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événements des rencontres du cône avec un plan. Les autres^ s'il en a existé plusieurs^ ainsi que peut le faire supposer un passage de Y Essai de Pascal , étaient peut-être sur des feuilles volantes, comme il parait que Desargues en usait, soit pour communiquer ses découvertes, soit pour répondre à ses nombreux détracteurs.

Celui que nous venons de citer parut en 1639. Il en est parlé dans plusieurs lettres de Descartes.

Cet écrit se distinguait par quelques propositions nouvelles, et surtout par Tesprit de la méthode, fondée sur cette remarque judicieuse et féconde, que les sections coniques, étant formées par les différentes façons dont on coupe un cône ayant un cercle pour base, devaient participer aux propriétés de cette figure.

Desargues apportait donc, dans Tétude des coniques, une double innovation importante. D'abord il les considérait sur le cône, dans toutes les positions possibles du plan coupant, sans se servir, comme les Anciens, du triangle par Taxe; ensuite, il imaginait d'approprier à ces courbes les propriétés du cercle qui servait de base au cône.

Cette idée, qui nous parait si simple et si naturelle aujourd'hui, parce que nous sommes accoutumés aux procédés de la perspective et à divers autres modes de transformation des figures, n'était pas venue à l'esprit des géomètres d'Alexandrie. Car nous n'en trouvons aucune trace dans leurs ouvrages, et nous y voyons qu'en se servant, dans leur théorie des coniques, d'une propriété du cercle (celle du produit des segments faits sur deux cordes qui se coupent), ils n'ont point eu l'intention de rechercher son analogue dans ces courbes, mais seulement de démontrer leur théorème du latu^ rectum.

§ 21. La méthode de Desargues lui permit d'apporter dans la théorie des coniques, comme il le fit dans divers autres écrits, des vues nouvelles de généralité, qui agrandissaient les conceptions et la métaphysique de la Géométrie.

Ainsi il y considéra, comme des variétés d'une même courbe, les diverses sections du cône (le cercle, l'ellipse, la parabole, l'hyperbole et le système de

deux lignes droites), qui, jusque-là, avaient toujours été traitées séparément, et par des moyens particuliers à chacune de ces sections *.

Descartes nous apprend que Desargues regardait aussi un système de plusieurs droites parallèles entre elles, comme une variété d'un système de droites concourant en un même point : dans ce cas, le point de concours était à rinfini. « Pour votre façon de considérer les lignes parallèles comme » si elles s'assemblaient à un but à distance infinie, afin de les comprendre » sous le même genre que celles qui tendent à un point, elle est fort » bonne » ^ (^Lettres de Descartes, tom. III, pag. 457, édition in-12.)

Leibniz fait mention aussi de cette idée de Desargues, dans un mémoire sur la manière de déterminer la courbe enveloppe d'une infinité de lignes (^Acla erud. ami. 1692, pag. 168); et, dans un autre endroit, il la rattache à sa loi de continuité {Comm. cpisL, tom II, pag. 101). Newton adopta cette définition des parallèles dans les lemmes 18 et 22 de ses Principes de hi philosophie nalurelley où il regarde des droites parallèles comme concourant en un point situé à l'infini.

Desargues appliquait, aux systèmes de lignes droites, les propriétés des lignes courbes; ce qui est aujourd'hui chose naturelle et très-usitée, parce qu'un système de droites peut être représenté par une équation unique, comme une courbe géométrique, mais ce qui était alors une conception neuve et originale. Descartes en parle en ces termes, dans une lettre adressée au P. Mersenne :

« La façon dont il commence son raisonnement, en l'appliquant tout » ensemble aux lignes droites et aux courbes, est d'autant plus belle qu'elle » est plus générale, et semble être prise de ce que j'ai coutume de nommer

' De$arguesiu8 prim us sectiones conicas universali quadain ratione tractare, ac proposiliones inultas sic enunliare cœpil, ut quœcumque sectio subintelUgi posset {Ad, erud.y ann. 1685, png. 400).

