PASCAL

porismes d'EucIide; mais il devait étendre cette doctrine au delà des bornes que le géomètre grec s'était posées, et l'appliquer aux sections coniques et à toutes sortes d'autres courbes. Il y avait découvert^ ditil^ des choses ignorées et admirables ^ Loin de penser comme Simson que cette promesse était téméraire^ nous croyons y voir un indice que Fermât avait compris la vraie doctrine d'Ëuclide^ et avait su en découvrir toute la portée et la fécondité.

§ 15. Dans le même temps Pascal ^ saisissant avec sa pénétration accoutumée l'esprit de la méthode des indivisibles de Gavalleri^ en démontrait toute la rigueur^ et se l'appropriait en l'appliquant d'une manière générale aux questions difficiles des surfaces^ des volumes et des centres de gravité des corps. Ces recherches^ qui offrent un monument précieux de la force de l'esprit humain^ touchaient de près au calcul intégral ; elles sont le lien entre Archimède et Newton.

Avec le secours de cette méthode^ Pascal surpassait les plus célèbres géomètres dans la recherche des propriétés de la cycloïde.

Déjà cette courbe fameuse ^ dont l'histoire se rattache à toutes les grandes conceptions du XYII® siècle^ avait été l'objet des travaux de Galilée^ Descartes ^ Fermât, Roberval, Torricelli. Après avoir dormi quelque temps, elle fut remise sur la scène par Pascal, qui voulut, en quelque sorte, que la grande difficulté des questions nombreuses auxquelles cette courbe donnait lieu , servit d'essai et fut la mesure des forces et de la capacité des géomètres de son temps. Wren, Sluze,

^ Imà et Êuclidem ipêum promoeebimus eiporismaia in coni sectionibus et aliie quih%MCumque curvie mirabilia eanè y et hactenua ignota detegemus. ( Varia opéra Mathematica , pag. 1 19.)

Cette promesse 9 que le jugement sûr et le noble caractère de Taateur ne nous permettent pas de regarder comme exagérée , nous montre combien la Géométrie est intéressée à la découverte des manuscrits de Fermât , dont Tanalyse, plus particulièrement, jusqu'ici, avait déploré la perte.

Espérons que nous ne sommes pas privés pour toujours d'ouvrages si précieux. Déjà M. Libri, dans les recherches auxquelles il se livre pour une histoire générale des sciences , a eu le bonheur d'en découvrir deux fragmens , qui étaient restés inédits , et de trouver diverses indications qui lui font espérer de nouvelles découvertes. L'esprit supérieur de ce célèbre analyste nous est un sûr garant qu'il attachera un haut prix , dans ses recherches , aux fragmens de pure Géométrie, comme aux productions analytiques du génie de Fermât.

Wallis, Huygens^ La Loubère^ Fabri, répondirent à cet appela et résolurent chacun une partie plus ou moins considérable des questions proposées; mais laissant tous à Pascal la gloire d'une solution complète. Depuis^ la cycloïde eut une troisième phase^ lors de l'inyention du calcul différentiel. Outre ses propriétés géométriques si belles et si diverses^ elle en acquit alors ^ entre les mains de Ne^on^ de Leibnitz^ des Bernoulli et du marquis de Lhôpital^ de nouvelles^ puisées dans des considérations de mécanique^ qui ajoutèrent à l'importance et à la célébrité de cette courbe merveilleuse.

Le mouyement d'une roue sur un plan , dans lequel on a découvert la cycloïde^ offire une seconde génération de cette courbe^ à laquelle je ne crois pas que l'on ait fait attention; c'est que V enveloppe de V espace parcouru par un diamètre de la roue est précisément aussi une cycloïde ^

La considération de cette courbe a été l'origine d'une classe nombreuse de lignes^ produites par le roulement d'une courbe donnée sur une autre courbe fîxe^ qui ont été considérées dans toute la généralité que comporte cette question, par Leibnitz^ De laHire,Nicolle^ etc.^ et dont Herman et Glairaut ont étendu la théorie aux courbes décrites de la même manière sur la sphère.

S 16. Les travaux de Pascal sur cette autre partie de la Géométrie, \ qui se rattache à l'analyse géométrique des Anciens et k la théorie des coniques, ne méritent pas moins notre admiration que ses étonnantes découvertes sur la cycloïde, et que ses autres applications de la méthode de Gavalleri. Nous y trouvons, ainsi que dans un écrit de Besargues sur la même matière, le germe des nouvelles doctrines qui constituent la Gréométrie moderne. Nous devons donc parler avec quelques détails de cette partie des découvertes de Pascal.

La plus saillante, et qui fut entre ses mains d'un usage magique, est

1 Les épicycloïdes sont susceptibles aassi d*ane doable génération semblable ; et on dédaît de là diverses propriétés de ces courbes.

Si, au lieu d'un diamètre, on considère dans le cercle mobile une corde quelconque, son enveloppe sera une développante d'une épicycloïde.

70 HlSTOffiE DE LA GÉOMÉTRIE.

son beau théorème de Vheœagramme mystique. Il désignait ainsi cette propriété de tout hexagone inscrit à une conique, cTavoir les trois points de concours de ses côtés opposés^ toujours en ligne droite. Cinq points déterminent une conique; ce théorème est donc une relation de position d'un sixième point cpielconcpie de cette courbe par rapport aux cinq premiers ; c'est donc une propriété fondamentale et caractéristique des coniques. Aussi Pascal, alors âgé seulement de seize ans, comme il le dit lui-même S ^^ ^^^^ ^^^ ^^ ^^^ ^'^^ traité complet des coniques. Cet ouvrage ne nous est pas parvenu. Leibnitz, qui, pendant son séjour à Paris, l'a eu entre les mains, nous fait connaitre par une lettre adressée en 1676 à M. Perier, neveu (ie Pascal, les titres des six parties, ou traités, qui devaient le composer. {Œuvres de Pascal , tom. V, pag. 459. )

Le titre de la I^^ partie nous apprend que Pascal se servait des principes delà perspective, pour engendrer les coniques par le cercle, et tirer, de cette manière, leurs propriétés de celles du cercle. Cette méthode, suivant Leibnitz, était le fondement de tout l'ouvrage.

La 2^e partie roulait sur l'hexagramme mystique, (c Après avoir » expliqué, dit Leibnitz, la génération du cône, faite optiquement » par la projection d'un cercle, sur un plan qui coupe le cône des » rayons, il explique les propriétés remarquables d'une certaine )) figure, composée de six lignes droites; ce qu'il appelle hexagramme )) mystique. »

Dans la 3™® partie se trouvaient les applications de l'hexagramme; les propriétés des cordes et des diamètres coupés harmoniquement; et probablement les théorèmes qui constituent la théorie tles pôles ^.

1 Conicorum opus completum , et conica Apolhmii et alia innumera tsnicâ ferè prvposttionê amplectens; quod quidem nondum êex decimum œtatis annum asêecutus excogitavi, et deindè in ordinem congessi. ( Œuvres de Pascal, tom. IV, pag. 410.)

