AV • D'A

on peut substituer le rapport anharmonique des quatre plans menés par le côté BC du triangle ABC, et par les quatre points A', D', a', A" respectivement. Aux deux autres rapports anharmoniques qui entrent dans l'équation ^ on substituera pareillement les rapports anharmoniques de quatre plans : ces rapports s'expriment entre les sinus des angles que les plans font entre eux. Maintenant si l'on considère que les sinus relatifs aux plans qui passent par les points D', £', F', sont constans, et qu'on peut les comprendre dans les coefficiens de l'équation, on aura une équation entre les sinus des inclinaisons des trois plans a'BC, i&'CA, c'AB, sur le plan ABC et sur les trois plans fixes A"BC, B"CA, C'AB; ceux-ci forment avec le plan ABC un tétraèdre fixe ; on a donc ce théorème :

Étant donné un tétraèdre y si par les trois arêtes à la base on mène trois plans ^ de manière que les rapports des sinus de leurs inclinaisons sur la base^ aux sinus de leurs inclinaisons sur les faces adjacentes respectivement aux trois arêtes^ aient entre eux une relation du degré n, le lieu géométrique du point d intersection des trois plans sera une surface de tordre n.

Et réciproquement.

(247) Le rapport des sinus des inclinaisons d'un plan mené par une arête d'un tétraèdre sur les deux faces adjacentes, est égal au rapport des perpendiculaires abaissées d'un point de ce plan sur ces deux faces ; le théorème donne donc le suivant :

Étant donné un tétraèdre ^ si Von prend dans V espace un point qui soit tel que ses distances à trois faces du tétraèdre étant divisées

par sa distance à la quatrième face ^ les trois quotiens aient entre eux une relation constante du degré n^ ce point aura pour lieu géométrique une surface de Vordre u. Et réciproquement.

(248) Ainsi soient r, r^, r"^ r"', les distances d'un point de Fespace aux quatre faces du tétraèdre, on aura entre les trois rapports

une relation du degré n y

Multipliant tous les termes par r'" on aura une équation homogène du degré n, entre les distances r^ r'^ r^\ r'".

Ainsi :

Quand un point est pris de manière que ses distances à quatre plans fixes aient entre elles une relation constante du degré n^ ce point a pour lieu géométrique une surface de F ordre n.

Et réciproquement, étant donnés une surface géométrique de r ordre n, et quatre plans fixes, les distances de chaque point de la surface à ces quatre plans auront toujours entre elles une certaine relation homogène du degré n.

(249) Ainsi, par exemple, étant donnés quatre plans dans l'espace, si de chaque point d'un cinquième plan on abaisse sur ces quatre premiers des perpendiculaires r, r^ , ?^^, r'^' , on pourra trouver trois quantités a, S, y, telles quon aura entre ces quatre perpendiculaires, la relation constante

Les trois quantités «, S, y, ne dépendront que de la position du cinquième plan par rapport aux quatre premiers , et varieront avec la position de ce plan.

Pareillement^ si de chaque point d'une surface du second ordre ^ on abaisse des perpendiculaires r, r', r", r'"^ sur quatre plans fixes, on pourra trouver neuf quantités constantes y a, b, c, d, e, f, g, h, î, telles quon aura entre ces perpendiculaires la relation constante

Ces théorèmes sont des porismes. Os sont propres à montrer la nature de ce genre de propositions; et font yoir comment nous avons pu dire, dans notre Note III sur les porismes d'Euclide, que la géométrie de Descartes avait remplacé cette doctrine.

(250) Les théorèmes démontrés dans ce paragraphe sont de ceux qui n'offrent pas de difficulté à la géométrie analytique; mais par cette voie il faut une démonstration particulière pour chacun d'eux, et on ne découvre pas les rapports intimes qui ont lieu entre eux. U est intéressant de voir que tous ces théorèmes, au nombre desquels se trouve le principe même de la géométrie analytique en usage, sont ou des expressions différentes ou des corollaires les uns des autres , et tous des conséquences d'un même et unique principe exprimé par Téquation (3).

Tous ces théorèmes s'appliquent d'eux-mêmes à le géométrie plane, et la plupart ont leurs analogues aussi dans la géométrie de la sphère, où il suffira de remplacer par des rapports de sinus d'arcs de grands cercles, les rapports de segmens rectilignes.

§ Xin. Généralisation du système de coordonnées en usage.

(251) Chacun des théorèmes contenus dans le paragraphe précédent peut servir de principe à un système de coordonnées analogue au système en usage, et dans lequel les trois variables qui détermineront chaque point de l'espace, s'élèveront, dans l'équation d'une surface, au degré même marqué par l'ordre de cette surface, c'est-à-dire

par le nombre de points (réels ou imaginaires) où la surface sera rencontrée par une ligne droite quelconque. De tous ces systèmes de coordonnées^ il en est un que nous allons examiner, parce qu'il conserve une analogie parfaite avec le système en usage, dont il est une généralisation très-simple.

Concevons que dans le théorème (232) les trois droites transversales soient les arêtes au sommet d'un tétraèdre OABG, dont la base soit le triangle ABC; et remplaçons les points a% i6', c', dans Téquation, par les points a^ b^ c, on aura ce théorème :

Si par les trois arêtes à la base ABC dun tétraèdre OABC , on mène trois plans qui rencontrent respectivement les arêtes opposées aux points a, b^ c, tels que l'on ait entre les trois rapports

Oa 06 ' Oc

Â^' Si' Ce

une relation constante du degré n^ le lieu géométrique du point ^intersection de ces trois plans sera une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

(252) Puisqu'on a , pour tous les points d'une surface, une relation constante

^Oa Ob Oc\

entre les trois rapports

Oa Oh Oc AÏ' bZ' C^'

il est clair qu'on peut, en prenant ces trois rapports pour variables indépendantes y représenter la surface par cette équation; c'est-à-dire (jue chaque système de valeurs de ces trois rapports qui satisfera à l'équation, donnera trois points a, b, c, sur les trois axes fixes OA, OB, OC, et les plans menés par ces trois points et par les côtés BC, CA, AB, de la base ABC, se couperont en un point qui appartiendra à la surface.

Appelons ces trois rapports les coordonnées de ce points et désignons-les par X, y, z; l'équation de la surface sera

F {xy y, ji) «= 0.

Si cette équation est du premier degré ^ elle représentera un plan; et en général si elle est du degré n, elle représentera une surface de Tordre n.

Deux équations du premier degré donneront tous les points d'une droite.

Ainsi une ligne droite sera représentée par les deux équations

4; = aji -4- a , y s= i&s -4- C.

