une troisième, qui nous parait offrir aujourd'hui le plus d'intérêt dans le volumineux recueil des œuvres de Bède, est le traité De numerorum divisioney auquel on a fait jusqu'ici si peu d'attention , que les écrivains qui en ont rendu compte , se sont mépris sur son contenu ^ Ce traité est précisément le même que celui qui fait suite à la lettre de Gerbert à Constantin, où généralement on a cru voir l'exposition de notre système de numération. Est-il de Bède ou de Gerbert ? Nous avons déjà soulevé cette question , en parlant du passage de la Gréométrie de Boèce , relatif au même système de numération , et dont ce traité nous a semblé être une imitation et un développement : du moins l'un et l'autre roulent sur la même matière, et ont, à notre sens, la même origine ^. Du reste on trouve dans les manuscrits anciens de Bède les chiffres arabes comme dans ceux de Boèce. [fValliê, de algebrâ tractatuê^ cap. IV.)

Enfin , les œuvres de Bède contiennent un livre De arithmetiois propoêitionibuê , où l'on trouve d'abord différentes manières de deviner un nombre qui a été pensé; et ensuite un assez grand nombre de questions arithmétiques, ad acuendoê Juvenes y est-il dit, et qui prouvent l'intention d'entretenir la culture des mathématiques. Mais on yoit dans quel état déplorable elles étaient tombées , par les règles dont l'auteur se sert pour calculer l'aire du triangle et du quadrilatère. Nous avons rapporté ces règles en parlant des ouTrages de Brahmegupta.

1 HontocU, Histoire des mathématiques ,i, I, p. 405 : « Bède fut auteor d'un liyre dVithmétique intitulé De numeris ; et d'un autre , De numerorum divisione f-pn lequel on Toit combien dans son temps, cette opération était embarrassée. » — Deltmbre, Histoire de l'astronomie ancienne, t. I, p. 322. «Dans ce chapitre {pela division des nombres), Bède enseigne à se serTir des doigts et de leurs articulations , pour faciliter les divisions et les multiplications. »

^ Ifous nous empressons de réparer ici une erreur que nous aTons faite en disant précédemment, que Pon n'avait point encore remarqué que la lettre de Gerbert se trouvait dans les œuvres de Bède. Nous ne nous étions pas aperçu alors que la remarque en avait été faite par Ândrès, dans ton ouvrage DelPorigine, de progressi , e dellostato attuale d'ognilitteratura,- Parme, 7 vol. in-4o, 1782-1709 ; où il s'exprime ainsi: Ma è da osservarsi, cid che Tton vedo rifiettuto né da matematici, ne da critici, che taie luttera riportata fra le Gerberitiane i quella medesima affatto , che si ritrova nelle opère diBeda alprincipio del libro De numerorum divisionead constantinum ; ne io voglio deeidere se sia da riporsifra le opère di Gerberto ovperfra quelle di Beda (t. lY, p. 63).

Sais Andrès ne parle que de la lettre même , et non du traité qui lui fait suite \ traité qu'il n'a connn que dans les œuvres de Bède , et qu'il n'a pas su être le même que celui qu'on attribue % Gerbert.

Nous ajouterons enfin que ce célèbre bistorien , qui a commenté longuement le passage de Boèce , pour prouver qu'il ne peut en aucune manière s'appliquer à notre système de numération (t. IV, p. 41-45) , n'a pas remarqué son analogie avec le traité' De numerorum divisions en question.

Le livre De arithmeticit propo^itiontbu^ a élé reyendiqué pour Alcuin , et compris dans ses œuvres. La question de propriété ici est sans intérêt.

Alcuin, disciple de Bédé, fut, comme lui, un prodige d'érudition dans son temps. Nous nous bornerons ici à dire qu'il a écrit sur les sept arts libéraui , et en particulier sur l'astronomie. II ne nous est parvenu de ces ouvrages que les parties qui traitent de la grammaire et de la rhétorique; on reconnaît qu'elles sont imitées des écrits de Cassiodore. La célébrité qu'Albuin a conservée provient surtout de la part qu'il a prise dans la fondation des universités de Paris et de Pavie, et dans les efforts de Gbarlemagne pour résister au torrent des ténèbres qui se répandaient sur l'Europe , et rallumer le flambeau de la science.

Mais la scolastique prenait naissance, et l'élément religieux qui lui servait de base, fut tout puissant et occupa exclusivement les esprits. Aussi, chose très-remarquable dans l'histoire , aux efforts mêmes de Gbarlemagne succéda précisément l'époque de la plus profonde ignorance. Elle dura près de deux siècles.

Pendant ce temps l'histoire ne prononce guère que le nom de Gerbert ( qui devint pape en 999 et mourut en 1003), et de quelques-uns de ses disciples. Ce moine, à l'exemple des sages de la Grèce qui avaient été s'instruire en Egypte, alla aussi s'instruire en Espagne, seul point de l'Europe où les sciences, importées de l'Orient^ fussent cultivées par les Sarrazins. De retour en France, il répandit avec ardeur ses connaissances. Elles tenaient du prodige aux yeux de ses contemporains, au point qu'il fut accusé de magie. Mais cela montre combien l'ignorance était profonde alors , car on doit convenir que l'ouvrage de Gerbert sur la Géométrie et ses traités de la sphère , de Tastrolabe et des cadrans solaires , ne roulent que sur les matières les plus élémentaires de la science , et ne comportent que des connaissances très-superficielles. Le contraste que ces ouvrages présentent avec l'état avancé des sciences à cette époque , chez les Arabes de Séville et de Gordoue , fait douter que ce fût d'eux que Gerbert ait reçu ses connaissances , comme on a coutume de le répéter d'après Guillaume de Malmesbury. On y reconnaît plutôt, surtout dans sa Géométrie, une imitation et un commentaire des ouvrages de Boèce, qu'un reflet du savoir et des méthodes arabes ^ dont nous ne trouverons les premiers germes, en France, qu'au XIT^ siècle.

' Cette obseryation s^accorde aTec celle de Goujet, qui dit que le Toyage de Gerbert en Espagne est réel , mais que le motif qu'on en donne ne l'est pas {De Vitai des sciences en France depuis la mort de Charlemagne juS' qu'à celle du roi Robert, p. 56).

Andrés, au contraire, qui a attaché une grande importance historique aux connaissances et aux traTauxde Gerbert, leur attribue une origine arabe , en supposant toutefois que ce n'étaient pas précisément les Sarrasins qui avaient été les maîtres de Gerbert , mais bien les chrétiens espagnols leurs disciples , qui ne pouTaient enseigner aussi que les sciences et les méthodes des arabes. « Queste ragtoni mifanno congetturare non sensa qualche probahilità, che quel dotto e grand'uomo che fu Gerberto tutto eglisi fece soiio la disciplina dé* crisHawi spagnuoli, senza avère avuto bisogno di mendieare il soccorso dalle scuole dé* Saracenù Ma quantunqus spagnuoli fossero i maestri di Gerberto , arabica pur era la dottrina, eh'ei trasse dalle Spagne e comunicà aile Gallie ed aWItalia. La scien»a favorita di lui era la uMtematica / e la matemaOca^ que si sapeva in Ispagna, tutta venive délie scuole e da* libri de' Saraceni, Se vero ê, che Gerberto délia Spagna aile suuole Europee recasse Varitmetica arabica, colla quale facili divenivano moite operaMioni, che neU'anHco metodo troppo erano , imbO'

Voici l'analyse de ce traité de Géométrie qui a été mis au jour par Bernard Pez , dans le tom. III y seconde partie, de son Thésaurus anecdotorum novùsimus, (Augustœ Yiodelicorum, 1721, in-f».)

Après aToir donné les premières définitions relatives à la Géométrie, Gerbert fait connaître les mesures dont les Anciens faisaient usage; ce sont les digitus , uncia, palmus , êêxta, dodrans , etc., des Romains, dont on trouve la nomenclature dans la Géométrie de Boèce. Il se sert de ces mesures dans tout le cours de son livre , ainsi que des signes qui les représentent, et qui expriment aussi d'une manière abstraite les fractions telles que } , }, etc. Il emploie le mot corauetus pour désigner la base supé> rieure d'un quadrilatère. Il consacre plusieurs chapitres aui triangles rectangles, qu'il appelle irianguli pyihagoriei, et qu'il apprend à construire en nombres rationnels, un côté étant donné. Il se sert pour cela des règles connues , attribuées à Pythagore et à Platon, qui donnent des nombres entiers pour les cdtés du triangle ; et d'autres règles qui donnent des nombres fractionnaires. Les unes et les autres qui sont du même genre, dérivent des formules générales que nous avons trouvées dans les ouvrages indiens. Au sujet de ces triangles rectangles, Gerbert résout un problème remarquable pour l'époque, parce qu'il dépend d'une équation du second degré; c'est celui où, étant données l'aire et l'hypothénuse, on demande les deux côtés. Soit A l'aire, et e l'hypothénuse , la solution de Gerbert, traduite en formule, donne pour les deux côtés la double expression :

i[ Kc^H-4A± l/c'-4A ].

Ensuite il apprend à calculer avec l'astrolabe ou avec un autre instrument qu'il appelle horoscope, la hauteur d'une tour, la profondeur d'un puits, et la distance d'un objet inaccessible. Puis il calcule la perpendiculaire dans un triangle dont les côtés sont connus. Il prend pour ces côtés les trois nombres 13 , 14 et 15. Il donne pour la surface des polygones réguliers les formules fausses des arpenteurs romains , et résout aussi comme eux le problème inverse , Jtant donnée Faire d^un polygone régulier , trouver son côté. Pour le cercle, il donne le rapport "• On trouve sous les titres: In oa7npo quadrangulo agripennos cognoscere, et In campo triangulo agripennos invenire, les formules fausses que nous avons déjà signalées dans les œuvres de Bède, pour la mesure de l'aire du quadrilatère et du triangle; et Gerbert, dans ces exemples, se sert des mêmes nombres que Bède. Enfin on trouve (chapitre 85} la formule qui donne la somme des termes d'une progression arithmétique '. La formule pour l'aire du triangle en fonction

rttMzanii, queaia o immediaiamenie ,op9r mezMO de* vuiêêiri êpagnuoli rapiia fu da lui à Saraceni, corne dice Gugliêmo di Malesburi, (Dell' origine, de progressif etc., I* parte , cap. IX.) — La nature des ouTrages de Gerbert ne nons permet pas de partager cette opinion sur Porigine de ses connaissances.

' Yilloison dit qne dans nn mannscrit très-ancien, ce chapitre 85 contient les chiffres arabes. ÇVo'tr Analecia gr€Bea,U2<, p. 168). Hais nons devons confenir qne dans les deux manuscrits de la Géométrie de Gerbert qui existent à la bibliothèque royale de Paris (n^ 7186 et 7877 c), nous n'ayons tu que les chiffres romains, et les signes par lesquels les Latins représentaient les fractions. Ces signes ont été rapportés fidèlement par Pes dans son édition de la Géométrie de Gerbert.

To«. XI. 64

des trois côtés n'y est pas *, et oo en trouTe une autre pour le triangle rectangle , qui n*est pas exacte.

A la suite de la Géométrie, est un petit écrit intitulé: Gerberti epistola ad Adolholdum de causa diversUatia arearum in trigono œquilatero geotnetricè ariihmeticève experiêo, Gerbert explique que la formule géométrique y V^S" de Taire du triangle équilatéral est exacte, et que la formule arithmétique "^^ ne Test pas, et qu'elle n'est qu'approximative. Dans son explication Gerbert commet une erreur, car c'est la formule «'-»-« .|/Tqui devait résulter de son raisonnement; et celle-ci est véritablement approximative. Car si on la rend homogène, en y introduisant l'unité de mesure linéaire, que nous appellerons J, elle devient l-±f£.kli , et celle-ci approche d'autant plus de

l'expression ^ V^â, qui est l'aire exacte du triangle, que ^est plus petit.

On voit par cette analyse de la géométrie de Gerbert, qu'elle est dans le genre des écrits de Boèce et de Bédé ; et qu'on n'y peut reconnaître l'origine arabe qu'on a attribuée légèrement, et sans critique, aux connaissances scientifiques de l'auteur.

Il parait que Gerbert a beaucoup écrit sur l'arithmétique, particulièrement sur un système de numération différent du système latin alors en usage; et c'est pour cela principalement que son nom est resté célèbre dans l'histoire des sciences. Nous avons parlé, au sujet du passage de la Géométrie de Boèce , du traité de numerorum divisione qu'on lui attribue >; et, en remarquant que cette pièce se trouve dans les deux éditions que l'on a des oeuvres de Bède, nous avons eu la pensée qu'elle pourrait être de ce dernier. Mais Gerbert et ses disciples ont laissé plusieurs autres écrits sur le même sujet, qui prouvent qu'ils avaient alors une grande connaissance des procédés du calcul dans ce système de numération, qu'ils appelaient le système de VAhaque, Les écrits de Gerbert, qui la plupart se trouvent dans la bibliothèque du Vatican, sont intitulés : 1® Gerberti êcholastici Abacus eompositus ; 2^ De numeris ; 3° Regulœ Abaci; 4° Fragmentum Gerberti regulœ de Abaco ; 6" Gerberti arithmeiica. Le premier, Abacus compoêituê , existe dans plusieurs autres bibliothèques. Pcx ayant trouvé à sa suite , dans la bibliothèque de l'abbaye de S^-Émeran à Ratisbonne, une autre pièce intitulée : G. Liber subtilissimus de Ariihmeticâ , l'a attribuée , à cause de l'initiale (r, à Gerbert. Dans ce manuscrit de Ratisbonne, le traité de V Abacus porte aussi le nom d^Algorismus; il est adressé à l'empereur Othon III ^. La bibliothèque de Leyde possède deux manuscrits provenant de Scaliger et de Vossius , dont le premier est intitulé : Libellus multiplicationutn, in quo epistola Gerberti ad Constantinum de doc trinâ Abaci ; et le second : Gerberti de Divisionibus cum notis ad illas. (Gatalogus Bibliothegjb universitatis Luqduno- BATAyjB,p. 341 et 390.)

1 Le premier éditeur des lettres de Gerbert • rapporté, à la saite de la 161« et dernière lettre , les premières lignes de ce traité. Le second éditeur en conservant la lettre , en a supprimé ces premières lignes.

^ Gerberti Abacus eeu Algorismuê ad Otionem imp, (Voir Thésaurus aneedotorum novissimus, 1. 1 Dissertatio

isagogica, p. xxxviii.)

Quant au traité De numerorum divùione, il est assez singulier qu'il ne se trouTe sous ce titre dans aucun des grands dépôts littéraires \ du moins on ne le cite dans aucun catalogue, sous ce titre, disons-nous. Cette circonstance avait contribué à nous faire supposer que ce traité pourrait être do Bède , tout en reconnaissant que le procédé de calcul sur lequel il roule était familier à Gerbert ^ Quel qu'en soit Tauteur, nous persistons à le regarder comme imité du passage deBoèce sur le même sujet, et à penser qu'il roule sur un système de numération qui ne diffère du nôtre qu'en un seul point, V emploi du zéro qui y a été introduit postérieurement et a permis alors de supprimer les colonnes. Dans cette manière de ?oir, il ne resterait à résoudre, au sujet de cet Abaciu ^ que la question de savoir, si cette innovation heureuse, l'emploi du zéro, a été un perfectionnement direct du système même de VAhaque , ou bien si les Européens l'ont prise dans l'arithmétique arabe, vers le XI* ou le XIP siècle.

Plusieurs contemporains de Gerbert, qu'on regarde comme ayant été ses disciples, ont aussi écrit sur l'arithmétique pratiquée dans le système de VAbaqtte. Tels sont Adalbolde, évêque d'Utrech, Heriger, abbé de Laubes, etBernelin.

Il reste du premier, dans la bibliothèque du Vatican, un écrit intitulé : Alholdi ad Gerbertum ^cholasiicum de Astronomiâ, seu Abaco \ On trouve dans le t. III du TheeauruM anecdotorum novûeithue de Pez (2* partie, p. 86) un autre écrit d' Adalbolde intitulé: Libellue de ratione inveniendi craM^itudinetn jtphœrcBj où il donne pour le volume de la sphère, la formule D^---, D étant le diamètre, qui a pour base le rapport d'Archimède. Dans son calcul numérique Adalbolde se sert, comme Gerbert dans sa Géométrie , des caractères romains qui exprimaient les fractions j , } , etc.

Heriger commenta VAbactu de Gerbert , dans un écrit qui se trouve dans la bibliothè* que de Leyde, sous le titre : Ratio Abaci eecundùm divum Herigerum ^

Bernelin avait écrit sur la Musique, la Géométrie et l'Arithmétique, un ouvrage inscrit dans la bibliothèque du Vatican, sous le titre : Bemelini Abaci, Mueica, Arithmetiea et Geometria*^ ; et un autre traité en quatre livres , De Abaco et nutnerie, que Vignier, dans sa Bibliothèque hietoriale, assure que le célèbre jurisconsulte Pierre Pithou avait possédé '. On voit dans le t. XII de ï Histoire littéraire de la France, écrit en 1773, qu'alors un exemplaire de cet ouvrage se trouvait dans l'abbaye de S*- Victor de Paris. La préface

( Deax exemplaires de cet écrit, qui te trouTent à la bibliothèque royale de Paris tout d'antres titres, portent le nom de Gerbert , qui, il est yrai, a été ajouté à une époque rapprochée : le premier est intitulé Rationes numerorum ^6acs (manuscrit n« 6620) ; et le second Traciatus de Abaeo(n? 7180. A.). Nous supposons qu'une partie des manuscrits dont nous ayons rapporté les titres ci-dessus, particulièrement ceux de la bibliothèque de Leyde, ne sont aussi que ce même traité De numerorum divisione»

^ Kontfaucon , Biblioiheca bibliotheearum manuscriptorum nova, t. I, p. 87.

> nUioire littéraire de la France , t 7, p. 206.

* Hontfauoon , iHd, 1. 1 , p. 24 : on Toit à la pag. 116 que la bibliothèque du Vatican possède d'autres pièces du même auteur sons le titre : Semelinus junior de Abaco et alia plurima.

' Nous allons rapporter ce passage de Vignier, auquel il ne parait pas qu'on ait fait attention, et qui cependant a une importance historique qui n'est point à dédaigner, car il nous prouTC qu'au XV!» siècle on regardait nos ohifirea et notre système de numération comme dérivant , si non du système même de V Abaque, du moins

ayail pour titre : Ineipii prœfatio lihri Abaei qtiem junior Bemelinuê edidii Parisiis ^ C'est peut-être encore à ce traité de TÂbaque que se rapporte une autre pièce de Bernelin qui se trouve dans la bibliothèque de Leyde, à la suite de VAbactu de Gerbert, sous le titre : Scolica {Scholia probablement) Bemelini Parùiis ad Amelium suutn édita de minutii^.

On cite encore un moine nommé Halber qui, dans le même temps, a aussi écrit sur YAbacuê de Gerbert. [Hittoire littéraire de la France ^ t. 7 , p. 138.)

Il serait bien utile , pour éclaircir enfin les questions historiques relatives à l'origine ' et à rintroduction en Europe de notre arithmétique, et particulièrement à ce système de

V Abaque y qui tient une grande place dans l'histoire littéraire du X® siècle, et qui probablement n'était que renouvelé, après quelques siècles d'oubli , des ouvrages de Boèce, et de quelques auteurs du même temps ^, qui eux-mêmes le tenaient de l'école de Pythagore, ainsi que le dit Boèce 3, il serait utile, dis-je, que l'on mit au jour les différentes pièces de Gerbert et de ses disciples , dont nous avons rapporté les titres ci-dessus, et que l'on fit attention, dans les bibliothèques de manuscrits, aux pièces semblables que certainement on y devra découvrir.

xi^' SIÈCLE. Au XP siècle, Hermann Gontractus se fit un nom par différons écrits sur les ma-

thématiques, dont un sur la quadrature du cercle, et un sur l'astrolabe. Celui-ci, en deux livres, qui traitent de la construction et de l'usage de Tastrolable, a été imprimé dans le tome III du Thésaurus novissimus de Pez. Wallis dit, dans son histoire de l'aigèbre, qu'un passage d'un manuscrit i^ncien de la bibliothèque Bodléienne l'autorise à

de la même origine que loi ; ce passage] Tient à Pappui de Pinlerprétation que nous ayons donnée ^eVAlacus de Boôce :

« Gerbert , dit Vignier , eut encore un autre sien compagnon ou disciple es sciences géométriques et ma- » thématiques nommé Bernelinus, qui composa quatre livres De A haco et numeria. Desquels se peult apprendre » l'origine de Chiffre dont nous usons aujourd'hui es comptes d'arithmétique. Lesquels lÎTres K. SaToye Pithou

V m'a assuré aroir en sa bibliothèque, et recognoistre en iceux un sçavoir et intelligence admirable de la

V science qu'ils traitent. Et pour ce qu'avec ceux là furent encore fort renommés au même temps en la France -n plusieurs autres grands personnages , à cause de leur grand sçavoir es mêmes sciences philosophiques et » mathématiques , comme, etc. » {Bibliothèque historiale , 3 vol. in-f>. ; Paris 1588 ; second yoI. p. 642.)

' Il existait dans la bibliothèque de l'abbaye deSi^-Victor un autre traité de VAbaque , que Kontfancon inscrit sous le titre : Radulphi Laudunenais de Ahaco, {Bib, bib. t. II , p. 1374.)

3 Par exemple nous sommes porté à croire que Victorius, mathématicien contemporain de Boèce, avait aussi écrit sur ce système, ou du moins avait laissé des calculs qui s'y rapportaient ; et que c'est à ce sujet que Gerbert et ses disciples citent souvent le calcul de Y ictorius et sa brièveté , car il ne paraît pas que cela doive s'entendre du nouveau canon pascal que Victorius avait calculé.

' Un'estpas rare de trouver dans l'histoire des sciences, des idées, des principes, des théories même , qui ont paru et disparu ainsi , plusieurs fois et à de longs intervalles , avant de trouver un sol préparé pour y jeter de profondes racines et prendre une existence durable. Les polygones étoiles nous offrent un exemple de pareilles intermissions. Considérée d'abord dans l'école de Pythagore, et oubliée pendant dix siècles, Vétoile penlagonale reprend naissance dans la Géométrie de Boèce ; oubliée encore pendant six siècles, elle doit une nouvelle vie à Campanus ] un siècle après elle produit la théorie des polygones égrédienf ; deux siècles plus tard , le nom et les travaux mémorables de Kepler semblent devoir assurer un rôle brillant et durable à cette théorie , qui pourtant retombe dans un oubli complet pendant deux siècles, pour reprendre enfin l'existence impérisable que lui assurent les considérations analytiques qui l'unissent à la théorie des polygones ordinaires.

penser qae Hermann Gontraclus connaissait notre système de numération; et il le met après Gerbert , en tête des auteurs qui ont écrit sur ce sujet ^

Le XIP siècle se distingue par quelques efforts contre Tignorance générale. Plu- xii° sjècle. sieurs Européens, suivant l'exemple de Gerbert, quittent leur pays pour aller s'instruire au loin. On distingue parmi eux Adhélard , ou Atbélard , et Gérard de Crémone. Le premier yisita l'Espagne, l'Egypte et l'Arabie; et à son retour traduisit de l'arabe plusieurs ouvrages , au nombre desquels se trouvent les Èlémens d'Euclide. C'est la première traduction que l'on ait eue en Europe de cet ouvrage, que Ton ne connaissait que par l'extrait très-restreint et qui se bornait à quelques énoncés de propositions, que Boèce en avait donné dans le premier livre de sa Géométrie. Adhélard avait joint à sa traduction , des Commentaires sur les propositions d'Euclide. Cet ouvrage est resté manuscrit ^.

M. Jourdain attribue à Adhélard un Traité de l'Astrolabe et une doctrine de V Abaque K ( Recherche* sur les traductions <VAristote , pag. 100. )

Gérard de Crémone ( 1114-1187 ) alla résider pendant long-temps à Tolède, pour y apprendre l'arabe et y faire de nombreuses traductions qu'il rapporta dans sa patrie. Elles s'étendaient sur toutes les parties des sciences qui florissaient parmi les Maures d'Espagne. On y distingue l'Almageste de Ptolémée, le traité des crépuscules d'Alhazen et le

1 ffujusce nermanni menfionem reperio in quodam Bibliothecœ Bodleianœ M S 0^ ubi diciiur quod ah liermanno et Prodocimo didicerint kBxcuiiy hoc est {alio nominé) A.LGoaiS]iUH.

