ou-—: — ;s=s1b= const

Sa' ota' Sa' «a' '

ce qui prouTe que les points a et a' peuvent être considérés comme appartenant à deux figures homologiques (308),

Si le point S est pris au dehors de la surface^ son plan polaire^ qui est le plan d'homologie, divisera la surface en deux nappes , qui pourront être considérées comme étant les deux figures homologiques.

(341) D'après cela^ le théorème (337) donne le suivant :

Si y autour dun point fixe 0, on fait tourner une corde dune surface du second degré , et que dun second point fixe Son mène aux extrémités a, h de cette corde ^ deux droites qui rencontreront la surface en deux autres points a', b^; et qu'on appelle ap^ bp, les perpendiculaires abaissées des points a, h, sur le plan polaire du point O, et a'îT, b'ff, les perpendiculaires abaissées des points a', b', sur un autre plan fixe mené arbitrairement , on aura

Sa Sa' Sb Sy

— : -7- ± — : 77- = const.

ap ar bp dt

On prendra le signe + quand le point O sera dans l'intérieur de la surface^ et le signe — quand il sera au dehors.

(342) Si le plan fixe pris arbitrairement est à l'infini l'équation se réduira à

— : Sa' ± |5 : sy = const. (888).

ap bp

(343) Si le point O est le centre de la surface , son plan polaire est à l'infini^ et l'équation^ d'après le théorème (339)^ se réduit à

Sa Sb

— d= — =s const.

Sa' Sb'

Donc :

Si dun point fixe on mène deux ra/yons aux extrémités dun dia^

mètre (tune surface du second degré, ils rencontreront la surface en deux autres points / et la somme ou la différence des deux rayons di-visés respectivement par les segmens compris entre le point fixe et ces deux autres points , sera constante.

Ce sera la somme si la surface est un ellipsoïde^ et la différence si elle est un hyperboloïde.

(344) Si sur un diamètre quelconque d'une surface du second degré on prend deux points fixes situés de part et d'autre et à égale distance du centre^ les droites menées de l'un de ces points aux extrémités d'un autre diamètre quelconque^ seront égales réciproquement aux droites menées de l'autre point aux extrémités du même diamètre. D'après cela^ on peut donner au théorème précédent cet autre énoncé:

Si sur un diamètre 'quelconque dune surface du second degré on prend, de pari et d^ autre et à égale distance du centre , deux points fixes, et que de ces points on mène des rayons à un point quelconque de la surface, la somme ou la différence de ces deux rayons divisés respectivement par les autres segmens faits sur eux entre les points fixes et la surface , sera constante.

Smû soient F , F^ les deux points fixes pris sûr un diamètre quelconque d'une surface du second degré , de part et d'autre et à égale distance du centre; que de ces points on mène deux rayons aboutissant à un même point quelconque m de la surface, et rencontrant cette surface en deux autres points n, n^, on aura, quel que soit le point m,

Tm F'm

— dz ----- = COQSt.

Ce sera + ^î I^ surface est un ellipsoïde, et — si elle est un hyperboloïde.

(345) Dans les trois théorèmes des art. 337> 338, 339, les deux surfaces peuvent se réduire à des coniques situées sur un même cône; alors on aura diverses propriétés des c6nes du second degré.

Ainsi le théorème (337) donne le suivant :

Étant fait deux sections planes dans un cône du second degré, si ToM. XI. loi

autour et un point fixe y pris dans le plan de la première section, on fait tourner une corde qui rencontre cette courbe àu^ points a^ b^ et que sep, hp, soient les perpendiculaires abaissées de ces points sur la polaire du point fixe , prise par rapport à cette première section, et a'7r, b'îr, les perpendiculaires abaissées des points homologues de la seconde section sur une droite fixe menée arbi'trairement dans le plan de cette courbe, on aura , en appelant S le sommet du cône ,

Sa Sa' Sb Sfc' ap ayr bp dt

Ce sera le signe + quand le point fixe pris dans le plan de la première section sera dans l'intérieur de cette courbe, et le signe — quand il sera au dehors.

(346) Si la droite prise dans le plan de la seconde section est à rinfîni, l'équation devient

Sa ^ , . Sfc «„

— : Sa' =b r- S6 = conèt.

ap bp

(347) Si le point fixe, pris dans le plan de la première section, est le centre de cette courbe, la polaire de ce point est à l'infini, et l'équation devient

Sa Sb

- ± - = const.

ce qui exprime que :

Si ton fait deux sections planes dans un cône du second degré , la somme ou la différence des arêtes menées aux extrémités dun diamètre quelconque de la première section, divisées respectivement par les segmens compris sur ces arêtes, entre le sommet du cône çt la seconde section, sera constante.

Ce sera la somm^ si la première section est une ellipse, et la différence si elle est une hyperbole.

(348) Si dans le théorème (346) on supposé que le cône soit de révolution , et que la seconde section soit un cercle, les arêtes Sa', Si&'^

seront de longueur constante^ on aura donc Téqûation

Sa , Sb

— ± -- =s const.:

ap bp

ce qui exprime que :

Une section plane quelconque étant faite dans un cône de révolution, si autour dun point fixe du plan de cette courbe on fait tourner une droite qui la rencontre en deux points j la somme ou la différence des distances de ces deux points au sotnmet du cône, divisées respectivem,ent par leurs distances à la polaire du point fixe, prise par rapport à la courbe, sera constante.

Ce sera la somme quand le point fixe sera pris dans l'intérieur de la courbe 9 et la différence quand il sera pris au dehors.

(349) Si le point fixe est le centre de la courbe^ l'équation devient

Sa d= S£ = const.

D'où l'on conclut que :

Quand un cône de révolution passe par une section conique, la somme ou la différence des arêtes aboutissant aux extrémités dun diamètre de cette courbe est constante.

Ce sera la scymme si la courbe^ est une ellipse^ et la différence si elle est une hyperbole.

(350) Si dans le théorème (347) on suppose que le cône soit de révolution, et que la première section soit un cercle, son centre sera sur l'axe du cône, et le théorème prendra cet énoncé :

Quand un cône de révolution passe par une conique, la somme des valeurs inverses des arêtes comprises dans un plan quelconque mené par taxe du cône est constante.

$ XXI. Propriétés nouvelles des surfaces du second degré de révolution, et des cônes du second degré.

(351) Nous avons démontré (324) que : Quand deux surfaces du

second degré de révolution ont un foyer commun^ quelle que soit la position respective de ces deux surfaces^ elles sont homologiques , et leur centre dhomologie est leur foyer commun.

Appliquons aux deux surfaces le théorème (337), nous aurons celui-ci :

Quand deux surfaces du second degré ont un foyer commun F, si autour dun point fixe quelconque 0 on fait tourner une corde de la première surface , et que a e^ b soient ses extrémités; qrion mène les rayons Fa, Fh, qui rencontrent la seconde surface aux points dJy h'j homologues des points a, b; que ap, bp^ soient les perpendiculaires abaissées des points a, h, sur le plan polaire du point 0, pris par rapport à la première surface; et a'?:, b'îr, les perpendiculaires abaissées des points a', b', sur un autre plan fixe II, mené arbitrairement dans V espace , on aura

Sa Sa' S6 Sfc' ap ar bp bir

Le signe + ayant lieu quand le point fixe est pris dans Fintérieur de la première surface, et le signe — quand il est pris au dehors.

(352) Ce théorème donne lieu à plusieurs conséquences. D'abord on en conclut, comme nous l'ayons fait \oir (art. 313), un

théorème où n'entre point la considération du plan n, et qui est exprimé par Téquation

Sa Sh

— : Sa' ± — : SA' = const.

ap bp

(353) Maintenant, prenant pour le plan n, dans le théorème général, le plan polaire du point fixe O par rapport à la première surface, et supposant ce plan polaire à Tinfini, le point O sera le centre de cette surface; les rapports

ap bp a ^ OT

seront égaux à Tunité, et l'équation deviendra

Sa . Sb -±- = con.t.

Ce qui prouve que :

Quand deux surfaces du second degré de révolution ont un foyer commun , si par ce point on mène deux rayons vecteurs aux extrémités d^un diamètre de la première surface, la somme ou la différence de ces deux rayons divisés respectivement par les rayons de la seconde surface qui ont la même direction qu^eux, est constante.

Ce sera la somme si la première surface est un ellipsoïde^ et la différence si elle est un hyperboloïde.

(354) Le rayon mené d'un foyer à un point quelconque d'une surface de révolution est égal au rayon mené par le second foyer ^ parallèlement au premier^ mais en sens contraire; d'après cette remarque^ on voit aisément que le théorème peut prendre cet énoncé :

Si Von a deux surfaces du second degré de révolution placées dune manière quelconque dans V espace, la somme ou la différence des deux rayons vecteurs menés des deux foyers de la première à un point quelconque de cette surface , divisés respectivement par les rayons vecteurs de la seconde surface menés respectivement de ses deux foyers, parallèlement à ces deux premiers, sera constante.

(355) Ce théorème est une généralisation assez remarquable de la propriété connue des foyers d'une surface du second degré. Car si l'on suppose que la seconde surface soit une sphère^ on a précisément cette propriété, c'est-à-dire que

La somme ou la différence des rayons vecteurs menés des deux foyers dune surface du second degré de révolution à un point de la surface est constante.

(356) Si Ton suppose, au contraire, que la première surface soit une sphère, on aura ce théorème :

Si par les deux foyers dune surface du second degré de révolution, on mène deux rayons vecteurs sous une même direction

quelconque , la somme de leurs valeurs inverses sera constante.

Ce qui revient à dire que :

Toute corde menée par un foyer dune surface du second degré de révolution y est divisée en ce point en deux parties dont la somme des valeurs inverses est constante.

(357) Supposons y dans le théorème (352) que la seconde snr&ce soit une sphère^ les lignes Sa\ Sb', seront des rayons de cette sphère; on peut les faire passer dans le second membre de l'équation qui devient :

Sa , S6 ap bp

Ce qui prouve que :

SU dun foyer dune surface du second degré de révolution on mène deux rayons vecteurs aux extrémités dune corde de la surface, qui tourne autour dun point fixe, la somme ou la différence de ces deux rayons divisés respectivement par les perpendiculaires abaissées de leurs extrémités sur le plan polaire du point fixe y pris par rapport à la surface, sera constante.

Ce sera la somme si le point fixe est pris au dedans de la surface et la différence s'il est pris au dehors.

(358) Si dans le théorème (35 1 ) le point fixe est le foyer commun aux deux surfaces^ on aura

il restera donc

Sa Sh

aas -— = COn$t. ,

ap bp

a'ir b'r d==const.,

ce qui prouve que :

Si par un foyer dune surface du second degré de révolution on tire une transversale quelconque, qui rencontrera la surface en deux points, la somme des distances de ces points à un plan transversal quelconque, divisées respectivement par leurs distances au foyer sera constante.

(359) Si l'on prend pour le plan transversal le plan directeur correspondant au second foyer de la surface^ on en conclut que :

Si cPun foyer dune surface du second degré on mène deux rayons aux extrémités dune corde passant par le second foyer, la somme de ces deux rayons divisés respectivement par les distances de leurs extrémités au second foyer sera constante.

