TROISIÈME ÉPOQUE

DEscAETEs , S ^ ^^* ^ P^^ sigiialé 56^06 Feiidu à la Géométrie est du à Descartes.

1596-1650. Qq philosophe, par son inappréciable conception de ïappliccUion de V algèbre à la théorie des courbes, se créa les moyens de franchir les obstacles qui avaient arrêté les plus grands géomètres jusqu'alors, et changea Téritablement la face des sciences mathématiques \

Cette doctrine de Descartes, dont aucun germe ne s'est trouvé dans les écrits des géomètres anciens, et la seule peut-être dont on puisse dire, comme Montesquieu de son Esprit des lois, prolem sdie hatre greàtàh, cette doctrine, dis-Je, eut pour effet de donner à la Géométrie le caractère d'abstraction et d'universalité qui la distingue essentiellement de la Géométrie ancienne. Les méthodes créées par Cavalleri, Fermât, Roberval, Grégoire de St^-Yincent, portaient aussi, dans leurs principes métaphysiques, le cachet de cette généralité; mais ne l'avaient point dans leurs applications. La conception de Descartes, seule, procurait les moyens d'appliquer ces méthodes d'une manière uniforme et générale; elle était l'introduction nécessaire aux nouveaux

> L'application de l'algèbre à la théorie des courbes est l'objet de la Géométrie de Desoartes , qui parât à Leyde en 1637 , arec son Traité des Météores et sa Dioptrique , à la suite et comme essais de sa célèbre Méthode, sur laquelle repose la philosophie moderne.

Aucun système , certainement , n'avait jamais été produit avec l'autorité que donnaient à la Méthode de Descartes de tels Essais,

calculs de Leibnitz et de Newton^ qui dès lors n'ont point tardé à surgir de ces belles méthodes.

La Géométrie de Descartes, outre ce caractère éminent d'uniyersalité, se distingue encore de la Géométrie ancienne sous un rapport particulier, qui mérite d'être remarqué; c'est qu'elle établissait, par une seule formule, des propriétés générales de familles entières de courbes; de sorte que l'on ne saurait découvrir par cette voie quelque propriété d'une courbe, qu'elle ne fasse aussitôt connaître des propriétés semblables ou analogues dans une infinité d'autres lignes. Jusque-là, on n'avait étudié que des propriétés particulières de quelques courbes, prises une à une, et toujours par des moyens diflférens qui n'établissaient aucune liaison entre différentes courbes.

Aussi la Géométrie prit dès lors un essor rapide, et ses progrès s'étendirent sur toutes les autres sciences qui sont de son domaine. L'algèbre elle-même en reçut d'utiles secours; ses opérations symboliques devinrent plus faciles à saisir, son importance s'accrut; et ces deux branches principales de nos connaissances positives marchèrent d'un pas également assuré.

Quant à l'algèbre, nous nous bornerons à dire que l'un des premiers et des plus grands avantages que la Géométrie lui procura, fut l'interprétation et l'usage des racines négatives, que jusque-là on regardait comme insignifiantes, et qui avaient si fort embarrassé les ancieiis analystes.

La méthode des coefficiens indéterminés, que Descartes créa dans sa Géométrie, et dont il fit un si heureux usage, pour la construction des lieux solides, est aussi une des découvertes les plus ingénieuses et les plus fécondes de l'analyse.

S 2. L'esprit et les procédés de la Géométrie de Descartes sont trop connus de toutes les personnes qui ont les premières connaissances en mathématiques, pour que nous entrions ici dans aucun développement.

Nous allons tout de suite présenter un aperçu des travaux des principaux écrivains, parmi les contemporains de Descartes, qui cultivèrent

les premiers sa Géométrie et qui s'en servirent pour étendre le cercle des vérités mathématiques^ particulièrement dans la théorie des courbes.

On distingue d'abord Fermât et Roberval. FBaMAT. Le premier, digne émule de Descartes, employait lui-même, déjà,

des procédés analytiques semblables à sa Géométrie ^ avant qu'elle eût paru. Mais la nature et le caractère spécial de ses travaux, basés en grande partie sur sa belle méthode De maximis et minimis, les rapprochent beaucoup plus des doctrines de la Géométrie ancienne que de celles de Descartes.

ROBBBTAL. Robcrval, que la rivalité jalouse qui a existé entre lui et ce grand

philosophe portait à critiquer minutieusement la nouvelle Géométrie ^ contribua de cette manière à en répandre la connaissance. Ce géomètre a fait d'ailleurs, en quelque sorte, amende honorable, en laissant sous le titre De resolutione œquationum^ une application intelligente de cette méthode à la construction des lieux par leurs équations. DB BEAQNE, § 3. Dès quc la Géométrie de Descartes eut paru, de Beaune en

pénétra l'esprit et l'excellence, et en facilita la lecture par des Notes, très-estimées de Descartes lui-même, sur les passages qui, par leur concision et la nouveauté du sujet, offraient des difficultés aux meilleurs géomètres.

C'est de Beaune qui, le premier, conçut l'idée d'introduire dans la théorie des courbes les propriétés de leurs tangentes, comme élément propre à leur construction; et qui, par une question de cette nature proposée à Descartes, donna ainsi naissance à la méthode inverse des tangentes.

Il s'agissait de construire une courbe telle que le rapport de sa soutangente (prise sur l'axe des abscisses) à l'ordonnée, fut dans une raison constante avec la partie de l'ordonnée comprise entre la courbe et un axe fixe faisant un demi-angle droit avec l'axe des abscisses, passant d'ailleurs par l'origine de la courbe ^

1 r^ettreê de Deêcartes , toin. VI , pag. 215.

Ce problème, difficile, même avec le secours du calcul intégral, et qui a occupé, à la naissance de ce calcul, Leibnitz et les frères BernouUi, a été résolu par Descartes, qui, avec son habitude de vaincre les plus grandes difficultés en Géométrie, sut ramener la question aux lieux géométriques, en considérant chaque point de la courbe comme l'intersection de deux tangentes infiniment voisines; et découvrit ainsi que la courbe avait une asymptote parallèle à l'axe fixe, et que la soutangente prise sur cette asymptote était constante. Ces propriétés ont conduit Descartes à la construction de toutes les tangentes de la courbe, et à celle de la courbe elle-même par l'intersection de deux règles qui se mouvaient avec des vitesses déterminées. L'incommensurabilité de ces deux mouvemens lui fit voir que la courbe était mécanique, et de celles auxquelles ne s'appliquait point son analyse. Aussi n'en donna-t-il pas l'équation. {Lettres de Descartes, t. VI, p. 137.)^

Descartes n'avait compris dans sa Géométrie que les courbes dont l'équation, dans son système de coordonnées, était d'un degré fini; il les appela courbes géométriques, et donna le nom de mécaniques à toutes celles qui n'étaient pas géométriques. Leibnitz a substitué à ces dénominations celles de courbes algébriques et courbes transcendantes. On se sert maintenant indifféremment des deux expressions géométriques et algébriques, pour désigner les courbes que Descartes a considérées dans sa Géométrie. Mais nous emploierons toujours la première, parce que les courbes auxquelles elle s'applique se distinguent de toutes autres par certaines propriétés géométriques qui leur sont communes, tout aussi bien que par la nature de leurs équations; et de plus on peut démontrer ces propriétés avec les seuls secours de la Géométrie, et sans employer le système de coordonnées et les formules algébriques de Descartes.

1 La lettre dans laquelle Descartes commiiniqae à De Beaune ses idées sar cette question d'un nouveau genre 9 qu'il regarde comme Vinverse de sa règle des tangentes, nous parait roé- * rîter de figurer comme Tun des documens les plus importans dans Thistoire des nouveaux calculs.

^om. XI. 13

SGHOOTEir,

§ 4. Schooten écrivit un commentaire étendu sur la Géométrie de 16.-1659. Descartes, et fit de nombreuses applications de cette méthode dans plusieurs parties de ses Exercitationes Geometricœ^ principalement dans le livre 3®, qui est la restitution des lieux plans d'Apollonius j et dans le livre 5®, intitulé : De linets curvts superiorum generum^ ex solidi sectione ortis. C'est là que nous trouvons le premier exemple de la méthode des coordonnées appliquée aux courbes considérées dans l'espace; mais il est vrai qu'il n'y est question que de courbes planes, et que Schooten n'a besoin d'employer que deux coordonnées. Mais ce genre de spéculations n'en était pas moins nouveau alors, et un premier pas dans la Géométrie analytique à trois dimensions, qui, comme nous le verrons à la fin de cette troisième Epoque, ne s est développée que cinquante ans plus tard.

Schooten a écrit un Traité de la description organique des coniques^ où il enseigne difTérentes manières de décrire ces courbes d un mouvement continu. La description de l'ellipse par un point d une droite, dont les extrémités glissent sur les côtés d'un angle, était déjà connue; Guido Ubaldi et Stévin l'avaient donnée, et elle était due aux géomètres anciens, ainsi que nous l'avons dit en parlant de Proclus. Schooten la généralisait , en prenant le point décrivant au deJiorS de la droite, mobile. L'ouvrage contient, outre la description des se^ptioBS coniques, leur quadrature par. la méthode des indivisibles de CavàHl^^-

§ 5. Le second livre des Exercitationes Geometricœ ^ est un recuf^^' de problèmes résolus par la ligne droite seulement. Ce sont les prV miers exemples que nous trouvons de ce genre particulier de Géometrie, qui a été traité dans ces derniers temps d'une matiière spéciale, par MM. Servois et Brianchôn, sous le nom de Géométrie de la règle. A la suite de ce livre, et sous le titre d^Appendix^ Schooten résout douze problèmes, dans lesquels il suppose que des obstacles rendent des points, ou des Hgnes, inaccessibles ou invisibles dans certaines positions. Il confesse qu'il a été porté à ce genre de recherches par la lecture d'un ouvrage intitulé Geometria peregrinans^ où l'auteur se proposait de résoudre, en se servant de jalons seulement, les problèmes

de Géométrie pratique^ qui se présentent particulièrement à la guerre. Cet ouvrage, anonyme et sans date, a paru à Schooten n'être pas ancien et avoir été imprimé en Pologne.

S 6. Les secours que l'analyse fournissait à la Géométrie étaient si grands et si merveilleux, que Schooten fut un des mathématiciens qui voulurent attribuer à cette méthode la clarté et Félégance que les Anciens apportaient dans les démonstrations et les constructions de leurs théorèmes et problèmes, les accusant d'avoir supprimé, pour rendre leurs inventions plus capables d'exciter l'admiration de la postérité, la véritable voie qu'ils avaient suivie. Pour appuyer cette opinion, Schooten £t voir par de nombreuses questions traitées des deux manières \ qu'effectivement la méthode synthétique peut toujours se déduire de la méthode analytique. Mais Schooten ne s'attachait pas assez à la vraie signification que les Anciens avaient donnée au mot analyse^ et aux exemples que Pappus particulièrement nous avait laissés de cette méthode, et ce fut là la cause de son erreur j car ne reconnaissant point d'autre analyse que celle qui repose sur Temploi de l'algèbre, et n'en trouvant aucun vestige avant Diophante, il en concluait que les Anciens avaient caché leur analyse.

Cette accusation, portée par Schooten, 1 avait été en premier lieu par Nonius dans son algèbre, et a été reproduite au chapitre II de Talgèbre de Wallis; mais depuis elle est restée sans créance et a paru absurde.

§ 7. Sluze et Hudde perfectionnèrent les méthodes de Descartes et sldzb, de Fermât, pour mener les tangentes et déterminer les maxima et minima:eï le premier, s'appliquant à la belle construction que Des- i64o-i7oi cartes avait donnée des équations du troisième et du quatrième degré, par un cercle et une parabole, eut la gloire de la compléter, en se servant d'un cercle et d'une section conique quelconque de grandeur donnée; généralisation alors très-désirée des géomètres.

1 Tradatuê de amcinnandis demomiraHonibuê geometricis es calcula algebraïco. Ouvrage poithnme. On y troaye une démonstration analytique du théorème de Ptolémée sur les segmens qu'une transversale fait sur les trois côtés d*un triangle.

DB wiTi, s 8. Le célèbre pensionnaire de Hollande^ Jean De Witt, simplifia

1626-1672. la théorie analytique des lieux géométriques de Descartes^ et imagina une théorie nouvelle et ingénieuse des sections coniques^ fondée sur diverses descriptions de ces courbes, sur le plan, sans se servir du cône, et dont il sut tirer avec habileté, par la pure Géométrie, leurs propriétés principales.

Les descriptions de De Witt se Taisaient par des intersections de lignes droites qui, généralement, étaient les côtés d'angles mobiles. Jusque-là il n'y avait eu que la parabole qu'on eût décrite de la sorte. L'ellipse et l'hyperbole tiraient leur génération du cercle directement, ou bien nécessitaient l'emploi de cette courbe dans leurs divers modes de description.

Cependant nous devons dire que Cavalleri avait déjà eu l'idée de rechercher pour l'ellipse et l'hyperbole un mode de description par la ligne di'oite, analogue à celui de la parabole; et ses recherches avaient eu un premier succès que ce célèbre géomètre avoue lui avoir causé un vif plaisir \ Voici le principe de sa méthode^ que nous présentons sous un énoncé plus général, qui la fera mieux concevoir : (( Que l'on ait un angle, et qu'on mène des transversales parallèles entre elles; que, des points où chaque transversale rencontre les deux côtés de l'angle, on mène deux droites aboutissant respectivement à deux points fixes; ces deux droites se couperont en un point qui aura pour lieu géométrique une conique passant par les deux points fixes. » Ce n'est pas ce théorème général que Cavalleri démontre, mais seulement un de ses cas particuliers ; il suppose l'angle droit, les deux points fixes placés sur ses côtés, et la direction des transversales telle que ces deux points sont les sommets de la courbe.

