X -^ CY — 1 «'X H- CT

(o) . . . . jT as <f. -rr rm rt v = f.

Ces formules ont été données par Waring pour transformer une courbe en une autre {Transformare unam curvam in aUeram) , dans ses Miscellanea analytica de œquationibus algebraicis et curvarum proprietatibus ^ in-4^^ Cantabrigiae 1762; puis dans son traité des courbes géométriques intitulé : Proprietatea algebraicarum cur-varum, in-4°, 1772. L'auteur se borne à dire que la nouvelle courbe sera du même degré que la proposée^ sans faire entrevoir quelles seront les propriétés communes aux deux courbes^ et quels pourront être les usages et les applications de ce mode de transformation. 11 ajoute seulement que la construction d'une courbe semblable à une courbe donnée , et la construction d'une courbe dont les coordonnées de chaque point sont dans des rapports constans avec les coordonnées du point correspondant d'une courbe proposée^ sont des cas particuliers de ses formules. Dans la préface du second ouvrage^ Waring dit

que ce mode de transformation est la généralisation db la méthode de Ne'wton comprise dans son Lemme 20 du premier liyre des Principes. Mais nous ferons yoir dans la suite de ce paragraphe que cette généralisation ne porte point sur la forme des figures^ mais seulement sur leur position respective.

Ainsi ^ quoique Waring ait donné, pour transformer une courbe en une autre du même degré, les formules mêmes qui expriment la construction de nos figures komographiques ^ nous pouYons dire néanmoins €[ue notre théorie de la transformation homographique est nouvelle, tant sous le rapport des propriétés des figures que Fon y considère, que sous le rapport de ses usages pour la démonstration et pour la généralisation des propositions de géométrie.

(297) Reprenons les formules (5) ; les coordonnées a;, y, de la nouvelle figure sont comptées sur les mêmes axes que les coordonnées X, Y de la figure proposée. Si l'on veut se servir de deux systèmes d'axes coordonnés différens, on pourra simplifier les formules, comme dans le cas des figures à trois dimensions, et les réduire à la forme

Ces formules expriment la construction des figures homographiqnes les plus générales de forme et de position. Les deux axes os, oy étant considérés comme deux droites appartenant à la seconde fiigure, les axes OX , OY sont les droites correspondantes dans la première figure; et l'une de ces droites, la seconde OY, est prise parallèle à la droite qui correspond, dans la première figure, à l'infini de la seconde, et cette droite est celle qui a pour équation

(298) On peut encore trouver des formules répondant à toute la généralité de construction des figures homographiques , et néanmoins un peu plus simples que ces dernières.

En effet , qu'on rapporte les points de la première figure à deux axes

coordonnés, dont l'un OX soit la droite qui correspond, dans cette figure, à l'infini de la seconde, et dont l'autre OY soit pris arbitrairement; et qu'on rapporte les points de la seconde figure à deux axes coordonnés dont le premier om soit la droite qui correspond à l'infini de la première figure, et l'autre oy soit la droite correspondant à l'axe OY de la première figure; on aura, d'après le théorème (176) les deux équations

Ainsi ces deux équations, quoique très-simples, expriment les figures homographiques les plus générales.

Ce sont précisément les formules données par Newton.

Nous pouvons donc dire que les formules de Newton sont aussi générales que celles de Waring, puisque les unes et les autres répondent à la forme et à la position les plus générales des figures homographiques. Mais il y a cette différence entre les unes et les autres^ que dans celles de Waring les points sont rapportés à un même système d'axes coordonnés, tandis que dans celles de Newton il y a deux systèmes d'axes coordonnés difiërens.

(299) Jusqu'ici nous avons supposé aux deux figures une généralité absolue de position l'une par rapport à Tautre. Mais une question se présente naturellement, c'est de rechercher quelle position relative il faut donner aux deux figures, pour qu'étant rapportées à un même système d'axes coordonnés, elles soient exprimées par les formules les plus simples.

Les considérations précédentes conduisent à la solution de cette question. En efiet, quelles que soient les formules relatives à un même système d'axes coordonnés^ ces formules donneront lieu, si on change la position relative des deux figures , à des formules de même forme, relative à deux systèmes d'axes coordonnés. Les formules relatives à un même système d'axes coordonnés ne pourront donc pas être plus simples que les formules les plus simples relatives à deux systèmes d'axes coordonnés. Celles-ci sont les formules (7); il faut donc voir

si ces formules conyiennent à un même système d'axes coordonnés; c'est-à-dire si l'on peut placer deux figures homographiques données ^ de manière qu'il existe dans leur plan un système d'axes coordonnés pour lequel les formules qui lient entre elles les deux figures soient de la forme

Yoici la solution de cette question.