* Cette innovation fit sensation dans le temps. Bosse la cite en ces termes, comme exemple (les manières universelles de Desargues en Géomdtrie : < Il fait voir, comme il Ta écrit à un sien » ami défunt, le rare et savant M. Pascal, fils, que les parallèles sont toutes semblables à celles • qui aboutissent d un points et qu'elles n'en diffèrent point. > {Traité des pratiques géométraies et perspectives; in-i2, 1665.)

n métaphysique de la Géométrie^ qui est une science dont je n'ai point » remarqué qu'aucun autre se soit servi, sinon Archiméde. Pour moi, je » m'en sers toujours pour juger en général des choses qui sont trouvables, » et en quels lieux je les dois trouver » (Lettres, pag. 379 du tom, IV.)

§ 22. Les idées de Desargues, concernant les systèmes de lignes droites, comparés aux lignes courbes, ont dû le porter à appliquer, aux sections coniques, diverses propriétés connues du système de deux droites. L'une d'entre elles que Pascal, dans son Essai pour les coniques, appelle merveilleuse, et qui, en effet, est d'une fécondité extrême, nous a été conservée. C'est la relation des segments faits, par une conique et par les quatre côtés d'un quadrilatère qui lui est inscrit, sur une transversale menée arbitrairement dans le plan de la courbe.

Cette relation consiste en ce que : « Le produit des segments compris sur » la transversale, entre un point de la conique et deux côtés opposés du » quadrilatère, est au produit des segments compris entre le même point de n la conique et les deux autres côtés opposés du quadrilatère, dans un rap- » port qui est égal à celui des produits semblablement fails avec le second » point de la conique situé sur la transversale. »

Ce théorème est énoncé par Pascal dans son Essai pour les coniques, et par Beaugrand dans une lettre critique sur l'ouvrage de Desargues , intitulé Brouillon projet d'une atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plan. Cette lettre nous apprend que Desargues appelait la relation qui constitue son beau théorème, involution de six points.

On voit comment les six points se correspondent, ou sont conjugués deux à deux. Desargues examinait le cas où deux points conjugués venaient à se confondre; il y avait alors involution de cinq points ^ ; puis celui où deux autres points conjugués se confondaient aussi; alors on n'avait plus que quatre points , et la relation d'involution devenait un rapport harmonique.

I II peut y avoir encore, dans un autre cas, involution de cinq points : c*cst quand le sixième point est h l'inGni; alors sou conjugué a une position très-rcniarquablc. Je ne sais si Ion a examiné particulièrement ce cas, qui se présente souvent, sans qu'on songe à le rattacher à la théorie de i'involoUoo.

La relation d'involution de six points^ telle que nous Tavons énoncée^ contient huit segments; mais elle peut être remplacée par une autre ^ où n'entrent que six segments : c'est celle que Pappus a donnée pour les segments faits ^ sur une transversale^ par les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère (la 130® du livre 7 des Collections malhéma" tiques ).

En considérant les deux diagonales comme une ligne du second degré^ qui passe par les quatre sommets du quadrilatère^ on voit que le théorème de Desargues est une généralisation de la proposition de Pappus^ dans laquelle se trouve substituée^ à la place des deux diagonales du quadrilatère^ une conique quelconque passant par les quatre sommets.

§ 23. Un excellent écrit de M. Brianchon^ intitulé Mémoire sur les lignes du deuxième ordre (Paris 1817 ), est basé sur ce théorème, et en fait voir toute la fécondité. Mais il parait que Desargues lui-même avait su en tirer un parti considérable , pour démontrer un grand nombre de propriétés des coniques; car d'une part, Beaugrand dit, dans sa lettre ^ , qu'une partie du Brouillon projet, etc. , était employée à examiner les corollaires du théorème en question; et, de plus, nous trouvons dans les Pratiques geométrales et perspectives du graveur Bosse le passage suivant, qui se rapporte probablement à ce même théorème. Bosse répond aux détracteurs de Desargues, et ajoute : « Entre autres ce qu'il a fait imprimer des sections coniques, dont » une des propositions en comprend bien, comme cas, soixante de celles » des quatre premiers livres des coniques d'Apollonius, lui a acquis l'es- » time des savans, qui le tiennent avoir été l'un des plus naturels géo- » mètres de notre temps, et entre autres la merveille de notre siècle, feu » M. Pascal. »

Nous trouvons encore quelques observations qui se rapportent au théorème en question, et qui prouvent que Desargues avait su en faire un grand usage, dans un ouvrage du graveur Grégoire Huret, intitulé : Optique de portraiture et peinture, etc. Paris 1670; in-fol.

« Kotr la Note XIV.