2 M. Poncelet a déjà exprimé cette opinion dans son Traité des propriétés projectives, pag. 101. Il nons paraît facile de la jnstifier. Car le théorème de l'hexagone, quand on y suppose que deux côtés opposés deviennent infiniment petits , auquel cas la figure représente un quadrilatère inscrit à la conique , et deux tangentes menées par deux sommets opposés , ce théorème , dis-je , donne immédiatement , comme corollaire , le suivant : quand un qua*

fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 71

La A^^ partie contenait ce qui a rapport aux segmens faits sur des sécantes menées parallèlement à deux droites fixes ^ et les propriétés des foyers.

Dans la S™**, Pascal résolvait les problèmes où il s'agit de décrire une conique qui satisfasse à cinq conditions^ de passer par des points et de toucher des droites.

Enfin^ la 6°^^ partie avait été intitulée par Leibnitz De loco solido. Quelques mots nous font supposer qu'il pouvait y être question du &meux problème de Pappus y Ad très aut quatuor lineas.

Quelques fragmens contenaient divers problèmes.

§ 17/ Heurehsemént^ à l'ôdcasion de ce traité^ Pascal avait réuni ^ sous le titre d^ Essai pour les coniques ^ quelques-uns des principaux théorèmes qu'il devait contenir^ voulant les soumettre à l'examen des géomètres et avoir leur sentiment^ avant de pousser plus loin son travail. C'est cet Essai , qui parut en 1640^ quand Pascal avait en effet à peine 16 ans^ dont il est question Hans quelques lettres de Descartes^ à qui le P. Mersenne l'avait envoyé. Depuis il est resté enseveh pendant plus d'un siècle^ et n'a revu le jour qu'en 1779^ par les soins de M. Bossut^ dans son édition complète des Œuvres de Pascal.

Cet écrite de sept pages iii-8^^ est un fragment précieux des découvwtes et de la mléthôdé du grand Pascal^ touchant les coniqnes.

En voici une très-succincte analyse :

Le fameux théorème de l'hexagramme mystique se trouve d'abord éàoucé^ comme lemme^ d'où tout le reste doit se déduire.

La première des propositions qui viennent ensuite est encore relative à l'hexagone inscrit dans une conique; c'est une relation entre les

drilatère est inscrit dans une conique ^ les tangentes à la courbe y menées par deux sommets opposés ^ se coupent sur la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.

Ce tliéorèine parait répondre aux mots de quatuor tangentibus, et rectis puncia tactuumjungeniibus, qui «e trouvent au titre de cette troisième partie , et être Tun de ceux que Pascal avait déduits de son hexagramme. Mais on reconnaît aisément que ce théorème contient toute la tbéorie des pôles. Il nous parait donc prouvé que cette théorie était comprise dans les applications que Pascal avait faites de Thexagramme,

segmens faits sur deux de ses côtés par deux autres côtés et deux diagonales. Cette relation n'est au fond que le théorème de Desargues sur Tinvolution de six points^ mais présenté sous un point de vue différent^ qui pouvait le rendre propre à de nouveaux usages. Nous développerons cette idée dans la Note XV.

La proposition suivante^ exprimée par une double égalité de rapports, renferme deux propositions différentes. La 1^® est la 129* du 7® livre des Collections mathématiques de Pappus, qui nous a donné lieu d'introduire la notion du rapport anharmonique ^ et dont nous avons déjà dit qu'elle pouvait être la base d'une partie considérable de la Géométrie récente ; la seconde est le théorème de Ptolémée sur le triangle coupé par une transversale.

Puis vient une proposition qui, eu égard à ce théorème de Ptolémée, se réduit à la belle et importante propriété des coniques, relative aux segmens qu'une telle courbe fait sur les trois côtés d'un triangle, due dans ces derniers temps à l'illustre auteur de la Géométrie de position.

La proposition suivante est cette même propriété des coniques, étendue à un quadrilatère quelconque, au lieu d'un triangle ^ Ce théorème généralisé par Carnot, qui l'a démontré pour un polygone et une courbe géométrique quelconques, et l'a étendu même aux surfaces courbes ^, est un des plus féconds de la théorie des transversales.

Ensuite on remarque le fameux théorème sur l'involution de six points, « dont le premier inventeur est M. Desargues, un des grands esprits de ce temps, et des plus versés aux mathématiques, et entre autres aux coniques. » Pascal ajoute qu'il a a tâché d'imiter sa méthode sur ce sujet, qu'il a traité sans se servir du triangle par

' Si l'on suppose que deux sommets du quadrilatère soient a l'infini , les segmens qui aboutissent à ces sommets seront égaux , deux à deux , comme étant infinis , et comptés sur des droites parallèles ; alors il en résulte la belle propriété des coniques y relative au rapport constant des produits des segmens faits sur deux transversales issues d'un point quelconque , parallèlement à deux droites fixes.

2 Géométrie de position , pag. 437.

l'axe ^ en traitant généralement de toutes les sections du cône \ »

§ 18. Nous concevons parfaitement^ d'après la fécondité éprouvée des théorèmes que nous venons de citer ^ que Pascal en ait fait^ comme il Tannonçait^ la base d^Êlémens coniques complets; et qu'en les déduisant de son hexagramme mystique , il ait tiré de ce seul prin* cipe 400 corollaires 9 comme le dit le P. Mersenne, dans son traité De mensuris, ponderibus, etc.; in-foL, 1644*. ( Fotr la Note XIII).

On remarque que ces divers théorèmes principaux exprimaient chacun une certaine propriété de six points situés sur une conique ; ce qui explicpie comment Pascal avait pu les déduire de son hexagramme mystique ^ qui était lui-même une propriété générale de ces six points. Mais chacun de ces théorèmes avait pris une forme diJOTérente ^ qui le rendait propre à des usages particuliers qui comprenaient un nombre immense de propriétés des coniques.

C'est cet art infiniment utile de déduire d'un seul principe un grand nombre de vérités^ dont les écrits des Anciens ne nous offirent point d'exemples^ qui fait l'avantage de nos méthodes sur les leurs.

§ 19. Pascal avait écrit plusieurs autres ouvrages de Géométrie^ dans le style de son Traité des coniques. Les titres seuls nous en sont parvenus^ par une note qu'il adressa en 1654 ' à une société de savans qui se réunissaient les uns chez les autres^ avant la fondation de l'Académie des sciences^ qui eut lieu en 1666.

Nous y voyons qu'à l'instar de Viète, il avait résolu^ mais avec une extension considérable et par une méthode extrêmement simple^ les problèmes sur les contacts des cercles; puis les questions analogues sur les contacts des sphères; qu'il avait écrit un traité des lieux plans,

1 Nous ayons expliqué , en parlant d'Apollonius , ce qu'on entend par le triangle par Faxe ; et nous avons dit que ce grand géomètre de l'antiquité supposait , pour former ses coniques , le plan coupant perpendiculaire au plan de ce triangle. Desargues , comme on voit , et Pascal , à son exemple, traitaient les coniques d'une manière beaucoup plus générale , puisqu'ils prenaient le plan coupant dans une position tout-à-fait arbitraire.

2 Unica propontiane universalisaima , 400 corollariiê armatà, iniegrum Apollonium cornpUxuê est.

» OEuvres de Pascal, tom. IV, pag. 408.

TOH. XI. 10

74 fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

plus étendu et plus considérable que ce qu'avaient fait les Anciens et les Modernes sur ce sujets et par une méthode neuve et extrêmement expéditiye; et enfin qu'il avait imaginé aussi une méthode nouvelle de perspective^ aussi simple que possible, puisque chaque point du tableau se construisait par l'intersection de deux lignes droites.