Dans ce théorème^ comme dans le précédent^ c'est la somme que nous prenons et non la différence, parce que, dans les deux cas^ le point autour duquel tourne la corde de la surface est dans son intérieur;

(360) Quand une corde d'une sphère tourne autour d'un point fixe^ il est facile de démontrer que les tangentes trigonométriques des demi-angles que les rayons de la sphère menés aux extrémités de la corde font avec le rayon mené au point fixe^ ont leur produit constant \ Supposons que la sphère ait son centre au foyer d'une surface du second degré de réyolution; ces deux surfaces seront homologiques^ et le foyer sera leur centre d'homologie. Les points qui correspondront, dans la surface de réyolution, aux extrémités de la corde de la sphère seront sur les prolongemens des rayons menés à ces extrémités; on conclut donc, de la propriété de la sphère, cette propriété des surfaces de révolution :

Si dun foyer dune surface du second degré de révolution, on mène deux rayons aux extrémités dune corde qui tourne autour dun point fixe , le produit des tangentes trigonométriques des demiangles que ces deux rayons feront avec la droite qui joint le foyer au point fixe, sera constant, quelle que soit la corde menée par ce point.

(361) Si le point fixe est pris au dehors de la surface, et que la

> Ce produit est égal à ^^^ R étant le rayon de la sphère , et D la distance du point fixe à son centre.

Ce théorème, considéré dans le cercle, est dû à Lagrange , qui s'en est servi pour résoudre le problème d'inscrire dans un cercle un triangle dont les trois côtés passent par trois points donnés. (Voir Mémoire$ de l'Académie de Berlin, ann. 1776, page 286.)

corde soit menée tangentiellement à la surface^ son point de contact sera sur une courbe plane; et^ d'après le théorème^ le rayon yecteur mené à chaque point de cette courbe fera un angle constant ayec la droite menée du foyer au point fixe; d'où l'on conclut ce théorème : Le cône qui a four sommet un foyer (tune surface de révolution et pour base une section plane de la surface ^ est de révolution et a pour axe la droite menée du foyer au sommet du cône circonscrit à la surface suivant sa section plane.

(362) Si la corde^ en tournant autour d'un point fixe ^ reste toujours dans un même plan^ ses extrémités seront sur la section faite par ce plan dans la surface^ et le cône qui aura cette section pour base et le foyer de la surface pour sommet^ sera de réyolution; d'où l'on conclut que :

Si autour dune droite fixe^ menée par le sommet dun cône de révolution, on fait tourner un plan transversal , il coupera le cône suivant deux arêtes qui seront telles que le produit des tangentes trigonométriques des demi-angles qu^ elles feront avec la droite fixe, sera constant.

(363) Par la considération du cône supplémentaire, formé par les perpendiculaires aux plans tangens du premier^ on conclut de ce théorème le suivant :

Étant donné un cône de révolution et un plan fixe mené par son sommet, si par un droite prise dans ce plan et passant par le som^ met du cône , on mène deux plans tangens à cette surface, le produit des tangentes trigonométHques des demi-inclinaisons de ces plans tangens sur le plan fixe sera constant.

(364) Ce théorème et le précédent donnent lieu à dent propositions de la géométrie de la sphère^ dont yoici l'énoncé :

\^ Un petit cercle étant tracé sur une sphère, si autour dun point fixe on fait tourner un arc de grand cercle qui rencontre le petit cercle en deux points, le produit des tangentes trigonométrie ques des demi-arcs compris entre ces deux points et le point fixe , sera constant.

2^ Un petit cercle étant tr($cé sur une sphère^ si par un point pris arbitrairement sur un arc de grand cercle fixe, on mène deux arcs de grands cercles tangens au petit cercle, le produit des tan-gentes trigonométriques des demi-angles qu'ils feront avec F arc de grand cercle fixe, sera constant.

(365) La première de ces deux propositions peut être considérée comme répondant au théorème de géométrie plane qui exprime la propriété des segmens des cordes qui se coupent dans le cercle.

La seconde correspond aussi à un théorème de géométrie plane qui consiste en ce que :

Si de chaque point dune ligne droite tracée dans le plan dun cercle on mène deux tangentes au cercle, le produit des tangentes trigonométriques des demi-angles qu'elles feront avec la ligne droite fixe, sera constant.

(366) Les deux propositions précédentes peuyent être considérées comme exprimant^ la première une propriété de quatre points pris arbitrairement sur la circonférence d'un petit cercle de la sphère; et la seconde une propriété de quatre arcs de grands cercles tangens à un petit cercle. Sous ce point de vue , ces deux propositions seront très-utiles dans la géométrie de la sphère. Nous en ferons diverses applications dans un autre moment.

On peut encore dire que la première exprime une propriété du quadrilatère sphérique inscrit à un petit cercle; et la seconde une propriété du quadrilatère sphérique circonscrit à un petit cercle.

$ XXIL Méthode pour les relations angulaires. — Transformation de la sphère en un sphéroïde aplati.

(367) Considérons deux figures homographiques à trois dimensions ;

qu'elles soient coupées respectivement par deux plans homologues

quelconques P, P'; les sections seront deux parties homologues des

deux figures^ de sorte qu'elles seront elles-mêmes deux figures planes

ToM. XL 102

homographiques. On pourra placer les deux corps de manière que ces deux figures planes soient la perspectiye Tune de l'autre; c'est-à-dire de manière que les droites joignant les points a de la première aux points homologues a^ de la seconde^ concourent en un même point O de l'espace. (Cela sera démontré dans le $ XXVI.)

Considérons ce point O comme appartenant à la première figure; il lui correspondra un point 0'^ dans la seconde figure; et aux droites Oa correspondront les droites 0'^\ De sorte que /e« deux figures seront placées de manière que toutes les droites issues du point 0 dans la première^ rencontreront toutes leurs homologues^ respectivement, en des points situés sur un même plan P'.

Et^ plus généralement^

Deux droites homologues quelconques rencontrent respectivement les deux plans P, P^, en deux points a^ a^ qui sont en ligne droite avec le point 0.

(368) Maintenant^ prenons pour le plan P'^ qui est arbitraire^ celui dont le correspondant^ dans la première figure ^ est à l'infini; les points a seront à l'infini; on peut donc dire que :

Les deux figures seront placées die manière que, si F on prend deux droites homologues quelconques, une parallèle à la première, menée par le point O, rencontrera la seconde sur le plan fixe P'.

(369) Réciproquement^ une figure étant donnée^ nous pouYons en construire une seconde^ qui ait une telle forme et une telle position^ par rapport à la première, que cette relation ait lieu.

En effet, une figure étant donnée, prenons cinq points arbitraires, dans l'espace, a^, b^, &, d' et 0' pour former la figure homographique; et convenons que ces points correspondront à cinq points de la pre* mière figure^ que nous allons déterminer.

Que le point 0' corresponde à un point 0 pris arbitrairement dans la figure proposée. Que les points a\b\ & , correspondent respectivement aux points de cette figure situés à l'infini sur les droites Oa', Ob' y Oc'; et que le point rf' corresponde à un point de la première

figure pris sur la droite menée du point O au point (^ où la droite O'd' rencontre le plan a^b'&.

Nous pourrons^ ayee ces données^ construire la figure homographique de la proposée.

Dans cette figure^ il est clair que le plan a'b'& correspond à Finfini de la proposée.

Le point ^ correspond au point situé à Tinfini sur la droite 09.

Ainsi les quatre points a', h' y c\ d\ situés dans un même plan, correspondent à quatre points situés sur les droites Oa' Ob', Oc', Oâ'. Ce qui prouve que la figure située dans le plan a'b'c' est en perspective avec son homologue dans la première figure. Par conséquent tout autre point $' du plan a^b'c' a son homologue à l'infini sur la droite Oe'.

Il s'ensuit que

Toute droite^ dans la seconde figure^ aura son homologue^ dans la première, parallèle à la droite menée du point 0 au point où cette droite de la seconde figure rencontre le plan a'b'c'.

Et si l'on regarde le point 0 comme faisant partie de la seconde figure^ et qu'on le fasse entrer dans les propriétés de cette seconde figure^ on voit cpj^aux angles que différentes droites de la première figure font entre elles, correspondront des angles égaux, faits par les droites menées du point 0 aux points où les droites homologues , dans la seconde figure, rencontrent le plan a'b'c'.

Diverses applications de cette méthode particulière vont en faire connaître parfaitement l'usage.

(370) Supposons que la figure proposée soit une sphère ayant son centre au point 0; la seconde figure sera une surface du second degré. Prenons le point 0% qui est arbitraire^ sur la perpendiculaire abaissée du point 0 sur le plan P\ Cette surface sera alors de révolution autour de la droite 00' y parce que tout sera symétrique de part et d'autre d'un plan mené par cette droite. Ce moyen de déformation donnera donc des propriétés des surfaces du second degré de révolution^ correspondantes à des propriétés de la sphère.

Après avoir disposé du point 0' et du plan P'^ nous pouvons encore

prendre arbitrairement un point d! pour correspondre à un point d de la sphère > en observant cette seule condition que les droites Ody O'd se rencontrent sur le plan P'. Ainsi , pour un point 0' et un plan P' déterminés^ on pourra former une infinité de surfaces de révolution homographiques à la sphère; et les propriétés de la sphère produiront des propriétés de ces surfaces.

Nous pouvons faire en sorte que l'une de ces surfaces ait son centre au point 0 qui est le centre de la sphère.

En effets prenons le point d de la sphère sur la droit 00^; le point correspondant d' de la surface sera aussi sur la droite 00'; et ce point d' peut être pris arbitrairement sur cette droite. Cherchons en quel lieu il doit être placé pour que la surface ait son centre au point O.

Remarquons que le point O' correspond au point O de la première figure , et le plan P' correspond au plan à l'infini de cette première figure. Ce plan à l'infini est le plan polaire du point O par rapport à la sphère ; le plan P' est donc le plan polaire du point 0' par rapport à la surface de révolution. Donc^ si le point 0 est le centre de cette surface, on aura Orf' = 00'. Oc^.

Il faut donc prendre le point d de manière que Fon ait cette égalité; et alors la surface aura son centre au point 0.

Pour déterminer un point m' de la surface, correspondant à un point donné m de la sphère, on mènera par le point m les deux droites mO, mrf, dont les correspondantes passeront par les points 0' et rf' respectivement. La première passera par le point où la droite Om perce le plan P' , et la seconde passera par le point où une parallèle à la droite mdy menée par le point 0, perce ce plan P'. Ainsi le point w' sera déterminé.

Si la droite Ow est parallèle au plan P', la droite O'm' sera parallèle à Om. On trouve aisément, par une comparaison de triangles semblables, que O'm' = Od'. De sorte que^ une corde de la surface, menée par le point 0', perpendiculairement à Taxe de révolution, est égale au diamètre dirigé suivant cet axe. Cela prouve que ce diamètre est le plus petit de la surface ; car s'il était le plus grand, on ne pour-

rait pas inscrire dans la surface une corde qui lui fût égale. Ainsi la surface est un ellipsoïde aplati. Et le point O' jouit de cette propriété qu'il est pris sur Taxe de révolution de manière qu'une corde menée par ce points perpendiculairement à cet axe, est égale au diamètre de Fellipsoïde dirigé suivant cet axe.

Le plan P' est le plan polaire du point 0' par rapport à l'ellipsoïde. Si on veut le déterminer directement sans chercher d'abord le point 0% on trouve cette expression remarquable de sa distance au centre de lellipsoïde^ savoir que :

La valeur inverse du carré de la distance de ce plan au centre de V ellipsoïde y est égale à la différence des valeurs inverses des carrés des deux demi-axes principaux de Vellipse génératrice de Fellipsoïde.

(371) Dans ce qui va suivre nous désignerons toujours le plan en question par P' y et son pèle par 0^ Il est bien entendu que ce plan et ce point ne sont pas arbitraires^ et qu'ils sont^ au contraire^ absolument déterminés. Seulement si on les prend à droite de l'équateur de la surface^ il existera pareillement^ à gauche^ un pareil plan et un pareil point. Nous regrettons de n'avoir pas à donner à ce plan et à ce point des dénominations particulières. Ces dénominations pourraient tirer leur origine de celles de foyer et plan directeur; car le plan et le point en question ont une relation directe avec le foyer et le plan directeur d'un ellipsoïde de révolution allongé. C'est que si Ton fait la transformation polaire de cet ellipsoïde^ par rapport à une sphère concentrique^ on obtient un ellipsoïde aplati^ dans lequel le plan et le point en question correspondent respectivement au foyer et au plan directeur de l'ellipsoïde proposé.

