CHAPITRE n

BEUXI^HE ÉPOQUE.

§ 1. L'état de stagnation où languirent les lettres^ chez les Arabes et les autres nations^ après la destruction du musée d'Alexandrie^ dura près de mille ans; et ce ne fut que vers le milieu du XV® siècle que la Géométrie^ suivant le mouvement général des sciences^ reprit faveur.

Ses progrès furent lents d'abord; mais néanmoins les conceptions des géomètres ne tardèrent point à prendre un caractère de généralité et d'abstraction qu'elles n'avaient point encore eu jusqu'alors. Chaque méthode^ en effets ne comportait rien de général^ et se bornait à la question particulière qui y avait donné lieu; chaque courbe connue^ et le nombre en était très-restreint^ avait été étudiée isolément^ et par des moyens qui lui étaient tout spéciaux^ et sans que ses propriétés, et les procédés qui y avaient conduit^ servissent à découvrir les propriétés d'une autre courbe. Nous citerons^ par exemple, le fameux problème des tangentes, qui fut résolu pour quelques courbes, telles que les coniques et la spirale d\\rchimède, par des considérations profondes, mais essentiellement différentes entre elles, et qui ne donnaient aucune ouverture pour la solution du même problème appliqué à d'autres courbes.

La méthode d'exhaustion, qui reposait sur une idée mère tout-à-iait générale, n'ôta point à la Géométrie son caractère d'étroitesse et de spécialité, parce que cette conception y manquant de moyens géné-

raux d'application, deyenait, dans chaque cas particulier, une question toute nouvelle, qui ne trouvait de ressources que dans les propriétés individuelles de la figure à laquelle on l'appliquait. Cette méthode néanmoins fait beaucoup d'honneur aux géomètres de l'antiquité, parce qu'elle est le germe d'une suite de méthodes de quadratures qui, depuis, ont fait, dans tous les temps, l'objet des travaux des plus célèbres mathématiciens, et dont le but final, et nous pouvons dire le triomphe, fut l'invention du calcul infinitésimal.

Ces considérations, qui tendent à faire ressortir la différence du spécial au général, du concret à V abstrait y qui distingue la Géométrie jusqu'au XV® siècle, de la Géométrie postérieure, nous portent à regarder cette première époque comme formant les préliminaires de la science.

Le caractère de généralité et d'abstraction, que prit ensuite la Géométrie, s'est prononcé de plus en plus dans les époques suivantes, et fait aujourd'hui une différence immense entre la Géométrie moderne et celle des Anciens.

§ 2. Les principales découvertes de la Géométrie, à sa renaissance , sont dues à Yiète et à Kepler, qui sont à plusieurs titres les premiers auteurs de notre supériorité sur les Anciens. ( Voir la Note XIT). ▼lÈTE, Yiète, après avoir complété la méthode analytique de Platon, par

l'invention de V algèbre, ou logistique spécieuse, destinée à mettre cette méthode en pratique dans la science des nombres, eut encore la gloire d'introduire cet instrument admirable dans la science do l'étendue, et d'initier les géomètres, par une construction graphic[ue des équations du second et du troisième degré, dans l'art de représenter géométriquement les résultats de Talgèbre; premier pas vers une alliance plus intime entre l'algèbre et la Géométrie, qui devait conduire aux grandes découvertes de Descartes, et devenir la clef universelle des mathématiques.

On doit à Viète la doctrine des sections angulaires, c'est-à-dire la connaissance de la loi suivant laquelle croissent ou décroissent les sinus, ou les cordes des arcs multiples ou sous-multiples. La première

idée d'exprimer Faire d'une courbe par une suite infinie de termes se trouve aussi dans les ouvrages de ce grand géomètre.

Yiète n'était pas moins profond dans la Géométrie pure des Anciens que dans l'analyse algébrique. On lui doit le traité d'Apollonius De TactionibuSy qu'il a restitué sous le titre â^ Apollonius Gallus. C'est là qu'il résolut 9 le premier^ le problème du cercle tangent à trois cercles donnés dans un plan^ qui occupait alors les géomètres^ et leur présentait des difficultés. Le célèbre Adrianus Romanus ne le résolvait que par l'emploi de deux hyperboles; ce qui était une faute contre les règles d'une bonne méthode ^ puisque la ligne droite seule devait suffire : aussi a-t-elle été relevée par Viète {Opéra Vietœ, pag. 325, édition de Schooten; 1646). Les plus grands géomètres ont continué^ depuis^ de s'occuper de ce problème^ et en ont donné différentes solutions^ parmi lesquelles on distingue celles de Descartes ^ de Newton % de Th. Simpson^ de Lambert^ d'Euler^ de Fuss.

Mais ce problème n'a plus offert aucune difficulté aux méthodes récentes^ qui en ont fourni des solutions incomparablement plus élégantes et plus faciles^ en théorie et en pratique , que toutes les autres ^, et il ne doit plus aujourd'hui sa célébrité qu'aux grands noms qui brillent dans son histoire '.