En général, les formules qu'on aura à considérer dans ce système de coordonnées seront de même forme que les formules du système en usage; seulement les coordonnées courantes, au lieu d'être des lignes, seront des rapports, et leurs coe£Bciens seront respectivement égaux aux coefficiens des équations relatives aux mêmes questions dans le système usité, multipliés par des constantes (230).

(253) Les figures construites par ce système de coordonnées pouvant être considérées comme les homographiques des figures construites au moyen d'équations de même forme dans le système ordinaire, on voit sur-le-champ que tous les points de ces dernières figures qui se trouvaient à l'infini, ont pour correspondans, dans les premières, des points situés sur la base ABC.

Ainsi des équations qui représentaient des droites parallèles entre elles, représenteront, dans le nouveau système, des droites concourantes en un même point du plan ABC

Des équations qui représentaient des plans parallèles entre eux, représenteront des plans passant par une même droite située sur la base ABC.

Ainsi les deux équations

y — h» -^ C, ToH. XL 94

représentent une première droite; et ces deux -ci :

;F as OJB H- «', y =s: bz -^ C\

représentent une seconde droite qui rencontre la première en un point situé sur la base ABC Les deux équations

<M7 -4- by -4- CJK -t- ^'= 0..

OÙ les coefficiens des variables sont les mêmes ^ représentent deux plans qui se coupent sur la base ABC.

Les deux équations

A^» ^ By* -4- Çj5' ^- K = 0 ,

A(j?— «)' H- B(y— 0' H- C{z—ry -f. K' = 0 ,

représentent deux surfaces du second degré qui ont une courbe d'intersection sur le plan ABC; parce que, dans le système ordinaire, ces deux équations représentent deux surfaces semblables et semblablement placées, et qui, conséquemment, ont une courbe plane d'intersection (réelle ou imaginaire) située à l'infini.

(254) Mais ces rapprochemens entre les deux systèmes de coordonnées , qui sont propres à faire ressortir les propriétés caractéristiques du nouveau système, sont insuffisantes pour mettre en état d'en faire usage dans les questions auxquelles ne s'applique pas le principe d'homographie. Car on sent qu'il sera indispensable de connaître les rapports qui ont lieu entre les coefficiens de diverses équations et les élémens fixes du système.

Par exemple, on sait, dans le système ordinaire, ce qu'expriment les coefficiens a^ b, dans les équations

sp s=z az + a.

y = &JB + C,

d'une ligne droite; ce sont des tangentes trigonométriques. Il faudra

donc aussi savoir ce qu'expriment ces coefficiens^ et beaucoup d'autres^ dans le nouveau système.

Pour cela il faudra exposer le système directement et avec méthode, comme si celui d'où nous le déduisons n'était pas connu. Alors ce nouveau système de coordonnées pourra conduire à des résultats qui échapperaient à la méthode de transformation homographique.

(255) Nous avions déjà exposé succinctement le principe de ce nouveau système de coordonnées , dans la Correspondance mathématique de M. Quetelet (t. VI, p. 81, ^nnée 1830)j et nous en avons fait alors une application pour démontrer une des propriétés des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un point. Nous n'insisterons pas davantage ici sur cet objet. Nous allons seulement démontrer une certaine relation générale entré les trois coordonnées d'un point et la distance de ce point à l'origine; relation qui sera souvent utile dans les applications du système de coordonnées, et qui, du reste, est un théorème de géométrie qui mérite par lui-même d'être connu.

Soient les trois axes coordonnés ox, oy, oz ; par un point m, menons trois plans parallèles aux trois plans coordonnés; ils rencontreront les trois axes aux points a, b^ c; les segmens oa, oby oc y sont les coordonnées du point m : soit mené par le point o un axe fixe oK, et par les points m, a, b, c^ des plans parallèles entre eux; ils rencontreront l'axe oK en des points [jl, ayS^y; et l'on aura, comme on sait,

OfiL =s oa -H oC -H oy,

oa o€ oy

(1) -f- -f- — «asl.

OfJi OfA OfJS,

Faisons la figure homographique. Nous aurons trois axes o'x' , o'y', o'js', coupés en A, B, C, par le plan qui correspond à l'infini de la première figure. Si par un point m' et les trois côtés du triangle ABC on mène trois plans, ils rencontreront les trois axes aux points a', b^ y & ; que par une droite prise dans le plan ABC, on mène quatre

plans passant par les quatre points m\ a\ V y c\ ils rencontreront un axe o'K' en quatre points fi' ^ a! ,6' , y; et Ton aura, en appelant i le point où l'axe o'K' rencontre le plan ABC,

OfA

oV ,

iy'

ition

on a donc, à cause de l'équation (1),

(256) Cette équation exprime un théorème de géométrie très-général, qui est susceptible de plusieurs corollaires, à cause de l'indéter* mination de direction de l'axe o'IL' , et de position de la droite prise dans le plan ABC*

Si Taxe o'K' est mené parallèlement au plan ABC, l'équation deyient

Si, l'axe o'K^ conserrant une direction quelconque, on suppose que la droite prise dans le plan ABC soit à l'infini , on aura

w' ^ ka' ' iC "^ By • iy' ~ Ce' '

Soit h le point où la droite o'm^ rencontre le plan ABC; on aura aussi

oV o'm' i'fi' ~ hm' *

L'équation (2) devient donc

Â7 ■*■ BA' ■*■ Ce' "^ W'

Les rapports

o'a! ^ o'& A^' W' cT"'

sont les coordonnées du point m% dans le nouveau système de coordonnées y nous pouvons donc dire que :

La somme des coordonnées dun point est égale à la distance de ce point à V origine , divisée par sa distance au point où la droite qui le joint à V origine perce le plan de la base \

(257) Nous avons fait dériver le nouveau système de coordonnées du système en usage ^ par la transformation homographique. Si cette transformation était faite de manière que les trois points A^ B, C^ fussent à l'infini, alors on aurait un nouveau système semblable au premier; et Téquation (2) du paragraphe précédent fait voir que l'équation d'une surface étant F {x, y>s)>=' o dans le premier système j, l'équation de la surface correspondante dans le second système serait de la forme F (^^ /uy, vz) = o.

Ajoutons que les trois axes du nouveau système étant indéterminés de position, on peut supposer qu'ils se confondent avec les premiers, de sorte que les équations F (a?, y, ^,) = o et F {}s,iJtyyVz) = o, qui se rapportent à un même système d'axes coordonnés, représentent deux surfaces homographiques.

C'est un tel mode de déformation des surfaces dont nous avons fait usage dans la Correspondance polytechnique (t. III, p. 326, année 1815), pour appliquer immédiatement aux surfaces du second degré les propriétés de la sphère.

§ XrV. Démonstration géométrique de trois propriétés générales des surfaces du second degré.