(372) Concevons une sphère ayant son centre au point 0, et l'ellipsoïde de révolution^ aplati^ formé homographiquement comme nous l'avons dit; prenons le plan P' et le point O' de cet ellipsoïde; ce plan correspondra à l'infini de la première figure; et ce point correspondra au point 0^ centre de la sphère.

Nous allons passer en revue différentes propriétés de la sphère qui s'appliqueront à l'ellipsoïde.

Tout cène qui a pour base une section plane de la sphère et pour sommet le centre de cette surface^ est de réyolution.

A ce cône correspondra^ dans Tqllipsoïde^ un second c6ne ayant pour base une section plane de cette surface^ et pour sommet le point 0' ; et ce second cône rencontrera le premier sur le plan P'; d'où l'on conclut que :

Tout cône qui a pour sommet le point 0' et pour base une section plane de r ellipsoïde, rencontre le plan P' suivant une conique qui, vue du centre de la surface , parait être un cercle.

(373) Un cône circonscrit à la sphère est de révolution. A ce cône correspond un cône circonscrit à l'ellipsoïde^ qui rencontre le plan P' suivant une conique qui correspond à l'infini du premier cône. SK donc par cette conique on fait passer un cône qui ait son sommet au centre de Tellipsoïde^ il sera parallèle au cône circonscrit à la sphère; donc

Tout cône circonscrit à F ellipsoïde rencontre le plan P^ suivant une conique qui, vue du centre , parait être un cercle.

(374) Un plan tangent à la sphère est perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de contact; donc

Un plan tangent à VeUipsotde et la corde menés du point 0' au point de contact, rencontrent le plan P' suivant une droite et en un point qui sont tels, que la droite menée du centre à ce point estper^ pendiculaire au plan mené par le centre et par cette droite.

(375) Deux plans tangens à la sphère font des angles égaux ayec la corde qui joint les points de contact; donc

Étant menés deux plans tangens à V ellipsoïde et la corde qui joint les points de contact, si par les droites suivant lesquelles ces deux plans rencontrent le plan P' , on^ mène deux plans passant par le centre de la surface, ils seront également inclinés sur la droite me^ née du centre au point où la corde qui joint les points de contact rencontre le plan P'.

(376) Dans la sphère^ deux droites polaires réciproques sont à angle droit, donc

Deux droites polaires réciproques par rapport à V ellipsoïde ^ rencontrent le plan P' en deux points qui sont tels que les droites menées de ces points au centre de V ellipsoïde sont à angle droit.

(377) Trois diamètres conjugués de la sphère sont rectangulaires ; donc

Trois axes conjugués de V ellipsoïde y relatifs au point 0' ^ rencontrent lepltm -P' en trois points tels que les droites menées du centre de Vellipsoïde à ces trois points sont rectangulaires.

(378) Beaucoup d'autres propriétés de la sphère s'appliqueraient ayec la même facilité à l'ellipsoïde aplati. Il est inutile de nous étendre davantage sur cet objet.

Gomme nous l'avons dit ci-dessus^ la théorie des polaires réciproques^ ou plus généralement^ le principe de Dualité, établit une relation. tr.ès-simple entre les ellipsoïdes de révolution allongé et aplati^ et peuvent servir à passer des propriétés de l'un aux propriétés de l'autre ; de sorte que nous aurions pu déduire les théorèmes précédens des propriétés connues de l'ellipsoïde allongé. Mais ce n'était pas là notre but. Nous avons voulu donner une méthode qui servit à tirer directement^ des propriétés de la sphère ^ les propriétés de l'ellipsoïde aplati^ de même que par la théorie des figures homologiques on peut démontrer celles de l'ellipsoïde allongé. (Voir §§ XIX et XXL)

§ XXIII . Méthode propre pour toutes sortes de relations , de longueurs ^ daires et de volumes.

(379) Dans la transformation homographique d'une figure y le plan situé à l'infini peut être pris pour son homologue dans la nouvelle figure.

Dans ce cas^ les formules générales qui nous ont servi à la construction des figures homographiques [S XV, équations (a) ] se sont simplifiées et sont devenues

(1) ad = X. a'd\ Çd = /*. Ç'd'j yd = y. yd'. (Éq. (rf), art. 283.)

Ces formules expriment que :

Étant pris trois axes coordonnés quelconques Ox, Oj, Oz, dans la première figure; et dans la seconde trois aœes coordonnés 0'\', O'y', O'z', qui soient précisément les droites correspondantes aux premiers axes; ^e x, y, z, désignent les coordonnées cFun point quelconrque m de la première figure^ rapportées aux trois premiers axes , et x' , y' , z' , les coordonnées du point correspondant de la deuxième figure^ rapportées aux trois autres axes^ on aura

ly fjL et V étant trois constantes.

Réciproquement^ quand ^ entre les points de deux figures rapportées à deux systèmes d'axes coordonnés quelconques^ on a ces relations^ ces deux figures sont homographiques , et ont cela de particulier^ que le f)lan situé à l'infini^ considéré comme appartenant à Tune d'elles^ est lui-même son homologue dans Tautre.

(380) Des formules (2) nous déduirions aisément toutes les propriétés des deux figures^ et notamment celles sur lesquelles vont reposer les applications que nous allons faire de ce mode de transformation; mais nous préférons^ pour ne point nous écarter de la voie purement géométrique que nous avons suivie jusqu'ici^ déduire ces propriétés^ particulières aux deux figures^ de la théorie générale des figures homographîques.

(381) Soient donc deux figures homographiques^ telles que le plan situé à l'infini dans la première soit lui-même son homologue dans la seconde. Les propriétés caractéristiques des deux figures seront^ sous le rapport des relations descriptives^ que à deux droites parais lèles dans Vune^ correspondront deux droites parallèles dans Vautre; et conséquemment^ à deux plans parallèles dans F une, correspondront deux plans parallèles dans Vautre; cela est évident;

Et sous le rapport des relations métriques^ que deux droites ho-mologues sont divisées en parties proportionnelles par des points homologues ; c'est-à-dire que a, b, c, d, .... étant des points de la

Di^itized by

première figure situés en ligne droite^ et a'^ b', c', d'y .... les points correspondans dans la seconde figure^ les segmens ab, cd^ .... sont proportionnels aux segmens a'b', b^&y .... En efiet on a

ba da Va' ^ d'à'

Supposons le point d à l'infini^ le point d' sera aussi à l'infini et l'équation deviendra

ba h'a' bc ~ h'c' '

Ainsi les segmens ab, bc, sont proportionnels aux segmens a'b'^ b'&.

(382) Il suit de là que quand une droite de la première figure est divisée en parties égales^ la droite homologue dans la seconde figure est aussi divisée en parties égales par les points correspondans aux points de division de la première droite.

(383) Les deux sortes de relations descriptives et métriques que nous venons de reconnaître à nos figures homographiques donnent lieu à trois propriétés principales de ces figures^ sur lesquelles reposent les applications auxquelles ce mode de déformation sera propre.

Ces trois propriétés sont les suivantes :

\^ Le rapport de deux segmens pris sur deux droites parallèles quelconques dans la première figure ^ est égal au rapport des deux segmens correspondans dans la seconde figure.

2p Le rapport des aires de deux polygones plans quelconques situés dans deux plans parallèles^ appartenant à la première prgure^ est égal au rapport des aires des deux polygones correspondans dans la seconde figure.

3^ Les volumes de deux parties correspondantes des deux figures seront entre eux dans un rapport constant.

(384) Nous allons démontrer successivement ces trois propositions. Soient ab^ cd, deux lignes parallèles^ dans la première figure^ et

a'b'^ c'd, les deux lignes correspondantes de la seconde figure; il faut ToM. XI. 103

prouver qu on a

ab oT cd ^ c'd' *

Les deux lignes ac^ bdse coupent en un point e, et l'on a

ah ea cd ec

Pareillement les deux lignes a'c', b'd' se coupent en un point e\ et Ton a, parce que les deux lignes a'A'^ c'cP sont parallèles^

Or on a

ea e^a^

donc les premiers membres des deux équations sont égaux; c'est-àdire que

- = -. CQ.F.P.

(385) Soient deux aires planes T^ U^ situées dans deux plans parallèles^ et appartenant à la première figure, et soient T', U', les aires correspondantes dans la seconde figure^; elles seront aussi dans deux plans parallèles entre eux.

Quelle que soit la forme des deux polygones T, U, on peut les décomposer chacun en un certain nombre de petits parallélogrammes tous égaux entre eux, et ayant leurs côtés parallèles à deux axes fixes. T contiendra m de ces parallélogrammes, et U en contiendra n. Le rapport des aires des deux polygones sera — • Tous ces petits parallélogrammes auront pour correspondans dans la seconde figure d'autres parallélogrammes, et ceux-ci seront aussi égaux entre eux (382); de sorte que les deux polygones T', U^, seront divisés en autant de parallélogrammes, respectiYcment, que les deux T, Uj par conséquent le rapport de leurs aires sera aussi ^- U sera donc égal au rapport des aires des deux premiers polygones.

(386) n nous reste à démontrer la troisième proposition , savoir : que deux parties correspondantes des deux figures homographiques ont leurs yolumes dans un rapport constant.

Soient V, V, les YoIumes de deux polyèdres correspondans; il faut

démontrer que le rapport y, est constant^ quels que soient les deux polyèdres^ c'est-à-dire que v et t>' étant les yolumes de deux autres polyèdres correspondans^ on aura

En efiet^ que l'on diyise chacun des deux corps Y , t^^ en un certain nombre de petits rhomboïdes égaux entre eux^ en menant trois séries de plans parallèles^ dont les plans de chaque série soient également éloignés entre eux; supposons que les deux corps contiennent ^ le premier m rhomboïdes, et le second n;le rapport de leurs yolumes

sera ■- •

Les deux corps correspondans V, v', dans la seconde figure, seront diyisés aussi en m et n rhomboïdes, qui seront différens des premiers, mais qui seront aussi égaux entre eux. De sorte que le rapport des yolumes de ces deux corps sera ^* Il est donc égal au rapport des yolumes des deux premiers corps. G. Q. F. P.

(387) Les trois propositions que nous yenons de démontrer sery iront pour faire la transformation des relations de distances, d'aires et de yolumes d'une figure.

La transformation des relations de yolumes se fera immédiatement, puisque les yolumes des différentes parties de la nouyelle figure sont proportionnels aux yolumes des parties correspondantes de la figure proposée.

(388) Pour opérer la transformation des relations de distances et des relations de surfaces, conceyons qu'une sphère fasse partie de la figure proposée. Il lui correspondra, dans la nouyelle figure, un ellipsoïde.

Soit une ligne quelconque AB de la figure proposée, et R le rayon

de la sphère qui lui est parallèle; on aura dans la nouyelle figure une ligne A'B' et un demi-diamètre D' de l'ellipsoïde ^ qui sera parallèle au rayon R, et Ton aura

:^=^(m). D'où AB = :^. R.

Donc :

Pour faire la transformation (Tune relation entre certaines lignes dune figure proposée y il suffira de remplacer, dans cette relation, ces lignes par les lignes correspondantes de la figure homographie que, divisées respectivement par les demi-diamètres dun ellipsoïde quelconque^ qui leur seront parallèles, et multipliées par une constante.