Hermann Contractus passe aux yeux de quelques historiens, de Brucker particulièrement^ pour aToir cultitë des premiers la langue arabe , et fait les premières traductions latines d^Aristote. Kais S. Jourdain , en remontant à la source de cette opinion , croit qu'elle est erronée , ou du moins qu'elle n'est pas justifiée \ il pense que le traité de Pastrolabe d^Hermann n'est pas une version d'un ouvrage arabe, mais bien composé d'après des matériaux déjà publiés. {Recherches sur Vâge et l'origine des traductions latines d*Aristote, p. 166.)

Je rapproche ce sentiment de H. Jourdain du fait cité par Wallis, parce qu'on en tire une induction favorable à l'opinion que j'ai déjà émise souvent , savoir que tous les écrits sur VÂbaquê,iél$ que ceux de Gerbert et de •es disciples, émanent de la même source que celui de Boèce et ne proviennent point directement des ouvrages arabes empruntés des Sarrasins d'Espagne.

^ Il se trouve dans la bibliothèque des dominicains de S^-Harc à Florence, sous le titre : Euclidis Geometria eum ComvMnto Adelardi ; et dans la bibliothèque Bodiéienne sous celui de : Euclidis elementa cum scholiis et diagrammatis latine reddiia per Adelardum Baihoniensem. La bibliothèque royale de Paris en possède aussi une copie {pp 7213 des manuscrits latins). Une autre , qui a appartenu à Regiomontanus , se trouve dans la bibliothèque de Nuremberg.

3 Nous ne savons sur quelle autorité H. Jourdain se fonde , au sujet de cette doctrine de VÀbaque, ni si elle portait précisément sur le système de VAbacus de Boèce et de Gerbert. Ce point historique est d'une grande importance, parce que tons les travaux d'Adhélard ont eu pour objet de faire connaître les ouvrages philosophiques et mathématiques des Arabes, dont il reconnaissait la haute supériorité sur les doctrines de la scolastique du temps j et nous serions porté à croire que s'il a écrit sur l'arithmétique, ce serait sur l'arithmétique même de» Arabes, qui reposait bien sur le même principe de la valeur de position des chififres , que le système de l'Abaque , mais qui en différait, suivant nous , par l'usage du léro. Peut-être l'ouvrage d'Adhélard établissait-il la transition du système de l'Abaque à celui des Arabes, et montrait-il l'identité des deux systèmes, dont le second néanmoins était d'une application pratique plus facile , et a remplacé le premier en prenant le nom à^Algorismus. Cet ouvrage d'Adhélard pourrait donc être très-précieux , comme résolvant peut-être la question , encore irrésolue, de la véritable origine, parmi nous, du système de numération en usage depuis cinq ou six siècles.

liyre de seientiù d'Alfarabius ^ H. Jourdain pense que c'est aussi à Gérard de Crémone qu'on doit le traité de perspective d'Alhaien. ( Rechercher critiques sur Us tradueiiom laiineêd*Ariêtote^ pag. 128.) Un traité d'arithmétique , qui se troufe dans la bibliothèque Bodléienne sous le titre Algoriêmu* magisiri Gerardi in integriê et minutiiê 2, serait-il aussi de Gérard de Crémone , qui , en effet, en rapportant d'Espagne une partie des connaissances scientifiques des Arabes , n'a pu négliger leur ingénieux système de numération, à moins que déjà il ne fût bien connu des hommes qui se livraient à l'étude des sciences , ainsi que nous serons porté a le penser , en voyant dans le siècle suivant le grand nombre d'auteurs qui ont écrit sur ce système de numération ou qui s'en sont servis dans leurs ouvrages.

Trois autres hommes , contemporains d'Adhélard et de Gérard de Crémone , travaillèrent aussi à faire connaître les ouvrages mathématiques répandus chez les Arabes. Ce sont Platon de Tivoli {Plato Tiburtinus) , le juif Jean de Séville, connu soua le nom Johannee Hiapaleriêis ^ et Rodolphe de Bruges ( Srughetuiê ).

Le premier traduisit de l'arabe les sphériques de Théodose , vers l'an 1120 (imprimé en 1518); de l'hébreu, un traité dé Géométrie de Savosarda ^; et divers autres ouvrages.

Jean Hispalensis traduisit les élémens astronomiques d'Alfraganus (en 1142, suivant G. J. Vossius et plusieurs autres auteurs ) , et divers ouvrages sur l'astrologie, au nombre desquels est un traité d'Albumasar qui se trouve en manuscrit dans la bibliothèque Magliabecchi sous le titre : Liber introductorii majorie in tnagieterio scientiœ Âêtrorum , editione Albumazar et interpretatione Johannis Hispalensis ex arabico in latinum. Cette version parait avoir été faite en l'an 1171 , car elle se termine par ces mots, scriptus est liber iste anno domini nostri Jesu Chris ti 1171. Elle est précieuse, en ce qu'elle contient des tables astronomiques en chiffres arabes ^ Ce sont peut-être les plus anciennes qui aient une date certaine. Jean Hispalensis a aussi laissé un traité d'arithmétique arabe sous le titre d*j4lgoristntis. C'est , jusqu'ici, le plus ancien traité d'arithmétique qui porte ce nom, que nous trouverons dans tons les ouvrages du XIP siècle. Ce traité commence ainsi : Incipit prologus in libro Algorismi de practicâ Arithmeticœ ^ qui editus est à Magistro Joha^ne Hispalensi. Il est très-complet; il comprend les sept opérations, addition , soustraction, duplation, médiaion, multiplication , division et extraction de racines, d'abord pour les nombres entiers, puis pour les fractions. On trouve à la suite, sans interruption , et de la même écriture , sous le titre:

> Fabricint a formé une première liste des traductions attribuées i Gérard de Crémone. (Bib, med, et imfimœ lai,^ t. 8, p. 115.) K. Jourdain en a donqé une seconde presque double. L'ouTrage d'Alfarabiusn'y est pas compris C'est M. Libri qui l'a trouvé dans un manuscrit de la Bibliothèque royale , sons le titre : Liber AlfanbU, de scieniiis, tranalatua à magistro Gherardo Crêmonetui, in ToUto^ ds arabieo in laiinum, {ffiêtoirê dês sciences mathématiques en Italie, t. 1 , p. 173.)

^ Heilbronner, Ifist, Math.,^. 601.

' Liber Embadorum a Savosarda judœo in hebraico oompositus , et a Plaione Tiburtino in Latinum êermonem translatuê. (In Bibliotbecè S. Sarci Dominicorumïlorenti».) H. Libri doit donner dans le second Tolnme de son Histoire des sciences mathématiques , une analyse de cet outrage important.

^ Targioni , Jtelazioni di alcuni Viaggi^ etc. , t. 2, p. 67.

Eafcerptiones de libro qui dicitur Gebra et Mucabala ^, un morceau d'algèbre qui parait en faire partie. C'est la résolution des équations du second degré. On y résout plusieurs questions telles que celles-ci : Quel est le nombre qui, ajouté à 10 fois sa racine, donne 39? Quel est le nombre qui, ajouté à 9 , égale 6 fois sa racine?

Cet ouvrage , qui parait être resté ignoré jusqu'ici , est précieux ^ , comme étant le plus ancien traité d'arithmétique arabe et d'algèbre qui soit connu. On avait regardé jusqu'ici celui de Léonard de Pise comme étant le plus ancien.

On doit à Rodolphe de Bruges la connaissance du Planisphère de Ptolémée, qu'il traduisit de l'arabe, sur une version commentée par un auteur nommé Molsem. Le texte, grec ne nous est pas parvenu. L'ouvrage de Rodolphe de Bruges a été imprimé pour la première fois en 1507 , à la suite de la géographie de Ptolémée ( Rome, in-folio ) ; puis en 1536 >. Gommandin en a donné en 1658 , une traduction plus correcte , accompagnée d'un commentaire qui est, en grande partie, un traité général de perspective ; ouvrage écrit d'un style géométrique assez facile qu'on ne rencontre pas, généralement, dans les nombreux traités de perspective qui ont paru dans les XVP et XVIP siècles.

Le XlIP siècle marque une ère nouvelle dans l'histoire des sciences. Il prépare leur xiu» siècle. rétablissement en répandant la connaissance usuelle du système de numération arabe , de l'algèbre , et de plusieurs ouvrages importans de l'école grecque. Cette époque est presque féconde en écrivains; on y trouve Jordan Nemorarius, Léonard Fibonacci de Pise , Sacro-Bosco , Gampanus deNovarre, Albert-le-Grand^Vincent de Beauvais, Roger Bacon, Yitellion, dont les noms sont restés célèbres et honorent le moyen âge.

Gampanus traduisit sur un texte arabe et accompagna de commentaires les treize livres des élémens d'Euclide et les deux qu'on a attribués à Hypsicle ^. G'est cet ouvrage qui a servi à répandre en Europe la connaissance de la Géométrie. Il a été imprimé pour la première fois en 1482, et a eu plusieurs autres éditions. Pendant long-temps encore , après la renaissance des sciences , il a joui d'une grande estime; et les commentaires de Gampanus ont été consultés par les géomètres qui ont écrit sur les élémens de la Géométrie,

1 Le manuscrit dit EacepHones de liiro qui dicitur Gleba et Mutahilia ; mais cela provient probablement dVrreurs du copiste.

^ Les copies en doivent être trds-rares , car les catalogues de manuscrits n'en indiquent aucune.

' Avec le Planisphère de Jordan , et différentes autres pièces concernant l'astronomie, sous le titre général : tfihœrœ atque astrorum cœlestium ratio, natura et motus ; Yaldenis , Basileœ, 1636, in-4o.

M. Delambre , dans son Histoire de P Astronomie ancienne (t. 2, p. 466), a donné à la traduction latine de Rodolphe de Bruges la date de 1644 , au lieu de 1144. Cette erreur a été cause que ce célèbre astronome s'est étonné qu'une traduction faite en 1644 se trouvât dans un ouvrage imprimé en 1636.

* Quelques historiens ont pensé que cet ouvrage de Gampanus n'était autre que la traduction d' A dhélard , à laqueUe Gampanus avait joint des commentaires. Voici comment s'exprime Andrès à ce sujet , Sei {Campano) non tradusse corne si dice eomunemente; eerto illustre con comenti VEuclide , tradotto primo dalV Arahoin Latino doit* Inglese Atelardo Gotho^ corne ha fatto vedere il Tirahoschi (DeW origine, de progressi, e dello statoattuale d'ogni liiieratura. Parte 1, cap. IX), Le titre suivant d'un exemplaire manuscrit de l'Buclide de Gampanus qui se trouve à la bibliothèque royale de Paris , sous le n» 7213, vient confirmer cette opinion : JEuclidis philosophi socratiei incipit liber Elementorum artis geometricœ translatus ab Arabico in Latinum per Adelardum Gothum Bathoniensem , sub commenta Magistri Campani Novarriensis, (MS. du XIV« siècle).

tels que Zamberti , Lucas de Burgo , Peletier du Mans, Glavius, etc., et par les algébristes qui ont traité des quantités incommensurables , comme Stifels dans son ArithmeUca intégra.

Nous ayons dit , en parlant du passage de Boèce où nous airons cru aperceyoir le pentagone étoile , que cette figure a été considérée expressément par Gampanus , dans son commentaire sur la proposition 32" du premier livre d'Ëuclide y et que c'est là que Bradwardin , dans le siècle suivant, a pris Tidée de ses polygones égrédiens , dont il a donné une théorie assez étendue.

On trouve, à la fin du quatrième livre, deux propositions de Gampanus ', dont la première a pour objet la trisection d'un angle ; et la seconde , l'inscription , dans le cercle , du nonagone régulier. Ge second problème dépend de celui de la trisection de l'angle; et la solution que Gampanus donne de celui-ci est remarquable par sa simplicité; elle se réduit, en pratique, à la construction d'une conchoïde de Nicomède. £n voici le principe: Que du sommet de l'angle, comme centre, avec un rayon arbitraire, ou décrive une circonférence de cercle, qui rencontrera les deux côtés de l'angle en deux.points a ; 6; que l'on mène un demi-diamètre perpendiculaire au premier côté, et que par le point b on mène une droite, de manière que sa partie comprise entre ce demi-diamètre et la circonférence du cercle soit égale au rayon ; et enfin que par le sommet de l'angle on tire une parallèle à cette droite , cette parallèle opérera la trisection de l'angle.

Gampanus ne dit pas comment on déterminera la direction de cette droite issue d'un point de la circonférence, et dont la partie comprise entre le diamètre et l'autre partie de la circonférence , doit être égale au rayon. Peut-être était-ce là un problème dont il avait donné ailleurs la solution. On voit qu'elle peut s'effectuer, comme nous l'avons dit , par une conchoïde de Nicomède. Ge problème a eu quelque célébrité vers la fin du XVIP siècle, parce qu'ayant été proposé publiquement avec deux autres, dans le Journal deê Savane (août 1676), il a été résolu par Viviani, dans son ouvrage intitulé : Enodatio problematum universis géométrie propoêitorum à CL et R, Z). Claudio Comier*, canonico Ebredunensi^ collegialie ecclesiœ de Temant Prœpoêito dignis^imo. Prœmiëëiij horum occasioney tentamenti* variie aj solutionem illuetris veterum problematis de anguli tri^ectione (Florentise, 1677, in-4*^). Viviani fit voir, par une démonstration géométrique très-simple, que les trois points où la conchoïde rencontre la circonférence du cercle, et qui répondent aux trois solutions du problème de la trisection de l'angle, sont sur une hyperbole équilatère.

On sait que la section d'une droite en moyenne et extrême raison, joue un grand rôle dans la théorie des quantités incommensurables du dixième livre d'Ëuclide, dans son treizième livre, et dans la théorie des corps réguliers. Les nombreuses propriétés de cette division d'une droite n'ont point échappé à Gampanus , qui les a signalées comme étant admirables, et dérivant de quelque principe digne de l'attention des philosophes^ G'est cette

' Dans rédition de 1637 (Basle , in-fol.), qui comprend tous les ouyrages d'Ëuclide qui nous sont parrenos , ces deux propositions sont placées à la fin du yolume. " Mirabilis itaque est poteniia lineœ secundum proportionem haheniem médium duoque extrema divisœ.

division que Lucas de Burgo a appelée proportion divine, dans son ouvrage qui a pour titre : Divina proportione, etc. , et dont il a détaillé treize effetti , ou utilités. Aujourd'hui ces propriétés sont peu connues , par ce qu'on ne voit dans la division d'une droite en moyenne et eitréme raison , que la résolution d'une équation du second degré qui doit renfermer toutes ces propriétés. Gela est vrai de celles qui sont purement analytiques , mais les plus remarquables et les plus nombreuses sont celles qui naissent de considérations géométriques. Elles mériteraient qu'on réunit de nouveau toutes les propositions qui s'y rapportent y comme quelques géomètres ont fait à l'égard de la division harmonique d'une droite '. Ce serait assurément un recueil de propositions intéressantes , qui donneraient lieu à de nouvelles découvertes sur le même sujet, et à quelques relations semblables et d'une plus grande généralité K

Gampannscite^dans une note qui est à la suite delà première proposition du quatorzième livre (le premier des deux d'Hypsicle), Aristée et Apollonius comme ayant démontré cette proposition, que les ëurfaces du dodécaèdre et de Vicosaedre réguliers inscrite dans la même sphère sont entre elles dans le rapport des volumes de ces deux corps. L'ouvrage d'Aristée , dit-il , était intitulé : Expositio scientiœ quinque corporum^ et celui d'Apollonius avait pour objet la Comparaison du dodécaèdre et de Vicosaedre, Au commencement de la proposition dixième du même livre, qui est précisément celle que nous venons d'énoncer, Gampanus prononce encore les noms d'Aristée et d'Apollonius. Les ouvrages de ces deux géomètres célèbres de l'antiquité ne nous sont point parvenus ; et peut-être étaient-ils inconnus aussi de Gampanus , qui a pu en parler d'après Hypsicle qui les cite à peu près dans les mêmes termes , au commencement de la seconde proposition de son premier livre. Dans sa préface, Hypsicle avait déjà parlé longuement d'Apollonius et de son ouvrage De dodecahedri et Icosahedri in eâdetn sphœrâ descriptorum comparatione. Il parait qu'on n'a fait attention généralement qu'à ce passage; car on ne cite ordinairement que l'ouvrage d'Apollonius, et nullement celui d'Aristée, et je ne vois que Ramùs

Cui cum pinrima philosophantium admiratione digna conveniantj hoe principium vêl prœcipuum es superiorum prineipiorum invariahili procedit natura, ut iam diversa solida tum magnitudine tum hasium nuniero ,tum etiam figura, irrationali quadamsymphoniarationabiliter conoUiei, (Lib. XIV, propotition 10»}

1 De Billy , Tractaiua de proportione harmonica. Paris, 1658, in-4o.>-Saladiiii , Délia praporMtonê armanioa, Bologne, 1761, in-^.

3 Par exemple : la dÎTision d'une droite en moyenne et extrême raison, se rédaite à troiiTer entre deux points donnés A, B, un troisième point G, tel que Ton ait ÂC = A.B. GB : un moyen facile de généraliser cette question, c'est de la regarder comme dérivant d^une autre , dans laquelle on a supposé qu'un point de la droite proposée a disparu en passant à l'infini. Soit I ce point ; le point cherché G devra satisfaire , par rapport aux trois points donnés À, B, I, à l'équation :

CÂ^Ib* = CB.CI.BA.IA.

En effet, si l'on suppose le point I à l'infini , l'équation se réduit à la première oi-dessus .

Cette équation a cela de remarquable, que chacun des quatre points qui y entrent y joue le même rôle par rapport aux trois autres \ et que , quel que soit celui des quatre points qu'on suppose à l'infini, l'équation résultante exprime toujours la division d'une droite en moyenne et extrême raison.

To«. XI. 65

qui ait mis ce dernier au nombre de ceux qui ont écrit sur les cinq corps réguliers. Les historiens des mathématiques ne parlent de lui qu'au sujet de ses cinq livres d^Élémen* coniques , et de ses lieibx géométriques ^ dont Yi^iani , comme on sait , a donné une divination.

Du reste, il n'est pas étonnant qu'Aristée ait écrit sur les cinq corps réguliers ; car cette théorie a été fort cultivée , et en grand honneur dés la plus haute antiquité des sciences chez les Grecs. Pythagore en avait fait le principe de sa cosmogonie , dans laquelle les cinq corps réguliers répondaient aux quatre élémens et à l'univers ^, ce qui a fait qu'on les appelait les cinq figures mondaines (fiqurœ mundanœ ^), Platon adoptait ces idées ^ , et avait aussi cultivé cette théorie ^ , sur laquelle Theatète, l'un de ses disciples, passe pour avoir écrit le premier '. Ensuite, on trouve donc Ârislée, puis Euclide, Apollonius et Hypsicle ^. Ce dernier cite dans ses deux livres, Isidore-le-Grand , son maître, de qui il avait appris ce qu'il savait sur cet objet.^Ges cinq corps réguliers ont joué un si grand rôle dans l'antiquité , par suite des idées pythagoriciennes et platoniciennes , qu'on les regardait comme étant le but final auquel étaient destinées et l'étude et la science des géomètres '.

Pappus Dous apprend ^ qu'Archimède a cherché à étendre cette théorie , et que ne pouvant former plus de cinq polyèdres réguliers, il en avait imaginé d'un nouveau genre, qu'on a appelés semi-réguliers : leurs faces étaient, comme dans les cinq premiers, des polygones réguliers, mais non tous semblables entre eux. Ces nouveaux corps étaient au nombre de treize. Pappus en a donné une description très-claire , que Kepler a repro-

1 Le cube représentait la terre; le tétraèdre , le feu ; PocUèdre, Tair^ l'icosaèdre , Peauj et le dodécaèdre PaniYers. (Plutarque, Placit. philos, y Ht. 11 , cap. 6.)

^ Proclus, Commentariua in Euclidem, lib. 11, cap. 4. — Kepler, harmonicBS mundi liber secnndas, p. 68.

' Timée, 3« partie. — Plutarque, P/atontece questiones.

* Pappus, ColleoHons mathématiques, liYre5,àla suite de la proposition xvn. — Proelaa, in Euclidem , lib. 11, cap. 4.

^ Theatetus, Atheniensis , Archytœ sodalis, Geomeirica auxit, primusquêde quinque solidis tractant vt Laertius etProclus produnt. (Heilbronner , ffistoria matheseoa , p. 149.)

^ On n^est pas d'accord sur Pépoque où a -vécu Hypsicle que les uns placent dans le second siècle de notre ère , et les autres dans le second siècle avant J.-C, un peu après Apollonius. Ost cette seconde époque que nous aTons adoptée en parlant d*Euclide; nous avons dit qu^Hypsicle lui était postérieur de près de 150 ans.

Ce fut là le sentiment de Bernardin Baldi, dans sa Cronica de matematici^ p. 37, et de Vossius, qui pensa qu'HypsicIeayaitTécu vers le temps de Ptolémée Lathyre ; et Isidore-de-Grand, son mattre, dont il parle dans ses deux livres , sous Ptolémée Physcone. Cet Isidore-le-Grand pourrait être , suivant Vossius , celui que cite Pline dans sa Géographie. (Vossius , De scientiis mathematicis , p. 328.)

Le savant médecin Heniel , dans la préface de sa traduction latine du petit ouvrage astronomique d^ypsicle, intitulé Ànaphoricua sive de Ascensionibus ; Paris 1657 — 4°\ et récemment H. Delambre {Histoire de Vastronomie ancienne, t. h^, p. 246) , et O. Franchini {Saggio délia storia délie matematiche, p. 146), ont placé aussi Hypsicle vers Tan 146 avant J.-G. Hais Tabricius {Biblioiheca grœca^ t. II , p. 01) , et d'après lui , Weidler , Heilbronner, Vontucla et Lalande Pont fait naître dans le second siècle de notre ère.

' JVihil in antiquâ Geometrid speciosius visum est quinque corporibus ordinatis, eorumque gratid Geometriam , ut es Proclo, initie, dictum est, inventa esse veteres illi crediderunt, (Ramus, Scholarum mathemaiicarum , liber xxx.)

B Collections mathématiques , livre 5 , à la suite de la proposition 17.

duite, en donnant les figurée qai s'y rapportent ^ dans le second liyre de son Harmonie du Mande. Les historiens passent sous silence ce travail d'Archimède : il est yrai qu'il est, par sa nature, bien inférieur aux autres découyertes de ce grand homme. Il eût été plus digne du génie d'Archiméde , puisqu'il youlait aller au delà d'Euclide et des autres géomètres, dans cette théorie des figures régulières, de créer les nouyeaux polyèdres itoiléê, qu'a décrits M. Poinsot, et qui forment layéritable extension dont cette antique et célèbre théorie était susceptible.

Reyenons à Gampanus. Lucas Gauricus, astronome et astrologue napolitain, a mis au jour, au commencement du seizième siècle , sous le nom de ce géomètre , un traité Ds tetragoniêmo , seu Quadratura circuli > ; et depuis , quelques auteurs ont répété que Gampanus a écrit sur la quadrature du cercle. Mais Touyrage dont il s'agit ne dénote qu'ignorance dans son auteur , et est absolument indigne de porter le nom du sayant interprète d'Euclide. L'auteur prend pour base de sa quadrature le rapport —- de la circonférence au diamètre , « êecundum quod plerique mathematioi êcripserunt etjtixta phy^ieam veri$a$emy> ;et, en passant par quelques propositions intermédiaires, il en conclut que le cèté du carré qui est égal en surface à un cercle, est 5 fois et i la septième partie du diamètre du cercle. De sorte que D étant le diamètre , l'air du cercle serait —- (y)* , au lieu de ^ • -y'

Sacro Bosco a dû une longue céli&brité à son traité De sphcerâ mundi, qui est un extrait de l'Almagesle de Plolémée , et qui pendant plus de 400 ans a seryi dans les écoles à enseigner l'astronomie. Imprimé pour la première fois en 1472 à Ferrare , il a eu depuis au moins cinquante éditions. Un grand nombre d'auteurs des plus célèbres , tels que Pnrbach , Regiomontanus , Elie Vinet, Glayius, etc. , l'ont éclairci par des notes ou des commentaires.

Mais il est important de remarquer ici , pour se faire une idée yraie de l'état de la science alors, que cet ouvrage ne contenait que les notions les plus élémentaires de Ptolémée; il faisait connaître les cercles de la sphère, les pl^nomènes du mouvement diurne, et disait quelques mots des éclipses. Ge n'est que deux siècles plus tard que l'on fit un pas de plus dans la connaissance de l'Almageste , et que Purbach expliqua la théorie des planètes , qui en est la partie la plus importante et la plus difficile.