(258) Dans les applications que nous avons faites du principe d'Ho-

1 Nous nous sommes servi de ce théorème, sans le démontrer alors ^ pour faire une appUcatîon du nouveau système de coordonnées {Correspondance mathématique de M. Quetelet, t, VI, p« 86). Ce théorème est un de ceux auxquels se prête la méthode sto^i^ue de J. Ceva. (Foir la Note VII de l'Aperçu historique, p. 296.)

mographie^ nous ayons eu souvent à considérer des points et des droites situés à l'infini, qui se transformaient^ dans la figure homographique, en des points et des droites situés dans un même plan. Mais on peut avoir à considérer^ à Tinfini, des figures plus compliquées; alors le principe d'Homographie sera d'un secours très-utile, parce qu'il oflBrira le moyen de représenter avec vérité l'image de ces figures dans un plan situé à distance finie. Tout c6 qui se passerait à l'infini, dans la question proposée, aura lieii, ou s'exécutera en réalité, sur ce plan. Il su£Bra donc d'étudier les propriétés de la figure située dans ce plan, et d'en transporter l'énoncé à la figure située à l'infini. Par là on saisira mieux l'ensemble et les rapports de toutes les parties d'une figure proposée dans l'espace; plusieurs de ses parties qui, situées à l'infini, échapperaient aux yeux et à l'esprit, deviendront palpables dans la nouvelle figure. On évitera des constructions qu'on serait obligé de concevoir idéalement sur des objets entièrement à l'infini ; et les raisonnemens, devenus plus faciles, seront en même temps plus lumineux, et plus convaincans.

Ainsi, par exemple, quand on a deux surfaces du second degré, si l'on veut connaître la nature des relations qui ont lieu entre les deux courbes d'intersection de ces surfaces par un plan situé à l'infini, il suffira de concevoir deux surfaces homographiques, et de les couper par un plan réel qui représentera l'infini de la première figure; les relations générales des deux (Sections, transportées aux deux surfaces primitives, deviendront des propriétés de ces deux surfaces.

Cette marche va nous conduire aisément à trois propriétés des surfaces du second degré; propriétés dont on n'a connu jusqu'ici que des cas particuliers, et que nous allons présenter dans une généralité nouvelle qui en fera mieux connaître la nature et la raison première.

Mais nous sommes obligé de rappeler préalablement les propriétés générales du système de deux coniques situées dans un même plan.

(259) Quand on a deux coniques quelconques dans un plan, il y a à considérer :

l^ Trois points A, B, C, qui jouissent de la propriété que tun quel--

conque et entre eux a même polaire y "par rapport à F une et à F autre courbe^ cette polaire commune est la droite qui joint les deux autres points.

Ces trois points sont toujours réels^ quand les deux coniques se coupent en quatre points^ ou ne se coupent pas du tout; et l'un d'eux seulement est réel^ quand les coniques ne se coupent qu'en deux points.

Quand les deux coniques se coupent en quatre points^ ces trois points A, B, C, sont les points de concours des côtés opposés^ et le point de rencontre des deux diagonales du quadrilatère qui a pour sommets les quatre points d'insertion des deux courbes,

2^ Deux droites L, L', toujours réelles sur lesquelles sont les points d'intersection (réels ou imaginaires)des deux courbes^ et qui jouissent de la propriété que si par un point pris sur Vune délies on mène quatre tangentes aux deux coniques , les droites qui joindront les points de contact de la première courbe aux points de contact de la seconde , passeront 'y deux à deux^ par deux points fixes. Nous avons désigné ces deux droites par le nom d^axes de symptose (Annales de mathéma" tiques^ avril et juillet 1828)^ pour les distinguer des autres sécantes communes aux deux coniques^ lesquelles^ deux à deux^ peuvent étte aussi y dans certaines circonstances^ des axes de symptose^ c'est-à-^dire, peuvent jouir de la propriété que nous venons d'éiioncer; mais qui peuvent bien aussi selon la disposition des deux coniques, quand elles sont des hyperboles, ne pas jouir de celte propriété,

3<) Enfin les deux points fixes dont nous venons de parler, qui sont des points de concours des tangentes (réelles ou imaginaires) communes aux deux coniques. La propriété caractéristique de ces points consiste en ce que une transversale menée par Vun deux y si elle rencontre Vune des coniques ^ rencontre aussi T autre; et les tangentes aux points de rencontre se coupent deux à deux sur les deux axes de symptose.

Ces deux points, qui, dans le cas de deux coniques semblables et semblablement placées, sont leurs centres de similitude, ont été appe*

lés par M. Poncelet^ dans le cas général de deux coniques quelconques, leurs centres cPhomologie. (Traité des propriétés projectives , p. 164.)

Quand les deux coniques se coupent en quatre points^ elles peuvent avoir trois systèmes de deux centres d'homologie , ou n'en avoir qu'un seul. Quand elles ne se coupent qu'en deux points y ou qu'elles ne se coupent pas du tout elles n'ont qu'un seul système de deux centres d^homologie. [Annales de mathématiques^ t. XIX, p. 30.)

(260) Quand les deux coniques sont les courbes d'intersection de deux surfaces du second degré par un même plan transversal, chaque plan mené par l'un de leurs deux axes de symptose, coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui ont évidemment aussi cette droite pour axe de symptose.

Si le plan transversal ne coupait qu'une des deux surfaces, l'une des coniques serait imaginaire ; mais les deux axes de symptose subsisteraient toujours; parce qu'il existe généralement trois systèmes de deux axes de symptose; ce qui prouve que l'un de ces systèmes est toujours réel, ainsi qu'il arrive dans toutes les questions qui admettent généralement trois solutions.

Il en serait de même si le plan transversal ne rencontrait aucune des deux surfaces, ou bien s'il en touchait une, ou s'il les touchait toutes deux.

Nous dirons donc que :

Quand on a deux surfaces du second degré et un plan transversal mené arbitrairement ,

l^ Il existe toujours dans ce plan deux droites L^ JJ , qui sont telles qu'un plan mené par Tune délies coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui ont cette droite pour Vun de leurs axes de symptose;

2^ Si ces deux coniques ont quatre points communs réels, les deux droites Z, L\ seront deux des six cordes communes aux deux courbes; les quatre autres cordes communes pourront jouir de la même propriété que ces deux premières ; mais ne jouiront pas nécessairement de cette propriété.

S^ Enfin ^ dans tous les autres cas de la section des deux surfaces par le plan coupant^ il n existera que deux droites L, Z'.

(261) Considérons maintenant^ dans le plan transversal^ les trois points A, By C^ relatifs aux deux coniques (259). L'un d'eux A est le point de concours des deux droites L^ L'; ainsi il est toujours réel ; il a la même polaire dans les deux coniques; cette droite a pour polaires dans les deux surfaces les deux droites qui vont du point A aux pôles du plan transversal^ par rapport aux deux surfaces respectivement.