Cette faible indication, que nous trouvons dans la note de Pascal, suffit pour nous faire regretter la perte d'écrits où devaient briller le génie inventeur de ce profond géomètre, et l'art admirable avec lequel il savait généraliser une première découverte, et en tirer toutes les vérités qu'elle renfermait.

g 20. Desargues, que Pascal avait pris pour guide, et qui était digne en effet d'un tel disciple, avait aussi écrit sur les coniques, un an auparavant, d'une manière neuve et originale* Sa méthode reposait, comme celle de Pascal, sur les principes de la perspective % et sur quelques théorèmes de la théorie des transversales. Il ne nous reste que quelques indications peu lucides sur l'un de ses écrits, intitulé : Brouillon projet d'une atteinte aux événemens des rencontres du cône avec un plan. Les autres, s'il en a existé plusieurs, ainsi que peut le faire supposer un passage de V Essai de Pascal, étaient peut-être sur des feuilles volantes, comme il parait que Desargues en usait, soit pour communiquer ses découvertes, soit pour répondre à ses nombreux détracteurs.

^ C'est une question de savoir si les Anciens ont connu les usages de la perspective dans la Géométrie rationnelle; et cette question, je crois, n'a point été approfondie. Au premier abord on serait tenté de répondre affirniatirement; tant cette méthode est naturelle , et parait liée à leur manière d'engendrer les coniques , dans le cône à base circulaire. Aussi cette opinion est-elle la plus commune chez les géomètres. Elle a été fortifiée dans ces derniers temps par le sentiment particulier de M. Poncelet sur les porismes d^Ëuclide , qui auraient été des propositions démontrées par cette méthode ( Traité des propriétés projectives ; Introduction^ p. xixvij). Mais, malgré tout le respect que nous professons pour l'opinion de ce célèbre géomètre ^ nous devons avouer que nous n'avons trouvé dans la lecture des Anciens aucune trace , aucun indice qui nous autorisent à la partager dans cette circonstance. Nous croyons, au contraire, que la méthode de la perspective, comme nous la pratiquons actuellement en Géométrie rationnelle, n'a point été en usage dans l'école grecque. Aussi, jusqu'à un plus approfondi et plus ample examen , nous attribuerons cette méthode aux Modernes , et nous dirons que Desargues et Pascal ont le mérite de l'avoir appliquée , les premiers , à la théorie des coniques.

Celui que nous venons de citer parut en 1639. U en est parlé dans plusieurs lettres de Descartes.

Cet écrit se distinguait par quelques propositions nouvelles^ et surtout par l'esprit de la méthode^ qui était fondée sur cette remarque judicieuse et féconde^ que les sections coniques^ étant formées par les différentes façons dont on coupe un cône qui a pour base un cercle, devaient participer aux propriétés de cette figure.

Desargues apportait donc une double innovation importante dans l'étude des coniques. D'abord il les considérait sur le cône dans toutes les positions possibles du plan coupant, sans se servir, comme les Anciens, du triangle par l'axe : et ensuite, il imaginait d'approprier à ces courbes les propriétés du cercle qui servait de base au cône.

Cette idée, cpii nous parait si simple et si naturelle aujourd'hui^ parce que nous sonunes accoutumés aux procédés de la perspective, et à divers autres modes de transformation des figures, n'était pas venue à l'esprit des géomètres d'Alexandrie. Car nous n'en trouvons aucune trace dans leurs ouvrages : et nous y voyons qu'en se servant, dans leur théorie des coniques, d'une propriété du cercle (celle du produit des segmens faits sur deux cordes qui se coupent), ils n'ont point eu l'intention de rechercher son analogue dans ces courbes; mais seulement de démontrer leur théorème du lattis rectum.

§ 21. La méthode de Desargues lui permit d'apporter dans la théorie des coniques, comme il le fit dans divers autres écrits, des vues nouvelles de généralité, qui agrandissaient les conceptions et la métaphysique de la Géométrie.

Ainsi, il y considéra comme des variétés d'une même courbe les diverses sections du cône (le cercle, l'ellipse, la parabole, l'hyperbole et le système de deux lignes droites), qui, jusque-là, avaient toujours été traitées séparément, et par des moyens particuliers à chacune de ces sections \

' Deêarguenttê primuê êectUmes conicas universali quadam ratiotie iraciare, ac proposiiiones mulioê sic enuntiare cœpit^ ut quœcunque seetio êubinielligi poêsei (A et. erud., ann. 1685, Fg. 400).

76 fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

Descartes nous apprend que Desargues regardait aussi un système de plusieurs droites parallèles entre elles ^ comme une variété d'un système de droites concourantes en un même point; dans ce cas le point de concours était à l'infini. (( Pour votre façon de considérer )> les lignes parallèles comme si elles s'assemblaient à un but à di- » stance infinie^ afin de les comprendre sous le même genre que

)) celles qui tendent à un points elle est fort bonne )> ^ (Lettres de

Descartes , tom. III, pag. 457, édition in- 12.)

Leibnitz fait mention aussi de cette idée de Desargues dans un mémoire sur la manière de déterminer la courbe enveloppe d'une infinité de lignes {Acta erud. ann. 1692, pag. 168); et dans un autre endroit, il la rattache à sa loi de continuité {Comm. epist., tom. II, pag. 101). Newton adopta cette définition des parallèles dans les lemmes 18 et 22 de ses Principes de la philosophie naturelle , où il regarde des droites parallèles comme concourant en un point situé à l'infini.

Desargues appliquait aux systèmes de lignes droites les propriétés des lignes courbes; ce qui est aujourd'hui chose naturelle et trèsusitée, parce qu'un système de droites peut être représenté par une équation unique, comme une courbe géométrique; mais ce qui était alors une conception neuve et originale. Descartes en parle en ces termes , dans une lettre adressée au P. Mersenne :

« La façon dont il commence son raisonnement, en l'appliquant )) tout ensemble aux lignes droites et aux courbes, est d'autant plus » belle qu'elle est plus générale, et semble être prise de ce que j'ai » coutume de nommer métaphysique de la Géométrie, qui est une » science dont je n'ai point remarqué qu'aucun autre se soit servi, » sinon Archimède. Pour moi, je m'en sers toujours pour juger en

1 Cette innovation fit sensation dans le temps. Bosse la cite en ces termes , comme exemple des manières nniyerselles de Desargues en Géométrie : « Il fait voir , comme il Ta écrit à un » sien ami défunt , le rare et savant M. Pascal , fils , que les parallèles sont toutes semblables à H celles qui aboutissent à un point, et qu'elles n'en diffèrent point. » ( Traité des pratiques géométrales et perspectives ; in-12, 1665.)

» général des choses cpii sont trouTables^ et en quels lieux je les dois » trouver » {Lettres, pag. 379 du tom. IV.)

S 22. Les idées de Desargues ^ concernant les systèmes de lignes droites^ comparés aux lignes courbes, ont dû le porter à chercher à appliquer aux sections coniques diverses propriétés connues du système de deux droites. L'une d'entre elles que Pascal^ dans son Essai pour les coniques y appelle merveilleuse^ et qui, en effet, est d'une fécondité extrême, nous a été conservée- C'est la relation des segmens faits par une conique , et par les quatre cotés d'un quadrilatère qui lui est inscrit, sur une transversale menée arbitrairement dans le plan de la courbe.