Que l'on cherche la droite I^ dans la première figure^ qui correspond à l'infini de la seconde; et la droite J' de la seconde figure^ qui correspond à l'infini de la première. Que l'on place les deux figures de manière que les deux droites soient superposées sur une même droite L. Cette position^ qui laisse encore quelque chose d'arbitraire puisqu'on peut faire glisser l'une des deux droites sur l'autre^ satisfera à la question. On prendra la droite L pour l'axe des y. Yoici comment on déterminera l'axe dei$ x. Il existe toujours dans deux figures homographiques quelconques y quelle que soit leur position^ une certaine droite qui^ considérée comme appartenant à l'une des deux figures^ est ellemême son homologue dans l'autre. {Voir ci-dessous^ $ XX Y). Ainsi pour la position que nous venons de donner aux deux figures^ il existe une telle droite. C'est cette droite qu'on prendra pour l'axe des x.

De cette manière , l'axe des y, considéré comme appartenant à la première figure^ correspondra à l'infini de la seconde; et^ considéré comme appartenant à la deuxième figure^ correspondra à l'infini de la première. Et l'axe des x, considéré comme appartenant à l'une des deux figures^ sera son homologue dans l'autre. Donc^ d'après les théorèmes (176 et 177)^ on aura les formules

' = x' ^ = T- Ce qu'il fallait démontrer.

(300) Ainsi nous pouvons dire que étant données deux figures dont les points se correspondent un d un, et sont liés par les relotions suivantes entre les coordonnées Xy Y de chaque point de la

première figure et les coordonnées x^ j du point correspondant de la seconde figure^ rapportées aux mêmes axes coordonnés

on peut y en changeant la position relative des deux figures , trouver un système diaxes coordonnés^ tel que les relations entre les coordonnées de deux points correspondans soient de la forme

Ce théorème est un de ceux dont la démonstration semblerait être particulièrement du domaine de l'analyse^ puisqu'il s'agit d'un changement de système d'axes coordonnés. Mais cette voie serait longue et difficile^ parce qu'il ne suffit pas de changer le système de coordonnées, il faut encore changer la position relative des deux figures proposées , ce qui exigerait, en analyse, de très-longs calculs. Les considérations géométriques, au contraire, procurent une démonstration extrêmement simple du théorème, et une solution de la question qui en dépend.

§ XYII. Théorie des figures homologiques. Leur construction.

(301) Soient a^b^c^d^ quatre points d'une figure , dans l'espace ; formons une figure homographique dans laquelle les quatre points correspondant à ces points, respectivement , soient ces points eux-mêmes.

Soit un cinquième point m de la figure proposée, et m' son homologue dans la figure homographique. Soient oLyS^y^ les points où les trois plans mbcy mca^ mab, rencontrent les trois arêtes ad^ bd, cd, du tétraèdre abcd^ et «', ê\ /, les points où les trois plans m'Àc, m^cay m^ah, rencontrent les mêmes arêtes; nous avons vu qu'on aura

ToM. XI. 98

Le point m' peut être pris arbitrairement dans Tespace. Supposons qu'il soit situé sur la droite dm , et soit i le point où cette droite rencontre le plan abc y on aura

ax aa dm dm'

parce que l'un et l'autre membres de cette équation expriment le rapport anharmonique des quatre plans Oi&c ^ mhc , m^bc, dbc. Comparant cette équation à la première des trois précédentes^ on en conclut cette valeur de > ,

dm dm' dm * dm'

On trouvera que /u et v ont la même valeur ; de sorte que les trots coefflciens constans X, /jt, v, sont égaux entre eux.

(302) Réciproquement quand ces trois coefflciens sont égaux, chor que point m' de la seconde figure est situé sur la droite menée du point correspondant m, au sommet d du tétraèdre abcd. Car soit m^' le point où le plan mbc rencontre la droite dm , on aura

CUL ax' dm dm!'

Soit m''' le point où le plan m^ao rencontre la même droite dm; on aura

hÇ hff dm ^ dm'" de* dp ~ d^'* d^''

Les premiers membres de ces deux équations sont égaux, puisque nous supposons dans les équations (1) X = /jt; les seconds membres sont donc égaux aussi; d'où l'on conclut que les points m", m'" se confondent; c'est-à-dire que les deux plans m'bc, m'ca passent par le même point de la droite dm, ou, encore, que les deux droites cm' , dm se rencontrent.

Ainsi , quand 1^=^ [îles deux droites dm , cm' se rencontrent toujours., quels que soient les deux points homologues m, m'.