Ainsi la pensée qui a dirigé De Witt, dans ses descriptions des coniques par la ligne droite, n'était pas absolument nouvelle; mais Cavalleri s'étant borné à un seul théorème, Tun des plus restreints de

Y * E^ercitationes geometricœ sex* Bononiœ» in-4^; 1647,

De modo facili describendi sectiones conicas , et in omnibus uniformi. (Exercitaiio testa.)

cette théorie qui est extrêmement féconde^ l'ouvrage de De Witt présente réellement un caractère de nouyeauté qui mérite d'être remarqué dans l'histoire de la Géométrie.

Outre ce caractère de nouveauté^ nous trouvons aussi ^ dans les descriptions de De Witt, le germe de cette célèbre description organique des coniques^ donnée par Newton dans le I®^ livre des Principesj puis répétée dans VÉnumération des lignes du troisième ordre ^ et dans V Arithmétique universelle. On obtient, en effet, plusieurs théorèmes de De Witt, en supposant, dans celui de Newton, qu'un angle soit nul et son sommet situé à l'infini.

La préface de l'ouvrage de De Witt nous apprend qu'il le regardait comme l'introduction à une théorie générale et à l'énumération des courbes d'un ordre supérieur. Idée féconde, que réalisèrent, cinquante ans après, Newton, Maclaurin et Braikenridge.

§ 9. Wallis écrivit, le premier, un Traité analytique des sections wallw , coniques^ suivant les doctrines de la (îéométrie de Descartes. Mais sa isie-nos. prédilection fut pour cette autre partie de la Géométrie, qui se rattache aux découvertes d'Archimède. £n appliquant aussi, dans son Arithmétique des infinis^ la puissante analyse cartésienne à la méthode 1 des indivisibles de Gavalleri, il fit faire à la Géométrie des progrès 1 immenses dans toutes les questions qui sont aujourd'hui du domaine du calcul intégral.

§ 10. Huygens, Van Heuraet et Neil furent aussi les promoteurs de var hechaet, heil. la Géométrie de Descartes.

Ces deux-ci se partagent la gloire d'avoir résolu, les premiers, le problème de la rectification d'une ligne courbe , qui passait auprès de quelques géomètres pour être, par sa nature, absolument insoluble, et qui^ du reste, offrait, à cette époque, de grandes difficultés d'un ordre nouveau.

S 11. Huygens est célèbre à tant de titres, et ses travaux font tant d'honneur à la Géométrie, qu'il nous faut entrer ici dans quelques détails.

Ce grand géomètre sut à fond la méthode de Descartes, s'en servit.

et la perfectionna même dans plusieurs de ses applications. Mais son goût irrésistible le retint fidèle à la méthode des Anciens^ où la force de son génie savait triompher des plus grandes difficultés.

S'il ne s'agissait que de marquer la place qu'Huygens doit occuper dans rhistoire des mathématiques^ il suffirait de dire que Nevvton ne l'appelait que du surnom de Grand (Summus Hugenius) y et ne parlait de ses découvertes qu'avec admiration. (( Il le tenait pour l'écrivain le plus éloquent qu'il y eut parmi les mathématiciens modernes > et pour le plus excellent imitateur des Anciens^ admirables suivant lui, par leur goût et par la forme de leurs démonstrations ^. »

Voici un aperçu des découvertes qu'Huygens dut à la Gréométrie des Anciens^ et qui montre bien toutes les ressources que peut offrir cette méthode à celui qui sait en pénétrer l'esprit et y découvrir les voies de l'intuition qui lui est propre.

Huygens , en s'occupant de la quadrature approchée du cercle et de l'hyperbole, trouva entre ces deux courbes des rapports nouveaux et singuliers.

Il donna la rectification de la cissoïde, quand on n'avait encore rectifié que deux courbes, la parabole cubique et la cycloïde.

Il détermina les surfaces des conoïdes paraboliques et hyperboliques; premier exemple de telles déterminations de surfaces courbes.

On lui doit des théorèmes curieux sur la logarithmique, et les solides qu'elle engendre. Toutes ces propriétés, qui n'avaient été qu'énoncées par Huygens à la suite de son discours sur la cause de la pesanteur, ont été démontrées par Guido-Grandi, à la manière des Anciens,

Huygens résolut le problème de la chaînette, imaginé par Galilée,

' Pemberton , Préface des Élétnens de la philosophie neiotonienne.

On peut penser que cette admiration méritée pour le style géométrique d'Huygens causa chez le grand Newton une sorte dMmuIation qui lui fit adopter la même manière d'exposition et de méthode dans son immortel ouvrage des Principes ^ quoiqu'il fût déjà en possession de toutes les ressources de l'analyse la plus savante.

Nous énonçons cette opinion d'après M. le B'^^^". Maurice , qui l'a émise dans son excellente Notice sur la vie et les travaux d' Huygens,

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qui y avait échoué^ et remis sur la scène par Jacques BemouIIi; et le célèbre problème de la x^onrbe aux approches égales^ proposé par Leibnitz^ comme défi^ aux disciples de Descartes ^ à l'occasion de son démêlé sur la mesure des forces vives. Ces deux questions paraissaient aux deux illustres géomètres qui les proposaient^ nécessiter impérieusement le calcul intégral. Huygens sut les résoudre par les seules ressources de la Géométrie ancienne.

S 12. Le célèbre traité De horologio oscillatorio doit prendre place à côté de l'ouvrage des Principes^ dans l'histoire des grandes conceptions de l'esprit humain; il en est Tintroduction indispensable que Newton eût du créer, si le génie d'Huygens ne l'eût prévenu.

Chacun des chapitres de ce traité suffirait seul pour exciter l'admiration.

Le premier est la description des horloges à pendule, qui offraient^ pour la première fois, la mesure exacte du temps.

Le deuxième, intitulé De descensu gravium, coinplétait la grande découverte de Galilée sur l'accélération des corps qui tombent librement par la pesanteur, ou qui gUssent sur des plans inclinés. Huygens considérait leur mouvement sur des courbes données. C'est là qu'il démontra cette célèbre propriété de la cycloïde, d^étre la courbe tautochrone dans le vide.

Le troisième (De evolutione et dimensione linéarum curoarum) est la célèbre théorie des développées ; acquisition capitale pour la théorie des courbes, et ^ont les usagés dans toutes les autres parties des sciences mathématiques sont devenus aussi fréquens qu^étendus. Cette importante découverte ne fut point une simple spéculation géométrique dans les mains d'Huygens. Il sut en tirer les plus heureuses conséquences, pour démontrer une foule de propositions neuves et remarquables, telles que divers théorèmes sur les rectifications des courbes, et la propriété de la cycloïde, d'avoir pour développée une seconde cycloïde égale, qu'on peut considérer comme la cycloïde même, déplacée dans le sens de sa base de toute la longueur de la demi-cir-

conférence du cercle générateur^ et dans le sens perpendiculaire à la base^ de la longueur du diamètre de ce cercle \

Dans le quatrième chapitre de Vfforologium oscillatorium^ Huygens résolvait d'une manière générale et complète le fameux problème des centres d'oscillation , qui avait été proposé parMersenne, et fort agité entre Descartes et Roberval. C'est dans cette solution que l'on vit, pour la première fois, l'un des plus beaux principes de la mécanique, connu depuis sous le nom de principe de la conservation des forces vives.

Enfin , le cinquième chapitre , où Huygens donnait une seconde construction de ses horloges, est suivi des treize célèbres théorèmes sur la force centrifuge dans le mouvement circulaire.

Ce fut l'application de cette théorie au mouvement de la terre autour de son axe, et au mouvement de la lune autour de la terre, application qui dérivait virtuellement des propositions 2, 3 et 5, qui fit découvrir à Newton la loi de la gravitation de la lune vers la terre.

Cette même théorie semblait être le complément de celle des dé-veloppées^ pour conduire naturellement à la connaissance des forces centrales dans le mouvement curviligne, qui fut aussi l'une des grandes découvertes de Newton, et qui lui donna la démonstration à priori des fameuses lois de Kepler. Mais ces rapprochemens échappèrent à l'esprit d'Huygens, occupé de tant d'autres grandes conceptions.

S 13. Le traité de la lumière est un des plus beaux monumens du génie d'Huygens, qui sut appliquer, avec une sagacité admirable, la Géométrie à son ingénieuse théorie des ondes. On y remarque surtout la belle loi mathématique, qu'il découvrit dans les phénomènes de la double réfraction du spath d'Islande. C'était, je crois, la première

' Par cette disposition , la cycloîde et sa dëyeloppée forment un pont a deux étages ; le piédroit de Fétage supérieur repose sur la clef de Tétage inférieur.

On a coutume de dire que la développée de la cycloîde est une seconde cycloîde égale et posée dans une ntnation renversée, ou bien posée en sens contraire. ( P^oyex V Analyse des infiniment petits du marquis de Lhopital , pag. 9â , et V Histoire des Mathématiques de Montucla, tom. II, pag. 7â et 164). Cette manière de s*exprimer est erronée. C'est pour cela que nous avons décrit minutieusement la position de la cycloîde et de sa développée.

apparition^ qui s'est reproduite depuis^ des surfaces du second degré dans les phénomènes naturels. Cette grande découverte a été complétée par Fresnel^ qui^ pour expliquer les phénomènes de la polarisation de la lumière^ a substitué aux ondes ellipsoïdales d'Huygens une surface du quatrième degré \ Fresnel, qu'une mort prématurée a enlevé aux sciences physiques et mathématiques^ dont il était déjà l'un des plus illustres adeptes^ a rendu une nouvelle vie par ce grand travail à la théorie d'Huygens, tombée depuis plus d'un siècle dans un oubli inexplicable ; il l'a replacée au rang qu'elle doit occuper parmi les grandes vérités du monde physique.

C'est ici le lieu de remarquer encore une belle déduction mathéma-

1 Fresnel a donné , poar cette surface du quatrième degré , la construction géométrique suirante , qui est extrêmement remarquable et qui conserye aux surfaces du second degré le principal rôle dans toute cette théorie : Qu'on conçoiveun ellipsoïde (dont les deux demi-diamètres principaux sont proportionnels aux racines carrées des trois élasticités principales du milieu , ou bien aux vitesses de la lumière suivant les axes de ces élasticités ) ; qu^on mène par le cen^ ire de cette surface une transversale quelconque et qu'on porte sur cette droite , à partir du centre ^ des segmens ègauig aux demi-diamètres principaux de l'ellipse résultant de la section de la surface par le plan diamétral perpendiculaire à la transversale j les extrémités de ces segmens seront sur la surface du quatrième degré en question, (Voir le Mémoire de Fresnel , sur la double réfraction, dans le tom. VU des Mémoires de l'Académie; le Mémoire de M. Ampère sur la Détermination de la surface courbe des ondes lumineuses dans un milieu dont l'élasticité est différente suivant les trois directions principales , etc, y imprimé dans les Annales de chimie et de physique, année 1828, et le Traité de la lumière de Herschel, tom. U , pag. 190 de la traduction de MM. Verhuist et Quetelet.)

D'après ce théorème, les belles lois de polarisation, découvertes dans ces derniers temps par dlllustres physiciens , et particulièrement celles de MM. Biot et le docteur Brewster , donnent immédiatement des propriétés géométriques de Tellipsoîde , et en général des surfaces du second degré.

Ainsi ces phénomènes optiques , qui ont déjà jeté une si vive clarté sur tout ce qui tient à la structure intime des corps cristallisés , peuvent apporter les mêmes secours dans l'étude de la Géométrie rationnelle.

On ne peut trouver un plus bel exemple de l'enchatuement qui unit toutes les sciences , ni une preuve plus évidente que des secours mutuels leur sont nécessaires pour suivre leur marche progressive d'un pas sûr et rapide.

Puisse-t-on voir surtout , dans ce rapprochement , que les surfaces du second degré sont destinées à jouer un rôle important dans toutes les déductions des lois les plus générales de la nature , et que l'on ne peut trop se hâter d'étudier et d'approfondir les innombrables propriétés géométriques que présentent ces surfaces, soit dans leur constitution propre, soit dans leurs relations entre elles.

Tom. XI. 14

tique ^ tirée par Huygens de sa Théorie de la lumière; mais qui a eu besoin d'être créée de nouveau^ dans ces derniers temps^ par M. Quetelet, pour fixer Taltention des géomètres et porter les fruits dont elle était susceptible. Huygens^ par l'application dé son système ondulatoire, a trouvé que (c quand des rayons incidens émanés d'un point fixe, ou parallèles entre eux, se réfractent sur une courbe, si Ton conçoit une circonférence de cercle décrite du point lumineux comme centre , ou bien une droite perpendiculaire à la direction des rayons parallèles, et que de chaque point de la courbe dirimante, comme centre, on décrive une circonférence d'un rayon qui soit dans une certaine proportion constante avec la distance de ce point, à la circonférence ou à la droite fixe, toutes ces nouvelles circonférences auront une courbe enveloppe, à laquelle les rayons réfractés seront tous normaux. »

Cette courbe est la forme de Vonde réfractée. C'est de là qu'Huygens concluait la loi du rapport constant des sinus d'incidence et de réfraction.

