DE BEAUNE

Nous allons tout de suite présenter un aperçu des travaux des principaux écrivains^ parmi les contemporains de Descartes , qui cultivèrent les premiers sa Géométrie^ et qui s'en servirent pour étendre le cercle des vérités roatbémathiques^ particulièrement dans la théorie des courbes.

On distingue d'abord Fermât et RobervaL

Le premier^ digne émule de Descaries ^ employait lui-même , déjà^ des procédés analytiques semblables à sa Géométrie, avant qu'elle eût paru. Mais la nature et le caractère spécial de ses travaux^ basés en grande partie sur sa belle méthode De maximis et minimis, les rapprochent beaucoup plus des doctrines de la Géométrie ancienne que de celles de Descartes.

Roberval^ que la rivalité jalouse qui a existé entre lui et ce grand philosophe portait à critiquer minutieusement la nouvelle Géométrie y contribua de cette manière à en répandre la connaissance. Ce géomètre a fait d'ailleurs^ en quelque sorte ^ amende honorable^ en laissant sous le titre De résolutions œquationum, une application intelligente de cette méthode à la construction des lieux par leurs équations.

§ 3. Dès que la Géométrie de Descartes eut paru^ De Beaune en pénétra l'esprit et l'excellence, el en facilita la lecture par des Notes, trèsestimées de Descartes lui-même, sur les passages qui, par leur concision et la nouveauté du sujet , offraient des difficultés aux meilleurs géomètres.

C'est De Beaune qui, le premier, conçut l'idée d'introduire dans la théorie des courbes les propriétés de leurs tangentes, comme élément propre à leur construction, et qui, par une question de cette nature proposée à Descartes, donna ainsi naissance à la méthode inverse des tangentes.

Il s'agissait de construire une courbe telle que le rapport de sa sous-tangente (prise sur l'axe des abscisses) à l'ordonnée, fut dans une raison constante avec la partie de l'ordonnée comprise entre la courbe et un axe fixe faisant un demi-angle droit avec l'axe des abscisses, passant d'ailleurs par l'origine de la courbe ^

Lettres de Descartes, tom. VI , pag. 215

Ce problème difficile^ même avec le secours du calcul intégral^ et qui a occupé^ à la naissance de ce calcul^ Leibniz et les frères Bernoulli^ a été résolu par Descartes^ qui^ avec son habitude de vaincre les plus grandes difficultés en Géométrie ^ sut ramener la question aux lieux géométriques^ en considérant chaque point de la courbe comme Tintersection de deux tangentes infiniment voisines ^ et découvrit ainsi que la courbe a une asymptote parallèle à Taxe fixe , et que la sous-tangente prise sur cette asymptote est constante. Ces propriétés ont conduit Descartes à la construction de toutes les tangentes de la courbe elle-même^ par Tintersection de deux règles qui se mouvaient avec des vitesses déterminées. L'incommensurabilité de ces deux mouvements lui fit voir que la courbe était mécanique y et de celles auxquelles ne s'appliquait point son Analyse. Aussi n*en donna -t- il pas Téquation. [Lettres de Descartes , tome VI, p. 137.) ^

Descartes n'avait compris, dans sa Géométrie, que les courbes dont FéquatioD, dans son système de coordonnées, était d'un degré fini; il les appela courbes géométriques , et donna le nom de mécaniques à toutes celles qui n'étaient pas géométriques. Leibniz a substitué, à ces dénominations, celles de courbes algébriques et courbes transcendantes. On se sert maintenant indifféremment des deux expressions géométriques et algébriques, pour désigner les courbes que Descartes a considérées dans sa Géométrie. Mais nous emploierons toujours la première, parce que les courbes auxquelles elle s'applique se distinguent des autres par certaines propriétés géométriques qui leur sont communes, tout aussi bien que par la nature de leurs équations; et de plus, on peut démontrer ces propriétés avec les seuls secours de la Géométrie, et sans employer le système de coordonnées et les formules algébriques de Descartes.

* La lettre dans laquelle Descartes communique à De Bcaune ses idées sur cette question d*un nouveau genre, qu'il regarde comme Vinverse de sa règle des tangentes, nous parait mériter de figurer comme l'un des documents les plus importants dans l'histoire des nouveaux calculs.

scHooTEN, § 4. Schooten écrivit un commentaire étendu sur la Géométrie de

Descartes , et fît de nombreuses applications de cette méthode dans plusieurs parties de ses Exercitationes Geometricœ , principalement dans le livre 3*, qui est la restitution des Lieux plans d^Âpollonius; et dans le livre 5^^ intitulé : De lineis curvis superiorum generum, ex solidi sectione artis. C'est là que nous trouvons le premier exemple de la méthode des coordonnées appliquée aux courbes considérées dans l'espace; mais il est vrai qu'il y est question seulement de courbes planes^ et que Schooten n'a besoin d'employer que deux coordonnées. Mais ce genre de spéculations^ nouveau alors , était un premier pas dans la Géométrie analytique à trois dimensions, qui, comme nous le verrons à la fîn de cette troisième Époque, ne s'est développée que cinquante ans plus tard.

Schooten a écrit un Traité de la description organique des coniques, où il enseigne différentes manières de décrire ces courbes, d'un mouvement continu. La description de l'ellipse, par un point d'une droite dont les extrémités glissent sur les côtés d'un angle, était déjà connue: Guido Ubaldi et Stévin l'avaient donnée, et elle était due aux géomètres anciens, ainsi que nous l'avons dit en parlant de Proclus. Schooten la généralisait, en prenant le point décrivant au dehors de la droite mobile. L'ouvrage contient, outre la description des sections coniques, leur quadrature par la méthode des indivisibles de Gavalieri.

§ 5. Le second livre des Exercitationes Geometricœ est un recueil de problèmes résolus par la ligne droite seulement. Ce sont les premiers exemples, que nous trouvons, de ce genre particulier de Géométrie, traité dans ces derniers temps, d'une manière spéciale, par MM. Servois et Brianchon, sous le nom de Géométrie de la règle. A la suite de ce livre, et sous le titre d'Appendix, Schooten résout douze problèmes, dans lesquels il suppose que des obstacles rendent des points ou des lignes, inaccessibles ou invisibles dans certaines positions. Il confesse qu'il a été porté à ce genre de recherches par la lecture d'un ouvrage intitulé Geometria peregrinansy ou l'auteur se proposait de résoudre, en se servant de jalons

seulement^ les problèmes de Géométrie pratique^ qui se présentent particulièrement à la guerre. Cet ouvrage, anonyme et sans date, a paru à Schooten n'être pas ancien et avoir été imprimé en Pologne.

§ 6. Les secours que l'Analyse fournissait à la Géométrie étaient si grands et si merveilleux , que Schooten fut Tun des mathématiciens qui voulurent attribuer à cette méthode la clarté et Télégance que les Anciens apportaient dans les démonstrations et les constructions de leurs théorèmes et problèmes, les accusant d'avoir supprimé, pour rendre leurs inventions plus capables d'exciter Fadmiration de la postérité, la véritable voie qu'ils avaient suivie. Pour appuyer cette opinion, Schooten fit voir, par de nombreuses questions traitées des deux manières ^, qu'effectivement la méthode synthétique peut toujours se déduire de la méthode analytique. Mais Schooten ne s'attachait pas assez à la vraie signification que les Anciens avaient donnée au mot Analyse, et aux exemples que Pappus, particulièrement, nous avait laissés de cette méthode, et ce fut là la cause de son erreur; car, ne reconnaissant point d'autre Analyse que celle qui repose sur l'emploi de l'Algèbre, et n'en trouvant aucun vestige avant Diophante, il en concluait que les Anciens avaient caché leur Analyse.

