C'B' D'B' CB

= i(iw);

ce qui prouve que les deux points C'^ D' divisent harmoniquement la corde A'B'.

On a donc ce théorème^ qui constitue la propriété connue des pôles et plans polaires :

Dans taule surface du second degrés si autour d un point pse oft fait tourner une transversale^ et quon mène les deux plans tangens à la surface^ aux points où la transversale la rencontre;

1^ Ces deux plans se couperont sur un plan fixe ;

2^ Le point ou ce plan rencontrera la transversale sera le conjurgué harmonique du point fixe y par rapport aux deux points où la transversale percera la surface.

C'est ce plan qu'on appelle le plan polaire du point fixe^ appelé lui-même le pôle du plan.

(182) La relation harmonique que nous venons d'énoncer fait voir que le plan polaire d!un point quelconque d!un plan passe par le pôle de ce plan.

D'où l'on conclut que : Quand un point parcourt une droite , son plan polaire tourne autour d'une seconde droite; et^ réciproquement^ les plans polaires des points de cette seconde droite passent par la première.

Ces deux droites sont dites polaires l'une de l'autre. Si l'une d'elles rencontre la surface^ les points de rencontre ont pour plans polaires précisément les plans trangens à la surface en ces points^ et ces plans tangens passent par l'autre droite.

Il suit de là que la polaire dJun diamètre de la surface est située à Vinfini.

(183) Il est évident^ d'après ces propriétés des p61es^ plans polaires^ et droites polaires^ que si l'on a deux surfaces du second degré homographiques^ à un point et à son plan polaire par rapport à la

première surface^ correspondront un point et son plan polaire par rapport à la seconde; à deux droites polaires réciproques par rapport à la première surface^ correspondront deux droites polaires réciproques par rapport à la seconde.

(184) D'après cela^ soient trois diamètres conjugués de la première surface 2; la polaire de chacun d'eux est située à l'infini dans le plan des deux autres; donc, à ces diamètres correspondront, dans la surface homographique 1', trois droites passant par le point C% qui seront telles que la polaire de l'une d'elles sera dans le plan des deux autres; et ces polaires seront toutes trois dans le plan polaire du point C\ On peut dire que ces trois droites sont telles que la polaire de chacune d'elles passe par le point de concours des deux autres.

Nous avons déjà eu à considérer, dans la première partie de cet écrit, le système des trois droites menées par un point fixe de manière que chacune d'elles ait sa polaire, par rapport à une surface du second degré, comprise dans le plan des deux autres. Nous les ayons appelées aa;es conjugués relatifs au point ficce.

Ainsi, par un point donné, on peut mener une infinité de systèmes de trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré. Ces systèmes de trois axes conjugués jouissent de nombreuses propriétés dont plusieurs sont des généralisations des propriétés connues des systèmes de diamètres conjugués des surfaces du second degré. Nous ayons déjà démontré un certain nombre de ces propriétés ; mais la matière est loin d'être épuisée, et nous aurons à y revenir dans plusieurs de nos applications de la théorie des figures homographiques.

JJ III. Lieu géométrique du point de rencontre de trois plans tangens à une surface du second degré assujettis à certaine condition.

(185) On sait que si l'on mène trois plans rectangulaires tangens à une surface du second degré 2, leur point d'intersection a pour lieu géométrique une sphère concentrique à la surface. Ce théorème est dû à Monge.

Pour le généraliser par la déformation homographique , au lieu de dire que les trois plans tangens sont rectangulaires^ considérons-les comme étant parallèles à trois plans diamétraux d'un sphère^ qui soient conjugués entre eux.