On remarque surtout^ dans les écrits géométriques de Yiète ^ une

> On troaye nne solution analytique du problème en question dans VÂrithméiique univer* telle (prob. 47) , et une solution purement géométrique dans le I" livre des Principes de la philosophie naturelle (lemme 16). Gelie-ciest fondée sur la considération des deux byperboles d*Adrianus Romanus ; mais Newton n*a pas besoin de les construire , pour trouver leur point d'intersection. 11 détermine deux droites qui doivent se couper en ce point.

2 On peut même généraliser la question , en prenant certaines sections coniques au lieu de cercles; et les constructions conservent leur simplicité (voir la Note XXVIII, où la question analogue sera traitée pour des sphères , et plus généralement pour des surfaces du second degré ).

* M. Camerei^ a publié sur ce problème , il y a une quarantaine d'années , un livre intéressant, à la suite duquel il a reproduit V Apollonius Gallus de Yiète ; voici le titre de cet ouvrage, qui indique les différentes parties dont il se compose : Apollonii de Taciionihus quœ super^ tuniy ac maxime Lemmata Pappi in hos libros grœcè , nunc primum édita e codicibus mscptis , cum Vietœ librorum Apollonii restitutions , adjectis observationibus , computationibus , ac prohhmatis Apolhniani kistoria. Gothœ 1795, in-8<».

partie intitulée Vartorum de rébus mathematicis responsorum liber VIII j divisée en vingt chapitres^ dont les principaux traitent de la résolution des triangles sphériques^ de la duplication du cube et de la quadrature du cercle. Les tentatives des Anciens^ pour résoudre ces deux grands problèmes^ sont rapportées dans cet écrit avec une précision et une supériorité de savoir, qui font vivement regretter que les autres parties, qui ont du le précéder, ne nous soient pas parvenues*

La trigonométrie sphérique doit à Yiëte les plus utiles perfectionnemens; entre autres la résolution de quelques cas nouveaux des triangles, qui n'avaient point eu d'application dans Tastronomie, par exemple, celui oii il s'agit de trouver un angle par les trois côtés. Ces questions, qui complétaient la doctrine des triangles sphériques, ont conduit Viète à l'invention des deux formules analytiques générales qui comprennent tous les cas de la trigonométrie sphérique. Les deux autres, dont la première était contenue virtuellement, sans être énoncée expressément dans la trigonométrie des Grecs, avaient été découvertes par les Arabes, qui s'étaient beaucoup occupés de la trigonométrie.

§ 3. Nous devons surtout remarquer dans la trigonométrie de Viètc une idée neuve, et infiniment heureuse, qui a un rapport direct avec les nouvelles doctrines de la Géométrie; c'est la transformation des triangles sphériques en d'autres , dont les angles et les côtés répondissent d'une certaine manière aux côtés et aux angles des triangles proposés, (c Si des trois sommets d'un triangle sphérique, » dit-il, comme pôles, on décrit des arcs de grands cercles, le triangle ï) nouveau qui en résultera sera réciproque au premier triangle, tant » par les angles que par les côtés. » Ilâtons-nous de dire que ce triangle réciproque n'est pas précisément le triangle polaire ou supplémentaire j dans lequel les côtés sont les supplément des angles du triangle primitif, et les angles les supplémens des côtés : deux des côtés du triangle de Viète sont égaux aux angles du triangle proposé, et le troisième côté égal au supplément du troisième angle. De cette manière la parfaite réciprocité des deux triangles supplémentaires, d'où résulte cette dualité constante des propriétés des figures sphé-r

fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE- 55

riques^ n'a pas lieu dans les deux triangles de Yiète. Mais cette idée féconde de transformer ainsi les triangles^ pour certains cas de la trigonométrie^ n'en mérite pas moins d'être signalée^ comme étant le premier pas de l'esprit inyenteur^ et le premier gèrhie des méthodes générales de dualisation actuellement en usage.

Les géomètres qui écrivirent sur la Géométrie sphérique après Viète, s'emparèrent de cette heureuse innovation et transformèrent aussi les triangles sphériques; mais en conservant le triangle réciproque même de Viète. Tels sont Adrien Metius^ Magini^ Pitiscus, Neper et Gavalleri \ Gellibrand^ aussi^ fit de ces transformations; mais il parait n'avoir pas observé bien exactement les relations qui ont lieu entre les triangles correspondans.