Si les deux coniques se coupent en quatre points^ ou ne se coupent pas du tout^ les deux autres points B^ C^ sont toujours réels. Cela a encore lieu quand une des coniques est imaginaire; c'est-à-dire quand le plan transversal ne rencontre pas l'une des deul surfaces. En effet ^ ces deux points B^ C^ jouissent de la propriété de diviser harmonique-* ment le segment compris (sur la droite qui les joint) entre les deux axes de symptose des deux coniques^ et le segment compris dans une troisième conique quelconque qui passerait par les quatre points d'inter* section (réels ou imaginaires) des deux proposées. Si l'une des deux coniques ; ou toutes deux sont imaginaires, ces deux segmens ne pour* ront être superposés, parce que cela indiquerait que les deux axes de symptose rencontrent la troisième conique, ce qui est impossible parce que les points de rencontre appartiendraient aux deux premières, dont nous supposons , au moins l'une imaginaire ; donc ces deux segmens ne sont point superposés; et on sait qu'alors les deux points B, C, qui les divisent l'un et l'autre harmoniquement, sont toujours réels. {Traité des propriétés projectiles , p. 201.) Donc

Étant donnés deux surfaces du second degré y et un plan trans^ versai;

1^ Si ce plan rencontre la courbe d intersection des deux surfaces en quatre points^ ou ne la rencontre pas du tout^ il existera dans ce plan trois points^ tels que les droites menées de Vun quelconque d entre eux aux pôles du plan ^ pris par rapport aux deux surfaces, auront la même polaire dans les deux surfaces y cette polaire com^ mune sera la droite qui joindra les deux autres points; ToM. XL 95

2® Si le plan transversal rencontre la courbe dintersection des deu(û surfaces en deux points ^ âeux des trois points en question seront imaginaires j et le troisième sera toujours réel ; c* est-à-dire quil existera dans le plan un point tel que les deux droites qui le joindront aux pôles du plan, pris par rapport aux deux surfaces, auront la même polaire dans les deux surfaces. Cette polaire sera située dans le plan transversal.

Ces principes généraux vont nous conduire aisément aux théorèmes que nous avons en vue.

(262) En effets considérons les deux surfaces et le plan transversal^ et formons la figure homographique de manière que le plan transversal passe à l'infini ; ses pôles deviendront les centres des nouvelles surfaces; les droites menées de ces pôles au point A deviendront deux diamètres de ces surfaces qui seront parallèles entre eux; et leurs plans conjugués seront aussi parallèles entre eux^ parce qu'ils passeront par la droite correspondante à la droite BC^ laquelle sera à l'infini; il en sera de même des droites menées des deux pôles à chacun des deux points B^ C^ si ces points sont réels; dans ce cas la courbe d'intersection des deux nouvelles surfaces aura quatre asymptotes ou n'en aura aucune ; et dans le cas oii les deux points B^ G y sont imaginaires^ cette courbe d'intersection aura deux asymptotes. On conclut donc de là ce théorème y dans lequel nous supposons les deux surfaces concentriques, pour en rendre l'énoncé plus facile :

Quand deux surfaces du second degré sont concentriques, et, du reste, dans une position quelconque V une par rapport à Vautre, si leur courbe dintersection a quatre asymptotes, ou nen a aucune, il existe toujours trois droites diamétrales dont chacune a même plan conjugué dans les deux surfaces; ces trois droites forment, dans Vune et Vautre surface , un système de diamètres conjugués;

Et si la courbe dintersection des deux surfaces a seulement deux asymptotes, deux de ces trois droites diamétrales sont imuginaires , et la troisième est toujours réelle; de sorte quil existe toujours une

droite diamétrale , et Un en existe quune , qui a même plan conju-gué dans les deux surfaces.

(263) On conclut de là qae si Vune des deux surfaces est un elrlipsoïdcy le système des trois diamètres conjugués communs existe toujours; parce que la courbe d'intersection des deux surfaces ne peut avoir aucune asymptote.

Mais si les deux s^ir faces sont des hyperboloïdes ^ elles n ont plus nécessairement un système de trois diamètres conjugués communs ^ ainsi qu'on l'avait «supposé d'après 1 énoncé^ trop absolu^ du théorème de Monge. {Correspondance sur V école polytechnique^ t. 2, p. 319.)

(264) Reprenons les deux surfaces quelconques et le plan transversal^ et considérons les deux droites L, L'. Tout plan mené par l'une d'elles coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui ont cette droite pour axe de symptose.

Faisons la figure homographique de manière que le plan transversal passe à l'infini, les plans menés par l'une des deux droites L, L', deviendront des plans parallèles ; et les deux coniques suivant lesquelles chacun de ces plans coupera les deux surfaces, auront un axe de symptose à l'infini, ce qui prouve qu'elles seront semblables et semblablement placées. On a donc ce théorème :

Étant données deux surfasses du second degré quelconques^ plor* cées arbitrairement Vune par rapport à Vautre y il existe toujours deux séries de plans parallèles , dont chacun coupe les deux surfaces suivant deux coniques semblables entre elles et semblablement placées.

Si l'une des surfaces est une sphère on en conclut le théorème suivant, que Monge et Hachette ont démontré analytiquement , et dont M. Poncelet a donné une démonstration purement géométrique dans son Traité des propriétés prqjectives , p. 299 :

Dans toute surface du second degrés il existe deux séries de plans parallèles qui la coupent suivant des cercles.

(265) Remarquons que les deux droites L, V, se coupent au point A qui devient, dans la figure homographique, l'extrémité, à l'infini,

d'une droite diamétrale qui a même plan conjugué dans les deux surfaces (que nous supposons concentriques) ; les plans qui coupent les deux surfaces suivant des coniques semblables et semblablement placées sont donc parallèles à cette droite. Donc

Quand deux surfaces du second degré sont concentriques, les deux plans diamétraux qui les coupent suivant des coniques sem-blables et semblablement placées passent par Vun de leurs trois diamètres conjugués communs.

