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et le centre des moyennes harmoniques de ces points, par rapport au plan P, parcourra une droite, correspondante à la droite décrite par le centre des moyennes distances des points A, B, C,....

Les distances des points J y et a' au point i sont entre elles comme les distances de ces points au plan P : on peut donc les remplacer par ces dernières, dans la première des équations précédentes; il en est de même des distances des points V et b^ au point j; et ainsi des autres; on a donc ce théorème :

723 MÉMOIRE DE GËOMÉTRIB.

Si des point situés dans V espace prennent des mouvemens recalignes y de manière que les espaces qu^Hs parcourent , divises respectivement par les distances des points ^ dans leurs nouvelles positions, à un plan fia;e, soient proportionnels aux temps y le centre des moyennes harmoniques de ces points y pris par rapport à ce plan , parcourra une ligne droite.

(217) Supposons^ dans les équations ci-dessus ^ que les points A\ B'^ C... soient à l'infini y il viendra

Zi • ta' ^ t '

ce qui prouve que :

Si des points situés dans V espace prennent tous des mouvemens rectilignes y de manière que les valeurs inverses de leurs distances à un plan fixe soient toujours proportionnelles aux temps y le centre des moyennes harmoniques de ces points y par rapport au plan, décrira une ligne droite.

§ \. Propriétés nouvelles des surfaces géométriques,

(218) Nous avons démontré ^ dans nos applications du principe de dualité : que , Si, par une droite prise arbitrairement dans un plan fixe y on mène les plans tangens à une sur/hce géométrique ,. leurs points de contact avec la surface ont toufours pour centre des moyennes harmoniques y par rapport au plan y nn même point de V espace y quelle que soit cette droite. Cette proposition tlonne lieu, d'après les théorèmes du $ YIII^ à cette autre propriété générale des surfaces géométriques :

Si par une droite , prise arbitrairement dans un plah fix.ê, on mène les plans tangens à une surface géométHque y la somnie des

distances de leurs points de contact avec la surface , à un plan transversai quelconque , divisées respectivement par les distances de ces points au plan fixe , sera une quantité constante ^ quelle que soit la droite prise dans le plan fixe.

(219) Si le plan transTersal est à Finfini^ le théorème devient le suivant :

Si par une droite , prise arbitrairement dans un plan fixe ^ on mène les plans tangens à une surface géométrique, la somme des valeurs inverses des distances de leurs points de contact avec la surface j au plan fixe^ sera constante, quelle que soit la droite prise dans ce plan.

(220) Si c'est le plan fixe qui est à l'infini^ le centre des moyennes harmoniques des points de contact devient leur centre des moyennes distances, elle théorème (218) exprime une propriété générale des surfaces géométriques que nous avons déjà démontrée. (I''^ Partie^ art. 68).

(221) Ces théorèmes ont également lieu pour une courbe géométrique plane ^ ou a doublé courbure.

(222) Us s'appliquent aussi aux surfaces coniques. Yoici ce qu'ils deviennent dans ce cas.

Que dans le théorème général (218) on suppose que la droite prise dans le plan fixe^ tourne autour d'un point de ce plan; les plans tangens à la surface^ menés par cette droite^ seront tangens au cône qui a ce point pour sommet et qui est circonscrit à la surface; et si l'on suppose que le plan transversal passe par ce points le rapport des perpendiculaires abaissées du point de contact d'un des plans tangens à la surface sur le plan transversal et sur le plan fixe sera égal au rapport des sinus des angles que l'arête du cône qui passe par ce points fait avec ces deux plans ; on a donc cette propriété générale des cônes géométriques :

Étant menés deux plans fixes par le sommet cPun cône géométrique, si par une droite prise dans le premier plan et passant par le sommet du cône , on mène à cette surface tous ses plans tangens; la somme des sinus des angles que les arêtes de contact feront avec

le second plan, divisés respectivement par les sinus des angles que ces arêtes font avec le premier plan , sera constante, quelle que soit, dans le premier plan, la droite par laquelle on a mené les plans tangens.

(223) Par la considération du cône supplémentaire, formé par les perpendiculaires aux plans tangens du premier cône^ on conclut de ce théorème cette autre propriété des surfaces coniques :

Étant menées deux droites fixes par le sommet dun cône géométrique, si autour de la première on fait tourner un plan transversal et qu^on conçoive les plans tangens au cône suivant les arêtes comprises dans ce plan , dans chacune de ses positions, la somme des sinus des angles que ces plans feront avec la seconde droite, divisés respectivement par les sinus des angles quHls feront avec la première , sera constante pour toutes les positions du plan transversal.

(224) En appliquant aux surfaces du second degré, et particulièrement aux surfaces coniques^ les théorèmes généraux de ce paragraphe, on obtient diverses propriétés nouyelles de ces surfaces.

Si l'on prend une surface de révolution ayant un foyer, et que l'on observe que la distance de chaque point de la surface au plan directeur est proportionnelle à la distance de ce point au foyer, le théorème (218) exprimera la propriété générale des surfaces de révolution que nous avons démontrée dans nos applications du principe de Dualité (5 XXIII, art. 133). Ainsi l'on voit que cette propriété, qui paraissait d'un genre tout particulier aux surfaces du second degré de révolution , dérive d'une propriété très-générale des surfaces géométriques, comme nous l'avions dit alors.

(225) Les deux théorèmes (222 et 223) donneront diverses propriétés des cônes du second degré, lesquelles seront applicables immédiatement aux coniques sphériques, et plusieurs correspondront à des propriétés connues des coniques planes.

Et si le cône est supposé de révolution, on aura diverses propositions concernant un petit cercle tracé sur la sphère. Nous énoncerons

les qaatre suivantes qui sont assez simples, et qui nous paraissent nouvelles :

Un petit cercle étant tracé sur la sphère;

1^ La somme des sinus des arcs menés par les extrémités dun diamètre quelconque du petit cercle , perpendiculairement sur un grand cercle fixe y sera constante;

2^ La somme des sinus des distances dun point fixe de la sphère aux arcs de grands cercles tangens aux extrémités dun diamètre du petit cercle, sera constante;

3® Si, par un point quelconque pris sur un grand cercle fixe^ on mène deux arcs tangens au petit cercle, la somme ou la différence des valeurs inverses des sinus des distances des points de contact , au grand cercle fixe , sera constante /

Ce sera la somme si le grand cercle fixe ne rencontre pas le petit cercle proposé; et la différence s'il le rencontre.

4® Si autour dun point fixe on fait tourner un arc transversal qui rencontre le petit cercle en deux points , et qu^on mène les arcs tangens en ces points , la somme ou la différence des valeurs inverses des sinus des distances de ces arcs tangens , au point fixe , sera constante.

Ce sera la somme si le point fixe est pris dans Tintérieur du petit cercle, et la différence s'il est pris au dehors.

$ XL Généralisation du théorème de Newton sur le rapport constant du produit des abscisses au produit des appliquées, dans une . courbe géométrique.

(226) Le théorème de Newton, appliqué aux surfaces, consiste en ce que : Dans toute surface géométrique , de quelque point de Vespace qu^on mène deux transversales parallèles à deux axes fixes , le rapport des produits des segmens faits sur ces deux transversales , entre ce point et la surface, sera constant. ToH. XI. 92

Ainsi soit M ce points et soient A^ A% A'%... et B^ B% B''.... points où les deux transversales rencontrent la surface^ on aura

les