Concevons cette sphère et ses trois plans diamétraux conjugués; désignons là par U, et soit W la sphère décrite par le point d'intersection des trois plans tangens à la surface 1. Faisons la déformation homographique. Nous aurons deux surfaces du second degré 1^ , U'; un plan V correspondant à l'infini de la première figure; trois plans tangens à la surface 2' , ayant pour traces sur le plan V trois droites telles que la polaire de chacune d'elles^ par rapport à la surface U', passera par le point de rencontre des deux autres (184). Le point de rencontre de ces trois plans engendrera une surface du second degré W% homographique de W, et qui par conséquent aura une courbe d'intersection commune avec U' située sur le plan I' (parce que les deux surfaces U et W étant semblables et semblablement placées^ ont une courbe d'intersection à l'infini); et ce plan F aura même pôle dans les deux surfaces 2' et W (parce que ce pôle correspondra au centre commun des deux surfaces U et W).

Nous pouvons donc énoncer ce théorème général :

Etant données deuiv surfaces quelconques du second degrë^ si dans un plan fixe on prend arbitrairement trois droites ^ telles que la polaire de chacune d elles ^ par rapport à la seconde surface ^ passe par le point de rencontre des deux autres , et que par ces trois droites on mène trois plans tangens à la première surface ^ le point de rencontre de ces trois plans aura pour lieu géométrique une surface du second degré qui coupera la seconde surface sur le plan fixe; et le pôle de ce plan dans cette nouvelle surface sera le même que dans la première des deux proposées.

Ce théorème général est susceptible de plusieurs corollaires.

(186) D'abord, si le plan V est à l'infini, on en conclut que :

Étant données deux surfaces du second degré, si Von mène trois plans tangens à la première, qui soient parallèles à trois plans

diamétraux conjugués de la seconde^ le point d intersection de ces trois plans sera une troisième surface du second degré, semblable à la seconde et semblablement placée.

Quand la seconde surface est une sphère^ ce théorème est préci**sément celui de Monge ^ d'où nous sommes partis.

(187) Si le plan F coupe la seconde surface suivant une conique, les trois droites prises dans ce plan seront telles que le pôle de chacune d'elles par rapport à cette conique sera le point de concours des deux autres; on peut donc donner au théorème ce second énoncé, qui n'est moins général que le premier, que parce qu'il ne permet plus de supposer que le plan fixe soit à l'infini :

Si Von a dans l'espace une surface du second degré et une oonique; et que par trois droites prises dans le plan de cette courbe de manière que le pôle de chacune délies, par rapport à la courbe, soit le point de concours des deux autres, oh mène trois plans tan^ gens à la surface; leur point d intersection aura pour lieu géométrique une surface du second degré qui passera par la conique, et qui sera telle que le cône qui lui serait circonscrit suivant cette courbe aurait pour sommet le pâle du plan de cette courbe pris par rapport à la surface proposée.

La dernière partie de ce théorème prouve que si la conique est une section de la surface proposée, les deux surfaces se toucheront suivant cette courbe.

(188) On peut supposer, dans les théorèmes précédens, que l'un des diamètres principaux de la première surface devienne nul, c'està-dire que cette surface se réduise à une conique j on aura de nouveaux théorèmes, dont nous n'énoncerons que le suivant :

Si l'on a deux coniques situées dune manière quelconque dans r espace, et que par trois droites prises dans le plan de la seconde, de manière que le pôle de chacune délies par rapport à cette se-conde courbe, soit le point de concours des deux autres, on mène trois plans tangens à la première conique, leur point d intersection aura pour lieu géométrique une surface du second degré qui pas^

sera par la seconde conique, et le cône circonscrit à cette surface suivant cette courbe aura pour sommet le pôle de la droite din^tersection des plans des deuiXf coniques, pris par rapport à la première.

Il résulte de la dernière partie de ce théorème que^ si les plans des deux courbes sont parallèles^ le sommet du cône circonscrit à la sur- Ceicc suiyant la seconde courbe sera le centre de la première;

Et que^ si la première conique a son centre sur le plan de la seconde, cette seconde conique sera une section diamétrale de la surface.