La découverte du véritable triangle supplémentaire, qui devait résulter inévitablement de la doctrine de transformation de Yiète. est due à Snellius. Ce géomètre^ célèbre à plusieurs titres^ l'a exposée comme un principe général fort utile ^ et dont il a montré les usages^ dans son Traité de trigonométrie ^ qui parut en 1627 , après sa mort. (Proposition 8^ du livre IH. )

C'est sur ce principe deSnellius^ considéré d'une manière abstraite^ et non point seulement comme moyen particulier de résoudre quelques cas de la trigonométrie sphérique^ que repose la loi de dualité de la Géométrie de la sphère; loi qui a été connue depuis lors^ mais dont on n'a point aperçu la haute importance; car elle n'a jamais été pratiquée dans toutes ses conséquences^ et d'une manière systématique. Aussi la loi générale de dualité de F étendue, c'est-à-dire cette double face que présentent tous les phénomènes de l'étendue figurée^ qu'on aurait pu déduire immédiatement de la dualité des propositions sphériqueSy comme nous le ferons voir dans le cours de notre cinquième

' Il était difficile d'apercevoir dans la trigonométrie de Viète , les relations exactes qui ont liea entre ses deux triangles réciproques ; mai« elles sont présentées d*une manière bien précise , et qui ne laisse aucun doute , par Neper, dans son Mirifici logarithmorum cananis descriptio (in-4<^, 1614), et par Gayalleri, d'abord dans son Directorium générale uranometricum (in-4o, 1632} , puis dans son Traité de Trigonométrie (in4», 1643).

Epoque^ n'a-t-elle été aperçue que dans ces derniers temps ^ et par d'autres considérations plus sayantes et moins directes. sBPLEH, S 4. Kepler^ dans sa Nouvelle stéréométrie ^, introduisit le premier

1571-1631. Fusage de Vinfini dans la Géométrie; idée profonde, qui fut le second acheminement, après la méthode d'exhaustion, pratiquée si habilement par Archimède, aux méthodes infinitésimales. Kepler appliqua sa méthode à la recherche des yolumes des corps engendrés par la révolution d'une conique autour d'une droite , située dans son plan ; généralisation, alors importante, et qui offrait de grandes difficultés, des problèmes d'Archimède, sur les conoi'des et les sphéroïdes.

On doit aussi à Kepler une remarque heureuse, savoir que l'accroissement d'une variable, de l'ordonnée d'une courbe, par exemple, est nul à une distance infiniment proche du mammum ou du minimum; remarque qui contenait le germe de la règle analytique de maximis et minimis, qui illustra Fermât ^vingt ans plus tard.

Nous devons citer de Kepler sa belle méthode des projections, pour déterminer, par une construction graphique, les circonstances des éclipses de soleil pour les habitans de différens points de la terre* C'était, 200 ans avant l'invention de la Géométrie descriptive, une application ingénieuse de la doctrine des projections , comme on ferait aujourd'hui. Cette méthode a été suivie par les célèbres astronomes et géomètres Cassini, Flamsteed, Wren, Halley, et généralisée par Lagrange dans un mémoire où il est intéressant de voir avec quelle habileté l'illustre auteur de la Mécanique analytique savait aussi se servir des procédés de la Géométrie descriptive , vingt ans avant que cette production du génie de Monge eut vu le jour ^.

Les travaux de Kepler ouvrirent un vaste champ de spéculations nouvelles; et si cette tête philosophique, qui créa l'astronomie moderne,

^ Nova siereomeiria doliorumf etc. Accessit stereomeiriœ Archimediœ aupplementum y in-fo1., Lincii, 1615.

^ Le Mémoire de Lagrange a été lu à rAca'dcniie de Berlin en 1778 , et imprimé en allemand dans les Éphémérides (fe 1781. Il a paru en français dans la Connaissance des Temps pour 1819.

eut appliqué davantage les forces de son génie à la pure Géométrie^ cette science lui eût dû certainement des progrès considérables.

§ 5. Quelques années après que Kepler eut donné sa méthode pour déterminer les volumes des conoides^ une autre théorie célèbre de la même nature et destinée aussi à évaluer les grandeurs géométriques par leurs élémens^ la Géométrie des indivisibles de Cavalleri (publiée ea 1635)^ vint enrichir la science, et marquer l'époque des grands progrès qu'elle a fiaits dans les temps modernes. Cette méthode, propre principalement à la détermination des aires, des volumes, des centres de gravité des corps, et qui a suppléé avec avantage pendant cinquante ans au calcul intégral, n'était, comme l'a fait voir Cavalleri lui-même, qu'une application heureuse, ou plutôt une transformation de la méthode d^eshatistion,

$ 6. Nous devons placer entre les découvertes de Kepler et de Cavalleri la fameuse règle de Guldin, qui remonte, comme nous avons dit, à Pappus; mais qui était inaperçue, lorsque Guldin la découvrit à son tour, et s'en servît pour résoudre des problèmes difficiles et rebelles aux autres procédés. Mais cette méthode n'était point destinée, comme celles de Kepler et de Cavalleri, à reculer les bornes de la Géométrie.

§ 7. Le commencement du second tiers du XVII® siècle où nous arrivons, est l'époque des plus sublimes et des plus brillantes découvertes. Presqu'au même instant parurent Descartes, Fermât et Roberval, qui ouvrirent des voies nouvelles aux spéculations les plus relevées.

Ces trois hommes illustres se partagent la gloire d'avoir résolu, chacun d'une manière différente, un problème qu'aucun géomètre n'avait encore osé aborder dans sa généralité; celui des tangentes aux lignes courbes , problème a le plus beau et le plus utile » que Descartes eût désiré savoir; et qui, en effet, était le prélude nécessaire à l'invention du calcul différentiel.