(266) Quand les deux coniques comprises dans le plan transversal ne se coupent pas^ les deux droites L^ L'^ ne rencontrent pas la surface; quand les deux coniques se coupent en deux points seulement^ l'une de ces deux droites passe par ces deux points y et la seconde ne rencontre pas les coniques ; et enfin quand les deux coniques se coupent en quatre points^ les deux droites L, L^^ passent par ces points pris deux à deux. On conclut de là que :

Quand la courbe d intersection de deux surfaces du second degré concentriques ri a aucune asymptote y les plans des deux séries de courbes en question dans le théorème (264)^ les coupent suivant des ellipses;

Quand la courbe d intersection des deux surfaces a deux asymptotes ^ les plans dune des deux séries les coupent suivant des ellipses ^ et les plans de Vautre série suivant des hyperboles; ces derniers plans sont parallèles aux deux asymptotes;

Et, quand la courbe dintersection des deux surfaces a quatre asymptotes^ les plans des deux séries les coupent suivant des hyper-boles; les plans dunp série sont parallèles à deux asymptotes et les plans de Vautre série sont parallèles aux deux autres asymptotes^

(267) Nous avons vu que quand les deux coniques comprises dans le plan transversal ont quatre points d'intersection réels ^ il peut y avoir^ en outre des deux axes de symptose L^ L'^ deux autres systèmes de deux droites semblables (259); donc

Quand la courbe dintersection de deux hyperboloîdes a quatre asymptotes y il peut exister six séries de plans parallèles qui les

coupent suivant des coniques semblables et semblablement placées; ces plans sont parallèles auof asymptotes prises deux à deux.

(268) Eufîn considérons les deux centres d'homologie des deux coniques suivant lesquelles un plan tlransversal coupe deux surfaces du second degré. Supposons que le plan transversal ait le même pôle dans les deux surfaces. Autour de ce pôle faisons tourner un plan tangent à la première surface^ sa trace sur le plan transversal sera tangente à la courbe d'intersection de cette surface par ce plan transversal ; et quand cette trace passera par l'un des deux centres d'homologie, elle sera aussi tangente à la section de la seconde surface par le plan transversal. Donc y par la droite qui joint l'un des deux centres d'homologie au pôle du plan transversal, on peut mener deux plans tangens communs aux deux surfaces. Donc cette droite jouit de la propriété que, si on prend un quelconque de ses points pour sommet commun de deux cônes circonscrits aux deux surfaces, par cette droite on pourra mener deux plans tangens communs aux deux cônes; et dèslors un plan quelcon^e coupera les deux cônes suivant deux coniques qui auront pour l'un de leurs centres d'homologie le point où ce plan coupera la droite en question. Nous dirons, par cette raison, que cette droite est un axe central dhomologie des deux cônes.

Faisons la figure homographique , de manière que le plan transversal passe à l'infini; nous aurons deux surfaces concentriques, et le théorème suivant :

Étant données deux surfaces du second degré concentriques ^ il existe toujours deux droites diamétrales telles que si on prend un point quelconque de Vune déciles pour sommet commun de deux cônes circonscrits aux deux surfaces, cette droite sera un axe central dhmnologie des deux cônes; c^ est-à-dire que tout plan coupera ces deux cônes suivant deux coniques qui auront un de leurs centres dhomologie au point où ce plan coupera cette droite.

(269) Si on prend le sommet commun des deux cônes à l'infini sur l'une des deux droites, ces cônes deviendront deux cylindres qui auront pour axe commun cette droite. Tout plan les coupera donc suivant

deux coniques concentriques dont le centre sera sur celte droite ; mais ce centre sera en même temps leur centre d'homologie , ce qui exige que les deux coniques soient semblables et semblablement placées. Les deux cylindres seront donc eux-mêmes semblables et semblablement placés. Donc

Quand deuoif surfaces du second degré sont concentriques ^ il existe deux droites diamétrales telles que si on circonscrit aux deux surfaces deux cylindres qui aient l'une de ces droites pour axe commun^ ces deux cylindres seront semblables et semblablement placés.

(270) Si l'une des surfaces est une sphère, il en résulte que : Dans toute surface du second degré qui a un centre, il existe deux

droites diamétrales, telles que si on circonscrit à la surface un cy^ lindre qui ait ses arêtes parallèles à Vune délies, les sections droites de ce cylindre seront des cercles.

(271) Quand les deux coniques comprises dans le plan transversal (259) se coupent en quatre points, elles peuvent avoir six centres

* d'homologie ; on en conclut que :

Quand la courbe dintersection de deux surfaces du second degré concentriques a quatre asymptotes , il peut exister six droites diormétrales telles que si on circonscrit aux deux surfaces deux cylindres qui aient Vune de ces droites pour axe commun, ces deux cylindres seront semblables et semblablement placés.

5 XV. Construction géométrique des figures homographiques. — Divers théorèmes de géométrie.

(272) Pour construire une figure homographique d'une figure proposée, on pourra prendre arbitrairement dans l'espace les cinq points a', b', &, d, e', qui devront correspondre respectivement, dans la nouvelle figure, à cinq points désignés a,b,Cyd,e,àe\A figure proposée.

Ces cinq points suffiront pour déterminer chaque point m' et chaque plan M' de la nouvelle figure^ qui correspondront respectivement à chaque point m et à chaque plan M de la proposée.

Considérons les d^ux tétraèdres abcdj a^b^&d. Menons dans le premier les deux plans ebc ^ mbc ^ qui rencontreront Taréte ad en e^ a; et dans le second^ les deux plans e'b'c' ^ m^b'c', qui rencontreront l'arête a^d en e', J. Les quatre points a',d, 6% a!, seront , dans la seconde figure^ les homologues des quatre points a ^c/» e^ a, de la première figure; on aura donc l'équation

Les trois points a*, d y z\ sont connus; cette équation fera donc connaître le point à. De sorte que le plan mené par l'arête b^& du tétraèdre a'b^&d et par le point cherché m' y sera déterminé. Par deux équations semblales on déterminera les plans qui passeront par les arêtes ac, aby respectivement, et par le point cherché. Ce point sera donc déterminé par l'intersection de ces trois plans.

(273) Maintenant déterminons le plan M' qui^ dans la seconde figure y correspond à un plan M de la première.

Soit a le point où ce plan rencontre l'arête ad y et soit J le point correspondant à a dans la seconde figure; ce sera le point où le plan cherché M' rencontrera l'arête a'd\ On aura entre les quatre points a, d, e^ a^ eiles quatre points a\ d y t\ J y la relation

aoL ^ as aV ^ aV

qui fera connaître la position du point a'.

On déterminera par deux équations semblables les points où le plan cherché rencontrera deux autres arêtes du tétraèdre a'b^c'd'. Ainsi ce plan sera déterminé.

Si le plan M de la première figure est à l'infini, la solution restera la même ; seulement, dans l'équation précédente , qui sert à détermi^

ner la position du point a! du plan cherché^ le rapport -5^ sera égal à l'unité.

Le problème de la construction géométrique des figures homographiques est donc résolu complètement.

(274) Ce mode de construction peut être exprimé par trois formules très-simples^ qui se prêteront à la discussion des différons cas qui peuvent se présenter^ et qui nous conduiront à divers théorèmes de géométrie qui nous paraissent nouveaux.