Pareillement^ si Ton a ^ A = v^ les deux droites dm, bm' se rencontreront. Donc si l'on a en même temps A =» ^ = v^ les deux droites cm*^ bm' rencontreront la droite dm ; c'est-à-dire que le point m' sera sur la droite dm.

Ainsi ^ quand dans les équations (l)on aX = /u = y^ deux points homologues quelconques des deux figures sont toujours en lignes droite ayec le point d.

(303) Il suit de là que :

Chaque point du plan abc est luir-méme son homologue dans les deux figures ^^

Wiy par conséquent 9 deux plans correspondans des deux figures rencontrent le plan abc, suivant la même droite ;

Et deux droites homologues quelconques percent ce plan au même point.

On reconnaît, à ces propriétés descriptives, les figures homologiques de M. Poncelet. Le point d est leur centre dhomologie , et le plan abc leur plan dhomologie.

(304) Ainsi, les figures homologiques rentrent dans la théorie des figures homographiques et ne sont qu'un cas particulier du mode général de construction de celles-ci.

Les relations métriques qui ont lieu d'une manière générale entre les figures homographiques, s'appliquent donc aux figures homologiques.

De là nous allons conclure dififérentes relations métriques entre ces figures, qui n'ont point encore été remarquées, et sur lesquelles repose une partie considérable des applications de la théorie des figures homologiques.

(305) En général, les relations métriques des figures sont encore plus importantes et plus utiles à connaître que leurs relations purement descriptives, parce qu'elles sont susceptibles d'un plus grand nombre d'applications, et que d'ailleurs elles suffisent presque toujours pour arriver à la connaissance des relations descriptives. Aussi nous regardons comme le coté faible de l'école de Monge, en géométrie spéculative, de s'appuyer spécialement et par principe, sur les

propriétés descriptives des figures. La méthode des transversales est plus féconde^ et procure des résultats plus variés^ plus généraux et plus complets. Un examen comparatif de quelques théories géométriques^ ou seulement de quelques théorèmes obtenus par les deux méthodes^ justifierait constamment cette observation.

(306) Appliquons le principe de l'art. 176 aux figures homologiques. Prenons pour Tun des deux plans fixes de la première figure un plan passant par le centre d'homologie^ ce plan sera lui-même son homologue dans la seconde figure; et si l'on remarque que le rapport des distances de deux points homologues à ce plan est égal au rapport des distances de ces points au centre d'homologie^ on en conclura que :

Dans deux figures homologiques ^ le rapport des distances de deux points homologues au centre éthomologie y est au rapport des distances de ces points à deux plans homologues, quelconques, mais fixes , dans une raison constante, quels que soient ces points.

(307) Ce théorème admet deux corollaires qui sont deux propriétés importantes de la théorie des figures homologiques.

D'abord nous pouvons prendre pour représenter les deux plans fixes homologues des deux figures^ leuxt plan dhomologie; il en résulte que :

Dans deux figures homologiques, le rapport des distances de deux points homologues au centre' cPhomologie, est au rapport des distances de ces deux points au plan dhomologie, dans une raison constante.

Soient a, a' les deux points homologues^ S le centre d'homologie^ et a le point où la droite Saa' rencontre le plan d'homologie; le rapport des distances des deux points a, a', k ce plan sera égal à ^; on aura donc, d'après l'énoncé du théorème,

Sa CM

— : — ; = const.

oa aa

C'est la relation que nous avons déjà démontrée dans nos applications du principe de Dualité ($ VII).

(308) Ainsi ^ étant donnée une figure^ et étant pris un point S et un plan fixe y si de ce point on mène une droite à chaque point a de la figure ^ qu'on la prolonge jusque sa rencontre en a avec le plan fitce , et qu'on prenne sur cette droite un point a' tel que l'on ait

Sa eut Sa' aa

A étant une constante quelconque / le point a' appartiendra à une figure homologique à la proposée.

Le point S et le plan fixe seront le centre et le plan cPhomologie des deux figures.

La constante X peut être égale à l'unité. Alors les points a, a' sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points S et a.

(309) Soit r le plan de la seconde figure, qui correspond à l'infini de la première; ce plan est parallèle au plan d'homologie, parce que deux plans homologues doivent se couper sur ce plan d'homologie.

Le plan qui dans la première figure correspond à l'infini de la seconde, sera pareillement parallèle au plan d'homologie.

Le rapport des distances d'un point a' de la seconde figure, à un plan fixe mené par le point S et au plan V, sera dans une raison con- . stante avec la distance du point a de la première figure au même plan fixe (176).