Si la relation proposée est homogène^ on prendra cette constante égale à l'unité.

(389) Pour les relations d'aires, concevons toujours une sphère faisant partie de la figure proposée; soit S une aire plane, et 2 la surface du carré construit sur deux rayons rectangulaires de la sphère, compris dans son plan diamétral parallèle au plan de l'aire S. On aura dans la seconde figure une aire plane S' et la surface 2' du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués de l'ellipsoïde correspondant à la sphère, ces demi-diamètres étant compris dans le plan diamétral parallèle au plan de l'aire S', et l'on aura

D'où

2 est une constante, quelle que soit la direction du plan de l'aire S; on conclut donc de là que :

Pour faire la transformation dune relation entre des aires planes dune figu7*e, il suffit de substituer, dans cette relation, à ces aires, les aires correspondantes de la figure homographique , divisées res-

pectivement par les surfaces des parallélogrammes construits sur deuoo demi" diamètres conjugués dun certain ellipsoïde^ compris dans des plans parallèles à ceux de ces aires, et multipliées par une constante.

Si la relation proposée est homogène^ on prendra cette constante égale à l'unité.

(390) Enfin nous pouvons énoncer de suite cette troisième règle : Pour faire la transformation dune relation entre les volumes de

différentes parties dune figure, il suffit de substituer à ces volumes dans cette relation, les volumes des parties correspondantes de la seconde figure, multipliés respectivement par une constante.

Si la relation proposée est homogène^ on prendra cette constante égale à l'unité.

(391) On voit que ces principes de transformation introduiront, généralement, dans la nouvelle figure, la considération d'un ellipsoïde.

Gela donne lieu aux observations suivantes, dont Tapplication se présentera dans beaucoup de questions :

1^ Cet ellipsoïde auxiliaire est indéterminé de position; et généralement il est indéterminé de forme;

2^ S'il se trouvait une sphère dans la première figure, il faudrait prendre dans la seconde figure, pour Fellipsoïde auxiliaire^ l'ellipsoïde même correspondant à la sphère, ou du moins un ellipsoïde homothétique (semblable et semblablement placé) ; parce que deux corps homothétiques dans la première figure, donnent lieu dans la nouvelle figure à deux corps qui sont sussi homothétiques entre eux ;

3^ Dans les théorèmes qui, par leur nature, seront susceptibles de l'application du principe des relations contingentes, on pourra substi* tuer à l'ellipsoïde auxiliaire une autre surface du second degréé

(392) Nous allons faire diverses applications de ce mode de déformation homographique.

Prenons d'abord une sphère; le principe de déformation donnera un ellipsoïde à trois axes inégaux ; et les propriétés de la sphère se convertiront immédiatement en propriétés de l'ellipsoïde. Il est évi-

dent qu'au centre de la sphère correspondra le centre de Fellipsoîde; et qu'à trois diamètres rectangulaires delà sphère correspondront trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde.

(393) Le cube construit sur trois rayons rectangulaires quelcon* ques a toujours le même volume ; donc

Le rhomboïde construit sur trois demi-diamètres conjugués duh ellipsoïde a toujours le même volume y quel que soit le système de ces trois diamètres.

Soient a^bjC les trois demi-diamètres principaux de rellipsoîde, le volume du rhomboïde construit sur trois autres demi -diamètres con* jugués sera toujours égal à abc.

(394) Le volume de la sphère est égal au cube construit sur le rayon, multiplié par | tt. Donc

Le volume de V ellipsoïde est égal au volume du rhomboïde construit sur trois demi-diamètres conjugués ^ multiplié par | ir, &està-dire à ^n abc.

(395) Quand deux sphères sont concentriques, les plans tangens à la plus petite retranchent de la plus grande des segmens égaux; donc :

Quand deux ellipsoïdes sont concentriques et homothétiques , les plans tangens au plus petit retranchent du plus grand des segmens égaux.

Les secteurs correspondant à ces segmens sont aussi égaux.

Les cônes circonscrits à Tellipsoïde suivant les bases des segmens ont aussi des volumes égaux.

(396). Prenons ce beau théorème d'Archimède : Le volume d'un segment de sphère est au cône qui a même base et même hauteur , comme le rayon de la sphère, plus la hauteur de l'autre segment, est à la hauteur de cet autre segment. {De la sphère et du cylindre; livre II, proposition 3.)

On en conclut immédiatement cet autre théorème, démontré aussi par Archimède, pour l'ellipsoïde de révolution seulement. {Des sphéroïdes et des conoïdeSy proposition 32.)

Le volume d'un segment d ellipsoïde quelconque est au cône qui

a même base et même sommet ^ comms la moitié du diamètre qui aboutit à ce sommet, plus Ut partie de ce diamètre non comprise dans le segment, est à cette même partie.

Nous appelons sommet du segment l'extrémité du demi-diamètre qui passe par le centre de la base du segment.

(397) La surface de la sphère est égale à quatre fois celle d'un grand cercle; donc

Si Von considère un ellipsoïde comme un polyèdre d!une infinUë de faces infiniment petites , Fintdgrale double qui donnera la somme de toutes ces faces divisées respectivement par les aires des sections faites dans Vellipsoïde par des plans diamétraux parallèles à ces faces, sera égale à quatre.

(398) Soit une sphère et deux plans fixes menés par son centre ; si autour de ce point on fait tourner un troisième plan , de manière que la somme des angles dièdres qu'il fera ayec les deux plans fixes ^ soit constante^ ce plan enveloppera un cône du second degré; et le produit des sinus des angles que chaque arête de ce cône fera avec les deux plans fixes sera constant ^

L'aire du triangle sphérique déterminé sur la sphère par les deux plans fixes et par le plan mobile sera constante ^ puisque la somme des trois angles de ce triangle sera toujours la même; conséquemment le volume de la pyramide sphérique comprise sous ces trois plans sera aussi constant. Le cône percera la sphère suivant une conique sphérique. Le produit des distances de chaque point de cette courbe aux deux plans fixes sera constant; ce qui prouve que cette courbe est sur un cylindre hyperbolique dont les deux plans fixes sont les plans asymptotes. On conclut de là que :

Étant donné un ellipsoïde, et deux plans fixes menés par son centre, si autour de ce point on fait tourner un troisième plan, de manière que la portion de Vellipsoïde comprise dans V angle trièdre

1 J'ai démontré ces deux propositions dans mon Mémoire sur les propriétés générales des cônes du second degré y art. 24 et 26.

formé par ces trois plans ait son volume constant, le plan mobile enveloppera un cône du second degré ; et Ut courbe d intersection de la surface de F ellipsoïde par ce cône, sera située sur un cylindre hyperbolique dont les plans asymptotes seront les deuw plans fixes.

(399) Si par un point fixe S on mène une transversale qui rencontre un sphère en deux point a, a\ on aura

Sa. Sa' SB= const. ;

Donc

Si par un point fixe S on mène une transversale qui rencontre un ellipsoïde en deux points a, a', on aura

Sa. Sa'

= CODSt.

D étant le demi- diamètre de F ellipsoïde parallèle à la trans-versale.

(400) Si par un point fixe on mène des droites aux extrémités a,b d'un diamètre quelconque de la sphère^ on aura

Sa ^ Sh tss, const.

Donc

Si dun point fixe on mène des droites aux extrémités dun diamètre quelconque d'un ellipsoïde, la somme de leurs carrés divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres parallèles à ces droites, est constante.

Ainsi l'on a

sï' sT'

H.- =consl.

Or on a^ par le théorème précédent^

On conclut de là

Sa. Sa' Sh. Sh'

—^ as const. = A , —^77" «= ^•

Sa Sh

- ^g^= const.

C'est le théorème de l'art. 343 (S XX).

(401) La somme des carrés des droites menées des extrémités d'un diamètre à un point quelconque de la sphère est constante et égale au carré de ce diamètre; donc

La somme des carrés des droites menées des extrémités dun diamètre de l ellipsoïde à un point quelconque de cette surface y di^ visés respectivement par les carrés des diamètres parallèles à ces droites^ est constante et égale à Vunité.

Ainsi soient A^ B^ les extrémités d'un diamètre de l'ellipsoïde^ et m un autre point quelconque de cette surface^ et soient D^ D'^ les diamètres parallèles aux deux droites mA^ mB^ on aura

(402) Si^ sur un diamètre d'une sphère et sur son prolongement^ on prend deux points conjugués harmoniques par rapport aux extrémités du diamètre^ le rapport des distances de ces deux points à un point quelconque de la sphère sera constant ; donc

Si sur un diamètre dun ellipsoïde on prend deux points conjugués harmoniques par rapport aux extrémités de ce diamètre ^ les distances de chaque point de V ellipsoïde à ces deux points y divisées respectivement par les demi-diamètres parallèles aux droites sur lesquelles se mesurent ces distances y ont un rapport constant.

(403) Si l'on a un système de points dans l'espace ^ et leur centre des moyennes distances^ et que de ce points comme centre^ on décriye une sphère^ la somme des carrés des distances d'un point quelconque de cette sphère à tous les points du système sera constante ; donc

Si Von a un système de points dans V espace y et un ellipsoïde qui ait son centre de figure au centre des mmfennes distances de tous ces points y la somme des carrés des droites menées dun point quelconque de V ellipsoïde à tous les points y divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres parallèles â ces droites y sera constante.

(404) Soit un cercle, et deux axes coordonnés rectangulaires me- ToH. XI. 104

nés par son centre. Qu'on mène deux rayons quelconques rectangulaires; soient ^'^ y '^ les coordonnées de Textrémité du premier^ et ix^\ y'^, les coordonnées de Textrémité du second; on aura évidemment^

x" = d= y' et y" = qp *'•

Faisons la déformation homographique; nous aurons une ellipse, deux axes coordonnés Ox^ Oy, dirigés suivant deux diamètres conjugués^ et deux autres diamètres conj ngués; et l'on en conclut ce théorème :

t! équation dune ellipse Rapportée à deux axes conjugués étant

si Von représente par x', y' et x", y", les coordonnées des extrémités de deux demi-diamètres conjugués quelconques, on aura

Ces relations entre les coordonnées des extrémités de deux demidiamètres conjugués sont très-simple^ et peuvent servir à démontrer rapidement les diverses propriétés connues de ces diamètres. Elles pourraient être introduites avec avantage dans la théorie analytique des sections coniques^ où on les démontrerait directement.

(405) Qu'on prenne le théorème de Cotes, et qu'on le transporte à l'ellipse, en observant qu'à des secteurs égaux dans le cerle, correspondront des secteurs égaux dans l'ellipse, on aura le théorème suivant :

Si Von mène dans V ellipse 2n demi- diamètres^ qui divisent sa

surface en 2n secteurs égaux ^ etquon appelle m^, m,, m,, les

points de division consécutifs; que dun point 0, pris à volonté sur le demùdiamètre Cm^, ou sur son prolongement, on mène des droites à tous les points de division;

1® Le produit des droites menées à tous les points de division de rang pair, divisé par le produit des demi-diamètres parallèles d ces

droites, sera égal à

Cnto

2^ Le produit de foutes les droites menées aux points de division de rang impair^ divisé par le produit des demi-diamètres parallèles à ces droites^ sera égal à

Nous pourrions dire que les points de division m^, m,, .... sont pris de manière que l'intégrale de l'élément de l'arc d'ellipse^ divisé par le demi-diamètre parallèle à la direction de cet élément^ a la même valeur entre deux points de division consécutifs quelconques.

On pourrait généraliser de même le théorème de Moivre.

§ XXIV. Suite du précédent. — Démonstration géométrique des diverses propriétés des diamètres conjugués (Tune surface du second degré.

