V. 150 avant J.-C

la solution dépend d'une équation du troisième degré peuvent se ramener à ces deux-là, et surtout par l'emploi que Newton fit de cette courbe, dans son Arithmétique universelle, pour construire toutes les équations du troisième degré.

HipPABçoE, S 18" Hipparque, le plus grand astronome de l'antiquité, levéri-

150 .y.nt j.c. tablc foudateur de l'astronomie mathématique, avait composé un ouvrage en douze livres, où se trouvait la construction des cordes des arcs de cercle \

Ses calculs et ses opérations astronomiques exigeaient la trigonométrie rectiligne et sphérique, dont il avait donné les principes géométriques dans son traité Des Levers et Couchers des étoiles , et dont il parait certain qu'il fut le premier inventeur ^.

C'est à Hipparque aussi que parait remonter la découverte des projections stéréographiques, et celle de deux théorèmes célèbres de Géométrie plane et sphérique, que nous citerons en parlant de Ménélaus et de Ptolémée. GBMiRus, § 19. On attribue à Geminus, qu'on suppose avoir vécu un peu après

100 .v.nt j.-c. ]Vicomède et Hipparcpe, un ouvi'age sur diverses courbes, entre autres sur l'hélice décrite sur la surface d'un cylindre droit circulaire, dont il démontrait cette propriété, commune avec la ligne droite et le cercle seulement , d'être partout semblable à elle-même '. Un autre ouvrage de Geminus, intitulé Enarrationes geometricœ , souvent cité par Proclus, devait être une sorte de développement philosophique des découvertes géométriques. Ces deux ouvrages ne nous

^ Théon cite ce traité {Commentaire sur l'Jlmagesie, liv. 1 , ch. IX ).

2 Car, d*une part, Hipparque dit, dans son Commentaire du poème d'AratuSj qa*t7 a démontré la solution des triangles sphériques qui servent à trouver le point orient de l'écliptique; et ensuite on ne trouve avant lui aucune trace de trigonométrie sphérique, ni même de trigonométrie rectiligne. Archimède , ainsi que le remarque M. Delambre , dans son Histoire de Vastronomie ancienne (tom. I»"-, pag. 104), pour mesurer le diamètre du soleil, superpose un angle sur le quart de cercle ; ce qui prouve qu*il n'avait pas les moyens de calculer l'angle au sommet d'un triangle isoscèle , dont les côtés et la base sont donnés ; on n'avait pas encore eu l'idée de calculer les cordes des angles. Ainsi la trigonométrie rectiligne était ignorée.

5 Proclus, Commentaire sur le 1" livre d'Euclide, A* définition et proposition 8«.

HISTOffiE DE LA GÉOMÉTRIE. 25

sont point parvenus : on prétend que le premier se trouve manuscrit dans la bibliothèque du Vatican.

§ 20. Théodose réunit sous le titre de Sphériques (Sphjeugorum théodose, iiBRi très), diverses propriétés des grands cercles tracés sur la sphère, ^ *^ '^"* '-^ qui étaient nécessaires pour établir solidement les fondemens de Tastronomie, et le calcul des triangles sphériques. Ce calcul n'en fait pas partie , le mot triangle n'y est pas même prononcé. Mais quelque élémentaire que soit cet ouvrage, il a été très-estimé, comme étant méthodique et profond. Aussi a-t-il été commenté par Pappus, et traduit par plusieurs géomètres modernes d'un grand mérite.

On a de Théodose deux autres traités^ intitulés De Habitationibus y et De Diebus et IVoctibus, qui ont pour objet la démonstration des phénomènes que doivent apercevoir les habitans de la terre ^ suivant leur position sur le globe, et celle du soleil dans l'écliptique.

§ 21. Ménélaus, géomètre et astronome, avait écrit comme Théo- x<s£laits, dose, sur la géométrie de la sphère, un traité en trois livres, intitulé v. 8o «près j.-c. Sphériques^ qui ne nous est parvenu que traduit en arabe et en hébreu : le texte grec a été perdu. Cette ouvrage va au delà de celui de Théodose, car il traite spécialement des propriétés des triangles sphériques; mais non point encore de leur calcul^ c'est-à-dire, de la trigonométrie sphérique qui, peut-être, avait fait partie d'un autre écrit de Ménélaus, en six livres, sur le calcul des cordes, dont parle Théon , et qui a été perdu.

La plus importante proposition des sphériques de Ménélaus est la première du â^ livre, qui fut la base de toute la trigonométrie sphérique des Grecs. C'est une propriété des six segmens faits sur les trois côtés d'un triangle sphérique par un arc de grand cercle quelconque. Ce théorème fut aussi en grande considération chez les Arabes, qui le commentèrent dans plusieurs écrits, et l'appelèrent Règle cP Intersection. Son analogue dans la Géométrie plane, que donne aussi Ménélaus, comme lemme pour la démonstration du premier^ et dont nous allons parler ci-dessous à l'article de Ptolémée, parce que c'est dans TAlmageste que généralement on l'a remarqué^ a acquis une nouvelle ToM. XL 4

et haute importance dans la Géométrie récente oùriUostre Gamot l'a introduit^ en en faisant la base de sa théorie des tr^ùisYersales.

Nous citerons encore des sphériques de Ménélaus les deux théorèmes suivans y qui paraissent être dus à ce géomètre : 1^ l'arc de grand cercle ^ qui divise en deux également un angle d'un triangle sphérique^ fait sur le coté opposé deux segmens dont les cordes sont entre eUes comme celles des côtés adjacens; et^ 2^ les trois arcs qui divisent en deux également les trois angles d'un triangle^ passent par un même point.

Ménélaus avait aussi écrit sur la théorie des lignes courbes. Pappus nous apprend qu'une telle ligne^ probablement à double courbure y car elle naissait de l'intersection de surfaces courbes, était appelée admirable par ce géomètre \ FTOLûBB, § 22. Ptolémée, astronome et géomètre d'un savoir immense , nous

125 «pris j -G. a laissé dans son Almageste ' un traité de trigonométrie rectiligne et spfaérique, le seul qui nous soit parvenu des Grecs; les ouvrages d'Hipparque sur cette matière ayant été détruits. On y trouve cette belle propriété du quadrilatère inscrit dans le cercle, que a le produit des deux diagonales est égal à la somme des produits des cêtés opposés; » elle est donnée comme lemme, pour la constructioii d'une table des valeurs des cordes, inscrites dans le cercle et répondant à des arcs donnés \

Ptolémée fonda sa trigonométrie sphérique sut le théorème des six segmens, que donne Ménélaus, et se servit aussi, pour démontrer ce théorème, de son analogue sur le plan. Celui-ci est une relation entre

* Collectionê mathématiques y liv. 4 , après la proposition 30.

^ Ptolémée avait donné à son Traité d'astronomie le titre de Composition , on Syntaxe mathématique. Ses éditeurs ont changé ce titre en celai de Grande composition; et les traducteurs arabes en ont fait la Très-grande (jilmagesti) ; et le nom d' Almageste lui est resté.

