CAVALIERI

GULDIN, 1577-1643.

qui y ayant un point commun avec la courbe^ est telle qu^on ne peut mener par ce point aucune autre droite entre celle-ci et la courbe. C'est par ce principe qu'ils ont déterminé les tangentes à quelques-unes des courbes qu'ils ont connues. Mais le peu de ressources qu'oiïrait ce principe força les géomètres modernes d'envisager les tangentes sous d'autres points de vue. Ils les regardèrent comme des sécantes dont les deux points d'intersection sont réunis^ ou comme le prolongement des côtés infiniment petits de la courbe considérée comme un polygone d'une infinité de côtés , ou comme la direction du mouvement composé par lequel la courbe peut être décrite.

La première manière fut celle de Descartes et de Fermât^ quoique leurs solutions fussent très-différentes l'une de l'autre; la deuxième^ qui est la plus usitée maintenant^ a été introduite explicitement et définitivement par Barrow^ qui simplifia par cette idée la solution de Fermât; enfin la troisième est celle de Roberval ^

La solution de Descartes repose sur les principes de sa nouvelle Géométrie^ dont nous parlerons plus tard^ en en faisant l'origine de notre troisième Époque.

Nous allons d'abord jeter un coup d'œil sur les travaux de Roberval^ de Fermât et de quelques autres géomètres^ leurs contemporains^ qui contribuèrent^ en même temps qu'eux^ aux progrès immenses que fit alors la Géométrie pure des Anciens.

ROBERVAL, § 8. Ld métHodc de Roberval^ pour mener les tangentes^ est basée sur la

doctrine des mouvements composés^ que Galilée avait déjà^ quelques années auparavant^ découverte et introduite dans la mécanique^ mais sans en faire d'application à la Géométrie.

Roberval énonce distinctement en ces termes son principe :

« Règle générale. Par les propriétés spécifiques de la ligne courbe (qui

' Depuis lors, Mac-Laurin a repris la définition des Anciens dans soti Traité des Fluxions, comme étant la plus conforme h la rigueur géométrique qu'il voulait y observer; et Lagrange Tadopta aussi, comme principe de sa belle théorie de Posculation des courbes, dans son Traité des fondions analytiques.

f60t-IC73.

vous seront données)^ examinez les divers mouvements qu'a le point qui la décrit à Fendroit où vous voulez mener la touchante : de tous ces mouvements^ composés en un seul^ tirez la ligne de direction du mouvement composé; vous aurez la touchante de la ligne courbe. »

Cette méthode présente^ quant au principe métaphysique^ une analogie remarquable avec celle des Fluxions^ que Newton créa longtemps après. Hais elle n'eut pas^ entre les mains de Roberval^ toutes les conséquences dont elle était susceptible^ et dont Thonneur était réservé à Newton , parce que le secours d'un procédé analytique uniforme^ propre à la mettre en pratique^ manquait alors. Néanmoins la conception de Roberval y neuve sous plusieurs rapports^ et vraiment philosophique^ assure à ce géomètre une place distinguée dans l'histoire des découvertes mathématiques.

Son principe^ en effets créait une nouvelle manière de considérer les grandeurs^ et d'en découvrir les relations. Dans la Géométrie^ jusque-là^ on avait supposé les grandeurs déjà formées^ pour les comparer entre elles ou avec leurs parties. Roberval^ remontant à la génération des quantités^ introduisait dans la Géométrie les puissances qui les engendrent; et^ des rapports entre ces puissances , il déduisait ceux qui ont lieu entre les quantités elles-mêmes. La puissance à laquelle il attribuait la formation des grandeurs est le mouvement.

Les Anciens avaient connu la composition des mouvements^ ainsi que nous le voyons dans les questions mécaniques d'Aristote * : de plus^ ils l'avaient appliquée à la Géométrie^ pour concevoir la génération de certaines courbes. La manière dont Archimède décrivait sa spirale^ par la composition du mouvement circulaire el du mouvement rectiligne^ et la description de la

' Palet igitur, quoliescumque aliquid fer diameU*um duplice vi, in diversa tendente, impelktur, iUud necessario ferri secundum rationem laterum. Quœst. mechan., cap. II.

Aristote revient sur ce principe dans sa 25' question, pour^ montrer que, selon que les directions des deux mouvements composants fout un angle plus grand ou plus petit , la quantité et 1« direction du mouvement résultant peuvent devenir très-différentes.

Le célèbre philosophe parle encore assez distinctement du même principe, au chap. VlU du ii* livre de sa Métaphysique,

spirale sphériquc de Pappus en sont des preuves. Mais ces géomètres n'appliquèrent ces considérations de mouvement qu'à quelques courbes particulières, et n'eurent point l'idée d'en faire, comme Roberval, un principe de génération de toutes les courbes, et surtout n'en firent point usage pour découvrir leurs propriétés.

Cette circonstance, que la méthode de Roberval comportait la plus grande généralité à une époque où la Géométrie se réduisait encore à l'étude particulière de quelques courbes, considérées individuellement, mérite d'être remarquée. C'est l'un des premiers exemples du passage des idées concrètes aux idées abstraites dans la science de l'étendue.