Cette accusation, portée par Schooten, l'avait été en premier lieu par Nonius dans son Algèbre, et a été reproduite au chapitre II de Y Algèbre de Wallis ; mais depuis elle est restée sans créance et a paru absurde.

§ 7. Sluze et Hudde perfectionnèrent les méthodes de Descartes et de s^»", Fermât, pour mener les tangentes et déterminer les maxima et minima; et le premier, s'appliquant à la belle construction que Descartes avait donnée des équations du troisième et du quatrième degré, par un cercle et une parabole, eut la gloire de la compléter, en se servant d'un cercle et d'une section conique quelconque, de grandeur donnée; généralisation alors trés-désirée des géomètres.

• Traetatus de coticinnandis demonstrationibus geomelricis ex calculo algebratco. Ouvrage posthume. On y trouve une dcraonslralioii analytique du th(?orème de Plolémée sur les segiuents qu'une transversale fait sur les trois côtés d'un triangle.

l6tS-4685.

HUDDE, 1640-1704.

DEwiTT, g 8^ Lg célèbre pensionnaire de Hollande, Jean De Witt, simplifla la

théorie analytique des lieux géométriques de Descartes; il imagina une théorie nouvelle et ingénieuse des sections coniques, fondée sur diverses descriptions de ces courbes, sur le plan, sans se servir du cône, et dont il sut tirer avec habileté, par la pure Géométrie, leurs propriétés principales.

Les descriptions de De Witt se faisaient par des intersections de lignes droites qui, généralement, étaient les côtés d'angles mobiles. Jusque-là il n'y avait eu que la parabole qu'on eût décrite de la sorte. L'ellipse et l'hyperbole tiraient leur génération du cercle directement, ou bien nécessitaient, dans leurs divers modes de description, l'emploi de cette courbe.

Cependant nous devons dire que Cavalieri avait déjà eu l'idée de rechercher, pour l'ellipse et l'hyperbole, un mode de description par la ligne droite, analogue à celui de la parabole; et ses recherches avaient eu un premier succès, que ce célèbre géomètre avoue lui avoir causé un vif plaisir *. Voici le principe de sa méthode, que nous présentons sous un énoncé plus général, qui la fera mieux concevoir : « Que l'on ait, un angle, et qu'on mène des transversales parallèles entre elles; que, des points où chaque transversale rencontre les deux côtés de l'angle, on mène deux droites aboutissant respectivement à deux points fixes: ces deux droites se couperont en un point qui aura pour lieu géométrique une conique passant par les deux points fixes. »

Ce n'est pas ce théorème général que Cavalieri démontre, mais seulement l'un de ses cas particuliers; il suppose l'angle droit, les deux points fixes placés sur ses côtés, et la direction des transversales telle que ces deux points soient les sommets de la courbe.

Ainsi, la pensée qui a dirigé De Witt, dans ses descriptions des coniques par la ligne droile, n'était pas absolument nouvelle; mais Cavalieri

* Exercitatîones geometricœ sex. Bononiœ, in-4**; 1647.

De viodo facili descvibendi sectiones conicas, et in omnibus uniformi. (Exercilalio seXta,)

s'étant borné à un seul théorème^ Fun des plus restreints de cette théorie qai est extrêmement féconde, Fouvrage de De Witt présente réellement un caractère de nouveauté qui mérite d'être remarqué dans Fhistoire de la Géométrie.

Outre ce caractère de nouveauté , nous trouvons aussi , dans les descriptioDS de De Witt, le germe de cette célèbre description organique des coniques, donnée par Newlon dans le 1®*^ livre des Principes, puis répétée dans YÉnumération des lignes du troisième ordre, et dans V Arithmétique universelle. On obtient, en effet, plusieurs théorèmes de De Witt, en supposant, dans celui de Newton , qu'un angle soit nul et son sommet situé à riDfiDi.

La préface de Fouvrage de De Witt nous apprend qu'il le regardait comme rintroduction à une théorie générale et a Fénumération des courbes d'un ordre supérieur* Idée féconde, que réalisèrent, cinquante ans après, Newton, Mac-Laurin et firaikenridge.

§ 9. Wallis écrivit, le premier, un Traité analytique des sections coniques, walus, suivant les doctrines de la Géométrie de Descartes* Mais sa prédilection fut 'cie-nos. pour cette autre partie de la Géométrie, qui se rattache aux découvertes d'Archimède. En appliquant aussi, dans son Arithmétique des infinis, la puissante Analyse cartésienne à la méthode des indivisibles de Gavalieri, il fit faire à la Géométrie des progrès immenses, dans toutes les questions qui sont aujourd'hui du domaine du calcul intégral.

§ 10. Huygens, Van Heuraet et Neil furent aussi les promoteurs de la van heuraet, nul. Géométrie de Descartes.

Ces deux-ci se partagent la gloire d'avoir résolu, les premiers, le problème de la rectification d'une ligne courbe, qui passait auprès de quelques géomètres pour être, par sa nature, absolument insoluble, et qui, du reste, offrait, à cette époque, de grandes difficultés d'un ordre nouveau.

§11. Huygens est célèbre à tant de titres, et ses travaux font tant d'hon- huygens, neurà la Géométrie, qu'il nous faut entrer ici dans quelques détails. «owico».

Ce grand géomètre sut à fond la méthode de Descartes, s'en servit, et la

perfectionna même dans plusieurs de ses applications. Mais son goût irrésistible le retint fidèle à la méthode des Anciens^ où la force de son génie savait triompher des plus grandes difficultés.

S'il s'agissait seulement de marquer la place qu'Huygens doit occuper dans rhistoire des mathématiques^ il suffirait de dire que Newton lui donnait le surnom de Grand (Summiis Hugenius)^ et ne parlait de ses découvertes qu'avec admiration. « Il le tenait pour l'écrivain le plus éloquent qu'il y eût parmi les mathématiciens modernes, et pour le plus excellent imitateur des Anciens, admirables suivant lui, par leur goût et par la forme de leurs démonstrations *. »

Voici un aperçu des découvertes qu'Huygens dut à la Géométrie des Anciens, et qui montre bien toutes les ressources que peut offrir cette méthode à celui qui sait en pénétrer l'esprit et y découvrir les voies de l'intuition qui lui est propre :

Huygens, en s'occupant de la quadrature approchée du cercle et de l'hyperbole, trouva, entre ces deux courbes, des rapports nouveaux et singuliers.

Il donna la rectification de la cissoïde, quand on n'avait encore rectifié que deux courbes, la parabole cubique et la cycloïde.

Il détermina les surfaces des conoïdes paraboliques et hyperboliques; premier exemple de telles déterminations de surfaces courbes.

On lui doit des théorèmes curieux sur la logarithmique et les solides qu'elle engendre. Toutes ces propriétés, qui n'avaient été qu'énoncées par Huygens à la suite de son discours sur la cause de la pesanteur, ont été démontrées, par Guido-Grandi, à la manière des Anciens.

* Pembcrton , Préface des Éléments de la philosophie neivtonienne.

On peut penser que eelte admiration méritée pour le style géométrique d'Huygens causa chez le grand Newton une sorte d'émulation qui lui fit adopter la même manière d'exposition et de méthode dans son immortel ouvrage des Principes, quoiqu'il fût déjà en possession de toutes les ressources de l'Analyse la plus savante.

Nous énonçons cette opinion d après M. le baron Maurice, qui l'a émise dans son excellente Notice sur la vie et les travaux d'Huygens.