3 Livre 1, chap. IX. M. Carnot a montré, dans sa Géométrie de position ^ comment on peut déduire de ce théorème toute la trigonométrie rectiligne ; et , depuis, Pergola a repris ce sujet , qu'il a traité complètement sous le titre : Dal teorema Tolemaico ritraggonsi immediatamente i teoremi délie sezioni angolari di vieta e di wallis , e le principale verità proposte nella Trigo^ nometria analitica da modemi (tom, I*'' des Mémoires de l'Académie des sciences de NapUsj ann. 1819).

fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 27

les segmens, qu'une transversale menée arbitrairement dans le plan d'un triangle fait sur ses trois côtés; à savoir que le produit de trois de ces segmens^ qui n^ ont pets d extrémité commune y est égal au produit des trois autres *. On voit que c'est une généralisation de la proposition qui est le fondement de la théorie des lignes proportionnelles^ savoir que : a ime droite menée parallèlement à la base d'un triangle divise ses côtés en parties proportionnelles. » Cette remarque suflBt pour faire entrevoir toute l'utilité dont ce théorème peut être dans la Géométrie. Il sert particulièrement dans les questions où l'on a à démontrer que trois points sont en ligne droite; on imagine un triangle dont les côtés passent par ces trois points^ et l'on vérifie si la relation en question a lieu entre les six segmens que ces trois points font sur les trois côtés du triangle.

Ce théorème semblait inconnu^ quand il reparut^ au commencement de ce siècle y dans la Géométrie de Position , et peu après dans la théorie des transversales^ dont il est la base. Mais il avait déjà porté des fruits à plusieurs époques^ indépendamment de son utilité comme lemme pour les démonstrations sphériques des Grecs. Il mérite par son importance actuelle^ qu'on en fasse l'historique. Nous consacrerons à cet objet la Note VI.

La Géométrie est encore redevable à Ptolémée de la doctrine des projections y dont il jeta les fondemens en en faisant usage pour la construction des cartes géographiques et la solution des problèmes de gnomonique^ dans deux ouvrages curieux intitulés De FAnalemme^ et Du Planisphère. Mais ce second ouvrage, où se trouve enseignée et pratiquée la projection stéréographique, parait à M. Delambre être d'Hipparque et non de Ptolémée, comme on l'avait cru jusqu'ici.

Ptolémée avait composé un traité Des trois dimensions des corps y dans lequel il parla le premier de ces trois axes rectangulaires auxquels la Géométrie moderne rapporte la position d'un point quelconque dans l'espace ^.

1 Liyre 1 , chapitre XI , intitule : Préliminaires pour les démonstraiions sphériques. 3 Delambre ^ art. Ptolémée de la Biographie universelle.

Enfin^ parmi beaucoup d'autres ouvrages sur des matières diverses^ nous citerons l'optique de Ptolémée, où se trouvait résolu ce problème de pure Géométrie^ qui a occupé ^ depuis , plusieurs géomètres du premier rang : il s'agissait de trouver sur un miroir sphérique le point brillant^ pour une position donnée de l'œil et du point lumineux.

§ 23. Ici se termine la première des trois périodes dans lesquelles nous avons divisé l'intervalle de dix-sept cents ans, qui sépare Archimède et Apollonius de la renaissance des lettres en Europe.

Les grands progrès que l'antiquité devait faire faire aux sciences mathématiques sont accomplis. Nous n'allons plus trouver d'auteurs originaux; mais seulement de savans et célèbres commentateurs des ouvrages de l'école grecque établie à Alexandrie.

Cependant Pappus, qui se présente à leur tète, mérite d'être placé dans un rang plus élevé, parce que ses ouvrages tiennent encore du génie et de la force productrice des siècles antérieurs. PAPPus. S 24. Ce géomètre, sur la fin du IV® siècle de l'ère chrétienne,

rassembla dans ses Collections mathématiques ^, diverses découvertes éparses des mathématiciens les plus célèbres, et une multitude de propositions curieuses et de lemmes, destinés à faciliter la lecture de leurs ouvrages. Ces Collections^ monument précieux des mathématiques anciennes, dont elles nous représentent à peu près l'état, contiennent aussi diverses inventions de Pappus lui-même, que Descartes estimait comme l'un des plus excellens géomètres de l'antiquité ^.

On y trouve la description sur la sphère d'une ligne à double cour-

' Pappi Alexandrini Mathematicae collectiones, a Frederico Commandino in latinutn conversŒf et cotnmeniariis illuttratœ. Pisanii 1S88 , in- fol. ; item Bononiœ 1660, in-fol.

^ « Je me penaade que certains germes primitifs des Tcritës que la nature a déposés dans w rintelligence humaine, et que nous étouffons en nous à force de lire et d'entendre tant » d'erreurs diverses, avaient, dans cette simple et naïve antiquité, tant de vigueur et de » force que les hommes éclairés de cette lumière de raison qui leur faisait préférer la vertu » aux plaisirs, Thonnéte à Tutile, encore qu'ils ne sussent pas la raison de cette préférence, » s'étaient fait des idées vraies et de la philosophie et des mathématiques , quoiqu'ils ne pusn sent pas encore pousser ces sciences jusqu'à la perfection. Or je crois rencontrer quelques

n traces de ces mathématiques véritables dans Pappus et Diophante » (Descartes, Aé^/e«

pour la direction de l'esprit , 4« règle.)

bure remarquable. C'est une spirale que Pappus décrivait, à Fimitation de celle d'Archimède, en faisant mouvoir uniformément un point sur un arc de grand cercle de la spbère, qui tourne lui-même autour de son diamètre (livre 4, proposition 30). Pappus trouva l'expression de la surface sphérique, comprise entre cette courbe et sa base; premier exemple de la quadrature dune surface courbe.

Le fameux théorème de Guldin, qui fait usage du centre de gravité pour la dimension des figures, se trouve dans les Collections mathématiques, et parait avoir été imaginé par Pappus lui-même \

S 25. A la suite de la proposition 30 du livre 4, un passage, qui sert d'introduction au problème de la trisection de Tangle, nous apprend que la science des surfaces courbes, et des lignes à double courbure tracées sur ces surfaces, ou produites par des mouvemens composés (comme la spirale sphérique dont nous venons de faire mention), avait été cultivée par les anciens. Pappus y parle des lieux à la surface^ et cite à ce sujet les ouvrages de Démétrius d'Alexandrie, et de Philon de Tyane. Le premier avait pour titre : Recherches linéaires; c'est la seule indication qui nous en reste. Le second traitait des courbes qui naissent de l'intersection de certaines surfaces nommées plectoïdes.

Montucla observe avec raison qu'il n'est pas facile de deviner, sur une aussi légère indication, quelles étaient ces surfaces et quelles étaient ces courbes. Mais un autre passage de Pappus (livre 4, proposition 29), dont il semble que ce savant historien n'ait pas eu connaissance, nous apprend que la sur&ce de la vis à filets carrés, est une surface plectoide; ce qui nous fait supposer que ce mot désignait d'une manière générale les surfaces réglées^ auxquelles il nous parait convenir à raison de F entrelacement des lignes droites que présentent ces surfaces, ou bien qu'il désignait les surfaces appelées maintenant conoïdes, engendrées par une droite mobile qui s'appuie sur ime droite fixe et sur une courbe, en restant toujours parallèle à

1 VoyBA la fin de la Préface du 7« liyre des Collections mathématiques.

un même plan, ou bien encore qu'il désignait particulièrement Içs surfaces héliçoîdes^ ou seulement la surface héliçoïde rampante^ c'est* à-dire celle de la vis à filets carrés.