Sacro Bosco a laissé sous le litre De jélgoriemo, un traité d'arithmétique écrit en vers. G'est notre arithmétique actuelle ^ : Sacro Bosco l'attribue aux Indiens. Il la divise en 9 parties, qui sont: Numération, addition, eouetraction , médiation^, duplation*.

' Teiragoniamuê , id est circuli quadratura per Campanum, Archimedem Syracusanum atque Bœtium, mathêmaticm perspicaciêsimos adinventa, VenetiU , 1603 , in-4o.

3 On a da même tempi , un autre traité d'arithmétique écrit aussi en yers latins, par iklexandre de Tilledieu. (Yossius , De eeientii» mathematicie , p. 40. — Daunou , Histoire littéraire de la France , t XVI , p. 113.)

^ BÎTision par deux.

* Multiplication par deux. Cette opération et la médiation ont été comprises dans les oufrages du XVI« siècle^ dans les règles générales de la multiplication et de la division ; de sorte que les traités d'arithmétique n'ont plus eu que sept chapitres au lieu de neuf. (Voir la Summa de aritkmetica de Lucas de Burgo.)

multiplication, division, progression et extraction des racines carrées et cubiques. Pendant très-long-temps , les traités d'arithmétique se sont composés de ces 9 chapitres : on les trouve encore dans des ouvrages du XVP siècle.

On a de Sacro Bosco quelques écrits sur Tastronomie , où les calculs sont faits en chiffres arabes. Ces pièces et le traité de Talgorisme sont restés manuscrits. Les chiffres de Sacro Bosco sont l'origine des nôtres ; on suit très-bien dans les manuscrits des XIY^ et XY" siècles , et même dans plusieurs ouvrages des premiers temps de Timprimerie, les petites altérations successives qui leur ont donné définivement la forme actuelle.

On doit à Jordan Némorarius :

l'' Un ouvrage d'arithmétique en dix livres y qui est un traité sur les propriétés des nombres , imité de ceux de Nicomaque et de Boèce. Cet ouvrage a été imprimé avec des commentaires de Fabre d'Étaples ( Faber StaptUensis ) en 1 496, et a eu depuis plusieurs autres éditions.

2"* Un traité d'arithmétique pratique, dans le système arabe, intitulé Algorismus , qui est resté manuscrit.

3'' Un traité du planisphère, qui a été imprimé en 1507, 1536 et 1558 avec celui de Ptolémée. C'est dans cet ouvrage que se trouve démontrée pour la première fois dans toute sa généralité, cette belle propriété de la projection stéréographique qui est le fondement de la construction du planisphère , savoir que : tout cercle se projette suivant un cercle. Ptolémée n'avait démontré ce théorème que pour des positions particulières du cercle de la sphère mis en perspective, parce que cherchant partout la clarté et la facilité , comme le dit Proclus au chapitre X de son Hypotypose, il n'introduisait dans ses ouvrages et n'y démontrait que les propositions géométriques qui lui étaient absolument indispensables.

Ptolémée faisait la projection sur le plan de l'équateur , l'œil étant placé au pôle , Jordan l'a faite sur le plan tangent à la sphère mené par le second pôle. Depuis, Maurolycus et les autres géomètres l'oijt imité. Nous remarquons ces légères différences entre l'ouvrage de Jordan et celui de Ptolémée, parce qu'elles sont, pour l'époque, de véritables innovations qui marquent les premiers pas de l'esprit de recherche et d'invention qui était rare au XlIP siècle , où les intelligences avaient assez à faire d'acquérir les connaissances que les Arabes leur livraient.

La dénomination de projection stéréographique , que l'on a donnée à la projection employée par Ptolémée dans son planisphère, est moderne; elle est due à Aguilon qui l'a proposée et s'en est servi dans son optique ^

La projection stéréographique jouit d'une propriété très-remarquable , qui consiste en ce que l'angle de deux cercles tracés sur la sphère , est égal à l'angle des deux

' Aguilonii Opticorum librisex» Paris 1618 , in-f»,

« Quare tametsi STSRKOOftAPBicis nomine nusquam vocaium hoe projectionis genus reperimus / quiâ tamsn nec alto quidem uîlo aolitum est appellari , placuit hoc nomen tisurpare^ guod nobis inprœsenii vUum est ad rem ipsam qiiàm maxime accommodatum )> (in prœfatione).

cereUê en projection. Ce beau théorème n'a pas été aperçu par Ptolémée ni par Jordan '. UouTrage le plus ancien, à la connaissance de M. Delambre, où il se trouye, est le traité de navigation de Roberston (1754). (Voir Traité d'astronomie , t. III. )

Il existe un traité manuscrit De triangulie de Jordan K

Il ayait aussi écrit trois livres De geotnetriâ , que Vossius suppose devoir se trouver dans la bibliothèque du Vatican ^ , et qu'a possédés aussi la bibliothèque de l'académie de Leipsick K

Ramus lui attribue la démonstration de l'élégante formule pour Taire du triangle en fonction des c6lés^ Nous ne savons dans quel ouvrage Jordan l'a donnée; H. Venturi ne l'a pas trouvée dans son traité De triangulie ®. Cette démonstration est la même que celle que Léonard de Pise a donnée dans le même siècle , dans sa géométrie pratique. Elle parait être d'origine arabe, car elle se trouve dans l'ouvrage des trois géomètres, fils de Musa ben Schaker, et dans celui du juif Savosarda.

Jordan a aussi écrit sur l'optique, et sur la mécanique ^.

Albert-le-Grand, ainsi nommé, dit Hontucla , soit à cause de sa réputation , soit parce que son nom propre qui est Grott, signifiait grand dans le langage du temps, avait écrit sur l'arithmétique, la géométrie, l'astronomie et la musique. Ces ouvrages ne nous sont point parvenus. Il^ut célèbre par son habileté en mécanique. Cet écrivain , d'une fécondité étonnante , avait une connaissance étendue des ouvrages arabes.

Roger Bacon, l'un des plus puissans génies du moyen âge, occupe le premier rang parmi les promoteurs de la renaissance générale des lettres et des sciences. II contribua particulièrement aux progrès des mathématiques en montrant dans plusieurs de ses ouvrages^ le rang qu'elles tiennent dans l'ensemble des connaissances humaines, et les secours qu'elles peuvent procurer dans toutes les recherches scientifiques , dont elles sont le fondement. Son optique contient, comme tout le monde sait, de savans aperçus et des découvertes réelles en théorie, et l'invention de plusieurs instrumens devenus delà plus haute utilité.

Ses connaissances en astronomie lui firent reconnaître les erreurs du calendrier, dont il conçut la réformation. Le calendrier qu'il calcula, et qui est resté manuscrit, se distingue par sa correction et par l'usage des chiffres arabes, qui sont les mêmes que ceux de Sacro Bosco.

' r^ous aTona dit dans notre cinquième Epoque que la projection ttëréographiqne jouit d'une autre propriété attei belle, concernant la détermination du centre d'un cercle en perspectiTe ; et que les principes de cette projection , transportés aux surfaces du second degré , forment aujourd'hui une méthode de recherche en Géométrie rationnelle.

3 Ce traité se trouve dans la bibliothèque des Dominicains à Tlorence (Hontfauoon , Bib. lib») ; dans celle de la ville de Basle (Hanel , caialogi^ etc.) , et dans la bibliothèque royale de Paris (n» 7878. A.).

' Db êcientiis mathematiciê , p. 833.

* C. Qe%ïitt ^ Biblioiheca universalts, ete , t. II, fol. 77 ▼«».

' Seholœ mathemathicœ ; à la suite du livre xxxi«.

^ CommentaH sopra la storia e le teorie delVoiHca. Commentario II ; del Traguardo , cap. xxx.

' Jordani de ponderibuê proposiHones XIII et demonstrationes. Korimbergœ, 1681 , in-4o.

^ Spécula mathemaiica, — Opus Sfajus; quatrième , cinquième et sixième parties.

Yitellion a laissé un savant traité d'optique, imité de celui de Tarabe Alhasen^et qui est remarquable , surtout pour Tépoque où il parut, par les principes de bonne Géométrie de Técole grecque, sur lesquels il repose.

Tout le premier Hyre est consacré à la Géométrie. L'auteur y a réuni les propositions dont il aura à faire souTcnt usage dans la suite, et qui ne se trouvent pas dans les élémens d'Euclide. Quelques-unes sont prises des coniques d'Apollonius que cite Vitellion. D'aU' très qui concernent la division harmonique d'une ligne droite, sont dans le genre de celles qu'on trouve dans le septième livre des collections mathématiques de Pappus. D'autres enfin sont dans le genre de celles qui se trouvent dans le traité De incUnationibus d'Apollonius. Hais il n'est pas fait mention de cet ouvrage, ni de celui de Pappus.

Yitellion, en citant les élémens d'Euclide et les coniques d'Apollonius, ouvrages avec lesquels il parait familiarisé, nous montre, d'une part, qu'une autre traduction d'Euclide que celle de Gampanus alors trop récente, était déjà en circulation en Europe , et ensuite que le fameux traité des Coniques y était aussi déjà connu. On avait pensé qu'on n'avait commencé à le connaître que 200 ans plus tard, vers le. milieu du XV' siècle où Regiomontanus en méditait une édition > .

Un autre écrivain , contemporain de Yitellion , Peccam , archevêque de Gantorbéry , a aussi laissé un traité d'optique ; mais qui est moins savant que celui du géomètre polonais.

Vincent de Beauvais n'est point un auteur original ; mais son êpeculumsnundi, recueil immense , qui a reçu le nom d'Encyclopédie du XI 11^ siècle y mérite d'être cité comme donnant une idée de l'état où les sciences se trouvaient à cette époque , si l'on n'y comprend pas, toutefois, les progrès notables qu'elles ont faits dans ce siècle même. On trouve dans cet ouvrage des extraits d'Euclide, d'Aristote, de Vitruve qui avait paru jusque là inconnu dans le moyen âge , de Boèce , de Cassiodore, d'Isidore de Séville , d'Alfarabius, d'Avicenne et de divers autres auteurs arabes.

Vincent de Beauvais dit qu'Alfarabius ^ distinguait huit sciences mathématiques , qui sont l'arithmétique , la géométrie , la perspective , l'astronomie, la musique, la métrique ou la science des poids et mesures, et la science des esprits (c'est-à-dire la métaphysique). Il n'y a là que sept sciences ; la 8* qui est omise, est l'algèbre, qu'AKarabius avait placée après l'arithmétique. Vincent de Beauvais n'en parle pas non plus dans la suite , ce qui fait penser qu'alors l'algèbre avait à peine pénétré en France, ou du moins qu'elle n'y était connue que dans le cercle restreint d'un très-petit nombre de mathématiciens.

Notre système de numération est exposé très-clairement avec le zéro, sous le titre A'MgorismtM.La Géométrie se réduit aux définitions et à quelques notions élémentaires. Ge qui nous prouve que les matières sur lesquelles roulaient les savans ouvrages de Sacro Bosco, de Gampanus, de Jordan, de Vitellion, étaient encore toutes nouvelles, et que la connaissance n'en était point parvenue à Vincent de Beauvais.

' Montucla, Ilistoire des mathématiques, 1. 1, p. 248.

^ Alfarabiut fut Pua des arabes les plus célèbres du X« siècle , surtout comme géomètre et astronome. Dans le catalogue de ses nombreux ouvrages on en remarque un dont le titre : JVilus felicitatum, seu discipUnarum maihematicarum Thésaurus, prouve tout le prix qu*il attachait à la culture des mathématiques.

Si nous avions suivi Tordre chronologique, dans notre examen des écriyains du XIII'* siècle, nous l'aurions commencé sans doute par Fibonaccî, appelé communément Léonard de Pise , dont le Liber Ahhaci porte la date de 1202. Mais cet ouvrage a eu une telle influence sur la direction qu'ont prise les sciences mathématiques au XY"* siècle, que nous avons voulu le distinguer spécialement de ceux dont nous avons parlé jusqu'ici. Ceux-ci appartenaient à l'école grecque, quoique ce soit par l'entremise des Arabes, et dans leur langue , qu'ils aient pénétré en Europe. Ceux de Léonard de Pise , au contraire nous pa* raissent être d'origine Hindoue, quoiqu'ils aient passé aussi par la main des Arabes. C'est de là que provient le caractère qui les distingue des autres.

Léonard Fibonacci^ a voyagé, comme on sait, en Orient ; et à son retour a fait paraître un traité d'arithmétique et d'algèbre , commençant par ces mots : Incipii Liber Abbaci composiitiê à Leonardo fUio Bonacci Pisano , in anno 1202. L'arithmétique est notre système actuel , avec le zéro ; Fibonaoci l'attribue aux Indiens : '

« Novêtn figurœ Indorum hœ sunt :

viiii, VIII, VII, VI, V, im, m, ii, i.

cujn his itaque fiovem figuri* et cum hoc signo o quod arabicè zephirum appellatur, êcrihitur quilibet fiumeruê, etc. » ^.

Le traité d'algèbre que Fibonacci appelle, comme les Arabes, jilgebra et Almuchaba, s'étend jusqu'à la résolution des équations du second degré, et de quelques autres qui se réduisent à celle-là. Il est une imitation de cette partie de l'algèbre, traitée par Mohammed ben Musa, qui était élémentaire, et en quelque sorte populaire au IX° siècle chez les Arabes. Fibonacci y fait des application de cette science à la Géométrie. Et c'est là le premier exemple et l'origine, chez les mathématiciens européens, de l'introduction de l'algèbre dans les démonstrations et les spéculations de la Géométrie. Cette alliance de deux sciences qui avaient été si distinctes chez les Grecs, forme le caractère propre de l'ouvrage de Fibonacci, où non-seulement elle se trouve mise en pratique, mais où elle

' Cet cliiffrea ressemblent à ceux de Sacro Bosco que beaucoup d*autenrs ont rapportés dans leurs ouvrages. [Voir particulièrement Heilbronner et Hontucla.] Du reste les cbifTres arabes qu^on trouve dans un grand nombre de manuscrits latins des XIII« et XIY" siècles ont toujours la même forme.

3 On Toit que presque tous les auteurs du XIII« siècle , fibonaoci , Jordan, Sacro Bosco , Vincent de Beauvais, Alexandre de Yilledien , Roger Bacon, ont écrit sur le système de numération arabe , ou plutôt indien. Gela prouTe évidemment que depuis long-temps ce système était déjà connu et pratiqué des mathématiciens ; et que les recherches à faire pour fixer la date de son introduction en Europe , dont Phonneur ne peut être attribué à Fibonacci niàaucun des autres écrivains que nous venons de nommer, doivent remonter au delà du XUI» siècle. On ne peut croire en effet que les écrivains du siècle précédent, qui avaient rapporté d^Espagne de nombreuses traductions des principaux ouvrages des Arabes , n^y aient pas compris leur système de numération, tant pour ' lui-même que parce qu^il devenait indispensable pour traduire leurs tables et autres ouvrages astronomiques , tels que ceux d'Ariachel, d^Alfraganus , etc.

Et en effet nous avons déjà cité un traité d^Âlgorisme qui paraît être de Gérard de Crémone , et un autre de Jean Hispalensis. Ces deux écrivains ont vécu dans le Xll^ siècle.

est exprimée formellement comme tenant à la nature même des deux sciences, qui doivent se prêter de mutuels secours ; car dans sa préface, Fibonacci dit : Ei quia ariihmeiiea et Geometriœ scientia sunt connexœ , ê$ êuffragatoriœ sibi ad invicetn, nonpotest de numéro plena tradi doctrina^ nui inêerantur geometrica quœdatn , vel ad Geometriam êpectantia; et il ajoute que souvent les règles et les opérations de l'algèbre tirent leur évidence et leurs démonstrations des figures et de considérations géométriques. Ensuite Fauteur annonce qu'il traitera avec plus d'étendue de ce qui concerne la Géométrie, dans un livre de Géométrie pratique qu'il a composé.

Cet ouvrage divisé en huit chapitres est intitulé : Leonardi Pisani de filiis Bonaeci Practica Geometriœ ^ compoêita anno MCCXX. Il est resté manuscrit, de même que le traité d'algèbre. Bernardin Baldi nous apprend queCommandin avait préparé une édition de ce traité de Gréométrie , mais qu'il est mort sans avoir pu réaliser ce projet i. Edouard Bernard, savant géomètre et astronome anglais du XYIP siècle, devait comprendre le traité d'algèbre dans le septième volume de la magnifique collection qu'il avait préparée des ouvrages des mathématiciens anciens ^.

Fibonacci avait laissé aussi un traité des nombres carrés, qui, d'après ce qu'on en peut juger par des passages de la summa de arithmetica ^ etc., de Lucas de Burgo, et de l'arithmétique de Cardan , qui le citent, roulait sur l'analyse indéterminée du premier et du second degré. Les formules dont ces deux géomètres font usage diffèrent de celles de Diophante, et sont les mêmes que celles que l'on trouve dans les ouvrages indiens , à l'exception toutefois qu'elles ne résolvent point des questions aussi difficiles et aussi générales que dans» ces ouvrages indiens. Nous devons regarder ce traité de Fibonacci comme une copie de quelque ouvrage arabe, emprunté lui-même de ceux des Hindous.

Ainsi, en somme, les écrits de Fibonacci, qui au XYP siècle ont été le modèle elle fondement de ceux de Lucas de Burgo, de Cardan et de Tartalea, avaient une origine purement arabe, et primitivement hindoue. C'est donc une opinion erronée, sur laquelle il faut revenir, que nous avons dû notre savoir et nos progrès dans les sciences , directement et exclusivement aux ouvrages des Grecs.

Les ouvrages de Fibonacci, dont on reconnaît aujourd'hui toute l'importance, sont cependant encore inédits-, les manuscrits en sont très-rares; et le traité des nombres carrés est déjà perdu , depuis une soixantaine d'années. C'est le sort réservé aux traités

' Cronica de matematici , p. 89.

^ Cette collection deyait avoir 14 Tolames ; le détail des ooYragea qui deTaient y entrer te trouve dans la Bi&Zto/A^ca ^HEca de fabricius (lib. 3, cap. 23).

On remarque dans le Toluihe VI , destiné à Talgèbre , le titre suivant d^un ouvrage de Thebit ben Corah , qui montre bien Palliance intime que les Arabes avaient établie entre Palgëbre et la Géométrie, qui forme le caractère propre de leur science mathématique : Tkàbeii iractatus de veriiaU proposiHonum algebricarum demofh' strationibus Geometricis adstruenda, cumaliU traetatibus egregiis, quœ Gêbricam arUm spectani, Arabicè et latine

Les immenses et précieux matériaux préparés par Éd. Bernard ont passé après sa mort dans la bibliothèque Bodléienne. On a lieu de s'étonner qu'une aussi belle et aussi utile entreprise n'ait pas reçu son exécution, dans un pays où les sciences ont trouvé souvent de nobles et généreux encouragemens.

d'algèbre et de Géométrie, si Timpression ne vient promptement nous assurer la conservation de ces monumens si précieux de Thistoire scientifique des Européens K

Le XIV* siècle parait avec moins d'éclat que le XIIP, dans l'histoire du moyen âge; xiv*' siècle. parce qu'en e£fet les productions neuves et importantes qui rendent célèbres les noms de Fibonacci, de Sacro Bosco, de Gampanus , de Jordan , de Yitellion, de Roger Bacon , demandaient à être méditées et étudiées silencieusement pour être bien comprises et porter leur fruit. Toutefois le XIY* siècle, trop peu connu encore , nous semble avoir rempli sa tâche; les études mathématiques ont continué d'être cultivées, et elles ne se sont point réduites à la simple reproduction ou à l'imitation de quelques ouvrages arabes: de premiers efforts ont été faits pour appliquer les connaissances acquises, et pour aller au delà ; les esprits ont été préparés à la lecture des textes grecs et au mouvement rapide et général qui a produit , dans le siècle suivant , le renouvellement des sciences.

Le premier tiers du XIV* siècle nous offre un homme qui a eu une grande célébrité par son savoir en philosophie, en mathématiques, en théologie et dans la littérature arabe, Thomas de Bradwardin, archevêque de Cantorbéry. Nous avons fait connaître la savante théorie des polygones égrédien^ que ce géomètre imagina, sur la simple donnée du pentagone étoile de Gampanus. Gette théorie était véritablement une conception nouvelle, qui doit faire honneur au XIY* siècle. Elle se trouve, comme nous l'avons dit, dans un traité intitulé : Geometria speeulativa, qui a été imprimé en 1496, et a eu depuis plusieurs autres éditions \ Gette date de 1496 parait avoir induit en erreur les historiens des mathématiques , Bernardin Baldi , Heilbronner et Montucla , qui ont placé l'auteur à la fin du XV* siècle; et c'est peut-être là la cause pour laquelle on n'a pas fait attention jus-

> a Les personnes qui ne se sont pas spécialement occupées de recherches historiques, ne sauraient sHmaginer

» combien de manuscrits précieux ont été détruits, même dans ces derniers temps Après de si coupables

» négligenees^ comment ose-t-on parler encore de la destruction des manuscrits au moyen ftge? Sous peine de V passer pour des barbares aux yeux de la postérité , il faut arrêter une telle dévastation, w {Histoire des sciences mathèmati^es en Italie , 1. 1, p. ij).

Ifous nous faisons un devoir de répéter ces paroles de M. Libri ; nous Tondrions qu^elles eussent souvent de Técho. Sais on sent que le devoir qu^elles commandent n^est point celui de simples particuliers ; mais bien pelai des gouvememens désireux de contribuer aux progrès dea sciences et au développement de rintelligence humaine. L'impression de quelques manuscrits auxquels s'attache un intérêt scientifique et historique , de même que la reproduction dans la langue nationale de quelques ouvrages étrangers , serait de leur part une digne et utile coopération , peu coûteuse du reste , aux travaux des hommes qui se vouent à Pétude.

Une seconde mesure à prendre , pour arrêter la destruction des raretés littéraires ( telles , par exemple , que les productions du XVIi« siècle , qui disparaissent tous les jours) , serait rétablissement d'une bibliothèque spéciale destinée aux sciences \ bibliothèque en quelque sorte historique, où se trouveraient réunies , par siècles, toutes les productions du savoir et du génie , et qui deviendrait un centre où chacun se ferait un devoir et un bonheur de porter ses petites propriétés particulières, qu'on laisse perdre aujourd'hui parce qu'on ne sait réellement à quoi les réunir pour les rendre utiles et leur assurer une conservation durable.

3 Dans un manuscrit de la bibliothèque royale {u? 7368 , copie du X1V« siècle) se trouve une pièce intitulée dans le catalogue, Fragmentum elementorum Geometriœ,où nous avons reconnu des passages de la Géométrie de Bradvrardin. La théorie des polygones égrèdiensj est ; mais on ne trouve dans les figures que le pentagone de seconde espèce et l'eptagone de troisième espèce, qui y sont appelés, comme dans l'ouvrage imprimé, pentagone dvL premier ordre , et eptagone du second ordre. Les autres polygones égrédiens n'y sont pas représentés.

To«. XI. 66

qu'ici à son ouvrage; car le rajeunir ainsi de plus d'un siècle et demi, c^était en diminuer le mérite. Pour Tépoque où il futéoril^ il noue paraît remarquable , non«<seulement parla théorie des polygones égrédiens, mais encore par plusieurs autres , patmi lesquelles on distingue quelques propositions sur lea figures isopérimétres.

Voici l'analyse de cet ouvrage :

Son second titre est : Brève eompendiumartU Geameiriœ à Thama Bravardini es libri» jEticlidiêy Boetiiy ei. Campant peroptimi^ eonipilaiufn. Vantent matait Aà nommer au^si Ârohimède et Théodose, qu'il cite souvent^ et de qui il a fait plusieurs emprunts, pris du livre De quadrature eirculi du premier, et des SphJriqueê du seoend.

L'ouvrage est eu quatre parties :

La première comprend les définitions , les axiomes et leB^ppstt^ta qui sont en tête des élémens d'Euclide ; et la théorie des polygones égrédiens. . ' • .

La seconde partie traite des triangles, des quadrilatères, du Cercle, et des figures iVopirimktr^ê , dont Euclide n'a pas parlé dans sa Géométrie , ainsi que le remarque Bradwardin. Mais on sait que dans l'école même de Py thagore cette théorie a*été ébauchée ; et que Zènodore, disciple de ce philosophe,. a laissé sur cette matière un écrit, destiné à combattre ce préjugé vulgaire que les figures de contours égaux avaient des capacités égales. Cet ouvrage , le plus ancien des écrits géométrîque& des "Grecs qui nOua sont parvenus , a été conservé par Théon dans son commentaire sur l'Almageste K Pappus a traité aussi cette matière, au commencement du cinquième livre de ses collections mathématiques. Brad^ardin ne dit pas si les propositions qu'il démontre sont prises de cet ouvrage, ou de l'Almageste, ou bien s'il les a imaginées de lui-même. En voici les énoncés :

Première proposition. — De tou^ les polygones iêopirimètres , celui qui a le plus grand nombre d'angles est le plus grand en surface.