Huygens résolut le problème de la chainelte^ imaginé par Galilée^ qui y avait échoué , et remis sur la scène par Jacques Bernoulli; et le célèbre problème de la Courbe aux approches égales^ proposé par Leibniz , comme dé(i^ aux disciples de Descartes ^ à l'occasion de son démêlé sur la mesure des forces vives. Ces deux questions paraissaient^ aux deux illustres géomètres qui les proposaient^ nécessiter impérieusement le calcul intégral. Huygens sut les résoudre par les seules ressources de la Géométrie ancienne.

§ 12. Le célèbre traité De horologio oscillatorio doit prendre place à côté de Fouvrage des Principes, dans l'histoire des grandes conceptions de Tesprit humain: il en est l'introduction indispensable^ que Newton eût dû créer, si le génie d'Huygens ne l'eut prévenu.

Chacun des chapitres de ce traité suffirait seul pour exciter l'admiration.

Le premier est la description des horloges à pendule, qui offraient, pour la première fois, la mesure exacte du temps.

Le deuxième, intitulé De descensu gravium, complétait la grande découverte de Galilée, sur l'accélération des corps qui tombent librement par la pesanteur, ou qui glissent sur des plans inclinés. Huygens considérait leur mouvement sur des courbes données. C'est là qu'il démontra cette célèbre propriété de la cycloïde, d'être la courbe tautochrone dans le vide.

Le troisième. De evolutione et dimensione linearum curvarum, est la célèbre théorie des développées; acquisition capitale pour la théorie des courbes, et dont les usages dans toutes les autres parties des sciences mathématiques sont devenus aussi fréquents qu'étendus. Cette importante découverte ne fut point une simple spéculation géométrique dans les mains d'Huygens ; il sut en tirer les plus heureuses conséquences, pour démontrer une foule de propositions neuves et remarquables, telles que divers théorèmes sur les rectifications des courbes , et la propriété de la cycloïde , d'avoir pour développée une seconde cycloïde égale : on peut considérer celle-ci comme la cycloïde même, déplacée, dans le sens de sa base, de toute la Ion-

gueur do la demi-circonférence du cercle générateur, et , dans le sens perpendiculaire à la base, de la longueur du diamètre de ce cercle *.

Dans le quatrième chapitre de YHoroloyium oscillatorium , Huygens résolvait, d'une manière générale et complète, le fameux problème des Cetitres d'oscillation y qui avait été proposé par Mersenne, et fort agité entre Descartes et Roberval. Cest dans cette solution que Ton vit, pour la première fois, Fun des plus beaux principes de la mécanique, connu depuis sous le nom de principe de la conservation des forces vives.

Enfin, le cinquième chapitre, où Huygens donnait une seconde constructions de ses horloges, est suivi des treize célèbres théorèmes sur la force centrifuge dans le mouvement circulaire.

Ce fut l'application de cetle théorie au mouvement de la Terre autour de son axe , et au mouvement de la Lune autour de la Terre, application qui dérivait virtuellement des propositions 2,3 et 5, qui fit découvrir à Newton la loi de la gravitation de la Lune vers la Terre.

Cette même théorie semblait être le complément de celle des développées, pour conduire naturellement à la connaissance des forces centrales dans le mouvement curviligne, qui fut aussi Tune des grandes découvertes de Newton, et qui lui donna la démonstration a priori des fameuses lois de Kepler. Mais ces rapprochements échappèrent à l'esprit d'Huygens, occupé de tant d'autres grandes conceptions.

§ 1 3. Le Traité de la Lumière est l'un des plus beaux monuments du génie d'Huygens, qui sut appliquer, avec une sagacité admirable, la Géométrie à son ingénieuse théorie des ondes. On y remarque surtout la belle loi mathématique, qu'il découvrit dans les phénomènes de la double réfraction du

^ Paf cette disposition, la cycloïde et sa développée forment un pont à deux étages: le pieddroit de rétage supérieur repose sur la clef de Tétage inférieur.

On a coutume de dire que la développée de la cycloïde est une seconde cycloïde égale, posée dans une situation renversée, ou bien posée en sens contraire, {Voyez V Analyse des infiniment petits du marquis de Lliospital, pag. 9^, et V Histoire des Mathématiques de Montucla, tom. II, pag. 72 et 154). Cette manière de s'exprimer est erronée. C'est pour cela que nous avons décrit minutieusement la position de la cycloïde et de sa développée.

spath d'Islande. C'était, je crois, la première apparition, qui s'est reproduite depuis, des surfaces du second degré dans les phénomènes naturels. Cette grande découverte a été complétée par Fresnel, qui, pour expliquer les phénomènes de la polarisation de la lumière, a substitué aux ondes ellipsoïdales d'Huygens une surface du quatrième degré ^ Fresnel, qu'une mort prématurée a enlevé aux sciences physiques et mathématiques, dont il était déjà l'un des plus illustres adeptes, a rendu, par ce grand travail, une nouvelle vie à la théorie d'Huygens, tombée, depuis un siècle, dans un inexpli-

* Fresnel a donné, pour cette surface du quatrième degré, la construction géométrique suivante, qui est extrêmement remarquable et qui conserve aux surfaces du second degré le principal rôle dans toute celte théorie: Que l'on conçoive un ellipsoïde (dont les trois demi-diamètres principaux sont proportionnels aux racines carrées des trois élasticités principales du milieu, ou bien aux vitesses de la lumière suivant les axes de ces élasticités); qu'on mène par le centre de cette surface une transversale quelconque^ et qu'on porte sur cette droite, à partir du centre, des segments égaux aux demi-diamètres de l'ellipse résultant de la section de la surface par le plan diamétral perpendiculaire à la transversale : les extrémités de ces segments seront sur la surface du quatrième degré en question, (Voir le Mémoire de Fresnel, sur la double réfraction, dans le tome VU des Mémoires de l'Académie; le Mémoire de M. Ampère sur la Détermination de la surface courbe des ondes lumineuses dans un milieu dont l'élasticité est différente suivant les trois directions principales, etc., imprimé dans les Annales de chimie et de physique, année i828, et le Traité de la Lumière de Ilerschel, tom. Il, pag. 190, traduction de MM. Verhulst et Quetelet.)

D'après ce théorème, les belles lois de polarisation, découvertes dans ces derniers temps par d'illustres physiciens, et particulièrement celles de M. Biot et du docteur Brewster, donnent immédiatement des propriétés géométriques de Tellipsoïde, et en général des surfaces du second degré.

Ainsi ces phénomènes optiques, qui ont déjà jeté une si vive clarté sur tout ce qui tient à la stractnre intime des corps cristallisés, peuvent apporter les mêmes secours dans Tétude de la Géométrie rationnelle.

On ne peut trouver un plus bel exemple de Tenchainement qui unit toutes les sciences, ni une preuve plus évidente que des secours mutuels leur sont nécessaires pour suivre leur marche progressive, d'un pas sûr et rapide.

Puisse-t-on voir surtout, dans ce rapprochement, que les surfaces du second degré sont destinées à jouer un rôle important dans toutes les déductions des lois les plus générales de la nature* et que l'on ne peut trop se hâter d étudier et d'approfondir les innombrables propriétés Symétriques que présentent ces surfaces , soit dans leur constitution propre, soit dans leurs relations entre elles !

cable oubli ; il Ta replacée au rang qu'elle doit occuper parmi les grandes vérités du monde physique.