Un savant géomètre napolitain^ M. Flauti^ dans un ouvrage récent, aifecte, d'une manière générale, le nom de surfaces plectoides^ à toutes les surfaces engendrées par une ligne droite *.

Gommandin, dans son commentaire de Pappus, avait pensé que le mot plectoïde pouvait provenir d'une erreur de copiste, et qu'il devait être remplacé par celui de cylindrique. Mais cette supposition est évidemment erronée; car le mot plectoïde^ dans le passage de Pappus qui donne lieu à l'observation de C!lommandin ^, s'applique incontestablement à la surface de lavis à filets carrés, et non à une surface cylindrique.

§ 26. Pappus, à l'occasion de la quadratrice de Dinostfnte^ fait connaître deux propriétés de la surface héliçoïde rampante, qui méritent d'être remarquées, comme renfermant deux modes de construction de la quadratrice, et surtout comme offrant une des belles spéculations des Anciens sur les surfaces courbes et les lignes à double courbure.

Après avoir donné la génération, qu'il appelle mécanique, de la quadratrice, par l'intersection d'un rayon du cercle, qui tourne autour du centre, et d'un diamètre qui se meut parallèlement à lui-même (livre 4, proposition 25); Pappus dit que cette courbe peut se former par les lieua; à la surface^ ou bien par la spirale d'Archimède. Voici quels sont ces deux modes de construction :

Premier moyen, proposition 28. a Soit une hélice décrite sur un cylindre droit circulaire; de ses points on abaisse des perpendiculaires sur l'axe du cylindre; ces droites forment la surface héliçoïde rampante;

)) Par Tune de ces droites on mène un plan, convenablement incliné sur le plan de la base du cylindre; ce plan coupe la surface héliçoïde suivant une courbe dont la projection orthogonale sur la base du cylindre est la quadratrice. ))

1 Geometria di sito sul piano e nello spazio; Naples 1821.

2 Livre 4, proposition 29, note F, pag. 92 de Tédition de 1660.

fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 31

Second moyen j proposition 29. a Qu'une spirale d'Archimède soit prise pour la base d'un cylindre droit; que l'on conçoive un cône de révolution ayant pour axe l'arête du cylindre menée par rorigine de la spirale; ce cône coupera la surface cylindrique suivant une courbe à double courbure ^;

)) Les perpendiculaires abaissées des différons points de cette courbe sur l'arête en question du cylindre^ formeront la surface héliçmde rampante (que Pappus appelle en cet endroit surface plectoïde);

)> Un plan mené par une Arête de cette sur&ce^ et convenablement incUné, la coupera suivant unje courbe dont la projection orthogonale sur le plan de la spirale sera la quadratrice demandée. »

Ces deux constructions consist^at^ l'une et l'autre^ à couper la surface héliçoïde, rampante par uii plan mené par une arête ^ et à projeter la section sur un plan perpendiculaire à l'axe de la vis.

J)ans la première solution^ on détermine la sur&ce de la vis au moyen d'une hélice, par Iftqudle on fait passer les génératrices de cette surface; et dans la seconde construction on détermine ces gênétriœs par le moyen d'une courbe à double courbure qui est Tintersection d'un cylindre droit qui a pour base une spirale, par un cône de révolution qui a pour axe .l'arête du cylindre menée par l'origine de la spirale.

§ 27. Nous remarquerons que ces deux constructions reposent sur les deux propriétés suivantes de la surface héliçoïde rampante, que Pappus n'énonce. pAs expressément, mais qui se trouvent démontrées dans ses deux propositions 28 et 29 :

1 Cette conrbe est VhéUcB conique : elle est ane des lignes à doable eourbnre que les Anciens ont connues. Proclus en parle dans son Commentaire sur la 4*" définition du V^ livre d'Euclide, Dans les temps modernes cette courbe a occupé plusieurs géomètres , parmi lesquels on distingue Pascal {De la dimension d'un solide formé par le moyen d'une spirale autour d*un cane; OËuvres de Pascal, tom, V, pag. 422) ; et Guido-Grandi (Epistola ad Th. Cevam ; 0£urres posthumes d'Huygens, tom. II).

H. Gïirbinski , professeur a Tuniversité de Varsovie, a donné, il y a quelques années , une construction graphique des tangentes à cette hélice conique (voyez Annales de mathématiques, tom. XVI, pag. 167 et 376).

1^ Si Ton coupe la surface hélîçoïde rampante par un plan mené par une de ses génératrices^ la section se projettera orthogonalement sur un plan perpendiculaire à l'axe de la surface^ suivant une quadratrice de Dinostrate^;

2^^ Un cône de révolution^ qui a pour axe celui d'une surface héliçoïde rampante^ coupe cette surface suivant une courbe à doublet courbure^ qui se projette orthogonalement sur un plan perpendiculaire à cet axe, suivant une spirale d'Archimède.

Ce second théorème offre une construction de la spirale par les lieux à la surface, analogue à celle que Pappus donne pour la quadratrice.

S 28. Ces considérations de surfaces courbes et de lignes à double courbure, pour la construction d'une courbe plane, qui rentrent aujourd'hui dans la Géométrie descriptive et font le caractère principal de l'école de Monge, méritaient, ce me semble, d'être remarquées dans l'ouvrage de Pappus. Elles auraient pu conduire ce géomètre à ime construction des tangentes à la spirale et à la quadratrice. Il eût suffi de remarquer que ces tangentes étaient les projections des tangentes aux deux courbes tracées sur la surface héliçoïde, et que la tangente en un point de Fintersection de deux surfaces est l'intersection des plans tangens en ce point aux deux surfaces. On parvient ainsi fort aisément aux propriétés connues des tangentes de la spirale et de la quadratrice ^. Mais c'est là toutà-fait l'esprit de notre Géométrie descriptive moderne, et il n'est pas probable que les Anciens aient poussé aussi loin leurs spéculations dans la science des surfaces courbes. U est douteux même que, du temps de Pappus, on eût une idée bien nette du plan tangent en un point de la surface héliçoïde.

1 Si le plan sécant, an lieu de passer par nne génératrice de la surface héliçoïde , est mené d*nne manière tout-à-fait arbitraire , nous avons reconnu qu*on obtient alors en projection une quadratrice alongée, ou accourcie, ou en d'autres termes , une conchoïde de la quadratrice de Dinostrate.

2 M. Th. Olivier, habile professeur de géométrie descriptive à Técole des arts et manufactures, a déjà fait usage de ce moyen, pour construire la tangente à la spirale d'Archimède ( Bulletin de la Société philamatique de Paris , année 1833 , pag. Sa )•

§ 29. En réfléchissant sur la nature des deux théorèmes que nous avons' énoncés ci-dessus^ on est conduit à les regarder comme de simples applications de deux modes généraux de transformation de toutes espèces de courbes planes ^ en d'autres courbes différentes^ au moyen de la surface héliçoïde rampante. Et de ces modes de transformation résultent des relations de construction^ et de propriétés, entre des courbes qui ne paraissaient avoir de commun entre elles que la même forme d'équation entre des variables différentes ; telles sont quelques spirales et les courbes qui portent le même nom dans le système de coordonnées ordinaire. Je développerai cette idée dans la Note VIII.