Ainsi^ il est constant que le théorème de Desargues était le fondement de sa théorie des coniques^ et que les nombreuses propriétés de ces courbes ^ que nous avons appris^ depuis quelques années^ à déduire de ce théorème^ n'avalent point échappé à Tesprit logique et essentiellement généralisateur de Desargues.

Mais^ outre son extrême fécondité^ le théorème en question présente un autre caractère^ qu'il n'est pas moins important de faire ressortir dans un examen philosophique de la marche et de l'esprit des méthodes concernant les coniques. C'est que ce théorème^ par sa nature^ permettait à Desargues de considérer^ sur un cône à base circulaire^ des sections tout à fait arbitraires^ sans faire usage du triangle par l'axe y comme le dit Pascal ; tandis que les Anciens^ et tous les écrivains après eux^ n'avaient coupé le cône que par des plans perpendiculaires à ce triangle par l'axe. Celle grande innovation nous parait être le principal mérite du traité des coniques de Desargues.

• § 24. On voit^ par ce qui précède j que l'ouvrage de Desargues était vraiment beau et original^ et procurait une généralité et des facilités nouvelles à la Géométrie des coniques. Aussi fut-il apprécié comme tel par les grands génies du siècle. Nous avons déjà cité le sentiment d'admiration de Pascal pour cet ouvrage; nous trouvons qu'il fut partagé par Fermât^ qui^ dans une lettre au P. Mersenne y s'exprime ainsi : « J'estime beaucoup M. Desar- » gues^ et d'autant plus qu'il est lui seul inventeur de ses coniques. Son » livret qui passe^ dites-vous^ pour jargon^ m'a paru très-intelligible et 1^ très-ingénieux. » ( OEuvres de Fermât, pag. 4 73. )

Quant à la fécondité du théorème et à la facilité toute nouvelle qu'il apportait dans la théorie des coniques ^ on aperçoit aisément quelle en est la cause première. C'est qu'il exprimait une relation tout à fait générale de six points pris arbitrairement sur une conique. Les Anciens n'avaient connu de telles relations que pour des positions particulières des six points y par exemple y pour le cas où quatre points étaient deux à deux sur deux cordes parallèles entre elles (la relation dont ils se servaient alors était que les px)duits'de9 segments faits ^ sur ces deux cordes^ par celle qui joint les deux

autres points^ sont entre eux comme les produits des segments faits, sur celle-ci, par les deux premières). Il leur fallait donc toujours diverses propositions inlermédiaires, pour passer de la considération directe ou implicite de cinq points d'une conique à la considération d'un sixième point. De là, le grand nombre de propositions qui semblaient devoir entrer nécessairement dans un traité des coniques, et de la surtout la longueur des démonstrations.

La solution du problème ad quatuor Ihieas, il est vrai, faisait connaître une propriété tout à fait générale de six points d'une conique; mais, jusqu'à Apollonius, ce problème n'avait pas été résolu complètement; et ce grand géomètre, qui dit l'avoir résolu à l'aide des principes qu'il a compris dans son 3« livre, n'a point eu le temps peut-être d'en approfondir assez la nature pour le juger propre à entrer dans ses Eléments des Coniques^ de sorte qu'il n'a été d'aucun usage chez les Anciens,

§ 25. Nous avons dit que Fermât avait laissé, parmi quelques propositions présentées comme porismes, le théorème de Desargues; et l'on ne peut douter que ce grand géomètre n'y soit parvenu de son côté. Mais, outre l'avantage d'une antériorité de plus de vingt-cinq ans. Desargues a celui d'avoir connu et mis à profit toutes les ressources que ce théorème offrait dans la théorie des coniques.

R. Simson nous paraît le seul géomètre qui se soit servi , jusqu'à ces derniers temps, de ce théorème qu'il a démontré dans le S® livre de son Traité des Coniques (Proposition 12®), et dont il avait entrevu la fécondité; car, après en avoir tiré six corollaires, il ajoute qu'ils renferment des démonstrations naturelles et faciles de quelques propositions du premier livre des Principes, de Newton. R. Simson avait emprunté ce théorème des OEuvres de Fermât, comme on le voit dans son Traité des Porismes, où il le démontre aussi sous le n"" 81.

