SS

const.

Sa'

Se''

(SJ-(SJ-(iJ-

ce qui exprime le théorème (201).

(334) La formule

peut être transformée de deux manières en une autre y qui donnera les demi-diamètres Sa' de la surface homologique A.'^ sans se servir du plan P.

Soit b le second point où la droite Sa rencontre la surface proposée A^ bp^hi perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan P^ et i^' le point homologue sur la surfaee A'; on aura

Mais Sb' = Sa', puisque ce sont deux demi-diamètres de direction opposée; donc Sa' = ^ ^' Le plan P étant le plan polaire du point S, par rapport à la surface A , les plans tangens à cette surface aux points

a y b, se coupent sur ce plan; on a donc^ d'après la propriété générale des surfaces géométriques (219)^

— d= -— es: COnSt. I

ap bp

le signe + étant pris quand les perpendiculaires apy bp, seront dirigées dans le même sens, et le signe — quand elles seront en sens contraire. Le premier cas a lien quand le point S est dans l'intérieur de la surface, et le second quand ce point est pris au dehors de la surface.

De cette équation on conclut

Sa' Sa' 1

- — ± -7- s= const. = - •

Sa Si& fi

D'oJi

c> è-'(i^iy

A.insi cette équation servira à déterminer les demi-diamètres de la surfSace A.', de même que l'équation (1). ^

On prendra le signe + quand le point fixe S sera dans Tintérieur de la surface, et le signe — quand il sera au dehors.

On conclut de cette équation, ce théorème : .

Si autour (Tun point fixe on fait tourner une droite qui rencontre une surface du second degré en deux points , et qtCon prenne sur cette droite, à partir du point fixe, un segment dont la valeur inverse soit proportionnelle à la somme des valeurs inverses des distances des deux points de la surface au point fixe, si ce point est dans t intérieur de la surface, ou à la différence des valeurs inverses des deux mêmes distances, si le point fixe est au dehors de la surface, t extrémité de ce segment sera sur une seconde sur^ face du second degré, qui sera homologique à la proposée j le centre dhomologie sera le point fixe ; et ce point sera aussi le centre de figure de la nouvelle surface.

(335) Les différens théorèmes que nous avons indiqués ci-dessus au sujet du rapport — , s'appliquent^ comme on Toit^ à l'expression

Sa SbJ

Ainsi nous pouvons dire que^ si Ton demande de mener la droite Sab de manière que cette quantité soit un maximum ou un minimum, trois directions de la droite satisferont à la question; et ces trois directions seront à angle droit. Si le point S est au dehors de la surface^ elles seront les trois axes principaux du cône circonscrit à la surface et ayant son sommet au point S.

Si on demande que l'expression

(^Sa "^ SbJ

ait une valeur donnée^ la droite Sab aura pour lieu géométrique un cône du second degré ^; et ce cône aura pour ses axes principaux^ les trois directions pour lesquelles cette expression a une valeur maximum ou minimum.

Si la droite Sab prend trois directions rectangulaires^ la somme des carrés des valeurs correspondantes de l'expression

\^Sa "^ SbJ

sera constante. Etc., etc.

' Ce sont ces cAnes du second degré dont M. Legendre s'est servi pour régler la marche de ses intégrales dans son mémoire sur l'attraction des sphéroïdes sur des points extérieurs , et dont il n'a donné qae l'expression analytique. Et les droites qui jouissent d'une propriété de maximum^ et qui marquent la limite des intégrales, sont précisément les axes conjuguée rectangulaires de l'ellipsoïde attirant, relatifs au point Miré', ce sont aussi les axes principaux communs à tous ces cônes. Les considérations géométriques précédentes procurent une interprétation géométrique de plusieurs autres résultats analytiques obtenus par M. Legendre dans son mémoire , et font connaître particulièrement la signification d'un beau théorème relatif à Tattraction de différens ellipsoïdes semblables et concentriques sur un même point extérieur. (Voir Mémoires de V Académie des Sciences de Paris ^ année 1788 , p. 454).