S 30. On remarque dans les Collections mathématiques plusieurs théorèmes qui appartiennent aujourd'hui à la théorie des transversales, entre autres celui qui en est le fondement^ et qui font supposer que cette utile et élégante doctrine était employée par les Anciens, principalement dans leurs écrits sur l'analyse géométrique, auxquels se rapportent ces théorèmes.

Parmi ces propositions, qui appartiennent à la théorie des transversales, et dont plusieurs sont relatives à la proportion harmonique, nous citerons les suivantes, qui sont démontrées dans le 7^ livre, comme lemmes destinés à faciliter la lecture des porismes d'Euclide.

La 129® proposition fait voir que quand quatre droites sont issues dun même point y elles forment sur une transversale ^ menée arbi-trairement dans leur plan, quatre segmens qui ont entre euw un certain rapport constant , quelle que soit la transversale. Ainsi soient a, /^^ e, (/, les points où les quatre droites sont rencontrées par une transversale quelconque, et ac, dd, bc, bd, les quatre segmens; le rapport ^ : |^ sera constant, quelle que soit la transversale.

Cette proposition mérite que nous lui consacrions tout ce paragraphe, pour appeler sur elle, dès à présent, toute l'attention de nos lecteurs.

Les propositions 136, 137, 140, 142 et 145 sont ou des cas particuliers ou la réciproque de cette proposition principale.

Répétée sous tant de formes par Pappus, elle parait avoir été d'une ToM. XL 5

grande utilité dans les porismes d^Ëuclide. Cependant elle est aujourd'hui sans application.

En recherchant les usages que les Modernes en ont pu faire ^ nous trouvons que Pascal l'a mise^ dans son Essai pour les coniques, au nombre des théorèmes principaux dont il se servait dans son Traité de ces courbes ; que Desargues fit d'un de ses cas particuliers ( qui est précisément la 137^ proposition de Pappus ) la base d'une de ses pratiques de la perspective (édition de Bosse ^ 1648, pag. 336); et que R. Simson l'a démontrée comme lemme de Pappus, et s'en est servi pour la démonstration d'une proposition de son Traité des porismes.

Dans ces derniers temps, M. Brianchon l'a énoncée au commencement de son Mémoire sur les lignes du deuxième ordre, et M. Poncelet l'a citée dans son Traité des propriétés projectives (pag. 12). Mais ces deux habiles géomètres en ont fait peu d'usage, n'ayant eu à considérer le plus souvent que le cas particulier où les quatre droites forment un faisceau harmonique.

Cette proposition nous parait donc avoir à peine, jusqu'ici, fixé l'attention des géomètres. Cependant nous la croyons susceptible de nombreuses applications, et nous la regardons comme pouvant devenir l'une des plus utiles et des plus fécondes de la Géométrie.

Cette proposition jouera un rôle important dans nos deux principes de dualisation et de déformation des figures, comme étant la base de la partie qui concerne leurs relations de grandeur; et nous aurons aussi à en faire usage dans le cours de cette introduction.

Par cette raison nous éprouvons, dès à présent, le besoin de donner un nom au rapport des quatre segmens qu'on y considère. Ce rapport étant dit harmonique dans le cas particulier où il est égal à l'unité, nous l'appellerons dans le cas général rapport ou fonction anharmonique.

Ainsi, quand quatre droites issues d'un même point seront rencontrées par une transversale en quatre points a, b^ c, rf, le rapport ^ : jg sera dit fonction anharmonique des quatre points a^ A, c, d.

La proposition de Pappus consiste en ce que cette fonction a con-

stamment la même valeur, quelle que soit la transversale; les quatre droites^ issues d'un même point restant les mêmes. C'est là une beUe propriété de la fonction anharmontque de quatre points^ qui la distingue de toute autre fonction différente qu'on pourrait former avec les segmens compris entre les quatre points.

La notion de la fonction anharmonique nous parait de nature à apporter une grande simplification dans plusieurs théories géométriques.

Elle sera bien plus propre que le théorème de Ptolémée à servir de fondement à la théorie des transversales^ où elle procuré des démonstrations intuitives de toutes les propositions connues sur les systèmes de lignes droites^ et donne lieu à beaucoup d'autres propositions nouvelles.

Elle sera utile surtout dans la théorie des coniques^ oii elle montrera^ entre une infinité de propositions isolées^ une liaison et des rapports qui les rattachent toutes à un petit nombre de principes généraux.

Nous comptons consacrer un écrit particulier à la théorie du rapport anharmonique. Mais il nous faut en faire connaître dès à présent quelques propositions principales^ particulièrement une autre forme algébrique sous laquelle peut s'exprimer la proposition de Pappus; nous renvoyons pour cet objet à la Note Et.

§ 31. Revenons à Pappus.

La 130^ proposition est une relation entre six segmens formés sur une transversale par les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère quelconque. Les 127^ et 128^ en sont des cas particuliers.

Au lieu de regarder la figure du livre de Pappus comme représentant les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère coupé par une transversale^ on peut la considérer comme représentant les trois côtés d'un triangle^ et trois droites menées par les sommets de ce triangle et concourant en un même point. Ces six droites déterminent sur la transversale six segmens^ dont chacun est pris entre un côté du triangle et une des deux droites menées par les sommets adjacens

à ce càté. La proposition de Pappus est facile alors à énoncer et à retenir; elle consiste en ce que le produit de trois segmens^ qui n^ont point d extrémités communes, est égal au produit des trois autres : rapport semblable à celui qui constitue le théorème de Ptolémée.

Envisagée ainsi ^ cette proposition de Pappus pourra servir pour démontrer que trois droites menées de certaine manière par les sommets d'un triangle^ concourent en un même points de même que celle de Ptolémée sert à démontrer que trois points placés de certaine manière sur les cotés d'un triangle sont en ligne droite.

La 131^ proposition fait voir que dans tout quadrilatère, une diagonale est coupée harmoniquement par la deuxième diagonale et par la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.

La 132® énonce un cas particulier de ce théorème, qui, lui-même, peut être regardé comme une conséquence du théorème général exprimé par la proposition 130.

La 139^, dont les propositions 134, 138, 141 et 143 sont, ou la réciproque, ou des cas particuliers, prouve que quand un hexagone a ses six sommets placés y trois à trois, sur deux droites, les trois points de concours de ses côtés opposés sont en ligne droite. Théorème remarquable par lui-même, et parce qu'il peut être considéré comme le germe du fameux théorème de Pascal , sur l'hexagone inscrit à une conique. Au système des deux droites, dans lesquelles Pappus inscrivait son hexagone, se trouve substituée une conique quelconque, dans le théorème de Pascal \

' La proposition 139 de Pappas, que noas présentons ici comme exprimant une propriété de rhexagone inscrit à deux droites , peut être considérée sous un autre point de vue , et donne lien alors à cet autre théorème remarquable, que Simson a énoncé le premier, comme étant l'un des porismes d*Ëuolide, celui auquel se rapportent ces mots de Pappus : « Quod h^kc ad BATUH puifCTCH YEHGiT. » Étant prù , dans un plan, deux points fixes et un angle qui ait son sommet situé sur la droite qui joint ces points^ si de chaque point d^une droite donnée on mène deux droites à ces deux points fixes, elles rencontreront respectivement les deux côtés de l'angle en deux points; et la droite qui joindra ces deux points passera toujours par un même point (Simson, De Porismatibus y proposition 34).