(406) Soient trois rayons rectangulaires r^ r', r^'y d'une sphère^ et trois autres rayons rectangulaires p, p'y p''; le sinus de l'angle que le rayon p" fait avec le plan des deux rayons r^ r', est égal au sinus de l'angle que le rayon r'^ fait avec le plan des deux rayons p, p'; ^onc le rhomboïde construit sur les trois rayons r, r'^ p", a le même volume que le rhomboïde construit sur les trois rayons r'', p, p'. On conclut de là que :

Quand on a deux systèmes de trois diamètres conjugués dune surface du second degrés le rhomboïde construit sur deux diamètres du premier système et un diamètre du second y est égal au volume du rhomboïde construit sur les trois autres diamètres.

Nous avons déjà démontré (393) que le rhomboïde construit sur trois diamètres conjugués quelconques a toujours le même volume; on peut donc dire que :

Étant donnés deux systèmes quelconques de trois diamètres conjugués y le rhomboïde construit sur trois quelconques d entre eux a le même volume que le rhomboïde construit sur les trois autres.

(407) La somme des carrés des cosinus des angles que les trois rayons r, r', r'^ font ayec le rayon p est égale à l'unité; donc la somme des carrés des projections orthogonales des trois rayons r, r'^ r", sur le rayon p, est constante^ quel que soit le système des trois rayons rectangulaires r^ r'y r"; on en conclut que :

Si Von projette trois diamètres conjugués dPune surface du second degré sur un axe fixe^ par des plans parallèles au plan conjugué à cet axe y la somme des carrés des projections sera constante , quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

(408) Si l'on mène une droite perpendiculaire aux plans projetans , la projection othogonale d'un diamètre^ sur cette droite^ sera égale à sa projection sur le diamètre fixe^ multipliée par le cosinus de l'angle que ce diamètre fait aTec la droite; on en conclut que :

La somme des carrés des projections orthogonales de trois diamètres conjugués sur une droite fixe^ est constante y quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

(409) Si l'on fait les projections sur trois droites rectangulaires^ et qu'on fasse la somme de leurs carrés , on aura pour résultat» que :

La somme des carrés de trois diamètres conjugués est constante.

(410) Appliquant à ce théorème le principe du n^ 388, on le généralise de cette manière :

Étant donnés deux ellipsoïdes quelconques y la somme des carrés de trois diamètres conjugués du premier y divisés par les carrés des diamètres du second, qui leur sont parallèles respectivement y est constante.

(41 1 ) Et si la première surface est une sphère, on en conclut que :

La somme des valeurs inverses des carrés de trois diamètres rec-ttmgulaires dun ellipsoïde est constante.

(412) La somme des carrés des perpendiculaires abaissés des extré-

mités de trois rayons de la sphère^ rectangulaires^ sur un diamètre fixe, est constante ; donc

St^ des extrémités de trois demi^iamètres conjugués quelconques dun ellipsoïde^ on abaisse sur un diamètre fixe des obliquas parallèles au plan conjugué à ce diamètre y la somme des carrés de ces obliques, divisés respectivement par les carrés des demi-^diamètres qui leur sont parallèles , sera constante.

(413) Soient les trois rayons rectangulaires r, r', r"; la somme des carrés des cosinus des angles que les trois plans qu'ils déterminent deux à deux font avec un plan donnée est égale à Tunité; on en conclut que la somme des carrés des projections othogonales des parallélogrammes construits sur ces rayons deux à deux^ sur le plan donné, est constante; donc

Un rhomboïde étant construit sur trois diamètres conjugués dun ellipsoïde, si Von projette ses faces sur un plan fixe, par des droites parallèles au diamètre conjugué à ce plan, la somme des carrés des projections sera constante, quel que soit le système des trois diamè'très conjugués.

(414) Si on mène un plan perpendiculaire aux droites projetantes, on aura les projections othogonales des faces du rhomboïde sur ce plan; elles seront égales aux projections sur le premier plan^ multipliées par le cosinus de l'angle des deux plans ; d'où il suit que :

Les faces du rhomboïde construit sur trois diamètres conjugués quelconques dtun ellipsoïde étant projetées orthogonalement sur un plan fixe, la somme des carrés de leurs projections est constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

(415) Faisant les projections sur trois plans rectangulaires et ajoutant leurs carrés, on en conclut que :

La somme des carrés des faces du rhomboïde construit sur trois diamètres conjugués est constante.

(416) Substituant, dans ce théorème, au parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués, l'aire de la section faite dans l'ellipsoïde par le plan de ces deux diamètres , et appliquant au

théorème le principe de transformation du n^ 389^ on a le sniyant :

Étant donnés deux ellipsoïdes concentriques y la somme des carrés des aires des sections faites dans le premier par trois plans conjurgués, divisés respectivement par les carrés des aires des sections faites par les mêmes plans dans le second ellipsoïde ^ est constante.

(417) Si la première surface est une sphère^ il s'ensuit que : Dans un ellipsoïde , la somme des valeurs inverses des carrés des

sections faites par trois plans rectangulaires, est constante.

Pour appliquer ce théorème et le précédent aux hyperboloîdes^ on substituera aux aires des sectiohs diamétrales les aires des rhombes construits sur deux diamètres conjugués compris dans les plans de ces sections.

(418) On voit par les théorèmes précédens^ que les propriétés des faces des rhomboïdes construits sur trois diamètres conjugués sont analogues aux propriétés relatives aux longueurs de ces diamètres. £t en effets les unes se peuvent déduire desn autres facilement^ au moyen du théorème suivant :

Si par le centre dune surface du second degré on élève sur cha-que plan diamétral une perpendiculaire proportionnelle à Faire du parallélogramme construit sur deucc diamètres conjugués compris dans ce plan^ Vextrémité de cette perpendiculaire sera sur une seconde surface du second degré.

Soient Oa, Oby les deux demi-diamètres conjugués pris dans le plan diamétral^ et Oy la perpendiculaire élevée sur leur plan^ laquelle est égale à l'aire du parallélogramme construit sur Oa et O^. Ck)ncevons le demi-diamètre Oc qui forme avec les deux premiers un système de trois demi-diamètres conjugués^ et menons le plan tangent à la surface^ au point c , et la perpendiculaire Op sur ce plan. Cette perpendiculaire sera en raison inverse de l'aire du parallélogramme construit sur Oa et 0^^ d'après le théorème (393). Donc 0/ est en raison inverse de Op. Donc le point y appartient à la surface polaire réciproque de la proposée^ prise par rapport à une sphère auxiliaire con-

centrique. Cette surface polaire est du second degré; le théorème est donc démontré.

(419) Reprenons une sphère^ et soient r^ r\ r", trois rayons rectangulaires; menons un diamètre fixe p\ le plan tangent à Textrémité du rayon r rencontre le diamètre p en un point dont la distance au centre de la sphère a sa yaleur iuTcrse égale au cosinus de l'angle que le rayon r fait avec le diamètre p : donc les plans tangens aux extrémités des trois rayons r^ t^ , r", font sur le diamètre p trois segmens dont les valeurs inverses ont la somme de leurs carrés constante; donc

Les 'plans tangens à une surface du second degré aux extrémités de trois demi-diamètres conjugués^ rencontrent un diamètre fixe en trois points dont les distances au centre de la surface ont la somme des carrés de leurs valeurs inverses constante.

(420) Soient les trois rayons rectangulaires r^ r^, r", et un plan fixe P. Projetons sur ce plan^ par des droites parallèles au rayon r"^ le parallélogramme construit sur les deux premiers rayons r^ r'/ la projection sera égale à ce parallélogramme divisé par le cosinus de l'angle que son plan fait avec le plan P; donc la valeur inverse de cette projection sera égale à la valeur inverse du parallélogramme^ multipUée par le cosinus; si on projette de même sur le plan P les deux autres parallélogrammes construits^ l'un sur ret r"^ et l'autre sur r'^ r''^ on aura trois projections dont la somme des valeurs inverses des carrés sera égale à une constante. On en conclut^ dans les surfaces du second degré , une propriété que nous pouvons énoncer ainsi :

Les faces du rhomboïde construit sur trois demi-diamètres conjugués dune surface du second degrés rencontrent un plan fixe suivant six droites qui sont parallèles deux à deux^ et qui, prises quatre à quatre, déterminent trois parallélogrammes; la somme des valeurs inverses des carrés de ces trois parallélogrammes a une valeur constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués. On peut exprimer ce théorème de cette manière : Un rhomboïde étant construit sur trois demv^liamètres conjugués

quelconques dune surface du second degrés si on projette chacune de ses faces sur un plan fixe, par des droites parallèles au diamètre conjugué au plan de la face projetée , la somme des valeurs inverses des carrés des projections sera constante, quel que soit le système des trois demi-diamètres qonjugués.

(421) Si d'un point de l'espace on abaisse des perpendiculaires sur trois plans rectangulaires quelconques^ menés par un point fixe^ la somme des carrés de ces perpendiculaires sera constante^ et égale au carré de la distance des deux points; donc

Si dJun point m de F espace on abaisse sur trois plans diamétraux conjugués quelconques dun ellipsoïde trois obliques parallèles respectivement aux trois diamètres conjugués à ces plans , la somme des carrés de ces obliques, divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres qui leur sont parallèles , sera constante, et égale au carré de la droite menée du point m au centre de Fellipsoide, divisé par le carré du demi-diamètre compris sur cette droite.

Ainsi soient a, b, c, trois demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde; prenons leurs directions pour celles de trois axes coordonnés O^;^ Oy^ Oz, et soient x, y , z les coordonnées d'un point m de l'espace; soit Od le demi-diamètre de la surface compris sur la droit Om, on aura l'équation

j?" y* JB* Om

quel que soit le système des trois demi-diamètres conjugués a, b, c. Cette équation fait yoir que la quantité

est plus grande ou plus petite que l'unité^ suivant cpie le point m est pris au dehors ou au dedans de l'ellipsoïde; et qu'elle est précisément égale à l'unité^ quand le point m est pris sur la surface; c^est-

à-dire qne Féquation

appartient à tous les points de la surface.

(422) Soient deux droites fixes menées par le centre de la sphère, la somme des produits des cosinus des angles qu'elles font avec trois rayons rectangulaires est égale au cosinus de l'angle qu'elles font entre elles; ainsi cette somme est constante, quel que soit le système des trois rayons rectangulaires; on conclut de là que la somme des produits des projections orthogonales des trois rayons sur les deux droites, est constante. Et si l'on conçoit deux plans diamétraux perpendiculaires respectivement aux deux droites fixes, on peut dire que la somme des produits des perpendiculaires abaissées des extrémités des trois rayons rectangulaires sur les deux plans, est constante.

A ces trois perpendiculaires, correspondront, dans la figure homographique, les obliques abaissées des extrémités de trois demidiamètres conjugués de l'ellipsoïde, sur deux plans diamétraux, parallèlement aux diamètres conjugués à ces plans. Ces obliques seront proportionnelles respectivement aux perpendiculaires abaissées des mêmes points sur les deux plans fixes; on a donc ce théorème :

Étant menés deux plans fixes par le centre dun ellipsoïde^ la somme des produits des perpendiculaires abaissées des extrémités de trots demi-diamètres conjugués sur ces deux plans, sera constante.

Si les deux plans sont conjugués, cettesomme est égale à zéro.

(423) Si l'on conçoit deux droites perpendiculaires aux deux plans respectivement, les perpendiculaires abaissées sur ces plans seront égales aux projections othogonales des demi-diamètres sur ces droites; on peut donc dire que :

La somme des produits des projections de trois demi^diamètres conjugués sur deux droites fixes j est constante.

Si les deux droites se confondent, on aura, comme simple corollaire, le théorème (408).