Seconde proposition. — De tous les polygones isopérimitres d*un\ tnéme nombre d'angles , le plus grand est celui qui a ses angles égaux.

Troisième proposition. — De tous les polygones isopérimitres qui ont le même nombre de cotés et leurs angles égaux ^ le plus grand est celui qui a ses côtés égaux*

Quatrième proposition. — De toutes les figures isopérimitres , le cercle est la plus grande. L'auteur ajoute que la sphère Jouit de la même propriété parmi les solides,

La troisième partie de Touvrage traite des proportions et de la mesure des .aires du triangle, du quadrilatère , des polygones et du cercle.

Bradwardin dit que l'aire du cercle est égale à celle du rectangle construit sur la moitié de la circonférence et la moitié du diamètre , pour côtés. Il conclut celte proposition de celle d'Archimède qui est la même, en d'autres termes, et qu'il emprunte, sans démonstration, du livre De eirculi quadrature , où elle est énoncée ainsi : Un cercle quelconque est égal à un triangle rectangle dont un des côtés de V angle droit est égal au rayon de ce cercle , et dont Vautre côté de Vangle droit est égal à la circonférence de ce

' ClaTÎut Ta reproduit dans ton commentaire sur la sphère de Sacro Bosco.

mhiie oêrelê. Bradwardin ajoute que le rapport de la circonférence au diamètre est -^; « hoe ui habetur ab eodem Arehimênide > inprœdieto libella (De quadraturà oireuli.) »

La quatrième partie traite des figures à trois dimensions , des places , des angles solides , des cinq corps réguliers et de la sphère.

Le chapitre de la sphère est une collection de diverses propositions sur les cercles tracés sur cette surface , que Bradwardin dit avoir prises du livre des sphiriquee de Tbéodose.

Enfin on trouve un petit traité particulier sur la quadrature du cercle, qui est intitulé : Traotatue de quadrature eireuli editue â quodam archiepieeopo ordinis frairum minarum. Ce traité est précisément le même que celui que Gauricus a attribué à Gampanus. D'après ce que nous en avons dit, on pensera qu'il ne doit pas plus porter le nom de Bradwardin que celui de Gampanus.

Une idée de Bradwardin , fruit des. premières lueurs de la philosophie platonicienne qui commençait à pénétrer en Europe , mérite d'être remarquée. G'est que cet écrivain chercha , le premier , à appliquer la méthode géométrique à la théologie ; et répandit de la sorte les premiers germes de cet esprit d'indépendance qui ne tarda point à se faire-sentir dans les cloîtres et les couvens; et qui, cultivé avec plus de succès dans le siècle suivant par un autre prince de l'église, le cardinal Nicolas de Cusa , philosophe platonicien, secoua le joug de la scolastique du moyen âge, et atM)utit à la philosophie moderne.

Continuons l'histoire du XIY* siècle. Pediasimus, au commencement de ce siècle, a écriit sur la Géométrie et la géodésie-, le moine Barlaam a laissé un traité d'arithmétique, et un traité d'algèbre eli six livres , intitulé : Logietioœ libri VI ^ écrit en grec ^, quoique l'auteur fût italien ; mais il avait été résider en Orient pour apprendre la langue grecque. Une version latine du traité d'algèbre a été imprimée en 1672 (Strasbourg, in-8<^), puis en 1606 (Paris , in-4'*) , avec des scolies de Jean Ghamber. Le traité original est peutêtre le plus ancien ouvrage d'algèbre qui nous soit parvenu , après celui de Fibonacci , qui lui est antérieur de plus d'un siècle.

Killingworth a laissé des tables astronomiques , et un traité d'algorisme.

Simon de Bredon a commenté l'Almageste de Ptolémée >, et a écrit sur l'arithmétique.

Isaac Argyrus, moine grec, a calculé des tables astronomiques, et a écrit sur l'astrolabe; sur l'arithmétique, De extractione radieu quadraticœ quadratorum irrationalium ; sur la géodésie , Compendium geodœ^iœ seu de dimetuione locorum methodue brevù ae tuta; et sur difliérentes parties de la Géométrie, De inventiane quadrangularium laterum ; Theoremata de irianguliê ; De dimeneione iriangularum aliarumque figurarum ; De figuris non reetangulû ad reeiangulas redueendie,

< Bradwardin appelle Arebimède Arehimenidês.

^ Delambre , en rendant compte du lirre de eet euTrage qni te rapporte anx calcnlt attronomiqnea , a place Tantenr avant Bède , en ditant tontefoU qne l'on ignore Fépoque précite on il a t4c9l. Cette inad- ▼ertance est tingnlière^ car Barlaam est un personnage encore célèbre dans l'histoire littéraire et politique du XIV" siècle.

3 Ed. Bernard devait comprendre cet outrage dans le t. YIU de sa collection dont nous avons parlé pins haut. Il Pintitnle ; Smper tUmonsiroHones aliquets MmagêsHi Uns fUBOcruH.

Aucun de ces écrits n'a été imprimé ; nous regrettons de ne pouvoir dire quel en est l'objet y ni ce qu'ils offraient, dans le temps où ils ont paru, de neuf et d'utile. Edouard Bernard devait en comprendre un, en grec et en latin , sous le titre : De figurarum transmuiatione y dans sa collection des auteurs anciens.

Paolo di Digomari , connu sous le nom de Paolo dell Ahbaeo^ a écrit sur l'algèbre, la Géométrie et l'astronomie , et fut aussi un littérateur distingué , qui a mérité d'être cité à côté de ses célèbres contemporains le Dante et Pétrarque.

Montucla place au XIV^ siècle Biagio di Parma qui écrivit sur l'arithmétique , la Géométrie, l'astronomie et l'optique, et qui fut un homme distingué dans son temps. Lucas de Burgo le cite parmi quelques auteurs modernes dont les ouvrages lui ont été utiles pour composer sa Summa de jériihmetica^ etc. Mais il le place immédiatement après Léonard de Pise , et avant Sacro Bosco et Prosdocimo de Padoue, ce qui nous porterait à croire que ce géomètre l'a regardé comme étant du XIIP siècle ; car il a observé, du reste, l'ordre chronologique dans renonciation des autres noms qu'il cite. Ce sont parmi les Anciens , Euclide et Boèce, et parmi les Modernes, Léonard de Pise, Biagio di Parma, Sacro Bosco et Prosdocimo de Padoue.

Ce dernier a vécu sur la fin du XIY*' siècle et dans le commencement du XV^; il a calculé des tables astronomiques, et écrit un livre De algoriihtno , où Montucla suppose qu'il a traité de l'algèbre (Histoire dee Maihijnatiques , t. II , p. 716); mais cet ouvrage est probablement un simple traité d'arithmétique pratique, comme tous ceux qui portent le même nom à'algorisme ; d'autant plus que Bernardin Baldi ne cite Prosdocimo que comme ayant écrit sur l'arithmétique , et non sur l'algèbre. Du reste , le traité De algoriihmo a été imprimé en 1483. C'est peut-être le premier ouvrage sur notre système de numération que l'imprimerie ait mis au jour. Le Compendium arithmetices Boetii de Fabre d'Etaples a bien été imprimé en 1480 ; mais cet ouvrage ne roule que sur l'arithmétique spéculative, ou théorie des nombres, qui est indépendante de la manière de les représenter en se servant de quelques-uns seulement pour exprimer tous les autres i.

Cossali , dans son histoire de l'Algèbre^, cite plusieurs autres Italiens qui ont écrit sur cette science dans le XIY* siècle. On y voit que Guillaume de Lunis avait traduit l'algèbre de Mohammed ben Musa, sous le titre LaRegola delP algebra. Nous avons dit, en parlant de la Géométrie chez les Arabes, qu'on avait eu dans les XIII® et XI V<^ siècles plusieurs autres traductions latines de cet ouvrage, dont l'une a été reproduite par M. Libri dans le premier volume de son Histoire des sciences mathématiques.

L'astronomie a été la science la plus cultivée dans le cours du XIV® siècle, où l'on

* Le traité De algoritkmo de Protdocimo nous parait offrir de l'intérêt , parce qu'il confirme Popinion de l^'aliis aur Tidentité de la signification des mots abacus et algorismus , dont il pensait qne le second avait remplacé le premier dans les derniers temps du moyen âge. Wallis ayant lu dans un manuscrit de la Bib. Bodléienne que Hermann Contractus et Prosdocimo aTaient écrit sur VabacuSj ajoute que cela signifie, sons un autre nom , algorismus^ ou système de numération arabe. Le titre de Poudrage de Posdocimo , que Wallis ne connaissait pas, justifie pleinement son opinion.

^ Storia critica d'eW origine , trasporto e primi progressi in Italia d*eU* Àlgebra, Parme , 1797 ; 2yol, in*4».

trouve un grand nombre d'astronome»; la plupart ont laissé des traités de Tastrolabe. Nous n'avons point eu à les nommer , parce qu'il parait qu'ils n'ont pas écrit particulièrement sur la Géométrie.

On voit, par ce qui précède, que les connaissances mathématiques chez les chrétiens du moyen âge, se sont formées lentement depuis le Vlil* siècle jusqu'à la fin du XIV^', d'abord de quelques notions superficielles empruntées primitivement des Grecs et transmises par Boèce, Gassiodore et Isidore de Séville, et ensuite des ouvrages véritablement savans , que vers le XIP siècle on a tirés de l'Espagne et traduits de l'arabe en htin. Ceux-ci paraissent aujourd'hui , d'après les citations que nous avons faites , avoir été en très-petit nombre; car après avoir trouvé des traductions d'Euclide, de Théodose, de Ptolémée, d'Alhazen, de Mohammed ben Musa, nous avons auguré seulement, de quelques passages de l'optique de Vitellion , que les coniques d'Apollonius étaient connues , mais nous n'avons eu à citer aucune traduction de cet ouvrage important, ni de ceux d'Archimède, de Héron, de Ménélaus, de Pappus , de Serenus , de Proclus. Cependant nous ne pouvons croire que les ouvrages de ces géomètres grecs , dont il existait de nombreuses traductions arabes , n'aient pas pénétré chez les chrétiens d'Europe aux XIP et XIIP siècles, en même temps que les élémens d'Euclide. Et en effet il existe des traductions latines de quelques-uns ^ Mais leur rareté, et le silence gardé sur les géomètres qui en ont été les auteurs , ou qui s'en sont servis, prouvent que ces ouvrage ont été peu connus, et que les sciences mathématiques, à la fin du XIV® siècle, étaient encore dans Tenfance , en comparaison de l'état florissant qu'elles avaient atteint dès les premiers temps de l'école d'Alexandrie chez les Grecs , et dès le IX^ siècle chez les Arabes ^.

Hais au XY® siècle, qui est l'époque de la renaissance générale des lettres, des scien- xv« siècle. ces et des arts, en Europe, les sciences mathématiques reçurent une impulsion nouvelle et féconde qui prépara rapidement les grands progrès qu'elles firent dans le siècle suivant. Cette impulsion fut provoquée par la connaissance des ouvrages grecs que l'on étudia pour la première fois dans leur langue originale, et dont on prépara aussitôt des traductions qui firent connaître dans toute sa pureté la Géométrie d'Euclide , d'Archimède, d'Apollonius, et des autres grands écrivains de l'antiquité.

Ces premiers pas étaient déjà un progrès notable dans l'étude des sciences, qui suffirait seul pour rendre célèbre le XV® siècle. Mais en même temps, un autre élément scientifique, en quelque sorte étranger aux connaissances des Grecs , l'algèbre indienne qui languissait depuis bientôt 300 ans en Europe, sans qu'on parût y faire attention, fut reproduite de nouveau; ses usages furent enseignés , et son importance mise dans

' Particalièremeni dans le maniucrit de la Bibliothèque royale intitulé : Mathêmatiea (sapplëment latin , n» 40, in-fol.) H. Libri a donné dana •on ffiêioire des seienees maik, $n Italie , 1. 1*', p. 865, la Ibte des ouvrages qui se trooYent dans ce Tolume.

^ Il fant conTonir toutefois que nous connaissons très-imparfaitement l'histoire du moyen âge , que l'on a négligée jusqu'ici , tout occupé que l'on a été , depuis le XY^ siècle , d'étudier la littérature et les sciences grecques , et de puiser aux sources incomparablement plus précieuses qu'elles nous ont offertes , pour établir les fondemens de nos connaissances.

tout son jour. L'alliance entre elle et la Géométrie, queFibonacci avait prescrite, ne fut plus une idée stérile, mais un principe mis déjà en pratique. Enfin quelques ou- Yrages originaux, premiers essais du génie, et premières applications des connaissances empruntées des Grecs et des Arabes , viennent encore contribuer à Fédat du XV* siècle. Ajoutons que Tinvention de l'imprimerie, qbi prit naissance au milieu de ce siècle, apporta un secours immense et merteilleni aux efibrts de l'esprit humain entravé et rebuté auparavant par la rareté et la défectuosité des manuscrits. Cette invention mémorable était le complément, en quelque sorte, d'un autre grand événement du Xy* siècle, la prise de Constantinople qui livrait à l'Europe les arts, la littérature, la philosophie et les sciences de la Grèce ancienne '.

Nous allons passer rapidement en revue les géomètres à qui sont dus les premiers travaux d'où datent nos progrès dans les sciences.

A leur tête on trouve Purbach, et surtout son célèbre disciple Regioroontanus.

Le premier est connu surtout comme astronome, et'comme auteur du livre des Théo-riqueê desplaneteê^ Cet ouvrage était une suite de la sphère de Sacro Bosco, destiné à compléter la connaissance de l'almageste de Ptolémée, que Purbach avait débarassé des calculs et des démonstrations géométriques. Ensuite Purbach entreprit une traduction sur le texte grec, récemment apporté en Europe par le cardinal Bessarion, de la partie géométrique de cet ouvrage de Ptolémée. Cette traduction , qu'une mort prématurée Tempécha de terminer, fut continuée par Regiomontanus , et parut à Venise en 1496, sous le titre : Ptolemei Alexandrini (zstronomorum prinoipis in tnagnam conêêruc^ tianem Georgii Purhachii , ejusque diêcipuli Johanniê dé Regiomonté aêtronomicon epitoma. Venetiis , 1496 , in-folio.

Les deux savans traducteurs substituent dans les calculs trigonométriques de Ptolémée, les sinus aux cordes , ainsi qu'avait fait Albategnius , et aprèe lui les autres écrivains arabes ; mais ils conservent les expressions '^*"^'* , et ne font pas usage des tangentes qu'Ebn Jounis avait connues et qu'Aboul Wefa avait introduites dans la trigonométrie 500 ans auparavant. Plus tard Regiomontanus les imagina j à son tour, et en fit une table connue sous le titre de table féconde , qu'il lui donna.

Regiomontanus est un des hommes les plus remarquables que présente l'histoire des mathématiques. L'universalité de ses connaissances, la fécondité extrême de son esprit infatigable et le nombre de ses productions, peuvent le faire regarder comme le véritable restaurateur des sciences en Europe. Ces productions comprennent, d'une part, les principaux ouvrages des grands géomètres de l'école* d'Alexandrie, Euclide, Archimède, Apollonius, Ménéiaus,etc. , que Regiomontanus , le premier, lut dans leur langue ori-

1 Plasieiiri aatres ëvënement contemporaioâ j oomme la dtf ooaT6rt« de rAmériqne , da Cap-de-b<mii«*Btptfrance et des Indes Orientales , qni amena le perfectionnement de Pastronomie , de Toptiqae , de la Crtfomëtrie , Tinrent oontribner aussi à Pactivité générale des esprits , et à Pimpnlsion forte que reçut la cnltare des sciences à cette époque.

3 Thêoricœ Planetarum^ imprimé pour la première fois à Venise, in-4o, 1488, S8 ans après la mort de Tautenr ; et réimprimé depuis , un grand nombre de fois , le plus sonvent avec des commentaires.

ginale et dont il avait fait des yersions plas correctes que celles qtii nous Tenaient des Arabes; et, d^autre part, les propres découi^ertes de Regiomontanus. Parmi celles-ci on distingue surtout son traité Z>« triangulU otownimodiê lihri quinque (Norimbergœ, 1533 , in-folio). Cet ouipràge est un traité; complet de trigonométrie plane et sphérique. Les deux premiers livres sont pour les triangles rectilignes; ils renferment une foule de problèmes qui paraissent pour la première fois. Il s'agit toujours de déterminer, au moyen de trois données quelconques, les autres parties d'un triangle. Ainsi par exemple , dans le problème 7 du livre II, on donne le périmètre et deux angles d'un triangle *, dans le problème 12 du même livre, cm donne la base, la perpendioulaire et le rapport des deux côtés. Regiomontanus dit qi|e ce problème n'a pas encore été résolu par la 6é<»métrie ^ Et il y applique Talgèbre , qu'il appelle are rei et census; elle le conduit à une équation du second degré ; et il ajoute quod restai prœàepta artis edocebunt \ On voit par là que Regiomontanus possédait la connaissance de l'algèbre ^ qu'il avait acquise soit par l'ouvrage de Léonard de Pise, qu'il avait pu consulter en Italie ; soit par les traductions de l'algèbre de Mohammed ben Musa ; et cela n'est point étonnant , car un esprit vaste et pénétrant comme celui de Regiomontanus ne pouvait ignorer une in» mention aussi belle et aussi utile, l'un des plus précieux dons que nous aient faits les Arabes; mais ce passage offre de l'intérêt, parce que ses termes prouvent que déjà, vers le milieu du XV* siècle, la connaissance des règles de l'algèbre était répandue et vulgaire parmi les mathématiciens. Et en effet Regiomontanus, qui fait encore usage souvent de la règle rei et ceneue , dans ses lettres que le célèbre bibliographe De Murr a publiées^, écrit à l'astronome Blanohinus, qu'il pense que cet art lui est

' La solution de ce problème par la seule Géométrie n^offrait pas de difficulté, et je ne sais pourquoi Regiomontanus a cru devoir y employer nécessairement l'algèbre. En effet d'après Ténoncé de la question, le sommet du triangle cherché se trouTera d'abord sur une droite parallèle à la base donnée, et ensuite sur une circonférence de cercle, qui est le lieu des points dont les distances aux deqx extrémités de la base sont entre elles dans le rapport des deux côté^.

Cette proposition était connue des Anciens : Pappus Pénonce comme l'une de celles qui se trouvaient dans le second livre de Lieux flans d'Apollonius , et Eutocius l'a démontrée au commencement de ses commentaires sur les coniques de ce géomètre, pour donner un exemple des lieux géoméiriques qui servaient aux Anciens dans la solution des problèmes. Elle se trouve dans le Traité d$s connues géométriques de l'arabe Hassan ben Haitem (lor livre, proposition 9). Cheiles Modernes nous la trouvons dans le livre De proportionibus numerorum, motuum, etc., de Cardan ; puis dans un ouvrage d^ Alexandre Andersen (voir notre note III sur les porismes); dBnêle» Discorsiedimosirazionimatemaiichej etc. (p. 89) de Galilée; dans \e$ Lieux plans à' Apollonins , restitués par Fermât , Schooten et A. Simson j dans la Dioptrigue de Huygens , et dans beaucoup d'antres ouvrages. H. Legendre Ta comprise dans $e9 élémens de Géométrie*

s La base étant 20, la perpendiculaire 5, et le rapport des deux côtés ^ , Regiomontanus prend pour l'inoon^ nne la différence des deux segmens faits sur la base par la perpendiculaire ; et il arrive , par des considérations géométriques , à l'équation 20 census plus 2000 œquales 080 rébus ; c'est-à-dire 20 :r^+2000=680«.

Bans le problème 83 , où il s'agit de construire un triangle dont on connaît la différence des deux côtés, la perpendiculaire , et la différence des segmens qu'elle fait sur la base | Regiomontanus emploie encore la règle rei et census. If eus avons dit , en parlant de la Géométrie des Indiens , que ce problème se trouvait résolu dans le Lilavati de Bhascara.

' Bans le premier volume de son recueil intitulé : MemoraHlia Biblioihecarumpuhlicarum NoHmbergensium et universitaiis Àltdorfinœ ICorimbergtB , 1786, 2 vol. in-8o.

trétt-familier i ; et ceini-ci, en effet, s'en sert aussi dans ses réponses à Regiomontanus.

Les liyres III, lY et V traitent des triangles spbériques.

Le liyre III est dans le genre des sphériques de Ménélaus. Le livre IV renferme une trigonométrie complète ; et le livre V divers problèmes qui sont résolus pour la première fois. On y remarque cette proposition , qui correspond à une propriété des triangles plans connue des Grecs , savoir que : Uarc de grand eerele qui divùe en deux également V angle au sommet d'un triangle ^hér ique, fait êur la haee dewoetgmené dont lee sinus sont entre eux comme les sinus des côtés qui comprennent V angle.

Regiomontanus a écrit un traité d'arithmétique pratique qu'il appela Algorismus demonstratus. C'est l'ouvrage que Schoner a imprimé en 1534 sous le titre Algorith^ mus demonstratus} changeant ainsi le mot algorismus en algorithmus , ^Sivce qu'il pensait que l'ouvrage de Regiomontanus^ dont il avait trouvé une copie, avait dik être intitulé par ce géomètre algorithmes , ce mot provenant, dit-il, du mot grec apiSiisq altéré par les Sarrazins. Schoner ignorait donc que le mot algorismus était consacré depuis plusieurs siècles, comme on le voit par les ouvrages de Sacro Bosco, de Vincent de Beauvais , etc. , pour désigner notre système de numération 2; et qu'ainsi c'était à dessein que Regiomontanus l'avait employé. Cet ouvrage , que nous avons déjà en occasion de citer plusieurs fois, est très-remarquable sous un rapport dont nous n'avons point eu encore à parler ; c'est qu'il fait partout usage de lettres au lieu de quantités numériques suivant la coutume du temps ; et ces signes abstraits , qui constituent la forme des sciences mathématiques modernes, sont employés même pour exposer le système de numération , et pour démontrer les règles de l'arithmétique pratique. Si une mort prématurée n'avait enlevé Regiomontanus dans la première période d'une carrière si brillante, peut-être lui aurions-nous dû la grande conception de Viéte.

Dans le recueil de lettres que nous avons cité précédemment on remarque une solution trigonométrique de la question de construire avec quatre cotés donnés , un quadrUa-tire qui soit inscriptible au cercle. Nous avons donné, en parlant de la Gréométrie des Indiens, une notice historique sur ce problème dont plusieurs géomètres se sont occupés dans le XVP siècle.

Nous ne parlerons point des autres ouvrages de Regiomontanus, dont le nombre est très-considérable, mais dont la plupart, malheureusement, sont restés inédits. La liste s'en trouve dans plusieurs ouvrages dont nous citerons, comme étant les plus répandus, VHistoria matheseos de Heilbronner, et VBistoria astronomiœ de Weidler.

On concevra, à l'inspection de cette liste, d'autant plus étonnante que l'auteur a été enlevé aux sciences à l'âge de quarante ans, et que pendant sa courte existence il s'était

1 Sed nunc eam eligi quam vobù arbitrer familiarùsimam, per artem videlieet rei et cetuus quod quœrehoHs abwlvendo , p. 94 du 1er toI. da recueil cité.

^ La pièce ancienne miae au jour par GlichtoYëe tous le titre Opuiculum de prasi nuwiêrorum, quad algo" rismum vocant, et quelques autres, restées manuscrites (dont deux existent à la bibliothèque Ste^GéneTiè^e , et une 4 en français, k la bibliothèque de rArsenal), disent que le mot algoriamus provient du nom d^EUl philosophe appelé Aigus. Mais on ne trouve aucune preure de cette origine.

lÎTré principalement aux observations et aux calculs astronomiques, qu'il ayait fait des épbémérides comprenant trente années, dans un temps où le secours des logarithmes manquait au calculateur, qu'il était habile mécanicien et qu'il dirigeait une imprimerie, on concevra, dis-je, que Ramus Tait mis sur le même rang que les grands génies qui ont honoré la Grèce'.

Le cardinal Nicolas de Gusa, bien que ses œuvres mathématiques soient empreintes souvent de paralogismes qui leur ôtent aujourd'hui toute valeur, est cependant un des hommes qui ont le plus contribué au rétablissement des sciences, par l'importance qu'il leur reconnut et en les popularisant par l'usage qu'il chercha à en faire dans tous ses écrits, et même dans ceux qui se rapportaient à la théologie. Il suivait en cela l'exemple donné un siècle et demi auparavant par Bradwardin.