C'est ici le lieu de remarquer encore une belle déduction mathématique ^ tirée par Huygens de sa Théorie de la Lumière, mais qui a eu besoin d'être créée de nouveau^ dans ces derniers temps, par M. Quetelet, pour fixer Fattention des géomètres et porter les fruits dont elle était susceptible. Huygens, par l'application de son système ondulatoire, a trouvé que « quand des rayons incidents émanés d'un point fixe , ou parallèles entre eux , se réfractent sur une courbe , si l'on conçoit une circonférence de cercle décrite du point lumineux comme centre, ou bien une droite perpendiculaire à la direction des rayons parallèles, et que de chaque point de la. courbe dirimante, comme centre, on décrive une circonférence dont le rayon soit dans une certaine proportion constante avec la distance de ce point à la circonférence ou à la droite fixe, toutes ces nouvelles circonférences auront une courbe enveloppe, à laquelle les rayons réfractés seront tous normaux. »

Cette courbe est la forme de Vonde réfractée. C'est de là qu'Huygens concluait la loi du rapport constant des sinus d'incidence et de réfraction.

Ainsi, de même que Tschirnhausen a considéré, depuis *, la courbe enveloppe des rayons réfractés , de même Huygens considérait la courbe normale à ces rayons. La première seule a fait impression sur l'esprit des géomètres, et sa considération est devenue la base de leurs travaux en optique. La seconde a passé inaperçue , comme si elle n'avait pas reposé , comme la première, sur une construction purement géométrique, et indépendante du système, alors douteux, qui y avait donné naissance.

* Tschirnhausen a communiqué en 1682, à l'Acadcmic des sciences de Paris, ses premières vues et ses premiers résultats sur la théorie des caustiques. Huygens avait présenté & la même Académie, trois ans auparavant, son Traité de la Lumière. Il était alors en possession depuis longtemps de sa théorie des développées; il n'aurait donc eu à faire qu'un pas facile pour donner son nom aux célèbres caustiques dont Tinvenlion, et les usages en optique, et en Géométrie pour la rectification de certaines courbes, ont fait la gloire de Tschirnhausen.

Et cependant la courbe d^Huygens est généralement beaucoup plus simple que celle de Tschirnbausen y et se prête mieux à Fétude des propriétés optiques des courbes. Il nous suffit de dire y par exemple y que la caustique de Tschirnbausen^ produite par réfraction dans le cercle^ s'est refusée jusqu'à ce jour à toutes les ressources de l'Analyse, qui n'a pu encore en donner l'équation, tandis que la courbe analogue d'Huygens est tout simplement une ovale de Descartes (courbe du quatrième degré), dont quelques considérations de Géométrie, ou quelques lignes d'Analyse, font connaître la nature ou l'équation ^

Néanmoins, les courbes d'Huygens sont restées inaperçues, et c'est seulement depuis dix ans que M. Quetelet, en cherchant à diminuer les difficultés d'Analyse présentées par les questions de réfraction de la lumière, imagina de substituer, dans cette théorie, aux caustiques de Tschirnbausen, des courbes qui en fussent les développantes : il parvint , en suivant cette idée heureuse, et par de pures considérations de Géométrie , à la construction de ces développantes par l'enveloppe d'un cercle mobile; ce sont ces ceurbes, qui répondent, comme on le voit, aux ondes réfractées d'Huygens, que M. Quetelet appela caustiques secondaires; cet habile géomètre en a étendu la doctrine au cas où les rayons incidents sont perpendiculaires à une même courbe, et au cas de l'espace, où les rayons incidents sont normaux à une même surface ^.

Cette extension était comprise aussi dans la théorie d'Huygens. Il en résulte immédiatement cette belle loi de la réfraction de la lumière : « des rayons incidents, qui sont normaux à une même surface, jouissent de la

* Dans la rëfraclion sur une droite, lu différence entre les deux courbes de Tschirnliausen et dQuygens n'est pas moins sensible : la première est une courbe du sixième degré, dont le calcul est assez long, et la seconde est simplement une ellipse ou une hyperbole, ainsi que Ta trouvé, le premier, M. Gergonne. [Annales de Math,, tom. XI, pag. 229.)

Ce savant géomètre avait eu déjà la pensée qu'il se pourrait bien que les caustiques eussent pour développantes des courbes beaucoup plus simples qu'elles. (Annal, de Math., tom. V, W 289.)

* Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles, tom. III, IV et V.

même propriété après une réfraction sur une autre surface quelconque; et conséquemmcnt se divisent, après cette réfraction, en deux groupes , qui forment deux séries de développables se croisant à angle droit.» Malus, le premier, avait démontré ce théorème, pour le cas d'un faisceau de rayons émanés d'un même point, ou parallèles entre eux; mais il avait cru, diaprés le résultat de calculs trop compliqués , que la proposition ne pouvait être étendue à un système de rayons normaux à une même surface ^ M. Dupio, par de pures considérations de Géométrie, donna au théorème de Malus toute la généralité qu'il devait comporter ^.

On voit, par les considérations précédentes, quelles ouvertures utiles et fécondes le Traité de la Lumière d'Huygens présentait aux géomètres qui auraient eu conflance plus tôt dans les vues de ce grand génie. Exemple remarquable de la lenteur avec laquelle avancent et se perfectionnent nos connaissances positives, et leçon sévère pour Torgueil de l'esprit humain!

Cette digression est étrangère aux progrès propres des méthodes géométriques; mais du moins elle roule sur l'une de leurs plus belles applications aux sciences physiques , et peut-être pourra-t-elle porter quelques-uns de nos jeunes lecteurs à ce genre de recherches géométriques, qui est encore neuf et qui promet d'abondants résultats ^.

§ 14. La sagacité admirable qu'Huygens a montrée dans toutes les

* Mémoire syr ropliqve, art. 22 et 27, dans le 14* Cahier du Journal de V École polytechnique.

* Applications de Géométrie et de Mécanique: Mémoire sur (es routes de la lumière^ p. 192. ^ M. Hainilton^ directeur de TObservatoire de Dublin, en continuant les beaux travaux de

Fresncl, est parvenu a soumettre tons les phénomènes si compliqués et si délicats de la lumière à un calcul analytique nouveau, qui parait devoir conduire aux lois mathématiques qui dominent toute cette vaste et importante théorie.

Nous avons appris do M. Quctelel, avec un extrême plaisir, qu'un autre savant géomètre, M. Mac CuUagh, poursuit les mêmes recherches que M. Hamilton, mais par de pures considérations géométriques.

Puissent les travaux de M. Mac Gullagh réhabiliter la Géométrie auprès des personnes d'un esprit juste et impartial, et rendre aux méthodes d'Huygens et de Newton Tcstime qu'elles méritent !

grandes questions qu'il a soumises à la Géométrie^ ne Ta point abandonné dans ses recherches sur la mécanique^ telle que la fameuse question du choc des corps, qu'il résolut en même temps que Wallis et Wren; et dans ses découvertes astronomiques, qui rendent son nom inséparable de ceux de Kepler, Galilée et Newton.

Quoique la méthode des Anciens ait été presque toujours son seul instrument de raisonnement et de recherche, il connaissait toutes les ressources, uon-seulement de la Géométrie de Descartes, mais aussi du nouveau calcul de Leibniz, qu'il avait étudié dès que cette sublime découverte avait paru, et dont il avait su apprécier tous les avantages K

§ 15. Nous devons citer, parmi les contemporains de Wallis et d'Huy- barrow, gens qui ont le plus contribué à Favancement de la Géométrie, Barrow, le professeur de Newton à l'Université de Cambridge. Ce géomètre publia en 1669 ses Lectiones Geometricœ, ouvrage rempli de recherches profondes sur les propriétés des courbes, et particulièrement sur leurs dimensions. On y remarqua surtout, dans la dixième leçon, sa Méthode des Tangentes, méthode peu différente , il est vrai, de celle de Fermât, mais qui cependant, par la considération du petit triangle diiïérentiel et l'introduction , dans le calcul, de deux quantités infiniment petites au lieu d'une seule, était un pas de plus vers la doctrine et l'algorithme de Leibniz.