On a fait quelques fausses applications de la méthode de Roberval, en observant mal le principe de la composition des mouvements, comme il est arrivé aussi quelquefois dans des questions de mécanique. Mais ces faits d'inattention ne portent aucune atteinte à la méthode, dont la règle est énoncée par Roberval d'une manière sûre, quoique démontrée d'un style peu facile : les treize applications qu'en fait l'auteur, à des courbes trèsdifférentes *, sont parfaitement exactes.

La conception de Roberval était à la hauteur de celles de Descartes et de Fermât, auxquelles elle ne le cédait que parce que celles-ci s'étaient aidées du secours puissant de l'Analyse, sans lequel elles seraient restées stériles. Roberval avait su apprécier cet avantage, sur la sienne, des méthodes de ses deux illustres rivaux. Le jugement qu'il porta à ce sujet, dans une lettre adressée à Fermât, nous paraît pouvoir être confirmé. Roberval, après avoir parlé de diverses applications de sa méthode, ajoute : « Elle n'est pas inventée avec une si subtile et si profonde Géométrie que » la vôtre, ou celle de M. Descartes, et partant elle parait avec moins

* La parabole, rhyperboIe,J'cIIipsc, la conchoïde de Nicomède; diverses autres eonchoïdes; le limaçon de Pascal; la spirale d'Archimède; la quadratrice de Dinostrale; la cissoïde de Dioclcs; la cycloîde, la compagne de la cycloïde, et la parabole de Descartes (courbe du troisième degré, que Descartes engendrait d'un mouvement continu, et dont il faisait usage dans sa Géométrie , pour la construction des équations du sixième degré).

» d'artifice; en récompense elle me semble plus simple^ plus naturelle et » plus courte; de sorte que^ pour toutes les touchantes dont j'ai parlé, il » ne m'a pas même été besoin de mettre la main à la plume. » {OEuvres dî Fermât, pag. 165.)

§ 9. Roberval fut encore l'émule de Fermât dans toutes les questions des dimensions des figures, et de leurs centres de gravité, qui touchaient de si près au calcul intégral actuel. Il avait imaginé, pour résoudre ces questions, une méthode analogue à celle de Gavalieri, mais qu'il présentait sous UD point de vue plus conforme à la rigueur géométrique. Il intitula cette méthode, qu'il avait puisée, dit-il, dans une lecture approfondie des ouvrages d'Archimède, Traité des Indivisibles. Il paraît certain qu'il la possédait avant que Gavalieri eût publié la sienne, qu'il la gardait in petto, dans la vue de se procurer une supériorité flatteuse sur ses rivaux, par la difficulté des problèmes qu'elle le mettait en état de résoudre. Il en résulta que tout l'honneur d'une aussi utile découverte resta à Gavalieri ^

§10. La solution de Fermât, pour les tangentes des courbes, repose fermât, sur les mêmes principes que sa belle méthode De maximis et minimis , où il introduisait, pour la première fois, l'infini dans le calcul, comme Kepler l'avait introduit dans la Géométrie pure. Aussi cette méthode a fait regarder Fermât comme le premier inventeur du calcul infinitésimal.

Le passage suivant, extrait du Calcul des fomtionSy de l'illustre Lagrange, fait connaître, d'une manière claire et précise, l'esprit et le mécanisme des procédés de Fermât, et le lien qui les unit aux nouveaux calculs : « Dans sa méthode De maximis et minimis, il égale l'expression de la quantité dont on recherche le maximum ou le minimum , à l'expression de la même quantité dans laquelle l'inconnue est augmentée d'une quantité indéterminée. Il fait disparaître dans cette équation les radicaux et les fractions, s'il y

* Le Traité des Indivisibles ne parut, ainsi que la plupart des autres ouvrages de Roberval, que près de vingt ans après sa mort, dans le recueil intitulé: Divers ouvrages de mathématiques fi de physique, par MM. de l'Académie royale des sciences; in-fol., 1093; puis en 1730, dans le tome VI des anciens Mémoires de l* Académie des sciences.

en a ^ et après avoir effacé les termes communs dans les deux membres ^ il divise tous les autres par la quantité indéterminée qui se trouve les multiplier; ensuite il fait cette quantité nulle ^ et il a une équation qui sert à déterminer Finconnue de la question. Or^ il est facile de voir au premier coup d'œil que la règle déduite du calcul différentiel ^ qui consiste à égaler à zéro la différentielle de Texpression qu^on veut rendre un maximum ou un minimum, prise en faisant varier Finconnue de cette expression^ donne le même résultat^ parce que le fond est le méme^ et que les termes qu'on néglige comme infiniment petits dans le calcul différentiel ^ sont ceux qu'on doit supprimer comme nuls dans le procédé de Fermât. Sa méthode des tangentes dépend du même principe. Dans Téquation entre Fabscisse et Fordonnée, qu'il appelle la propriété spécifique de la courbe^ il augmente ou diminue Fabscisse d'une quantité indéterminée , et il regarde la nouvelle ordonnée comme appartenant à la fois à la courbe et à la tangente ^ ce qui fournit une équation qu'il traite comme celle d'un cas de maximum ou de minimum. On voit encore ici l'analogie de la méthode de Fermât avec celle du calcul différentiel ; car la quantité indéterminée dont on augmente l'abscisse^ répond à la différentielle de celle-ci , et l'augmentation correspondante de l'ordonnée répond à la différentielle de cette dernière. Il est même remarquable que dans l'écrit qui contient la découverte du calcul différentiel, imprimé dans les Actes de Leipzig du mois d'octobre 1684, sous le titre : Nova methodus pro maximis et minimis, etc., Leibnitz appelle la différentielle de l'ordonnée une ligne qui soit à l'accroissement arbitraire de l'abscisse comme l'ordonnée à la soutangente ; ce qui rapproche son analyse de celle de Fermât ^ »