On cite Nicolas de Gusa surtout au sujet de sa quadrature du cercle , où il a eu le premier l'idée, en spéculations mathématiques, de faire rouler un cercle sur une ligne droite. On a cru voir dans cette idée les premières traces de la cycloîde, et Wallis s'est efforcé de faire remonter Torigine de cette courbe, devenue si fameuse dans le XYII® siècle, à Nicolas de Gusa; lui reprochant toutefois de l'avoir crue un arc de cercle. Mais rien ne nous parait annoncer, dans l'ouvrage de ce cardinal, qu'il ait songé à considérer la courbe engendrée par un point de la circonférence qu'il faisait mouvoir sur une ligne droite; et, l'arc du cercle qu'il décrit sert seulement pour déterminer le point de la droite où venait se placer, après une révolution du cercle, le point de sa. circonférence qui touchait d'abord cette droite. Il nous parait probable que l'auteur avait trouvé par des expériences mécaniques les principes de sa construction ^

Le cardinal Gusa est resté célèbre dans l'histoire, pour avoir adopté les principes de la philosophie platonicienne qui prenait naissance , et surtout pour avoir eu l'honneur de ressusciter, le premier parmi les Modernes, le système de Pythagore sur le mouvement de la terre autour du soleil , renouvelé depuis avec plus de succès par Gopernic et Galilée.

Le XY" siècle nous présente deux peintres célèbres Albert Durer et Léonard de Vinci , qui méritent d'être comptés aussi au rang des géomètres les plus savans de leur époque. Le premier a laissé un ouvrage de Gréométrie destiné aux architectes et aux peintres, écrit en allemand et qui a été reproduit en latin sous le titre suivant, qui fait connaître l'objet

1 Noriherga ium Regiomontano fruebatur : mathemaUci indè et studii et operis gloriam tautam adepta , nt Tarenium Archyta , Syraousœ Àrehimêde^ BtManHum Proclo, Alêsandria Ctêsibio , nonJusHtu quàm IVoriberga Regiomontano gloriari posait, (Scholao mathematicœ , lib.2, p. 02.)

9 Les écrits mathématiques de Nicolas de Gusa forment la troisième partie de ses œuvres complètes imprimées à Paris en 1614, in-f», et à Basic en 1565, in-f». Ils se composent des pièces suivantes: loDo Geomotricis iranêmutationibug ; 2» De ariihmetieis complementis ; 3» De mathematieis complementie ; 4° De quadrature circuli ; 6o De sinibue et chordis; 6° De und recti curvique meneurd ; ?<> Complementum theologicum figuratum in complementis mathematieis ; &> De mathematicd perfections ; 9° Reparatio calendarii ; IQo CorrecHo tabularum Alfonsi; W^Alia guœdam es Gaurico in Cusam adjecta,

la plupart de ces écrits roulent sur la quadrature du cercle , qui parait avoir occupé constamment Rieolas de Cos«« Dans celai De mathematieis complementis , Tauteur parle des sections coniques , et apprend à les décrire sur le plan.

To«. XI. 67

de cet ouvrage : Institutionum gêometrioarum lihri quatuor, in quibus linetu , superficie* et eolida corpora ita traciavit , ut non matheseos 9olum studiosie, sed et pietoribuê , fabri* œrariiê ac lignariis , lapicidiê ^ êtatuariis ^ et un4veréis demum qui circino, gnomons^ libella y aut alioqui certâ mensurâ opéra êua examinant ^ sint summè utiles et necessarii.

Dans le premier livre, Albert Durer apprend à décrire différentes lignes courbes; on y trouve plusieurs hélices planes, cylindriques, sphériques et coniques, la description de Tellipse par rallongement des ordonnées du cercle dans un rapport constant; ou bien en la considérant comme la section d'un cAne droit, que Tauteur appelle pyramtc/e. Il ap* prend à décrire aussi les deux autres sections coniques, Thyperbole et la parabole. C'est un des ouvrages les plus anciens chez les Modernes , qui aient traité des sections coniques.

On trouve aussi dans ce premier livre, la description par points, de Tépicycloïde engendrée par un point du plan d'un cercle qui roule sur une circonférence fixe.

Dans le second livre on trouve Tinscription des polygones dans le cercle, et différentes autres figures régulières formées par des arcs de cercle; puis une quadrature du cercle et la manière d'assembler différons polygones pour remplir exactement une surface plane; on n'y voit point les polygones étoiles. Après avoir donné la construction du pentagone inscrit au cercle qui se trouve dans le premier livre de l'Almageste dePtolémée, Durer apprend à construire un pentagone régulier sur un côté donné; et sa construction a cela de remarquable qu'elle se fait avec une seule ouverture de compas ; mais elle n*est qu'ap* proximative, et la figure, qui a conservé le nom de pentagone de Durer y n'a pas tous ses angles égaux > , ainsi que l'ont démontré J.-B. de Benedictis ^, et Glavius ^ dans le siècle suivant. Cependant à cause de sa facilité , la construction de Durer est employée par la plupart des architectes.

Le livre III traite des corps solides ; des colonnes et des pyramides de différentes formes ; et des lignes qu'on trace sur leurs surfaces , dans les arts ; de la construction des cadrans solaires, et de celle des lettres de l'alphabet.

Dans le cinquième livre, l'auteur donne la description des cinq corps réguliers, et de plusieurs autres corps formés par des polygones réguliers , mais non tous semblables entre eux, comme sont les treize corps semi- réguliers d'Archimède. Pois on trouve plusieurs solutions de la duplication du cube; et enfin un traité de perspective, dans lequel Durer a imaginé le premier instrument connu, pour faire la perspective mécaniquement sur un verre ou une toile transparente. C'est surtout pour cette partie que l'ouvrage de Durer est cité dans l'histoire des mathématiques.

Léonard de Vinci , l'un des plus grands peintres de l'Italie, fut un de ces génies rares qui manient avec une égale facilité tous les objets des connaissances humaines, et dont le nom se présente dans l'histoire de chacune d'elles. Il cultiva particulièrement les ma-

' Chacun des angle« dMn vrai pentagone régulier est de 108 degrés. Bans le pentagone d'Albert Darer , deui angles sont de lO?» 2"; deux autres de lOS» 22', et le cinquième a 100» 12'. ^ Diversarum speculationum mathematicarum etphysicarum Liber ; Turin 1686, in-f». ' Geometria practica, lib. vni, prop**. 29.

thématiques, et les sciences qui en dépendent, telles que la physique, la mécanique rationnelle et pratique, Thydrostatique, la musique, etc., persuadé, comme il ledit, qu'tV n'y a point de certitude dan* le* science* où on ne peut pas appliquer quelque partie deê mathématique* y ou qui n'en dépendent paê de quelque manière. Vérité trop peu sentie de nos jours encore, malgré les progrés qu'à faits depuis trois siècles, la raison humaine.

Léonard de Vinci a laissé de nombreui manuscrits , où se trouvent répandues ses Tues nourelles et ses spéculations sur toutes les parties des sciences mathématiques : mais malheureusement ils n'ont point encore été étudiés; et sont restés jusqu'à ce jour sans porter aucun fruit. H. Venturi, savant professeur de Bologne, devait en faire connaître les parties les plus importantes dans trois traités qui se seraient rapportés à la mécanique, à Thydraulique et à l'optique. Malheureusement ce projet n'a pas reçu d'exécution. On doit seulement à H. Venturi la connaissance de quelques fragmens détachés des œuvres physicomathématiques de Vinci ^ Dans le premier, intitulé : De la descente de* corps graves combinée avec la rotation de Içi terre, on voit que le célèbre peintre admettait l'idée du mouvement de la terre, émise déjà quelques années auparavant, par Nicolas de Cusa dont les œuvres n'étaient point encore publiées.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur les travaux physico-mathématiques de Léonard de Vinci. Mais il est une de ses inventions en mécanique que nous devons distinguer ici , parce qu'elle se rapporte essentiellement à la Géométrie , et que nous la regardons comme le premier germe d'une théorie, peu cultivée depuis, et qui mérite néanmoins de fixer l'attention des géomètres. Nous voulons parler du tour à ovale, queLomazzo, élève de Vinci, lui attribue en ces termes: « P^inci fut aussi l'inventeur du tour ovale ^ ouvrage admirable qu'un élève de Melzi apprit à Denis, Frère de Maggiore, qui s'en sert aujourd'hui avec beaucoup d adresse ÇLomazio ^ Trattato délia Pittura, p. 17.)

Or il nous parait que le tour à ovale, auquel les géomètres ont fait peu d'attention , car on n'en trouve nulle part la théorie mathématique, reposait sur une idée tout-à-fait nouvelle, concernant la description des courbes; et cette idée donnait lieu à une spéculation nouvelle en Géométrie.

Jusque là on avait décrit les courbes par la trace d'un stylet mobile , imprimée sur un plan fixe : Vinci conçut leur description d'une manière inverse , c'est-à-dire au moyen d'un stylet fixe qui imprime sa trace sur un plan mobile. Tel est l'ofiBce du tour à ovale, qui sert à décrire l'ellipse.

Quel mouvement fallait-il donner au plan mobile, pour obtenir ainsi une ellipse? Telle est la question qu'a dû se proposer Léonard de Vinci. Elle était, comme on voit, d'un genre tout nouveau ; et ce célèbre peintre a su découvrir, parmi une infinité de solutions dont elle était susceptible , la plus simple incontestablement ; elle se réduit à donner au plan mobile le mouvement d*un angle de grandeur constante, dont les deux côtés glissent

> £s»ai sur les ouvrages phystco-^aihèmaiiques de Léonard de Vinci, avec des fragmens tirés de ses manuscrits. Paris, an V, in-4o.

sur deux points fixes. L'histoire de la science serait intéressée à connaître les considéra^ lions de Géométrie qui l'ont conduit à ce beau résultat.

Malgré tout l'intérêt que cette question, considérée comme moyen nouveau et général de décrire les courbes,devaitoffrir,ct dans les arts, et comme pure spéculation géométrique, elle n'a fait presqu'aucun progrès jusqu'à ce jour. Si nos recherches historiques à ce sujet ne nous induisent point en erreur , nous croyons qu'elle n'a fiié Tattention que d'un seul géomètre, le célèbre Clairaut , qui l'a traitée dans un mémoire lu en 1740 à l'académie des sciences. Après avoir signalé le nouveau mode de description des courbes dont le tour à ovale offrait le seul exemple connu, Clairaut dit qu'il avait supposé d'abord que la courbe décrite sur ce tour devait être une conchoïde du cercle, mais qu'il n'a pas tardé à reconnaître qu'elle est une vraie ellipse d'Apollonius. Puis il fait deux applications de ce nouveau mode de génération des courbes. Il suppose dans la première qu'un cercle roule sur une droite ; et dans la seconde qu'un cercle roule sur un autre cercle. Un stylet Êxe imprime sa trace sur le plan du cercle mobile , et cette trace forme une courbe dont Clairaut cherche les équations. Sa solution est entièrement analytique, et les équations auxquelles il parvient contiennent même des intégrations qui ne sont pas effectuées. Dans un seul cas les intégrales disparaissent et l'on reconnaît la spirale d'Archimède.

Ainsi , sous le rapport géométrique, Clairaut a laissé celte question intacte; c'est-à-dire que les diverses propriétés géométriques de ce mode de description des courbes, ses rapports avec la description ordinaire par un point mobile, et la manière de substituer un mode de description à l'autre, pour produire la même courbe, sont encore des questions neuves.

Ces questions nous paraissent, tant sous le rapport théorique qu'à cause de leurs applications aux arts , mériter d'entrer dans les spéculations de la science. Nous y reviendrons dans un autre écrit. Pour le moment nous renvoyons à la Note XXXIY , où se trouvent quelques développemens sur celte théorie , qui offre un exemple assez remarquable de dualité. Nous nous bornerons à ajouter ici que de cette théorie il résultera , sans calcul , que les courbes dont Clairaut a trouvé des expressions algébriques fort compliquées , qui ne lui ont permis de reconnaître la nature que d'une seule d'entre elles, la spirale d'Archimède, sont tout simplement des épicycloïdes. Les unes peuvent être engendrées par un point mobile lié fixement à une droite qui roule sur une circonférence de cercle; et les autres, par un point du plan d'une circonférence de cercle qui roule sur un cercle fixe.

J. Yerner n'a pas été un écrivain d'un esprit aussi vaste et aussi fécond que Léonard de Vinci et Régiomontanus, les deux plus grands hommes du XV® siècle que nous ayons nommés. Mais , considéré comme simple géomètre, il nous paraît devoir être placé immédiatement après Régiomontanus. Ses ouvrages ne sont point l'imitation ou la reproduction des ouvrages grecs, comme c'était l'usage dans ces premiers temps de la culture des sciences; mais ils sont le fruit des propres idées de l'auteur et portent avec le cachet de l'originalité , celui d'une excellente et solide Géométrie.

Dans un livre qui a été imprimé en 1522, Yerner traite des sections coniques, de la

duplication du cube, et du problème d'Archimède où il s'agit de diviser une sphère par un plan en deux parties qui soient entre elles dans un rapport donné ^ Une quatrième partie de l'ouvrage est consacrée à Tastronomie \ Nous avons déjà parlé , dans notre III^ Époque, du petit traité des coniques, qui, outre lavantage d'être le premier qui ait paru en Europe, avait aussi celui de reposer sur une méthode différente de celle des Anciens. Verner considérait les coniques dans le cône, et se servait des propriétés de ce solide pour en déduire, d'une manière très-facile, celles de ces courbes. Méthode rationnelle , qui a été mise en usage aussi , 50 ans après, par Maurolycus et sur laquelle ont reposé ensuite les ouvrages de Desargues, de Pascal et de Dclahire.

Verner avait composé plusieurs autres écrits qui n'ont point vu le jour. Heilbronner en donne la liste dans son histoire des mathématiques ( p. 515). On y remarque un traité des triangles sphériques, en cinq livres, et un autre sur les applications de la trigonométrie à Tastronomie et à la géographie; un traité d'arithmétique et un de gnomonique, et un ouvrage intitulé : TraciaiiM resolutoriu* quipropi pedùequu^ exiHit lihriê Datorum Euclidù , qui parait, d'après ce titre, se rapporter à l'analyse géométrique des Anciens. Peut-être, faisant suite aux données d'Euelide, était-il dans le genre desporismes. (F'oir notre opinion émise à ce sujet dans la Note III.) Nous serions curieux de connaître cet ouvrage de Verner.

Il nous reste à parler de Lucas Paccioli , connu généralement sous le nom de Lucas de Burgo, dont l'ouvrage principal appartient à la fin du XV^ siècle et peut être regardé comme l'origine de l'école italienne qui a produit Cardan et Tartalea , et qui a contribué ai puissamment a donner aux sciences mathématiques la forme nouvelle qu'elles ont prise, dès la renaissance , et qui résultait de l'alliance de l'algèbre des Hindous et de la Géométrie des Grecs. Cet ouvrage est intitulé : Summa de jiriihmetica , Geometria , Praportioni e Proportionalita, Il a été imprimé pour la première fois en 1494 par Paganino de Paganinis de Brescia, et a eu une seconde édition en 1523. Nous avons eu occasion de le citer souvent , et de dire déjà l'influence qu'il a eue sur le renouvellement des sciences ; aussi nous nous bornerons à en donner ici une analyse briève , dont nous nous dispenserions même si cet ouvrage était moins rare et plus connu.

Il est divisé en deux parties principales : l'une, relative à la science du calcul , comprend l'arithmétique et l'algèbre, et l'autre traite de la Géométrie. Les ouvrages dont l'auteur annonce s'être servi pour composer le sien sont ceux d'Euclide, deBoèce,de Léonard de Pisc, de Giordanô Biagio de Parme, de Sacro Bosco, et de Prosdocimo de Padoue.

I Eaiociut, dans son commentaire snr le second livre de la sphère et du cylindre, a rapporté les solutions de ce problème données par Dionysidore et par Dioclès.

3 Libellvs svper viginii duohus elementis conicis, — Commeniariuê , seu paraphraêtica enarraUo in wtdecimmodos eonficiendi ejus problematis quod cuH duplicatio dioitur, — Commentatio in Dionysidori problema , quo data sphcera piano sub data raiione secatur, Alius modu* idem problema eonficiendi ab eodem Vemero novissimê eompertus, demonstratusque, — De motu octavœ sphœrœ troetatu* duo, ut et summaria enarraiio iheo* ricœ motus octavœ sphœrœ. lïorimbergœ , 1622 , in-4'>.

La première partie est un traité complet de Tarithmétiqae spécnlatÎTe, qui considère les propriétés des nombres , et de l'arithmétique pratique.

L'arithmétique spéculative est dans le genre des ouTrages de Nicomaque, de Théon,de Boèce et de Jordan Nemorarius. Mais elle est terminée par une partie sur les nombres carrés, qui ne se trouvait pas dans ces ouvrages et qui est très-remarquable. C'est une suite de questions qui appartiennent aujourd'hui à l'analyse indéterminée du second degré. Lucas de Burgo en donne seulement les solutions sans démonstration; il les emprunte, dit-il , du Traité des nombres carrés de Léonard de Pise , où elles étaient démontrées ^ctr des considérations et sur des figures géométriques. Ces solutions, particulièrement celle qui se rapporte à l'équation jr' + y^=A, sont différentes de celles de Diophante, et sont les mêmes que celles qu'on trouve dans les ouvrages indiens, et qui ont été imaginées dans le siècle dernier par Euler , ainsi que nous l'avons déjà dit en parlant de la Géométrie de Brahmegupta.

L'arithmétique pratique commence par l'exposition du système de numération y «dont les premiers inventeurs, suivant quelques-uns, dit Lucas de Burgo, sont les Arabes; ce qui fait que cet art a été appelé ahaco pour dire el muodo arahico; mais d'autres, ajoutet-il , font dériver ce nom d'un mot grec '. » On trouve les quatre opérations fondamentales de l'arithmétique^, la théorie des progressions, et l'extraction des racines carrées et cubiques des nombres, arithmétiquement et géométriquement ; puis le calcul des fractions; les règles de trois ; celles de fausse position que l'auteur appelle^ d'après Léonard de Pise, règles à'Helcataym , et qu'il attribue aux Arabes , mais qui leur venaient des Indiens ; et l'arithmétique commerciale , traitée avec une grande profusion de questions et d'exemples: cette partie de l'ouvrage a été imitée par beaucoup d'auteurs allemands, dans la première moitié du XVI* siècle.

Lucas de Burgo, en passant à l'algèbre (Z>f>^incfto octava)y la regarde comme la partie de la science du calcul la plus nécessaire à l'arithmétique et i la Géométrie. Il dit qu'on l'appelle communément YArte maggiore , ou la règle de la eosa, ou Algehra e Almucor kala. Gomme cet ouvrage est le premier traité d'algèbre qui ait été imprimé y et qu'on a

' Ce pttMsge fmîl voir que, ém temps de Lacet de Burgo, on n^étoil pet fixé tor le vreie origine de notre tyttéme de namérmtion. Le tignificetion qne nont evont donnée «n mot abacms employé per Boèce noat eatorite à edopter le tcconde tnppotition de Lacet de Bargo, c*e«t-i-dire à regarder le mot abaco comme dérivé da grec. Quoi qn^il en toit ce pettege mérite d'être prit en contidéretion dent let recherchet tur Torigine de notre tyttème de nnméretion.

* L^entenr donne plntieors proeédét ponr cheqne opération. Permi ceux de le maltiplicetion te trooTe une méthode indienne donnée per Genete dent tet commenteiret tnr le LUavati de Bhatcere, qui contitte à écrire le produit de cheqne chiffre dn mnltiplicende per cheqne chiffre du multiplicetenr, en plaçant téperément , dent let deux cetet triengaleiret d*nn cerré , let chiffret det nnitét et det dixeinet. Cette méthode ingénieuse tnr laquelle repote ceUe det bàiùns is I^'êpêr , peroit avoir été trét-ntitée dent le moyen âge et au XVI* tiède ; car on le trouve dent plutieurt menutcritt (vetr let n«« 7378. A et 7353 det menutcritt de le hihiiothèqae royale de Pérît) et dent plutieurt ouvraget imprimét, dont nout citeront le C&mpendùm ds lu abaco de Pellot; VanAwtelica pneUea d'Oronce Finée; Varitkwittica praetiea de Peverone, et let sekolœ maihemaHcœ de Bemut. S. Lihrt Te trouvée eutti dent un ouvrage chinoit. {Oisinrê et* seiêmeê» mathématiques en ItalU , t. I, p. 341.:

coutume de le regarder comme ayant initié les géomètres dans cette science, il est essen* tiel de remarquer que Lucas de Burgo ne présente point l'algèbre comme un art nouTeau, mais bien comme une chose connue depuis long-temps du vulgaire (det vulgo). Cela s'accorde avec la remarque que nous avons faite en rendant compte du traité De triangulû de Regiomontanus^ qui parle aussi des régies de l'algèbre comme d'une méthode familière aux géomètres. On peut en conclure que, depuis le XIIP siècle où l'algèbre a été introduite en Europe par Fibonacci ^ et par les traductions qu'on a faites alors de Ton- Trage de Mohammed ben Musa , cette science a toujours continué d'être cultivée.

Lucas de Burgo démontre d'abord la règle des signes; il apprend à faire les opérations arithmétiques sur les quantités irrationnelles , et démontre la plupart des propositions du dixième livre des élémens d'Euclide , qui forme une théorie étendue de ces quantités. Puis il passe aux équations du second degré, dont il considère trois cas , comme nous l'avons dit en parlant de l'algèbre de Mohammed ben Musa. Il dit que plusieurs autres équations d'un degré supérieur peuvent être ramenées à celles-là. Il considère les équations qui contiennent l'inconnue, son carré, et sa quatrième puissance; ce qui donne lieu à huit cas qui s'expriment , par les symboles actuels , de cette manière :

a?4 = a , ^4 + aj7 = hx^ ,

oA = ax , x^ ^ a = hx"" ,

ar4 = ax"" , ar4 -f- ax^=z h ,

x^ -f- ax'' = bx , ar4 -=s a -f- fea?* 2,

Il apprend à résoudre les trois premières , et les trois dernières ; mais la quatrième et la cinquième, dit-il, sont impo^&ible^. En effet elles ne peuvent se réduire au second degré, mais seulement au troisième. Cela prouve qu'au temps de Lucas de Burgo la résolution des équations du troisième degré était inconnue.

Cette première partie de l'ouvrage (arithmétique et algèbre) est terminée par les règles de société et une foule de questions relatives aux opérations commerciales , et même à la tenue des livres en pariiez double*.

Dans beaucoup de passages, Lucas de Burgo se sert de considérations géométriques pour illustrer ses règles de calcul ; il démontre ainsi les règles de fausse position ; la

' Iloat nons conformoiu à Popinion reçue, en répétant que fibonacci a, le premier, introduit Talgèbre en Barope, au commencement du XIII« siècle ; malt nous pensons cependant que , depuis un siècle au moins , on avait déjà quelque connaissance de cette science ] et nous fondons cette opinion sur ce fait rapporté précédemment, que Jean Hispalensis a écrit dans le XIl« siècle sous le titre à^Algorismus , un traité dWitbmétîque, à la suite duquel se trouve la résolution des équations du second degré, extraite, est-U dit, du livre De Gobrd et Mucahalà.

3 Lucas de Burgo énonce ses équations en langage ordinaire; seulement, par abréTiation, il se sert des lettres peim pour signifier plus (più) et moine {méno) ; il se sert du mot égal , mais non du signe ». Il appelle Pinconnue co#a; son carré censo^ et sa quatrième puissance oenso de eetiso ,et la quantité connue il numéro. De aorte quUl énonce la dernière équation , par exemple , ainsi : censo de censo equale a numéro e oenso.

règle des signes en algèbre; et les formules pour la résolution des équations du second degré. Nous allons Toir que, réciproquement, dans la seconde partie de Touvrage, qui traite de la Géométrie, Lucas de Burgo fait un grand usage de Talgèbre.

Ce traité comprend des élémens de Géométrie assez complets. 11 repose en partie sur les élémens d'Euclide; cependant, comme il en diffère sous plusieurs rapports, nous allons en donner l'analyse. Il se divise en huit parties, en considération, dit Tauteur, des huit béatitudes ( a revereniia de le 8 beaiitudine ).