Les anciens géomètres définissaient la tangente à une courbe une

droite qui^ ayant un point commun avec la courbe, était telle qu'on ne

pouvait mener par ce point aucune autre droite entre elle et la courbe.

C'est par ce principe qu'ils ont déterminé les tangentes dans quelques-

ToE. XL 8

CAY ALLER I , 1598-1647.

GOLDIIf , 1577 - 164S.

unes des courbes qu^ils ont connues. Mais le peu de ressources qu'oiSrait ce principe , força les géomètres modernes d'envisager les tangentes sous d'autres points de vue. Ils lès regardèrent comme des sécantes dont les deux points d'intersection sont réunis^ ou comme le prolongement des côtés infiniment petits de la courbe considérée comme un polygone d'une infinité décotes^ ou comme la direction du mouvement composé par lequel la courbe peut être décrite.

La première manière fut celle de Descartes et de Fermât, quoique leurs solutions fussent très- différentes l'une de l'autre; la seconde, qui est la plus usitée maintenant, a été introduite explicitement et définitivement par Barrov?, qui simplifia par cette idée la solution de Fermât; et enfin, la troisième est celle de Roberval *.

La solution de Descartes repose sur les principes de sa nouvelle Géométrie, dont nous parlerons plus tard, en en faisant l'origine de notre troisième Époque.

Nous allons d'abotd jeter un coup d'œil sur les travaux de Roberval, de Fermât et de quelques autres géomètres, leurs contemporains, qui contribuèrent en même temps qu'eux aux progrès inunenses que fit alors la Géométrie pure des Anciens.

noBERVAL, § 8. La méthode de Roberval, pour mener les tangentes, est basée

1602-1675. gm. ii^ doctrine des mouvemens composés, que Galilée avait déjà, quelques années auparavant, découverte et introduite dans la mécanique, mais sans en faire d'application à la Géométrie.

Roberval énonce distinctement en ces termes son principe :

(( Règle générale. Par les propriétés spécifiques de la ligne courbe (qui vous seront données), examinez les divers mouvemens qu^a le point qui la décrit à l'endroit où vous voulez mener la touchante : de tous ces mouvemens composés en un seul, tirez la ligne de direction du mouvement composé, vous aurez la touchante de la ligne courbe. »

1 Depuis , MaclaarÎD a repris la définition des Anciens dans son Traité des fluxions , comme étant la plus conforme à la rigueur géométrique qu'il voulait y observer ; et Lagrange l'adopta aussi comme principe de sa belle théorie de l'osculation des courbes dans son Traité des fonctions analytiques.

Cette méthode présente^ quant au principe métaphysique y une analogie remarquable avec celle des Fluxions, que Newton créa longtemps après. Mais elle n'eut pas entre les mains de Roberval toutes les conséquences dont elle était susceptible, et dont l'honneur était réservé à Newton , parce que le secours d'un procédé analytique uniforme, propre à la mettre en pratique, manquait alors. Néanmoins la conception de Roberval, neuve sous plusieurs rapports, et vraiment philosophique, assure à ce géomètre une place distinguée dans l'histoire des découvertes mathématiques.

Son principe, en effet, créait une nouvelle manière de considérer les grandeurs, et d'en découvrir les relations. Dans la Géométrie, jusque là, on avait supposé les grandeurs déjà formées, pour les comparer entre elles ou avec leurs parties. Roberval, remontant à la génération des quantités, introduisait dans la Géométrie les puissances qu'il concevait les engendrer, et des rapports entre ces puissances, il déduisait ceux qui avaient lieu entre les quantités elles-mêmes. La puissance qu'il imaginait former les grandeurs est le mouvement.

Les Anciens avaient connu la composition des mouvemens , ainsi que nous le voyons dans les questions mécaniques d'Aristote^ : de plus ils Tavaient aj^liquée à la Géométrie pour concevoir la génération de certaines ccfurbes. La manière dont Archimède décrivait Sa spirale, par la composition du mouvement circulaire et du mouvement rectiligne, et la description de la spirale sphérique de Pappus en sont des preuves. Mais ces géomètres n'appliquèrent ces considérations de mou- Tement qu'à quelques courbes particulières, et n'eurent point Fidée d'en faire, comme Roberval, un principe de génération de touttes les courbes, et surtout n'en firent point usage pour découvrir leurs propriétés.

^ Patet igitur, quotiescumque aliquid per diametrum duplice vi , in diversa iendenie , impelhiur^ illud neeessario ferri secundum rationem laterum, Quœst. mechan. , cap. II.

Amtote revient »ar ce principe dans sa 23i« question , pour montrer qae selon que les directions des deux mouvemens coraposans foitt Un angle plus grand ou plus petit , la quantité et la direction du mouvement résultant peuvent devenir très-différentes.

Le célèbre philosophe parle encore assez distincteihent du même principe , au chap. YIII du ]2« livre de sa Métaphysique.