' Dans le jugement qu'il a porté rëcemment sur cette grande question, M. Poisson n'a pas été tout à fait aussi absolu que Lagrange. L'impartialité que nous devons apporter sur ce point historique, où il s'agit de faire remonter à Fermât l'honneur d'une invention qui a répandu tant de gloire sur l'Angleterre et rAllemagne , nous a fait un devoir de rapporter ici les paroles de M. Poisson, qui d'ailleurs font connaître, de la manière la plus lumineuse, le principe de la méthode de Fermât, et la nuance précise qui existe entre elle et riiivcntion de Lcibnii.

L'opinion de Lagrange^ sur la part qu'on doit donner à Fermât dans rinvention des nouveaux calculs ^ a été celle aussi de ses illustres confrères Laplaceet Fourier; elle avait déjà été émise ^ dans un temps où Ton n'avait pas encore songé à revendiquer pour Fermât la gloire qui lui est due y par d'Alembert ^, qui a écrit avec tant de profondeur et de sagacité sur la métaphysique de la Géométrie^ et même par Buiïon ^, traducteur du Traité des Fluxions^ et admirateur enthousiaste du grand Newton,

§ H, Fermât fut, avec Pascal, Finventeur du calcul des probabilités, TuDe des plus belles productions du XVII^ siècle.

Il fut sans égal dans la théorie des nombres, où il possédait sans doute

A Fermât ndëe philosophique; à Leibniz Tinstrument indispensable pour la mettre en pratique.

« A mesure qu*une grandeur s'approche de son maximum ou de son minimum, elle varie de moins en moins, et sa différentielle s'évanouit lorsqu'elle atteint Tune ou Fautre de ces valeurs extrêmes. En partant de ce principe, Fermât eut Theureuse idée, pour déterminer le maximum ou le minimum d'une quantité, d attribuer k la variable dont elle dépend, on accroissement infiniment petit, et d'égaler h zéro l'accroissement correspondant de cette quantité, préalablement réduit au même ordre de grandeur que celui de la variable. C'est de cette manière qu'il détermina la route de la lumière au passage d'un milieu dans un autre, en supposant, d'après la théorie qu'il avait adoptée, que le temps de ce trajet doit être on minimum. Lagrange le considère, pour cette raison, comme le premier inventeur du calcul différentiel; mais ce calcul consiste dans un ensemble de règles propres h trouver immédiatement les différentielles de toutes les fonctions, plutôt que dans l'usage qu'on fera de ces variations infiniment petites, pour résoudre telle ou telle espèce de problèmes; et sous ce rapport, la création du calcul différentiel ne remonte pas au delà de Leibnitz, auteur de l'algorithme et de la notation qui ont généralement prévalu, dès l'origine de ce calcul, et auxquels l'analyse infinitésimale est principalement redevable de ses progrès. » (Mémoire 9^r k calcul des variations, par M. Poisson, lu à l'Académie le 10 novembre 1851, publié dans le tome XII des Mémoires de l'Académie des sciences.)

* < On doit à Descartes l'application de l'Algèbre & la Géométrie, sur laquelle le calcul différentiel est fondé, et h Fermât la première application du calcul aux quantités différentielles, pour trouver les tangentes; la Géométrie nouvelle n'est que cette dernière méthode (Aiéralisée. » (Art. Géométrie de V Encyclopédie.)

' < Fermât trouva moyen de calculer l'infini, et donna une méthode excellente pour la résolution des plus grands et des moindres; cette méthode est la même , h la notation près, que ttlle dont on se sert encore aujourd'hui; enfin , cette méthode était le calcul différentiel si son auteur l'eât généralisée. » (Préface de la traduction de la Méthode des Fluxions de Newton.)

une méthode simple qui nous est encore inconnue^ malgré les grands perfectionnements qu'a reçus l'Analyse indéterminée; car les beaux théorèmes dont il ne nous a laissé que les énoncés^ et qui depuis ont occupé les plus célèbres géomètres, n'ont été démontrés que successivement, à grande peine et par des méthodes diverses.

Malgré sa prédilection pour ces recherches numériques , Fermât enrichit aussi la Géométrie de belles découvertes.