§ 26. On n'a considéré jusqu'à ce jour le théorème de Desargues que sous l'énoncé sous lequel nous l'avons présenté; et c'est ainsi qu'on en a fait de nombreuses applications. Mais, en y introduisant la notion du ^^ap-port anharmonique , on peut envisager ce théorème sous un autre point de

vue^ et lui donner une autre forme ^ qui en fera une proposition différente ^ propre à de nouveaux usages. Cette proposition^ qu'on peut regarder comme centrale dans la théorie des coniques^ car une infinité de propriétés diverses de ces courbes^ qui avaient paru étrangères les unes aux autres 9 en dérivent naturellement^ comme d'un centre unique; cette proposition^ dis-je^ offre une voie facile pour passer du théorème de Desargues à celui de Pascal , et vice versa , et de chacun de ceux-ci à diverses autres propriétés générales des coniques , telles que le beau théorème de Newton sur la description organique de ces courbes. ( Voir la Note XV.)

§ 27. Les Anciens n'avaient considéré^ pour former leurs coniques^ que des cônes à base circulaire : Desargues et Pascal les imitaient en ce points puisqu'ils formaient ces courbes par la perspective du cercle. Il se présentait donc une question , à savoir si tous les cônes qui ont pour base une conique quelconque sont identiques avec les cônes à base circulaire ; ou ^ en d'autres termes^ si un cône quelconque^ à base elliptique^ parabolique ou hyperbolique^ peut être coupé suivant un cercle; et^ dans le cas où cela serait^ de déterminer la position du plan coupant. Desargues ^ comme nous l'apprend le P. Mersenne *, proposa cette question^ qui eut alors une certaine célébrité^ à raison de sa difficulté; car elle est de la nature de celles qui^ admettant trois solutions^ dépendent^ en Analyse^ d'une équation du troisième degré ^ et^ en Géométrie^ des sections coniques. Descartes la résolut par les principes de sa nouvelle Géométrie analytique^ et d'une manière fort élégante^ pour le cas où la base du cône est une parabole : il n'a besoin que d'un cercle^ dont l'intersection avec la parabole donne la solution demandée \ Depuis ^ cette même question a occupé plusieurs autres géomètres célèbres : le marquis de Lhospital ^y Herman ^, le

* Univenœ geôfnetriœ, mixiœque mathematicœ synopsis, pag. 531 ; in-fol., 1644. ^ Lettres de Descartes, édition in-12, 1725; t. VI, pag. 328.

Traité analytique des sections coniques 9 livre 10% png. 407. Commentarii Aeademiœ Petropolitanœ , tom. VI; ann. 1732 eli

P. Jacquier *, qui suivirent la même marciie analytique que Descartes, en y apportant quelques simplifications. Je ne crois pas que Ton ait donné, de ce problème, une solution purement géométrique et graphique. La difficulté disparait devant les nouvelles doctrines de la Géométrie, qui peuvent en procurer plusieurs solutions différentes 2.

§ 28. On doit à Desargues une propriété des triangles, devenue fondamentale et d'un usage très-utile dans la Géométrie récente. Cest que : « Si deux triangles, situés dans Fespace, ou dans un même plan, ont leurs » sommets placés deux à deux sur trois droites concourant en un même » point, leurs côtés se rencontrent, deux à deux, en trois points situés en » ligne droite ; » et réciproquement.

Ce théorème se trouve, avec deux autres, dont l'un est sa réciproque, à

^Elementi diperspettiva; in -8®. Romœ, 1735, pog. HO.

^ Il su (lit de déterminer les trois axes principaux du cône; car on sait que, de leur connaissance, Ton conclut immëdialenient la position des plans des sections circulaires.

Pour déterminer ces trois axes, je mène, par le grand axe de la conique G qui sert de base au cône, un plan perpendiculaire h celui de cette courbe; et, dans ce plan, je conçois une seconde conique qui ait, pour sommets et pour foyers, respectivement les foyers et les sommets de la première.

Je regarde cette seconde conique comme la base d'un second cône qui ait même sommet que le cône proposé. Ce nouveau cône rencontre le plan de la conique G suivant une autre conique. Ces deux courbes se rencontrent en quati*e points qui sont les sommets d'un quadrilatère, dont les points de concours des côtés opposés, et le point de rencontre des deux];diagonalcs, appartiennent aux trois axes cherchés.

Ainsi , le problème est résolu.