On pourrait supposer que la première conique eût un de ses axes nul, et se réduisit à une ligne droite limitée à deux point fixes. Des trois plans tangens à cette conique deux passeraient par l'un de ces points, et l'autre par le second point. Et les théorèmes précédens s'ap* pliqueraient encore à ce cas.

On pourrait même supposer que l'un des deux points extrêmes de la droite fixe fût à l'infini.

(189) Reprenons le cas général de deux surfaces quelconques; si le plan V est tangent à la première , il est clair que tout point de ce plan appartiendra à la troisième surface, parce qu'on pourra le considérer comme l'intersection de trois plans tangens à la surface, menés par les trois droites prises dans ce plan; ces trois plans se confondant avec ce plan lui-même. Il résulte de là que dans ce cas la troisième surface sera le système de deux plans dont l'un est le plan fixe.

On a donc ce théorème :

Étant données deux surfaces du second degré, et un plan fisc, tangent à la première; si par trois droites prises dans ce plan de maière que la polaire de chacune déciles, par rapport à la seconde surface, passe par le point de concours des deux autres, on mène trois plans tangens à la première surface, le point dintersection de ces trois plans sera toujours sur un même plan.

La première surface peut se réduire à une conique, comme dans les théorèmes précédens; et à la seconde surface on peut substituer

708 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRK.

la considération d'une conique. On aurait ainsi diyers autres théorèmes.

(190) £n appliquant le principe de Dualité au théorème de Monge, ou au théorème général (185)^ on obtient sur-le-champ cette autre propriété générale des surfaces du second degré :

Étant données deux surfaces quelconques du second degré, si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à la seconde fl84), le plan déterminé par trois des points de rencontre de ces trois axes avec la première surface roulera sur une troisième surface du second degré qui aura pour centre dhomologie avec la seconde surface le point fixe ; et ce point aura le même plan polaire dans cette troisième surface et dans la première des deux proposées.

Nous entendons ici^ avec M. Poncelet^ par centre dhomologie des deux surfaces^ le sommet d^un cône (réel ou imaginaire) circonscrit aux deux surfaces.

Nous ne nous arrêterons pas à montrer les diverses conséquences de ce théorème général.

$ IV. Propriétés des systèmes de trois axes conjugués dune surface du second degré relatifs à un point.

(191) Soient trois diamètres conjugués d'une surface du second degré; la somme des carrés des perpendiculaires abaissées de leurs extrémités sur un plan diamétral fixe sera constante :

Faisant la déformation homographique ^ on conclut de là^ d'après ce que nous avons dit ci-dessus (184)^ et par le principe de relations métriques du n^ 176^ cette propriété générale des surfaces du second degré :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, et qu^ on prenne sur chacun deux un des deux points où il perce la surface, on aura ainsi trois points qui seront tels que la somme des carrés de leurs distances à un plan

fixe mené par le point donnée divisés respectivement par les carrés des distances des mêmes points au plan polaire du point donnée sera constante.

Si ToQ prend le plan fixe parallèle au plan polaire du point fixe^ le théorème sera susceptible d'un autre énoncé qui exprimera une proposition déjà démontrée d'une autre manière (I^e Partie, § XI, art. 49).

(192) Concevons menés par le point fixe trois plans rectangulaires; pour chacun d'eux on aura l'équation qui exprime le théorème cidessus. Ajoutant membre à membre ces trois équations, on Toit qu'il en résulte une autre propriété des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point. Cette propriété est le théorème de l'art. (52).

(193) Si dans le théorème général (191) on suppose le point fixe^ situé à rinfini, on obtient le théorème suivant, en observant que les trois axes conjugués relatifs au point fixe percent son plan polaire en trois points dont chacun a pour polaire, par rapport à la section de la surface par ce plan, la droite qui joint les deux autres :

Si dans un plan diq^métral dHune surface du second degré y on prend trois points tels que chacun cPeux ait pour polaire , par rapport à la section de la surface par ce plan, la droite qui joint les deux autres y et que par ces points on mène les trois cordes de la surface parallèles au diamètre conjugué au plan diamétral, la somme des carrés des distances de ces trois points à une droite fixe située dans ce plan y divisés respectivement par les carrés des trois cordes ^ sera constante, quel que soit le système des trois points.