A l'instar d'Archimède, qui avait donné la quadrature de la parabole, il carra les paraboles de tous les ordres ; il détermina les volumes et les centres de gravité des paraboloïdes, et de plusieurs autres solides; et il découvrit les propriétés d'une spirale, différente de celle d'Archimède. Il alla encore au delà de ce prince des géomètres de l'Antiquité, en résolvant, par une méthode purement géométrique et fort analogue à la méthode d'exhaustion, une question dont Archimède n'avait point laissé de traces, et que Descartes avait jugée au-dessus des efforts de l'esprit humain, la rectification absolue de la parabole cubique et de quelques autres courbes (De lineanim curvarum cum lineis redis comparatione. OEuvres de Fermât, pag. 89); mais, ce travail n'ayant été publié qu'en 4660, Fermât fut devancé dans la gloire de cette grande découverte, la rectification d'une ligne courbe, par Neil et Van Heuraet.

C'était sa méthode De maximis et minimis qui mettait Fermât en état de résoudre la plupart de ces grandes questions. L'une des plus belles applications qu'il en fit, fut relative au phénomène de la réfraction de la lumière, qui avait élevé entre lui et Descartes un démêlé célèbre. Sa solution fut la conflrmation de la règle trouvée par son illustre antagoniste, qu'il avait combattue jusque-là. Cette solution parut si belle, qu'elle lui fit partager avec Descaries la gloire d'avoir agrandi le domaine de la Géométrie, en introduisant cette science dans l'étude des phénomènes de la nature.

§ 12. Fermât excella aussi dans cette autre partie de la Géométrie, qui se rapporte à l'Analyse géométrique des Anciens, et que nous avons appelée la Géométrie d'Apollonius.

Il rétablit les lieux plans de ce géomètre suivant les énoncés laissés par Pappus. Il annonçait^ dans une lettre adressée à Roberval^ quMI en avait trouvé beaucoup d^autres^ très-beaux et dignes de remarque; mais les deux livres d'Apollonius seuls ont été imprimés^ et nous sont connus.

11 apprit à trouver les lieux plans ou solides^ par une méthode analytique et générale^ et à se servir de cette méthode pour la construction des problèmes par les lieux. C'était la méthode des coordonnées de Descartes^ que Fermât avait lui-même conçue avant que le célèbre philosophe eût mis au jour sa Géométrie.

Fermât étendit ensuite cette doctrine à la question difficile de la construction des problèmes géométriques en général^ par les courbes les plus simples. C'est dans ses recherches sur le degré des courbes nécessaires à la construction d'une équation quelconque, qu'il fut conduit à ce principe général; que Jacques Bernoulli démontra depuis dans les Actes de Leipzig de 1688, en reprochant à la Géométrie de Descartes de l'avoir omis; savoir : qu'il suffit toujours que le produit des dimensions des courbes qu'on emploie ne soit pas moindre que le degré de l'équation ^.

§ 13. Dans son traité De contactibus sphœricis, Fermât résolut le premier, et complètement, les problèmes sur les contacts des sphères, comme Viète avait fait, pour les contacts des cercles, dans son Apollonius Gollus.

Cette question lui avait été proposée par Descartes, qui dit, dans ses lettres, l'avoir résolue par la ligne droite et le cercle; mais sa solution ne nous est point parvenue.

Le travail de Fermât est complet, et écrit d'un style pur qui en fait on modèle de bonne Géométrie. Nous devons dire pourtant qu'on a fait beaucoup mieux dans ces derniers temps *. Voici sous quel rapport : ce

* Desolutione problemalum geometricorum per curvas sitnplicissimas, etc. Opéra varia , m- HO.

* On n*avait point, jusqu'au commencement de ce siècle, d'autre traité du contact des sphères que celui de Fermât. A cette époque, cette question fixa l'attention de quelques dis-

traité contient^ outre le problème principal de la sphère tangente à quatre sphères données^ quatorze autres problèmes qui; au fond^ sont des cas particuliers de celui-là ^ mais que Ton est obligé de résoudre successivement, en s'élevant de l'un à l'autre, pour arriver enfin, par cette voie progressive, au problème final, dont la solution est élégante et facile, mais ne comprend pas celles des cas particuliers de la question, et se ramène , au contraire , à Tun de ces cas particuliers. La Géométrie moderne procède difîéremment : elle donne tout d'un coup la solution du problème général ; et cette solution s'applique à tous ces cas particuliers, par lesquels Fermât avait dû passer. On conçoit tout ce qu'a de satisfaisant une telle généralité de conception et de méthode, et l'on y reconnaît de véritables progrès dans la science. Qu'on nous permette d'ajouter que l'on peut, sous

GÎples de Monge, qui renvisagèrent sous un point de Tue nouveau, se ressentant déjà delà génëralité de méthodes et de conceptions qui fait le caractère de la Géométrie de cet illustre maître. Ces premiers essais furent consignés en partie dans le second numéro du i*'Tolume de la Correspondance polytechnique; une courte analyse d'un Mémoire de M. Ch. Dupin, qui devait les compléter, parut plus tard dans le même recueil (tom. II, pag. 420); elle est de nature, par les résultats élégants et nouveaux qu'elle contient, i faire regretter vivement que ce célèbre académicien n'ait pas publié son travail. On doit à M. Gaultier, professeur au Conservatoire des Arts et Métiers, d'avoir repris cette question , qu'il a traitée avec une généralité tout k fait nouvelle et satisfaisante. Des méthodes plus récentes ont encore donné un nouveau degré de simplification à cette matière. Les unes sont purement descriptives, c'est-i-dire qu'elles ne considèrent aucune relation de longueur de lignes ; et ce sont les plus générales et les plus simples. Parmi les autres, qui exigent la mesure et la composition de certains rapports de lignes, on distingue celles que le célèbre Pergola et son savant disciple M. FlauU ont données dans les Mémoires de l'Académie des sciences de Naples. {Voir aussi la Cèeomeîria di sito de M. Flauti, seconde édition, ann. 1821, p. 156.)