ToH. XI. 105

(424) Soient deux plans fixes et trois plans rectangulaires quelconques menés par le centre de la sphère^ la somme des produits des cosinus des angles que ces trois plans feront avec les deux plans fixes sera constante et égale au cosinus de l'angle des deux plans. H s^ensuit que si l'on conçoit trois rayons rectangulaires y la somme des produits des projections^ sur les deux plans ^ des rhombes construits sur ces rayons pris deux à deux^ sera constante.

On conclut de là un théorème semblable^ à l'égard des projections des parallélogrammes faits sur trois demi-diamètres coi^ugués pris deux à deux; ces projections étant faites sur deux plans fixes par des droites parallèles aux diamètres conjugués à ces plans; et si l'on conçoit deux autres plans perpendiculaires respectiTcment à ces deux droites^ les projections othogonales sur ces plans seront égales respectiyement aux premières projections multipliées par les cosinus des angles que les premiers plans font^ respectivement^ avec les deux nouveaux ; on peut donc énoncer ce théorème :

Un rhomboïde étant construit sur trois demi-diamètres conjugués (Tun ellipsoïde^ si Von projette orthogonalement chacune de ses faces sur deux plans fixes ^ et qyion fasse le produit de ces deux projections ^ la somme de ces produits est constante , quel que soit le système des trois demi-diamètres conjugtiés.

Si les deux plans se confondent, on a le théorème (414).

(425) Si par un point fixe on mène dans la sphère trois cordes rectangulaires, la somme de leurs carrés sera constante (Géométrie de position y p. 166); donc

Si par unpointfixeon mène dans un eUipsoïde trois cordes parallèles à trois diamètres conjugués quelconques j la somme de leurs carrés y divisés respectivement par les carrés de ces diamètres y est constante.

Le point fixe peut être pris sur la surface de l'ellipsoïde.

(426) Si par un point pris dans l'intérieur d'une sphère on mène trois plans rectangulaires, la somme des aires des trois sections est constante {Géométrie de position y p. 167); donc

Si par un point fiwe pris dans t intérieur d!un ellipsoïde on mène trois plans parallèles à trois plans conjugués quelconques, la somme des aires des trois sections, divisées respectivement par les aires des sections diamétrales fhites par les plans conjugués, sera constante.

$ XXY. Réflexions^ sur la théorie des figures homographiques. — Démonstration de quelques-unes de leurs propriétés générales.

(427) Nous n'avons considéré^ dans ce Mémoire, la théorie des figures homographiques que comme méthode de transformation propre à la démonstration et à la généralisation des propositions de géométrie. Mais cette théorie est susceptible de développemens d'une autre nature. Deux figures homographiques, situées d'une manière quelconque dans l'espace^ donnent heu à un ensemble de propositions assez nombreuses qui appartiennent à la théorie propre de ces figures, et ces propositions pourront, soit dans leur généralité, soit dans divers cas particuliers, être utiles et offirir des résultats intéressans. Par exemple, deux corps semblables, ou deux corps parfaitement égaux, quelle que soit leur position dans l'espace, forment un système de deux figures homographiques; les propriétés générales de ces figures appartiendront donc aux deux corps. La théorie des figures homographiques conduira donc aux propriétés générales du déplacement fini quelconque, ou du mouvement infiniment petit d'un corps solide dans l'espace.

On voit donc que cette théorie mérite d'être étudiée pour elle-même, indépendamment de ses usages pour la transformation des figures. Aussi nous comptons revenir sur cet objet.

Nous nous bornerons, dans ce moment^ à faire connaître seulement deux propriétés générales des figures homographiques, qui trouveront des applications fréquentes dans diverses recherches géométriques. Elles justifieront la forme des énoncés que nous avons donnés à deux propriétés des coniques, dans nos Notes XY et XYI; et nous en

832 MÉMOIKE DE GÉOMÉTRIE.

déduirons une propriété particnlière à deux figures homographiques planes^ dont nous avons fait usage précédemment (§ XYI^ art« 299.)

Ensuite nous appliquerons^ dans le paragraphe suivant^ la théorie des figures homographiques à la perspective et particulièrement à une question dont nous avons parlé au sujet de la perspective de Stévin (NoteXYIII); question dont ce savant géomètre hollandais n'a résolu que des cas particuliers^ et qui depuis n'a jamais reçu une solution complète.

(428) Quand on prends dans deux figures homographiques^ trois droites qui se correspondent^ aux points a,byC,d, .... de la première correspondent des points a', b', &, d, .... de la seconde; et quatre quelconques des premiers points ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points qui leur correspondent.

Nous dirons que les deux droites sont divisées homographiquement par les points a, b^ c, .... et a% b^, &, ....

Pareillement aux plans A^ B^ C^ menés par une droite de la

première figure^ correspondent des plans k\ W, Q\ .... passant par la droite correspondante de la seconde figure. Et le rapport anharmonique de quatre quelconques des plans ky B^ G ^ .... est égal à celui des quatre plans correspondans. Nous dirons que les premiers plans forment xm faisceau et que les plans correspondans forment un second faisceau^ et que ces deux faisceaux de plans sont homographiques.

Si les figures étaient planes ^ au lieu de faisceaux de plans ^ nous considérerions des faiceaux de droites ; et nous dirions que deux faisceaux correspondans sont homographiques.

Ainsi ^ en résumé^

Deux droites sont divisées homographiquement, quand le rapport anharmonique de quatre points quelconques de la première est égal au rapport anharmonique des quatre points correspondans de la seconde;

Deux faisceaux de droites , compris dans un même plan ou dans deux plans différens^ sont homographiques , quand le rapport anharmonique de quatre droites quelconques du premier faisceau est égal au rapport anharmonique des quatre droites correspondantes du second faisceau;

Et deux faisceaux de plans sont homographiques quand le rapport anharmonique de quatre plans quelconques du premier faisceau est égal au rapport anharmonique des quatre plans correspondans du second faisceau.

(429) Les deux propriétés générales du système de deux figures homographiques que nous allons démontrer sont les suivantes :

Première proposition. — Quand deux droites y placées dune manière quelconque dans P espace ^ sont divisées homographiquement , les droites qui joignent deux à deux les points de division correspondans y forment un hyperboloïde à une nappe.

£n eiSet quatre points de division a y by c, c?^ de la première droite^ ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points correspondans a' y b'y c'y d'y de la seconde droite. Il s'ensuit (ainsi que nous l'avons démontré dans notre Note IX ^ page 306) que^ une droite quelconque qui s'appuiera sur trois des quatre droites aa', bb'y ce' y dd'y s'appuiera nécessairement sur la quatrième; d'où il suit que ces quatre droites appartiennent à un hyperboloïde à une nappe.

(430) Deuxième proposition. — Quand on a dans t espace deux faisceaux de plans hofnographiques , les droites suivant lesquelles se coupent deux à deux les plans correspondans, forment un hyperboloïde à une nappe.

Cette proposition résulte directement de la précédente; car soient \j, h' y les axes des deux faisceaux; A^ B^ C^ D^ .... les plans du premier faisceau^ et k'y B'^ C% D'^ .... les plans correspondans du second; les plans A^B^C^D^.... rencontreront la droite L' en des

points a y by Cy dy ; et les plans A', B', C, D', rencontreront

la droite L en des points a' y b', c', d' Les quatre points ay by Cy

dy ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre plans A^ B^ C, D; les quatre points a', b', c', d , ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre plans A', B', C, D'. Mais par hypothèse le rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à celui des quatre plans correspondans A^ B^ C^ D. Donc le rapport anharmonique des quatrepoints a y by Cy dy est égal à celui des quatre points a' y b' y c'y d'.

Donc les quatre droites aa^ , hh\ c&y dd!, appartiennent à un hyperboloïde à une nappe. Or la droite cm' est Fintersection des deux plans A^ A'; bb^ est l'intersection des deux plans B, B'^ et ainsi des antres; donc^ etc.

(431) Les deux propositions précédentes ont leurs analogues dans la géométrie plane^ et celles*ci exigent des démonstrations particulières.

Première proposition. — Quand deuw droites sittiées dans un même plan sont divisées homographiquement, les droites qui joignent deux à deux les points de division corréspondahs , enveloppent une conique qui est tangente aux deux droites proposées.

Gela résulte évidemment de la propriété anharmonique des tangentes d'une conique, que nous avons démontrée dans la Note XYI.

(432) Deuxième proposition. — Quand on a dans un plan deux faisceaux homographiques , les droites de F un rencontrent respec-^ tivement les droites correspondantes de Vautre en des points situés sur une conique qui passe par les centres des deux faisceaux.

Cela résulte de la propriété anharmonique des points d'une conique, démontrée dans notre Note XY.

(433) Cette proposition et la précédente conduisent à une propriété remarquable du système de deux figures homographiques situées dans un même plan, dont voici l'énoncé :

Quelle que soit la position de deux figures homographiques dans un même plan, il existe généralement trois points qui, considérés comme appartenant à la première figure, sont eux-mêmes leurs homologues dans la seconde ; et trois droites qui, considérées comme appartenant à la première figure, sont elles-mêmes leurs homologues dans la seconde ;

Deux des trois points peuvent être imaginaires, le troisième, est toujours réel;

Et deux des trois droites peuvent être imaginaires ,etla troisième est toujours réelle \

1 C'est cette proposition dont nous avons fait usage dans un paragraphe précédent (art. SM )•

Il est évident que quand les trois points sont réels ^ les trois droites sont précisément celles qui joignent deux à deux ces trois points.

Pour démontrer le théorème^ concevons dans les deux figures deux faisceaux correspbndans dpnt les centres soient O^ O'; les droites de l'un rencontreront respectivement les droites correspondantes de l'autre en des points situés sur une conique. Pour deux autres faisceaux ayant leurs centres en deux points correspondans Q, Q', on aura pareillement une seconde conique. Les deux coniques passeront évidemment par le point d'intersection des deux droites OQ, O'û'; parce que ces deux droites sont des rayons correspondans dans les premiers faisceaux^ ainsi que dans les deux autres. Soient A^ B^ C^ les trois autres points d'intersection des deux coniques; je dis que chacun de ces points^ considéré comme appartenant à l'une des deux figures^ est lui-même son homologue dans l'autre. En efiet^ les deux droites O'Â^ Û'Ade la seconde figure correspondent respectivement aux deux droites OA^ ûA de la première; donc le point d'intersection des deux premières correspond au point d'intersection des deux autres; c'està-dire que le point A^ considéré comme appartenant à l'une des deux figures^ est lui-ïnéme son homologue dans Tautre.

Maintenant, les deux coniques ayant toujours un point d'intersection réel^ qui est le point de concours des deux droites 0$2^ O'Q', elles auront toujours un second point d'intersection réel; donc l'un des trois points A, B^ C^ est toujours réel.

Quand les trois points A^B^ C^ sont réels ^ chacune des trois droites AB^ BCy GA^ considérée comme appartenant à l'une des deux figures^ est évidemment sa correspondante dans l'autre figure ; de sorte qu'on peut dire que dans deux figures homographiques situées dans un même plan^ il existe^ généralement^ trois droites dont chacune est elle-même son homologue dans les deux figures; et de là on peut conclure que de ces trois droites l'une et toujours réelle^ parce qu'une question qui admet trois solutions en a toujours une réelle ; mais on démontrera cela directement^ par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait pour démontrer la réalité d'un des trois points. Au lieu de

prendre des faisceaux correspondans^ on prendra des droites divisées homographiqaement^ et l'on considérera les coniques enveloppées par les droites joignant les points de division correspondans. Cette démonstration est sans difficulté d'après ce qui précède.

Ainsi le théorème est démontré dans toutes ses parties.