On doit à Barrow, que ses connaissances dans la langue grecque et dans la langue arabe mettaient en état de rendre ce service aux sciences, des versions latines, estimées, des Eléments et des Données d'Euclide, des quatre premiers livres d'Apollonius, des ouvrages d'Archimède et des Sphériqiies de Théodose. Les démonstrations , dans tous ces ouvrages, se trouvent pour la plupart refaites et extrêmement simplifiées.

' L'Universilë de Leyde possède de riches manuscrits qui lui ont été lègues par lluygcns, où se trouve, outre les productions de ce grand homme, une collection de lettres qu'il recevait de tous les savants. Messieurs les curateurs de cette Université ont pense, il y a quelques années, à faire imprimer une partie de ce précieux dépôt. Un projet aussi louable ne peut recevoir trop tôt son exécution.

no HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

On a recueilli en 1684, sous le titre de Lectiones niatheynaticœ, les leçons faites par Barrow à TUniversité de Cambridge, sur la philosophie des mathématiques, dans les années 1664, 1665 et 1666; plus quatre leçons, d'une date incertaine, qui ont pour objet d'indiquer la méthode par laquelle Ârchiméde a découvert ses plus beaux théorèmes, et de montrer combien peu elle diiïère de l'Analyse moderne ^ On ne pouvait atteindre ce but avec plus de précision et de clarté que ne Ta fait Barrow; mais Ton regrette que ses autres leçons mathématiques soient hérissées de citations grecques qui en rendent la lecture difficile.

Enfin, Barrow, dans ses Lectiones opticce, a appliqué avec habileté la Géométrie à un grand nombre de questions concernant la réflexion et la réfraction sur des surfaces courbes. Il a construit les points où se réunissent les rayons infiniment voisins; mais, malgré son goût et son habitude des spéculations géométriques, il n'a pas songé à considérer la courbe qui naît de la succession de ces points ou de Tenveioppe de ces rayons; comme Huygens, qui a touché de près aussi à la découverte de cette courbe , il en a laissé rhonneur à Tschirnhausen.

§ 16. C'est ici le lieu précisément de parler du géomètre que nous venons de nommer.

TscniRMiAL^Ex, Tscluruhausen a reçu une grande célébrité de ses fameuses caustiques.

Cette invention, en effet, est devenue aussitôt la base de plusieurs théories physico-mathématiques. Considérée comme pure spéculation géométrique, elle avait le double avantage d'offrir un second exemple, après les déve^ loppées d'Huygens , de la génération des courbes comme enveloppes d'une droite mobile, et de donner naissance à une infinité de courbes rectifiables.

Ces caustiques, de môme que les développées, étaient en quelque sorte une application pratique de l'idée de De Beauue, d'exprimer la nature des courbes par quelque propriété commune à leurs tangentes.

Mais ce n'est point cette considération abstraite qui a conduit Huygens et

' Quo pluniùs appareat qualem ille sublilissimus vir (ârcuimedes) analysin usurpârit, et quant hodiernœ noslrœ partim dissimilem.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. iH

Tschirnhausen à Tinvcntion des courbes qui portent leur nom; et ce fut Leibniz qui donna suite à Tidée de De Baune^ et la généralisa méme^ en cherchant la courbe enveloppe d'une infinité de lignes^ droites ou courbes ^ déterminées^ liées entre elles par une propriété commune ^

§ 47. Tschirnhausen^ homme de génie et Tun des plus passionnés pour la science qu'il cultivait, a encore eu d'autres titres, après l'invention de ses caustiques, à un rang distingué dans l'histoire de la Géométrie.

Dans un traité intitulé Medicina mentis^ publié en 1686 2,^ dont l'objet principal était d'indiquer les règles qui doivent nous guider dans la recherche de la vérité, Tschirnhausen, partant de cette idée que les êtres mathématiques sont formés par le mouvement rapporté à quelque chose de fixe, proposa une génération nouvelle et universelle des courbes. Il les concevait décrites par un stylet tendant un (il qui , fixé par ses extrémités, glisse sur un ou plusieurs autres points fixes, ou s'enroule sur une ou plusieurs courbes de nature connue. C'était, comme on le voit, une généralisation du mode de description des coniques au moyen de leurs foyers, généralisation que Descartes avait déjà eu l'idée de transporter à la description de ses ovales ^.

Tschirnhausen divisa les courbes en plusieurs genres, suivant qu'il y avait plus ou moins de foyers, et suivant la nature des courbes fixes. Il apprit à mener les tangentes aux courbes ainsi décrites : c'est là l'origine du problème de la tangente à une courbe exprimée par une équation dont les variables sont les distances d'un point quelconque de la courbe à plusieurs points fixes.

' Aeta Erud. Lips., ann. 1692 et 4694, et OEuvres de Leibnitz, tom. lU, p. 264 et 296.

* Medicina mentis, sive tentamen genuinœ logicœ, in quâ disseritur de methodo detegendi incognitos veritaiesAn-i'', Amst.

On trouve, dans le tome III de la Bibliothèque universelle et historique (ann. 1686), une analyse irèsHlëtaillée de ce remarquable ouvrage de Tschirnhausen.

' Géométrie de Descartes, liv. 2'. Ces courbes, imaginées par Descartes, ont joué un grand rôle, surtout dans sa Dioptrique.Nous n'en parlerons que dans notre quatrième Epoque, ou nous les trouverons reproduites dans le i" livre des Principes de Newton.

§ 4 8. Ce problème a eu quelque célébrité , et a été résolu de différentes manières originales par les premiers mathématiciens de Fépoque : d'abord par Fatio dé Duiller, qui releva une erreur échappée à Tschirnhausen, et dont la solution, basée sur de simples considérations de Géométrie, nous paraît offrir l'un des beaux exemples, aujourd'hui très-rares, de la méthode des Anciens dans la construction des tangentes ^ ; puis par le marquis de Lhospital qui, par la considération des infiniment petits^ et sans calcul, en donna une construction élégante et de la plus grande généralité ^; et dans le même temps par Leibniz, dont la solution k qui a cet avantage que l'esprit y fait tout sans calcul et sans diagramme , n repose sur un beau théorème de mécanique qu'il imagina à cet effet ^ Quelques années après, Herman compléta en quelque sorte cette théorie, en donnant une construction très-simple du rayon de courbure des mêmes courbes de Tschirnhausen, calculé directement et par la pure Géométrie, sans se servir des coordonnées auxiliaires de Descartes ^.

M. Poinsot a étendu aux surfaces ce mode de génération des courbes et

* Réflexions de M. Fatio de Duiller sur une méthode de trouver les tangentes de certaines lignes courbes, Bibliothèque universelle et historique, lom. V, année 1688.

Tschirnhausen a répondu k ces réflexions de Fatio, el reconnu son erreur, dans le tome X du même recueil , même année.

^ Analyse des infiniment petits, section 2% proposition 10.

^ Leihniz considère la question sous cet énoncé : « Mener la tangente d'une ligne courbe qui se décrit par des filets tendus. > Sa construction est fondée sur une règle générale de la compta sition des mouvements, qu'on peut énoncer ainsi, en substituant à Tidée de mouvement celle de force, comme a fait Lagrange en reproduisant , dans sa Mécanique analytique, la condition d équilibre qui résulte du principe de Leibniz. cSi tant de forces qu'on voudra, qui sollicitent un point, sont représentées en grandeur et en direction par des droites, leur résultante passera par le centre de gravité des points extrêmes de ces droites, et sera égale en grandeur à la distance de ce point au point sollicité, multipliée par le nombre des forces. » {Journal des Savans, sept. 1095, et OEuvres deLeibnitz, tom. III, pag. 285.)