Cette circonstance, que la méthode de Roberval comportait la plus grande généralité, mérite d'être remarquée à une époque où la Géométrie se réduisait encore à l'étude particulière de quelques courbes, considérées individuellement. C'est un des premiers exemples du passage des idées concrètes aux idées abstraites dans la science de l'étendue.

On a fait quelques fausses applications de la méthode de Roberval^ en observant mal le principe de la composition des mouvemens^ comme il est arrivé aussi quelquefois dans des questions de mécanique. Mais ces faits d'inattention ne portent aucune atteinte à la méthode, dont la règle est énoncée par Roberval d'une manière sûre, quoique démontrée d'un style peu facile, et dont les treize applications que l'auteur en fait à des courbes très-différentes ^ sont parfaitement exactes.

La conception de Roberval était à la hauteur de celles de Descartes et de Fermât, auxquelles elle ne le cédait que parce que celles-ci s'étaient aidées du secours puissant de l'analyse, sans lequel elles seraient restées stériles. Roberval avait su apprécier cet avantage des méthodes de ses deux illustres rivaux sur la sienne. Le jugement qu'il porta à ce sujet, dans une lettre adressée à Fermât, nous parait pouvoir être confirmé. Roberval, après avoir parlé de diverses applications de sa méthode, ajoute : ((Elle n'est pas inventée » avec une si subtile et si profonde Géométrie que la vôtre, ou celle » de M. Descartes, et partant elle parait avec moins d'artifice; en ré- )) compense elle me semble plus simple, plus naturelle et plus courte ; » de sorte que, pour toutes les touchantes dont j'ai parlé, il ne m'a » pas même été besoin de mettre la maii;i à la plume. » ( OEuvres de Fermai^ pag. 165.)

S 9. Roberval fut encore l'émule de Fermât dans toutes les questions

■ La parabole; l'hyperbole; l'ellipse; la oonchoîde de Nicomède; diverses autres conchoîdes ; le limaçon de Pascal ; la spirale d'Archiinède ; la qnadratrice de Dinostrate ; la cissoïde de Dioclès; la cycloide; la compagne de la cyeloîde, et la parabole de Descartes (courbe d»i troisième degré, que Descartes engendrait d'un raonyement continu, et dont il faisait usage dans sa Géométrie y pour la construction des équations du sixième degré).

des dimensions des figures^ et de leurs centres de gravité, qui touchaient de si près au calcul intégral actuel. Il avait imaginé, pour résoudre ces questions, une méthode analogue à celle de Cavalleri, mais qu'il présentait sous un point de vue plus conforme à la rigueur géométrique. Il intitula cette méthode, qu'il avait puisée, dit-il, dans une lecture approfondie des ouvrages d'Archimède, Traité des indivisibles. Il paraît certain qu'il la possédait avant que Cavalleri eût publié la sienne, et qu'il la gardait in petto y dans la vue de se procurer une supériorité flatteuse sur ses rivaux, par la diflBculté des problèmes qu'elle le mettait en état de résoudre. Il en résulta que tout l'honneur d'une aussi utile découverte resta à Cavalleri \

§ 10. La solution de Fermât, pour les tangentes des courbes, repose febmit, sur les mêmes principes que sa belle méthode De maximis et mini- 1590- 1663. mis, où il introduisait, pour la première fois, l'infini dans le calcul, comme Kepler l'avait introduit dans la Géométrie pure. Aussi cette méthode a fait regarder Fermât comme le premier inventeur du calcul infinitésimal.

Le passage suivant, extrait du Calcul des fonctions de l'illustre Lagrange, fait connaître d'une manière claire et précise Fesprit et le mécanisme des procédés de Fermât, et le lien qui les unit aux nouveaux calculs : a Dans sa méthode De maximis et minimis, il égale l'expression de la quantité dont on recherche le maximum ou le minimum , à l'expression de la même quantité dans laquelle l'inconnue est augmentée d'une quantité indéterminée. Il fait disparaître dans cette équation les radicaux et les fractions, s'il y en a, et après avoir effacé les termes communs dans les deux membres^ il divise tous les autres par la quantité indéterminée qui se trouve les multiplier; ensuite il fait cette quantité nulle, et il a une équation qui sert à déterminer l'inconnue de la question. Or, il est

' Le Traité des indivisibles ne parât , ainsi que la plupart des autres ouvrages de Roberval , que près de vingt ans après sa mort , dans le recueil intitulé : Divers ouvrages de mathématiques et de physique^ par MM. de P Académie royale des sciences; infol., 1693 ; puis en 1730 , dans le tome VI des anciens Mémoires de r Académie des sciences.