Ainsi, de même que Tschimhausen a considéré, depuis ^, la courbe enveloppe des rayons réfractés, de même Huygens considérait la courbe normale à ces rayons. La première seule a fait impression sur Tesprit des géomètres, et sa considération est devenue la base de leurs travaux en optique. La seconde a passé inaperçue, comme si elle n'avait pas reposé, comme la première, sur une construction purement géométrique*, et indépendante du système, alors douteux, qui y avait dohné naissance.

Et cependant la courbe d'Huygens est généralement beaucoup plus simple que celle de Tschimhausen ,' et se prête mieux à l'étude des propriétés optiques des courbes. Il nous suffit de dire, par exemple,

1 Tschirnhaasen a commnaiqné en 1682 , à rAcadëmie des Sciences de. Paris , ses premières ▼aes et ses premiers résultats sur la théorie des caustiques : Huygens avait présenté à la môme académie ) trois ans auparavant, son Traité de la Lumière, Il était alors en possession depuis long-temps de sa théorie des développées ; il n'aurait donc eu à faire qu'un pas facile pour donner son nom aux célèbres caustiques dont Tinvention et les usages en optique, et en Géométrie pour la rectification de certaines courbes , ont fait la gloire de Tschimhausen.

(jae ia caustique de Tschirnhausen^ produite par réfraction dans le cercle, s'est refusée jusqu'à ce jour à toutes les ressources de l'analyse qui n'a pu encore en donner l'équation, tandis que la courbe analogue d'Huygens est tout simplement une ovale de Descartes (courbe du quatrième degré), dont quelques considérations de Géométrie, ou quelques lignes d'analyse font connaitre la nature ou l'équation \

Néanmoins, les courbes d'Huygens sont restées inaperçues, et ce n'est que depuis 10 ans que M. Quetelet, en cberchant à diminuer les difficultés d'analyse que présentent les questions de réfraction de l^, lumière, imagina de substituer, dans cette théorie, aux caustiques de Tschimhausen des courbes qui en fussent les développantes, et parvint, en suivant cette idée heureuse, et par de pures considérations de Géométrie , à la construction de ces développantes par l'enveloppe d'un cercle mobile; ce sont ces courbes, qui répondent, comme 4>n; voit, aux ondes réfractées d'Huygens, que M. Quetelet appela caustiques secondaires; cet habile géomètre en a étendu la doctrirfe au cas où les rayons incidens étaient perpendiculaires à une même courbe , et au cas de l'espace où les rayons incidens sont normaux à une même surface ^.

Cette extension était comprise aussi dans la théorie d'Huygens. 11 en résulte immédiatement cette belle loi de la réfraction delà lumière, à savoir que a des rayons incidens, qui sont normaux à une même surface, jouissent de la même propriété après une réfraction sur une autre surface quelconque; et conséquemment se divisent après cette réfraction en deux groupes, qui forment deux séries de développables qui se croisent à angles droits. » Théorème que Malus, le premier, avait aperçu dans un faisceau de rayons émanés d'un même point, ou pa-

' Dans la réfraction sur une droite , la différence entre les deux courbes de Tschimhausen et d'Huygens n'est pas moins sensible : la première est une courbe du sixième degré , dont le calcul est assez long , et la seconde est simplement une ellipse ou une hyperbole j ainsi que Ta trouvé, le premier, M. Gergonne. (Annales de Math, , tom. XI, pag. S29.) '

Ce savant géomètre avait eu déjà la pensée qu'il se pourrait bien que les caustiques eussent pour développantes des courbes beaucoup plus simples qu'elles. {Annal, de Math. , tom. Y, pag. 289.)

^ NouveawB Mémoires de V Académie de Bruxelles ^ tom • III , IV et Y.

rallèles entre eux^ mais qu'il avait cru^ d'après le résultat de calculs trop compliqués, ne pouvoir être étendu à un système de rayons normaux à une même surface \ C'est M. Dupin qui^ le premier, par de pures considérations de Géométrie, donna au théorème de Malus toute la généralité qu'il devait comporter *.

On voit, par les considérations qui précèdent, quelles ouvertures utiles et fécondes le traité de la lumière d'Huygens présentait aux géomètres, qui auraient eu confiance plus tôt dans les vues de ce grand génie. Exemple remarquable de la lenteur avec laquelle avancent et se perfectionnent nos connaissances positives, et leçon sévère pour l'orgueil de l'esprit humain.

Cette digression est étrangère peut-être aux progrès propres des méthodes géométriques; mais du moins, elle roule sur l'une de leurs plus belles applications aux sciences physiques, et peut-être pourra-t-elle porter quelques-uns de nos jeunes lecteurs à ce genre de recherches géométriques, qui est encore neuf et qui promet d'abondans résultats '.

§ 14. La sagacité admirable qu'Huygens a montrée dans toutes les grandes questions qu'il a soumises à la Géométrie, ne Ta point abandonné dans ses recherches sur la mécanique, telle que la fameuse question du choc des corps, qu'il résolut en même temps que Wallis et Wren ; et dans ses découvertes astronomiques , qui rendent son nom inséparable de ceux de Kepler, Galilée et Newton.

> Mémoire eut l'optique , art. 22 et 27 , dans le 1 4« cahier du Journal de l'École Polytechnique,

2 Applications de Géométrie et de Mécanique ; Mémoire sur les routes de la lumière , p. 192.

' M. Hamilton , directeur de Tobserratoire de Dublin , en continuant les beaux travaux de Fresnel , est parvenu a soumettre tous les phénomènes sî compliqués et si délicats de la lumière à un calcul analytique nouTcau , qui parait devoir conduire aux lois mathématiques qui dominent toute cette vaste et importante théorie.

Nous avons appris de M. Quetelet j avec un extrême plaisir , qu'un autre savant géomètre , M. Mac Cullagh , poursuit les mêmes recherches que M. Hamilton , mais par de pures considérations géométriques.

Puissent les travaux de M. Mac Cullagh réhabiliter la Géométrie auprès des personnes d*un esprit juste et impartial, et rendre aux méthodes d'Huygens et de Neveton Testime qu'elles méritent.

fflSTOIRE DE Lk GÉOMÉTRIE. 109

Quoique la méthode des Anciens ait été presque toujours son seul instrument de raisonnement et de recherches^ il connaissait toutes les ressources non-seulement de la Géométrie de Descartes ^ mais aussi du nouveau calcul de Leibnitz^ qu'il avait étudié dès que cette su* blime découverte avait paru^ et dont il avait su apprécier tous les avantages \

S 15. Nous devons citer parmi les contemporains de Wallis et bahhow, d'Huygens, qui ont le plus contribué à l'avancement de la Géométrie^ leso-w??. Barrow^ le professeur de Newton à Funiversité de Cambridge. Ce géomètre publia en 1669 ses Lectiones Geometricœ, ouvrage rempli de recherches profondes sur les propriétés des courbes^ et particulièrement sur leurs dimensions. On y remarqua surtout dans la dixième leçon 9 sa Méthode des Tangentes; méthode peu différente^ il est vrai , de celle de Fermât^ mais qui cependant^ par la considération du petit triangle différentiel et l'introduction dans le calcul de deux quantités infiniment petites au lieu d'une seule ^ était un pas de plus vers la doctrine et l'algorithme de Leibnitz.

On doit à Barrow^ que ses connaissances dans les langues grecque et arabe mettaient en état de rendre ce service aux sciences^ des versions latines^ estimées, des élémens et des données d'Euclide; des quatre premiers livres d'Apollonius, des ouvrages d'Archimède et des sphériques de Théodose. Les démonstrations, dans tous ces ouvrages, se trouvent pour la plupart refaites et simplifiées extrêmement.

On a recueilli en 1684, sous le titre de Lectiones mathemattcœ ^ les leçons faites par Barrow à l'université de Cambridge, sur la philosophie des mathématiques, dans les années 1664, 1665 et 1666; plus quatre leçons d'une date incertaine, qui ont pour objet d'indiquer la méthode par laquelle Archimède a découvert ses plus beaux théo-

1 L'imiTenitë de Leyde possède de riches manuscrits qui lui ont été légués par Huygens , où se trouve, outre les productions de ce grand homme , une collection de lettres qu'il recevait de tous les savans. Messieurs les curateurs de cette université ont pensé » il y a quelques années, à faire imprimer une partie de oe précieux dépôt. Un projet aussi louable ne peut reoeroir trop tôt son exécution.

110 fflSTOIRE DE LA GEOMETRIE.

rèmes^ et de montrer combien peu elle diffère de l'analyse moderne \ On ne pouvait remplir ce but avec plus de précision et de clarté que ne Ta fait Barrow; mais on regrette que ses autres leçons mathématiques soient hérissées de citations grecques qui en rendent la lecture difficile.

Enfin ^ Barrow, dans ses Lectiones opticcBy a appliqué avec habileté la Géométrie à un grand nombre de questions concernant la réflexion et la réfraction sur des surfaces^ courbes* U a construit les points où se réunissent les rayons infiniment voisins; mais^ malgré son goût et son habitude des spéculations géométriques^ il n'a pas songé à cotasidérer la courbe qui naît de la succession de ces points ou de l'enveloppe de ces rayons; comme Huygens^ qui a todché de près aussi à la découverte de cette courbe , il en a laissé l'honneur à Tschirnhausen.

§ 16. C'est ici le lieu précisément de parler du géomètre que nous venons de nommer.

TscHiRîiHAwsM , Tschimhauseu a reçu une grande célébrité de ses fameuses cafis- 1651-1708. tiques. Cette invention ^ en effet est devenue aussitôt la base de plusieurs théories physico-mathématiques. Considérée comme pure spéculation géométrique^ elle avait le double avantage d'offrir un second' exemple après les développées d'Huygens^ de la génération des courbes comme enveloppes d'une droite mobile^ et de donner naissance à une infinité de courbes rectifiables.

Ces caustiques^ de même que les développées, étaient en quelque sorte une application pratique de l'idée de De Beaune, d'exprimer la nature des courbes par quelque propriété commune à leurs tangentes.

Mais ce n'est point cette considération abstraite qui a conduit Huygens et Tschirnhausen à l'invention des courbes qui portent leur nom ; et ce fut Leibnitz qui donna suite à l'idée de De Beaune^ et la généralisa même en cherchant la courbe enveloppe d'une infinité de

1 Quo plantas appareai qualem ille gubiiUsêimua vir (ârchimbdbs) analysin iuurpâritj et quam hodiemœ nostrœ parum diasimilem.

lignes droites on courbes déterminées et liées entre elles par une propriété commune ^

§ 17. Tschimhausen^ homme de génie et Vmx des plus passionnés pour la science qu'il cultivait^ a encore eu d'autres {titres, après Finyention de ses cauçtiqites^ à un rang distingué dans Thistoire de la Géométrie.

Dans un traité intitulé Medicina inentis, publié en 1686 ^, dont l'objet priReipal' était d'indiquer les rt^les.qui doi]?ent nous guider dans la reclierche de la Térité^Tschirnhausen/ partant de cette idée, que les êtres mathématiques sont formés par le mouvement rapporté à quelque, chose de fixe, proposa une génération nouyelle et universelle des courbes. Il les concevait décrites par un stylet qui tend un fil qui y étant fixé par ses extrémités à deux points fixes, glisse sur un ou plusieurs autres points fixes , ou s'enroule sur une ou plusieurs courbes de nature cotmue. C'était, comme on voit, une g^érahsation du mode de description des coniques au moyen de leurs foyers; généralisation que Descartes avait déjà eu l'idée de transporter à la description de ses ovales *.

Tschimhausen divisa les courbes en plusieurs genres, suivant qu'il y avait plus ou moins de foyers, et suivant la nature des courbes fixes. D apprit à mener les tangentes aux courbes ainsi décrites ; c'est là l'origine du problème de la tangente à une courbe exprimée par une équation dont les variables sont les distances d'un point quelconque de la courbe à plusieurs points fixes.

§ 18. Ce problème a eu quelque célébrité, et a été résolu de différentes manières originales par les premiers mathématiciens de

1 Jeta Erud. Lip». ^ ann. 1692 et 1694, et OEuvres de Leihniiz , tom. III , p. 264 et 296.

^ Medicina mentis^ sive teniamen genuinœ logùsœ, in quâ disseritur de methodo detegendi incognitae veritaieê. In-4o , Amst.

On trouve dans le tom. III de la Bibliothèque universelle et historique (ann. 1686) , une analyse trèfl-dëtaillée de cet ouvrage remarquable de Tschimhausen.

3 Géométrie de Descartes , liv. 2«. Ces courbes , imagkiëes par Desoartes , ont joué un grand rôle surtout dans sa Dioptrique. Nous n'en parlerons que dans notre quatrième Époque , où nous les trouverons i:eproduites dans le 1«' livre des Principes de Newton.

l'époque : d'abord par Fatio de Duiller^ qui releva une erreur échappée à Tschirnhausen^ et dont la solution^ basée sur de simples considérations de Géométrie^ nous parait offrir un des beaux exemples^ aujourd'hui très-rares^ de la méthode des Anciens dans la construction des tangentes '; puis par le marquis de Lhopital qui, par la considération des infinimens petits^ et sans calcul^ en donna une construction élégante et de la plus grande généralité ^ ; et dans le même temps par Leibnitz^ dont la solution a qui a cet avantage que l'esprit y fait tout sans calcul et sans diagramme, » repose sur un beau théorème de mécanique qu'il imagina à cet effet '• Quelques années après ^ Herman compléta en quelque sorte cette théorie, en donnant une construction très^simple du rayon de courbure des mêmes courbes de Tschimhausen, calculé directement et par la pure Géométrie, sans se servir des coordonnées auxiliaires de Descartes *.