Ce théorème peut être étendu au cas où les forces sont appliquées à des points différents d*un corps solide libre dans Tespace. (Correspondance mathématique de Bruxelles, tom. V, pag. lOG.)

^ Methodus inveniendi radios osculi in curvis ex focis descriptis. Acta Erudit., ann. 1702; pag. 501.

la construction de leurs normales^ et s'en est servi utilement dans un fort beau Mémoire sur la mécanique ^

§ 19. Revenons à Tschirnhausen. En 1701, ce géomètre annonça, à TÂcadémie des sciences, une nouvelle méthode générale, propre à suppléer le calcul infinitésimal dans plusieurs questions de haute Géométrie, telles que la construction des tangentes et des rayons de courbure ^. Mais sa solution, qui reposait sur TAnalyse de Descartes, n'était qu'une imitation des deux méthodes que ce grand géomètre avait données du problème des tangentes, et qui consistaient à supposer que deux points d'une courbe, distants d'abord l'un de l'autre d'une quantité finie, venaient à se confondre.

Le titre suivant : Essai d'une méthode pour trouver les touchantes des courbes mécaniques, sans supposer aucune grandeur indéfiniment petite ', sous lequel Tschirnhausen présenta l'une de ses découvertes, fit grande sensation alors; et il devait en effet piquer vivement la curiosité des géomètres et assurer à son auteur, déjà célèbre , une gloire immortelle , si sa promesse était pleinement remplie. Mais cette méthode, loin de convenir à toute courbe mécanique proposée, ne s'appliquait qu'à un genre de courbes ayant pour abscisses des arcs d'une courbe géométrique, à laquelle on savait mener les tangentes, et pour ordonnées des parallèles à une droite fixe : le calcul employé par Tschirnhausen était le même que pour le cas ordinaire où les abscisses étaient comptées sur une droite, au lieu d'être comptées sur un arc de courbe. Mais cette méthode a toujours le mérite d'être une extension de celles de Descartes qui, pour maintenir l'universalité et la suffisance de sa Géométrie, en a exclu, comme Ton sait, les courbes mécanique, désignant par ce mot celles qui ne pouvaient pas se déterminer par une mesure exacte et connue. Dès 1682,

' Théorie générale de l*équilibre et du mouvement des systèmes ; \ 3*"* Cah. du Joitrn, de l'Ecole polytechnique. Ce Mémoire vient d'être reproduit dans la G* édition de la Statique de M. Polnsot.

' Histoire et Mémoires de l* Académie des sciences, ann. 1 70i. > Mémoires de l'Académie des sciences, ann. 1702.

Tschirnhauscn avait exposé sa méthode des tangentes aux courbes géométriques ^ dans les Actes de Leipzig ^ sous le titre : Nova methodus tangentes curvarum expedite determinandi , et avait annoncé qu^ii rappliquerait plus tard aux courbes mécaniques.

Réaesions wr les mé- 8 20. Lc but coustaut dc Tschirnhausen, dans ses diverses spéculations

tbodes en Géométrie. ^ '

géométriques^ était de rendre la Géométrie plus aisée ^ persuadé que les véritables méthodes sont faciles ; que les plus ingénieuses ne sont point les vraies^ dés qu'elles sont trop composées^ et que la nature doit fournir quelque chose de plus simple.

Nous rapportons à dessein cette pensée de Tschirnhausen^ persuadé que toutes les vérités géométriques sont de même nature; qu'elles doivent être toutes également susceptibles de démonstrations faciles^ et très -souvent intuitives. Et en effets combien nVt-on pas d'exemples que celles qui avaient semblé d'abord présenter les plus grandes difficultés^ et se refuser même à toutes les ressources des méthodes connues ^ sont devenues ensuite les plus simples et les plus évidentes ? C'est qu'elles dépendaient de théories non encore formées ou assez étendues y ou ne reposant point sur leurs véritables bases.

C'est en cela^ soit dit en passant^ que nous parait consister le principal avantage de l'Analyse moderne sur la Géométrie. La première de ces deux méthodes a le merveilleux privilège de négliger les propositions intermédiaires dont la seconde a toujours besoin^ et qu'il faut créer quand la question est nouvelle. Mais cet avantage^ si beau et si précieux^ de l'Analyse^ a son côté faible^ comme toutes les conceptions humaines : c'est que cette marche pénétrante et rapide n'éclaire pas toujours suffisamment l'esprit; elle laisse ignorer les vérités intermédiaires qui rattachent le point de départ avec la vérité trouvée, et qui doivent former, avec lun et l'autre, ud ensemble complet et une véritable théorie. Car est-ce assez, dans l'étude philosophique et approfondie d'une science, de savoir qu'une chose est vraie, si l'on ignore comment et pourquoi elle l'est, et quelle place elle occupe dans l'ordre des vérités auquel elle appartient ?

Il faut^ ce me semble^ dans Fétat actuel de la Géométrie^ pour atteindre le but de Tschirnhausen ^ le perfectionnement indéfîni de cette science^ toujours observer^ dans les spéculations auxquelles on appliquera son esprit^ les deux règles suivantes :

l"" Généraliser de plus en plus les propositions particulières^ pour arriver de proche en proche à ce qu'il y a de plus général; ce qui sera toujours^ en même temps^ le plus simple^ le plus naturel et le plus facile ;

2"^ Ne point se contenter^ dans la démonstration d'un théorème ou la solution dun problème^ d'un premier résultat^ qui suffirait s'il s'agissait d'une recherche particulière^ indépendante du système général d'une partie de la science; mais ne se satisfaire d'une démonstration ou d'une solution, que quand leur simplicité^ ou leur déduction intuitive de quelque théorie connue^ prouvera qu'on a rattaché la question à la véritable doctrine dont elle dépend naturellement.

Pour indiquer un moyen de reconnaître si la pratique de ces deux règles a conduit au but désiré , c'est-à-dire si l'on a rencontré les vraies roules de la vérité définitive, et pénétré jusqu'à son origine, nous croyons pouvoir dire que, dans chaque théorie, il doit toujours exister, et que l'on doit reconnaître, quelque vérité principale dont toutes les autres se déduisent aisément, comme simples transformations ou corollaires naturels; et que cette condition accomplie sera seule le cachet de la véritable perfection de la science. Nous ajouterons^ avec l'un des géomètres modernes qui ont le plus médité sur la philosophie des mathématiques, « qu'on ne peut se flatter d'avoir le dernier mot d'une théorie , tant qu'on ne peut pas l'expliquer en peu de paroles à un passant dans la rue ^ » Et en effet, les vérités grandes et primitives, dont toutes les autres dérivent, et qui sont les vraies bases de la science, ont toujours pour attribut caractéristique la simplicité et l'intuition ^.

' 0|)inion de M. Gergonnc, qui en faisait Tapplication à la nouvelle théorie des caustiques de M. Qoetelet. Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles, tom. IV, pag. 88. * Cette opinion, admise dans les sciences positives, est un résultat d'expérience, auquel con-

Dirision de u Gcorac- § 24. Od auFR remaroué , dans celte analyse succincte des progrès protrie en trois branches. • js »

digieux que la Géométrie a faits dans rintervalle dune trentaine d années^

que ces progrès furent dus principalement à deux grandes conceptions : celle

des indivisibles de Cavalieri, et celle de X Analyse appliquée aux lignes

courbes, de Descartes.