Nous citons ce théorème, parce qu'il nous sera utile dans la suite. Son analogue dons

I^a proposition 130^^ que nous avons citée plus haut^ a reçu une ^néralisation semblable^ que nous ferons connaitre en parlant de ]>esârgues.

Pappus énonce dans sa préface^ comme généralisation d^nn porisme

drEluclide» un beau théorème^ relatif à la déformation d'un polygone^

doii.1; tous les côtés passent par des points situés en ligne droite^

pendant que ses sommets^ moins un^ parcourent des droites tracées

*>^l>îtrairement. Ce théorème a acquis quelque célébrité dans le siècle

^^ï^nier, par la nouvelle généralisation qu'il a reçue entre les mains

^ l^Iaclaurin et de Braikenridge ^ et par la rivalité qu'il a excitée

^^e ces deux illustres géomètres. M. Poncelet a de nouveau traité

^^V.\e matière avec toute l'étendue et la facilité que comportent les

doctrines de son savant Traité des Propriétés prqjectives des figures.

(Section 4, chap. Il et HI).

§ 32. Nous devons faire mention d'une question qui peut se rattacher, comme les précédentes, à la théorie des transversales; c'est le £ftmeux problème ad très aut plures lineas, rapporté par Pappus comme l'écueil des Anciens, et auquel Descartes a donné une nouvelle célébrité, en en faisant la première application de sa Géométrie. U s'agissait, étant données plusieurs lignes droites^ de trouver le lieu géométrique dun point tel que les perpendiculaires, ou plus généralement les obliques abaissées de ce point sur ces droites^ sous des angles donnés , satisfissent à la condition , que le produit de certaines dî" entre elles fût dans un rapport constant avec le produit de toutes les autres.

Cette question, connue sous le nom de Problème de Pappus , depuis que Descartes l'a ainsi désignée, avait exercé la sagacité d'Euclide et d'Apollonius, qui ne l'avaient résolue que pour trois ou quatre droites, auquel cas le lieu géométrique demandé est une conique : D'où résulte cette propriété générale des coniques : ce Quand un quadrila-

Fetpace, qai n'a point encore été donné, se présentera uatarellement comme corollaire de nos principes de transformation des figares.

1ère quelconque est inscrit dans une conique^ le produit des distances de chaque point de la courbe à deux côtés opposés du quadrilatère est au produit des distances du même point aux deux autres côtés, dans un rapport constant, v

Newton a donné de ce beau théorème une démonstration^ par la Géométrie pure, et s'en est servi utilement dans ses Principes Mathématiques de la philosophie naturelle. Les traités des coniques, qui ont paru dans les premiers temps après ce grand ouvrage, lui ont emprunté ce théorème; mais sans en iaire tout Fusage auquel il était propre ; et depuis , il a en quelque sorte disparu de la théorie des coniques \ Cependant, nous croyons pouvoir le regarder comme la plus universelle et la plus féconde de toutes les propriétés de ces courbes. Nous citerons particulièrement, comme n'étant que des corollaires de ce théorème unique, le fameux hexagramme mystique de Pascal, le théorème de Desargues sur l'involution de six points, le rapport constant du produit des ordonnées au produit des segmens faits sur l'axe, le beau théorème de Newton sur la description organique des coniques, et enfin, un autre théorème fondé sur la notion du rapport que nous avons nommé ci -dessus anharmonique , et d'où se déduisent une infinité de propriétés diverses des coniques.

Mais nous dirons en passant, que ce dernier théorème est lui-même d'une telle généralité, et se démontre à priori d'une manière si facile, que c'est celui que nous proposerions pour fondement d'une théorie des coniques. ( Voir la Note XV).

§ 33. Ici se présente naturellement une observation, qui pourra justifier l'importance que nous avons déjà cherché à donner à la proposition 129 de Pappus, et à la notion du rapport anharmonique.

1 La stérilité qa*eat pendant des siècles cette proposition fondamentale , d*où dérivent presque toutes les propriétés des coniques , et le peu d'importance que parurent aussi mériter, jusqu'à ces derniers temps ^ les beaux théorèmes de Desargues et de Pascal, qui en sont des corollaires naturels, rappellent cette pensée de Bailly, dont la justesse est bien sentie : « Il n semble que les idées aient comme nous une enfance et un premier état de faiblesse ; elles ne n produisent point à leur naissance, et elles ne tiennent que de Tâge et du temps leur vertu 1» féconde* n (Hiêtoire de V astronomie moderne, tom. H , pag. 60. )

C'est que toas les théorèmes que nous venons de tirer du 7® livre des Collections mathématiques^ y compris celui sur la déformation d'un polygone et celui ad quatuor linectSy et plusieurs autres théorèmes sur l'inyolution de six points^ dont nous allons parler tout-à-l'heure^ théçrèmes qui sont tous des plus généraux et des plus utiles dans la Géométrie récente^ peuvent dériver tous^ comme de leur source commune^ de cette seule propriété du rapport anharmonique de quatre points. Et cette manière de les présenter sera aussi simple que possible; car elle ne nécessitera pour ainsi dire aucune démonstration.

Nous ajouterons^ qu'après avoir reconnu que la plupart des lemmes de Pappus^ qui paraissent se rapporter au 1®^ livre des porismes d'Euclide^ pouvaient se déduire de la proposition en question^ nous avons pensé que cette proposition pourrait bien aussi être la clef de tout ce 1er ijyre des porismes^ et conduire à une interprétation des énoncés que Pappus nous a laissés. Car il existe toujours ainsi ^ dans toute théorie^ quelcpie vérité principale dont toutes les autres dérivent. Et en effets en prenant la proposition dont il s'agit pour point de départ dans un essai de divination des porismes y nous avons obtenu divers théorèmes^ qui nous ont paru répondre aux énoncés en question.

S 34. Nous citerons encore du 7® livre des Collection mathématiques ^ une quarantaine de lemmes relatifs au traité de determinatd sectione d'Apollonius^ et qui rentrent aujourd'hui dans les nouvelles doctrines de la Géométrie. Ce sont des relations entre les segmens faits par plusieurs points sur une ligne droite.

On n'aperçoit pas^ au premier abord ^ la vraie signification de ces nombreuses propositions^ ni les rapports qui peuvent les rattacher ensemble à une même question^ et la lecture dans cet état en est pénible. Mais avec quelque attention^ on reconnaît qu'elles sont toutes relatives à la théorie de Yinvolution de six points^ créée par Desargues et devenue d'un grand usage dans la Géométrie récente. Ce ne sont pas les propriétés de la relation d'involution la plus générale^ celle qui a lieu entre six points (il parait même que les Anciens n'ont pas connu les transformations de cette relation générale)^ mais ce sont

des propriétés de plusieurs relations que l'on peut aujourd'hui considérer comme des cas particuliers de cette relation générale.

Ainsi, les propositions 22, 29, 30, 32, 34, 35, 36 et 44 concernent ime inyolution de cinq points. On y considère deux systèmes de deux points conjugués ^, et leur point central, celui dont le produit des distances aux deux premiers points est égal au produit de ses distances aux deux autres; et l'on déduit de là une autre relation entre les cinq points.