La droite fixe, située dans le plan diamétral, peut être à l'infini; et on eh conclut que la somme des valeurs inverses des carrés des trois cordes est constante.

(194) Si on remplace dans ces théorèmes les trois cordes par les produits des segmens faits par la conique contenue dans le plan diamétral, sur des parallèles à une même droite, menées par les trois points en question, on aura de nouveaux énoncés , où n'entrera plus la considération de la surface et qui exprimeront des propriétés des coniques.

ToM. XI. 90

§ V. Autres propriétés des systèmes de trois axes conjugués d^une surface du second degré relatifs à un point.

(195) La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des six extrémités de trois diamètres conjugués d'une surface du second degré^ sur un plan fixe mené arbitrairement dans l'espaoe^ est constante.

On conclut de là^ par le principe de relations métriques du n^' 176, cette propriété générale des surfaces du second degré :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, la somme des carrés des distances des six points où ils perceront la surface, à un plan fixe mené arbitrairement dans Fespace, divisés respectivement par les carrés des distances de ces points au plan polaire du point fixe, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués relatifs au point fixe.

(196) Si dans la première figure on prend pour le plan fixe celui qui correspond à l'infini de la seconde figure, on aura, par le principe du n^ 177, ce théorème, qui n'est autre que le précédent, où le plan fixe est situé à l'infini :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport d une surface du second degré, la somme des valeurs inverses des carrés des distances des six points où ils perceront la surface, au plan polaire du point fixe, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.

(197) Et appliquant le théorème ci-dessus (195) à trois plans rec* tangulaires, on aura trois équations qui, ajoutées membre à membre, donneront lieu au théorème suivant :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, ils rencontreront la surface en six points dont les cartes des distances à un second point fixe quelconque, divisés respectivement par les carrés des distances de ces

points au plan polaire du premier point fixe^ auront une somme constante.

S VI. Propriété très-générale des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un points de laquelle les autres se déduisent.

(198) Dans nos applications du principe de Dualité^ nous sommes parvenu à plusieurs propriétés d^s axes conjugués d'une surface du second degré relatifs à un points concernant les plans tangens à la surface aux points où ces axes la rencontrent. Les propriétés de ces mêmes axes^ que nous venons de trouver dans les paragraphes précédons ^ concernent les points mêmes où ces axes percent la surface. Celles-ci peuvent être exprimées toutes sous un seul énoncé trèsgénéral, que nous allons présenter comme application du principe d'Homographie.

Soient trois diamètres conjugués d'une surface du second degré ; si d'un point fixe 0 on mène des droites aux six points A^ a^ ^y b y C, Cy où ils rencontrent la sur&ce^ on sait que la somme des carrés de ces six droites est constante^ quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

Ainsi l'on a

OA* -♦- Oa -♦- OB' h- 01) -f- oc' + Oc* == const.

Concevons une sphère qui ait pour centre le point 0; et soient A% a% B'^ b*, (j!y &^ les points où ses six rayons qui aboutissent aux points ky ay etc.^ la rencontrent; on aura

oT ôS"

■ 7 -I- ==:r -¥• etc. = const.