Cette relation consiste en ce que : « Le produit des segmens compris » sur la transversale, entre un point de la conique et deux côtés op- » posés du quadrilatère, est au produit des segmens compris entre » le même point de la conique et les deux autres côtés opposés du » quadrilatère, dans un rapport qui est égal à celui des produits sem- )) blablement faits avec le deuxième point de la conique situé sur la )) transversale. ))

Ce théorème est énoncé par Pascal dans son Essai pour les coniques^ et par Beaugrand dans une lettre critique sur l'ouvrage de Desargues , intitulé Brouillon projet dune atteinte aux événemens des rencontres du cône avec un plan. Cette lettre nous apprend que Desargues appelait la relation qui constitue son beau théorème involution de six points.

On voit comment les six points se correspondent, ou sont conjugués deux à deux. Desargues examinait le cas où deux points conjugués venaient à se confondre; il y avait alors involution de cinq points ^; puis celui cil deux autres points conjugués se confondaient aussi; alors on

1 II peat y avoir encore , dans un antre cas , involution de cinq points : c'est quand le sixième point est à Tinfini ; alors son conjng^uë a une position très-remarquable. Je ne sais si Ton a examiné particulièrement ce cas y qui se présente souvent sans qu'on songe à le rattacher à la théorie de Finvolution.

n'avait plus cpie quatre points^ et la relation d'involution devenait un rapport harmonique.

La relation d'involutîon de six points^ telle que nous Pavons énoncée, contient huit segmens; mais elle peut être remplacée par une autre, où n'entrent que six segmens, et celle-ci est la même que celle que Pappus a donnée pour les segmens faits sur une transversale par les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère (la 130® du livre VII des Collections mathématiques).

En considérant les deux diagonales comme une ligne du second degTé qui passe par les quatre sommets du quadrilatère, on voit que le théorème de Desargues est une généralisation de la proposition de Pappus, dans laquelle se trouve substituée, à la place des deux diagonales du quadrilatère, une conique quelconque passant par les quatre sommets.

§ 23. Un excellent écrit de M. Brianchon , intitulé Mémoire sur les lignes du deuxième ordre (Paris 1817), est basé sur ce théorème, et en fait voir toute la fécondité. Mais il paraît que Desargues luimême avait su en tirer un parti considérable, pour démontrer un grand nombre des propriétés des coniques; car d'une part, Beaugrand dit, dans sa lettre * , qu'une partie du Brouillon projet, etc. , était employée à examiner les corollaires du théorème en question; et, de plus, nous trouvons dans les Pratiques géométrales et perspectives du graveur Bosse le passage suivant, qui se rapporte probablement à ce même théorème. Bosse répond aux détracteurs de Desargues , et ajoute : (( Entre autres ce qu'il a fait imprimer des sections coniques, dont )) une des propositions en comprend bien , comme cas , soixante de » celles des quatre premiers livres des coniques d'Apollonius, lui a )) acquis l'estime des savans, qui le tiennent avoir été l'un des plus » naturels géomètres de notre temps, et entre autres la merveille de » notre siècle, feu M. Pascal. »

Nous trouvons encore quelques observations qui se rapportent au

1 ^mV la Note XIV.

fflSTOIRE DE LA GEOMETRIE, 79

théorème en question^ et qui prouTent que Desargues avait su eu faire un grand nsage^ dans un ouvrage du graveur Grégoire Huret^ intitulé : Optique de portraiture et peinture^ etc. Paris 1670; in-fol.

Ainsi ^ il est constant que le théorème de Desargues était le fondement de sa théorie des coniques ^ et que les nombreuses propriétés de ces courbes^ que nous avons appris ^ depuis quelques années^ à déduire de ce théorème , n'avaient point échappé à l'esprit logique et essentiellement généralisateur de Desargues.

Mais^ outre son extrême fécondité^ le théorème en question présente un autre caractère qu'il n'est pas moins important de faire ressortir dans un examen philosophique de la marche et de l'esprit des méthodes concernant les coniques. C'est que ce théorème^ par sa nature^ permettait à Desargues de considérer^ sur un cône à base circulaire ^ des sections tout-à-fait arbitraires^ sans faire usage du triangle par l'axe ^ conmije le dit Pascal; tandis que les Anciens et tous les écrivains après eux n'avaient coupé le cône que par des plans perpendiculaires à ce triangle par l'axe. Cette grande innovation nous parait être le principal mérite du traité des coniques de Desargues.

g 24. On voit par ce qui précède que l'ouvrage de Desargues était vraiment beau et original^ et procurait une généralité et des facilités nouvelles à la Géométrie des coniques. Aussi fut-il apprécié comme tel par les grands génies du siècle. Nous avons déjà cité le sentiment d'admiration de Pascal pour cet ouvrage ; nous trouvons qu'il fut -partagé par Fermât^ qui, dans une lettre au P. Mersenne, s'exprime ainsi : « J'estime beaucoup M. Desargues, et d'autant plus qu'il est lui seul » inventeur de ses coniques. Son livret qui passe, dites-vous, pour V jargon, m'a paru très-intelligible et très-ingénieux. » {Œuvres de Fermât, pag. 173.)

Quant à la fécondité du théorème et à la facilité toute nouvelle qu'il qiportait dans la théorie des coniques, on aperçoit aisément quelle en est la cause première. C'est qu'il exprimait une relation tout-à-fait générale de six points pris arbitrairement sur une conique. Les Anciens n'avaient connu de telles relations que pour des positions particulières

des six points 9 par exemple^ pour le cas où quatre points étaient deux à deux sur deux cordes parallèles entre elles (la relation dont ils se servaient alors était que les produits des segmens faits sur ces deux cordes par celle qui joignait les deux autres points^ étaient entre eux comme les produits des segmens faits sur celle-ci par les deux premières). Il leur fallait donc toujours diverses propositions intermédiaires^ pour passer de la considération directe ou implicite de cinq points d'une conique à la considération d'un sixième point. De là, le grand nombre de propositions qui semblaient devoir entrer nécessairement dans un traité des coniques y et de là surtout la longueur des démonstrations.

La solution du problème ad quatuor lineasy il est vrai^ faisait connaitre une propriété toufc-à-fait générale de six points d'une conique; mais jusqu'à Apollonius ^ ce problème n'avait point été résolu complètement^ et ce grand géomètre, qui dit l'avoir résolu à l'aide des principes qu'il a compris dans son III* livre, n'a point eu le temps peutêtre d'en approfondir assez la nature pour le juger propre à entrer dans ses élémens des coniques, de sorte qu'il n'a été d'aucun usage chez les Anciens.

§ 25. Nous avons dit que Fermât avait laissé, parmi quelques propositions présentées comme porismes, le théorème de Desargues; et l'on ne peut douter que ce grand géomètre n'y soit parvenu de son côté. Mais, outre l'avantage d'une antériorité de plus de 25 ans. Desargues a celui d'avoir connu et mis à profit toutes les ressources que ce théorème offrait dans la théorie des coniques.