Or le rapport des distances des deux points a, a', au plan fixe est

égal à 3^; on a donc, en appelant a'i' la perpendiculaire abaissée du point a' sur le plan I',

Sa' Sa = X. — -,

l étant une constante , pour tous les points des deux figures.

Ainsi : si d^un point fixe on mène un rayon à chaque point a dune figure , et que sur ce rayon on prenne un point a' tel que le rapport de ses distances au point fixe et à un plan fixe, soit au rayon dans une raison constante, ce point appartiendra à une seconde figure, homologique à la première.

778 MÉMOIRE DE 6É0MÉTRK.

Le centre d'homologie sera le poiat fixe; et le plan d'homologie sera parallèle au plan fixe.

La distance entre ces deux plans sera égale à la valeur inverse de la raison constante donnée.

Car pour un point a du plan d'homologie^ on aura Sa »= Sa', et

1 = ^ on ai' =7. y et d'après l'énoncé, la raison constante est j

(310) Ainsi, si une figure A est donnée, et que le point S et le plan r étant pris arbitrairement , on mène de ce point des rayons à tous les points a de cette figure, et qu'on prenne sur ces rayons des points a' déterminés par l'équation

Sa'

ces points a' appartiendront d une seconde figure A' hatnologique à la première.

Le centre d'homologie sera le point S et le plan d'homologie sera parallèle au plan V. Sa distance à ce plan sera égale à la constante X.

Réciproquement, si la figure A' est donnée y et que le point S et le plan F soient pris arbitrairement ^ V équation

servira à déterminer les points a d^une seconde figure A qui sera homologique à la proposée.

Ces théorèmes seront susceptibles de nombreuses applications.

(311) r étant le plan de la figure A', qui correspond à l'infini de la figure A , soit J le plan de la figure A qui correspond à l'infini de A'; et soit aj la distance d'un point a de la figure A au plan J, et a'i' la distance du point correspondant a' au plan T; on aura, d'après le principe du n^ 177,

aj\ a'i' es const.

Cette équation donne une manière nouvelle de former la figure

homologique d'une figure proposée^ au moyen du centre d'homologie et de deux plans parallèles entre eux.

La construction des figures homologiques serait susceptible d'une plus ample discussion^ dans laquelle nous n'entrerons pas ici.

$ XYIII. Applications de la théorie des figures homologiques. Propriétés générales des sur/aces géométriques.

(312) Soient deux surfaces géométriques^ d'un degré quelconque^ homologiques entre elles; et soit S leur centre d'homologie.

Que par une droite^ prise arbitrairement dans un plan fixe P^ on mène les plans tangens à la première surface; et soient a, b, e^ ••.. leurs points de contact. A ces plans tangens correspondront des plans tangens à la seconde surface, en des points a', b', c'^.... homologues aux points a^ b^ c^ ....; et ces plans tangens passeront par une même droite située dans un plan fixe P', correspondant, dans la seconde figure, au plan P dé la première.

Soient ap, a'p'y les perpendiculaires abaissées des points a, a' sur les plans P, P' respectivement; on aura

Soit a'n' la perpendiculaire abaissée du point a' sur un plan fixe II' mené arbitrairement dans l'espace; et mettons l'équation sous la forme

Sa ^ ap a'ir'

Soient pareillement bp et b'p', les perpendiculaires abaissées des points b, b' sur les plans P, P', respectivement, et â'tt' la perpendiculaire abaissée du point b' sur le plan n'; on aura de même

Sb^ ^ ^p &v

Et ainsi pour les autres points.

Or les points a', A', .... étant les points de contact de la seconde surface par des plans tangens menés par une même droite prise dans un plan fixe P' on a (218)

On a donc aussi

a'*' éV

-— • -t- — - -^ .... ^ const.

Sa Sa' OU

ap Sb bp a T bu 0 TT

ap

Sa' Sb Sb' : -r-, -^ T- • rr", -*- •••• == const.

a T bp 6 T

Ce qui exprime ce théorème :

Si F on a deux surfaces géométriques homologiques , et que par une droite prise arbitrairement dans un plan fixe y on mène les plans tangens à la première surface ; puis ^ quon fasse le rapport des distances de chaque point cfe contact , au centre (Thomologie et au plan fixe y et qu^on divise ce rapport par celui des distances du point homologue dans la seconde surface y au même point et à un plan fixe mené arbitrairement dans V espace, la somme de totis les quofiens ainsi formés sera constante.

Ce théorème donne lieu à deux corollaires qui sont eux-mêmes des propriétés très-générales des surfaces géométriques.