Dans la première, qui traite des figures triangulaires et quadrilatérales, on trouve la plupart des propositions qui font l'objet des P', II® et VP livres d'Euclide. L'auteur démontre à la manière des Indiens que Taire du triangle est égale au produit de la base parla moitié de la hauteur; il démontre la formule de Taire en fonction des trois côtés, comme Fibonacci et les trois frères arabes Mohammed, Hamet et Hasen, dans leur ouvrage intitulé F'erba filiorum Moùi filii Schaker, Il apprend à calculer la perpendiculaire dans un triangle, et pour cela il se sert du théorème des deux segmens qu'elle fait sur la base. Il donne de ce théorème une démonstration géométrique très-remarquable. Il s'agit de prouver que la différence des carrés des deux côtés du triangle est égale à la différence des carrés des deux segmens faits par la perpendiculaire sur la base; ou bien, que le produit de la somme des deux côtés, multipliée par leur différence, est égal au produit de la base multipliée par la différence des deux segmens. Lucas de Burgo construit une figure dans laquelle se trouvent les expressions géométriques des quatre facteurs qui forment cette égalité; et, par la comparaison de deux triangles semblables , il conclut que le premier produit est égal au second. Cette démonstration est très-élégante et élémentaire, puisqu'elle ne fait pas usage de la proposition du carré del'bypothénuse. Elle a été reproduite par Tartalea dans son General Tratiato diNumeri e Mhure ( 4» parte , f° 8 ).

Dans la seconde partie on résout de plusieurs manières ce problème : Étant donnés les trois côtés d'un triangle et étant pris deux points sur deux d'entre eux, trouver la longueur de la droite qui joint ces deux points.

La troisième partie traite de Taire des quadrilatères et des autres polygones ; on y résout plusieurs problèmes sur les rectangles, par la voie algébrique : Lucas de Burgo se sert des formules qu'il a enseignées précédemment pour la résolution des équations du second degré.

La quatrième partie comprend les propositions qui sont Tobjet du IIP livre d'Euclide et la mesure du cercle. L'auteur démontre le rapport -y, comme Ârchimède, par Tinscription du polygone de 06 côtés; et apprend à former la table des cordes des arcs , donnée par Ptolémée dans le premier livre de TAlmageste.

La cinquième partie traite de la division des figures dans des rapports donnés; c'est cette partie de la Géométrie qui fait Tobjet de l'ouvrage De ^uperficierum divisionibus, de Mahomet Bagdadin, qu'on regarde comme imité d'un ouvrage d'Euclide , ou comme étant de ce géomètre lui-même. Lucas de Burgo complète cette matière, en traitant aussi de la division du cercle suivant des conditions données.

La sixième partie concerne les Tolumes des corps; elle contient les propositions du XI<> livre d'Euclide.

Dans la septième partie on parle des différons instrumens qui servent, dans la pratique, pour mesurer y à la vue simple, les dimensions des corps.

Enfin la huitième partie est un recueil de cent problèmes de Géométrie , résolus la plupart par Talgèbre, suivi d'un traité particulier des cinq corps réguliers.

Voici quelques-unes des questions qui font partie de ces cent problèmes :

Étant donnés deux côtés d'un triangle et son aire , trouver le troisième côté.

Étant données Taire et la différence des deux côtés d'un rectangle, trouver ces côtés.

Soit a"* l'aire, et d la différence des deux côtés; Lucas de Burgo prend pour le plus grand côté cosa piu |, c'est-à-dire ^7 + ^, et pour le second côté co^a mèno ^, ou X — ^. On a immédiatement, pour déterminer l'inconnue, l'équation

— Œs a', d ou X

d'où se concluent les valeurs dés deux côtés.

Cette solution est plus simple que si l'on avait pris directement pour inconnues les deux côtés , ce qui eût conduit aux deux équations

et à l'équation finale du second degré,

Dans la première partie de son ouvrage, Lucas de Burgo a donné d'autres exemples de pareils artifices de calcul, qui prouvent que l'algèbre, dans de certaines limites, était cultivée et perfectionnée depuis long-temps. Par exemple, que l'on demande deux nombres dont la somme des carrés soit égale à 20, et le produit égal à 8. Lucas de Burgo ne pose pas les deux équations j;'-*- y* = 20 etay = 8, qui conduisent à une équation du quatrième degré, réductible au second. Il fait mieux : il prend la somme de deux inconnues (a-^-z) pour le premier nombre cherché, et leur différence ( âir — z) pour le second 1; de sorte qu'on a immédiatement les deux équations :

a?» -h «' = 10, et a?' — «' = 8 ; d'où

ir' = 9 et »' = 1 ; a? = 8 , « = 1.

Les deux nombres sont donc 4 et 2.

1 Lacas de Burgo appelle la première inconnue cosa, et la «econde guantità. Il dit que les Ancien» appelaient celle-ci tosa uoonda ; mais que les Modernes la nomment simplement quaniiià, {Distinctio œiava ; tractatuê sestus,)

ToB. XI. 68

Cette solution ressemble, par son élégance et sa simplicité , 4 cellea que nous avons remarquées dans les ouvrages indiens.'

TrouTor le diamètre du cercle inscrit dans nu triangle dont les côtés sont connus.

Dans un triangle décrire deui cercles égaux , tangens entre eux, et dont chacun touche deux côtés.

Étant donné un cercle , en décrire 5, on 4, ou 5 , ou 6 autres égaux entre eux , tangçns au cercle proposé, et tels que le premier touche le second, le second touche le troisième, le troisième touche le suiTant» etp.

Trouver le diamètre du cercle circonscrit i un triangk dont les côtés sont donnés.

Étant donnée Taire d'un triangle dont on sait qae le second côté surpasse le premier d'une unité, et le troisième côté surpasse le second aussi d'une unité ^ quels sont Içs côtés du triangle.

L'aire du triangle étant 84 , Lucas de Burgo détermine ses côtés par une équation du quatrième degré , résoluble comme celles du second; il trouve pour ces côtés les nombres 13,14 et 15.

Par les sommets d'un triangle on élève trois perpendiculaires sur son plan , et I'od demande de déterminer le point de ce plan qui se trouve à égale ilittanœ des extrémités dés trois perpendiculaires.

Étant donné un triangle , on demande le diamètre d u cercle qui , élant tangent k ses deux côtés, aura son centre. sur la base.

Dans tous ces problèmes les données sont numériques , et leurs solutions sont algébriques et dépendent la plupart d'équations du second degré.

Pareillement , dans les premières parties de l'ouvrage, qui forment des élémeus de Géométrie, les figures sont toujours exprimées par des nombres, comme s'il s'agissait de faire une application particulière d'un théorème. Ainsi, par exemple, pour démontrer la formule qui donne Faire du triangle en fonction des trois côtés, l'auteur prend le triangle ABC dont les côtés sont 13, 14 et 15, et se sert toujours, dans tous le cours de son raisonnement, de ces nombres, à la place des côtés, que les Grecs employaient d'une manière abstraite en les désignant ainsi AB, BG, GA. Gette méthode était empruntée des Arabes, qui la tenaient des Indiens; elle a été suivie exclusivement par tous les géomètres du XVI^ siècle , Gardan , Stifels , Tartalea , J.-B. Benedictis , Hemmius , Gommandin , Glavius, Stevin , Ad. Romanus , Ludolph Van Geulen , etc., jusqu'à ce que Yiète introduisit l'usage des lettres dans l'algèbre. Nous dirons plus loin la cause de cette manière de procéder, les avantages qu'elle offrait et les graves inconvéniens qui en résultaient.

Lucas de Burgo a laissé deux autres ouvrages, qui méritent d'être cités, mais qui n'ont pas l'importance de celui dont nous venons de présenter l'analyse. Le premier est intitulé : Lucœ Pacioli divina proportione, opéra à tutti glingegni perspicaci e curiosi nece**aria; ove ciaeun studioto di philoeophia , pro4pêttiva , pictura , êculptura , architectura, miuica e altre matematiche , ^oavwima, ^ottile e admirabile dottrina contequira e delectara^^i con varie queetione di eecretieeima ecientia, Yenetiis, 1509, in-4^. L'auteur appelle jpropor/toti divine la division d'une droite en moyenne et extrême

raison y dont il démontre de nombreuses propriétés, et dont il fait diyerses applications aux arts. L'autre ouTrage de Lucas de Burgo roule sur les polygones et les polyèdres ré* guliers , et sur l'inscription mutuelle de ces figures les unes dans les autres ; il a pour titre : Libelluê in tre^ partiales traetatus, diviêuê quorumeumque eorporum regulariutn et dependêniium active perecru$a$ionie ; Venise, 1508, in-4^. L'anteur fait encore un fréquent usage de Talgébre dans ces deux ourrages de Géométrie.

On Toit par ce qui précède, que les ouvrages de Lucas de Burgo, comparés à ceux des géomètres grecs, présentaient un caractère propre qui mettait entre eux et ceux-ci une difiérence bien marquée ; c'est qu'ils reposaient sur une union constante entre l'algèbre et la Géométrie ; et ce caractère a été celui de presque tous les écrits mathématiques du Xyp siècle. Gomme les ouvrages de Lucas de Burgo sont les premiers , parmi ceux qui ont enseigné les préceptes de l'algèbre et son application à la Géométrie , qui aient été imprimés, on les a regardés généralement comme la seule origine, au commencement du Xyp siècle , de la (orme nouvelle que les sciences mathématiques ont prise , et des progrès immenses qu'elles ont faits depuis. U n'est pas douteux, en effet, que les deux célèbres géomètres de l'Italie Cardan et Tartalea , n'aient dû leurs connaissances et la méthode qu'ils ont suivie à la Summa de Arithmetioa , etc., de Lucas de Burgo, qu'ils citent souvent. Hais il y a lieu de croire qu'en Allemagne surtout, quelques autres ouvrages formaient un autre foyer de lumières , et ont répandu les mêmes principes d'algèbre et d'application de l'algèbre à la Géométrie. On en juge par le savant ouvrage de Stifels qui a paru en 1544 sous le titre Arithmetica intégra (Nuremberg, in-4^}, où se trouvent des élémens d'algèbre et une foule de questions de Géométrie , résolues par cette voie, comme dans la Summa de Lucas de Burgo. Et cet ouvrage de Stifels présente avec celui-ci des différences qui y font reconnaître une plus profonde connaissance et une plus ancienne culture de la science algébrique, ainsi que quelques pas de plus vers la forme abstraite qu'elle a prise depuis. Ainsi, par exemple , on y trouve les signes -h et — et le signe radical i/ ; l'inconnue et ses puissances sont représentées aussi par des symboles, au lieu de rétre parles mots cosa, ceneo, cubo, censo de censo , etc.; et quand il y a plusieurs in* connues , les seconde , troisième , quatrième , etc. , sont représentées par les lettres A, B, G, etc. ^; le principe de la multiplicité des racines dans une équation , que Lucas de Burgo avait méconnu, est exprimé formellement et démontré^; et quant à l'application dogmatique de l'algèbre à la Géométrie, les exemples que Stifels en donne sont extrêmement

1 Voir IWre 3, ohap. 6, intitulé />« aeoundU radicibus.

C'est le premier exemple de Tusage des lettres, pour représenter dans les équations les inconnues de la question. Il n'a pas tardé à être suiTi par Peletier dans son Algèbre (anu. 1664 ) et par Butéon dans sa LogisHca (ann 1669). U est asseï singulier qu'une idée aussi heureuse , qui apportait dans le calcul une facilité actuelle si éTidente , n'ait cependant pas été appréciée de Cardan ni de Tartalea. C'est là une des preuves les plus frappantes de l'empire de l'habitude , même ohei les esprits les plus supérieurs.

^ Afnf autem œquationes g^uœdam , quibuê natura rerum hvjus mûdi , dedii habere duplicem radicem, videHoêt majorem et tninorem: idquodplenê docebo atque demonstrabo. (Ârithmetica intégra, f». 243). Plus loin l'auteur ajoute que l'équation ne peut aToir plus de deux racines : plureê autem duabus^ nulla œquaHo hahebtt. fo.844,TO.

nombreux ; on y remarque particulièrement toutes les propositions du 13^ livre d*Euclide, qui s'expédient facilement par le calcul des équations du second degré. Cet ouvrage, il est vrai y est postérieur de prés d*un demi-siècle à celui de Lucas de Burgo ; et Ton pourrait croire que les différences que nous venons de signaler sont le fruit de la culture, pendant ce demi-siécle, des principes mêmes enseignés par Lucas de Burgo. Hais Touvrage de Stifels n'est, dans tout ce qui concerne cette partie de l'algèbre , qu'une imitation des ouvrages de deux autres algébristes allemands, Adam Risen et Christophe Rudolff, qu'il cite souvent avec de grands éloges, le second surtout. On avait déjà de celui-ci un traité d'algèbre en allemand , imprimé en 1522 sous le titre Die Cote , et dont il a été fait , dans le temps, en Italie, une traduction latine qui existe dans les manuscrits de la bibliothèque royale (n^ 7366, in-4°, des manuscrits latins), sous le titre: Arithmetica ChrUtophori Rœdolphi ab Jamer^ è germanicâ linguà in laiinam d Chri^tophoro Auvero , Pétri Da^ nesii mandata y Romœ anno Chriêti 1540 conversa. Nous avons reconnu dans cet ouvrage les progrés notables de l'algèbre et ses applications à la Géométrie que nous venons de signaler dans celui de Stifels. On trouve encore, dans quelques petits traités d'arithmétique qui ont paru en Allemagne dans les premières années du XYP siècle, des exemples de l'application des règles du calcul aux questions de Géométrie : ainsi dans un Algorithmus de integris et minutiisy imprimé à Leipsick en 1507, les règles de fausse position sont appliquées à cette question : Étant donnés un cAlé de l'angle droit d'un triangle rectangle , et la somme des deux autres côtés , trouver ces côtés. Nous rappellerons enfin que , dès le XY^ siècle , Regiomontanus et Tastronome Blanchinus étaient très-versés dans la pratique des règles de l'algèbre, et que le premier en faisait usage dans son traité De triangulis y pour résoudre les propositions de Géométrie.

Ainsi nous pensons pouvoir dire avec certitude que l'algèbre, dès les premiers temps du renouvellement des sciences en Europe, a été cultivée et appliquée particulièrement aux questions de Géométrie, et que le caractère des sciences mathématiques, au XYI*' siècle, qui est résulté de cette union intime entre l'algèbre et la Géométrie, s'est manifesté même avant qu'eût paru l'ouvrage de Lucas de Burgo ; mais que celui-ci ayant été, le premier, mis au jour par la voie de l'impression, est devenu le plus répandu et a eu la plus grande influence sur les progrès des sciences mathématiques et la direction qu'elles ont prise.

Les bornes de cet écrit, que nous avons déjà depuis long-temps dépassées, ne nous permettent pas de donner une analyse des ouvrages de Cardan, de Tartalea, de J. B. Benedictis 1 et de quelques autres géomètres du XVP siècle , où nous aurions aimé à étudier la

' J. B. Benedictis , dans ton ouTrage intitalé : Diversarum spectUationum maHiêmaHcarum tiphyncarum liber; Taarini, 1585, in-f», fait usage continnellemeiit de considérations géométriqiMf pour démontrer on Térifier les règles d^aritbniétiqae et d^algèbre. Voici un exemple curieux de cette méthode. L'auteur se propose une question à trois inconnueS| qui s^exprime par les trois équations m-k-y=sa^ y-^g:=:h, M-^-m^=e, Il la résout algébriquement , et pour vérifier les expressions qu'il a trouvées pour les inconnues , il se sert de cette considération géométrique : Qu'on forme un triangle qui ait pour côtés les trois nombre a, b, c, et qu^on lui inscrive un cercle tangent à ses trois côtés , les segmens que les points de contact formeront sur ces côtés seront les

marche de cette science , qui différait tant alors ^ par sa forme ^ de celle des Grecs , à en suivre les pas et à en constater les progrès , jusqu'aux travaux de Viète qui lui ont fait subir une nouvelle transformation éminemment heureuse^ qui était nécessaire pour assurer à la (géométrie y dans toute retendue de ses besoins , les secours que la science du calcul devait lui prêter.

Mais il nous faut bien préciser cette nouvelle forme qu'a prise la Géométrie j qui fait la différence immense qui a lieu entre les ouvrages du XYIP siècle et ceux du XYP, et d'où datent véritablement les grands progrès qu'elle a faits depuis.

La Géométrie , dans tout le cours du XYP siècle , différait essentiellement de celle des Grecs ^ sous un certain rapport ^ c'est qu'elle n'opérait que sur des données numériques , ainsi que nous l'avons déjà dit ,à la suite de notre analyse des ouvrages de Lucas deBurgo. Cela était une conséquence naturelle de l'union intime qui s'était établie entre cette science et l'algèbre, union qui n'était possible qu'avec des données numériques , car l'algèbre alors n'était qu'une arithmétique supérieure , exclusivement numérique , qui ne différait essentiellement de l'arithmétique ordinaire que par l'usage de la règle des signes, et du mécanisme des équations; elle n'était point une science de symboles abstraits, comme Yiète l'a constituée sous le nom de Logistique spédeuse. Les opérations et les artifices de calcul, qui simplifiaient les démonstrations et remplaçaient les considérations géométriques dont tout géomètre grec aurait fait usage exclusivement, n'étaient donc possibles , dans le XYI® siècle , que quand la Géomètre se faisait sur des données numériques. Aussi c'est ce qui a eu lieu jusqu'à Yiète, ainsi qu'on le voit dans tous les ouvrages de cette

valeur» des trais inconnues x ^ y , s ; d*où l'on conclut immédiatement qne let Talenrt de cet inconnues êonis:=^ — f-H- ^ etc., comme le calcul les aTait données. {Voy, p. 82.)

Benedictis construit géométriquement, comme on fait aujourd'hui, iaracinepositiTederéqnationdra-Hix^63. Il est Trai quMI ne propose pas pécisément cette équation elle-même ; mais elle exprime immédiatement la question qu'il résout, et qui est oelle-ci : Étant données deus droites a, b^ on demande d'en trouver une troisième x teUe que Von ait («-4-a) j?=&^. (F. p. 368.) C'est peut-être le premier exemple de la construction géométrique d'une équation du second degré. Car les problêmes qu'Euclide a résolus (propositions 28 et 29 du •ixième liTre des J^;^m«u« , et 84, 8ff, 86 et 87 des Données ), bien que, traduits en algèbre , ils conduisent finalement à nue équation du second degré , différaient essentiellement , par leur énoncé géométrique , d'une question algébrique.

Les ouTrages de Cardan et de Tartalea , infiniment supérieurs à celui de J. B. Benedictis , font aussi constamment usage de l'algèbre en Géométrie et de la Géométrie en algèbre. Les principes d'une alliance intime entre ces deux sciences sont exprimés trop formellement , et les exemples en sont trop nombreux pour que nous ayons besoin d'insister sur cet objet.

Outre la partie algébrique des ouvrages de Tartalea, qui est la sixième partie de son Traité général des «lomhrsê et des mesures, ce géomètre avait composé un traité d'algèbre sous le titre à'' Algebra nova , qui ne nous est pas paryenu, et dont la perte est bien regrettable* Dans la cinquième partie du Traité général (f» 88 yo), Tartalea donne la solution d^une question dé maximum , dont la démonstration devait se trouver dans cet ouvrage d'algèbre. Cette question est remarquable pour le temps ^ il s'agit de diviser le nombre 8 en 2 parties, telles que leur produit multiplié par leur différence, soit un maximum, La solution de Tartalea est générale , et telle que la donnent les règles du calcul infinitésimal actuel. Prenez, dit-il , le carré de S, ajoutez-y le tiers de ee carrée et prenez la racine carrée delà somme, ce sera la différence des deux nombres cherchés. Ce cboix de l'inconnue , la différence des deux parties du nombre proposé , est très-heureux et annonce une profonde connaissance des pratiques de la science.

époque, Tune des plus mémorables de l'histoire de la science. Hais on conçoit que de la sorte la Géométrie avait perdu celte pureté de forme, et ce caractère de généralité et d'abstraction auxquels s'étaient tant attachés les Anciens, et qui paraissaient être l'apanage de cette science; et si , sous un rapport, il y avait avantages réels , sous un autre , il y avait inconvéniens graves, provenant, d'une part, de ce que l'esprit, en opérant sur des nombres , perdait de vue les objets qu'ils représentaient , et ensuite , de ce que, en effectuant au fur et à mesure les calculs , on détruisait la trace et le fil du raisonnement. Aussi les démonstrations géométriques sont-elles d'une lecture très-pénible dans les ouvrages du XVI* siècle.

La Gréométrie des Grecs avait donc subi une véritable altération, mais altération très* heureuse, puisque c'est dans cet état que Yiète a d& la prendre, pour lui appliquer sa grande conception de l'algèbre littérale, et lui rendre ainsi toute sa pureté et son abstraction primitives , en conservant néanmoins tous les avantages que la science du calcul pouvait lui apporter. Mais il est fort remarquable qu'il ait fallu, pour arriver k ce grand résultat , à ce perfectionnement de la Géométrie des Grecs , passer par un état d'al* tération, qui faisait perdre à cette science son caractère d'abstraction et de généralité , et qui la faisait descendre au rang des opérations concrètes et numériques.

Ces considérations peuvent nous faire regarder les XV® et XVP siècles, comme marquant dans l'histoire de la Géométrie une époque de préparations et de transition , où s'est élaborée la nouvelle forme qu'ont prise les sciences mathématiques; et nous devons ajouter que les Indiens et les Arabes ont une grande part dans cette transformation et ce perfectionnement , puisque le germe s'en trouvait dans leur principe d'application de l'algèbre à la Géométrie, et qu'ils l'ont développé eux-mêmes par leurs travaux d'un grand nombre de siècles.

FIN DES KOTES.

M\iWVV\IV>\\V\IVVVVVVV\l\ftlVVVVVVV^^

Pa«b 28.

Héron d'Alexandrie, disciple du célèbre mécanicien Ctésibius, et célèbre lui -même par son Traité des Pneumatiques , et par diverses autres inventions mécaniques pour lesquelles il est cité dans le huitième livre des Collections de Pappus , excella aussi dans la Géométrie. Eutocius nous a conservé sa solution du problème des deux moyennes proportionnelles , et a emprunté d'un de ses ouvrages , xepl fierpacav la règle arithmétique pour l'extraction de la racine carrée d un nombre. Proclus le cite comme auteur de nouvelles démonstrations de diverses propositions des élémens , oi!i il n'admettait que trois seulement des axiomes d'Euclide ^ ; et Grégoire de Nazianze (ann. 828-889) le met au rang des grands géomètres de l'antiquité. [Oratio 10.)

Les ouvrages de Héron étaient nombreux , mais la plupart ne nous sont pas parvenus , ou sont restés inédits. De ceux qui concernaient spécialement la Géométrie il n'en est que deux qui aient été traduits et mis au jour. Le premier, dont les historiens des mathématiques , je ne sais pourquoi , n'ont point parlé , est dû à Dasypodius. Il a pour titre : Nomenclatura vocabulorum geometricorum ^. C'est une suite de définitions des diflférentes matières qui font l'objet de la Géométrie. Ces définitions sont accompagnées de commentaires et de développemens présentés avec clarté '.

Dans sa préface , Dasypodius annonçait qu'il possédait plusieurs autres ouvrages de Héron , qu'il se proposait de faire connaître. L'un d'eux , qu'il appelait ùaoïrrptxa , est le second des deux ouvrages géométriques de Héron qui nous sont parvenus. Mais celui-ci ne nous est connu que depuis quelques années. Nous en sommes redevables au savant professeur de Bologne J.-B. Yenturi, qui l'a traduit en italien, sous le titre : Il Traguardo (Le Niveau), répondant

> Commântariuê in Euelidem , liber tertiua.

3 Eticlidis EUmentOTum libêrprimus. Item HeronU À hsendrini voeahula quœdam Geometriœ anteà nunguam édita, grœcè et latine ; per CunradumDaêypodium. Argentin», 1571, in-S». — Oraiio C, Dasypodiidê Disciplinis maihematicis. Ejusdem Uerçnis Àleteandrini Nomenclaturœ vaeahulorum geometricorum translatio, Ejutdem Lesicon mathematicum , es diverais collectum antiguia acriptte. Argent., 1579, in-8o.

' Fabriciut {Bibl, grœca , lib. 8, cap. 24), et Heilbronner {ffiat, Matheseos , p. 308) , attribuent cet ouyrage à Héron le jeiine qai a vëcn à Con«tantinople , au Vll^ siècle de notre ère. Bernardin Baldi Tavait mit , comme Dasypodius, an nombre des ouTrages de Héron Pancien. Voir Cronica de matematici,^. 35.

au titre du texte grec, irep} ^irepoçy et Ta mis au jour dans ses commentaires sur Phistoire et la théorie de l'optiijue i. €et ouvrage est un traité de géodésie dans lequel se trouvent résolues graphiquement sur le terrain, à Taide de Finstrument appelé la dioptre par les Anciens, une foule de questions de géométrie pratique.