(336) Maintenant^ écrivons l'équation (2) sous la forme

J /Sb ±. Sa\

Sa' ~^' V Sa. SA /

On sait, par une propriété générale des surfaces du second degré, que d étant le demi^liamètre de la surface, parallèle à la sécante Sab,

on a sTTsj = const., quelle que soit la direction commune de ce diamètre et de cette sécante. Il Tient donc

Ji^ , S& db Sa Sa' ^* cT ■

Or, si le point S est dans l'intérieur de la surface, (Sa + SA) est la corde comprise dans la surface sur la droite Sab^y et si le point S est au dehors de la sur&ce, {Sb — Sa) est cette corde; la désignant par c, on a donc, dans les deux cas,

Sa' ~^' 5^'

Sa' = i ^.

ce qui exprime que :

Si autour dun point fixe on fait tourner une droite qui rencontre une surface du second degré en deux points , et qyion porte sur cette droite^ à partir du point fixe ^ un segment proportionnel au carré du diamètre de la surface qui lui est parallèle^ divisé par la corde comprise dans la surface sur cette droite ^ Textrémité de ce segment sera sur une surface du second degré qui sera homologique à la proposée. Le point fixe sera le centre dhomologie des deux surfaces , et le centre de figure de la seconde.

On déduit de là plusieurs théorèmes relatifs à l'expression —, correspondant aux différentes propriétés connues des diamètres d'une surface du second degré. Nous n'avons pas besoin d'insister sur cet objet.

5 XX. Propriétés générales, nouvelles, des surfaces du second degré.

(337) Les propriétés générales des surfaces géométriques, démontrées dans le $ XVIII, s'appliquent aux surfaces et aux courbes du second degré, et donnent lieu à de nombreux corollaires où se trouvent plusieurs propriétés. nouvelles de ces surfaces et de ces courbes. On y distinguera particulièrement certaines propriétés concernant leurs foyers. Nous réunirons celles-ci dans le paragraphe suivant. Nous allons présenter d'abord des propositions d'une plus grande généralité.

Supposons dans le théorème (312) que les deux surfaces soient du second degré; par une droite prise dans le plan fixe on pourra mener deux plans tangens à la première surface; la corde qui joindra les deux points de contact passera par un point fixe, qui sera le pôle de ce plan par rapport à cette surface; nous pouvons donc énoncer ce théorème :

Quand deux surfaces du second degré ont un centre dhomologie, si autour dun point fixe on fait tourner une corde de la première surface y les rapports des distances des extrémités de cette corde au centre dhomologie et au plan polaire du point fixe y divisé respectivement par les rapports des distances des deux points homologues dans la seconde surface, au même centre dhomologie et à un plan fixe mené arbitrairement, auront leur somme ou leur différence constante.

Cessera la somme, si le point fixe et pris dans l'intérieur de la surface, et la différence, s'il est pris au dehors.

Ainsi soient a, b, les extrémités de la corde de la première surface; a' , b', les points homologues de la seconde; op, bp, les perpendiculaires abaissées des points a, b sur le plan polaire du point fixe , pris par rapport à la première surface ; et a'n , b'n, les perpendiculaires abaissées des points a', b', sur un plan fixe II mené arbitrairement; on aura

Sa Sa' Sb Sb' ap air bp bir

(338) Si le plan fixe mené arbitrairement est à Tinfini^ on conclut du théorème (313) celui-ci :

Quand deux surfaces du second degré ont un centre dhomologie^ si autour dun point fixe on fait tourner une corde de la première surface, la somme ou Ut différence des rapports des distances des extrémités de la corde au centre dhomoloffie et au plan polaire du point fixe, divisés respectivement par les distances des points homo-^ logues de la seconde surface au centre dhomologie, sera constante.

Ainsi Ton a

Sa Sb

— ; Sa' dt ■— : Sy =5= const.

ap bp

On prendra le signe -{* quand le point fixe sera dans l'intérieur de la surface, et le signe — quand il sera au dehors.

(339) Si ce point fixe est le centre de la première surface^ son plan polaire sera à l'infini^ et le théorème prendra cet énoncé :

Quand deux surfaces du second degré sont hofnologiques , si du centre dhomologie on mène deux rayons aux extrémités dun dia^ mètre de la première, la somme ou la différence de ces rayons divisés respectivement par les rayons menés aux points homologues dans la seconde surface, sera constante.

Ce sera la somms quand la première surface sera un ellipsoïde , et la différence quand elle sera un hjperboloïde.

Si dans ce théorème on suppose que le centre d'homologie des deux surfaces soit le centre de figure de la première ^ on obtient le théorème de l'art. (334) que nous ayons démontré directement.

(340) Dans les trois théorèmes précédens^ on peut suposer que la seconde surface se confonde avec la première^ de manière que deux points de celle-ci^ situés en ligne droite avec le centre d'homologie^ seront homologiques; et le plan d'homologie sera le plan polaire du point pris pour centre d'homologie. Car soient a, a', les points où une droite menée par le point fixe S rencontre une surface du second degrés et soit a le point où elle rencontre le plan polaire P du point S j on aura^

comme on sait^

Sa oa Sa oa