Seconde solution. Par le sommet du cône proposé, menons des droites perpendiculaires à ses plans tangents; elles forment un second cône du second degré, qui rencontre le plan de la conique servant de base au premier cône, suivant une seconde conique. Ces deux courbes se rencontrent en quatre points qui servent, comme dans la solution précédente, à résoudre le problème.

Nous devons dire, plus généralement, qu'il existe, dans le plan des deux courbes, trois points tels que chacun d'eux a la même polaire par rapport aux deux coniques; ces trois points appartiennent aux trois axes principaux cherchés.

Nous avons trouvé différentes autres solutions du problème, mais qui exigent toujours la construction d'une conique; ce qui doit être, puisque le problème admet trois solutions.

la suite du Traité de Perspective, rédigé par Bosse ^ d'après les principes et la méthode de Desargues^ mise au jour en 1636. Quand les deux triangles sont situés dans deux plans différents^ le théorème est de vérité intuitive^ ainsi que le remarque Desargues; quand ils sont dans le même plan^ sa démonstration oflfre cela de remarquable qu'il y est fait usage du théorème de Ptolémée sur le triangle coupé par une transversale. C'est Fun des premiers exemples^ chez les Modernes, de l'application de ce célèbre théorème^ qui depuis est devenu la base de la théorie des ti^ansversales.

Le théorème de Desargues a été reproduit, pour la première fois dans ces derniers temps, par M. Servois, dans son ouvrage intitulé : Solutions peu connues, etc. ; et a été employé depuis par M. Brianchon (Correspondance polytechnique y t. III, p. 3.), par M. Poncelet (Traité des propriétés projectives), et par MM. Sturm et Gergonne (^Annales de Mathématiques, t. XVI et XVII). M. Poncelet en a fait la base de sa belle théorie des figures homologiques. Il a appelé les deux triangles en question homologiqu^s , le point de concours des trois droites qui joignent deux à deux leurs sommets, centre d'homologie, et la droite sur laquelle se coupent deux à deux leurs trois côtés, a^e d'homologie.

§ 29. Mais on ne s'est servi, jusqu*à présent, que des propriétés descriptives des deux triangles en question; et leurs relations métriques, ou de grandeur, non moins importantes que celles de situation, n'ont pas encore été considérées d'une manière générale. On n'en connait que quelques cas particuliers. Ainsi, quand les deux triangles sont semblables et semblablement placés, auquel cas leur axe d'homologie est à l'infini, les distances de leur centre de similitude à deux points homologues quelconques sont entre elles dans un rapport constant; et^ quand le centre d'homologie des deux triangles esta l'infini, ce sont les dislances de deux points homologues à l'axe d'homologie, qui sont entre elles dans un rapport constant. On

' Manière universelle de M. Desargues pour pratiquer la perspective par petit-pied, comme U géométral. In-8% i648, pag. 340.

conçoit que ces deux relations sont des cas particuliers d'une certaine relation générale^ relative à deux triangles homologiques quelconques^ dont ni le centre ni Vaxe d'honiologie ne sont à Tinfini. Nous démontrerons cette relation générale dans un chapitre de ce Mémoire; mais sa simplicité nous permet de l'énoncer ici , comme complément du théorème de Desargues : elle consiste en ce que « le rapport des distances de deux sommets homo- » logues quelconques des deux triangles^ à leur centre d'homologie^ est au » rapport des distances des deux mêmes sommets^ à Taxe d'homologie^ dans » une raison constante. » Ce théorème nous sera très-utile, en nous offrant de nombreuses propriétés nouvelles des figures homologiques, et particulièrement du système de deux coniques quelconques, dont on n'a encore étudié d'une manière générale que les propriétés descriptives \

Nous remarquerons encore, au sujet du théorème de Desargues, qu'il conduit naturellement à un beau principe de perspective, qui semble en éire, en quelque sorte, la première destination; c'est que : « quand deux » figures planes^ situées dans l'espace, sont la perspective l'une de l'autre, » si l'on fait tourner le plan de la première autour de sa droite d'intersection » avec le plan de la seconde , les droites qui iront des points de la première » figure aux points correspondants de la seconde, concourront toujours en un » même point ^ ; et cela aura encore lieu quand les plans des deux figures » seront superposés. » Ce théorème peut oiTrir une intelligence facile de certaines pratiques de la perspective.