M. Poinsot a étendu aux surfaces ce mode de génération des courbes et la construction de leurs normales, et s'en est servi utilement dans im fort beau mémoire sur la mécanique '.

I Réflexions de 3f. Fatio de Duilier eur une méthode de trouver les tangentes de certaines lignes courbes, BiBLioratQVK vriveksbllk kt histokiqcb , tom. V, année 1688*

Tschirnhaiisen a répondu a ces réflexions de Fatio , et reconnu son erreur dans le tom. X du même recueil , même année.

^ Analyse des infinimens petits , section â« , proposition 10.

* Leibnitz considère la question sous cet énoncé : « Mener la tangente d'une ligne courbe qui se décrit par des filets tendus. » Sa construction est fondée sur une règle générale de la composition des mouvemens, qu*on peut énoncer ainsi, en substituant à l'idée de mouTCment celle de force , comme a fait Lagrange en reproduisant dans sa Mécanique analytique la condition d'équilibre qui résulte du principe de Leibnitz. « Si tant de forces qu'on voudra , qui sollicitent un point, sont représentées en grandeur et en direction par des droites, leur résultante passera par le centre de gravité des points extrêmes de ces droites , et sera égale en grandeur à la distance de ce point au point sollicité , multipliée par le nombre des forces. » {Journal des Savans, sept. 1693, et OEuvres de Leibnitz, tom. III , pag. 283.)

Ce théorème peut être étendu au cas où les forces sont appliquées à des points différons d'un corps solide libre dans l'espace. {Correspondance mathématique de Bruxelles , tom. Y, pag. 106.)

4 Methodus inveniendi radios osouK in curvis emfocis descriptis. Acta Eiudit., ann. 1708; pag. 501.

5 Théorie générale déséquilibre et du mouvement des systèmes; 13"* cah. da Joum. de V école

§ 19. Revenons à Tschimhausen. En 1701^ ce géomètre annonça à r Académie des sciences une nouyelle méthode générale, propre à suppléer le calcul infinitésimal dans plusieurs questions de haute Géométrie, telles que la construction des tangentes et des rayons de courbure \ Mais sa solution, qui reposait sur l'analyse de Descartes, n'était qu'une imitation des deux méthodes que ce grand géomètre avait données du problème des tangentes, et qui consistaient à supposer que deux points d'une courbe distans d'abord l'un de l'autre d'une quantité finie , venaient à se confondre.

Le titre suivant : Essai (tune méthode pour trouver les touchantes des courbes mécaniques, sans supposer aucune grandeur indéfiniment petite ^, sous lequel Tschimhausen présenta l'une de ses découvertes, fit grande sensation alors; et il devait en effet piquer vivement la curiosité des géomètres et assurer à son auteur, déjà célèbre, une gloire immortelle, si sa promesse était pleinement remplie. Mais cette méthode^ loin de convenir à toute courbe mécanique proposée, ne s'appliquait qu'à un genre de courbes qui avaient pour abscisses des arcs d'une courbe géométrique à laquelle on savait mener les tangentes, et pour ordonnées des parallèles à une droite fixe ; et le calcul employé par Tschimhausen était le même que pour le cas ordinaire où les abscisses étaient comptées sur une droite, au lieu d'être comptées sur un arc de courbe. Mais cette méthode avait toujours le mérite d'être une extension de celles de Descartes qui, pour maintenir l'universalité et la suffisance de sa Géométrie, en avait exclu , comme on sait, les courbes mécaniques, désignant par ce mot celles qui ne pouvaient pas se déterminer par une mesure exacte et connue. Dès 1682, Tschimhausen avait exposé sa méthode des tangentes aux courbes géométriques^ dans les actes de Leipzig, sous le titre IVova methodus tangentes curvarum eœpedite determinandi , et avait annoncé qu'il l'appUqueraît plus tard aux courbes mécaniques.

polytechnique. Ce mémoire vient d*étre reproduit dans la 6* édition de la Statique de M . Point ot. ' Histoire et Mémoires de V Académie des Sciences, ann. 1701. 2 Mémoires de l'Académie des Sciences , ann. 1702.

ToB. XL 15

Réflexions sur les m^ thodes en Géométrie*

S 20. Le but constant de Tschimhausen^ dans ses diverses spéculations géométriques^ était de rendre la Géométrie plus aisée, persuadé que les yéritables méthodes sont faciles; que les plus ingénieuses ne sont point les vraies , dès qu'elles sont trop composées , et que la nature doit fournir quelque chose de plus simple.

Nous rapportons à dessein cette pensée de Tschirnhausen, persuadé que toutes les vérités géométriques sont de même nature; qu'elles doivent être toutes également susceptibles de démonstrations faciles^ et très-souvent intuitives. Et en effet, combien n'a-t-on pas d'exemples que celles qui avaient semblé d'abord présenter les plus grandes difficultés, et se refuser même à toutes les ressources des méthodes connues, sont devenues ensuite les plus simples et les plus évidentes? C'est qu'elles dépendaient de théories qui n'étaient point encore formées ou assez étendues, ou qui ne reposaient point .sur leurs véritables bases.

C'est en cela, soit dit en passant, que nous parait consister le principal avantage de l'analyse moderne sur la Géométrie. La première de ces deux* méthodes a le merveilleux privilège de négliger les propositions intermédiaires dont la seconde a toujours besoin , et qu'il faut créer quand la question est nouvelle. Mais cet avantage, si beau et si précieux, de l'analyse , a son c6té faible, comme toutes les conceptions humaines ; c'est que cette marche pénétrante et rapide, n'éclaire pas toujours suffisamment l'esprit; elle laisse ignorer les vérités intermédiaires qui rattachent la vérité trouvée avec le point de départ, et qui doivent former avec l'une et l'autre un ensemble complet et une véritable théorie. Car est-ce assez, dans l'étude philosophique et approfondie d'une science, de savoir quune chose est vraie, si l'on ignore comment et pourquoi elle l'est, et quelle place elle occupe dans l'ordre deis vérités auquel elle appartient ?

Il faut, ce me semble, dans l'état actuel de la Géométrie, pour atteindre le but de Tschirnhausen, le perfectionnement indéfini de cette science, toujours observer, dans les spéculations auxquelles on appliquera son esprit, les deux règles suivantes :

I^ Grénéraliser de plus en plus les propositions particulières^ pour arriver de proche en proche à ce qu'il y a de plus général ; ce qui sera toujours^ en même temps ^ ce qu'il y aura de plus simple^ de plus naturel^ et de plus facile;

2^ Ne point se contenter, dans la démonstration d'un théorème ou la solution d'un problème, d'un premier résultat, qui suffirait s'il s'agissait d'une recherche particulière, indépendante du système général d'une partie de la science; mais ne se satisfaire d'une démonstration ou d'une solution, que quand leur simplicité, ou leur déduction intuitive de quelque théorie connue, prouvera qu'on a rattaché la question à la véritable doctrine dont elle dépend naturellement.

Pour indiquer un moyen de reconnaître si la pratique de ces deux règles a conduit au but désiré, c'est-à-dire si Ton a rencontré les vraies routes de la vérité définitive, et pénétré jusqu'à son origine, nous croyons pouvoir dire que, dans chaque théorie, il doit toujours exister, et que l'on doit reconnaître , quelque vérité principale dont toutes les autres se déduisent aisément, comme simples transformations ou corollaires naturels; et que cette condition accomplie sera seule le cachet de la véritable perfection de la science. Nous ajouterons, avec un des géomètres modernes qui ont le plus médité sur la philosophie des mathématiques, (c qu'on ne peut se flatter d'avoir le dernier mot d'une théorie , tant qu'on ne peut pas l'expliquer en peu de paroles à un passant dans la rue \)> Et en effet, les vérités grandes et primitives, dont toutes les autres dérivent, et qui sont les vraies bases de la science, ont toujours pour attribut caractéristique la simplicité et l'intuition *.

' Opinion de M. Gergonne, qui en faisait Tapplication a la nouTelle théorie des caustiques de H. Quetelet. Nouveaux Mémoires de V Académie de Bruxelles^ tom. IV, pag. 88.

^ Cette opinion , admise dans les sciences positives , est un résultat d'expérience , auquel conduit la culture de chacune d'elles. Mais on peut aussi la justifier à priori. Car les principes les plus généraux , c'est- à-dire qui s'étendent sur le plus grand nombre de faits particuliers , doivent être dégagés des diverses circonstances qui semblaient donner un caractère distinctif et différent à chacun de ces fait« particuliers , considéré isolément , avant qu'on eût découvert leur lien et leur origine commune ; car s'ils étaient compliqués de toutes

Difuion de u G^omé- %2l. Oïl durd remarQué. dans cette analyse succincte des pro&rès

en trois branches. ^ ^ ^ J r o^

prodigieux que la Géométrie a faits dans 1 intervalle d une trentaine d'années^ que ces progrès furent dus principalement à deux grandes jj conceptions: celle des indivisibles de Cavalleri, et celle de V analyse • appliquée aua^ lignes courbes^ de Descartes.

La première s'adaptait aux formes et aux procédés accoutumés de la Géométrie ancienne ; et Ton regarda comme appartenant à la Géométrie pure des Anciens les découvertes auxquelles conduisit cette méthode de Cavalleri.

La deuxième^ véritable instrument analytique^ faisait de la Géométrie une science toute nouvelle^ qui exciterait l'étonnement et l'admiration d'Ârchimède et d'Apollonius^ qui n'en ont laissé aucun germe; on l'a appelée Géométrie mixte , Géométrie analytique , ou Géométrie de Descartes.

Mais, tandis qu'une sorte de division s'établissait ainsi dans les méthodes de la Géométrie^ un troisième mode de procéder^ une troisième espèce de Géométrie, pour ainsi dire, prenait naissance. C'est celle que nous avons déjà dit avoir été employée par Pascal et Desargues , et dont les premiers germes se trouvaient dans les porismes d'Euclide^ et nous ont été conservés par Pappus dans ses collections mathématiques.

Ainsi donc nous voyons la Géométrie divisée en trois branches :

La première comprend la Géométrie des Anciens, aidée de la doctrine des indivisibles et de celle des mouvemens composés;

La deuxième est l'analyse de Descartes, accrue des procédés de Fermât, dans sa méthode de maximis etminimis^ pour calculer l'infini;

La troisième enfin est cette Géométrie pure, qui se distingue essentiellement par son abstraction et sa généralité ; dont Pascal et Desargues ont donné les premiers exemples dans leurs traités des coniques,

ces circonstances ou propriétés particalières , ils en porteraient Pempreinte dans tons leurs corollaires , et ne donneraient lieu , généralement , qu'à des vérités excessirement embarrassées et compliquées elles-mêmes. Ces principes les plus généraux sont donc nécessairement , par leur nature , les plus simples.

et dont nous verrons que Monge et Gamot^ au commencement de ce siècle^ ont assis les fondemens sur des principes larges et féconds.

Cette troisième branche de la Géométrie, qui constitue aujourd'hui ce que nous appelons la Géométrie récente, est exempte de calculs algébriques, quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations métriques des figures que de leurs relations de situation, ou descriptives y mais elle ne considère que des rapports de distances rectilignes d'un certain genre, qui n^exigent ni les symboles ni les opérations de Falgèbre.

Cette Géométrie est la continuation de V analyse géométrique des Anciens, dont elle ne diffère point quant au but et à la nature de ses spéculations; mais sur laquelle elle offre d'immenses avantages, par la généralité, l'uniformité et Fabstraction de ses conceptions, et de ses méthodes, qui ont remplacé les propositions particulières, incomplètes et sans liaison, qui formaient toute la science et l'unique ressource des Anciens, et surtout par l'usage, si utile, de la contemplation des figures à trois dimensions dans les simples questions de Géo-^ métrie plane.

C'est dans cette Géométrie générale que rentrent les théories et leurs applications, auxquelles on a donné, dans ces derniers temps, les dénominations de Géométrie de la règle, et Géométrie de situation, suivant qu'on y faisait usage d'intersections de lignes droites seulement, ou d'intersections de courbes ou de surfaces, dans l'es- ' pace, pour découvrir les propriétés descriptives des figures.

Des trois branches, bien distinctes, que nous venons de reconnaître dans la Géométrie, la seconde, qui est l'analyse de Descartes, offrit un tel attrait, et de si prodigieux avantages, qu'elle fut cultivée avec une prédilection marquée par les grands géomètres que nous avons nommés dans le cours de cette troisième Époque.

Il est vrai que cette Géométrie de Descartes, loin d'offrir un ordre de spéculations particulières, n'était autre qu'un instrument universel, propre à toutes les conceptions géométriques anciennes et modernes.

§ 22. Quelques mathématiciens cependant furent encore fidèles à la

ï^ méthode des Anciens. Parmi eux on distingue surtout De La Hire. DE LA HIRE, Ce géo mètre , quoique familiarisé avec l'analyse de Descartes^ enri-

1840-1718. chit la Géométrie pure de plusieurs ouvrages écrits dans le style des Anciens y et qui eurent beaucoup de succès.