La question de la sphère tangente à quatre autres est l'une de celles où la Géométrie a eu pendant longtemps l'avantage sur l'Analyse. Euler en avait présenté, en 1779, à l'Académie de Pétersbourg, deux solutions analytiques, qui ne parurent qu'au commencement de ce siècle, dans le Recueil de cette Académie pour les années 1807-1808 (imprimé en 1810). Carnot déjà en avait indiqué une solution analytique dans sa Géométrie de position (p. 416), mais sans effectuer les développements qui l'auraient conduite une équation du second degré. Ce fut, de nos jours, M. Poisson qui résolut, le premier, complètement cette question par le calcul. {Bulletin de la Société philomatique , ann. 1812, pag. 141.) Peu de temps après, MM. Binet et Français en ont donné aussi des solutions analytiques différentes (17* Cahier da Journal de l'École polytechnique, et tom. III des Annales de Mathétnatiques).

UD autre point de vue^ apporter uiie nouvelle swte de généralisation dans cette matière^ en substituant aux quatre sphères quatre surfaces du second degré semblables entre elles^ et plus généralement encore quatre surfaces da second degré quelconques^ pourvu qu'elles soient inscrites^ toutes les quatre^ à une même surface du même degré ; et Ton fait voir que ce problème et sa solution comprennent^ comme corollaire^ le cas des quatre sphères. (Voir la Note XXVIII.)

Cette comparaison de la solution de Fermât aux solutions modernes ne paraîtra peut-être pas déplacée ici^ comme montrant bien la nature des progrès que la Géométrie a faits ^ et de ceux auxquels elle doit tendre^ même dans les questions où Ton se borne trop souvent à admirer les productions des grands géomètres^ sans oser supposer que la perfectibilité de la science puisse leur porter atteinte.

§ li. Fermât avait commencé et promis la restitution des porismes d'Euclide^ en donnant à ce mot un sens autre que celui qui a été généralement adopté depuis^ d'après R. Simson. Si le célèbre géomètre écossais a deviné et rétabli la forme des énoncés des porismes^ Fermât avait peut-être aussi pénétré^ et non moins heureusement^ dans ce mystère^ en coDcevant le but^ la destination et la haute utilité qu'Euclide avait assignés à son Traite des Porismes. Mais Fermât s'exprime à ce sujet si succinctement, qu'il a peut-être fallu trouver a priori les idées et les intentions que oous croyons apercevoir dans sa manière de considérer les porismes; et Dous devons remettre à un autre moment le développement de notre opinion sur ce sujet.

Cinq théorèmes que Fermât a laissés, comme exemple ou spécimen des porismes, nous font regretter qu'il n'ait pas donné suite à son travail. Le troisième surtout aurait mérité de fixer l'attention des géomètres, comme étant certainement l'un des plus beaux et des plus féconds de toute la théorie des coniques. C'est en effet précisément le fameux théorème de Desargues, sur l'involution de six points, si connu dans la Géométrie récente. Un autre porisme, que Fermât avait proposé de

démontrer à Wallis^ est un corollaire de ce théorème général^ appliqué à la parabole ^

Non-seulement Fermât avait promis la restitution des trois livres des porismes d'Euclîde, mais il devait étendre cette doctrine au delà des bornes que le géomètre grec s'était posées, et l'appliquer aux sections coniques et à toutes sortes d'autres courbes. Il y avait découvert, dit-il , des choses ignorées et admirables ^. Loin de penser, comme Simson, que cette promesse était téméraire, nous croyons y voir un indice que Fermât avait compris la vraie doctrine d'Euclide, et avait su en découvrir toute la portée et la fécondité.

PASCAL, § 15- Dans le même temps, Pascal, saisissant avec sa pénétration accou-

1023- IG08 tumée l'esprit de la méthode des indivisibles de Cavalieri, en démontrait

toute la rigueur et se l'appropriait, en l'appliquant d'une manière générale aux questions difficiles des surfaces, des volumes et des centres de gravité des corps. Ces recherches, qui offrent un monument précieux de la force de l'esprit humain, touchaient de près au calcul intégral; elles sont le lien entre Archimède et Newton.

Avec le secours de cette méthode, Pascal surpassait les plus célèbres géomètres dans la recherche des propriétés de la cycloïde.

* R. Simson a emprunté de Fermât ces deux belles propositions, et les a démontrées, la première dans son Traité des Porismes, sous le n° 81, et Tune et l'autre dans son Traité des sections coniques ^ livre 5% propositions iâ et 19. La seconde, celle qui concerne la parabole, a aussi été reproduite par Ozanam, dans son Dictionnaire de mathématiques y à Tart. Porismes.