(313) Que l'on suppose un second plan n'^ parallèle au plan II', et qu'on fasse pour ce second plan Téquation analogue à Téquation précédente ; puis , qu'on retranche ces deux équations l'une de l'autre y tous les termes du premier membre de l'équation résultante auront un facteur commun qui sera la distance entre les deux plans II', n"; faisant passer ce facteur dans le second membre, on aura l'équation :

— : Sa' -4- -- : Sjb -f- .... = const.; ap bp

ce qui exprime ce théorème :

Quand deux surfaces géométriques sont homologiques ^ si par une droite , prise dans un plan fixe y on mène les plans tangens à la première ; qtion fasse le rapport des distances de chaque point de contact au centre cPhomologie et au plan fixe, puis le quotient de ce rapport divisé par la distance du point homologue dans la seconde surface, au centre d^homologie ; la somme de tous ces quotiens sera constante , quelle que soit , dans le plan fixe , la droite par laquelle on a mené les plans tangens.

(314) Supposons que le plan II', dans le théorème (312), se confonde avec le plan P , et que celui-ci soit situé à l'infini , les perpendiculaires apy bp, a^Tr', i6'7r', .... seront infinies, et les rapports

ap hp

air

" fcV

seront égaux à l'unité; de sorte que l'équation (1) se réduira à

Sa Sh

^ ^ .... = const.

Ce qui prouve que :

Quand deux surfaces géométriques sont homologiques , si Von mène d la première tous ses plans tangens parallèles à un même plan quelconque , la somme des distances des points de contact au centre cPhomologie, divisées respectivement par les distances des points homologues de la seconde surface au même centre dhomolqgie , sera constante , quel que soit le plan auquel les plans tangens seront parallèles.

(315) Ces trois théorèmes s'appliquent à des courbes géométriques homologiques, planes ou à double courbure. Gonséquemment ils s'appliquent à deux sections planes d'un cône quelconque géométrique, parce que ce sont deux courbes homologiques, dont le centre d'homologie est le sommet du cône.

Appliquons donc le théorème (312) à deux sections planes d'un ToM. XI. 99

782 MÉMOIKE DE GÉOMÉTRIE.

cône^ et remarquons que les perpendiculaires abaissées des différens points d^un plan sur un autre plan fixe sont proportionnelles aux perpendiculaires abaissées des mêmes points sur la droite d'intersection des deux plans; on aura cette propriété générale des surfaces coniques: Si r on fait deux sections planes dans un cône géométrique; et que par un point ditne droite fixe, prise dans le plan de la première section y on mène toutes les tangentes à cette courbe; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au sommet du cône et à la droite fixe, et qu'on divise ce rapport par celui des distances du point homologue dans la seconde section, au sommet du cône et à une droite fixe menée arbitrairement dans le plan de cette seconde courbe; la somme de toics les quotiens ainsi formés sera constante , quel que soit le point de la droite prise dans le plan de la première section par lequel on a mené les tangentes à cette courbe.

(316) Si l'on suppose que la droite fixe dans la seconde section, soit à l'infini, le théorème prendra cet énoncé :

Si l'on fait deux sections planes dans un cône géométrique quelconque, et que par chaque point d'une droite fixe, prise dans le plan de la première section, on mène toutes les tangentes à cette courbe , la somme des distances des points de contact au sommet du cône , divisées respectivement par les distances de ces points à la droite fixe et par les distances des points correspondans , dans la seconde courbe, au sommet du cône, sera constante.

(317) Si la droite fixe, prise dans le plan de la première section, est à l'infini, le théorème devient le suivant :

Si Von fait deux sections planes dans un cône géométrique, et que Von mène à la première courbe toutes ses tangentes parallèles à une même droite quelconque, la somme des distances des points de contact au sommet du cône y divisées respectivement par les distances des points homologues dans la seconde section, au sommet, sera une quantité constante.

Ces théorèmes s'appliquent d'eux-mêmes à deux courbes planes ho-

MÉMOffiE DE GÉOMÉTRIE. 783

mologiques situées dans un même plan^ si au sommet du cône on substitue^ dans leur énoncé^ le centre d'homologie des deux courbes planes.

§ XIX. Surfaces du second degré homologiques. Propriété fondamentale des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point.

(318) Deux surfaces du second degré homologiques sont inscrites dans un même cône qui a pour sommet le centre d'homologie; ce cône peut être imaginaire^ bien que son sommet soit réel.