La première s^adaptait aux formes et aux procédés accoutumés de la Géométrie ancienne; et Ton regarda, comme appartenant à la Géométrie pure des Anciens, les découvertes auxquelles conduisit cette méthode de Cavalieri.

La deuxième, véritable instrument analytique, faisait de la Géométrie une science toute nouvelle, qui exciterait Tétonnement et Tadmiration d'Archimède et d'Apollonius, qui n'en ont laissé aucun germe : on Ta appelée Géométrie mixte, Géométrie analytique y ou Géométrie de Descartes.

Mais, tandis qu'une sorte de division s'établissait ainsi dans les méthodes de la Géométrie, un troisième mode de procéder, une troisième espèce de Géométrie, pour ainsi dire, prenait naissance. C'est celle que nous avons déjà dit avoir été employée par Pascal et Desargues, et dont les premiers germes se trouvaient dans les Porismes d'Euclide, et nous ont été conservés par Pappus dans ses Collections mathématiques.

Ainsi donc nous voyons la Géométrie divisée en trois branches :

La première comprend la Géométrie des Anciens , aidée de la doctrine des indivisibles et de celle des mouvements composés;

La deuxième est l'analyse de Descartes, accrue des procédés de Fermât, dans sa méthode demaximis et minimis, pour calculer l'infîni;

duit la culture de chacune d'elles. Mais on peut aussi la justifiera priori. Car les principes les plus généraux, c*est-à-dire qui s'ëtendcnt sur le plus grand nombre de faits particuliers, doivent être dégagés des diverses circonstances qui semblaient donner un caractère distinctif et différent à chacun de ces faits particuliers, considéré isolément, avant qu'on eût découvert leur lien et leur origine commune : s'ils étaient compliqués de toutes ces circonstances ou propriétés particulières, ils en porteraient Tempreinte dans tous leurs corollaires, et ne donneraient lieu, généralement, qu*à des vérités excessivement embarrassées et compliquées elles-mêmes. Ces principes les plus généraux sont donc nécessairement, par leur nature, les plus simples.

La troisième enfin est cette Géométrie pure ^ qui se distingue essentiellement par son abstraction et sa généralité; dont Pascal et Desargues ont donné les premiers exemples dans leurs traités des coniques^ et dont nous verrons que Monge et Carnot^ au commencement de ce siècle^ ont assis les fondements sur des principes larges et féconds.

Cette troisième branche de la Géométrie^ qui constitue aujourd'hui ce que nous appelons la Géométrie récente, est exempte de calculs algébriques^ quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations métriques des figures que de leur relations de situation^ ou descriptives; mais elle ne considère que des rapports de distances rectilignes d'un certain genre ^ qui n'exigent ni les symboles ni les opérations de l'Algèbre.

Cette Géométrie est la continuation de Y Analyse géométrique des Anciens, dentelle ne diffère point quant au but et à la nature de ses spéculations; mais sur laquelle elle ofTre d'immenses avantages, par la généralité, l'uniformité et l'abstraction de ses conceptions et de ses méthodes , remplaçant les propositions particulières, incomplètes et sans liaison, qui formaient toute la science et l'unique ressource des Anciens, et surtout par l'usage, si utile, de la contemplation des figures à trois dimensions dans les simples questions de Géométrie plane.

Cest dans cette Géométrie générale que rentrent les théories et leurs applications, auxquelles on a donné, dans ces derniers temps, les dénominations de Géométrie de la règle et de Géométrie de situation, suivant qu'on y fait usage d'intersections de lignes droites seulement, ou d'intersections de courbes ou de surfaces, dans l'espace, pour découvrir les propriétés descriptives des figures.

Des trois branches, bien distinctes, que nous venons de reconnaitre dans la Géométrie, la deuxième, qui est l'Analyse de Descartes, offrit un tel attrait et de si prodigieux avantages, qu'elle fut cultivée, avec une prédilection marquée, par les grands géomètres que nous avons nommés dans le cours de cette troisième Époque.

Il est vrai que cette Géométrie de Descartes, loin d'offrir un ordre de

spéculations particulières^ n'était autre qu'un instrument universel^ propre à toutes les conceptions géométriques anciennes et modernes.

§ 22. Quelques mathématiciens cependant furent encore fidèles à la méthode des Anciens. Parmi eux on distingue surtout La Hire. LA BiRE, Ce géomètre^ quoique familiarisé avec TAnalyse de Descartes^ enrichit la

Géométrie pure de plusieurs ouvrages écrits dans le style des Anciens^ et qui eurent beaucoup de succès.

Il fut aussi le digne continuateur des doctrines de Desargues et de Pascal^ et introduisit dans la Géométrie^ principalement par une nouvelle façon d'engendrer les coniques sur le plan, plusieurs innovations qui se rapportent aux méthodes récentes. C'est donc à un double titre que nous avons à citer ici ce célèbre mathématicien.

Ses principaux ouvrages, écrits dans le style de la Géométrie ancienne^ sont :1e grand traité des sections coniques, intitulé : Sectioms conicœ in novem libros distributœ (in-fol., Paris 1685); son Mémoire sur les épicydoïdes y contenant leurs dimensions, leurs développées et leur usage en mécanique pour la construction des roues dentées ^ ; un second mémoire sur le même sujet, généralisé et appliqué à toutes sortes de courbes, sous le titre : Traité des Roulettes ^ où l'on démontre la manière universelle de trouver leurs touchantes, leurs points d'inflexion et de rebroussement , leurs superficies et leurs longueurs, par la Géométrie ordinaire '^; et un Mémoire sur les eo/icAoî(/e«v en général , contenant leurs tangentes, leurs dimensions, leurs longueurs, leurs points d'inflexion (publié dans les Mémoires de F Académie des sciences, année 1708).

* Ce mémoire a paru en 4694, parmi d'autres mémoires de mathématiques et de physique de La Hire. Il a été imprimé de nouveau dans le tome IX des anciens Mémoires de V Académie des sciences.

La Hire y dit qu'il y a vingt ans qu'il avait découvert les épicycloîdes et leur usage en mécanique. Depuis, Leibniz a revendiqué Thonneur de cette double invention pour le célèbre astronome Roemcr, qui l'aurait imaginée en 1G74, pendant son séjour & Paris. Mais, comme nous l'avons déjà dit, il parait, d'après La Hire lui-même, que la partie mécanique, au moins, de cette invention remonte à Desargues.

^ Imprimé en 4704 dans les Mémoires de C Académie des sciences.

Nous devons ajouter à cette liste le Traité de Gnomonique, qui parut en 4682, et qui était un ouvrage vraiment nouveau^ où La Hire résolvait toutes les questions graphiquement^ sans trigonométrie, même reetiligne, et en n'employant que le compas, la règle et le fil à plomb.

§ 23. Le traité des sections coniques eut une grande réputation dans toute l'Europe savante , et fit regarder La Hire comme un auteur original sur cette matière. Sa méthode en effet, quoique purement synthétique comme celle des Anciens, en différait essentiellement. Les Anciens avaient considéré les sections coniques dans le cône, mais seulement pour en concevoir la génération et en démontrer quelques propriétés principales (dont la plus considérable était le rapport constant du carré de l'ordonnée au produit des segments faits sur l'axe) ^, et faire servir ensuite ces propriétés primitives à la recherche et à la démonstration de toutes les autres ; de sorte qu'ils formaient leur théorie des coniques sans connaître la nature ni aucune propriété du cône, et indépendamment de celles du cercle qui lui sert de base : Apollonius démontre souvent les propriétés du cercle de la même manière et en même temps que celles

' Si Ton demande la raison de la fécondité de celte propriété des coniques, on dira, en Géométrie analytique, que c*cst parce qu'elle est V équation même delà courbe, et que dès lors il n*est point étonnant que cette propriété se prête à toutes les transformations que Ton ferait subir à cette équation. Mais, en Géométrie pure, il faut remonter à une raison plus directe, prise de la nature seule de la cbose, et non empruntée d'un système de coordonnées auxiliaire et artificiel ; et l'on reconnaît alors que cette raison est que la relation en question exprime une propriété de six points pris sur une conique. Mais ces six points n'ont pas entre eux toute la généralité de position possible : quatre de ces points sont deux à deux sur deux droites parallèles.