Reprenons Téquation

aoL €L^ a' CL aV

dans laquelle e et a sont les points où les deux plans ehc , mhcy rencontrent Faréte ad y et e', «', les points où les deux plans correspondans e'À'c'^ m/b^Cy rencontrent Faréte a^d. Écrivons-la sous la forme

Le rapport ^ • ^ est une quantité constante^ puisqu'il ne dépend

que de la position du point fixe e de la première figure et du point fixe e' qui lui correspond dans la seconde figure. Représentons ce rapport constant par l ; il viendra

Pareillement S et & étant les points où les deux plans mac^ mfa!é' rencontrent^ respectivement^ les deux arêtes hd, b^d, des deux tétraèdres^ on aura

[i étant une constante.

Et enfin y^ y', étant les points où les deux plans mah, m'a'b\ rencontrent^ respectivement^ les deux arêtes cd^ &d , on aura

^^^ ;5 = ^/dF'

y étant une troisième constante.

(275) De ces équations on conclut ce théorème général sur les figures homographiques :

Étant donnés deu(v tétraèdres qtielconques àbcd, a'b'c'd'^ si par chaque point dune figure donnée on mène trois plans passant par les trois arêtes bc^ ca^ ab, du premier tétraèdre^ et rencontrant respectivement les arêtes opposées en a^ 6^ y^ et que sur les trois arêtes a'd', b'd', c'd', du second tétraèdre, on prenne trois points a\& ^ y' y déterminés par les trois équations

aa a'a'

eb Cb'

yc yV

ad a'd' '

Cd ^ Cd' '

rd y'd' '

X, |u, V, étant trois constantes, prises arbitrairement;

Le point dintersection des trois plans «'b'c', e'c'a', y'a'b', appartiendra à une seconde figure qui sera homogiuphique à la première.

(276) Le rapport ^ est proportionnel au rapport des perpendiculaires abaissées d'un point quelconque du plan abc sur les deux faces abc, dbc du premier tétraèdre , car * et jo étant ces perpendiculaires, on à

aa $ sîn. (da^dbc) ad p sïn. (ad, abc)

Pareillement, le rapport ^ est proportionnel au rapport des perpendiculaires abaissées d'un point du plan ab^& sur les deux faces a'b'c' , db'& du second tétraèdre.

D'après cela, soient py q^ r, s,\es distances d'un point m de la première figure aux quatre faces du premier tétraèdre, et jp', q', r', s', ToM. XI. 96

les distances du point homologue m' de la seconde figure, aux quatre faces correspondantes du second tétraèdre^ les trois équations (a) se changeront en celles-ci :

De là on conclut ce théorème général :

Étant donnée une figure dans V espace, et étant pris deux tétraè-dres quelconques dont les faces se correspondent ^ne à une;

Si de chaque point de la figure on abaisse des perpendiculaires sur les quatre faces du premier tétraèdre, et qu'on prenne les rapports de la première aux trais autres;

Puis, quon cherche un point, tel qu'étant prises ses distances aux quatre faces du second tétraèdre, les rapports de la première aux trois autres soient respectivement dans des raisons constantes avec les trois premiers rapports, ce point, qui correspondra ainsi, dans toutes ses positions , aux points de la figure proposée, appartiendra à une seconde figure homographique à cette proposée.

(277) Maintenant conceyons le plan déterminé par les trois points

oLy^y y; le rapport ^ est égal à celui des perpendiculaires abaissées des points a, d, sur ce plan. Pareillement^ le rapport ^ est égal au rapport des perpendiculaires abaissées des points a', d, sur le plan J & y. D'après cela^ soient P^ Q^I^^ S^ les perpendiculaires abaissées des quatre sommets du premier tétraèdre sur un plan M et P', Q', R% S% les perpendiculaires abaissées des sommets du second tétraèdre sur le plan correspondant M' de la seconde figure^ on aura les trois équations

D'où l'on conclut ce théorème :

Étant donnée une figure dans t espace, et étant pris deux tétraèdres quelconques , dont les sommets se correspondent un à un ;

Si y pour chaque plan faisant partie de la figure, on forme les rapports de ses distances aux quatre sommets du premier tétraèdre^

Puis y q%£on mène un plan, de manière que les rapports de ses distances aux quatre sommets du second tétraèdre soient respecti-vement àtiw premiers rapports dans des raisons constantes , ce plan appartiendra, dans toutes ses positions , à une figure hotnpgna^ phique à la proposée.

(278) Reprenons les trois équations (a)

aa 7d

^ -Cd' '

Ces équations comprennent la construction complète des figures homographiques les plus générales. Car elles donnent les positions des troispointStf',e',y% correspondant respectiyement aux trois points «, 6^ ^; et ceux-ci déterminent un plan et un point de la figure proposée. Ce plan est celui des trois points ; et ce point est l'intersection des trois plans menés respectivement par ces trois points et par les arêtes bcy ca, abyàa premier tétraèdre. Les trois autres points «',§',/, déterminent semblablement un plan et un point de la seconde figure^ correspondant respectivement au plan et au point de la première.

Ainsi les trois équations serviront à la construction des points et des plans d'une figure homographique d'une figure proposée.

(279) Les quatre points a, b, c, d, qui sont les sommets du premier tétraèdre auquel on rapporte la figure proposée, peuvent être pris tout-à-fait arbitrairement dans l'espace, pourvu qu'ils ne soient pas dans un même plan; il en est de même des quatre points a', b', c', d, qui leur correspondent dans la figure homographique qu'on veut construire.

On pourra donner à ces divers points différentes positions qui sim-

plifieront les trois équations ci-dessus^ ou qui établiront entre les figures des relations de position particulières, propres à la transformation de certaines propriétés de grandeur métrique ou angulaire, de superficie ou de volume.

(280) Supposons le sommet d du premier tétraèdre situé à l'infini, les segmens ad^ ed, yd, seront infinis; les faisant entrer dans les con«* stantes ly fiy Vy les trois équations prendront la forme

' Ch

Cb'

(281) Mais il nous faut peut-être démontrer rigoureusement ces équations, c'est-à-dire faire voir que nous pouvions comprendre les segmens infinis dans les cofficiens. Pour cela reprenons l'équation

CM ^ ea (do! ^ t'a'

qui nous a servi (274) à démontrer les trois équations (a).

Le point d étant à l'infini, les deux segmens ad y ed, sont infinis, et leur rapport est égal à l'unité; l'équation se réduit donc à

eu» « » f »

^« • ^) ®st une constante indépendante de la position du point et de son homologue a' ; on a donc

«.--Xcon.t. = A — .

Ainsi il est prouyé que dans nos formules de construction des figures homographiques^ nous pouvons faire entrer les segmens infinis dans les constantes.