R. Simson nous parait être le seul géomètre qui se soit servi, jusqu'à ces derniers temps, de ce théorème cpi'il a démontré dans le 5® livre de son Traité des Coniques (Proposition 12«); et dont il avait entrevu la fécondité, car, après en avoir tiré six corollaires, il ajoute qu'ils renferment des démonstrations naturelles et faciles de quelques propositions du premier livre des Principes de Newton. R. Simson avait emprunté ce théorème des OEuvres de Fermât, comme on le voit dans son Traité des Porismes^ oii il le démontre aussi sous le n<> 81.

HISTOffiE DE LA GÉOMÉTRIE. 81

S 26. On n'a considéré jusqu'à ce jour le théorème de Desargues que sous l'énoncé sous lequel nous l'aTons présenté; et c'est ainsi qu'on en a fait de nombreuses applications. Mais^ en y introduisant la notion du rapport anhartnontque , on peut envisager ce théorème sous un autre point de vue , et lui donner une autre forme y qui en fera une proposition différente, et propre à de nouveaux usages. Cette proposition^ qu'on peut regarder comme centrale dans la théorie des coniques^ caj une infinité de propriétés diverses de ces courbes^ qui avaient paru sans liaison^ et étrangères les unes aux autres, en dérivent naturellement^ comme d'un centre unique; cette proposition^ dis-je, offre une voie facile pour passer du théorème de Desargues à celui de Pascal^ et vice versd, et de chacun de ces deux -là à diverses autres propriétés générales des coniques, telles que le beau théorème de Newton sur la description organique de ces courbes. (FotrlaNoteXV.)

S 27. Les Anciens n'avaient considéré /pour former leurs coniques, que des cônes à base circulaire; et Desargues et Pascal les imitaient en ce point, puisqu'ils formaient ces courbes par la perspective du cercle. M se présentait donc une question, à savoir si tous les cônes qui avaient pour base une conique quelconque étaient identiques avec les cônes à base circulaire; ou, en d'autres termes, si un cône quelconque à base elliptique, parabolique ou hyperbolique, pouvait être coupé suivant un cercle; et, dans le cas où cela serait, de déterminer la position du plan coupant. Ce fut Desargues, ainsi que nous l'apprend le P. Mersenne % qui proposa cette question, qui eut alors une certaine célébrité à raison de sa difficulté; car elle est de la nature de celles qui^ admettant trois solutions, dépendent en analyse d'une équation du troisième degré, et, en Géométrie, des sections coniques. Descartes la résolut par les principes de sa nouvelle Géométrie analytique, et d'une manière fort élégante, pour le cas où la base du cône est une parabole; auquel cas il n'a besoin que d'un cercle, dont l'in-

* Universœ geomeiriœ^ mixiwque maihemaiicœ synopsis, pag. 331 ; in-fol., 1644.

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82 fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

tersection aTec la parabole donne la solution démandée \ Depuis , cette même, question a occupé plusieurs autres géomètres célèbres^ le marquis de Lhopital^^ Herman^, le P. Jacquier*, qui suivirent la même marche analytique que Descartes, en y apportant quelques simplifications. Je ne crois pas que l'on ait donné de ce problème une solution purement géométrique et graphique. La difficulté disparait devant les nouvelles doctrines de la Géométrie, qui peuvent en procurer plusieurs solutions différentes ^.

§ 28. On doit à Desargues une propriété des triangles, qui est devenue fondamentale et d'un usage très-utile dans la Géométrie récente. C'est que : «Si deux triangles, situés dans l'espace, ou dans un même » plan, ont leurs sommets placés deux à deux sur trois droites con-

1 Lettres de Descaries, édition in-12, 1725 ; tom. VI, pag. 328.

2 Traité analytique des sections coniques, livre 10<, pag. 407.

< Commentarii Academiœ Petropolitanœ , tom. VI; ann. 1732 et 1733.

^ Elementi di perspettiva; in-8». Romœ 175iS , pag. 140.

^ Il suffit de déterminer les trois axes principaux du cône , car on sait que de leur connaissance on conclut immédiatement la position des plans des sections circulaires.

Pour déterminer ces trois axes, je mène, par le grand axe de la conique G qui sert de base au cône , un plan perpendiculaire à celui de cette courbe ; et dans ce plan je conçois une seconde conique qui ait pour sommets, et pour foyers, respectivement les foyers et les sommets de la première.

Je regarde cette seconde conique comme la base d'un second cône qui ait même sommet que le cône proposé. Ce nouveau cône rencontrera le plan de la conique G suivant une autre conique. Ges deux courbes se rencontreront en quatre points qui seront les sommets d'un quadrilatère , dont les points de concours des côtés opposés , et le point de rencontre des deux diagonales , seront trois points appartenant aux trois axes cbercbés.

Ainsi , le problème est résolu.

2<^' solution. Par le sommet du cône proposé , menons des droites perpendiculaires à ses plans tangens ; elles forment un second cône du second degré qui rencontre le plan de la conique qui sert de base au premier cône , suivant une seconde conique. Ges deux courbes se rencontrent en quatre points qui servent , comme dans la solution précédente , à résoudre le problème.

Nous devons dire , plus généralement , qu'il existe , dans le plan des deux courbes , trois points tels que chacun d'eux a la même polaire par rapport aux deux coniques ; ces trois points appartiennent aux trois axes principaux cherchés.

Nous avons trouvé différentes autres solutions du problème ; mais qui exigent toujours la construction d'une conique; ce qui doit être, puisque le problème admet trois solutions.

)) courantes en un même point^ leurs côtés se rencontreront deux à )) deux en trois points qui seront situés en ligne droite; » et réciproquement.

Ce théorème se trouve, avec deux autres^ dont l'un est sa réciproque, à la suite du Traité de perspective, rédigé par Bosse ^ d'après les principes et la méthode de Desargues, mise au jour en 1636. Quand les deux triangles sont situés dans deux plans différens, le théorème est de vérité intuitive, ainsi que le remarque Desargues; quand ils sont dans le même plan, sa démonstration offre cela de remarquable qu'il y est fait usage ifti théorème de Ptolémée sur le triangle coupé par une transversale. C'est un des premiers exemples, chez les Jtfodemes, de l'application de ce célèbre théorème, qui depuis est devenu la base de la théorie des transversales.

Le théorème de Desargues a été reproduit, pour la première fois dans ces derniers temps, par M. Servois, dans son ouvrage intitulé : Solutions peu connues, etc.; et a été employé depuis par M. Brianchon {Correspondance polytechnique, t. III, p. 3.), par M. Poncelet, dans son Traité des propriétés projectives, et par MM. Sturm et Gergonne {Annales de mathématiques, t. XVI et XVII). M, Poncelet en a fait la base de sa belle théorie des figures homologiques. Il a appelé les deux triangles en question homologiques, le point de con* cours des trois droites qui joignent deux à deux leurs sommets^ centre dhomologie, et la droite sur laquelle se coupent deux à deux leurs trois côtés, aa;e cPhomologie.

S 29. Mais on ne s'est servi jusqu'à présent que des propriétés descriptives des deux triangles en question; et leurs relations métriques, ou de grandeur, non moins importantes que celles de situation, n'ont pas encore été considérées d'une manière générale. On n'en connaît que quelques cas particuliers. Ainsi, quand les deux triangles sont semblables et semblablement placés, auquel cas leur axe d'homologie

1 Manière universelle de M. Deearguee, pour pratiquer la perepective par petit pied ^ comme kgéométral. In-8s 1648, pag. 340.