Mais on ne peut pas dire d'une manière absolue que^ réciproquement^ quand deux surfaces du second degré sont inscrites dans un même cône^ elles sont toujours homologiques. Gar^ par exemple^ si l'une des deux surfaces est un hyperboloïde à une nappe et l'autre un ellipsoïde ou un hyperboloïde à deux nappes^ il est évident qu'il ne peut y avoir homologie^ car l'hyperboloïde à une nappe pouvant être engendré par une ligne droite, sa figure homologique ne peut être aussi qu'une surface sur laquelle on peut tracer des lignes droites, c'est-à-dire un hyperboloïde à une nappe, ou un paraboloïde hyperbolique.

Il est un autre cas où deux surfaces du second degré inscrites dans un même cône ne sont pas homologiques; c'est celui où l'une des surfaces est un hyperboloïde à deux nappes placé à l'extérieur du cône, et l'autre un ellipsoïde, ou bien un hyperboloïde à deux nappes compris dans l'intérieur du cône, parce que dans ce cas aucune droite menée par le sommet du cône ne peut rencontrer en même temps les deux sur&ces; par conséquent aucun point de Tune de ces surfaces ne peut avoir son homologue dans l'autre.

Mais dans les autres cas , où une droite menée par le sommet du cône pourra rencontrer les deux surfaces en même temps, elles seroot homologiques; et l'on pourra prendre pour leur plan d'homologie, indifféremment, l'un ou l'autre des deux plans des courbes d'intersection (réelles ou imaginaires) des deux surfaces. Cela résulte du théo-

rème général démontré dans le § YIII de nos applications du principe de Dualité \

' Généralement deux surfaces du second degré inscrites dans un cAne se coupent suivant deux courbes planes (réelles ou imaginaires). Ce théorème est connu; mais il me semble qu'on rénonce d'une manière trop absolue ; car on suppose que , dans le cas même oik les deux courbes sont imaginaires , leurs plans sont toujours réels.

Cela n'est pas ; car ces plans peuvent être imaginaires , comme il arrive dans toutes les questions oii les choses qu'on considère sont doubles, ou admettent deux solutions.

Pour en donner un exemple , qu'on conçoive une section elliptique faite dans un fayperlxH loïde à une nappe , et un c6ne circonscrit à cette surface suivant cette section ; qu'on fasse dans le cône une seconde section elliptique qui rencontre la première en deux points, et qu'on inscrive dans le cône un ellipsoïde qui le touche suivant cette seconde section. Cet ellipsoïde et l'hyperboloïde devront se couper suivant deux courbes planes , réelles ou imaginaires. Dans ce cas ces deux courbes sont imaginaires ; car l'ellipsoïde est renfermé dans l'intérieur du cône , et ITi jperboloide est tout-à-fait en dehors. Mais de plus , leurs plans sont aussi imaginaires ; car ils doivent passer par les deux points d'intersection des deux courbes de contact du cône et des deux surfaces ; et si ces plans étaient réels , chacun d'eux couperait réellement les deux surfaces. Ce qui n'est pas possible puisqu'elles n'ont point de courbe d'intersection réelle.

Ainsi , dans ce cas , il est démontré que les deux plans sont imaginaires ; il n'y a de réel que leur droite d'intersection.

L'analyse conduit aux mêmes conclusions. Car soit f=io l'équation d'un cône, ou plus généralement d'une surface quelconque du second degré ; l'équation d'une seconde surface du second degré inscrite dans cette première, sera de la forme

F -f- mP" es o, P as 0 étant l'équation du plan de la courbe de contact des deux surfaces.

Pareillement l'équation d'une troisième surface inscrite aussi dans la première sera

F -f. WP'^ = o, P' as 0 étant l'équation du plan de la courbe de contact.

Des équations de ces deux surfaces inscrites dans la première, on tire

mP' — m'P'^ = o.

D'où

P zfc P

Cette d'ouble équation représente les deux plans sur lesquels se coupent les deux snrfiices. Mais on voit que ces plans ne seront réels que quand les deux coeffîciens m et m' seront de mêmes signes ; et qu'ils seront imaginaires quand ces deux coefficiens seront de signes contraires. Et dans ce cas l'équation donne les deux suivantes

Ce qui prouve que les deux surfaces n'ont point d'autres points d'intersection que sur la droite même sur laquelle se coupent les deux courbes de contact. Les deux points d'intersection peuvent être imaginaires ; mais cette droite est toujours réelle , parce qu'elle est l'intersection des plans des deux courbes de contact.

(319) Les diiFérens modes de construction des figures homologiques que nous avons donnés dans le § XYII^ appliqués aux surfaces du second degré^ conduisent à différentes propriétés nouvelles de ces surfaces^ relatives particulièrement à leurs relations métriques. Nous n'entrerons pas dans le détail de ces diverses propriétés ; nous allons seulement examiner un mode de construction qui va nous conduire à une propriété nouvelle et fondamentale des systèmes de trois actfes conjugués relatifs à un point.