§ 30. Desargues s'était occupé des applications de la Géométrie aux arts, et avait traité cet objet en homme supérieur, y apportant, avec une exactitude alors souvent inconnue aux artistes, les principes d'universalité que nous lui avons reconnus dans ses recherches de pure Géométrie.

' Les relations métriques de deux coniques quelconques, connues jusqu'^ ce jour, se réduisent, je crois, à quelques relations harmoniques.

' Ce point de concours varie de position dans Tespace, et il est facile de voir qu*il décrit un cercle situé dans un plan perpendiculaire à la droite dlntersectiou des plans des deux figures.

Divers écrits de lui furent publiés sur la Perspective, la Coupe des pierres et le Tracé des cadrans. Il paraît que ces ouvrages étaient très-succincts, et pour ainsi dire comme des essais, qui renfermaient la substance d'ouvrages qui devaient être plus développés et plus complets. Quelques années après, A. Bosse, célèbre graveur, qui, quoique géomètre médiocre, avait eu assez de pénétration pour apprécier le génie de Desargues, fut initié par lui à ses nouvelles conceptions, et les exposa de nouveau, mais d'une manière trèsdiffuse, qu'il croyait avoir appropriée aux usages des artistes, et qui ne Tétait certainement pas à celui du véritable géomètre. Cependant, les écrits originaux de Desargues étant perdus, ceux de Bosse ont acquis, par cette circonstance, un certain mérite. Ils suffiraient au géomètre, qui voudrait les lire avec attention, pour rétablir les principes théoriques qui avaient servi de fondement aux diverses pratiques inventées par Desargues dans ses ouvrages originaux.

Ceux-ci avaient pour titres :

1** Méthode universelle de mettre en perspective les objets donnes réellement, ou en devis, avec leurs proportions, mesures, éloignements y sans employer aucun point qui soit hors du champ de l'ouvrage, par G. D. L. (Girard Desargues, Lyonnais), à Paris, 1636. Le Privilège était de 1630.

2® Brouillon projet de la Coupe des pierres. 1 640.

3® Les Cadrans, ou moyen de placer le style, ou F axe, inséré à la fin du Brouillon de la Coupe des pierres \

Le Traité de Perspective, arrangé par Bosse, contie ntun fragment de Fouvrage original de Desargues. On y reconnaît le fondement et la substance de tout Fouvrage de Bosse. Le but que s'y propose Desargues est de pratiquer la perspective sans se servir d'un dessin de l'objet, et au moyen seulement

* Nous avons trouvé le titre du premier de ces trois ouvrages dans la Perspective de Nicèron (in-fol., i653), et dans celle de Lambert (2« partie, Zurich, 1773; in-8»); et les litres des deux autres, qui paraissent aujourd'hui tout à fait inconnus, car nous n'en avions jamais vu aucune mention nulle part, dans un ouvrage fort rare de J. Curabelle, intitulé : Examen des OEuvres du sieur Desargues ; Paris, i644, in-4«(8f pages).

de cotes indiquant la position de chacun de ses points dans Tespace^ de même que ces cotes serviraient, en archilecture, pour construire le plan géométral et les coupes de cet objet. C'est à celle occasion qu'il imagina Péchelle fuyante, maintenant si fort en usage chez les artistes, et qui porte le nom de Desargues dans quelques traités de perspeclive. (Voir celui d'Ozanam, pag. 62, édition de 1720, in-8^)

Cel ouvrage était, au témoignage de Fermât « agréable et de bon esprit. » Descartes en porta un jugement semblable en écrivant au P. Mersenne : « Je n'ai reçu que depuis peu de jours les deux petits livres in-folio que » vous m'avez envoyés, dont l'un qui Iraite de la perspective (et qui était de )) Desargues) n'est pas à désapprouver, outre que la curiosité et la netteté » de son langage est à estimer. » [Lettres, tom. IV, pag. 257.)