(282) D'après cela, supposons que le point c/ étant à Tinfini, auquel cas on a les formules {b), son point homologue d soit aussi à l'infini} les formules (a) deyiendront

Iâca = A. «V , yc sss y y'd ,

(283) Si, au contraire, les points c/, dy étant à distances finies, les deux plans abc , a^b^c^ sont l'un et l'autre à l'infini , les formules seront de la forme

yd^ V y*à\

Ces formules comprennent le mode de transformation par accroissement, dans des rapports donnés, des coordonnées des points d'une figure. Mais la transformation qu'elles donnent est plus générale que celle-ci, parce que les coordonnées de la seconde figure peuvent être comptées sur d'autres axes que celles de la figure proposée.

Nous consacrerons deux des paragraphes suivans ($$ XXIII et XXIY) à ce mode de déformation homographique, qui est susceptible de nombreuses applications.

(284) Si l'on suppose le point d à l'infini, et le plan a^Vc^ aussi à l'infini, les formules deviendront

(285) Toutes ces formules sont très-simples. Elles expriment divers théorèmes de géométrie qui seraient nouveaux et qui pourraient offrir quelqu'intérét ; mais comme ils ne sont que des corollaires du théorème général (275), nous nous dispenserons de les énoncer.

(286) Les formules (a) peuvent donner lieu encore à d'autres cas particuliers du mode général de construction des figures homo^raphiques, qu'on obtient en donnant aux sommets a' , b' , c', cF, du second tétraèdre^ différentes positions particulières par rapport au premier tétraède. Il est deux de ces cas dont nous ferons l'objet de deux paragraphes particuliers {§§ XYII et XXII) à cause de leur importance.

(287) Les formules (a') et (a") sont susceptibles aussi d'une discussion analogue à celle des formules (a)^ et de différons cas particuliers^ comme celles-ci. Mais nous n'entrerons pas dans cet examen^ qui n'offre aucune difficulté^ surtout si l'on a égard aux théorèmes (176 et 177) €[ui se rapportent à cette question.

(288) Le théorème (275) donne lieu à deux propositions de géométrie^ qu'on peut considérer comme indépendantes de la théorie des figures homographiques*

La figure construite dans le théorème (275) étant homographique à la figure proposée^ aux points de celle-ci^ qui seront sur un même plan^ correspondront des points situés aussi sur un même, {dan; on peut donc énoncer ce simple théorème de géométrie :

Étant donnée un tétraèdre SABC, et un plan mené arbitraire* ment dans V espace;

Si par chaque point de ce plan on mène trois plans , passant par les trois arêtes a la base ABC du tétrOfèdre, et rencontrant les arêtes opposées en a, S, y ^ et qu^on forme les rapports des segmens que ces points font sur ces arêtes, lesquels rapports sont

aS ^S rS «A' 75' yC'

Puis, qu'on ait un second tétraèdre quelconque SA'B'O, et quon

prenne sur ses trois arêtes au sommet trois points J ^ &, y\ t^ls que les trois rapports

soient , respectivement, aux trois premiers dans des raisons données et constantes^

Les plans menés par les trois points J , &, y\ et 'par les trois arêtes B'O, A'O , AB^ , respectivement, se rencontreront en un point qui aura pour lieu géométrique un plan.

(289) Les trois points «, S, y, dans le théorème (275), déterminent un plan appartenant à la figure proposée, et les points J y& ^y\ déterminent le plan correspondant dans la figure homographique ; donc, si le premier plan tourne autour d'un point fixe, le second tournera aussi autour d'un point; on en conclut donc ce théorème :

Étant donnés un tétraèdre SABC, et un point situé dune manière quelconque dans t espace,

Si autour de ce point on fait tourner un plan transversal, qui rencontre les trois a7*êtes au sommet SA, SB, SC, du tétraèdre, en trois points a, 6, y; et qu^on forme les rapports des segmens que ce plan fait sur ces arêtes, lesquels rapports sont

aS es yÔ 7\' CB' ï^'

Puis, qtHon prenne un second tétraèdre quelconque SAB'O , et qu^on mène un plan transversal qui rencontre ces arêtes au som-met S'A', SB' , S'C , en trois points a , S', y', tels que les trois rapports

a'S' C'S' y 'S' 7X'' CB'' y'C

soient aux trois premiers dans des raisons constantes, ce plan passera toujours, dans toutes ses positions, par un même point. (290) Ce théorème et le précédent, que nous venons de déduire

de la théorie des figures homographiques^ en renferment^ l'un et Fautre^ toute la doctrine. Si Tun ou l'autre de ces deux théorèmes était démontré à priori et directement^ nous en conclurions notre principe de déformation homographique^ comprenant les relations de description et les relations de grandeur des figures.

C'est l'un ou l'autre de ces deux théorèmes dont nous ayons voulu parler dans notre Aperçu historique sur les méthodes en géométrie (V® Époque^ § 28) , en disant que toute la doctrine de transformation des figures en d autres du même genre ^ reposait sur un seul et unique théorème de géométrie. Nous donnerons dans un autre écrite qui traitera du rapport anharmonique et de ses nombreuses applications , la démonstration directe et géométrique de ce théorème. De sorte que le principe de déform^ition homographique se trouvera démontré directement^ et indépendamment du principe de Dualité.

§ XYL Construction analytique des figures homographiques.

(291) La propriété des figures homographiques exprimée par le théorème (276) conduit à Texpression analytique la plus générale de ces figures^ dans le système de coordonnées de Descartes.

En effet, prenons trois axes coordonnés quelconques ox, oy, oss, auxquels nous rapporterons les deux figures; et soient

Ax H- By -+- C« — 1 ssss o,

A'x -^ B'y H- C'js —1=0,

A"ir ^ W'y ^ a'z — I = o,

A'"jr ^ B'"y -f- C"'« — 1 = o ,

les équations de quatre plans appartenant à la figure proposée; et

ax -H iy -4- c« — 1 = o,

ax -^ b'y -+- c'« — 1 = o,

les équations des quatre plans donnés qui doivent correspondre, dras la nouvelle figure, à ces quatre premiers, respectivement.

Soient X, Y^Z, les coordonnées d'un point M de la figure proposée^ et cp^ y^ z, celles du point m qui lui correspondra dans la figure cherchée. Il faut déterminer ces coordonnées x, y^ z^ en fonction de X, Y, Z.

Le rapport des perpendiculaires abaissées du point M sur le premier et le quatrième plan de la première figure^ est égal à

AX -f- BY -f- CZ — 1 A'"X -^ B"'Y ^ C'"Z — 1

X const. ;

la constante étant indépendante des coordonnées X^ Y^ Z^ et ne renfermant que les coefficiens A,B, C, et A'", B'", C", des équations des deux plans ^ et les quantités angulaires relatives aux axes coordonnés^ que nous supposons obliques pour plus de généralité \

Le rapport des perpendiculaires abaissées du point m{x^yy z), de la seconde figure, sur le premier et le quatrième plan de cette figure, aura une expression semblable à la précédente.