84 HISTOffiE DE LA GÉOMÉTRIE.

est à l'infini, on sait que les distances de leur centre de similitude à deux points homologues quelconques sont entre elles dans un rapport constant; et quand le centre d'homologie des deux triangles est à l'infini, on sait que ce sont les distances de deux points homologues, à l'axe d'homologie, qui sont entre elles dans un rapport constant. On conçoit que ces deux relations ne sont que des cas particuliers d'une certaine relation générale relative à deux triangles homologiques quelconques, dont ni le centre ni Vaxe d'homologie ne sont à l'infini. Nous démontrerons cette relation générale dans un chapitre de ce mémoire; mais sa simplicité nous permet de l'énoncer ici, comme complément du théorème de Desargues : elle consiste en ce que (( le » rapport des distances de deux sommets homologues quelconques » des deux triangles, à leur centre d'homologie, est au rapport des » distances des deux mêmes sommets à l'axe d'homologie, dans une » raison constante. )> Ce théorème nous sera très-utile, en nous offrant de nombreuses propriétés nouvelles des figures homologiques^ et particulièrement du système de deux coniques quelconques, dont on n'a encore étudié d'une manière générale que les propriétés descriptives \

Nous remarquerons encore, au sujet du théorème de Desargues^ qu'il conduit naturellement à un beau principe de perspective, qui semble en être, en quelque sorte, la première destination; c'est que : (( Quand deux figures planes, situées dans l'espace, sont la perspective )) l'une de l'autre, si l'on fait tourner le plan de la première autour )) de sa droite d'intersection avec le plan de la seconde, les droites » qui iront des points de la première figure aux points correspondans » de la seconde, concourront toujours en un même point ^; et cela » aura encore lieu quand les plans des deux figures seront superposés

1 Les relations métriques de deax ooniqaes quelconqaes, connues jusqu'à ce jour, se ré* duisent , je crois , à quelques relations harmoniques.

' Ce point de concours variera de position dans Tespace ; et il est facile de Toir qu'il décrira un cercle situé dans un plan perpendiculaire à la droite d'intersection des plans des deux figures.

)) l'on sar l'aatre. » Ce Ihéorème peut offrir une intelligence facile de certaines pratiques de la perspective.

S 30. Desargues s'était occupé des applications de la Géométrie aux arts^ et avait traité cet objet en homme supérieur^ y apportant^ avec une exactitude alors souvent inconnue aux artistes^ les principes d'universalité que nous lui avons reconnus dans ses recherches de pure Géométrie.

Divers écrits de lui furent publiés sur la perspective, la coupe des pierres et le tracé des cadrans. Il parait que ces ouvrages étaient très-succincts^ et pour ainsi dire comme des essais, qui renfermaient la substance d'ouvrages qui devaient être plus développés et plus complets. Quelques années après, A. Bosse, célèbre graveur, qui, quoique géomètre médiocre, avait eu assez de pénétration pour apprécier le génie de Desargues, fut initié par lui dans ses nouvelles conceptions, et les exposa de nouveau, mais d'une manière trèsdiffuse, qu'il croyait avoir appropriée aux usages des artistes, et qui ne l'était certainement pas à celui du véritable géomètre. Cependant, les écrits originaux de Desargues étant perdus, ceux de Bosse ont acquis, par cette circonstance, un certain mérite. Ils suffiraient, au géomètre qui voudrait les lire avec attention, pour rétablir les principes théoriques qui avaient servi de fondement aux diverses pratiques inventées par Desargues dans ses ouvrages originaux.

Ceux-ci avaient pour titres :

1® Méthode universelle de mettre en perspective les objets donnés réellement^ ou en devis, avec leurs proportions, mesures, éloignefnens, sans employer aucun point qui soit hors du champ de Fouvrage, par G. D. L. (Girard Desargues, lyonnais), à Paris, 1636. Le privilège était de 1630.

1^ Brouillon projet de la coupe des pierres. 1640.

3^ Les cadrans, ou moyen de placer le style, ou Vaxe, inséré à la fin du Brouillon de la coupe des pierres \

' Nous avons trourë le titre du premier de ces trois ouvrages dans la Perêpeciive de Nicéron

Le traité de perspective arrangé par Bosse contient un fragment de l'ouvrage original de Desargues. On y reconnatt le fondement et la substance de tout l'ouvrage de Bosse. Le but que s'y propose Desargues est de pratiquer la perspective sans se servir d'un dessin de l'objet^ et au moyen seulement de cotes indiquant la position de chacun de ses points dans l'espace^ de même que ces cotes serviraient^ en architecture^ pour construire le plan géométral et les coupes de cet objet. C'est à cette occasion qu'il imagina T échelle fuyante^ maintenant si en usage chez les artistes^ et qui porte le nom de Desargues dans q[uelques traités de perspective. ( Voir celui d'Ozanam, pag. 62, édition de 1720, in-S^. )

Cet ouvrage était, au témoignage de Fermât « agréable et de » bon esprit. » Descartes en porta un jugement semblable en écrivant au P. Mersenne : a Je n'ai reçu que depuis peu de jours les deux » petits livres in --folio que vous m'avez envoyés, dont l'un qui » traite de la perspective {et qui était de Desargues) ^ n'est pas à )) désapprouver, outre que la curiosité et la netteté de son langage » est à estimer. » {Lettres^ tom. IV, pag. 257.)

Le livre des cadrans mérita aussi Tapprobation de Descartes, qui trouva que (( l'invention en était fort belle, et d'autant plus ingénieuse ))' qu'elle était plus simple. » {Lettres, tom^ lY^ pag. 147.) Ce grand homme n'exprime pas son sentiment sur le livre de la coupe des pierres, parce que les figures y manquaient *.

Il parait que l'invention des épicycloïdes et de leur usage en mécanique, dont Leibnitz a revendiqué l'honneur pour le célèbre astro-

( în-foK, 16B2 ) , et dans celle de Lambert (3* partie , Zurich 1773 ; in-8o) ; et les titres des deux autres , qui paraissent aujourd'hui tout-à-fait inconnus, car nous n'en avions jamais vu aucune mention nulle part , dans un ouvrage fort rare de J. Curabelle, intitulé : Examendes Œuvres du sieur Desargues; Paris 1644, in4'*(81 pages),

' Baillet , dans la F'iê de Descartes, dit que ces deux livres de Desargues ne furent publies qu'en 1643. C'est une erreur; Baillet les confond avec ceux de Bosse , publiés en effet en 1643. Cet écrivain ignorait que Desargues eût produit en 1640 son Brouillon projet de la coupe des pierres, suivi des cadrans , qui est le seul ouvrage dont ait pu parler Descartes dans sa lettre, écrite en 1641 , au P. Mersenne.

nome Roemer^ est dae à Desargaes. Car de La Hire nous apprend^ dans la pré&ce de son Traité des épicycloîdes , qu'il a fait au château de Beaulieu^ près de Paris^ une roue à dents épicycloïdales^ à la place if une autre semblable , qui y avait été autrefois construite par Desargues. De plus^ de La Hire répète dans la préface de son Traité de mécanique, publié en 1695^ qu'il donne la construction d^une roue où le frottement n'est pas sensible^ et dont la première invention était due d Desargues , un des plus excellens géomètres du siècle.