€e traité est digne du nom de Héron ; il est un monument précieux de la Géométrie des Grecs , et doit prendre place à la suite des ouvrages d'Euclide , d'Archimède et d'Apollonius. Il remplit une lacune qui existait dans les écrits qui nous sont parvenus de l'antiquité. Car les Anciens ayant toujours distingué sous le nom de géodésie , la Géométrie pratique de la Géométrie proprement dite ^, ils ont dû écrire particulièrement sur cette géodésie; et cependant il ne nous était rien venu de l'école d'Alexandrie, sur cette branche de la Géométrie.

Nous connaissions seulement le traité de géodésie de Héron le jeune, postérieur de près de huit siècles à Héron l'ancien. Mais cet ouvrage, qui se réduit aux opérations les plus simples, dépourvues de démonstrations , n'était pas digne de figurer à côté des ouvrages géométriques des Grecs. La proposition la plus importante qu'on y remarquât était la formule qui donne l'aire du triangle en fonction des trois côtés. C'était le seul ouvrage grec où l'on trouvât cette formule^ si répandue en Europe dès le commencement du treizième siècle , et qui paraissait d'origine arabe. Mais elle se trouve aussi dans le traité de Héron l'ancien , où elle est démontrée par une construction géométrique très-élégante. C'est là probablement que Héron le jeune l'a prise , car il cite souvent les ouvrages de son homonyme et ceux d'Archimède , et de plus il se sert dans l'application numérique qu'il fait de la formule , des trois nombres 18 , 14 et 18 pour côtés do triangle , qui sont ceux précisément de Héron l'ancien.

Ces trois nombres, et la formule en question, se rencontrent aussi dans la Géométrie des Indiens et dans celle des Arabes , et même chez les Latins, ainsi que nous l'avons dit en parlant des ouvrages de Brahmegupta.

Le traité de géodésie de Héron l'ancien étant encore à peine connu , nous allons énoncer plusieurs des questions qui s'y trouvent résolues au moyen de l'instrument qu'il appelle la dioptre. Elles font connaître ce qui constituait la géodésie , ou Géométrie pratique chez les Grecs ; et elles sont de nature à faire regretter que le texte original de l'ouvrage de Héron , et d'autres versions que celle de M* Yenturi, n'aient pas encore été publiés ^.

' Commentari sopra la ttoria e le ieorie deWotHca, Bologna , 1814 , iii-4o.

Cet ouTrage se compose des <ioatre parties saiTantet :

lo Considerazvmi sopra varie parti dell'ottica presse di antichi ;

2o Erone il meceanico del tragnardo iradotto dal greco ed iUustrato con note ;

So DelViride , degli aloni e dé paregli ;

4fi Appendice interne alPottica di Tolommeo,

3 Si enim in koe differret solum Geometria à Gêodœsia , quod hase guidem eorum est gvce sentimus , iUa vero non sensibUium est. (Aristote , Ut. 9 de la Métaphysique , chap. 11.)

3 H. Yenturî cite trois bibliothèques qui possèdent le traité de Héron ; ce sont la bibliothèque royale de Paris, celle de Strasbourg et celle de Vienne ; dans celle-ci Texemplaire est incomplet ; il est le seul dont les bibliographes aient fait mention ; on Ta pris, diaprés Lambecins, pour un traité de Dioptrique, — ( Toirf abricius, Bib. grœoa, lib. 3^ c. d4 ;— Heilbronner , Ilist, math. p. 282.)

H. Yenturi a fait sa traduction sur une copie de {^exemplaire de la bibliothèque royale , collationné sur celui de Strasbourg. Ce dernier est probablement Pexemplaire qui a été en la possession de Dasypodius. Que sont devenus les autres ouTrages de Héron que ce géomètre possédait aussi ?

Conrad Gesner dit , dans sa Bibliotheca universalis {sive catalogus omnium scriptorum locupletissimus in tribus linguis latina, grœca et hebraica, Tiguri, 1545, fol.) que le célèbre Diego Hurtardo de Hendosa,

V Mesurer la diffërence de hauteur de deux points invisibles l'un de l'autre.

2^ Tirer une ligne droite entre deux points invisibles l'un de l'autre.

S* Trouver la distance du lieu oi^ l'on est, à un point éloigné duquel on ne peut approcher.

4" Mesurer la largeur d'une rivière qu'on ne peut traverser.

K** Mesurer la distance qui sépare deux points éloignés.

6^ Mener, par un point donné , une perpendiculaire sur une droite dont on ne peut approcher.

7® Mesurer la hauteur d'un point inaccessible.

8® Mesurer la différence de hauteur de deux points inaccessibles.

9^ Mesurer la profondeur d'un trou.

10<* Traverser une montagne en suivant une ligne droite qui joigne deux points donnés des deux côtés de la montagne.

1 1" Creuser un puits sur une montagne , de manière qu'il aboutisse à une excavation souterraine déterminée.

12® Tracer le contour d'un rivage.

IS® Donner au terrain la forme d'un segment de sphère déterminé.

14® Donner au terrain une pente déterminée.

15® Mesurer un champ sans entrer dedans.

16® Le diviser en parties données par des droites partant d'un même point.

17® Diviser dans une raison donnée un triangle et un trapèze.

Page 45.

La première proposition du livre IV des collections mathématiques de Pappus est une propriété générale des triangles , que l'auteur présente comme une généralisation du théorème du carré de l'hypothénuse dans les triangles rectangles. On n'a pas encore remarqué que cette proposition est précisément, sous une autre forme, la propriété des parallélogrammes sur laquelle repose en mécanique la théorie des momens; laquelle propriété n'a été découverte qu'au commencement du siècle dernier par Varignon qui la présentée aussi comme « quelque chose de semblable à la proposition 47 du I®' livre des Élémens d'Euclide (celle du carré de l'hypothénuse) , n et l'a énoncée ainsi :

Si sur deux côiés contigus d'un paralléiogramtne y et sur la diagonale issue du même somnui qu'eux, on construit trois triangles ayant un sommet commun situé en un point quelconque du plan de la figure, la somme ou la différence des deux premiers triangles sera égale au troisième triangle, (Voir les Mémoires de l'académie des Sciences de Paris, année 1719.)

Déjà, long-temps auparavant, Varignon avait démontré, et avait employé en mécanique un théorème sur le parallélogramme , très-connu dans la Géométrie moderne , et qui n'est au fond que ce premier, sous un énoncé très-différent , savoir que : Si deux côtés contigus d^un parallé^ logramme et la diagonale issue de leur sommet commun, sont projetés sur une droite Quelconque, la projection de la diagonale sera égale à la somme ou à la différence des projections des deux côtés. (Voir Projet d'une nouvelle Mécanique, in-4® , 1687 , pag. 189.)

à qui FEorope fut redeTable d^on graud nombre de manuscrits grecs , en ayait plusieurs de Béron (rr>tr fol. 819 Terso). Ceux-ci se trouyent sans doute dans la bibliothèque de PEscurial, où est entrée la précieuse collection de Hendoia.

To«. XI. 69

Page (55. § 8.

Au nombre des géomètres qui , à l'imitation de Yiète , ont fait des transformations de triangles sphériques , il faut placer Albert Girard qui a fait aussi usage du triangle réciprûqtte , dans sa trigonométrie, imprimée en 1626, un an ayant celle de Snellius; mais ce géomètre a compris sous ce mot les quatre triangles différens formés par les arcs de cercle qui ont pour pôles les trois sommets du triangle proposé ; de sorte qu'il regarde comme réciproqueê d'un triangle donné, le triangle de Viète et celui de Snellius.

Ce Traité de Trigonométrie d'Albert Girard , qui est à la suite d'une table des sinus , tangentes et sécantes, est très-succinct, et néanmoins contient plusieurs choses intéressantes. Dans la préface on voit que l'auteur s'était occupé de V analyse géométrique des Anciens, et avait rétabli leurs traités dont les titres nous ont été transmis par Pappu»^ il dit , à ce svjçt , qu^après ce petit Traité de Trigonométrie , (( qu'il donne comme échantillon , il mettra au jour quelque chose de plus grand. »

Page 68* § U.

Fermât avait écrit sur les Lieux à la surface,

Mersenne nous l'apprend en ces termes : Omitto locos ad superficiem, cujus isaffogem vir idem Cl. (Fermatius) amicis comtnunem fecii, et alia quœ utinam ah eo tantutn impetremus. (Voir Universœ Geometriœ mixtœque mathematicœ synopsis, in-4®, 1644, p. 888).

Page 81. § 27.

Nous avons dit que Desargues avait proposé la question de couper un c6ne à base elliptique , hyperbolique ou parabolique , suivant un cercle , et que Descartes en avait donné une solution fondée sur les principes de sa Géométrie analytique. Nous aurions dû ajouter que Desargues avait résolu aussi ce problème , par une construction graphique ^. Ce que nous voyons dans la préface de la Synopsis universœ Geometriœ du P. Mersenne. Desargues réduisait ce problème à la recherche de l'axe principal du cône , c'est-à-dire de celui qui jouit de la propriété qu'un plan qui lui est perpendiculaire coupe le cône suivant une ellipse qui a son centre sur cet axe. 11 construisait cet axe en employant deux lignes dont il déterminait autant de points qu'il voulait. Mersenne ne dit pas quelles étaient ces lignes : c'étaient probablement des sections coniques.

Après avoir déterminé les sections circulaires du cône , Desargues s'en servait pour résoudre différens autres problèmes , tels que de couper le cône suivant une conique semblable à une conique donnée, ou qui satisfasse à la condition que le plus grand angle que fassent deux diamètres conjugués soit de grandeur donnée.

1 Archimède a résolu ce problème pour le cas où le sommet du cône est dans le plan mené par Tun des diamètres principaux de la conique perpendiculairement à son plan} ce qu'on -voit par les propositions 8 et 0 du livre des Sphéroïdes et des Conoïdes.

Ces propositions montrent aussi qu'Archimède ayait déjà , avant Apollonius , considéré le cône oblique à base circulaire ; mais néanmoins c'est Apollonius qui , le premier, a étudié la théorie des coniques dans le cône oblique.

Desargues résolvait encore ce problème , le plus général , dit Mersenne , qu'on puisse se proposer sur cette matière :

Étant donnés un cane à base elliptique ^ parabolique, ou hyperbolique , et un plan êécant , déterminer, sans construire la courbe d'intersection du cône par ce plan, ses diamètres conjugés faisant entre eux un angle de grandeur donnée, ses tangentes, ses ordonnées, ses paramètres, et les autres principales lignes de cette courbe.

Desargues fait lui-même mention d'un problème de cette nature , à la fin de son livret sur la perspective, compris dans le Traité de Perspective, arrangé par Bosse (in-8*», 1648; voir p. 8i4) ; où il s'exprime ainsi :

j^yant à pourtraire une coupe de cône plate , y mener deux lignes dont les apparences soient les essieux de la figure qui la représente»

C'est-à-dire; une conique étant mise en perspective, trouver sur son plan les deux droites qui seront , en perspective , les deux axes principaux de la perspective de la conique.

£n6n nous voyons encore dans la préface de la Synopsis de Mersenne , que Desargues avait composé un traité complet sur l'angle solide oh il résolvait ces quatre problèmes :

1^ Étant donnés les trois angles plans, trouver les trois angles dièdres;

^ Étant donnés deux angles plans et un angle dièdre , trouver l'autre angle plan et les deux autres angles dièdres;

8<* Étant donnés un angle plan avec deux angles dièdres, trouver les deux autres angles plans ^ et le troisième angle dièdre;

k^ Enfin , étant donnés les trois angles dièdres , trouver les trois angles plans.

Mersenne ajoute que Desargues formait un second angle trièdre , dans lequel les angles plans étaient les supplémens des angles dièdres du premier, et réciproquement. Ce qui réduisait les quatre problèmes à deux.

C'est, comme on voit, l'angle trièdre supplémentaire, qui répond au triangle supplémentaire de la trigonométrie sphérique que Snellius avait imaginé quelques années auparavant, dans son Traité de Trigonométrie. Et quant aux problèmes, ils constituent une solution graphique de la trigonométrie sphérique. C'est ce qu'on a appelé depuis la solution de la pyramide triangulaire. Ils forment aujourd'hui un chapitre des Traités de Géométrie descriptive et sont d'un fréquent usage dans les applications de cette science , principalement à la coupe des pierres. (Voir le Traité de Géométrie descriptive, de M. Hachette, et le S" cahier du 1"' volume de la Correspondance polytechnique.)

Pagi 88. § 28.

M. Poncelet a donné, comme correspondant, dans la Géométrie à trois dimensions, au théorème de Géométrie plane de Desargues , le suivant : Quand deux tétraèdres ont leurs sommets placés deux à deux sur quatre droites concourantes en un même point, les plans de leurs faces se coupent deux à deux suivant quatre droites qui sont dans un même plan. (Traité des Propriétés projectives, art. 582.) Ce théorème peut être généralisé de cette manière :

Quand deux tétraèdres ont leurs sommets placés deux à deux sur quatre droites qui sont les génératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde à une nappe, leurs faces se coupent deux à deux suivant quistre autres droites qui sont les génératrices d'un second hyperboloïde.

Page 95.

Od trouve dans les lettres de Descartes de nombreux passages relatifs à la Géométrie. Son volume d'Optiscula posthuma (Amst. 1701 , in-4°) , contient aussi quelques morceaux de Géométrie. Il est à regretter que l'on n'ait pas encore songé à réunir tous ces passages épars, et à les comprendre dans une des nombreuses éditions que Ton a faites de la Géométrie de Descartes.

Nous nous bornerons ici à remarquer dans ses lettres, une méthode particulière, qu^ ce célèbre philosophe a imaginée pour résoudre un problème, alors fort agité entre lui et ses illustres contemporains Fermât , Roberval et Pascal ; le problème de la tangente à la cycloïde. Cette méthode , qui a eu alors une grande célébrité , était d'une simplicité extrême , et convenait aux cycloïdes accourcies et allongées , comme l'a très-bien vu Descartes , et même à toutes sortes de roulettes, décrites par un point du plan d'une courbe quelconque qui roule sur une autre courbe fixe. Elle consiste à regarder les deux courbes comme deux polygones d'une infinité de c6tés. Ces polygones sont en contact suivant un côté commun , et conséquemment ont à chaque instant deux sommets communs ; pendant un mouvement infiniment petit le premier polygone tourne autour d'un de ces deux sommets qui reste fixe ; le point décrivant engendre donc un arc de cercle qui a son centre en ce sommet fixe ; la normale à cet arc de cercle , qui est un élément de la roulette décrite , passe donc par ce sommet.

Cette méthode , qui diffère essentiellement de toutes les autres méthodes pour mener les tangentes , est d'une simplicité extrême , et a toujours été employée depuis. Mais , à raison sans doute de cette simplicité même, elle n'a point attiré autant l'attention des géomètres qui n'en ont fait usage que dans la même question , en se bornant seulement à l'étendre aux épicycloïdes sphériques. En reconnaissant ce que cette méthode a de distinctif et de spécial par rapport aux autres solutions du problème des tangentes , il était naturel de chercher si le principe sur lequel elle reposait n'était pas susceptible de quelque généralisation qui le rendrait applicable à d'autres questions.

Le théorème suivant nous parait offrir la généralisation de celui de Descartes :

Quand une figure plane éprouve un mouvement infiniment petit dans son plan, il existe toujours un point qui, pendant ce mouvement, reste fixe;

Les droites menées par les differens points de la figure, perpendiculairement aux trajectoire qu'ils décrivent pendant le mouvement infiniment petit, passent toutes par ce point fixe.

D'après ce théorème , quand une courbe est décrite par un point d'une figure en mouvement dans son plan , il suffira , pour mener sa normale par le point décrivant , de déterminer le point qui restera fixe au moment du mouvement où le point décrivant aura la position qu'on considère. Ce point se déterminera par les différentes conditions du mouvement de la figure.

Par exemple , si l'on connaît le mouvement de deux points de la figure , on mènera par ces points les normales aux courbes qu'ils parcourent , le point d'intersection de ces deux normales sera le point cherché.

Ainsi , qu'une droite de longueur donnée se meuve de manière que ses deux extrémités parcourent deux droites fixes , on sait que chaque point de la droite , et même que chaque point pris au dehors de la droite , mais fixé invariablement à elle , décrit une ellipse. Pour déterminer la normale à cette courbe, on mènera les normales aux deux droites fixes par les extrémités de la droite mobile ; ces deux normales se rencontreront en un point par oh passera la normale cherchée.

Le mouvement de la figure mobile peut être réglé par diverses autres conditions qui permettraient encore de déterminer très-aisément le point en question.

Soit , par exemple , la conchoïde de Nicomède décrite par un point d'une droite dont Fextrémité parcourt une droite fixe , pendant que cette droite mobile glisse sur un point fixe. Considérant la droite mobile dans une de ses positions ^ par le point fixe on lui mènera une perpendiculaire , et par son extrémité on mènera une droite perpendiculaire à la droite fixe ; le point de concours de ces deux perpendiculaires sera le point cherché par lequel passera la normale à la conchoïde.

Nous ne passerons point en revue ici toutes les autres conditions diverses du mouvement de la figure mobile pour lesquelles on saura déterminer le point en question, ni toutes les courbes auxquelles il sera facile par ce moyen de mener les tangentes.

Ce qui précède suffît pour faire voir que le théorème que nous avons énoncé est une généralisation de ridée de Descartes au sujet de la tangente à la cycloïde , et qu'il constitue une véritable méthode des tangentes , méthode difierente de toutes les autres , et même de celle de Roberval , quoiqu'elle repose comme celle-ci sur des considérations de mouvement. Mais on conçoit que cette méthode, si facile, sera aussi comme celle de Roberval, bornée dans ses applications , puisqu'elle suppose qu'on connaît les conditions géométriques du mouvement d'une figure de forme invariable , à laquelle appartient le point décrivant. Cependant elle s'applique à un grand nombre de courbes particulières et à des familles entières de courbes.

Les usages de notre théorème ne se bornent pas à la simple Géométrie ; il peut être utile aussi en mécanique pour le calcul des forces vives : car il en résulte que les forces vives des difierens points de la figure mobile sont proportionnelles aux carrés des distances de ces points à celui qui , pendant l'instant oii l'on considère le mouvement, est resté fixe : il suffit donc^ ce point étant déterminé , de connaître la force vive d'un autre point quelconque de la figure. M. Poncelet nous a appris qu'il avait fait un tel usage de ce théorème dans plusieurs questions sur les machines, oin l'on n'avait point jusqu'ici de méthode géométrique pour le calcul des forces vives.

En énonçant le théorème en question , il y a quelques années (voir Bulletin Universel des Sciences, t. XIV) , nous l'avons présenté comme un cas particulier d'un théorème sur le déplacement fini quelconque d'une figure plane dans son plan , et même d'un théorème encore plus général relatif à deux figures semblables , situées d'une manière quelconque dans un plan. Mais ces théorèmes dépendent eux-mêmes d'un principe encore plus général , que voici :

Si l'on conçoit dans un plan deux figures qui ont été primitivement la perspective l'une de l'autre j et qui se trouvent actuellement placées d'une manière quelconque l'une par rapport à l'autre;

Chaque point de Pune des figures aura son homologue dans l'autre figure;

Il existera généralement trois points dans l'une des figures qui se trouveront superposés respec^ tivement sur leurs homologues dans la seconde figure;

Vun de ces trois points sera toujours réel; les deux autres pourront être imaginaires,

11 résulte de là qu'il y a aussi trois droites dans l'une des figures , qui se trouvent superposées sur leurs homologues dans la seconde figure ^ ce sont les droites qui joignent deux à deux les trois points.

L'une de ces droites est toujours réelle , et les deux autres peuvent être imaginaires.

Quand les deux figures sont semblables^ ce qui est un cas particulier de la perspective^

deux des trois points , et deux des trois droites sont toujours imaginaires ; le troisième point est réel ; la troisième droite est aussi réelle ; mais elle se trouve située à Finfini.

Cela a lieu pareillement quand les deux figures sont égales entre elles.

Ces propriétés des figures planes ont leurs analogues dans les figures à trois dimensions, pour lesquelles j'ai dé^lt énoncé quelques théorèmes qui se rapportent à cette théorie. ( Voir Bulletin Universel des Sciences , t. XIV, p. 821 , année 1830.)

Page 98. § 4.

Les Arabes se sont occupés aussi de la description organique des courbes , et particulièrement des sections coniques. Nous le voyons par le titre des trois ouvrages suivans qui se trouvent dans la bibliothèque de Leyde :

P Ahmed hen Ghalil Sugiureus De conicarum sectionum descriptione ;

â° Abu Schel Cumœus De circino perfecio , quo etiam sectiones conicœ et aliœ lineœ curvœ descrihi possunt;

8" Mah. hen Husein De circino perfecto et formatione linearum. (Voir Catalogus librorum tant impressorum quam manuscriptorum hihliothecœ puhlicœ universitaiis Lugduno BatavWy infolio, 1716 , p. 454 et 4S8. )

Page 119.

Parmi les pratiques nouvelles que contenait la Gnomonique de De la Hire , il en est une que nous aurions dû citer , parce qu'elle repose sur des considérations géométriques qui rentrent dans les doctrines de la Géométrie moderne. '

11 s'agit de la construction des lignes horaires , en se servant de quelques-unes d'entre elles , qui sont déjà tracées. De la Hire résout trois questions :

Dans la première il suppose connues sept lignes horaires consécutives ;

Dans la seconde , 4 heures consécutives et Téquinoxiale ;

Et dans la troisième , 8 heures consécutives , Téquinoxiale et l'horizontale.

Et il détermine les autres lignes horaires.

Soient connues, dans le premier cas, les sept lignes des heures consécutives X, XI, XII , l , II , III et IV. Voici quelle est la construction de l'auteur pour déterminer les cinq autres :

Par un point o de la ligne IV, on mène une transversale parallèle à la ligne X ; elle rencontre les lignes III, H, I, XII et XI en des points a, b, c^d, e; on porte sur cette transversale, de l'autre c6té du point o, des segmens oa\ ob', oc', od\ oe' égaux respectivement à oa, ob, oc, od, oe; et les points a', b\ c', d', tl appartiennent aux cinq heures cherchées.

En effet , les deux plans horaires X et IV sont à angle droit ; les deux plans horaires III et V sont inclinés également sur le plan IV, et conséquemment ces deux plans sont conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers X et IV. Il suit de là que les deux lignes horaires III et V sont conjugées harmoniques par rapport aux deux lignes horaires X^ et IV : donc toute transversale rencontrera ces quatre lignes en quatre points harmoniques ; et conséquemment , si cette transversale est parallèle à la ligne X , les deux points oi!i elle rencontrera les lignes If I et V seront à égale distance de celui oii elle rencontrera la ligne IV. C. Q. F. P. '.

' Cette démonstration géométrique , que nous empruntons de TouTriige de De la Hire , est aussi rigoureuse

Nous ne rapporterons pas les pratiques de De la Hire pour les deux autres questions ; elles sont aussi simples que la première , et reposent aussi sur les principes de la Géométrie élémentaire qui rentrent dans la théorie des transversales.

Mais ces trois problèmes donnent naturellement lieu à une observation que je m'étonne qu'on n'ait pas faite dans les ouvrages qui les ont reproduits. Cette observation porte sur le grand nombre de données que prend De la Hire pour construire les lignes horaires inconnues. Dans le P' cas il en prend sept, dans le 2^ quatre, plus la ligne équinoxiale ; et dans le 8" trois, plus la ligne équinoxiale et la ligne horizontale ] ajoutez à cela que les lignes données doivent être consécutives.

Est-il besoin de toutes ces données ? Et quel est le plus petit nombre de lignes horaires qui soit suj£sant pour construire les autres?

La réponse à ces questions , c'est que trois lignes horaires quelconques suffisent pour déterminer toutes les autres , dont on peut donner une construction tout aussi simple que celle de De la Hire pour le cas de sept lignes horaires consécutives connues.

Voici quelle sera cette construction , qui va nous offrir une nouvelle application de la Théorie du rapport anharmonique , sur laquelle nous avons déjà cherché dans plusieurs passages de cet ouvrage à appeler l'attention des géomètres.