Il fut aussi le digne continuateur des doctrines de Desargues et de

\ Pascal^ et introduisit dans la Géométrie^ principalement par une

! nouvelle façon d'engendrer les coniques sur le plan^ plusieurs inno*

vations qui se rapportent aux méthodes récentes. C'est donc à un

double titre que nous avons à citer ici ce célèbre mathématicien.

Ses principaux ouvrages écrits dans le style de la Géométrie ancienne sont : le grand traité des sections coniques , intitulé Sectiones ' conicœ in novem libros distributœ (in-fol., Paris 1685); son Mé-moire sur les épicycloi'des , contenant leurs dimensions^ leurs développées et leur usage en mécanique pour la construction des roues dentées * ; un second mémoire sur le même sujet , généralisé et appliqué à toutes sortes de courbes, sous le titre : Traité des roulettes^ où Von démontre la manière universelle de trouver leurs touchantes ^ leurs points d inflexion et de rebroussement, leurs superficies et leurs longueurs^ par la Géométrie ordinaire ^j et un mémoire sur les conchoïdes en général, contenant leurs tangentes, leurs dimensions, leurs longueurs, leurs points d'inflexion; (inséré dans les mémoires de l'Académie des sciences, année 1708).

Nous devons ajouter à cette liste le Traité de Gnomonique , qui parut en 1682, et qui était un ouvrage vraiment nouveau, où De La Hire résolvait toutes les questions graphiquement, sans trigonométrie

' Ce mémoire a para en 1694, parmi d'autres mémoires de mathématiques et de physique de De La Hire. II a été imprimé de nouveau dans le tom. IX des anciens Mémoires de VAca» demie des Sciences,

De La Hire y dit qu'il y a vingt ans qu'il avait découvert les épicycloîdes et leur usage en mécanique. Depuis , Leibnitz a revendiqué l'honneur de cette double invention pour le célèbre astronome Roemer, qui l'aurait imaginée en 1674, pendant son séjour à Paris. Mais, comme nous l'avons déjà dit , il parait , d'après De La Hire lui-même , que la partie mécanique, au moins, de cette invention remonte h Desargues.

2 Imprimé en 1704 dans les Mémoires de l'Académie des Sciences.

HISTOffiE DE LA GÉOMÉTRIE. 119

^'^KKie rectiligne^ et en n'employant que le compas^ la règle et le fil-à-

^^ 23. Le traité des sections coniques eut une grande réputation ^*^*^s toute l'Europe sayante^ et fit regarder De La Hire comme un ?^^^^^ur original sur cette matière. Sa méthode en eifet, quoique pure- ^^^^^t synthétique comme celle des Anciens^ en différait pourtant ^^^Btiellement. Les Anciens avaient considéré les sections coniques ^^^^ le cône^ mais seulement pour en concevoir la génération et en ^Ij^^^ontrer quelques propriétés principales (dont la plus considérable ^M; le rapport constant du carré de l'ordonnée au produit des V^^mens faits sur l'axe) \ et faire servir ensuite ces propriétés primitives à la recherche et à la démonstration de toutes les autres : de sorte qu^ils formaient leur théorie des coniques sans connaître la nature ni aucune propriété du cône^ et indépendamment de celles du cercle qui lui sert de base; et même Apollonius démontre souvent les propriétés du cercle de la même manière et en même temps que celles de l'ellipse. De La Hire conçut une marche plus rationnelle et plus méthodique^ et conséquemment plus courte et plus lumineuse. Il commença par établir les propriétés du cercle qui devaient se représenter

' Si l'on demande la raison de la fëoonditë de cette propriété des coniques , on dira , en Géofliétrie analytique, que c'ett parce qu'elle n'est autre q«ie Véqu^ian mémie de la courbe, et que dès-lors il n'est point étonnant qne cette propriété se prête à toutes les transformations que l'on ferait subir a cette éqaation. Mais en Géométrie pure, il faut remonter à une raison plus directe , et prise de la nature seule de la chose , et non empruntée d'un système de coordonnées auxiliaire et artificiel ; et l'on reconnaît alors que cette raison est que la relation en question exprime une propriété de six points pris sur une conique. Mais ces six points n'ont pas entre eux toute la généralité de position possible ; quatre de ces points sont deux à deux sur deux droites parallèles.

Mais , malgré cette condition restreinte , la relation dont il s'agit suffit pour construire one conique par points , quand on en connaît cinq , donnés arbitrairement. On conçoit donc qu'elle doit suffire aussi pour conduire à toutes les propriétés des coniques. Mais il faudra flourent suivre une voie moins directe, qui nécessitera quelques détours de plus que si l'on <M)nnaiBaait une rektioa générale de six points queloonques d'une conique. Cette observation explique pourquoi les beaux théorèmes de Desargues et de Pascal, qui expriment cette relation tout-à-fait générale de six points d'une conique , ont apporté dans cette théorie une facilité inconnue aux Anciens.

120 HISTOffiE DE LA GÉOMÉTRIE.

dans les coniques^ particulièrement celles qui tiennent à la division harmonique; et ensuite, il en fit usage pour découvrir et démontrer dans les sections du cône les propriétés analogues. Et cette méthode eut cela de remarquable alors, qu'elle ne faisait point usage du triangle par l'axe, et qu'elle s'appliquait indistinctement à toutes les sections du cône.

Cette manière de procéder était, comme on voit, dans l'esprit de celle de Desargues et de Pascal , qui, par la perspective, transportaient aux coniques les propriétés du cercle. De La Hire. a pu aussi emprunter du Brouillon projet des Coniques de Desargues, l'usage heureux que l'auteur y faisait de la proportion harmonique et de quelques relations d'involution. C'est sous ces deux rapports que nous regardons ce géomètre comme le continuateur des doctrines de Desargues et de Pascal.

S 24. Nous devons dire que la nouvelle méthode qui fait dériver les propriétés des coniques de celles du cercle, et de la considération du solide dans lequel ces courbes prennent naissance , avait déjà été pratiquée par deux géomètres du siècle précédent. D'abord par Yemer, de Nuremberg, qui avait démontré ainsi plusieurs propriétés élémentaires des sections coniques ^; et ensuite avec plus d'étendue et d'une manière plus savante, par le célèbre Maurolicus de Messine, qui, après avoir traduit plusieurs écrits des Anciens, mit au jour, entre autres nombreux ouvrages de lui-même, un Traité des Coniques, où il suivit cette marche nouvelle, attribuant à celle qu'avaient suivie les Anciens, la prolixité de leurs démonstrations \

Il est juste de citer encore à ce sujet Guarini, contemporain de De LaHire, qui avait aussi donné en 1671, un Traité des Coniques ,

1 /• P^emeri Libelluê iuper pigintiduohuê elementis conteisj etc.; in-4*. 1522.

3 Qwmiam Apollùniua amnia ferè canicorum demonstrata c<maiu$ est in planum rédigera , antiquioribus insignior; neglectà amorum descriptione^ et aliundè quœrene argumenta , eogi^ tur perêœpe obscurius et indirecte demonstrare id , quod cantemplando êolidœ figurœ eectianem » aperiiuê et brevius demonstratur, (D. Fkancisci Maveolici Opuscula mathematica. In-4<>; Yenetiis, 1575 ;pag. 280.)

mSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 121

où il fais€ut un usage fréquent de la considération du cône^ pour démontrer leurs propriétés. On y remarque surtout une démonstration extrêmement simple^ et qui s'applique aux trois sections coniques en même temps ^ de la propriété du rapport constant des produits des segmens faits sur des cordes parallèles^ qui avait toujours exigé la connaissance de plusieurs propositions préliminaires. Cette méthode était un progrès dans la théorie des coniques; mais Guarini^ extrême- / ment sayant du reste dans toutes les parties de la Géométrie^ ne l'a i pas suivie systématiquement et avec le talent de De La Hire. {Voir au sujet de Maurolicus et de Guarini la Note XVII.)

§ 25. Nous dirons^ en passant^ qu'outre la méthode des Anciens et celle adoptée par De La Hire^ nous en concevons une troisième qtii n'a point été employée^ et qui eût été propre pourtant^ si nous ne nous abusons^ à simplifier extrêmement les démonstrations^ et à mettre dans tout leur jour les principes et la véritable origine des diverses propriétés des coniques : sous ce rapport^ on ne peut se dissimuler que la méthode des Anciens n'offirait qu'obscurité.

Cette méthode eût consisté à étudier les propriétés du cône luimême^ et à les formuler^ indépendamment et abstraction faite de celles des coniques; et celles-ci se seraient déduites des premières avec une facilité et une généralité ravissantes. On le concevra sans peine ^ car partout où les Anciens employaient trois démonstrations différentes pour démontrer la même propriété dans les trois sections coniques^ ellipse ^ hyperbole et parabole^ parce qu'ils s'appuyaient sur les caractères particuliers à chacune de ces courbes^ une seule démonstration suffira pour démontrer^ dans le cône même^ la propriété analogue^ d'où celles des trois coniques doivent se déduire comme de leur vraie et commune origine.

Dç cette manière^ on eût vu prendre naissance dans le cône à plusieurs propriétés des coniques^ telles que celle des foyers, qu'il semble qu'Apollonius ait devinée; et que ce géomètre^ ni aucun de ceux qui l'ont suivi 9 n'ont rattachée ni aux propriétés du cercle, ni à celles du cône; de sorte que l'origine première de ces points singuliers, celle ÏOB. XL 16

qai ne participe que d6 la nature du cône où la courbe prend naissance^ est restée igncnrée.

Un autre avantage de la méthode que nous indiquons eût été de former y en même temps que la théorie des coniques^ celle des cônes à base circulaire, dont très-peu de propriétés étaient connues jusqu^à ces derniers temps. Cela n'eût présenté aucune difficulté; et nous croyons pouvoir en indiquer comme preuve l'essai que nous avons fait de cette méthode dans un mémoire, oh, ^i n'admettant que les seules propriétés du cercle dont la plupart sont évidentes, nous sommes parvenu à un très*grand nombre de propriétés nouvelles des cônes dii second degré, dont une partie sont analogues et conduisent à celles des foyers des coniques; ce qui montre comment l'existence de ces points et leurs propriétés se rattachént.à celles du cône \

On penserait, à la lecture des premiers mots du Traité dès sections Coniques de Wallis, que la méthode que nous venons de proposer fût celle que suivît ce grand géomètre. Car il annonce qu'ayant reconnu que la théorie des coniques est diflKcile, et dans le but de la simplifier, il va d'abord étudier la nature du cône mieux que n'ont fait les Anciens, pour en déduire, comobe de leur vraie source, les propriétés de ces cdurbes. Mais Wallis se hâte d'ajouter qu'il se bornera aux principaleis de ces propriétés ^ à celles qui peuvent conduire à la découverte de toutes les autres. Et en effet, après avoir démontré celle qui lui sert à exprimer les coniques par une équation entre deux coordonnées^ à la manière de Descartes, il suit une autre marche^ et donne un traité anal3rtique de ces courbes.

§ 26. Revenons au traité de De La Hire. Cet ouvrage est divisé en neuf livres. Le premier, qui est le fondement de tout le reste, traite successivement des propriétés de la division harmonique dhine ligne droite; de celles des faisceaux harmoniques; et enfin dfes lignes divisées harmoniquement dans le cercle. Il s'y trouve aussi ^elques

1 Mémoire de Géométrie pure sur les propriétéê génè^aleê des cônes du second degH^ In-4*» ; 1830. \

fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 123

cas particuliers de la relation d'inyolution de six points^ quoique cette relation ne s'y trouve pas dans toute sa généralité. Ce livre est une introduction d'où se déduisent^ dans la suite ^ des démonstrations faciles et générales de théorèmes qui avaient coûté aux Anciens de longs et pénibles développemens. C'est en cela que consistent la nouveauté et le mérite de la méthode de De La Hire.

À l'exception du problème ad très et quatuor lineasy et des beaux théorèmes généraux qui faisaient la base des ouvrages de Desargnes et de Pascal^ toutes les autres propriétés connues des coniques se trouvaient réunies^ pour la première fois^ dans le traité de De La Hire^ et démontrées synthétiquement d'une manière uniforme et élégante. Plusieurs étaient dues à ce géomètre. Parmi celles-ci^ nous citerons d'abord la théorie des pôles y qui consiste dans les trois théorèmes suivans :

l"" « Si^ autour d'un point fixe^ on fait tourner une transversale qui » rencontre une conique en deux points^ les tangentes en ces points » se croiseront .toujours sur une même droite. ( Propositions 27 et 28 du livre 1^^ , et 24 et 27 du livre 2. ) , i

£t réciproquement a Sî de chaque point d'une droite on mène deux )) tangentes à une conique^ la droite qui joindra les deux points de » contact passera par un point fixe. » ( Propositions 26 et 28 du livre 1er, et 23 et 26 du livre 2. )

Ce point a été appelé^ dans ces derniers temps ^ le pôle de la droite^ et cette droite la polaire du point.

2^ <( Si par un point. fixe on mène plusieurs transversales qui rencontrent une conique^ les droites qui joindront deux à deux les points de jencontre de deux quelconques des transversale se rencontreront sur la polaire du point fixe. » (Propositions 22. et 23 du livre l^r, et 30 du livre 2. )

3o Enfin ce Le point où chaque transversale rencontrera la polaine » du point file sera le conjugué harmonique de ce point fixe^ par )) rapport aux deux points où cette transversale rencontre la courbe.» ( Propositions 21 du livre l^S et 23 et 26 du livre 2.)