S 31. Le caractère principal des écrits de Desargues était une grande généralité dans ses principes théoriques et dans leurs applications^ telle que celle qui fait la beauté et le grand mérite de la Géométrie descriptive de Monge. Ainsi ^ il dit au commencement de son Brouillon projet de la coupe des pierres^ que sa manière de trait pour la coupe des pierres est la même production que la manière de pratiquer la perspective \ Et dans une lettre écrite en 1643^ jointe au traité des cadrans^ arrangé par Bosse ^ Desargues parle de sa pensée et façon de concevoir ces matières dans V universel , comme c^est Punique façon légitime de faire des savans.

Nous citerons encore le passage suivant des Pratiques géométraies et perspectives de Bosse : a M. Desargues démontrait univer- » sellement^ par les solides^ ce qui n'est pas l'usage ordinaire de )) tous ceux qui se disent géomètres ou mathématiciens. »

Ces mots de Bosse ^ par les solides, ne signifieraient- ils pas que Desargues employait dans ses démonstrations la considération des figures à trois dimensions^ pour parvenir aux propriétés des figures planes? ce qui est aujourd'hui le caractère de l'école de Monge ^ en Géométrie spéculative.

Plusieurs passages des lettres de Descartes font voir que Desargues ne bornait point ses recherches mathématiques à la Géométrie

^ Ces paroles de Desargues sont rapportées par Carabelle , pag. 70 de son ouvrage cité précédemment.

et à ses applications ; mais qu'il écrivait aussi sur l'analyse : on y voit même que les matières philosophiques lui étaient également familières.

Ces détails montrent le génie de Desargues ^ dont ses plus illustres contemporains^ Descartes, Pascal, Fermât, faisaient le plus grand cas; mais que des hommes médiocres, dont la nouveauté et la généralité de ses vues surpassaient l'intelligence, ont persécuté et dégoûté.

On doit à M. Poncelet d'avoir, le premier, dans son Traité des propriétés projectives^ apprécié ce véritable et profond géomètre, et de l'avoir reconnu , sous le titre mérité de a Monge de son siècle, » comme l'un des fondateurs de la Géométrie moderne.

Nous ajouterons quelques détails au sujet de Desargues dans la Note XIV.

Nous ne retrouverons que plus d'un siècle après, l'esprit des mé-

; thodes de Desargues et de Pascal. C'est de La Hire qui nous le

[ transmettra, dans son premier ouvrage sur les coniques, en 1673.

Ce géomètre eut connaissance du Brouillon projet des coniques

de Desargues, dont il cite le titre; mais il parait que déjà V Essai

pour les coniques de Pascal était tombé dans l'oubli ^

S 32. En parlant historiquement des travaux de Desargues et de Pascal sur la théorie des coniques, on doit citer un troisième géomètre, leur contemporain, qui les avait devancés de quelques années dans ■TooacB, cette partie de la science. Mydorge, célèbre comme savant, et comme 1M5-1647. ami de l'illustre Descartes, eut le mérite d'être le premier en France qui écrivit un traité des sections coniques , et qui entreprit de simplifier les démonstrations des Anciens, et d'aller au delà de ce qu'ils avaient fait sur ce sujet.

Cet ouvrage parut d'abord en 1631 , en deux livres, puis en 1641 ,

' Cum nihil de his Pascalii, Desarguesii autem pauca sitU édita , eo graiiorfuit lahor doctissimi geotnetrœ Pb. de La Hire, qui yestigiis istorani insistons , muitaque perpulchra de euo adjiciens, jam ante IS annoê liheîlum titulo Novjb methodi skctiones conicas bt ctlindbicas kxplicANDi edidit {Act. Erud.y ann. 1685 , pag. 400.)

en quatre livres; et devait être suivi de quatre autres qui sont restés manuscrits. Le P. Mersenne nous en a donné les titres dans son recueil Vnwersœ Geometriœ miûotœque^ etc., pag. 329. Mydorge n'a pas pour but principal, comme Desargues et Pascal, de faire dériver les propriétés des coniques de celles du cercle par la perspective ou par la considération constante du cône où elles prennent naissance. Son ouvrage est écrit dans le style des Anciens ; mais cependant, en faisant plus d'usage qu'eux de la considération du cône ^, l'auteur peut comprendre dans une seule démonstration des propositions qui en demandaient trois à Apollonius; et il apporte ainsi une grande simplification dans cette matière.

On remarque dans l'ouvrage de Mydorge une solution élégante de ce problème : « Placer sur un cône donné une section conique donnée, )> qu'Apollonius n'avait résolu, dans son sixième livre, que pour un cône droit. '( Propositions 39, 40 et 41 du 3® livre.)

Le second livre est destiné à la description des coniques par points sur le plan; objet dont Apollonius ne s'était pas occupé, mais qui avait dû être compris dans les lieua> solides d'Aristée; car cet ouvrage traitait des coniques considérées sur le plan, et devait rouler sur celles de leurs propriétés qui ne font point partie des Élémens coniques d'Apollonius, puisque Aristée lui-même avait écrit un pareil traité, différent de ses lieua; solides.

Parmi les modes de description de Mydorge, nous citerons celle de l'ellipse par un point d'une droite dont les deux extrémités glissent sur deux droites fixes ^; et la description de la même courbe au moyen du cercle dont on alonge toutes les ordonnées dans un rapport constant; description déjà employée par Stévin {Œuvres mathématiques ,

^ NoDs entrerons dans quelques développemens sar la méthode des Anciens , en parlant du grand Traité des coniques de De La H ire.

^ Ce mode de description avait déjà été démontré par Stévin , qui en attribue l'invention à Guido Ubaldi , qui en effet l'avait donné dans son traité intitulé : Pianisphœricorum universalium Thearica (in-4<', 1579); mais cette description de l'ellipse fut connue des Anciens, ainsi que nous l'apprend Proclus , dans son Commentaire sur la seconde proposition du V' livre dTEuclide.

ToM. XI. 12

pag- 348). On trouTe dans le même livre que si d'un point pris dans le plan d'une conique on mène des rayons aux points de la courbe^ et qu'on les prolonge dans un rapport donnée leurs extrémités seront sur une nouvelle conique^ semblable à la première; proposition extrêmement simple^ contenue virtuellement dans le sixième livre d'Apollonius^ qui traite des coniques semblables^ et que nous ne citons ici^ que parce qu'elle est^ avec le mode de description précédente (l'alongement des ordonnées dans un rapport constant)^ le point de départ^ et le cas le plus simple d'une méthode de déformation des figures^ que nous verrons prendre de l'extension entre les mains de De La Hire et de New^ton, que M, Poncelet, dans son traité des figures projectives^ a étendue aux figures à trois dimensions ^ et que nous regardons dans l'état d'accroissement où nous la présentons dans la seconde partie de cet écrit^ sous le titre de Déformation hombgraphique, comme l'une des méthodes les plus puissantes de la Géométrie moderne.

S 33. L'étendue que nous avons donnée à l'analyse des ouvrages de Desargues et de Pascal qui se rapportent à la Géométrie récente^ nous a éloigné de cette autre partie de la Géométrie^ qui concerne les mesures^ et qui fait usage sous une forme explicite ou déguisée avec plus ou moins d'art ^ des considérations de l'infini.