OA' Oa'

Faisons la figure homographique^ et désignons par les mêmes lettres les points correspondans^ dans cette figure ^ aux points 0^ A, a, etc. 9 de la première; soient de plus L^ /^ M^ m^ N^ n^ les points

où les six droites OA^ Oa^ OB^ Ob^OC, Oc, dans la nouvelle figure, percent le plan qui correspond à Tinfini de la première, on aura^ en appliquant à chacun des termes de l'équation ci-dessus ^ la formule du n^ 173, le théorème suivant :

Étant donnés deux surfaces du second degré et un plan fixe; si par le pôle de ce plan par rapport à la première surface, on mène trois axes conjugués par rapport à cette surface, qui la rencontreront aux six points A,a,Bjh, C, c,et que par le pôle du plan^ par rapport à la deuxième surface, on mène six rayons aboutissant à ces points^ et rencontrant la deuxième surface aux six points A', a', B', b', Oj c', et le plan fixe aux points Z,l, M , m^ IV, n,on aura Féquation

/OA ^ ]U Y /Oo^ ^ lay

-\~ etc. = const.,

quel que soit le système des trois axes conjugués pris par rapport à la première surface.

(199) Ce théorème est l'une des propriétés les plus complètes et les plus générales des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré relatifs à un point. Aussi ses corollaires sont très-nombreux. On les obtiendra en faisant diverses suppositions sur la forme et la position des deux surfaces, et celle du plan fixe. On pourra supposer que la seconde surface soit l'ensemble de deux plans, lesquels pourront être parallèles, ou bien qu'elle soit de révolution et qu'elle ait pour foyer le point O; puis, que le plan fixe soit à l'infini, etc.

Nous n'entrerons pas dans l'examen de tous les théorèmes que l'on obtient ainsi, dont la plupart sont des propriétés de trois axes conjugués d'une surface du second degré relatifs à un point, que nous avons déjà démontrées, ou des propriétés connues des systèmes de trois diamètres conjugués.

Nous n'énoncerons que le suivant, que nous n'avons pas encore eu l'occasion de démontrer.

(200) Que l'on suppose que le plan fixe ait un même point 0 pour

pôle dans les deux surfaces ^ et que la première surface soit de révolution et ait ce point pour foyer, et le plan fixe pour plan directeur correspondant; que dans Téquation qui exprime le théorème général, on remplace chaque rapport ^ par le rapport des perpendiculaires abaissées des points A, A.% sur ce plan fixe; on aura le théorème suivant :

Si autour dun point fixe pris arbitrairement par rapport à une surface du deuxième degrés on fait tourner trois droites rectangulaires y qui rencontreront la surface en six points , la somme des carrés des distances de ces points au plan polaire du point fixe, divisés respectivement par les carrés des distances de ces mêmes points au point fixe, sera constante.

(201) Ce théorème a lieu aussi pour trois seulement des six points où les trois droites rectangulaires rencontrent la surface; parce que les six termes de l'équation sont égaux deux à deux. Car A et a étant les points oii l'une des trois droites menées par le point 0 rencontre la surface, et L le point où elle perce le plan polaire du point 0, on a entre les quatre points 0, L, A et a, la relation harmonique

OA LA Oa ~L«*

Mais AP et ap étant les perpendiculaires abaissées sur le plan, on a

LA AP La ap ^

donc

OA Oa AP " op

Ce qu'il fallait prouver.

$ VIL Propriétés du centre des moyennes harmoniques dun système

de points dans Fespace.

(202) Soient a, b, c, plusieurs points situés en ligne droite, g

leur centre des moyennes distances, et 0 un autre point quelconque de cette droite; on aura

(1) oa -♦- o6 H- oc -f- .... = n. ogf ;

n étant le nombre des points.

Formons la figure homographique; nous aurons des points a' , b^, c',.... situés en ligne droite^ un point g' correspondant au point ^^ un point o' pris arbitrairement pour correspondre au point o, et un point ^' correspondant au point situé à l'infini sur la droite ab ; et l'on aura

oa c'a' t'a'

og o'g' t/

og og %'g

l'équation (1) donne donc celle-ci

ih' i'c' i^g'

Cette équation a lieu entre les points a', b', &,.... g' et t', quel que soit le point o% sur la droite qui unit ces points. Si on suppose le point o' à Tinfini, on aura