Cette dernière proposition était connue d'Apollonius.

Elle est^ dans le traité de De La Hire^ la proposition fondamentale dont presque toutes les autres se déduisent. On Toit^ par exemple ^ dans la proposition 3 du 3^ livre ^ comment elle conduit naturellement à. la propriété du carré de l'ordonnée comparé au rectangle fait sur l'axe.

Ainsi cette proposition joue dans le grand traité de De La Hire le même rôle que la proposition du lattM rectum dans Apollonius; que le théorème de l'inyolution de six points dans le Brouillon projet des Coniques de Desargues; et que l'hexagramme mystique dans l'ouvrage de Pascal.

U est aisé de voir que^ des trois propositions que nous avons énoncées^ les deux premières sont comprises dans le théorème sur le quq^ drilatère inscrit aux coniques ^ que nous avons dit que Pascal avait probablement déduit de son hexagramme^ et que la troisième est une conséquence aussi de ce même théorème, au moyen de la 131™® proposition du 7® livre des Collections mathématiques, que nous avons citée en parlant de Pappus.

Mais l'ouvrage de Pascal n'ayant jamais été publié. De La Hire a le mérite de l'invention de ces belles propositions. Depuis elles ont été reproduites par Maclaurin, dans son Traité des Fluxions , et dans son Traité des courbes géométriques ; par R. Simson, dans son 'Traité des Sections coniques ; par Carnot, dans sa Théorie des Transversales; et par divers autres géomètres.

La première et sa réciproque ont été démontrées dans la Gréométrie descriptive de Monge, d'une manière intuitive fort élégante, et ont été étendues par cet illustre géomètre aux surfaces du second degré. C'est de cette époque que datent l'importance et les usages de cette théorie des pôles, renfermée auparavant dans les ouvrages profonds que nous venons de nommer^ et presque inconnue aux jeunes géomètres qui n'ont étudié les coniques que dans les traités analytiques.

Parmi d'autres propriétés remarquables des sections coniques , dues à De La Hire , nous citerons encore le lieu géométrique du sommet

d'un angle droit circonscrit à une conique^ lequel est un cercle pour l'ellipse et l'hyperbole ^ et une droite pour la parabole (8® liTre, propositions 26 y 27 et 28) ' ; et c'est Monge aussi qui a généralisé cette proposition^ et fait Toir que le point d'intersection de trois plans rectangulaires^ tangens à une surface du second degré, se trouve toujours sur une sphère^ qui devient un plan si la surface est un paraboloïde.

De La Hire a aussi considérablement enrichi la théorie des foyers j et donné une construction élégante et facile^ par la ligne droite et le cercle^ d'une conique qui doit passer par trois points et dont le foyer est donné. Problème utile en astronomie^ et pour lequel le célèbre astronome et géomètre Halley^ qui l'avait résolu le premier^ avait employé une hyperbole ^.

8 27. Jusqu'à Descartes ^ il n'y ayait eu qu'une manière de concevoir la génération des coniques^ c'était dans le solide; c'est-à-dire^ dans le cône à base circulaire. Mais la Géométrie de cet illustre novateur fit^ comme dans les autres parties des mathématiques^ une révolution complète dans la théorie de ces courbes : elle apprit à leur donner naissance sur le plan^ et sans qu'il fut besoin d'employer la considération du cône. Il suffisait à Descartes de remarquer que dans son système de coordonnées toutes les coniques étaient représentées par l'équation générale du second degré. Ce mode d'expression analytique

I De La Hire a aassi donné (dans les Mémoires de V Académie des Sciences j année 1704) , le Hea des angles égaux, aigus on obtos, oirconscrits à ane conique , lequel est une courbe du quatrième degré, qui se réduit au second | et devient une hyperbole, quand la conique proposée est une parabole.

Dans ce même mémoire, De La Hire a traité la même question pour la cycloîde, et est paryenu à ce résultat curieux, savoir, que tous les angles égaux , droits, aigus ou obtus , circonscrits a cette courbe, ont leurs sommets sur une seconde cycloïde raccourcie ou alongée.

Nous avons trouvé que les épicycloîdes du cercle jouissent de la même propriété ; c'est-àdire que :

Si à «ffie épieyeloïde engendrée par un point d'une circonférence de cercle qui rouh eur un autre cercle fixe , on circonscrit des angles tous égaux entre eux , leurs sommets seront situés sur une épieyeloïde alongée ou raccourcie.

> Methodus directa etgeometrica cujus ope investigantur Jpkelia, etc., Planetarum, Tiansacnoss raii.osoPHiQVis , année 1676, n** 128.

126 fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

était propre à la recherche et au développement de leurs nombreuses propriétés. Cette méthode fut adoptée d'abord par WaUis^ qui^ le premier^ donna un traité analytique des sections coniques^ et depuis par la plupart des géomètres qui écrivirent sur ces courbes. Cependant on continua encore pendant un siècle^ de considérer les coniques dans le cône; et les traités qui parurent dans cet intervalle réunirent les deux méthodes^ celle des Anciens et celle de Descartes.

La manière de Desargues et de Pascal de considérer les coniques^ rentrait dans celle des Anciens^ puisqu'ils formaient ces courbes par la perspective du cercle. Mais leur méthode tirait un de ses principaux avantages de l'emploi de la théorie des transversales^ dont les Anciens avaient fait usage dans les systèmes de lignes droites seulement^ et non dans la théorie du cercle ni des coniques.

Grégoire de St.-Yincent^ comme nous Tavons dit^ avait imaginé de nombreuses manières de former les coniques^ l'une par l'autre ; Schooten en avait donné diverses descriptions organiques; De Witt avait fait un pas de plus^ en formant ces courbes de différentes manières assez générales^ dont il s'était servi avec habileté pour démontrer leurs propriétés principales; mais ses modes de description n^étaient pas les mêmes pour les trois courbes.

De La Hire^ ayant sous les yeux la manière universelle^ mais analyticpie de Descartes^ et les tentatives de De Witt, chercha aussi un mode de description générale des coniques sur le plan, qui put servir à démontrer leurs mêmes propriétés que dans le solide.

§ 28. Il exécuta son dessein de deux manières , dans deux ouvrages qui précédèrent son grand traité de 1685^ et conunencèrent sa réputation comme géomètre, en 1673 et 1679.

Dans le traité de 1679 *, De La Hire définit les sections coniques des courbes, telles que la somme ou la différence des distances de chacun de leurs points à deux points fixes, est constante, ou bien dont

^ Nouveaux élémenê deê tecHonê coniques. Les lieux géomélriqueê* La coMtruction ou effeetion des équations. (ïn-12; 1679.)

diaqué point est à ^ale distance d'un point et d'une droite fixes. De ce sevl point de départ^ il conclut un grand nombre de propriétés de ces courbes.

Cette manière de présenter la théorie des coniques a été adoptée par plusieurs géomètres^ qui en ont fait la base de leurs ouvrages; tels que le marquis de Lhopital^ R. Simson^ Guisnée^ Mauduit^ etc.

De La Hire réunit à cet ouvrage deux autres parties différentes sur les lieux géométriques^ traités par la méthode de Descartes ^ et sur leur usage pour la construction des équations.

Cette dernière partie est terminée par la construction, en n'employant que la ligne droite et te cercle, d'un des plus fameux problèmes sur les coniques, qui est de leur mener une normale par un point pris au dehors de la courbe. Anderson \ Sluze et Htiygens Tavaient résolu pour la parabole seulement; ce qui n'offrait pas une grande difficulté, parce que la question n'ayant dans ce cas que trois solutions , elle pouvait être résolue par un seul cercle. Mais le cas de l'ellipse et de l'hyperbole, qui admet quatre solutions, était une question très-difficile, qui suffisait pour prouver toute la sagacité dé De La Hire dans l'analyse de Descartes.

S 29. Le traité de 1673, intitulé : Nouvelle méthode en Géométrie^ pour les sections des superficies coniques et cylindriques^ est celui où De La Hire se montre vraiment original et novateur, et celui surtout qui nous porte à mettre ce géomètre au rang des fondateurs de la Géométrie Moderne.

Cet ouvrage se compose de deux parties, dont chacune offire upe méthode nouvelle, et a un mérite différent. Le titre que nous venons d'énoncer se rapporte plus particulièrement à la première partie, où Fauteur considère les coniques dans le cône : la deuxième, où il les engendre sur le plan, est intitulée Planiconiques.

La première partie peut être regardée comme un essai de la méthode que De La Hire a suivie, douze ans après, dans son grand traité; car

' A. Anderêùni Eserdiationum mathemaiicarum Deeas prima, etc. Paris; 1619^ in-4<'.

il y commence par vingt lemmes qui roulent sur la même matière que le l«r livre de ce traité, et dont il se sert ensuite pour démontrer avec une généralité nouvelle alors, et sans se servir du triangle par Taxe, les principales propriétés des coniques. Mais ses démonstrations sont loin d'oflTrir le même degré d'élégance et de simplicité que celles du traité de 1685.

Dans ses Plamconiques , De La Hire imagina une description générale des coniques sur le plan, au moyen du cercle, comme dans l'espace, et sans connaître aucune propriété de ces courbes : puis, il fit voir que les courbes ainsi engendrées sont effectivement les mêmes que celles que l'on peut tracer, dans l'espace, sur le cône. Ce que cette méthode a' surtout de beau, c'est que les mêmes lemmes qui ont servi à transporter aux sections du cône les propriétés du cercle, servent pareillement pour les appliquer aux plamconiques , et les démonstrations restent les mêmes que dans la première partie.

§ 30. Ce premier ouvrage de De La Hire étant extrêmement rare, et les auteurs qui en ont parlé dans le temps , n'en ayant point fait connaître l'esprit ^, on nous pardonnera d'entrer ici dans quelques développemens pour dire ce qu'était cette merveilleuse théorie des plamconiques, restée si long-temps ensevelie et ignorée, et qui offrait la première méthode suffisamment générale pour la transformation des figures en d autres figures du même genre.

Concevons dans un plan deux droites parallèles entre elles, que l'auteur appelle V\me formatrice , Fautre directrice^ et un point appelé

' Les Transactions philosophiques, année 1676, n^ 129, rendent un compte favorable de Touvrage de De La Hire , mais ne parlent pas de la partie des Planiconiques.

Le Journal des Savons, année 1674 (17 décembre), après avoir donné l'analyse de la première partie de l'ouvrage , dit ces seuls mots des planiconiques , qui devaient sufiire pour les préserver de l'oubli : « L'auteur a ajouté à sa nouvelle méthode un traité des planiconiques , n qui est très-beau et très-commode , puisque , par la , il n'est plus besoin d'imaginer aucun » solide , ni plan , que celui sur lequel est la figure. »

Wolf , dans son Commentaire des principaux écrits des géomètres, cite les autres ouvrages de De La Hire et omet celui dont il est ici question* Montucla n'en dit mot non plus. Cependant Cornélius à Beughem en avait fait mention dans sa Bibliographica mathematica, et Hurrhard , depuis , l'a inscrit aussi dans sa Bihliotheca mathematica*

pôle. Par chaque point JU d'une courbe donnée dans le plan^ on mène^ sous une direction arbitraire, une transversale ; elle rencontre la directrice en un point qu'on joint au pôle par une droite, et la formatrice en un deuxième point par lequel on tire une parallèle à cette droite. Cette parallèle rencontre la droite qui va du point ^au pôle, en un point M^ , qui est dit formé par le point M.

Chaque point de la courbe proposée formera ainsi le point correspondant d'une seconde courbe.

Les points d'une ligne droite formeront des points appartenant à une deuxième ligne droite, et ces deux droites se couperont sur la formatrice.

Enfin , les points dun cercle formeront les points (Tune section conique.

Pour démontrer cette proposition sans supposer aucune propriété des coniques, DeLaHire imagine un cône à base circulaire, dans lequel est faite une section plane ; il abat le plan du cercle sur celui de la section en le faisant tourner autour de la droite d'intersection de ces deux plans; puis, prenant cette droite ^our formatrice , une seconde droite (qui, dans la position primitive du plan du cercle, était son intersection par un plan mené par le sommet du cône parallèlement à celui de la section), pour directrice, et pour pâle un certain point qu'il détermine convenablement, il prouve, par des comparaisons de triangles semblables, que la section peut être formée par le cercle \

Telle est la méthode par laquelle De La Hire effectuait sur le plan, sans avoir besoin d'aucun solide, ni d'autre plan que celui de la figure, les sections d'un cône. C'est ce qu'il appelait réduire le cône et ses sections en plan. tP appliquai à ces sections planes ^ dit-il dans la préface de son traité de 1679, les mêmes démonstrations que favai» faites pour les solides^ et je puis dire que cet o,uvrage eut assez de bonheur pour mériter F approbation des plus savans géomètres.

L'éclat que jeta cette première production de De La Hire fut de peu

' Cette démonstration est assez difficile ; le principe de perspective que nons avoiis déduil du théorème de Desargues en offre une qui est naturelle et d'une extrême simplicité.