On aura donc, d'après le théorème (276), les trois équations suivantes, entre les coordonnées de deux points homologues dans les deux figures,

=S fA,

AX -I- BY H- CZ — 1 A'"X-f- B'"Y-f- C'"Z— r

A X -^ BT -f C Z — 1 • A'"B -^ B'"Y -f. C"Z — 1 '

A^^X -4- VY -f- C'Z — 1 A'"X + B'"Y -^ C'"Z — 1 '

De ces trois équations , on tirera les valeurs des trois inconnues x ,

' L'expression de la perpendiculaire abaissée d'un point {of' , y' , s'), sur le plan qui a pour équation

est

as -4-fty-4-cji — 1 = 0,

(as* -f- fty' -f- c«' — 1 ) |/l — coi.^ x,y — co«.3 SjZ — co« ^jf.z-^2 cos. s, y. co«. x^. co«. y^.

\/a^ $ïn.^y,M -4-6^ sin.^ z,s-^^ BÏn,^ x ,y -- Zab tin. y,£, sin. m^ coa. {zs,jsy) — 2ac sin. s,y. sin. m,y ooa. {ys,y£) — 26e tin. z^. tin. m^y cot. [xz^y).

To«. XI.

y y Zy qui déterminent la position du point m correspondant^ dans la seconde figure^ au point M de la proposée. Ainsi le problème est résolu.

(292) Les trois équations (1) renferment toute la théorie des figures homographiques. £n donnant des valeurs conyenables aux divers coefficiens qui y entrent , on exprimera par ces formules les différens modes de transformation particuliers. Mais nous n'entrerons point ici dans la discussion de ces formules^ qui ne peut offrir aucune difficulté, surtout si l'on prend pour base la discussion des modes de construction géométrique que nous avons donnée dans le $ précédent.

(293) La première figure étant donnée de forme et de position par rapport aux trois axes coordonnés y les douze coefficiens A, B, C^ A'^ B', C, A", B'S C", A''% B'", C", sont des quantités connues, et il n'y a d'arbitraires dans les formules (1) que les quinze coefficiens a, by Cy a\ b'y c'y «", A", c" y »'", i6"', c'" , X , /A ct V, qui servent à déterminer la forme de la nouvelle figure et sa position, dans l'espace, par rapport à la première.

Ainsi, pour effectuer la construction la plus générale des figures homographiques y tant par rapport à leur forme qtûà leur position dans l'espace y on a à disposer de quinze coefficiens arbitraires.

Mais si l'on fait abstraction de la position de la nouvelle figure par rapport à la première, et qu'on ne considère que sa forme, on n'aura à disposer que de neuf coefficiens. Car il faut six conditions, et par suite six coefficiens indépendans pour fixer la position d'une figure dans l'espace, comme on le voit par les formules du déplacement d'un corps solide, que nous avons données dans la note de la page 677. Il s'en suit que des quinze coefficiens ay b, Cy etc., six serviront à déterminer la position de la seconde figure dans l'espace , et les neuf autres à déterminer sa forme. Et en effet, cinq plans donnés, correspondans à cinq plans de la première figure, suffisent pour déterminer la seconde figure, quelle que soit leur position dans l'espace. Il suffit donc de chercher combien de données sont nécessaires pour déterminer la forme de la pyramide tronquée formée par ces cinq plans.

Or^ Fun d'eux coupe les quatre autres suivant un quadrilatère qu'on détermine par cinq conditions , et il reste à déterminer les quatre in* clinaisons de ces quatre plans sur le premier; ce qui se fait par quatre données. Il en faut donc^ en tout^ neuf. Ainsi, une figure étant donnée, pour construire une figure homographique de la forme la plus générale en faisant abstraction de sa position dans V espace, on a à disposer de neuf coefficiens arbitraires.

(294) Les valeurs des trois coordonnées x, y, z^ d'un point de la seconde figure, en fonction des coordonnées X, Y, Z, du point correspondant de la première figure, tirées des trois équations (1), seront de la forme

«'"X-^ r'YH- /"Z— 1'

Il n'est pas nécessaire de calculer les expressions àewyify z, pour vérifier qu'elles sont en effet de cette forme ; en voici une démonstration à priori.

Considérons les trois plans coordonnés yoz, zoWyXoy, comme appartenant à la seconde figure, et cherchons les plans correspondans dans la première figure; soient

as -4-Cy H-yj» — l=o, tf'j? -I- C'y -+- y'« — 1 = 0, a^'s ^ C'y ^- y"» — 1 == o,

leurs équations.

Concevons qu'on ait cherché le plan qui^ dans la première figure, correspond à l'infini de la seconde (273); et soit

son équation.

La distance du point m {x, y, z) de la seconde figure au plan aoy sera proportionnelle au rapport des distances du point M (X, Y, Z),

de la première figure, aux plans qui correspondent, l'un au plan xoy, et l'autre à l'infini; ce rapport est-

La distance du point m au plan yoz est égale à la coordonnée x multipliée par une constante; on a donc une équation de la forme

— «X ■»- CY -4- yZ — 1

On aura des valeurs semblables pour les valeurs de y et de z* C'est ce que nous voulions démontrer.

Ainsi les formules (2) expriment la construction des figures homographiques les plus générales, quant à leur forme et à leur position.

(295) Dans ces formules, les coordonnées des points des deux figures sont comptées sur les mêmes axes coordonnés. Si l'on voulait rapporter celles de la seconde figure à d'autres axes que celles de la première, on pourrait simplifier les formules.

Car regardons les trois axes ox, oy, oz, comme appartenant à la seconde figure, et soient OX, OY, OZ, les trois droites correspondant à ces axes dans la première figure; prenons -les pour trois nouveaux axes coordonnés auxquels se rapporteront les coordonnées des points de la première figure; soit

«X H- CY -t- o^Z — 1 = 0

l'équation du plan de cette première figure qui correspond à l'infini de la seconde; on aura, d'après le théorème (176) les trois équations

«X -H CY •»- rZ —

«'X + CY + yZ —

«X H- CY + yZ — J

X, |u, v, étant trois constantes.

Si Ton prend les trois axes coordonnés OX, OY, OZ, de manière que le plan ZOY soit parallèle au plan qui , dans la première figure^ correspond à l'infini de la seconde ^ l'équation de ce plan sera simplement

£t les formules seront

Telles sont les formules les plus simples qui expriment^ dans toute la généralité possible^ la construction des figures homographiques.

(296) Pour les figures planes^ les formules les plus générales ^ relatiyes à un même système d'axes coordonnés^ sont