Désignons par a^b^ c les trois lignes données , qui répondent à des heures déterminées , mais quelconques , et qui seront même des fractions d'heure , si l'on veut. Soit d la ligne d'une 4" heure quelconque , qu'on veut construire au moyen des trois premières. Le rapport anharmonique de ces quatre droites sera égal à celui des quatre plans horaires dont elles sont les traces sur le plan du cadran. Ainsi soient À, B , G, D ces quatre plans, on aura

sin. cja ^ sin. d,a sin. C,k sin. D^A sin. cjb * sin. djb sin. G,B * sin. D,B

que brièTe ; cependant H. Delambre ne la regarde pas comme bien satisfaisante j et comme la pratique en question lui parait utile et curieuse , et mérite une démonstration en forme , il se propose de la démontrer de la manière la plus générale et la plus rigoureuse. {Hist. de Gastronomie au moyeu âye, p. 634.) Mais nous dcTons le dire , la démonstration de M. Delambre occupe près de deux pages de calculs , et assurément n^est pas plus rigoureuse que le court raisonnement de De la Hire.

Nous ne faisons point cette observation dans un esprit de critique} le nom et les traTaux de H. Delambre, son déTouement à la science et les recherches fastidieuses et pénibles auxquelles il s'est livré pour écrire son histoire de Pastronomie , ne trouTent en nous que respect et admiration. Hais notre remarque rentre essentiellement dans Fesprit qui a présidé à la composition de notre ouvrage ; parce qu'elle présente , d'une part, un exemple palpable des avantages que peut offrir souvent la voie géométrique ou du simple raisonnement , sur celle du calcul j et qu'elle montre ensuite cette direction qu'ont prise les études mathématiques, où Ton ne trouve plus de preuTes claires et convaincantes de la Térité en Géométrie , et de démonstration en forme , que dans une Térification par le calcul algébrique. Cette direction nouTclle est l'inverse de ce qui s'est fait dans tous les temps : chez les Grecs, où la Géométrie fat renommée pour la rigueur de ses démonstrations; chex les Hindous et les Arabes qui se rendaient compte des résultats de l'algèbre , par une démonstration géométrique j chez les Modernes , jusqu'au siècle dernier où lYewton et Maclaurin n'employaient le calcul qu'à regret et au point où il devenait indispensable.

Quelle est la cause de cette direction exclusive dans les études mathématiques ? Quelle sera son influence sur le caractère et les progrès de la science? Nous n'essaierons pas de répondre à ces questions, sur lesquelles on serait peut-être difficilement d'accord. Mais quelles que soient les opinions à leur égard, on ne discon-viendra pas du moins, qu'il serait utile que la méthode ancienne, suivie jusqu'au siècle dernier, con^ tinuàt d'être encouragée et cultiTée concurremment avec la nouvelle.

Les angles que font entre eux les quatre plans A , B , G , D sont connus , puisque ces plans correspondent à quatre heures déterminées ; le second nombre est donc une quantité connue n.

On voit donc déjà que notre équation servira à déterminer la direction de la ligne d, et qu'ainsi elle résout la question.

Pour en déduire une construction facile , menons arbitrairement une transversale qui rencontrera les trois lignes a, 6, c en des points a ^ C, yet appelons <rle point où elle rencontrera la ligne cherchée d. Le rapport anharmonique des quatre points a^ €j *y, <f sera le même que celui des quatre droites a , b, o, d; Téquation précédente se transformera donc en celle-ci :

ya êa. ^, êx 1 ya.

— : — ^ «; dou — = -. — •

yQ êQ <rC n yC

Le second membre est connu; cette équation fera donc connaître la position du point <fqui appartient à la ligne cherchée.

Cette solution devient d'une facilité extrême , si Ton mène la transversale parallèle à Tune des deux lignes a , b, & Ia première, par exemple , car alors on a -^ = 1 , et Téquation se réduit à

«/C=n .yC.

Le segment yC est connu , donc le segment <tC Test aussi ; le point J" et , par conséquent , la droite cl sont donc déterminés. Ainsi le problème est résolu. Et cette construction générale, qui ne fait usage que de trois lignes horaires quelconques , et qui sert pour en déterminer une quatrième aussi quelconque , est , comme nous l'avons annoncé , tout aussi simple que celle de De la Hire qui nécessitait la connaissance de sept lignes au lieu de trois.

Quant à la quantité n , qui n'est pas donnée directement , mais qui dépend des angles que les quatre plans horaires A , B , G , D font entre eux , il est facile d'en calculer la valeur graphiquement , sans faire usage des lignes trigonométriques qui entrent dans son expression. Pour cela 9 on mènera par un point 0 quatre droites OA', OB', OC', OD' faisant entre elles, deux à deux , des angles égaux à ceux des plans horaires ; ou tirera une transversale quelconque , qui rencontrera ces droites en quatre points a', ^, v', «f'; le rapport anharmonique de ces quatre points sera égal à celui des quatre plans ; de sorte qu'on aura

yV ^ rx'

Telle est la valeur de n. On simplifie son expression, en menant la transversale parallèlement à l'une des quatre droites OA', OB', OC, 01)', à la première, par exemple, car on a

alors ^rr-r = 1 , et il vient

Page 161 , § 17.

La considération des épicycloïdes remonte très-haut , puisqu'elles ont joué un grand rôle dans le système astronomique de Ptolémée. Mais il ne parait pas que l'on ait jamais étudié géo^ métrîquement la nature et les propriétés de ces courbes. Albert Durer les a mises au nombre des lignes courbes qu'il a appris à décrire par points et dont l'usage pouvait être utile dans les arts de construction ; mais il n'en a point étudié non plus aucune propriété.

La première épicycloîde dont la nature ait été connue est due à Cardan ; c'est celle que décrit un point de la circonférence d'un cercle qui roule sur la concavité d'un cercle d'un rayon double. Cette ligne est, comme on sait, une droite. Cardan a démontré cette proposition dans son livre intitulé : Opuê novum de proportionibuê numerorum^ motHum, etc. (^Fotr Proposition 178, p. 186).

Ensuite Huygens a trouvé (en 1678) que la ligne enveloppe des ondes par réflexion, dans un cercle sur lequel tombent des rayons parallèles est une épicycloîde engendrée par un point de la circonférence d'un cercle qui roulerait sur la concavité du cercle éclairé ; ce cercle mobile ayant son diamètre égal au quart du diamètre de celui-ci. Huygens a donné la rectification et la quadrature de cette courbe (voir son Traité de la Lumière, chap. VI).

Vers le même temps , De la Hire a trouvé que la caustique de Tschirnhausen , formée par la réflexion dans un cercle éclairé par des rayons parallèles est aussi une épicycloîde , qu'on engendre en faisant rouler une circonférence de cercle sur la convexité d'un autre cercle d'un diamètre double de celui du cercle fixe.

Cette courbe est précisément la développée de celle de Huygens.

Ce sont là , je crois , les premières épicycloïdes dont on ait connu quelques propriétés géométriques. Ces courbes se sont présentées ensuite dans plusieurs autres questions de physique et de mécanique oili elles ont joué un râle remarquable.

Page 218.

Clairaut a considéré avant Euler les courbes que celui-ci appelle iineœ affines; il les regarde comme étant la projection l'une de l'autre, c'est-à-dire comme deux sections planes d'un même cylindre ; et il les appelle courbes de même espèce, 11 fait voir que les coordonnées d'un point de l'une rapportées à deux axes pris dans son plan, étant x et y, les coordonnées du point correspondant dans la seconde courbe , rapportées aux deux axes qui correspondent dans le plan de cette courbe aux deux premiers axes, sont de la forme X^Ad?, Y=^y.Ce qui montre que ces courbes de Clairaut sont les mêmes que celles d'Euler. (Voir Mémoires de V Académie des Sciences de Paris ^ année 1781.)

Page 265.

Un caractère propre des principes de dualité et d'homographie tels que nous les exposerons, et qui repose sur l'usage que nous y faisons du rapport anharmonique, c'est que, par la nature même de ce rapport, tous les théorèmes que nous obtiendrons s'appliqueront d'eux-mêmes, presque toujours , aux figures tracées sur la sphère. De sorte que ces deux théories offriront un

To«. XI. 70

moyen facile et naturel de transporter aux figures sphériques toutes les propriétés des figures planes , et de généraliser même les propriétés déjà connues des figures sphériques.

Le principe de dualité, par exemple, fera voir qu'une première figure étant tracée sur la sphère, outre la figure supplémentaire ^ la seule connue jusqu'ici comme jouissant de la propriété que , dMi. points et aux arcs de grands cercles de la figure proposée ^ correspondent, dans cette figure supplémentaire, des arcs de grands cercles et Ae» points y respectivement ; outre cette figure supplémentaire , dis-je, on en pourra tracer sur la sphère une infinité d'autres jouissant des mêmes propriétés ; et ce principe enseigne le mode de construction de ces figures , parmi lesquelles la figure supplémentaire n'est plus qu'un cas particulier.

Ainsi nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véritable méthode rationnelle pour appliquer aux figures sphériques les propriétés des figures planes, et , en un mot,- pour former la Géométrie de la sphère ; et cette partie de la science de l'étendue peut dès aujourd'hui faire de rapides et faciles progrès.

Pagi 282.

Les deux porismes de Géométrie plane que nous avons appliqués à la Géométrie à trois dimensions ont aussi leurs analogues sur la sphère. En voici les énoncés :

1"' porisme. Étant pris sur la ^hère deux points fixes PjP', et deux arcs qui ren&mtrei^ Varo PP' en E et E' ; et étant pris sur ces deux arcs y respectivement y deux points fixée O , (f ;

Si de chaque point d'un arc donné on mène deux arcs aux points P, P', qui rencontreront respectivement les deux arcs EO, E'O' en deux points a , a', on pourra trouver deux quantités A, /u, telles qu'on aura toujours la relation

sin. Oa sin. O'a'

sm. £a sm. £a

2* porisme. Etant menés sur la sphère deux arcs de grands cercles^ qui se rencontrent en S , et étant pris sur ces deux arcs respectivement deux points fixes Oy O';

Si autour d'un point donné de la sphère on fait tourner un arc qui rencontrera les deux arcs fixes en deux points a, a', on pourra trouver deux quantités X, /jl telles qu'on aura toujours la relation

sin. Oa sin. OV

-: TT "*" ^- ": TTT = /*•

sm. Sa sm. Sa

Pagi 294.

Depuis cpie la note VII , sur l'ouvrage De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio de Jean Ceva, était imprimée, a paru le 24« cahier du Journal de l'école Polytechnique , on se trouve un mémoire de M. Coriolis , intitulé : Sur la Théorie des momens considérés comme analyse des rencontres des lignes droites ^ qui a le même objet que cet ouvrage de Ceva. M. Coriolis y démontre , en peu de mots et sans calculs , par la théorie des momens , des théorèmes de la nature de ceux qui se trouvent dans la théorie des transversales de Carnot , mais qui présen-

tentune plus grande généralité. On y remarcpe particulièrement une démonstration de la double génération de Thyperboloïde à une nappe par une ligne droite.

Page S18.

A la suite de Tarticle (12) , ajouter :

(12 bis). Il suit du théorème (12) que si Ton a trois systèmes de deux points A, A', B, B' et €, C, conjugués harmoniques par rapport à deux poinU fixes E, F, les six poinU A, A', B, B', C, C seront en involution.

Car soitO le point milieu du segment £F , on aura

OA.OA' = OÊ", OB.OB' = ÔF , OC.OC = ÔE\ Donc les six points A, A', B, B', G, C forment une involution (art. 12).

Page 890, Abt. 27.

Dans un mémoire qui a pour titre : Recherches sur ce qu'il y a d'analogue au centre des forces parallèles^ dans un système à forces non parallèles^ M. Minding, docteur à l'université de Berlin, a démontré un théorème remarquable qui offre une nouvelle propriété des deux coniques excentriques d'une surface du second degré. Voici Ténoncé de ce théorème :

«( Les forces d'un système étant supposées telles qu'elles ne se fassent pas équilibrcy si on les fait tourner autour de leurs points respectifs d'application , sans déranger leurs inclinaisons mutuelles, il y a une infinité de positions du système dans lesquelles toutes les forces peuvent être remplacées par une résultante unique. La direction de cette résultante coupe toujours les contours d'une ellipse et d'une hyperbole situées dans deux plans perpendiculaires entre eux; ces deux courbes sont d'ailleurs dans de telles relations , que les foyers de l'une coïncident avec les sommets de Vautre,

)) Réciproquement j chaque droite qui joint un point de l'ellipse à un point de l'hyperbole , peut être considérée comme la direction de la résultante unique , pour une certaine position du système. » (Voir le Compte rendu des séances de l'Académie des sciences de Paris, par MM. les secrétaires perpétuels, année 1835, p. 282.)

En considérant les deux courbes en question comme les limites d'une série de surfaces du second degré toutes inscrites dans une même développable {voy. p. 897), on est conduit à penser que le théorème de M. Minding n'est qu'un cas particulier de quelque théorème plus général , dans lequel ces surfaces du second degré joueraient un râle analogue à celui de ces coniques.

Par exemple, au lieu de supposer que toutes les forces du système doivent prendre autour de leurs points d'applications des directions telles qu'elles aient une résultante unique , qu'on suppose que le couple minimum relatif à chaque position du système ait une valeur donnée (qui sera zéro dans le cas de la résultante unique), et qu'on demande quelle sera dans l'espace la position de l'axe de ce couple minimum ou axe central des momens. (Voir les Élèmens de sta-

tique de M. Poinsot, 6"** édition , p. 859), Le résultat de cette recherche offrira nécessairement une généralisation du heau théorème de M. Minding; et peut-être que les surfaces du second degré y joueront le rôle que nous venons d^indiquer.

Cette théorie d'un système de forces qui tournent autour de leurs points d'application , en conservant leurs grandeurs et leurs inclinaisons mutuelles , peut prendre une grande extension et donner lieu à plusieurs questions intéressantes , si Ton y introduit la considération de l'axe central des momens , au lieu de se borner au cas particulier d'une résultante unique. Par exemple :

1^ Que l'axe central des momens doive rester parallèle à une même droite ; quelle sera la surface cylindrique qu'il décrira ?

2^ Qu'il doive rester parallèle à un même plan ; quelle sera la surface courbe qu'il touchera dans toutes ses positions?

8^ Qu'il doive passer toujours par un même point; quelle sera la surface conique qu'il décrira ?

4** Qu'il doive être situé dans un plan donnné ; quelle sera la courbe qu'il enveloppera ?

Nous ne pouvons nous occuper dans ce moment de ce genre de recherches ; nous l'indiquons , dans l'espoir qu'il offrira de l'intérêt à quelques lecteurs.

Page S96 , § 45.

Depuis que cette Note est imprimée , je suis parvenu à la généralisation des deux théorèmes des §§ 41 et 43 , et j*ai reconnu , comme je l'avais pensé , que le second conduit à une démonstration purement synthétique et indépendante d'aucune formule d'analyse , du beau théorème sur l'attraction que deux ellipsoïdes dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers , exercent sur un même point situé au dehors de leurs surfaces. Une telle démonstration avait paru à d'illustres géomètres devoir offrir des difficultés , et être peut-être au-dessus des ressources de la synthèse ^.

Les deux théorèmes généralisés peuvent se déduire des deux cas particuliers énoncés aux §§ 41 et 43^ au moyen d'un autre théorème qui est aussi une belle propriété des surfaces du second degré qui ont les mêmes coniques excentriques. Nous nous bornerons ici à l'énoncé de ce théorème :

Quand plusieurs surfaces du second degré A , A\ A*\ etc. , ont les mêmes coniques excentriques^ si autour d'un point fixe S on fait tourner une transversale qui rencontre l'une d'elles A en deux points a , a', et qu'en appelant D le diamètre de cette surface qui est parallèle à la corde aa' . on porte sur la transversale , à partir du point S un segment 5m égal à J" J^^,f ^ étant une constante, l'extrémité m de ce segment sera sur une surface du second degré Z, qui aura son centre au point 5;

Pour les autres surfaces A% A'\ etc., on formera semblablement ^ avec d'autres constantes «K, <^', etc., d'autres surfaces L% S", etc.;

Toutes les surfaces S, S', L", etc. , auront^ en direction, les mêmes axes principaux ;

Et on pourra prendre les constantes ê\ «f", etc., de manière qu'elles aient aussi les mêmes coniques excentriques.

» tegenàre, Mémoire sur l'attraction des ellipsoïdes , inêéré d%nè le» Mémoires de l'Académie des sciences, année 1788; voir page 486. — Poisson , IVote sur le mouvement de rotation d'un corps solide^ année 1834.

Page 459.

La formule

dont les arpenteurs romains se servaient pour calculer l'aire du polygone régulier de n côtés, est celle qui exprime les nombres polygonaux de Tordre (n — 2).

Ces nombres polygonaux étaient très-connus des Anciens ; on les trouve dans les ouvrages de Nicomaque , de Jamblique^ de Théon , de Diopbante , et dans l'arithmétique de Boèce , où ils occupent une grande place. C'est là l'origine de cette formule , employée par les écrivains latins , et qui n'a dû être regardée par eux que comme approximative. Mais l'approximation est très-grossière , et ne repose sur aucune considération vraiment géométrique.

Nous avons dit que Gerbert avait reconnu que la formule relative au triangle n'était pas exacte , et qu'il avait essayé de la démontrer conmie une formule approximative ; mais que son raisonnement aurait dû le conduire à l'expression

qui est véritablement la formule approximative : l'approximation est d'autant plus grande que l'unité linéaire prise pour exprimer le c6té a est plus petite.

Page 469.

Les mots pagina et paginuia que nous avons traduits par le mot colonne , ce qui nous a conduit à un sens clair du texte de Boèce , sont employés par cet auteur dans le chapitre XVI du 4" livre de son Traité de la Musique , oili ils ont évidemment cette même signification ; les colonnes étant décrites , et indiquées dans la figure et dans le texte par des lettres.

Nous trouvons encore une signification à peu près semblable des mots pagina et paginuia dans une pièce sur l'astronomie, oii ils sont employés pour exprimer l'intervalle entre deux cercles concentriques , dans la description d'un astrolabe. Cette pièce se trouve dans un manuscrit du XI" siècle , à la suite de la lettre de Gerbert à Constantin , sur la construction d'une sphère céleste. (Manuscrits de la bibliothèque de Chartres. )

Page 470.

Au lieu de cette phrase : « Peut-être, quand on aura voulu supprimer les colonnes , et ne pas s'astreindre à l'usage d'un tableau préparé pour ce genre de calculs , aura-t-on laissé seulement celles oiî se trouvaient des zéros , de sorte qu'alors deux petites lignes verticales (formant une colonne), auraient fait l'office du zéro.» II faut substituer celle-ci : u Peut-être, quand on aura voulu supprimer les colonnes , et ne pas s'astreindre à l'usage d'un tableau préparé pour ce genre de calculs, aura-t-on laissé seulement celles oii se trouvaient d,es places vides ^ de sorte qu'alors deux petites lignes verticales (formant une colonne) auraient indiqué une place vide^ et fait l'office du zéro actuel. »

Page 472.

Le Focabularium de Nestor Dionisyus donne au mot Ahactts la signification suivante : Tabella super qua decuplationes fiunt : Alxicus dicta est quin etiam ipsa decuplatio. (Edition de 1496 , Venise, in-folio.) Ce passage s'applique parfaitement à notre explication de VAhacus, et semblerait prouver qu'au XV° siècle la signification de ce mot n'était pas encore perdue , comme nous l'avons pensé déjà d'après un passage de la Bibliothèque historùde de Vignier.

Pa«b 476.

Cela prouve-t-il qu'ails aient ignoré absolument ce système indien ? C'est par une inadvertance , causée par la précipitation que nous avons mise dans la rédaction de cette dissertation qu'attendait l'imprimeur dont nous retardions à regret le travail , que nous nous sonunes servi de l'expression système indien, au lieu de dire système de rÀBActis* Il est évident que nous avons eu en vue seulement de prouver que l'assertion de Boèce n'était point inadmissible ; c'est-à-dire que le système de numération qu'il exposait, avait pu être connu des Pythagoriciens , comme il le dit : et ce système , nous le répétons , n'était pas précisément celui des Indiens , c'est-à-dire le n6tre actuel ; mais il n'en différait que par l'absence du zéro, et par l'usage nécessaire de colonnes qui marquaient la place des chiffres.

Ce système n'était au fond que la représentation écrite de la table à compter, connue chez les Romains sous le même nom ^Abacus, qui était formée de cordons placés parallèlement, sur chacun desqueb on pouvait faire glisser neuf boules , destinées à former des groupes qui représentaient les nombres 1,2,8, 4,5,6, 7 , 8 et 9 ; et les cordons exprimaient la nature des unités que ces groupes représentaient; le premier cordon était celui des unités simples; le second celui des dixaines ; le troisième celui des centaines , et ainsi de suite. '

On voit que VAbacus figuré n'était autre que VAbacus manuel ou palpable^ les colonnes représentaient les cordons, et les neuf caractères (ou chiffres) représentaient les neufs collections de boules que l'on pouvait former sur chaque cordon.

La transition de VAbacus manuel à VAbacus figuré, était donc naturelle, et n'exigeait aucun effort de génie ; on ne refuserait pas d'en faire honneur aux Romains , si Boèce ne l'attribuait pas à Pythagore. Et c'est ce nom de Pythagore qui donne lieu , aux yeux de quelques personnes, à l'objection la plus forte contre notre explication du passage de Boèce ; car on ne veut pas admettre qu'Ârchimède et Apollonius aient eu connaissance de ce système de numération qui leur eût donné l'idée de la valeur de position des chiffres.

Mais déjà plusieurs écrivains ont pensé que les Grecs, du temps même de Pythagore, ont connu la machine à compter, que nous venons de décrire sous le nom d^Abacus des Romains ; car cette machine est de la plus haute antiquité chez tous les peuples ^. Or, cette machine ,

' Cette machine est le suanpan des Chinois. Elle était en usage non-seulement dans plusieurs parties de TAsie, mais dans plusieurs autres contrées de la terre, ches les Étrusques, en Egypte, au Pérou, Voir le mémoire de M. Alex, de Humboldt, inséré dans le tom. IV du Journal de mathématiques de H. Crelle, pag. 206, sous le titre : Uber die lei verschiedenen Vôlkem ùhlichen Système von Zahlzeichen und ûber den Urspruny des Stelhnwerihes in den indischen Zahlen : c'est-à-dire , Sur les systèmes de chiffres usités ches les diff'érens peuples j et sur Vorigine de la valeur de position dans V arithmétique indienne.

On trouve cette machine , soit celle des Chinois , soit celle des Romains , représentée dans plusieurs on-

comme l^observe Tillustre M. de Humboldt ^ , est fondée sur ie principe de la valeur de position des signes représentatifs des nombres. Elle devait donc, tout aussi bien que VAhacus figuré ^ décrit par Boèce, donner à Archimède et à 'Apollonius l'idée de la valeur de position, idée , du reste , que ces deux grands hommes ont eue , puisqu'ils Font appliquée , comme nous Tavons dit , le premier à ses octades et le second à ses tétrades.

Page 516.

On a imprimé sous le nom de Sacro Bosco , un traité d^Algorieme^ intitulé : Algoriemus dotnini Joannie de Sacro BuscOf noviter impressum^ Venetiis, 1528, in-^"". Cet ouvrage n'est pas de Sacro Bosco , dont le traité d'arithmétique est écrit en vers ; mais il est le même que celui que Clichtovée a fait imprimer sous le titre : Opusculum de praxi numerorum quod Algorismum vacant.

Ce traité présente avec les autres une différence légère, mais qui mérite néanmoins d'être remarquée. C'est que l'auteur dit de placer un point au-dessus du chiffre des mille, pour le distinguer des autres ; puis semblablement^ un point sur ie quatrième chiffre après celui des mille ; et ainsi de suite sur les chiffres pris de quatre en quatre. Ce sont , comme on voit , les tétrades d'Apollonius qui sont réduites , dans le système actuel , à des tranches de trois chiffres , puisque nous dénommons un nombre par tranches de trois chiffres en nous servant des mois unités , mille, millions, billions, etc. Au point on a substitué des virgules qui séparent ces tranches de trois chiffres.

On trouve aussi ces tétrades marquées par un point , dans le Traité d'arithmétique de Purbach , Algorithmus G. Peurbachii in integris, Viennae, 1515, in-^*».

▼rages. ( Voir VeUer, Rerum augustanarum vindelicarum libri octo, Yeniae, 1603, in-folio, pag. 368. — La Loubère, Du royaume de Siam , Paris, 1601, 2 toI. in-ld. — Du Holinet, Le cabinet de la bibliothèque de S^^ Geneviève , Paris, 1602, in-folio, pag. 23. — E%f^tT , An Esplanation of the Elementary Charaetere ofihe Chinese ; Lond. , 1801 , in-folio.

' Voir le mémoire cité de H. de Humboldt.

VîV DBS ADDITIONS.

VVVVVV\IVVV^IV\I>/VVVVVV>M^(VVVV^

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