(320) Soit une surface du second degré A^ un point fixe S ^ et un plan fixe P mené arbitrairement. Que du point S on mène une droite à chaque point a de la surface, et qu'on prenne sur cette droite un second point a' tel que l'on ait

ap

ap étant la perpendiculaire abaissée du point a sur le plan P, et A étant une constante; le point a' appartiendra à une seconde surface du second degré homologique à la proposée. Le centre d'homologie sera le point S, et àfims cette seconde figure , l'infini correspondra au plan P de la première.

Deux plans homologues dans les deux figures, auront pour pôles, pris par rapport aux deux surfaces respectivement, deux points homologues. Supposons €[ue le plan P ait pour pôle dans la première surface le point S, centre d'homologie; ce point étant lui-même son homologue, sera le pôle du plan situé à l'infini par rapport à la nouvelle surface; c'est-à-dire que ce point S est le centre de figure de la nouvelle surface. Ainsi :

Étant donnée une surface du second degré ^ tout point de P espace peut être pris pour le centre dhomologie cPune seconde surface homologique à la proposée , et ayant son centre défigure en ce point.

(321) Cette seconde surface est indéterminée de grandeur, puisque ses demi-diamètres Sa' ont pour expression

ap

où A est une constante arbitraire. Mais cette surface est déterminée d'espèce pour une position donnée du point S; c'est-à-dire que, quelle que soit la grandeur de cette surface, elle sera toujours semblable à une certaine surface unique, dpnt la nature ne dépendra que de la position du point S par rapport à la surface proposée.

(322) Mais si la surface A' est donnée, la surface A sera indéterminée d'espèce et de position; parce que poui* la former on disposera arbitrairement du plan fixe P. On construira ses points par la formule

— « - . Sa'.

ap A

(323) Si la surface A' est une sphère, on aura-^ = constante. Or, il est évident qu'à cause de la forme symétrique de la sphère, la surface homologique A doit être de révolution , et avoir pour axe de révolution la perpendiculaire au plan fixe, menée par le centre de la sphère; Féquation — = constante exprime donc une propriété des surfaces de révolution. Propriété connue, du reste.

Ainsi nous pouvons dire que :

Une surface du second degré de révolution^ et une sphère qui a son centre en Vun des foyers de cette surface ^ sont deux figures homologiques ; leur centre cPhomologie est ce foyer.

(324) Il suit de là que :

Deux surfaces du second degré de révolution^ qui ont un foyer commun^ sont homologiques, et leur centre dhomologie est ce foyer.

Car si l'on conçoit une sphère ayant ce foyer pour centre, elle sera homologique à chacune des deux surfaces; d'où l'on conclut que celles-ci sont homologiques entre elles \

' En général, quand deux figure* sont homologiques à une troisième^ et ont avec elle le même centre d'homologie , elles sont aussi homologiques entre elles ^ et ont ce même point pour centre d*homologie.

En effet soit S le centre d'homologie commun aux trois figures ; a un point de la première , et a', a", ses homologues dans la seconde et la troisième. Soit P un plan de la première figure et P', P'', les plans homologues dans les deux autres. Soient enfin ap, a'p\ a"p'\ les perpen-

(325) Ces deux théorèmes sont la source d'un grand nombre de propriétés des surfaces du second degré de révolution^ considérées par rapport à leurs foyers. Quelques-unes de ces propriétés^ celles particulièrement qui ne concernent que les relations descriptives des surfaces^ sont connues; mais beaucoup d'autres^ où entre la considération des relations métriques^ seront entièrement nouvelles. Nous exposerons celles-ci dans un paragraphe particulier {§ XXI).

(326) Reprenons les deux surfaces homologiques A^ A'^ dont la seconde a son centre de figure au centre d'homologie.

Considérons dans la surface A' trois diamètres conjugués ; leur propriété caractéristique est que le point situé à l'infini sur chacun d'eux a pour plan polaire ^ par rapport à la surface^ le plan des deux autres. Les trois droites homologues^ dans la surface A, jouiront donc de la propriété que le point où chacune d'elles perce le plan fixe (qui est le plan polaire du point S)^ a pour plan polaire le plaji des deux autres. D'où il suit que chacune de ces trois droites a sa polaire comprise dans le plan des deux autres. Ces trois droites sont donc ce que nous avons appelé axes conjugués relatifs au point S. Or ces trois droites sont^ en direction^ les trois diamètres conjugués de la surface A'; donc

Chaque système de trois axes conjugués cTune surface du second degré j relatifs à un point fixe , forme , en direction , un système de trois diamètres conjugués dune seconde surface du second degré, qui a son centre en ce point;

diculaires abaissées des poinUa, a\ a", sur les plans P, P\ V'\ respectivement. On aura Sa ap Sa ap

s^^^^'iy' ""^ Sa" -*"' aiy

D'où

Sa" ■" A a"p"'

Cette équation prouve que le point a" appartient à une figure homologique à celle à laquelle appartient le point a' (806). Les plans P', P" se correspondent, dans ces deux figures; et le point S est leur centre d'homologie.