facile de voir au premier coup d'œil que la règle déduite du calcul différeutiel^ qui consiste à égaler à zéro la différentielle de l'expression qu'on veut rendre un maœimum ou un minimum ^ prise en faisant varier l'inconnue de cette expression^ donne le même résultat^ parce que le fond est le méme^ et que les termes qu'on néglige comme infiniment petits dans le calcul différentiel^ sont ceux qu^on doit supprimer comme nuls dans le procédé de Fermât. Sa méthode des tangentes dépend du même principe. Dans l'équatioh entre l'abscisse et l'ordonnée, qu'il appelle la propriété spécifique de la courbe, il augmente ou diminue l'abscisse d'une quantité indéterminée, et il regarde la nouvelle ordonnée comme appartenant à la fois à la courbe et à la tangente, ce qui fournit une équation qu'il traite comme celle d'un cas de maximum ou de minimum. On voit encore ici l'analogie de la méthode de Fermât avec celle du calcul différentiel; car la quantité indéterminée dont on augmente l'abscisse, répond à la différentielle de celle-ci, et l'augmentation correspondante de l'ordonnée répond à la différentielle de cette dernière. Il est même remarquable que dans l'écrit qui contient la découverte du calcul différentiel, imprimé dans les Actes de Leipzig du mois d'octobre 1684, sous le titre : Nova methodus pro mawimis et minimis ^ etc., Leibnitz appelle la différentielle de l'ordonnée une ligne qui soit à l'accroissement arbitraire de l'abscisse comme l'ordonnée à la soutangente; ce qui rapproche son analyse de celle de Fermât. * »

^ M. Poisson n*a pas ëté tout-à-fait aussi absolu que Lagrange dans le jugement qa*il a porté récemment dans cette grande question. L'impartialité que nous devons apporter sur ce point historique , où il s'agit de faire remonter a Fermât l'honneur d'une invention qui a répandu tant de gloire sur l'Angleterre et l'Allemagne , nous fait un devoir de rapporter ici les paroles de M. Poisson , qui d'ailleurs font connaître de la manière la plus lumineuse le principe de la méthode de Fermât, et la nuance précise qui existe entre elle et l'invention de Leibnitz. . A Fermât l'idée philosophique \ a Leibnitz l'instrument indispensable pour la mettre en pratique.

« A mesure qu'une grandeur s'approche de son maximum ou de son minimum , elle varie » de moins en moins , et sa différentielle s'évanouit lorsqu'elle atteint Tune ou l'autre de ces » valeurs extrêmes. En partant de ce principe , Fermât eut l'heureuse idée , pour déterminer M le maximum ou le minimum d'une quantité , d'attribuer à la variable dont elle dépend ,

L'opinion de Lagrangè^ sur la part qu'on doit donner à Fermât dans l'invention des nouveaux calculs^ a été celle aussi de ses illustres confrères Laplace et Fourier; elle avait déjà été émise ^ dans un temps oii l'on n'avait pas encore songé à revendiquer pour Fermât la gloire cpii lui est due, par d'Alembert % qui a écrit avec tant de profondeur et de sagacité sur la métaphysique de la Géométrie, et même par Buffon ^, traducteur du Traité des fluxions , et admirateur enthousiaste du grand Newton.

§ IL Fermât fut avec Pascal l'inventeur du calcul des probabilités, l'une des plus belles productions du XYII^ siècle*

Il fut sans égal daiis la théorie des nombres, où il possédait sans doute une. méthode simple qui nous est encore inconnue, malgré les grands perfectionnemens qu'a reçus l'analyse indéterminée; car les beaux théorèmes dont il ne nous a laissé que les énoncés, et qui ont occupé depuis les plus célèbres géomètres, n'ont été démontrés que successivement, à grand'peine et par des méthodes diverses.

> un accroîssement infiniment petit , et d'égaler à zéro raccroissement correspondant de cette » quantité , préalablement réduit au même ordre de grandeur que celui de la variable. C'est » de cette manière qu'il détermina la route de la lumière au passage d*un milieu dans un » autre , en supposant , d'après la théorie qu*il avait adoptée y que le temps de ce trajet » doit être un minimum. Lagrange le considère y pour cette raison y comme le premier inven- » teur du calcul difierentiel ; mais ce calcul consiste dans un ensemble de règles propres à » trouver immédiatement les différentielles de toutes les fonctions , plutôt que dans Tusage » qu'on fera de ces variations infiniment petites , pour résoudre telle ou telle espèce de pro- » blêmes $et sous ce rapport , la création du calcul différentiel ne remonte pas au delà de » Leibnitz, auteur de l'algorithme et de la notation qui ont généralement prévalu, dès l'ori- 1» gine de ce calcul , et auxquels l'analyse infinitésimale est principalement redevable de ses » progrès, n {Mémoire sur le calcul des variations, par M. Poisson , lu a l'Académie le 10 novembre 1831 , inséré dans le tom. XII des Mémoires de l'Académie des sciences).

^ « On doit à Descartes l'application de l'algèbre à la Géométrie , sur laquelle le calcul différentiel est fondé , et a Fermât la première application du calcul aux quantités différentielles j pour trouver les tangentes ; la Géométrie nouvelle n'est que cette dernière méthode généralisée. » (Art. GioHtTRiE de V Encyclopédie,)

^ « Fermât trouva moyen de calculer l'infini , et donna une méthode excellente pour la résolution des plus grands et des moindres ; cette méthode est la même, à la notation près, que celle dont on se sert encore aujourd'hui ; enfin cette méthode était le calcul différentiel si son auteur l'eût généralisée. » (Préface de la ti^aduction de la Méthode des fluxions de Newton.)