(434) Quand on sait à priori que deux des trois point A^ B^ C^ sont réels ^ on en conclut que le troisième est réel aussi ^ parce qu'alors les deux coniques qui servent à déterminer ces points ont trois points d'intersection réels ^ et par conséquent ont leur quatrième point d'intersection réel aussi.

Pareillement quand deux des trois droites en question sont réelles, la troisième est nécessairement réelle aussi.

§ XXYI. Application de la théorie des figures homographiques à la perspective et à la construction des bas-reliefs.

(435) Une figure plane et sa perspective sur un plan sont deux figures homographiques ; car elles satisfont à la condition constitutive des figures homographiques, savoir que, d chaque point et à chaque droite de Fune^ correspondent un point et une droite dans Fautre.

Il suit de là que les relations générales, descriptives et métriques, de deux figures homographiques, et les propriétés qui en dérivent, s'appliquent à deux figures planes qui sont la perspective Tune de l'autre.

De ces propriétés, on n'a considéré, généralement, que celles qui sont purement descriptives; et c'est sur elles qu'ont reposé la plupart des applications que l'on a faites de la perspective en géométrie spéculative, depuis que Desargues et Pascal, il y a deux cents ans, ont introduit cette méthode dans la théorie des coniques. En fait de relations métriques, on s'est borné généralement aux relations harmoniques; et quoique Pascal, dans son Essai pour les coniques, ait mis au nombre

des propositions principales qui lui servaient dans son traité complet de ces courbes^ la propriété que nous appelons égalité des rapports anharmoniques de deuû^ groupes de quatre points cofTespondans , on n'a pas tiré de cette proposition ^ si simple et si féconde^ tout le secours qu'elle pouvait apporter dans les applications de la perspective en géométrie rationnelle. Aussi ces applications nous paraissent n'avoir pas reçu tout le développement dont elles étaient susceptibles. L'élément le plus important et le plus indispensable en géométrie^ les relations métriques^ manquaient à cette théorie.

Ces relations métriques sont les mêmes que celles que nous avons démontrées pour les figures homographiques les plus générales. Elles dérivent, comme celles-là, de l'égalité des rapports anharmoniques de deux groupes de quatre points correspondans. Nous allons les reproduire ici, en adaptant leur énoncé aux figures particulières que l'on a à considérer dans la perspective.

(436) 1® Quand deux figures planes sont la perspective F une de Vautre, le rapport des distances dune droite quelconque de la première à deux points fixes de cette figure, est au rapport des distances de la droite correspondante dans la seconde aux deux points correspondans à ces deux points fixes, dans une raison constante.

(437) 2<> Quand deux figures planes sont la perspective F une de Vautre, le rapport des distances dun point quelconque de la première à deux droites fixes de cette figure , est au rapport des distances du point homologue de la seconde, aux deux droites correspondantes, dans une raison constante.

(438) Dans ce second principe, une droite de chacune des deux figures peut être située à Tinfini; ce qui donne lieu aux deux corollaires suivans qui seront utiles dans beaucoup de questions :

Premier corollaire. — Quand deux figures planes sont la perspective Vune de Vautre, la distance dun point quelconque de la première à une droite fixe prise dans le plan de cette figure, est dans une raison constante avec le rapport des distances du point homologue de la seconde figure à deux droites fixes, dont la première To«. XI. 106

correspond à la droite prise dans le plan de la première figure, et la seconde est Fintersection du plan de la seconde figure par le plan mené par F œil parallèlement à celui de la première figure.

(439) Deuxième corollaire. — Quand deux figures planes sont la perspective tune de Vautre^ si Von mène dans le plan de la première la droite correspondante à V infini de la seconde (c'est-à-dire la droite qui est l'intersection du plan de la première figure par le plan mené par Tœil parallèlement à celui de la seconde) , et dans le plan de la seconde figure la droite qui correspond à tinfini de la première, les distances de deux points homologues quelconques des deux figures à ces deux droites, respectivement, auront leur produit constant.

(440) Ces théorèmes 9 qu'on n^avait pas encore donnés ^ je crois ^ permettront d'appliquer les principes de la perspective dans beaucoup de questions où l'on n'a point encore songé à en faire usage. Par exemple^ on généralisera les propriétés des diamètres conjugués^ et celles des foyers des sections coniques^ comme nous avons fait à l'égard des surfaces du second degré par la théorie des figures homographiques. Mais il est inutile d'entrer dans plus de développ^nens à ce sujet.

Passons à d'autres rapprochemens entre la théorie de la perspective et celle des figures homographiques.

(441) Puisqu'une figure plane et sa perspective sur un plan sont deux figures homographiques, on doit se demander si^ réciproquement ^ deux figures planes homographiques quelconques peuvent toujours être considérées comme la perspective l'une de l'autre; ou^ en d'autres termes , si deux figures planes homographiques quelconques peuvent toujours être placées sur une même surface conique.

Si ceU est 9 on conçoit que le problème de la perspective d'une figure plane sera réduit à une question de simple géométrie plane ^ sans considération aucune de géométrie à trois dimensions^ savoir^ de construire la figure homographique d'une figure donnée^ qui satisfasse à certaines conditions de forme et de position.

Il est donc important de résoudre la question que nous venons de poser.

(442) Pour parvenir à sa solution^ remarquons qu'une figure homographique d'une figure proposée sera parfaitement déterminée si l'on cbnnait quatre points qui doivent correspondre, un à un, à quatre points de la figure proposée; de sorte que la question se réduit à celle-ci :

Étant donnée deux quadrilatères plans , dont les sommets de Pun correspondent, un à Un, aux sommets de Vautre, on demande de les placer dans Pespùce de manière quHh soient la perpsective Fun de Vautre.

Il est clair que, dans cette position, les quatre côtés du premier quadrilatère rencontreront respectivement les quatre côtés correspondans du second quadrilatère en quatre points qui seront sur uUe même droite qui sera l'intersection des plans des deux figures. Et l'on sait que si autour de cette droite on fait tourner le plan d'une des deux figures, pour l'appliquer sur l'autre , les deux figures se trouveront, sur ce plan, dans les mêmes conditions que dans l'espace, c'est-à-dire que les droites joignant les sommets du premier quadrilatère, respectivement aux sommets correspondatis du second, concourront encore en un même point. (C'est un des théorèmes de Desargues. Voir deuxième Époque, S 28.)

(443) D'après cela, le problème se ramène à cette question de géométrie plane :

Étant donnés dans un plan deux quadrilatères quelconques dont les sommets de Fun correspondent un à un aux sommets de F autre, on demande de les placer, dans leur plan, de manière,

1^ Que les droites joignant les sommets de Fun aux sommets correspondans de F autre, concourrent en un même point;

Et 2^ que les côtés correspondans se rencontrent un à un en quatre points situés en ligne droite.

Solution. On regardera les quatre sommets a, i&, c^ c/, du premier quadrilatère, comme appartenant à une première figure quelconque,

et les quatre sommets a\ h\ & , d! du second^ comme appartenant à une seconde figure qui doit être homographique à la première. Nous savons construire cette seconde figure; c'est-à-dire que nous sayons trouver tous ses points correspondans à des points donnés de la première ; et réciproquement nous savons déterminer à quels points de la première figure correspondent des points désignés de la seconde. La construction des points des deux figures sert à déterminer leurs droites correspondantes {§ XV, art. 272).

On cherchera la droite I qui dans la première figure correspond à l'infini de la seconde; et la droite J' qui dans la seconde figure correspond à l'infini de la première.

On placera les deux figures de manière que les deux droites I^ J' soient parallèles entre elles. Le côté ab de la première figure rencontre la droite I en un point e qui correspond au point e' situé à l'infini, dans la seconde figure, sur la droite a'b'. A une droite quelconque eg menée par ce point e, correspondra dan^ la seconde figure une droite e'g' parallèle à la droite a'b\ Menons eg parallèle, ellemême, à la droite a'b', et supposons qu'on ait déterminé la droite e'g' qui lui correspond.

Pareillement, par le point f où le côté cd rencontre la droite I, menons une parallèle /% à la droite c't/% et soit fh' la droite correspondante dans la seconde figure (le point f étant à l'infini).

Les deux droites eg^ fhse rencontreront en un point S, et les deux droites e^g', fh' se rencontreront en un second point S'. ' On placera les deux figures de manière que les deux angles eS/", e'S^fy qui sont égaux, soient superposés l'un sur l'autre; et le problème sera résolu.

Démonstration. Remarquons d'abord que les deux droites I , J', dans cette position des figures, seront encore parallèles entre elles; ce qui est évident.

Maintenant, les deux droites Se, S/* de la première figure, ont pour correspondantes, dans la seconde, les deux droites S'e', S'f ^ les points S et S' se correspondent donc. Par conséquent, quand l'angle e'S'f est

BIÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 841

superposé surFangle eSf, le point S est lui-même son correspondant dans la seconde figure ; et les droites Se^ S/*sont elles-mêmes aussi leurs correspondantes dans la seconde figure. Il existe donc une troisième droite qui est elle - même sa correspondante dans les deux figures ($ précédent art. 434).

Le point situé à Tinfini sur la droite I, considéré comme appartenant à la première figure^ est à l'intersection de la droite I et de la droite située à Tinfini ; son homologue est donc , dans la seconde figure^ à l'intersection de la droite située à l'infini et de la droite J'; c'est-à«-dire que ce point est lui-même son homologue dans les deux figures. Par conséquent la droite Si^ menée par le point S, parallèlement aux droites I^ J' est elle-même son homologue dans les deux figures^ de même que les deux droites Se, S/I II suit de là qu'une quatrième droite quelconque Sk sera aussi son homologue dans les deux figures^ parce que les quatre droites Se, Sf, Si, Sk, considérées comme appartenant à la première figure^ ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites correspondantes dans la seconde figure. Les trois premières de celles-ci sont Se, Sf et Si^' elles-mêmes^ la quatrième est donc aussi la quatrième du premier groupe.

Il suit de là que deux points homologues quelconques a, a', des deux figures^ sont en ligne droite aTec le point S; ce qui est Tune des deux conditions du problème.

Il reste à prouver que deux droites homologues quelconques se rencontrent sur une droite fixe.

Soit £ le point de rencontre de deux droites homologues ab, a'b'; si on considère ce point comme appartenant à la première figure^ son homologue sera sur la droite SE et sur la droite a'b'j ce sera donc le point £ lui-même. Soient e et (f^ les points où la droite SE rencontre les deux droites I et J'. Considérons sur la droite SE les quatre points de la première figure qui sont S^ e, E et l'infini^ et les quatre points homologues de la seconde figure^ lesquels sont S, l'infini, E et f\ Égalant le rapport anharmonique des quatre premiers points à celui des

quatre autres, on a *

ES KS^ Ee ~ fS'

d'où

Cette équation fait toir que le point £ est sur une droite parallèle aux deux droites I^ J'^ et distante de la première I d'une quantité égale à la distance du point S à Ift seconde J^ C'est sur cette droite que se couperont^ deux à deux, toutes les droites correspondantes des deux figures. Ainsi la seconde condition dé la question sera remplie. Ce qu'il fallait prouver.

(444) Maintenant si l'on veut placer les deux figures dans l'espace^ de manière qu'elles soient la perspective l'une de l'autre^ il suffira de faire tourner l'une d'elles^ la seconde par exemple ^ autour de la droite sur laquelle se coupent les droites correspondantes. Pour chaque position de cette figure il y aura perspective : le lieu de l'œil variera de position; et Ton démontre aisément^ par des comparaisons de triangles semblables^ que^ dans toutes ses positions^ l'œil se trouve toujours sur une circonférence de Cercle^ dont le centre est sur la droite I, et dont le plan est perpendiculaire à cette droite. Quand le plan de la seconde figure aura fait une demi-révolution complète^ il se retrouvera abattu sur le plan de la première figure. Cette position des deux figures^ comprises encore dans un même plan^ présentera une seconde solution de la question que nous avons résolue^ de placer deux quadrilatères dans un même plan^ de manière^ etc.