Ainsi le théorème est démontré.

Cette seconde surface est homologique à la proposée; et le centre dhomologie est le point fixe.

Les demi-diamètres de cette seconde surface se construisent par la formule

ap

Nous donnerons^ plus loin^ deux autres constructions de ces demidiamètres^ sans se servir du plan fixe^ qui est le plan polaire du point S par rapport à la proposée.

(327) Du théorème précédent, et surtout de la formule

ap

découlent naturellement les propriétés des systèmes de trois axes conr jugués d^une surface du second degré relatifs à un point; car ces propriétés seront des conséquences de celles des diamètres conjugués d'une surface du second degré.

Ainsi, l'on en conclut d'abord que, parmi tous les systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point y il en est un ou les trois axes sont rectangulaires.

(328) Ces trois axes déterminent sur la surface les points pour lesquels le rapport — a une valeur maximum ou minimum.

Si l'on demande les points pour lesquels le rapport — a une valeur donnée, ces points seront sur une courbe à double courbure provenant de l'intersection de la surface par un cône du second degré ayant son sommet au point fixe. Les axes principaux de ce cône seront précisément les trois axes conjugués rectangulaires de la surface, relatifs au point S.

Car il est clair que ce cône passera par la courbe d'intersection de la surface k! par une sphère concentrique; ce qui prouve qu'il sera du second degré, et qu'il aura pour axes principaux les trois diamètres conjugués rectangulaires de la surface A'.

(329) Soient trois axes conjugués Sa, Sb, Se, de la surface A, et

Sa', Sb'y S&^ les trois demi-diamètres conjugués de la surface A'^ qui leur correspondent; on aura

Sa ^^, SA ^ , Se

Sa' =: A — , Sy =3 A 7- , Se' = A — ,

ap bp cp

ap, bp, op^ étant les perpendiculaires abaissées des points a,by c, sur le plan P^ qui est le plan polaire du point S par rapport à la surface A. La somme des carrés des trois demi-diamètres Sa'^ Sb', Se', est constante; on a donc aussi

const.

ce qui exprime un théorème déjà démontré (52 et 191).

(330) La somme des carrés des projections des trois demi-diamè* très Sa', Sb', Se', sur une droite, est constante; on en conclut le théorème (191).

(331) La somme des carrés des aires des triangles formés par les trois demi-diamètres conjugués Sa', &6', Se', pris deux à deux, est constante ; de sorte qu'on a

(Sa'. Si', sin. a'&h'Y + (Sa'. Se', sin. a'Sc')» h- (Sfc'. So'. sin. i'Sc')" = const.

On a donc

(Sa. Si. sin. aSiV (Si. Se. sin. iSc)» (Se. Sa. sîn. cSa)*

' , ^. — - -^ ^ — , — , — - -^ =r-=i — - == con«t.

ap . bp bp , cp cp . ap

Les numérateurs sont les carrés des aires des triangles formés par les trois axes Sa, Si6, Se, pris deux à deux. Cette équation exprime donc une propriété de ces trois triangles.

(332) Enfin si Ton a deux systèmes de trois demi-diamètres conjugués de la surface A', le tétraèdre formé par trois quelconques de ces six demi-diamètres est égal en volume au tétraèdre formé par les trois autres. Exprimant le volume d'un tétraèdre par le produit des trois demi-diamètres qui le forment, multiplié par une fonction des angles que ces droites font entre elles, on en conclut que :

To«. XL 100

Si Von a dans une surface du second degrés deux systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point ^ le volume du tétraèdre formé par trois quelconques de ces six droites^ divisé par le produit des perpendiculaires abaissées des extrémités de ces trois droites sur le plan polaire du point fixe, sera égal au volume du tétraèdre formé par les trois autres droites , divisé par le produit des perpendiculaires abaissées des extrémités de ces trois droites sur le même plan.

(333) Si les trois demi-diamètres Sa'^ Sb', Se', sont rectangulaires^ on sait qu'on aura

donc

const.