Ainsi le point g' ^ qui correspond au centre des moyennes distances

g des points a, b, c, est déterminé par la condition que la valeur

inverse de sa distance au point i' est moyenne entre les valeurs inverses des distances des points a% b'^ c',.... à ce point i\ On dit que tg' est moyenne harmonique entre les distances i^a', i^b', i'& ^ etc.^

' Nous avons démontré directement, dans la première partie, § XII , l'identité des équations (2) et (S) , en montrant coQunent on passe de Tune à Tautre.

et que le point g^ est le centre des moyennes harmoniques des points a', A', &,....y par rapport au points' (t^ Partie, $ XII).

Nous dirons donc que :

c( Quand on a plusieurs points en ligne droite, et leur centre des » moyennes distances, si l'on fait la transformation homographique, » On aura des points en ligne droite, et leur centre des moyennes )> harmoniques par rapport au point qui correspond à l'infini de la » droite sur laquelle sont les points de la première figure. »

(203) Remarquons que l'équation (2) donne, quand le point o' se confond avec le point g' ,

g'a' g'h' && ta' %h %' c

relation très-simple, entre les différens points et leur centre des moyennes harmoniques.

(204) Si le point i est pris à l'infini, on aura, dans l'équation (2),

fV ta'

et elle dcTiendra

oV H- o'h' H- oV -♦- .... n. oy ;

le point & est quelconque , cette équation exprime donc que le point g^ est le centre des moyennes distances des points a', h', c'^....; de sorte que : le centre des moyennes harmoniques d^un système de points en ligne droite , relatif à un point de cette droite^ est précisément leur centre des moyennes distances , quand ce point est à rinfini.

Ce qui a été remarqué par M. Poncelet', et ne l'avait pas été par Maclaurin.

(205) Soient des points a, b^ c,...., situés d'une manière quelconque sur un plan, et g leur centre des moyennes distances; ce point jouit de

* Mémoire sur h$ cmtrea de$ moyennes hamumiques. Voir Journal de M. Grelle, année 18S8.

la propriété que^ si par tous ces points on mène des droites tontes parallèles entre elles ^ mais sous une direction arbitraire ^ elles rencontreront une transversale quelconque en des points dont le dernier sera le centre des moyennes distances de tous les autres. Faisant la figure homographique^ et obseryant que toutes les droites parallèles ont pour correspondantes des droites concourantes en un même points et que ce point appartient à une droite qui correspond à la droite située à l'infini sur le plan de la première figure^ on aura ce théorème :

Étant donnés j sur un plan, un système de points et une ligne droite , si par un point pris arbitrairement sur cette droite an mène des rayons à tous les points donnés, et un dernier rayon au centre des moyennes harmoniques des points où une transversale quelconque rencontre ces rayons , relatif au point où cette transversale rencontre la droite fixe , ce dernier rayon tournera autour d^un point fixe, quand le point pris sur la droite fixe parcourra cette droite.

Ce point fixe a été appelé par M. Poncelet^ le centre des moyennes harmoniques du système de points relatif à la droite fixe '.

(206) Ainsi nous pouvons dire que :

« Quand on a sur un plan un système de points^, et leur centre des » moyennes distances, la déformation homographique donne un sys- )> tème de points^ et leur centre des moyennes harmoniques, relatif » à la droite qui correspond à l'infini sur le plan de la première fi- » gure. »

(207) Soit un système de points situés d'une manière quelconque dans l'espace , et leur centre des moyennes distances ; si on les projette tous sur un plan^ par des droites parallèles entre elles ^ on aura, en projection , un système de points et leur centre des moyennes distances. Faisant la figure homographique, et observant que les droites projetantes deviendront des droites concourantes en un même point

' Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. Voir Journal de M. Grelle , anoée 1828.

d'un plan fixe correspondant à l'infini de la première figure^ on aura^ d'après ce qui précède ^ ce théorème :

Étant donnés un système de points dans V espace et un plan , si (Tun point pris arbitrairement dans ce plan on mène des rayons à tous ces points y et un dernier rayon au centre des moyennes harmoniques des points où ces rayons rencontrent un plan transversal quelconque y pris par rapport à la droite d intersection de ce plan transversal et du plan donné, ce dernier rayon passera par un point fixe, quel que soit le point pris dans le "plan donné.