Malgré sa prédilection pour ces recherches numériques^ Fermât enrichit aussi la Géométrie de belles découvertes.

A rinstar d'Archimède^ qui avait donné la quadrature de la parabole, il carra les paraboles de tous les ordres ; il détermina de plus les volumes et les centres de gravité des paraboloïdes, et de plusieurs autres solides; et il découvrit les propriétés d'une spirale différente de celle d^Archimède, Il alla encore au delà de ce prince des géomètres de l'antiquité en résolvant, par une méthode purement géométrique et fort analogue à la méthode d'exhaustion, une question dontArchimède n'avait point laissé de traces, et que Descartes avait jugée audessus des efforts de l'esprit humain, la rectification absolue de la parabole cubique et de quelques autres courbes {De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione. Œuvres de Fermât^ pag. 89); mais, ce travail n'ayant été publié qu'en 1660, Fermât fut devancé dans la gloire de cette grande découverte, de la rectification d'une ligue courbe, par Neil et Van Heuraet.

C'était sa méthode De maximis et minimis qui mettait Fermât en état de résoudre la plupart de ces grandes questions. L'une des plus belles applications qu'il en fit, fut au phénomène de la réfraction de la lumière, qui avait élevé entre lui et Descartes un démêlé célèbre. Sa solution fut la confirmation de la règle trouvée par son illustre antagoniste, qu'il avait combattue jusque-là. Cette solution parut si belle, qu'elle lui fit partager avec Descartes la gloire d'avoir agrandi le domaine de la Géométrie, en introduisant cette science dans l'étude des phénomènes de la nature.

§ 12. Fermât excella aussi dans cette autre partie de la Géométrie, qui se rapporte à l'analyse géométrique des Anciens, et que nous avons appelée la Géométrie d'Apollonius.

Il rétablit les lieux plans de ce géomètre, suivant les énoncés laissés par Pappus. Il annonçait, dans une lettre adressée à Roberval, qu'il en avait trouvé beaucoup d'autres très-beaux et dignes de remarques; mais les deux hvres d'Apollonius seuls ont été imprimés, et nous sont connus.

D apprit à trouTer les lieux plans et solides^ par une méthode analytique et générale^ et à se servir de cette méthode pour la construction des problèmes par les lieux. C'était la méthode des coordonnées de Descartes^ que Fermât ayait lui-même conçue ayant que le célèbre philosophe eût mis au jour sa Géométrie.

Fermât étendit ensuite cette doctrine à la question difficile de la construction des problèmes géométriques en général^ par les courbes les plus simples. C'est dans ses recherches sur le degré des courbes nécessaires à la construction d'une équation quelconque^ qu'il fut conduit à ce principe général^ que Jacques Bemoulli démontra depuis dans les Actes de Leipzig de 1688^ en reprochant à la Géométrie de Descartes de l'avoir omis; savoir : qu'il suffît toujours que le produit des dimensions des courbes qu'on emploie ne soit pas moindre c[ue le degré de l'équation \

§ 13. Dans son traité De contactibus sphœricis, Fermât résolut le premier^ et complètement^ les problèmes sur les contacts des sphères^ comme Yiète avait fait pour les contacts des cercles dans son Apollonius Gallus.

Cette question lui avait été proposée par Descartes ^ qui dit^ dans ses lettres, l'avoir résolue par la ligne droite et le cercle; mais dont la solution ne nous est pas parvenue.

Le travail de Fermât est complet, et écrit d'un style pur qui en fait un modèle de bonne GéométriCs Nous devons dire pourtant qu'on a fait beaucoup mieux dans ces derniers temps ^. Yoici sous quel rapport :

1 De solutione problematum geameiricorum per curvas aimpltcùsimas , etc. Opéra varia , pag. 110.

^ On n'ayalt point, jusqu'au commencement de ce siècle, d*autre traité du contact des sphères que celui de Fermât. A cette époque cette question 6xa Tattention de quelques disciples de Monge, qui Tenvisagèrent sous un point de vue nouveau, qui se cassentait déjà de la généralité de méthodes et de conceptions, qui fait le caractère de la Géométrie de cet illustre maître. Ces premiers essais furent consignés en partie dans le second numéro du !•' volume de la Correspondance polytechnique; une courte analyse d'un Mémoire de M. Ch. Dupin, qui devait les compléter, parut plus tard dans le même recueil (tom. II, pag. 420) ; elle est de nature , par les résultats élégans et nouveaux qu'elle contient , à faire regretter vivement que ce célèbre académicien n'ait pas publié son travail. On doit à M, Gaultier, professeur au Con-