^ Imo et Euclidem ipsum promovebimus et porismata in coni sectionibus et aliis quibuscumque curvis mirabilia sanè, et hactenus ignota detegemus. (Varia opéra Matheraatica« pag. ii9.)

Cette promesse, que le jugement sûr et le noble caractère de l'auteur ne nous permettent pas de regarder comme exagérée, nous montre combien la Géométrie est intéressée à la découverte des manuscrits de Fermât, dont l'Analyse, plus particulièrement jusqu'ici, avait déploré la perte.

Espérons que nous ne sommes pas privés pour toujours d'ouvrngcs si précieux. Déjà M. Libri, dans les recherches auxquelles il se livre pour une histoire générale des sciences, a eu le bonheur d'en découvrir deux fragments, qui étaient restés inédits, et de trouver diverses indications qui lui font espérer de nouvelles découvertes. L'esprit supérieur de ce célèbre analyste nous est un sûr garant qu'il attachera un haut prix, dans ses recherches, aux fragments de pure Géométrie, comme aux productions analytiques du génie de Fermât.

Déjà cette courbe fameuse^ dont Thistoire se rattache à toutes les grandes conceptions du XVII'' siècle^ avait été Fobjet des travaux de Galilée^ Descartes^ Fermât, Roberval, Torricelli. Après avoir dormi quelque temps, elle fut remise sur la scène par Pascal, qui voulut, en quelque sorte, que la grande difficulté des questions nombreuses auxquelles cette courbe donnait lieu, servit d'essai et fût la mesure des forces et de la capacité des géomètres de son temps. Wren, Sluze, Wallis, Huygens, La Loubère, Fabri, répondirent à cet appel, et résolurent chacun une partie plus ou moins considérable des questions proposées, mais en laissant tous à Pascal la gloire d'une solution complète. Depuis, la cycloïde eut une troisième phase, lors de Finvenlion du calcul différentiel. Outre ses propriétés géométriques si belles et si diverses, elle en acquit alors, entre les mains de Newton, de Leibniz, des Bernoulli et du marquis de Lhospital, de nouvelles, puisées dans des considérations de mécanique, qui ajoutèrent à Fimportance et à la célébrité de cette courbe merveilleuse.

Le mouvement d'une roue sur un plan, dans lequel on a découvert la cycloïde, offre une seconde génération de cette courbe, à laquelle je ne crois pas que Ton ait fait attention; c'est que Venvehppe de l'espace parcouru par un diamètre de la roue est précisément aussi ufie cyclo'ide *.

La considération de cette courbe a été l'origine d'une classe nombreuse de lignes, produites par le roulement d'une courbe donnée sur une autre courbe fixe, qui ont été considérées, dans toute la généralité que comporte cette question, par Leibniz, La Hire, Nicolas, etc., et dont Herman et Clairault ont étendu la théorie aux courbes décrites de la même manière sur la sphère.

§ 16. Les travaux de Pascal sur cette autre partie de la Géométrie, qui se rattache à l'analyse géométrique des Anciens et à la théorie des coniques, ne méritent pas moins notre admiration que ses étonnantes découvertes sur

' Les ëpicydoldes sont susceptibles aussi d'une double génération semblable ; et Ton déduit de 1& di?erses propriétés de ces courbes.

Si, au lieu d'un diamètre, on considère dans le cercle mobile une corde quelconque, son enveloppe sera une développante d'épicycloide.

la cycloïde> et que ses autres applications de la méthode de Gavalieri. Nous y trouvons^ ainsi que dans un écrit de Desargues sur la même matière^ le germe des nouvelles doctrines qui constituent la Géométrie moderne. Nous devons parler^ avec quelques détails^ de cette partie des découvertes de Pascal.

La plus saillante^ et qui fut entre ses mains d^un usage magique y est son beau théorème de Vhexagramme mystique. Il désignait ainsi cette propriété de tout hexagone inscrit à une conique ^ d'avoir les trois points de concours de ses côtés opposés, toujours en ligne droite. Cinq points déterminent une conique; ce théorème est donc une relation de position d'un sixième point quelconque de cette courbe par rapport aux cinq premiers : c'est une propriété fondamentale et caractéristique des coniques. Aussi Pascal^ alors âgé seulement de seize ans^ comme il le dit lui-même S ^Q ^vait fait la base d'un traité complet des coniques. Cet ouvrage ne nous est point parvenu. Leibniz^ qui^ pendant son séjour à Paris^ Ta eu entre les mains^ nous fait connaître par une lettre adressée en 4676 à M. Perier, neveu de Pascal, les titres des six parties, ou traités, qui devaient le composer. {OEuvres de Pascal, tom. V, pag. iSO.)

Le titre de la première partie nous apprend que Pascal se servait des principes de la perspective, pour engendrer les coniques par le cercle, et *tirer, de cette manière, leurs propriétés de celles du cercle. Cette méthode, suivant Leibniz, était le fondement de tout l'ouvrage.