Pour conclure cette relation de la relation générale entre six points, il faut observer que le conjugué du cinquième point, ou point central, est à l'infini.

Les propositions 37 et 38 concernent une involution de quatre points, qui sont deux points conjugués, un point double et le point central. D'une relation entre ces quatre points, on en conclut une autre.

Les propositions 39 et 40 sont une même propriété d'une inyolution de cinq points ; on y considère deux systèmes de deux points conjugués , et un point double.

Les propositions 41 , 42 et 43 sont une relation entre deux systèmes de deux points conjugués et leur point central ; relation nouvelle, d'une forme différente des relations connues de l'involution de six points.

n en est de même des douze propositions 45, 46, et 56, qui

sont une relation générale entre deux systèmes de deux points conjugués, leur point central et un autre point quelconque. Les propositions 41 , 42 et 43, ne donnent que des corollaires de cette relation générale.

Enfin, les propositions 61 , 62 et 64, expriment une belle propriété de maximum et de minimum, concernant deux systèmes de points

> n est utile , pour faciliter rintellii^ence de ce passage sur les lemmes de Pappns , de lire la Note X , où noas présentons les différentes propriétés de la relation dlnvolation de six points ; c'est-à-dire les diverses transformations et les conséquences de cette relation. Nous y expliquons ce qn*on doit entendre par points conjuguée, point cetUrui, et points doublée.

fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 41

conjugués et un point double; elle consiste en ce que le rapport des produits des distances de ce point double aux points conjugués est un maûnmum ou un minimum.

Pappus donne ^ par une construction élégante^ l'expression géométrique de ce rapport; mais il ne fait qu'énoncer sa propriété de maaimum ou minimum^ qui se trouvait démontrée dans l'ouTrage d'Apollonius. C'est une véritable perte ^ que celle de la démonstration géométrique de ce cas de maximum ou minimum par les Anciens^ quoiqu'elle n'offre aucune difficulté à l'analyse moderne. Fermât en a fait une des premières applications de sa belle méthode de mawimis et minimis ( Opéra mathematicay pag. 67 )•

S 35. Cette analyse des 43 lemmes de Pappus nous parait pouvoir en faire saisir l'esprit général et en faciliter la lecture. On y voit que plusieurs propositions y expriment un même théorème : c'est que les énoncés de ces propositions s'appliquent à des figures spéciales^ et ont entre eux quelques différences provenant de la différence de position des points c[ue l'on y considère. C'est cette différence de position des points donnés et du point cherché par rapport à eux^ qui a fait donner à l'ouvrage d'Apollonius le nom de Section Déterminée; et les différens cas que présentent les variations de position de ces points^ sont ce que ce géomètre^ et Pappus d'après lui^ ont appelé Epitagma \

C'est un des grands avantages de la Géométrie moderne sur l'ancienne^ de pouvoir^ par la considération des quantités positives et négatives , comprendre sous un même énoncé tous les cas divers que peut présenter un même théorème^ par la diversité de positions relatives des différentes parties d'une figure. Ainsi^ de nos jours ^ les neuf problèmes principaux et leurs nombreux cas particuliers^ qui faisaient l'objet des 83 théorèmes contenus dans les deux livres de la section déter-

1 C'est le tentimentcle Halley et de K. Simson. Le savant Gommandin n'avait point troavc la signification de ce mot qu'Apollonius appliquait à une partie de ses propositions {Collect. math., pag. 296 de l'édition de 1660). Le mot tnonaahi, qu'on trouve aussi dans Pappus, parait avoir été affecte par Apollonius aux propositions concernant les tnaxima et les minima.

ToM. XL 6

42 fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

minée d'Apollonius^ ne font plus qu'une seule et même question^ résolue par une formule unique.

Beaucoup d'auteurs^ dans leurs écrits sur l'analyse géométrique des Anciens^ se sont occupés de la Section déterminée y et ont cherché^ soit à en rétablir complètement les deux libres ^ soit à en résoudre seulement diverses questions détachées. Nous trouvons au commencement du XYII^ siècle^ Snellius^ Alexandre Andersen ^ Marin Ghetaldi; vers la fin du même siècle^ Roger de Yintimille^ Hugo de Omérique; puis^ R. Simson dans son ouvrage posthume^ Opéra reliqua anno 1776> et vers le même temps ^ Giannini dans ses Opuscula mathematica.

Dans ces derniers temps^ J. Leslie a encore consacré plusieurs pages à ce problème^ dans son Analyse géométrique (lirre 2, propositions 10 — 18). Cette question est liée intimement à la théorie de Vinvolu-tion de six points^ et sa solution parait devoir dériver de cette théorie. En effets une propriété nouvelle de l'involution nous a offert naturellement une construction simple et générale du problème de la section déterminée^ qui nous parait différer de toutes celles que l'on a données jusqu'ici. La même théorie offre aussi une démonstration du cas de maximum traité par Apollonius. {Voir la Note X.)

S â6. Les lemmes de Pappus sur les lieuao plans d'Apollonius^ présentent aussi quelques relations entre les segmens faits par des points sur une droite^ mais qui sont différentes des précédentes, et ne (Privent point comme elles des relations générales d'involution de six points, C^endant, on peut les rattacher aussi à une seule et même proposition, qui exprime une propriété générale de quatre points pris arbitrairement sur une ligne droite, laquelle est le second des théorèmes généraux de Mathieu Stewart ^.

Ainsi, les propositions 123 et 124, qui expriment une relation entre quatre points pris arbitrairement sur une droite, et im cin-

' Some gênerai theorems ofeomiderable use in ihe Higher paris of mathematics. Édimboorg , 1746, in-8».

Nous donnerons Ténoncë du théorème en question en parlant de Stewart , dans notre quatrième Époque,

qaiëme déterminé d'après une certaine condition^ sont une conséquence facile de ce théorème.

Les propositions 125 et 126 expriment une relation entre quatre points pris arbitrairement en ligne droite ; et on reconnaît aisément que cette relation n'est qu'une transformation très-simple du même théorème.

Les quatre propositions 119 — 122^ qui, avec les quatre dont nous Tenons de parler, font les huit lemmes de Pappus sur les lieux plans d'Apollonius, concernent le triangle. Il est assez remarquable que ces quatre propositions^ qui paraissent si différentes des autres et n'avoir aucun rapport avec elles^ sont aussi des conséquences du même théorème de Stewart.

S 37. R. Simson, en rétablissant les porismes d'Euclide, la section déterminée et les lieux plans d'Apollonius, a démontré un à un les nombreux lemmes de Pappus relatifs à ces trois ouvrages. On voit par ce que nous venons de dire combien aujourd'hui^ en rattachant toutes ces propositions à quelques-unes seulement, on simplifierait ce travail. Mais une telle simplification n'était pas encore dans l'esprit de la Géométrie au temps de R. Simson (il y a près d'un siècle); et y eùt-elle été, elle n'eut point convenu au but de cet habile et profond géomètre^ qui était de suivre pas à pas les traces et les indications de Pappus.