Nous aurions pu obtenir directement cette seconde solution ^^ comme la première ; mais pour cela il aurait fallu retourner le plan du second quadrilatère et l'appliquer de nouveau sur celui du premier.

(445) Puisque deux quadrilatères dont les sommets se correspondent un à un peuvent être mis en perspective, on en conclut que deux figurée planes homographiques quelconques peuvent être placées de manière à être lu perspective Vune de Vautre.

(446) // suit de là que deux figures qui sont des perspectives dif-

férentea ctune même figure plane, peuvent être placées de manière à être la perspective Vune de Vautre.

Ou y en d'autres termes :

Quand deux cènes passent par une même courbe plane, de quelque manière quon les coupe respectivement par deux plans, les deux courbes cPintersection pourront être placées sur un troisième cône.

Donc^ si l'on fait la perspectiye B d'une figure plane A^ puis la perspectiTe C de la figure B^ puis la perspective D de la figure G^ et ainsi de suite ^ toutes ces perspectiTes étant faites sur des plans quel* conques et pour des positions différentes de l'œil ^ la dernière figure pourra être produite directement par une perspective de la première.

(447) Le problème que nous avons résolu au siget de deux quadrilatères plans donne lieu naturellement à cette autre question :

Étant donnés deux pentagones gauches quelconques, dont les somn mets de l'un correspondent un à un aux sommets de Vautre, peut-on les placer dans V espace de manière que leurs sommets correspond dans soient sur des droites concourantes en un même point, et que leurs côtés correspondans se coupent en des points situés sur un même planf

Xe premier pentagone étant regardé comme appartenant à une figure quelconque^ le second déterminera une figure homographique; la question revient donc à celle-ci :

Deux figures homographiques quelconques à trois dimensions peu-vent-elles être placées de manière à étreiiomologiques 9

La réponse à cette question est négative^ ainsi que nous allons le démontrer.

Que l'on cherche dans la première figure le plan I qui correspond à l'infini de la seconde; et dans celle-ci le plan J' qui correspond à rinfini de la première.

Que par un point m de la première figure on mène une droite ma parallèle au plan I; et qu'on cherche la droite homologue m'a' de la seconde figure; elle sera parallèle au plan J'; car le point «' où elle rencontrera ce plan correspondra au point a situé à l'infini sur la

droite ma de la première figure; mais ce point a sitaé à l'infini est smr le planl^ puisque ma est parallèle à ce plan; donc son correspondant oJ dans la seconde figure est à Tinfini. Donc la droite m'a' est parallèle au plan J'. Ainsi toutes les droites ma, mb, me,... menées par le point m parallèlement au plan I, ont leurs homologues m'a\ m'b', m'c',...., parallèles au plan J\ Si les deux figures étaient placées homologiquement, les deux plans I^ J' seraient parallèles entre eux^ et les droites ma, mb, me,.... seraient parallèles respectivement aux droites m'a\ m'b' , m'c' ,.... Or, on peut bien placer les deux figures de manière que les deux plans 1 , 3' soient parallèles entre eux^ et que deux droites correspondantes ma, m'a' soient parallèles entre elles; alors deux autres droites correspondantes mb, mb" seront aussi parallèles entre elles; mais aucune des autres droites me , md,.... de la première figure, ne sera, en général, parallèle à sa correspondante. ' En effet, prenons deux figures homographiques quelconques, plaçons-les de manière qu'une droite quelconque ab de la première coïncide avec son homologue a'b' dans la seconde, et de plus que les deux points correspondans a, a' coïncident; il existera sur ces droites un second point b qui coïncidera avec son homologue b' ; et il n'en existera pas un troisième, sans quoi les deux droites seraient divisées en parties égales ^ ; ce qui est un cas particulier de la division homographique de deux droites.

' En effet soit t le point de la droite ab qui correspond à Tinfîni de la droite aT, et soit/ le point de celle-ci qui correspond à Tinfini de la première ; considérons sur ab les quatres points a , by f , et l'infini, et sur a'b' les quatre points correspondans, a% (ou a , puisque ces deux points sont superposés), b', l'infini , et/; égalons les rapports anharmoniques de ces deux groupes de quatre points; on aura

ba b^ bi j'a

Cette équation fait voir que si l'on veut que les points b et b' coïncident , il faudra qu'on ait bi Tssj'a ; condition qui détermine la position commune des points b , V.

Les deux points a^ b'^ coïncidant avec leurs homologues a, &, deux autres points homologues c, c^, ne peuvent pas coïncider, à moins qu'il n'en soit de même de tous les autres points d^ d', etc. Car si les quatre points a, 2», c, cj, correspondent respectivement aux quatre points a, b^c^d^^ en égalant les rapports anharmoniques , on trouve que les points dy d'y coïncident.

Supposons donc les deux points a y b, de la première droite superposés sur les deux points a', b^, de la seconde. Soient m^ m^, deux points homologues quelconques des deux figures ; menons du premier, aux points a^b, c,.... de la première droite^ les rayons ma, mb, fnc,....ye% du second^ aux points correspondans de la seconde droite, les rayons m'a'^ m'i&', m'c',.... Menons par la droite ab {a' h') un plan transversal quelconque; regardons-le comme appartenant à la première figure et soit Q' son homologue dans la seconde; puis^ regardons-le comme appartenant à la seconde figure et soit P son homologue dans la première.

Maintenant faisons la transformation homographique du système des deux figures, de manière que le plan transversal passe à l'infini, c'est-à-dire que son homologue dans les nouvelles figures soit à l'infini, les deux plans P^ Q', deviendront parallèles entre eux; ce seront les deux plans que nous avons désignés ci-dessus par I et J^ Les droites ma, mb deviendront parallèles respectivement aux droites m'a^y m'b'; mais les autres droites, me, md,.... ne deviendront pas parallèles à leurs correspondantes. Les deux figures ne seront donc pas homologiques.

(448) Ainsi nous pouvons dire que :

Deux figures homographiques à trois dimensions ne peuvent pas, en général, être placées de manière à être homologiques.

Il suit de là que les figures homographiques sont d'une forme plus générale que les figures homologiques.

(449) Toutes les propriétés des figures homographiques s'appliquent aux figures homologiques ; conséquemment elles doivent s'observer dans la construction des bas- reliefs. Ainsi les diverses relations métriques qui existent entre deux figures homographiques, ont lieu aussi entre une figure à trois dimensions et sa perspective-relief, de même qu'entre une figure plane et sa perspective sur un plan. Et si , au lieu de supposer qu'un relief est fait pour une position unique de l'œil, de même qu'une perspective plane, on le considère plus gênélement, comme une représentation d'un objet, dans laquelle des

ToM. XI. 107

points correspondent à des points et des surfaces planes à des surfaces planes, alors la théorie des reliefs ne serait autre cpie la théorie générale des figures homographiques ; il y aurait simplement à prescrire certaines règles générales à observer dans la disposition des données de la question pour produira, selon la destination du relief , la plus parfaite illusion pour telle et telle place du spectateur. Mais ces règles d'ordonnance ne pourraient point être absolues^ et dépendraient dans chaque question de Texpérience et du sentiment de l'artiste; après quoi il resterait à construire géométriquement le relief, considéré comme figure homographique de l'objet qu'on, veut représenter.

§ XXVII. Note (§ XI, art. 228). Construction graphique des tan-gentes et des cercles osculateurs des courbes géométriques.

(450) Que l'on applique le théorème du $ XI à une courbe plane géométrique; et que Ton prenne le point m infiniment voisin du point de la courbe où l'on veut mener la tangente ; que les trois transversales mi, mj, ij, soient menées tout-à-fait arbitrairement; et que les points a, b, soient ceux où les deux premières rencontrent l'arc de la courbe duquel le point m est infiniment voisin ; cet arc sera pris pour la tangente, et le rapport ^ sera égal au rapport des sinus des angles que les deux droites mj, mi font avec cette tangente; après avoir remplacé le premier rapport par le second, on pourra supposer que le point m soit sur la courbe même; alors, en substituant dans l'équation de Tart. 227 , au rapport ^ le rapport des sinus des angles 6, a, que les deux droites mj, mi font avec la tangente à la courbe an point m, on aura l'équation

sin. C inh\mh"..,. im.ia'.ia".... j'c, ic\ jc^\.,.

— — «— sss — — ^— — — ^— \/ - w ^ ^ ^f ^

sin. a ma\fna .,., jm.jb ,jb „., te, te , te ....

Tous les facteurs du second membre sont des segmens faits sur les

troia transyersales arbitraires mi, mj , ij^ de sorte que le second membre est connu; et conséquemment la direction de la tangente est déterminée.

Ainsi ce problème des tangentes^ qui a eu une si grande célébrité il y a 200 ans^ qui était a le plus beau et le plus utile » que Descartes ait désiré savoir^ se trouve résolu géométriquement^ d'une manière tout-à-fait générale et très-simple^ pour les courbes même auxquelles s'appliquaient les deux solutions analytiques de ce philosophe.

Si l'on applique l'analyse à cette solution^ on obtiendra la formule employée en géométrie analytique.

(451) L'équation (2) conduit avec la même facilité k la solution d'un problème d'un ordre plus élevé que celui des tangentes^ du problème des cercles osculateurs aux différens points d'une courbe géométrique.

En effets soient pris sur une courbe géométrique trois points consécutifs b^ a, b\ infiniment voisins. Par le point a soit menée^ arbitrairement^ une droite rencontrant bb' en m et la courbe aux points

a\ a", Soient A"^ A'"^... les points où la corde bb' rencontre la

courbe ; et menons une transversale quelconque qui rencontrera ma en i, mb enj^ et la courbe en Cj c\ c".... On aura l'équation

"^-""^■""^^ X ^''' ^''^' ^'^^ X "' "^' ''' = i. art. (227).

ta, ia\ ta" mh.mb'.mh" J^^j^^j^"

Concevons le cercle qui passe par les trois points b^a, A'; et soit £ le point où la droite ma le rencontre, on aura

d'où

mt !

fna. fne := mb. mb'

mb. mb' ma

ion ci-

-dessus,

ma\ ma

;".... ^Jb.jb'.jW'....

ic.ic'. ic"....

mi".... ^ ta. ia\ ia'\...

Jc.yc'.jV'....

Pour chaque transversale menée par le point a on aura une équation

semblable. Ainsi l'on déterminera autant de points qu'on voudra du cercle passant par les trois points b, a, b'. YX si l'on suppose que ces trois points se confondent^ on aura le cercle osculateur à la courbe. Alors la droite bb' devient la tangente à la courbe au point m, et ce point m se confond avec le point de réunion des trois points b, a^ b'; la formule devient donc

wa' . ma" ... jm . jh",.,, ic. ic' .ic*\,.,

mb .... tm.ta . ta .... jcjc \jc ,»,.

La tangente au point m étant connue^ il suffira de déterminer un seul point e, pour que le cercle osculateur soit connu. Si l'on veut calculer son diamètre ^ on mènera la transversale mi perpendiculaire à la tangente ; alors l'expression de me sera la longueur du diamètre du cercle.

On convertira aisément cette solution graphique en la formule analytique connue.

(452) Il est important d'observer que pour ce genre de solution graphique des deux problèmes que nous venons de résoudre, il faut que la courbe soit tracée complètement , de manière que les transversales que l'on mène la rencontrent en autant de points réels que la courbe en comporte, c'est-à-dire, en autant de points réels qu'il serait indiqué par le degré de l'équation de la courbe, exprimée dans le système de coordonnées en usage.