La deuxième partie roulait sur l'hexagramme mystique. « Après avoir ex- » pliqué, dit Leibniz, la génération du cône, faite optiquement par la pro- » jection d'un cercle, sur un plan qui coupe le cône des rayons, il explique » les propriétés remarquables d'une certaine figure, composée de six lignes » droites ; ce qu'il appelle hexagramme mystique. »

Dans la troisième partie se trouvaient les applications de l'hexagranmie,

' Conicorum opus complelum, et conica Apollonii et alia innumera unicâ ferè propositione ampleclens ; quod quidem nondum sex decimum œtatis annum assecutus excogitavi , etdeindè in ordinem congessi, {OEuvreu de Pascal, tom. IV, pag. 410.)

les propriétés des cordes et des diamètres coupés harmoniquement^ et probablement les théorèmes qui constituent la théorie des pôles ^

La quatrième partie contenait ce qui a rapport aux segments faits sur des sécantes menées parallèlement à deux droites fixes^ et les propriétés des foyers.

Dans la cinquième , Pascal résolvait les problèmes où il s'agit de décrire une conique qui satisfasse à cinq conditions^ de passer par des points et de toucher des droites.

Enfin ^ la sixième partie avait été intitulée^ par Leibniz^ De loco solide. Quelques mots nous font supposer qu'il pouvait y être question du fameux problème de Pappus^ Ad très aut quatuor lineas.

Quelques fragments contenaient divers problèmes.

§ 17. Heureusement^ à l'occasion de ce traité^ Pascal avait réuni ^ sous le titre d'Essai pour les coniques, quelques-uns des principaux théorèmes qu'il devait contenir^ voulant les soumettre à l'examen des géomètres et avoir leur sentiment^ avant de pousser plus loin son travail. C'est cet Essai, qui parut en 1610, quand Pascal avait en effet à peine seize ans^ dont il est question dans quelques lettres de Descartes ^ à qui le P. Mersenne l'avait envoyé. Depuis il est resté enseveli pendant plus d'un siècle^ et n'a revu le jour qu'en 1779^ par les soins de M. Bossut^ dans son édition complète des OEuvres de Pascal.

Cet écrite de sept pages in-8^^ est un fragment précieux des découvertes et de la méthode du grand Pascal , touchant les coniques.

* M. Poncelet a déjà exprimé cette opinion , dans son Traité des propriétés projectives, pag. 101. H nous parait facile de la justifier. Car le théorème de Thexagone, quand on y suppose que deux câtés opposés deviennent infiniment petits, auquel cas la figure représente un quadrilalèro inscrit h la conique, et deux tangentes menées par deux sommets opposés, ce théorème, dis-je, donne immédiatement, comme corollaire, le suivant : quand un quadrilatère est inscrit à une conique, les tangentes à la courbe y menées par deux sommets opposés, se coupent sur ta droite qui joint les points de concours des côtés opposés.

Ce théorème parait répondre aux mots de quatuor tangentibus, et rectis puncta tactuumjun^ gentibuê, qui se trouvent au titre de cette troisième partie, et être l'un de ceux que Pascal avait déduits de son hexagramme. Mais on reconnaît aisément que ce théorème contient toute la théorie des pôles. Il nous parait donc prouvé que celte théorie était comprise dans les applicalions que Pascal avait faites de Fhexagramme.

En voici une très-succincte analyse :

Le fameux théorème de Thexagramme mystique se trouve d'abord énoncé^ comme lemme, d'où tout le reste doit se déduire.

La première des propositions qui viennent ensuite est encore relative à rhexagone inscrit à une conique; c'est une relation entre les segments faits ^ sur deux de ses côtéS; par deux autres côtés et deux diagonales. Cette relation n'est au fond que le théorème de Desargues sur l'involution de six points ; mais présenté sous un point de vue différent^ qui pouvait le rendre propre à de nouveaux usages. Nous développerons cette idée dans la Note XV.

La proposition suivante^ exprimée par une double égalité de rapports^ renferme deux propositions différentes. La 4^® est la 129® du 7« livre des CéOllections mathématiques de Pappus^ qui nous a donné lieu d'introduire la notion du rapport anharmoniqtie, et dont nous avons déjà dit qu'elle pouvait être la base d'une partie considérable de la Géométrie récente; la seconde est le théorème de Ptolémée sur le triangle coupé par une transversale.

Puis vient une proposition qui^ eu égard à ce théorème de Ptolémée^ se réduit à la belle et importante propriété des coniques^ relative aux segments qu'une telle courbe fait sur les trois côtés d'un triangle ; due^ dans ces derniers temps, à l'illustre auteur de la Géométrie de position.

La proposition suivante est cette même propriété des coniques^ étendue à un quadrilatère quelconque^ au lieu d'un triangle ^ Ce théorème^ généralisé par Carnot^ qui l'a démontré pour un polygone et une courbe géométrique quelconques, et l'a étendu môme aux surfaces courbes ^, est l'un des plus féconds de la théorie des transversales.

Ensuite on remarque le fameux théorème sur l'involution de six points^

* Si l'on suppose que deux sommets du quadrilatère soient à l'infini, les segments qui aboutissent à ces sommets seront ëgaux, deux à deux, comme ëtant infinis, et comptés sur des droites parallèles; alors il en résulte la belle propriété des coniques, relative au rapport constant des produits des segments faits, sur deux transversales issues d'un point quelconque, parallèlement à deux droites fixes.