Ce point est nommé le centre des moyennes harmoniques du système de points^ par rapport au plan donné.

(208) Nous pouYons donc dire que :

(( Quand on a un système de points dans l'espace^ et leur centre » des moyennes distances y le principe d'Homographie donne un sys- )) tème de points^ et leur centre des moyennes harmoniques, par » rapport au plan qui correspond à l'infini de la première figure. »

(209) Si par des points pris dans l'espace, et par leur centre des moyennes distances, on mène des plans parallèles entre eux, une transTersale quelconque les percera en des points dont le dernier sera le centre des moyennes distances de tous les autres ; faisant la figure homographique on conclut de là, d'après ce qui précède, cette autre proposition :

Étant donné un système de points dans Fespace, et un plan fixe y si par une droite prise arbitrairement dans ce plan on mène des plans passant par tous ces points ; et qu^on prenne le centre des moyennes harmoniques des points où une transversale quel-conque rencontrera ces plans, par rapport au point où cette transversale rencontrera le plan donné ; le plan mené par ce centre et par la droite , tournera autour cPun point fixe , quand on fera mouvoir cette droite dans le plan donné.

Ce point fixe est le centre des moyennes harmoniques du système de points^ par rapport au plan donné.

(210) Ces diyers théorèmes sont dus à M. Poncelet qui les a dé- ToH. XL 91

montrés par une voie directe dans son Mé^noire nur les centres des moyennes harmoniques. Ils expriment^ en quelque serte^ les pro*priétés descriptives du centre des moyennes harmoniques d'un système de points^ puisqu'ils apprennent à déterminer ce point par des intersections de lignes droites et sans calcul.

Dans Je paragraphe suivant^ nous allons présenter quelques autres propriétés du centre des moyennes harmoniques d'un système de points^ qui sont d'un autre genre^ et qui nous paraissent être les plus importantes de cette théorie^ parce que les preniières s'en déduisait aisément.

§ VIIL Autres propriétés du centre des moyennes harmoniques

dun système de points.

(211) Soit un système de points dans l'espace^ et leur centre des moyennes distances; ce point jouit de la propriété qite sa distance à un plan transversal quelconque ^ multipliée par le nombre des points y est égale à la somme des distances de tous les points â ce plan.

Faisant la déformation homographique ^ on aura un système de points et leur centre des moyennes harmoniques par rapport au plan qui correspond à l'infini de la première figure (208). Appliquant à la propriété du centre des moyennes distances ^ que nous venons d'énoncer^ le principe des relations métriques de l'art. (176)^ on obtient ce théorème :

Le centre des moyennes harmoniques dun système de points^ pris par rapport à un plan donné /jouit de la propriété que la somme des distances de tous ces points à un plan transversal mené arbitrairement , divisées respectivement par les distances des mêmes points au plan donnée est toujours égale à la distance du centre des moyennes harmoniques au plan transversal, divisée par sa distance au plan donné et multipliée par le nombre des points.

Ainsi ^ soit I le plan donnée et n le plan transversal mené arbitrairement^ et représentons par ad^ bi^ .... gi, les perpendiculaires

abaissées des points a^ by...... et de leur centre des tnoyennes har-f-

moniques g sur le plan I^ et par an, bir, .... gn, les perpendicidaires

abaissées des mêmes points sûr le plan n; on aura

ar br qtt

ax h% tg

quel que soit le plan transversal tt.