S 38. Les autres lemmes du 7® livre des Collections mcUhëmatiques^ qne noas passons sous silence, nous ofirent moins d'intérêt que ceux que nous avons cités. Ce sont des propositions isolées relatives au cercle, aux triangles et aux sections coniques, et qui ne présentent pas de diflEicultés. Ces lemmes s^applicpient au traité de inclinationibus y à celui de tactionibus, et aux huit livres des coniques d'Apollonius ; et enfin, aux lieua: à la surface d'Euclide.

Nous nous bornerons à remarquer parmi les lemmes relatifs au traité de tactionibus ^ le problème suivant, qui est résolu très-simplement par Pappus : (( Faire passer par trois points situés en ligne droite les trois côtés d'un triangle qui soit inscrit dans un cercle donné, v (Proposi-

tiou 117^). Les propositions 105^ 107 et 108 sont des cas particuliers de cette question; on y suppose l'un des trois points situé à l'infini.

Ce problème^ qu'on a généralisé en plaçant les trois points d'une manière quelconque, est devenu célèbre par la difficulté qu'il présentait^ et par les noms des géomètres qui l'ont résolu, et surtout par la solution aussi générale et aussi simple qu'elle pouvait l'être , donnée par un enfant de 16 ans, Oltajano, napolitain (voir la Note XI).

Nous citerons enfin la 238^ et dernière proposition^ qui s'applique aux lieua; à la surface^ et qui est la propriété de la directrice dans les trois sections coniques, qui consiste en ce que ce les distances de chaque point d^une conique à un foyer et à la directrice correspondante, sont entre elles dans un rapport constant.» Ce beau théorème ne se trouve pas dans les coniques d'Apollonius.

S 39. Le livre 8^ des Collections traite principalement des machines employées dans la mécanique pratique; on y parle aussi de leur usage pour la description organique des courbes. Diverses propositions de Géométrie se trouvent aussi dans ce livre. Il en est une fort remarquable, sur le centre de gravité d'un triangle; nous l'énoncerons ainsi : a Si trois mobiles placés aux sommets d'un triangle , partent en même temps et parcourent respectivement les trois côtés ^ en allant dans le même sens et avec des vitesses proportionnelles aux longueurs de ces côtés, leur centre de gravité restera immobile. »

Les géomètres modernes ont étendu ce théorème à un polygone quelconque plan ou gauche. Montucla^ en le démontrant par des considérations de mécanique, dans les Récréations mathématiques dOsanam, avait pensé que sa démonstration par la Géométrie pure offrirait des difficultés. Celle qu'en donne Pappus s'appuie sur le fameux théorème de Ptolémée , concernant les segmens faits sur les côtés d'un triangle par une transversale. Pappus, dans le cours de sa démonstration, suppose la connaissance de ce théorème, dont il donne ensuite la démonstration.

§ 40. La proposition 14 du même livre est une solution très-simple de ce problème : étant donnés deux diamètres conjugués dune el-

lipse^ trouver en grandeur et en direction ses deux axes principaux. Pappas ne fait qu'énoncer sa construction^ sans la démontrer. Euler en a rétabli la démonstration^ et a donné en même temps plusieurs autres solutions du même problème {Novi Commentarii, de Pétersbourg^ t. Ill^ ann. 1750-1751). D'autres géomètres Font aussi traité à leur manière.

Ayant résolu la question analogue dans l'espace^ où il s'agit de trouver^ en grandeur et en direction^ les trois axes principaux d'un ellipsoïde dont trois diamètres conjugués sont donnés^ nous en ayons conclu une nouTcUe construction des axes de l'ellipse, qui nous parait enchérir encore sur le degré de simplicité que présentaient déjà plusieurs solutions de ce problème ^

Et^ en effet^ c'est une remarque qu'on peut faire souvent dans l'étude de la Géométrie^ que les solutions de la Géométrie plane^ qui ont leurs analogues dans l'espace^ sont toujours les plus générales et les plus simples.

Ce principe donne un moyen d'épreuve, ime sorte de critérium, pour reconnaître si l'on est parvenu, dans une question, à toute la généralité et à toute la perfection dont elle est susceptible, ou en d'autres termes, si l'on a rencontré la méthode et la vraie route qui lui sont propres.

S 41. La pré&ce du 7^ livre des Collections mathématiques contient une définition nette de V analyse et de la synthèse y qui ne laisse aucun doute sur le caractère précis des deux méthodes; et Pappus donne souvent, dans le cours de ce 7^ livre, des exemples de l'une et de l'autre, appliquées à une même question.

> Soit 0 le centre de l'ellipse; oa^ oh ses deax demi-^diamètres conjugaés donnés ;

Par le point a on mènera une droite perpendiculaire à oh, et on prendra sur elle deux et segmens ae, ae^ égaux à oh;

On tirera les deux droites oe^oe';

1" Les axes principaux de l'ellipse diWseront en deux également l'angle de ces deux droites son supplément ;

S» Le grand axe sera égal à la somme de ces deux droites, et le petit axe égal à leur dif-> férence.

A la suite de cette définition^ Pappus donne les titres des ouvrages que les Anciens avaient composés sur ce qu'ils appelaient le lieu résolu. Ils comprenaient sous ce mot certaines matières dont la connaissance est nécessaire à ceux qui veulent se mettre en état de pouvoir résoudre les problèmes. Ces ouvrages étaient^ pour la plupart, des exemples de leur analyse géométrique; en voici les titres, tels que les rapporte Pappus : un livre d'Euclide, des Données; deux livres d'Apollonius, de La section de raison; deux de £a section de V espace et deux des Attouchemensy du même; trois livres d'Euclide, des Porismes; deux livres encore d'Apollonius^ des Inclinaisons; deux des Lieux plans et huit des Coniques; cinq livres du vieux Aristée, des Lieux solides; deux livres d'Euclide, des Lieux à la surface; et deux livres des Moyennes raisons ^ par Ératosthène* A ce catalogue il faut ajouter les deux livres d'Apollonius, de la Section déterminée^ dont Pappus parle dans la suite.

De tous ces ouvrages, il n'est venu jusqu'à nous que les Données d'Euclide; les sept premiers livres des Coniques d'Apollonius, et son traité de la Section de raison. Mais, sur ce qu'en a dit Pappus, les autres ont été rétablis, aux XVI® et XVII« siècles, par divers géomètres, dans le style de la Géométrie ancienne.

§ 42. Le goût de cette Géométrie, qui a donné tant d'éclat aux sciences mathématiques jusques il y a près d'un siècle, surtout dans la patrie de Nev^ton^ s'est affaibli depuis, et aurait presque disparu , si les géomètres italiens ne lui fussent restés fidèles. On doit, de nos jours, au célèbre Fergola, et à ses disciples, MM. Bruno, Flauti, Scorza, plusieurs écrits importans sur l'analyse géométrique des Anciens, qui s'y trouve rétablie dans sa pureté originaire.

Les ouvrages que les Anciens avaient composés sur cette matière, et dont nous venons de rapporter les titres que nous a laissés Pappus, formaient un système de complémens de Géométrie, qui eussent hâté les progrès de celte science, s'ils nous eussent été transmis intacts à la renaissance des lettres.

De tels complémens manquent à la Géométrie moderne : car on sent

qa'eu égard à ses progrès et à son état de perfectionnement ^ ces campléntens doivent être faits aujourd'hui sur d'autres bases que ceux de l'école grecque. Ils devront être empreints surtout de l'esprit de simplicité et de généralité qui fait le caractère des nouvelles doctrines de la Géométrie.