ToM. XI. 17

de durée, et cet ouvrage, malgré son mérite incontestable, est, depuis plus d'un siècle, tombé dans l'oubli ; ce dont nous nous étonnerions, si nous ne savions que chaque époque a ses questions du moment, et que les idées les meilleures et les plus fécondes, pour être bien saisies, doivent venir dans le temps où les esprits sont tournés vers l'objet auquel elles se rapportent. L'étude des sciences nous offre à chaque pas la preuve de cette vérité ^

§ 31 . La méthode de De La Hire a pourtant été reproduite, ou plutôt inventée de nouveau, en 1704, par Le Poivre (de Mons), géomètre inconnu de nos jours, mais qu^il y aurait injustice à ne pas nommer à côté de Desargues, Pascal et De La Hire dans l'histoire de l'origine et des progrès de la Géométrie moderne. Son ouvrage est intitulé : Traité dos sections du cylindre et du cône y considérées dans le solide et dans le plan y avec des démonstrations simples et nouvelles. (In-8o (Je 60 pages). La partie relative à la description des coniques sur le plan n'est au fond que la méthode de De La Hire, mais présentée d'une manière très-diflférente qui mérite que nous en exposions ici l'esprit et les procédés ^.

n parait que la première idée de l'auteur a été de tracer sur un cône une section plane, sans mener effectivement le plan qui la con-

' Nous pourrions «goater avec Montucla: «Qu^il est des préjugés jusque dans la Géométrie , et qu'il est rare que ceux qui sont dès long- temps accoutumés à une certaine manière de raisonner soient disposés à quitter une ancienne habitude pour en contracter une nouvelle. » (Hiêioire des mathématiques^ tom. II , pag. 144.)

2 II a été rendu compte de cet ouvrage dans le Journal des Savons, année 1704 ; et dans les Acta eruditorum^ année 1707.

L'article fort étendu du Journal des Savahs parait supposer que la méthode de Le Poivre est prise de celle de De La Hire. Mais la voie d'invention est trop différente dans Tune et l'autre , pour que nous adoptions cette conjecture. Ajoutons que l'ouvrage de Le Poivre a un mérite qui ne se trouve pas dans celui de De La Hire et qui n'a point été remarqué par l'auteur de l'article du journal ; c'est de contenir un second mode de description de ses figures , basé sur leurs relations métriques , dont l'auteur aurait pu tirer un parti considérable s'il eût poussé plus loin cette idée heureuse.

Le Journal de Leipzig parle très-favorablement de l'ouvrage de Le Poivre. « Non solum , inquU , intra paucas pagellas palmarias seciionum conicarum proprietates mira facilitate ac perspicuitaie explicai^ sed tnter eas quoque aliquot proponit anteà parum cognitas.

tient; ce qu'il fait de deux manières : par l'intersection de chaque arête du cône par une autre droite menée convenablement^ ou bien par une proportion dont le dernier terme détermine sur chaque arête le point de la section. Puis, il remarque que ces mêmes procédés peuyent s'exécuter aussi sur le plan même du cercle qui sert de base au cône, comme dans l'espace, et donner naissance aux mêmes courbes. Concevons un cône à base circulaire ; un plan coupant mené arbitrairement déterminera sur le cône une section; c'est cette courbe qu'il s'agit de construire en faisant abstraction du plan sur lequel elle se trouve. Pour cela, il faut d'abord prendre dans l'espace les élémens nécessaires à la détermination de la position de ce plan; ce qui peut se faire de diverses manières. Le Poivre prend la trace du plan coupant sur la base du cône et une seconde droite parallèle à cette trace, et qui est l'intersection du plan de la base par le plan mené par le sommet du cône parallèlement au plan coupant. Ces deux droites et le sommet du cône déterminent la position du plan coupant; ces trois données devront donc suffire pour la construction de la courbe qui résulterait de l'intersection du cône et de ce plan, s'il existait réellement.

Or, il est aisé de voir que, pour effectuer cette construction, il n'y a qu'à mener par un point M du cercle, base du cône, appelé cercle générateur, une transversale quelconque qui rencontrera la trace du plan coupant et sa parallèle, en deux points; joindre le deuxième de ces points au sommet S du cône, par une droite, et mener par l'autre point une parallèle à cette droite. Cette parallèle sera évidemment dans le plan coupant, et rencontrera l'arête SM du cône, en un point M' qui appartiendra à la courbe cherchée. Pour un autre point du cercle générateur, on aura un autre point de la section.

Cette construction est générale, quelle que soit la position du point S dans l'espace ; et elle subsiste quand ce point est situé sur le plan du cercle, auquel cas il n'y a plus de cône. La courbe formée alors par le point est encore une section conique *.

■ Pour s'en conyaincre, il saffit de oonceToir la courbe qae nous Tenons de construire dans

Ainsi ^ la construction de l'auteur s'applique^ à la description des coniques sur le plan^ comme dans Fespace. Pour le cas du plan^ c'est comme on voit^ la même construction que celle de De La Hire. Le point S est le pôle , la trace du plan coupant est la fof'matrice^ et sa parallèle est la directrice.

S 32. Il y a, en général, dans les questions de Géométrie deux manières d'appliquer les solutions auxquelles la théorie a conduit. La première, est de déterminer les points cherchés par des constructions de lignes; la seconde de les déterminer par des formules qui se réduisent ensuite à des calculs numériques. Il est toujours utile de chercher ces deux genres de solutions , parce que chacune comporte des propriétés de la figure, que l'autre n'indique point; et la question n'est résolue complètement que quand elle a été envisagée sous toutes ses faces, et que les diverses propriétés graphiques et métriques qui se rattachent aux deux solutions dont nous parlons , ont été découvertes et mises dans tout leur jour.

La construction que nous venons de donner pour décrire les coniques, soit dans l'espace, soit sur le plan, appartient au premier mode de solution. Pour la convertir en une formule numérique, on compare deux triangles semblables qui ont un sommet commun au point M du cercle générateur, et on en tire une proportion entre leurs côtés adjacens à ce sommet. Cette proportion donne la distance du point M' de la conique au point correspondant du cercle ; c'est la formule cherchée \

l'espace , et de la projeter sar le plan du cercle , avec toutes les lignes qui ont servi à sa construction. On aura en projection une courbe, et des droites qui serviront à sa construction , comme les droites dans l'espace à la construction de la section du cône ; c'est-à-dire que la construction de la courbe projetée sera absolument semblable a celle de la courbe située dans l'espace : et si l'on prend les lignes projetantes perpendiculaires à la trace du plan de la section sur celui de la base du cône , et également inclinées sur ces deux plans , alors la courbe projetée sera parfaitement égale à celle de la section du cône ; ce sera donc une section conique.

On conclut de là aussi que, pour transporter aux coniques les propriétés du cercle, une seule démonstration suffira , soit qu'on considère la conique sur le plan du cercle ou dans l'espace.

1 II eût mieux valu prendre pour inconnue la distance du point M' au point S ; la formule

§ 33. La méthode de De La Hire et de Le Poivre était la plus heureuse et la plus féconde qu'on pût imaginer pour découvrir les nombreuses propriétés des coniques par celles du cercle; mais les avantages qu'elle offrait ne devaient point se borner à cet usage particulier; elle avait un avenir plus grande comme offrant un moyen général de transformer, sur le plan, les figures en d'autres du même genre, ainsi que ferait la perspective.

L'importance de ces méthodes, qui forment une des doctrines principales de la Gréométrie récente, nous engage à entrer encore dans quelques considérations au sujet de celle de De La Hire et de Le Poivre, qui montreront ses rapports avec les pratiques de la perspective, avec une méthode analogue imaginée dans le même temps par Newton , et avec plusieurs autres méthodes, d'invention plus moderne, dont nous aurons à parler dans la suite.

Le mode de transformation du cercle en une conique sur le plan, employé par De La Hire et Le Poivre, a pour propriété caractéristique que : à chaque point et à chaque droite considérés comme appartenant au cercle générateur, correspondent un point et une droite appartenant à la conicpie; et les relations de position des deux figures sont telles que deux points correspondons sont en ligne droite avec un point fixe S, et que deux droites correspondantes concourent sur un axe fixe, qui est la droite que nous avons appelée formatrice dans la méthode de De La Hire, et qui nous représentait, dans celle de Le Poivre, la trace d'un plan coupant.

Ce point S et l'axe fixe, considérés comme appartenant au cercle,

aarait condait natarellement à diverses propriétés des coniques , particulièrement à celles de lears foyers , dont l'auteur n'a rien dit. Il eût suiE , pour cela , de placer le point S au centre du cercle générateur.

Cette dernière observation , relative à la position du point S , s'applique aussi au Traité de De La Hire qui démontre les propriétés des foyers^ mais en supposant ces points connus àpriorip comme dans les coniques d'Apollonius , et sans être conduit à leur découverte. En plaçant le pôle au centre du cercle, la formatrice et la directrice étant d'ailleurs quelconques (mais parallèles entre elles ) , on forme une conique qui a pour foyer le pôle : et diverses propriétés du cercle s'appliquent immédiatement a la conique, relativement à son foyer.

sont eux-mêmes leurs correspondans par rapport à la conique; de sorte cpi'ils jouent le même rôle par rapport à chacune des deux courbes.

Si, du point fixe, on peut mener deux tangentes au cercle, elles seront aussi tangentes à la conique; et si Taxe fixe rencontre le cercle en deux points, la conique passera par ces deux points.

On démontre encore que, quand deux droites sont parallèles, leurs correspondantes concourent en un point situé sur la droite que nous avons appelée la directrice^ de sorte qu'un point quelconque situé à Finfini dans la première figure, a pour correspondant dans la seconde figure un point situé sur la directrice; ce qui prouve, parce qu'il n'y a qu'une ligne droite qui puisse correspondre à une ligne droite, que tous les points d'un plan qui sont à Tinfini doivent être considérés comme situés sur une même ligne droite.

§ 34. On reconnaît, à ces diverses propriétés , les figures hotnolo" giques dont M. Poncelet a donné, le premier, la théorie dans son Traité des propriétés projectives. Le pôle S est le centre dhomologie; et la formatrice est Vaxe d'homologie.

Les personnes qui ont l'habitude des pratiques de la perspective reconnaîtront aussi, dans ce mode de déformation, les figures mêmes que Ton trace sur un plan, comme devant être la perspective l'une de l'autre.

Ainsi, qu'on regarde la formatrice (ou axe dhomologie) y comme la ligne de terre y la directrice comme la ligne horizontale, le pied de la perpendiculaire abaissée an pôle (ou centre dhomologie) sur cette directrice, comme le point de vue y et enfin que, pour déterminer le point de distance y on porte, à partir du point de vue, un segment égal à cette perpendiculaire, sur la directrice; puis, qu'avec ces données on construise la perspective de la conique décrite par De La Hire, on trouvera précisément son cercle générateur. {Voyez la Note XVIIL)

Ainsi, la description générale des coniques sur le plan, qu'avait désirée ce géomètre , existait à son insu depuis long-temps ; mais elle ne servait cpie comme simple pratique de la perspective à l'usage seulement des artistes. De La Hire a le mérite très-grand d'avoir le premier

conçul'idéede se servir d'une telle déformation de figure comme méthode de Géométrie rationnelle, pour transporter directement à une courbe les diverses propriétés d'une autre courbe décrite sur le même plan.

Cette méthode était une généralisation de deux autres modes de transformation d'une figure en ime autre de même nature. Le premier consiste à mener d'un point fixe des rayons à tous les points d'une courbe, et à les prolonger dans un rapport constaiit ; leurs nouvelles extrémités forment une seconde courbe semblable à la première et semblablement placée par rapport au point fixe; le second mode de transformation consiste à abaisser de tous les points d'une courbe des ordonnées sur un axe fixe, et à les pt-olonger à partir de cet axe dans un rapport donné; leurs extrémités appartiennent à une seconde courbe qui est du même degré et du même genre que la proposée; et les tangentes en deux points correspondans de ces deux courbes se rencontrent sur l'axe fixe. C'est de cette manière que Stévin, Grégoire de St. -Vincent et, avant eux, le célèbre peintre Albert Durer, formaient l'ellipse au moyen du cercle. On tombe sur ces deux modes de déformation en supposant dans celui de De La Hire que la trace et la directrice, dans le premier cas, et le point S dans le second, soient à l'infini.

Nous trouvons dans la Géométrie des lignes courbes de John Le^lie ', une construction des coniques, par l'intersection de deux droites mobiles autour de deux pôles fixes, qui revient à celle de De La Hire. Ce célèbre géomètre a tiré cette construction des pratiques de la perspective; mais il n'en a point fait usage comme De La Hire et Le Poivre, pour démontrer les propriétés des coniques.

S 35. Dans le même temps que De La Hire conçut sa méthode dé description des coniques au moyen du cercle. Newton en imagina «ewtok, aussi une du même genre, dont le but général était d'opérer sur le plan *®"- "^^ des transformations de figures, dans lesquelles des points répondissent à des points, et des droites à des droites; et où certaines droites convergentes devinssent parallèles. Il donna cette méthode dans le premier

^ Geomeirical analyêùand Geometry ofcurve Unes, etc. , Ëdinbargh^ 18âl , in-8o.

livre de ses Principes^ et montra comment elle pouvait servir pour transformer une conique quelconque en un cercle et simplifier ainsi des problèmes difficiles.