Le livre des Cadrans mérita aussi l'approbation de Descartes, qui trouva que « l'invention en était fort belle, et d'autant plus ingénieuse qu'elle était » plus simple. » [Lettres, tom. IV, p. 147.) Ce grand homme n'exprime pas son sentiment sur le livre de la Coupe des pierres, parce que les figures y manquaient ^

Il parait que l'invention des épicycloïdes et de leur usage mécanique^ dont Leibniz a revendiqué l'honneur pour le célèbre astronome Roemer^ est due à Desargues. Car La Ilire nous apprend , dans la préface de son Traité des Epicycloïdes , qu'il a fait au château de Beaulieu, près de Paris, une roue à dents épicycloïdales, à la place d'une autre semblable, qui y avait été autrefois construite par Desargues. De plus, La Hire répète, dans la préface de son Traité de Mécanique, publié en 1695, qu'il donne la construction d'une roue où le frottement n'est pas sensible, et dont la première invention était due à Desargues, un des plus excellents géomètres du siècle.

' Baillot, dans la Vie de Descaries y dit que ces deux livres de Desargues ne furent publiés qu'en 1643. C'est une erreur : Baillet les confond avec ceux de Bosse, publies en effet en 1643. Cet écrivain ignorait que Desargues eût produit, en MUtO^ sou Broitillon projet de la Coupe des pierres, suivi des Cadrans, qui est le seul ouvrage dont ait pu parler Descartes dans sa lettre écrite en i64i au P. Mersenne.

§ 31. Le caractère principal des écrits de Desargues est une grande généralité dans ses principes théoriques et dans leurs applications^ telle que celle qui fait la beauté et le grand mérite de la Géométrie descriptive de Monge. Ainsi il dit, au commencement de son Brouillon projet de la Coupe des pierres, que sa manière de trait pour la Coupe des pierres est la inême production que la manière de pratiquer la Perspective ^ Et, dans une lettre écrite en 1643, jointe au Traité des Cadrans, arrangé par Bosse, Desargues parle de sa pensée et façon de concevoir ces matières dans l'universel, comme c'est l'unique façon légitime de faire des savans.

Nous citerons encore le passage suivant des Pratiques géométrales et perspectives de Bosse : « M. Desargues démontrait universellement, par les » solides, ce qui n'est pas Tusage ordinaire de tous ceux qui se disent géo- » mètres ou mathématiciens. »

Ces mots de Bosse, par les solides, ne signifieraient-ils pas que Desargues employait, dans ses démonstrations, la considéraiion des figures à trois dimensions, pour parvenir aux propriétés des figures planes? ce qui est aujourd'hui le caractère de Técole de Monge, en Géométrie spéculative.

Plusieurs passages des lettres de Descartes font voir que Desargues ne bornait point ses recherches mathématiques à la Géométrie et à ses applications, mais qu'il écrivait aussi sur l'Analyse; on y voit même que les matières philosophiques lui étaient également familières.

Ces détails montrent le génie de Desargues, dont ses plus illustres contemporains. Descartes, Pascal, Fermât, faisaient le plus grand cas; mais que des hommes médiocres , dont la nouveauté et la généralité de ses vues surpassaient l'intelligence , ont persécuté et dégoûté.

On doit à M. Poncelet d'avoir, le premier, dans son Traité des propriétés projectiveSy apprécié ce véritable et profond géomètre, et de l'avoir

' Ces paroles de Desargues sont rapportées par Curabelle, pag. 70 de son ouvrage cite prëeédemment.

reconnu^ sous le litre mérité de « Monge de son siècle^ » comme Tun des fondateurs de la Géométrie moderne.

Nous ajouterons quelques détails, au sujet de Desargues, dans la Note XIV.

Nous ne retrouverons, que plus d'un siècle après, Fesprit des méthodes de Desargues et de Pascal. Cest La Hire qui nous le transmettra, dans soo premier ouvrage sur les coniques, en 1673. Ce géomèlre eut connaissance du Brouillon projet des coniques de Desargues, dont il cite le titre; mais il parait que déjà V Essai pour les coniques de Pascal était tombé dans l'oubli \

§ 32. En parlant historiquement des travaux de Desargues et de Pascal sur la théorie des coniques, on doit citer un troisième géomètre, leur contemporain, qui les avait devancés de quelques années dans cette partie de la MYDORGE, science. Mydorge, célèbre comme savant et comme ami de Tillustre Descartes , eut le mérite d'être le premier en France qui écrivit un traité des sections coniques, et qui entreprit de simplifier les démonstrations des Anciens , et d'aller au delà de ce qu'ils avaient fait sur ce sujet.