Revenons à cette partie de la science^ où nous avons déjà eu à citer comme inventeurs Kepler^ Guldin^ Cavalleri, Fermât, Rober-^ val, Pascal. A la suite de ces hommes de génie, et sur le même rang, nous trouvons Grégoire de St.-Vincent. GBÉ«oiaB 0B 8AIMT- ç^ géomètrc , l'un des plus profondément versés dans la Géométrie 1584-1667. ancienne, appliqua, comme Gavalleri et Roberval, mais d'une manière qui lui était propre, les méthodes d'Archimède, pour les quadratures des espaces curvilignes. Sa méthode, intitulée Ductus plani in planum, perfectionnement, comme celles de Gavalleri et de Roberval , de la méthode d'exhaustion , était rigoureuse comme celle-ci, et d'un usage plus facile que les autres. La disposition différente des polygones inscrits et circonscrits aux courbes lui donnait

une plus grande portée^ dont Grégoire de St. -Vincent sut tirer un parti considérable. Cette différence entre la méthode d'Archimède et celle de Grégoire de St.-Vincent eut un autre avantage très-grand; car on peut regarder avec raison que le petit triangle différentiel qui apparaît dans les figures de Grégoire de St.-Yincent^ entre la courbe et deux côtés consécutifs de l'un des deux polygones à échelles (inscrit ou circonscrit)^ a conduit Barrow^ Leibnitx et Newton au calcul infinitésimal. C'est ainsi que dans les sciences toutes les vérités s'enchainent et s'étendent^ et que les plus grandes découvertes^ loin d'être inspirées par révélation^ ont été préparées de longue main.

Grégoire de St-Yincent^ dont le mérité n'a point été assez apprécié^ malgré le jugement porté par Huygens et par Leibnitz ^, enrichit aussi la Géométrie de découvertes innombrables sur les sections coniques. C'est à lui qu'on doit la propriété remarquable des espaces

' Voici les paroles de Leibnitz : Majora (netnpè Galileanis et Cavallerianis) sulnidia aOuleruiU triumviri célèbres , Carteeius ostenea ratione lineas Geometriœ communie exprimendi per œquationes ; Fermatiue inventa méthode de maximis et minimiê : ac Gregoriuê a eancto Vincentio multis prœclaris inventis, (Acta erudit,, 1086, et Œ^uvree de Leibnitx, tom. III, pag. 192.)

Quinte ans après,, Leibnitt écrivait encore ; Etei Gregoriuê à S. F^incentio quadraturam circuit et hyperbolœ non absolverit, egregia tamen multa dédit. (OEuvree de Leibnitz, iom. VI , pag. 189.)

Montncla s'exprime ainsi , dans son Histoire des mathématiques :

« L'oavrage de Grégoire de St.-Vincent est un vrai trésor, une mine ricbe de vérités géomé- » triqaes et de découvertes importantes et curieuses. »

Si les travaux de Grégoire de St.-Vincent n'ont point été cultivés comme ils étaient dignes de Tètre , la cause en est due , sans doute , à l'invention presque contemporaine de la Géométrie de Desoartes, et de l'analyse infinitésimale, qui ont tourné toutes les méditations vers le calcul. Nous croyons pouvoir, après le double témoignage que nous venons de citer sur le mérite de ce géomètre , engager les jeunes mathématiciens qui ont foi dans les ressources et dans l'avenir de la Géométrie , à lire ses ouvrages. Plusieurs de ses belles découvertes leur paraîtront encore nouvelles.

Une intéressante notice de M. Quetelet, sur Grégoire de St.-Vincent, nous apprend qu'il a laissé de nombreux manuscrits, qui ont été réunis en 13 vol. in-fol., et que possède la BibliQthéque de Bruxelles. « Il serait à désirer, ajoute M. Quetelet , qu'un ami des sciences prit la peine d'examiner ce rare monument. Il trouverait peut-être des choses qu'aujourd'hui même nous ignorons. Car les sections coniques offrent une source intarissable de propriétés , et l'on ne peut dire sans témérité que cette matière est épuisée. » ( Correspondance mathématique et physique, tom. I**, pag. 162.)

92 fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

hyperboliques entre les asymptotes^ qui sont les logarithmes des abscisses.

Parmi ses nombreuses manières d'engendrer les coniques sur le plan^ l'une par l'autre^ nous devons citer ici deux procédés^ qui^ depuis^ sont devenus d'un usage fréquent dans les arts^ et qui sont le point de départ d'une série de méthodes pour la transformation des figures^ qui forment une des doctrines les plus importantes de la Géométrie récente.

Le premier, qui avait déjà été employé par Stévin et Mydorge, consiste à faire croître dans un rapport constant, les ordonnées d'une courbe, et le second à faire tourner ces ordonnées autour de leurs pieds, d'une même quantité angulaire, de sorte qu'elles restent parallèles entre elles.

Grégoire de St.-Vincent transformait le cercle en ellipse, par chacun de ces deux procédés, ou par tous les deux, combinés de diverses manières.

Nous devons dire toutefois que ces deux modes de transformation n'en font réellement qu'un, et produisent identiquement les mêmes figures; mais ils sont présentés sous une forme différente, qui leur donne à chacun des avantages particuliers.

Il est toujours utile de considérer ainsi de plusieurs points de vue une même vérité, pour en faire tous les usages et en tirer toutes les conséquences dont elle est susceptible.

La théorie des coniques nous a déjà offert de cela une preuve bien convaincante, par les différentes transformations que nous avons vu que l'on peut faire subir soit au théorème de Desargues, soit à celui de Pascal, et qui les mettent en état d'embrasser dans leurs conséquences infinies la plupart des propriétés des coniques. (Voir la Note XV.)

Grégoire de St.-Vincent fit sur la symbolisation de la spirale et de la parabole, objet dont s'était occupé de son côté Gavalleri, un traité profond, qui contient des rapprochemens étonnans entre ces deux courbes, dont les nombreuses propriétés se correspondent. L'égalité

de deux arcs correspondans des deux courbes^ démontrée aussi par Roberral^ mais d'une manière difficile^ par sa doctrine des mouyemens composés^ a été plus tard le sujet d'un beau mémoire de Pascal^ qui offre le premier exemple de la comparaison de deux lignes de différente nature par la pure Géométrie des Anciens^ et sans la considération des indivisibles \

§ 34. Si nous écrivions une histoire de la Géométrie^ et non point seulement un aperçu de la formation successive de ses méthpdes et principalement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne^ nous aurions à citer^ pour remplir le cadre de cette seconde Epoque^ les travaux de plusieurs autres géomètres qui cultivèrent aussi avec succès la pure Géométrie des Anciens et la nouvelle doctrine des indivisibles^ et qui contribuèrent aux progrès considérables que la science fit alors. A leur tête se présenteraient les deux célèbres disciples de Galilée^ Torricelli et Yiviani^ dont nous aimerions surtout à retracer les belles et importantes recherches, puis Leotaud, La Loubère, Gregory, Etienne de Angelis, Michel- Ange Ricci, Mercator, Schooten, Ceva, Huygens, Sluze, Wren, Nicolas, Lorenzini, Guido-Grandi, etc.

Plusieurs de ces géomètres s'adonnèrent aussi à la Géométrie de Descartes, qui prenait naissance, et vont figurer dans l'Époque suivante, parmi les promoteurs de cette grande invention.

1 Égalité des lignes spirale et parabolique (OEayres de Pascal, tom* V, pag. 426-482).

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