S 43. Vers le même temps que Pappus^ le géomètre Serenus s'acquit quelque célébrité par un ouvrage en deux livres, sur les sections du cylindre et du cône \ où il démontra, contre le sentiment de la plupart des géomètres de son temps, l'identité des ellipses faites dans ces deux corps, qu'il suppose à base circulaire et scalènes, c'est-àdire obliques.

On distingue dans le premier livre les deux problèmes suivans, dont les solutions sont d'une facilité et d'une élégance qui ne laissent rien àdésârer : ((Étant donné un cône oblique, à base circulaire, coupé suivant une ellipse, faire passer par cette ellipse un cylindre (]ui ait aussi pour base un cercle, sur le plan de la base du cône (proposition 2Q).o> £t réciproquement : ((Étant donné un cylindre coupé suivant une ellipse, etc.')) (Proposition 21.)

Serenus suppose, comme Apollonius, (pie le plan coupant, dans le cône^ est perpendiculaire au triangle par l'axe : et c'est ici le lieu de remarquer, puisque nous n'allons plus trouver juscpies aux temps modernes d'autre écrivain sur les coniques, qu'il parait que les Anciens n'ont jamais formé ces courbes que de cette manière particulière; c'est-à-dire par des plans nécessairement perpendiculaires au triangle par l'axe; et que la question de savoir quelles courbes donneraient d'autres plans sécans, menés tout-à-fait arbitrairement, n'a point été agitée par eux, ou au moins n'a pas été résolue. Peut-être leur avait-elle présenté des difficultés qu'il était réservé aux Modernes de surmonter. Nous verrons que ce fut Desargues qui eut le mérite de faire, le premier, ce pas important dans la théorie des coniques,

' Halley a fait réimprimer en grec et en latin ces deux livres y à la suite de son édition des coniques d'Apollonius.

où il fut imité immédiatement par Pascal^ et ensuite par De la Hire. Nous remarquerons encore ici que le cône à base circulaire ^ où les Anciens formaient leurs coniques^ est resté complètement étranger à leurs spéculations; tellement qu'à l'exception du théorème de la section sous-contrairo^ ils ne nous en ont transmis aucune propriété. Ce n'est que dans ces derniers temps qu^on s'est occupé de cette matière^ qui offre un nouveau champ de recherches.

DiociÈs. § 44. Dioclès^ inventeur de la cissoide, dont il se servit pour résoudre

le problème des deux moyennes proportionnelles^ est de près d'un siècle postérieur à Pappus. On lui doit aussi une solution^ par l'emploi de deux sections coniques^ d'un problème difficile^ traité par Ârchimède^ où il s'agit de mener un plan qui divise la sphère en raison donnée; mais dont ce grand géomètre n'a point laissé la construction qu'il avait promise. La question devant dépendre d'une équation du troisième degré, et par conséquent ne pouvant être construite que par une section conique, ou une courbe d'un genre supérieur, il est probable qu'Archimède, qui ne se sert jamais que de la règle et du compas pour la résolution de ses problèmes, n'avait point donné suite à cette question, après en avoir promis la solution \

La construction de Dioclès nous a été conservée par Ëutocius, dans son commentaire du second livre de la sphère et du cylindre d'Archimède.

pRocLos, § 45. Vers le milieu du V® siècle, un philosophe célèbre, Proclus, chef de l'école Platonicienne établie à Athènes, y cultiva les mathématiques, et contribua par ses travaux et ses instructions à en soutenir l'éclat encore pendant quelque temps. Il nous est resté de ce géomètre un commentaire sur le premier livre d'Ëuclide, qui contient des observations curieuses concernant Thistoire et la métaphysique de

1 Cette question est la proposition 8* du second livre du Traité de la sphère et du cylindre. Elle a donne lieu a une note très-intéressante de M. Poinsot , insérée dans le Commentaire de Peyrard , eur les œuvres d'Archimède , pag. 462 , où Ton trouve Tinterprétation géométrique des deux racines étrangères a la question de la sphère. Ces racines se rapportent à une question plus générale , qui comprend la sphère et Thyperholoîde de révolution.

k Géométrie. On y trouve une description de l'ellipse par le mouyemént continu d'un point d'une droite dont les extrémités glissent sur les cotés d'un angle ^

Parmi les philosophes qui succédèrent à Proclus dans son école^ uamws. nous citerons^ comme ayant rendu quelques services h la Géométrie^ Marinus^ auteur d'une* préface ou introduction aux Données d'£uclide^ où il explique la nature et le genre d'utilité de ces Données ^ et Isidore de Millet^ très-sayant dans la Géométrie, la mécanique et "»<>*» »» ■"!•"• l'architecture^ auteur d'un instrument pour décrire la parabole d'un mouvement continu et résoudre par là le problème de la duplication du cube; premier exemple, sans doute, avec celui de la description de l'ellipse indiquée par Proclus, de la description organique des coniques, dont les Modernes ont fait une étude spéciale. Cet instruiuent, dont parle Eutocius, ressemblait à la lettre grecque X.

ïlutocius, disciple d'Isidore, nous a laissé des commentaires sur les butocius, coniques d'Apollonius et sur quelques ouvrages d'Archimède. Celui ^- **° du second livre du Traité de la sphère et du cylindre est précieux pour l'histoire de la science, parce qu'il contient plusieurs fragmens de Géométrie des auteurs les plus anciens qui nous soient connus, et dont les ouvrages ne nous sont point parvenus. Ces fragmens sont relatifs à la solution du problème de la duplication du cube, ou des deux moyennes proportionnelles. Nous avons nommé, au commence* ment de cette Époque, d'après cet ouvrage d'Eutocius, les géomètres auxquels ils appartiennent. C'est en exposant la solution de Menechme qu'Eutocius parle de l'instrument dont Isidore se servait pour décrire la parabole d'un mouvement continu.

S 46. Les travaux des mathématiciens que nous venons de nommer furent les derniers qui illustrèrent l'école d'Alexandrie. Les arts et les sciences s'aJSaiblissaient déjà, lorsque TÊgypte devint la conquête des Arabes, et que Tembrasement de la fameuse bibliothèque des Ptolémée9^ dépôt précieux, depuis dix siècles, de toutes les productions du

' Commentaire sur la définition \* du 1'' livre d'Euclide.

ToM. XL 7

génie et de rérudition^ fut le signal de la barbarie et des longues ténèbres qui enveloppèrent l'esprit humain.

Cependant^ ces mêmes Arabes^ après un ou deux siècles^ reconnurent leur ignorance^ et entreprirent eux-mêmes la restauration des sciences. Ce sont eux qui nous transmirent soit le texte ^ soit la traduction dons leur langue^ des manuscrits qui avaient échappé à leur fureur fanatique. Mais c'est là^ à peu près^ la seule obligation que nous leur devions. Car la Géométrie^ entre leurs mains, à l'exception toutefois du calcul des triangles sphériques, resta stationnaire, leurs travaux se bornant à admirer et commenter les ouvrages grecs, cc»nme s'ils marquaient le terme le plus élevé et le plus sublime de cette science.

fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 51

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