Cet ouvrage parut d'abord en 1631, en deux livres, puis en 4644, en quatre livres; il devait être suivi de quatre autres qui sont restés manuscrits. Le P. Mersenne nous en a donné les titres dans son recueil Universœ Geometriœ mixtœque, etc., pag. 329. Mydorge n'a pas pour but principal, comme Desargues et Pascal , de faire dériver les propriétés des coniques de celles du cercle, par la perspective ou par la considération constante du cône où elles prennent naissance. Sou ouvrage est écrit dans le style des Anciens; mais cependant, en faisant plus d'usage qu'eux de la considération du cône^, l'auteur peut comprendre, dans une seule démonstration, des propositions qui

^ Cum nihil de his Pascalii, Desarguesii autem pauca sint édita, eo gratior fuit labor doctissimi geometrœ Ph. de La Hirc, qui vcsligiis istorum insistens, muUaque perpulchra de suo adji" ciens, jam ante 12 annos libellum tilulo NoViC hethodi sectiones conicâs et cylindricas ezpli- CANDi edidit {Act. Erud., ann. 1685, p. 400.)

' Nous entrerons dans quelques développements sur la méthode des Anciens , en parlant du grand Traité des Coniques de La Hire.

en demandaient trois à Apollonius^ et il apporte ainsi une grande simplification dans cette matière.

On remarque^ dans Fouvrage de Mydorge, une solution élégante de ce problème : « Placer sur un cône donné une section conique donnée^ » qu'Apollonius n'avait résolu, dans son sixième livre, que pour un cône droit. (Propositions 39, 40 et 41 du 3* livre.)

Lie second livre est destiné à la description des coniques par points, sur le plan; objet dont Apollonius ne s'était pas occupé, mais qui avait dû être compris dans les Lieux solides d'Aristée; car cet ouvrage traitait des coniques considérées sur le plan, et devait rouler sur celles de leurs propriétés qui ne font point partie des Eléments des coniques d'Apollonius, puisque Aristée lui-même avait écrit un pareil traité, dilTérent de ses Lieux solides.

Parmi les modes de description de Mydorge, nous citerons celle de l'ellipse, par un point d'une droite dont les deux extrémités glissent sur deux droites fixes ^ ; et la description de la même courbe au moyen du cercle dont on allonge toutes les ordonnées dans un rapport constant; description déjà employée par Stévin {OEuvres mathématiques, pag. 348). On trouve dans le même livre que, si d'un point pris dans le plan d'une conique, on mène des rayons aux points de la courbe, et qu'on les prolonge dans un rapport donné, leurs extrémités seront sur une nouvelle conique, semblable à la première. Cette proposition extrêmement simple est contenue virtuellement dans le sixième livre d'Apollonius, qui traite des coniques semblables : nous la citons ici parce qu'elle est, avec le mode de description précédente (l'allongement des ordonnées dans un rapport constant), le point de départ, et le cas le plus simple d'une méthode de déformation des figures, que nous verrons prendre de l'extension entre les mains de La Hire et de Newton. M. Pon-

< Ce mode de description avait déjà été démontré par Stévin, qui en attribue l'invention à Guido Ubaidi: en effet, celui-ci Tavait donné dans son traité intitule: Planisphœricorum vniverialium Theorica (in-4^ i579); mais cette description de rdlipse fut connue des Anciens, ainsi que nous Fapprend Proclus, dans sou Commentaire sur la seconde proposition du {"livre d'Euclide.

celet , dans son Traité des propriétés projectives. Ta étendue aux figures à trois dimensions; et nous la regardons, dans Tétat d^aecroissement où nous la présentons dans la seconde partie de cet écrit, sous le titre de Déformation homographique , comme Tune des méthodes les plus puissantes de la Géométrie moderne.

§ 33. L^étendue que nous avons donnée à Tanalyse des ouvrages de Desargues et de Pascal , qui se rapportent à la Géométrie récente , nous a éloigné de cette autre partie de la Géométrie, qui concerne les mesures, et qui fait usage, sous une forme explicite ou déguisée avec plus oii moins d^art, des considérations de Tinfini.

Revenons à cette partie de la science, où nous avons déjà eu à citer, comme

inventeurs, Kepler, Guldin, Cavalieri, Fermât, Roberval, Pascal. A la suite

de ces hommes de génie , et sur le même rang, nous trouvons Grégoire de

St-Vincent.

GRÉGOIRE DK SAINT Cc géomètrc, Fuu des plus profondément versés dans la Géométrie an-