TROISIÈME ÉPOQUE

DESCARTES, § I®*". Lc plus slgoalé service rendu à la Géométrie est dû à Descartes. 1696-1650. Qq philosophe, par son inappréciable conception de V Application de l'Algèbre à la théorie des courbes, se créa les moyens de franchir les obstacles qui , jusqu'alors, avaient arrêté les plus grands géomètres, et changea véritablement la face des sciences mathématiques K

Cette doctrine de Descartes , dont aucun germe ne s'est trouvé dans les écrits des géomètres anciens, et la seule peut-être dont on puisse dire, comme Montesquieu de son Esprit des lois, prolExM sine matre greatâm^ cette doctrine, dis-je, eut pour effet de donner à la Géométrie le caractère d'abstraction et d'universalité qui la distingue essentiellement de la Géométrie ancienne. Les méthodes créées par Cavalieri, Fermât, Roberval, Grégoire de St- Vincent, portaient aussi, dans leurs principes métaphysiques^

* L'application de TAlgëbre à la théorie des courbes est Tobjet de la Géométrie de Descartes, qui parut à Leyde en iG57, avec son Traité des Météores et sa Dioptriqtie, à la suite et comme Essais de sa célèbre Méthode, sur laquelle repose la philosophie moderne.

Aucun système, certainement, n'avait jamais été produit avec Tautorité que donnaient, à la Méthode de Descaries , de tels Essais.

le cachet de cette généralité; mais ne Favaient point dans leurs applications. La conception de Descartes , seule , procurait les moyens d'appliquer ces méthodes d'une manière uniforme et générale; elle était l'introduction nécessaire aux nouveaux calculs de Leibniz et de Newton^ qui dès lors n'ont point tardé à surgir de ces belles méthodes.

La Géométrie de Descartes, outre ce caractère éminent d'universalité, se distingue encore de la Géométrie ancienne sous un rapport particulier, qui mérite d'être remarqué; c'est qu'elle établit, par une seule formule, des propriétés générales de familles entières de courbes; de sorte que l'on ne saurait découvrir par cette voie quelque propriété d'une courbe , qu'elle ne fasse aussitôt connaître des propriétés semblables ou analogues dans une infinité d'autres lignes. Jusque-là , on n'avait étudié que des propriétés particulières de quelques courbes, prises une à une, et toujours par des moyens différents, qui n'établissaient aucune liaison entre différentes courbes.

Aussi la Géométrie prit dès lors un essor rapide, et ses progrès s'étendirent sur toutes les autres sciences qui sont de son domaine. L'Algèbre elle-même en reçut d'utiles secours ; ses opérations symboliques devinrent plus faciles à saisir, son importance s'accrut; et ces deux branches principales de nos connaissances positives marchèrent d'un pas également assuré.

Quant à l'Algèbre, nous nous bornerons à dire que l'un des premiers et des plus grands avantages que la Géométrie lui procura, fut l'interprétation et l'usage des racines négatives, que jusque-là on regardait comme insignifiantes, et qui avaient si fort embarrassé les anciens analystes.

J^ méthode des coefficients indéterminés , que Descartes créa dans sa Géométrie, et dont il fit un si heureux usage pour la construction des lieux solides, est aussi l'une des découvertes les plus ingénieuses et les plus fécondes de l'Analyse.

§ 2. L'esprit et les procédés de la Géométrie de Descartes sont trop connus de toutes les personnes qui ont les premières connaissances en mathématiques , pour que nous entrions ici dans aucun développement.