ToM. XI. 9

66 fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

ce traité contient^ outre le problème principal de la sphère tangente à quatre sphères données^ quatorze autres problèmes ^ qui ne sont au fond que des cas particuliers de celui-là^ mais que l'on est obligé de résoudre successivement^ en s'élevant de Tun à l'autre y pour enfin arriver^ par cette voie progressive^ au problème finale dont la solution est élégante et facile^ mais ne comprend pi» celles des cas particuliers de la question^ et se ramène^ au contraire^ à l'un de ces cas particuliers. La Géométrie moderne procède différemment; elle donne tout d'un coup la solution du problème général; et cette solution s'applique à tous ces cas particuliers^ par lesquels Fermât avait du passer. On conçoit tout ce qu'a de satisfaisant une telle généralité de conception et de méthode 9 et l'on y reconnaît de véritables progrès dans la science. Qu'on nous permette d'ajouter que l'on peut^ sous un autre point de vue^ apporter une nouvelle sorte de généralisation dans cette matière^ en substituant aux quatre libères ^ quatre surfaces du second degré semblables entre elles ^ et plus généralémoit encore quatre surfaces du second degré quelconques^ pourvu qu'elles soient inscrites toutes les quatre dans une même surface du même degré; et l'on &it voir que ce problème et sa solution comprennent^ comme corollaire^ le cas des quatre sphères. ( Voir la Note XXVIII. )

serratoire des arts et métiers , d'avoir rq;>ris cette question , qu'il a traitée avec une généralité tout-li-fait nouvelle et satisfaisante. Des méthodes plus récentes ont encore donné uu nouveau degré de simplification à cette matière. Les unes sont purement descriptives , c'est-à-dire qu'elles ne considèrent aucune relation de longueur de lignes , et ce sont les plus générales et les plus simples. Parmi les autres , qui exigent la mesure et la composition de certains rapports de lignes 9 on distingue celles que le célèbre Pergola et son savant disciple M. Flauti, ont données dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Naples» ( F'oir aussi la Geometria di sito de M. Flauti, seconde édition, ann. 1821, pag. 156.)

La question de la sphère tangente à quatre autres, est une de celles où la Géométrie a eu pendant long-temps l'avantage sur l'analyse. Ëuler en avait présenté , en 1779 , à l'Académie de Pétersbourg , deux solutions analytiques , qui ne parurent qu'au commencement de ce siècle dans le Recueil de cette Académie pour les années 1807-1808 (imprimé en 1810). Camot déjà en avait indiqué une solution analytique dans sa Géométrie de position {fi. 416), mais sans en effectuer les développemens qui l'auraient conduit à une équation du second degré. Ce fut , de nos jours, M. Poisson qui résolut, le premier , complètement cette question par le calcul. (Bulletin de la Société philomatique , ann. 1812, pag. 141.) Peu de temps après.

Cette comparaison de la solution de Fermât aux solutions modernes ne paraîtra peut->étre pas déplacée ici^ comme montrant bien la nature des progrès que la Géométrie a faits ^ et de ceux auxquels elle doit tendre, même dans les questions où l'on se borne trop souvent à admirer les productions des grands géomètres, sans oser supposer que la perfectibilité de la science puisse leur porter atteinte.

' S 14. Fermât avait commencé et promis la restitution des porismes d'Ettclide, en donnant à ce mot un autre sens que celui qui a été généralement adopté depuis, d'après R. Simson. Mais, si le célèbre géomètre écossais a deviné et rétabli la forme des énoncés des porismes, Fermât avait peut-être aussi pénétré, et non moins heureusement, dans ce mystère, en concevant le but, la destination et la haute utilité qu'Euclide avait assignés à son Traité des porismeê. Mais Fermât s'exprime à ce sujet si succinctement, qu'il a peutêtre fallu trouver à priori les idées et les intentions que nous croyons apercevoir dans sa manière de considérer les porismes; et nous devons remettre à un autre moment le développement de notre opinion sur ce sujet.

Cinq théorèmes que Fermât a laissés, comme exemple ou spécimen des porismes, nous font regretter qu'il n'ait pas donné suite à son travail. Le troisième surtout de ces porismes, aurait mérité de fixer l'attention des géomètres, comme étant certainement Tun des plus beaux et des plus féconds de toute la théorie des coniques. C'est en effet précisément le fameux théorème de Desargues, sur l'involution de six points, si connu dans la Géométrie récente. Un autre porisme, que Fermât avait proposé à démontrer à Wallis, est un corollaire de ce théorème général appUqué à la parabole \

Fermât avait promis non-seulement la restitution des trois livres des

MM. Bînet et Français en ont donné aussi des solutions analytiques différentes ( 17* cahier du Journal de Vécole polytechnique , et tom. 111 des Annales de mathématiques ).

^ R. Simson a emprunté de Fermât ces deux belles propositions , et les a démontrées , la première dans son Traité des porismes, sous le n« 81 , et l'une et Tautre dans son Traité des sections coniques , livre 5«, propositions IS et 19. La seconde, celle qui concerne la parabole y a aussi été reproduite par Ozanam , dans son Dictionnaire de mathématiques , à Tart. Pobishis.