' Géométrie de position, pag. 437.

« dont le premier inventeur est M. Desargues^ un des grands esprits de ce tems^ et des plus versés aux mathématiques^ et entre autres aux coniques. » Pascal ajoute qu'il a « tâché dMmiter sa méthode sur ce sujet y qu'il a traité sans se servir du triangle par Taxe , en traitant généralement de toutes les sections du cône ^ »

§ 18. Nous concevons parfaitement^ d'après la fécondité éprouvée des théorèmes que nous venons de citer^ que Pascal en ait fait^ comme il Tannonçait; la base ^Elémmts coniques complets; et qu'en les déduisant de son hexagramme mystique, il ait tiré de ce seul principe quatre cents corollaires, comme le dit le P. Mersenne, dans son traité De mensuris, ponderibus, etc.; In-fol., 1644 \ {Voir la Note XIII.)

On observe que ces divers théorèmes principaux exprimaient, chacun, une certaine propriété de six points situés sur une conique : cela explique comment Pascal avait pu les déduire de son hexagramme mystique, qui était lui-même une propriété générale de ces six points. Mais chacun de ces théorèmes avait pris une forme différente, qui le rendait propre à des usages particuliers, comprenant un nombre immense de propriétés des coniques.

Cest cet art infiniment utile de déduire d'un seul principe un grand Dombre de vérités, dont les écrits des Anciens ne nous offrent point d'exemples, qui fait l'avantage de nos méthodes sur les leurs.

§ 19. Pascal avait écrit plusieurs autres ouvrages de Géométrie, dans le style de son Traité des Coniques. Les titres seuls nous en sont parvenus, par une Note qu'il adressa, en 1 654 ^, à une société de savants qui se réunissaient les uns chez les autres, avant la fondation de l'Académie des sciences, qui eat lieu en 1 666.

» Nous avons expliqué, en parlant d'Apollonius, ce qu'on enlcnd par le triangle par l'axe; et nous avons dit que ce grand gëomëtre de lanliquilë supposait, pour former ses coniques, le plan coupant perpendiculaire au plan de ce triangle. Desargues , comme on le voit, et Pascal, à son exemple , traitaient les coniques d'une manière beaucoup plus générale , puisqu'ils prenaient le plan coupant dans une position tout h fuit arbitraire.

* Unica proposiiione universalissima , 400 corollariis urmatâ, integrum Apollonium corn-

fUxui est.

^ OEuvres de Pascal, tom. IV, p. 408.

Nous y voyons qu'à Tinslar de Viète, il avait résolu, maïs avec une extension considérable et par une méthode extrêmement simple, les problèmes sur les contacts des cercles; puis les questions analogues sur les contacts des sphères; qu'il avait écrit un traité des Lieux plam, plus étendu et plus considérable que ce qu'avaient fait les Anciens et les Modernes sur ce sujet, et par une méthode neuve et extrêmement expéditive; et enfin qu'il avait imaginé aussi une méthode nouvelle de perspective, aussi simple que possible, puisque chaque point du tableau se construisait par l'intersection de deux

lignes droites.

Cette faible indication, que nous trouvons dans la Note de Pascal, suffit pour nous faire regretter la perte d'écrits où devaient briller le génie inventeur de ce profond géomètre , et l'art admirable avec lequel il savait généraliser une première découverte et en tirer toutes les vérités qu'elle renfermait.

DESABGURs, § 20. Desargucs, que Pascal avait pris pour guide, et qui était digne

en effet d'un tel disciple, avait aussi écrit sur les coniques, un an auparavant, d'une manière neuve et originale. Sa méthode reposait, comme celle de Pascal, sur les principes de la perspective ^ et sur quelques théorèmes de la théorie des transversales. Il ne nous reste que quelques indications peu lucides sur l'un de ses écrits, intitulé : Brouillon projet d'une atteinte aux

* C'est une question de savoir si les Anciens ont connu les usages de la perspective dans la Gcomëtrie rationnelJo; et cette question^ je crois, n*a point ëtë approfondie. Au premier aliord on serait tenté de répondre affirmativement, tant cette méthode est naturelle, et parait liée à leur manière d*engendrcr les coniques, dans le cône à base circulaire. Aussi celte opinion estelle la plus commune chez les géomètres. Elle a été fortifiée, dans ces derniers temps, par le aen* timent particulier de M. Poncclct sur les porismes d*£uclide, qui auraient été des propositions démontrées par cette méthode (Traité des propriétés projectives ; Introduction^ p. xxxvii). Mais, malgré tout le respect que nous professons pour l'opinion de ce célèbre géomètre, nous devons avouer que nous n'avons trouvé, dans la lecture des Anciens, aucune trace, aucun indice qui nous autorisent à la partager dans cette circonstance. Nous croyons, au contraire, que la méthode de la perspective, comme nous la pratiquons actuellement en Géométrie rationnelle, n'a point été en usage dans l'école grecque. Aussi, jusqu'^ un plus approfondi et plus ample examen, nous attribuerons cette méthode aux Modernes, et nous dirons que Desargues et Pascal ont le mérite de l'avoir appliquée, les premiers, à la théorie des coniques.