Ce grand géomètre donna une construction géométrique et une expression analytique, Tune et l'autre très-simples, de ses figures transformées; mais sans laisser apercevoir la route qui Tavait conduit à ce mode de transformation des figures; et c'est peut-être pourquoi il a été peu cultivé depuis, car l'esprit éprouve toujours quelque difficulté et quelque répugnance aux choses qui ne portent pas en elles plus que l'évidence qui convainc , et où ne se trouve pas celle qui éclaire et montre les véritables raisons des choses. Nous avons été curieux de comparer cette méthode à celle de De La Hire et de rechercher les différences qui pouvaient les caractériser, et donner quelque avantage à l'une sur l'autre, espérant par là retrouver le fil qui avait pu guider Newton. Nous avons reconnu que ses figures n'étaient autres cpie celles de De La Hire placées dans une position différente, l'une à l'égard de l'autre; et qu'on peut aussi les produire par la perspective, en les abattant ensuite sur un même plan, mais d'une autre manière que ne l'avait fait De La Hire; et c'est ainsi probablement que Newton aura imaginé sa méthode. Ce procédé est en effet une des pratiques de perspective enseignées par quelques auteurs, dont nous citerons Yignole, Sirigati, Pozzo. (Voir la Note XIX.)

5 36. Il nous serait facile de montrer les ressources immenses que ces méthodes de transformation des courbes sur un plan auraient offertes dès il y a un siècle et demi aux géomètres, si une fatale et injuste prévention ne les avait éloignés de la culture de la Géométrie pure. Mais il nous suffit d'avoir fait voir que celle de De La Hire particulièrement, conduisait aux mêmes transformations et au même but que la belle théorie des figures homologtques , dont M. Poncelet a tiré des résultats aussi nombreux que remarquables. Cette méthode d'ailleurs, comme celle de Newton, n'est qu'un corollaire de notre principe général de déformation homographique , et nous ferions double emploi en nous étendant ici davantage sur ses applications*

S 37. En terminant cet historique des premières méthodes de transeformation des courbes 9 nous remarquerons que la manière ingénieuse par laquelle Le Poivre est parvenu à la sienne aurait mérité aussi l'attention des géomètres; car elle repose sur une idée qui comprend tout un système de Géométrie descriptive^ ou de représentation graphique^ sur une aire plane^ des corps situés dans l'espace. Cette idée consiste à représenter^ dans la pratique de la perspective^ un plan situé dans l'espace^ par deux droites parallèles tracées sur le tableau^ dont l'une est la trace du plan^ et l'autre la trace d'un plan parallèle mené par le point de l'œil. De cette manière, une droite est déterminée par deux points , qui sont ceux où cette droite et sa parallèle menée par le point de l'œil percent le tableau. Ainsi, voilà un moyen de représenter sur un plan tous les corps de l'espace, en se servant uniquement d'un point fixe pris arbitrairement au dehors de ce plan. Ce nouveau mode de Géométrie descriptive a été conçu et mis à exécution ^ il y a peu d'années, par M. Cousinery^ ingénieur des ponts et chaussées. Nous reviendrons sur l'ouvrage de ce géomètre, quand nous en serons à parler de la Géométrie descriptive de Monge.

S 38. Les travaux des géomètres que nous avons cités au commen- a^ométne analytique i cernent de cette troisième Époque, comme les promoteurs de la Géométrie de Descartes, ne roulèrent généralement que sur la Géométrie plane. Cependant, ce célèbre philosophe, comprenant toute la portée et la puissance de sa doctrine des coordonnées, ne l'avait pas restreinte aux courbes planes^ et en avait montré l'usage dans la théorie des courbes à double courbure. Pour cela , des points d'une courbe quelconque tracée dans l'espace, il abaissait des perpendiculaires sur deux plans rectangulaires ; leurs pieds formaient deux courbes planes qu'il rapportait chacune à deux axes coordonnés situés dans son plan, et dont l'un était l'intersection des deux plans.

Cette doctrine des courbes situées dans l'espace conduisait, comme

on voit, au système de coordonnées à trois dimensions, et à l'expression

d'une surface par son équation unique entre ces trois coordonnées.

Mais les spéculations des géomètres se bornèrent pendant long-temps

ToM. XL ' 18

trois dimensions.

HISTOffiE DE LA GÉOMÉTRIE.

PABBRT,

CLAIEAUT , 1713 - 1765.

aux courbes planes; et la Géométrie analytique à trois dimensions ne se développa que plus d'un demi-siècle après.

C'est , je crois, Parent qui représenta pour la première fois, en 1700, une surface courbe par une équation entre trois variables, dans un mémoire qu'il lut devant l'Académie des sciences.

Ce mémoire, écrit d'une manière assez peu soignée, comme les autres ouvrages de l'auteur, géomètre, du reste, très-habile et pourvu de connaissances très-variées, mérite pourtant d'être remarqué comme ofl&ant la première application de notre système de coordonnées dans l'espace; et cette application portait sur des cpiestions assez difficiles. On y trouve l'équation de la sphère, et celle de son plan tangent ; la détermination des ordonnées mawima et minima dans certaines sections de la sphère; les équations de diverses surfaces du troisième degré, et des courbes à double courbure passant par les points auxquels répondent des ordonnées maxima et minima ; enfin , la construction des points d'inflexion de certaines courbes tracées sur les surfaces ^

Depuis, Jean Bernouilli a aussi exprimé les surfaces par une équation entre trois coordonnées, à l'occasion du problème de la ligne la plus courte qu'on puisse tracer sur une surface, entre deux points donnés.

Mais ce ne fut qu'en 1731, que Glairaut, dans son célèbre Traité des courbes à double courbure^ qu'il composa à l'âge de 16 ans^, exposa pour la première fois, d'une manière méthodique, la doctrine des coor-

' Des affections des superficies : 1» de leurs plans tangens ; 2<> des plus grands et plus petits des superficies et de leurs plus grands et plus petits absolus ; 3<> des courbes qui soutiennent ou contiennent les plus grands et plus petits des superficies ; 4^ des courbes qui soutiennent ou contiennent les inflexions des superficies. P^oir le deuxième volume des Eêêaiè et Recherches de tnathétnattquee et de physique de Parent; 3 vol. in- 12, seconde édition,

^ Dès rage de 12 ans , Glairaut s'était déjà annoncé dans le monde savant , par un mémoire sur quatre courbes géométriques , qui a été jugé digne d'être imprimé a la suite d'un mémoire de son père, dans le recueil de TAcadémie de Berlin (MUcellanea Berolinensia y tom. IV, ann. 1734).

Son frère puîné, mort a l'âge de 16 ans , avait annoncé la même précocité de talent, en mettant au jour, a 14 ans, un écrit sur Diverses quadratures circulaires elliptiques et hy*

doiuié^ dans i^espace^ appliquée aux surfaces courbes et aux lignes à double courbure qui naissent de leur intersection.

Les questions relatives aux tangentes de ces courbes ^ à leur rectification^ à la quadrature des espaces qu'elles déterminent par leurs ordonnées^ sont résolues dans ce traité avec une élégance et une facilité qui ne le cèdent aux méthodes actuelles que sous le rapport de la symétrie des formules^ introduite par Monge dans son grand Traité de Papplication de l'Algèbre à la Géométrie.

La dénomination de courbe d double courbure adoptée par Clairaut, parce qu^une telle courbe participe de la courbure de deux courbes planes qui en sont les projections ^ est due à Pitot *, qui l'avait employée p,tot , dans un mémoire, concernant l'hélice tracée sur un cylindre droit cir- 1695.1771. culaire, lu à l'Académie des sciences en 1724.

S 39. Nous avons eu occasion de faire voir, en parlant d'Architas, deGeminus et de Pappus, que les courbes à double courbure n'ont pas été étrangères aux études des Anciens. Depuis, et jusqu'à Clairaut, d'où

perboiiqueêj suivi d'une construction des paraboles cubiques et de diverses autres courbes par des niouTemens continus.

Ce petit ouvrage, qui a obtenu l'approbation de l'Académie des sciences de Paris en 1730 , et qui a été imprimé en 1731 , mérite d'être placé, dans le cabinet des bibliographes, a côté de VEsMti peur les coniques de Pascal , et des Recherches sur les courbes à double courbure du frère aine de l'auteur. La rareté du livre ajoute au prix de cette curiosité littéraire , offerte par un géomètre de 14 ans.

^ Pitot, en se proposant de carrer la courbe appelée d'abord la compagne de la cycloîde, puis, par Leibnitz, la ligne des sinus, parce que ses abscisses seraient égales aux sinus des ordonnées si on enroulait celles-ci sur une circonférence de cercle ; Pitot , dis-je , trouve : 1^ que cette courbe est ce que devient , dans le développement d'un cylindre droit circulaire sur son plan tangent , l'ellipse qui aurait été formée sur ce cylindre par un plan sécant incliné de 50 degrés sur son axe , et 2<* que cette courbe provient aussi d'une hélice tracée sur la même cylindre, et projetée sur un plan parallèle à l'axe du cylindre.

Ces deux propositions ont été démontrées depuis dans plusieurs ouvrages.

La courbe dont il s'agit , considérée comme provenant d'une ellipse , dans le développement du cylindre^ a ûxé l'attention de Schubert, qui en a donné la quadrature et la rectifica- [ tîon^ dans les Nova Acta de Pétersbourg, tom. XIII, année 1795- 1796.

Burja , dans an Mémoire sur les connaissances mathématiques d'Aristote, a remarqué que ce prince des philosophes de l'antiquité a parlé de cette même courbe dans la question sixième de la dixième section de ses Problèmes.

HONIUS , 1492-1677.

LA LOVBiRB , 1600-1664.

datent leur théorie et le rang qu'elles ont pris dans le Taste ensemble des propriétés de Tétendue, on les retrouve encore dans les travaux de plusieurs géomètres.

Voici, pour compléter l'historique de ces courbes, un exposé rapide et suivant l'ordre des temps, des différentes circonstances où ces courbes se sont présentées.

En 1530, Nonius, portugais, et plus tard Wright, Stevin, Snellius, examinèrent la loxodromie cpii est une courbe à double courbure tracée sur le sphéroïde terrestre. C'est la route parcourue par un vaisseau dirigé toujours sur le même rumb de vent. On doit à Halley cette propriété curieuse de la loxodromie, d'être la projection stéréographique de la spirale logarithmique.

Vers 1630, Roberval, dans son Traité des indivisibles^ considéra la courbe à double courbure, décrite par un seul trait de compas sur la surface d'un cylindre droit circulaire, et démontra diverses propriétés de cette courbe, et de celle qui en résulte par le développement du cylindre sur un plan.

Peu après, La Loubère étudia aussi cette courbe, et l'appela cyclocylindrique.

En 1637, Descartes, à la fin du second livre de sa Géométrie, dit quelques mots des courbes à double courbure, sans s'occuper d'aucune en particulier; mais ce peu de mots en comprenait toute la doctrine \

Pascal résolut un problème sur la spirale conique qui est une ligne

^ Descartes indique aussi la construction des normales aux lignes a double courbure; mais sur ce point il commet une erreur ; car il suppose que les normales aux deux courbes planes , qui sont les projections de la courbe à double courbure , sont elles-mêmes les projections d'une normale à cette courbe. Cela peut se dire des tangentes , mais non des normales.

Quelque peu d'importance qu'ait cette erreur , et quelqu'étrangère même qu'elle soit à la métbode qui constitue la Géométrie de Descartes , il est fort étonnant qu'elle ait échappé aux envieux comme aux admirateurs qu'a fait naître cette œuvre immortelle , et à Roberval surtout, qui se mit l'esprit à la torture pour y découvrir quelque défaut. Bien plus. Je P. Rabuel, dans son Commentaire^ démontra la construction indiquée par Descartes. Il est vrai qu'il omet, dans cette prétendue démonstration , de citer les élémens d'Ëuclide , comme il a coutume de faire à peu près une fois par chaque ligne.

à double courbure tracée sur un cône droit {Œuvres de Pascal^ tom. Y, pag.422).

Le P. Courcier^ dans son traité : Opusculum de sectione superficiei sphœricœ per superficiem spkœricam, cylindricam atque conicam ,etc. ^xn-A^ y 1663^ eut à considérer d'une manière spéciale des courbes à double courbure. Ce sont celles qui naissent de l'intersection de la sphère par le cône et le cylindre droits à base circulaire^ et de l'intersection de ces deux surfaces entre elles^ considérées dans toutes les positions qu'elles peuvent présenter. Cet ouvrage, quoique le sujet n'oflPre pas de difficultés sérieuses, mériterait d'être plus connu qu'il ne l'est \

Un problème proposé en 1692 par Yiyiani, où il s'agissait de percer dans une voûte hémisphérique quatre fenêtres, telles que le reste de la voûte fût quarrable, était résolu par des lignes à double courbure; et donna lieu à Wallis, Leibnitz et Bemouilli^ de considérer sur la sphère de telles courbes.

Herman, en répondant à la question de tracer sur la sphère des courbes rectifiables, proposée dans les Actes de Leipzig de 1718, fut conduit à la considération de l'épicycloïde sphérique, engendrée par un point de la surface d'un c6ne de révolution qui roule sur un plan, son sommet restant fixe.

En 1728, Guido-Grandi considéra sur la sphère deux courbes à double courbure qu'il appela délies, et dont il donna la quadrature. L'une de ces courbes est simplement l'intersection de la sphère par une surface héliçoïde rampante, dont l'axe passe par le centre de la sphère.

Enfin parut l'ouvrage de Glairaut, qui fonda la théorie des courbes à double courbure, et dès lors les spéculations concernant ces courbes se multiplièrent considérablement.

GODBGIBB.

CUIDO-GRâNDI ,

1 Frezier, dans son Traité de Stéréotomie ^ a considéré les mêmes courbes que le P. Courcier. Celui-ci les avait appelées curvitegœ ; Frezier les appelle itnbricatœ ( en forme de tuile creuse).

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