(212) Ce théorème peut servir à définir le centre des inoyemies harmoniques d'un système de points par rapport à un plan donné* On peut même lui donner un énoncé plus caractéristique; car si l'on suppose que les points soient matériels et aient ^ respectivement^ leurs masses proportionnelles aux valeurs inverses des distances des points au plan donnée on voit que le centre de gravité de ces poids sera le centre des moyennes harmoniques des points du système. De sorte qu'on peut dire que :

Le centre des moyennes harmoniques et un système de points , relatif à un plan donné , est le centre de gravité de ces points , supposés matériels, et ayant leurs masses en raison inverse des distances de ces points au plan donné.

Cette définition du centre des moyennes harm^miques d'un système de points relatif à un plan^ comprend les propriétés de ce points que nous avons démontrées dans le paragraphe précédent; c'est-à-dire que, de cette définition, on déduit aisément ces propriétés; et de cette manière la théorie du centre des moyennes harmoniques, bien que plus générale que celle du centre des moyennes distances, devient une simple application de celle-ci.

(213) On peut encore supposer que les points du système soient sollicités par des forces parallèles entre elles, et égales aux valeurs inverses des distances de ces points au plan donné; alors on dira que le centre des moyennes harmoniques de ces points par rapport à ce plan, est le centre de ces forces parallèles, c'est-à-dire le point par où passera leur résultante quelle que soit leur direction commune.

C'est sous ce point de vue que M. Cauchy a considéré le centre

des moyennes harmoniques d'un système de points \ et est parvenu ^ par des considérations de statique^ à en conclure les autres propriétés de ce point. Ce célèbre analyste a tiré de là aussi un moyen facile d'exprimer par trois équations ^ dans le système de coordonnées ordinaire^ la position du centre des moyennes harmoniques ^ soit d'un système de points, soit d^un corps solide de forme donnée.

(214) Si dans le théorème général (211) on suppose le plan trans-

versai n à l'infini^ les rapports ^, ^>- •• seront égaux â l'unité^ et

l'équation deviendra

at bt g%

Ce qui prouve que :

La somme des valeurs inverses des distances de plusieurs points à un plan, est égale à la valeur inverse de la distance, à ce plan, du centre des moyennes harmoniques de ces points , par rapport au plan y multipliée par le nombre des points.

(215) Si l'on suppose^ dans le. théorème général (21 1)^ le plan transversal parallèle au plan fixe^ en conclut cette autre propriété du centre des moyennes harmoniques :

Quand on a un système de points et leur centre des moyennes harmoniques par rapport à un plan, si dun point quelconque de V espace on mène des rayons à tous ces points, et qu^on fasse le rapport de chaque rayon au segment compris entre le point auquel ce rayon est mené et le point où il perce le plan , le rapport relatif au centre des moyennes harmoniques, multiplié par le nombre des points, sera égal à la somme de tous les autres rapports.

$ IX. Propriétés du centre des moyennes harmoniques dun système de points qui se meuvent dans F espace.

(216) Soient des points k, B^ C^.... auxquels on imprime desmou-

' Voir dans le tom. XVI des Annales de Mathématiques le rapport de MM. Legendre , Ampère et Cauchy sur le Mémoire sur leê centrée des moyennes harmoniques de M. Poncelet.

Temens quelconques ^ mais uniformes et rectilignes; on sait que leur centre des moyennes distances parcourra une droite.

Soient a, S, y,.... les positions de ces points après un temps 0; et

a, b, c, leurs positions après un autre temps t; on aura^ puisque

les mouTemens sont uniformes

Ââ ~ 7 ' Bô ~ 7 ' ^*^*

Faisons la figure homographique ; nous aurons un système de points A% B'^ C%.... qui parcourront des droites, de manière qu'au bout du temps e ils seront en a', &, y' ,... et qu'au bout du temps / ils seront en a% b' ^ c',.... On aura en désignant par i,j, k,... les points oii ces droites percent un plan fixe P correspondant à l'infini de la première figure.

ou