Malgré cette condition restreinte, la relation dont il s'agit suffit pour construire une conique par points, quand on en connaît cinq, donnés arbitrairement. On conçoit donc qu'elle doit suffire aussi pour conduire à toutes les propriétés des coniques. Mais il faudra souvent suivre une voie moins directe , qui nécessitera quelques détours de plus que si l'on connaissait tioe relation générale de six points quelconques d'une conique. Cette observation explique pourquoi les beaux théorèmes de Desargues et de Pascal, qui expriment cette relation tout à fait féoëralede six points d'une conique, ont apporté dans cette théorie une facilité inconnue aux Anciens.

de Tellipse. La Hire conçut une marche plus rationnelle et plus méthodique^ et conséquemment plus courte et plus lumineuse. II commença par établir les propriétés du cercle, qui devaient se représenter dans les coniques, particulièrement celles qui tiennent à la division harmonique; et ensuite, il en fit usage pour découvrir et démontrer, dans les sections du cône, les propriétés analogues. Et cette méthode eut cela de remarquable alors, qu'elle ne faisait point usage du triangle par Taxe, et qu'elle s'appliquait indistinctement à toutes les sections du cône.

Cette manière de procéder était, comme on le voit, dans Tesprit de celle de Desargues et de Pascal, qui, par la perspective, transportaient aux coniques les propriétés du cercle. La Hire a pu aussi emprunter, du Brouillon projet des Coniques de Desargues, l'usage heureux que l'auteur y faisait de la proportion harmonique et de quelques relations d'involution. C'est sous ces deux rapports que nous regardons ce géomètre comme le continuateur des doctrines de Desargues et de Pascal.

§ 24. Nous devons 'dire que la nouvelle méthode, qui fait dériver les propriétés des coniques de celles du cercle, et de la considération du solide dans lequel ces courbes prennent naissance, avait déjà été pratiquée par deux géomètres du siècle précédent. D'abord par Verner, de Nuremberg, qui avait démontré ainsi plusieurs propriétés élémentaires des sections coniques * ; et ensuite, avec plus d'étendue et d'une manière plus savante, par le célèbre Maurolicus de Messine, qui, après avoir traduit plusieurs écrits des Anciens, mit au jour, entre autres nombreux ouvrages de luimême, un Traité des Coniques, où il suivit cette marche nouvelle, attribuant à celle qu'avaient suivie les Anciens la prolixité de leurs démonstrations 2.

* J. Verneri Libellus super vigintiduobua elemeniis conicis, etc.; in-i*". 4522.

^ Quoniam Apollonius omniaferè conicorum demonstrata conatus est in planum redigere, antiquioribus insignior; neglectâ conorum descriptione, et aliundè quœrens argumenta, eogitur persœpe obscurius et indirecte demonstrare id , quod cofttemplando solidœ flgurœ sectionem, apertius et brevius demonstratur. (D. Fbàncisci Mauholici Opuscula natuenatica. In-4''; VeneUis» 1575; p. 280.)

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 12i

Il est juste de citer encore à ce sujet Guarini^ contemporain de La Hire, qui avait aussi donné, en 1671, un Traité des Coniques, où il faisait un usage fréquent de la considération du cône, pour démontrer leurs propriétés. On y remarque surtout une démonstration extrêmement simple, et qui s'applique aux trois sections coniques en même temps, de la propriété du rapport constant des produits des segments faits sur des cordes parallèles, qui avait toujours exigé la connaissance de plusieurs propositions préliminaires. Cette méthode était un progrès dans la , théorie des coniques; mais Guarini, très-savant du reste dans toutes les parties de la Géométrie, ne Ta pas suivie systématiquement et avec le talent de La Hire. (Voir, au sujet de Maurolicus et de Guarini, la Note XVIL)

§ 25. Nous dirons, en passant, qu'outre la méthode des Anciens et celle qu'adopta La Hire, nous en concevons une troisième qui n'a point été employée, et qui eut été propre pourtant, si nous ne nous abusons, à simplifier beaucoup les démonstrations, et à mettre dans tout leur jour les principes et la véritable origine des diverses propriétés des coniques : sous ce rapport, on ne peut se dissimuler que la méthode des Anciens n'offrait qu'obscurité.

Cette méthode eut consisté à étudier les propriétés du cône lui-même, et à les formuler, indépendamment et abstraction faite de celles des coniques; et celles-ci se seraient déduites des premières avec une facilité et une généralité ravissantes. On le concevra sans peine, car partout où les Anciens employaient trois démonstrations différentes pour établir la même propriété dans les trois sections coniques : ellipse, hyperbole et parabole, fmrce qu'ils s'appuyaient sur les caractères particuliers à chacune de ces courbes, un seul raisonnement suffît pour démontrer, dans le cône même, la propriété analogue, d'où celles des trois coniques doivent se déduire comme de leur vraie et commune origine.

De celte manière, on eût vu plusieurs propriétés des coniques prendre naissance dans le cône, telle que celle des foyers, qu'il semble qu'Apol-

lonius ait devinée^ et que ni ce géomètre, ni aucun de ceux qui Font suivi, n'ont rattachée aux propriétés du cercle, ou à celles du cône; de sorte que Torigine première de ces points singuliers, celle qui ne participe que de la nature du cône où la courbe prend naissance , est restée ignorée.

Un autre avantage de la méthode que nous indiquons eût été de former, en même temps que la théorie des coniques, celle des cônes à base circulaire, dont très-peu de propriétés étaient connues jusqu'à ces derniers temps. Cela n'eût présenté aucune difficulté; et nous croyons pouvoir jbu indiquer comme preuve l'essai que nous avons fait de cette méthode dans un Mémoire où, en n'admettant que les seules propriétés du cercle, dont la plupart sont évidentes, nous sommes parvenu à un très-grand nombre de propriétés nouvelles des cônes du second degré, dont quelques-unes sont analogues et conduisent à celles des foyers des coniques; ce qui montre comment Texistence de ces points et leurs propriétés se rattachent à celles du cône ^

On penserait, à la lecture des premiers mots du Traité des Sections coniques de Wallis, que la méthode que nous venons de proposer fut celle que suivit ce grand géomètre; car il annonce qu'ayant reconnu que la théorie des coniques est difficile, il va d'abord, dans le but de la simplifier, étudier la nature du cône mieux que ne l'ont fait les Anciens, pour en déduire, comme de leur vraie source, les propriétés de ces courbes. Mais Wallis se hâte d'ajouter qu'il se bornera aux principales de ces propriétés, à celles qui peuvent conduire à la découverte de toutes les autres. Et en effet, après avoir démontré celle qui lui sert à exprimer les coniques par une équation entre deux coordonnées, à la manière de Descartes, il suit une autre marche et donne un traité analytique de ces courbes.

§ 26. Revenons au Traité de La Hire. Cet ouvrage est divisé en neuf livres. Le premier, qui est le fondement de tout le reste, traite successive-

* Mémoire de Géométrie pure sur les propriétés générales des cônes du second degré. In -4*;

ment des propriétés de la division harmonique d'une ligne droite ; de celles des faisceaux harmoniques; et enfin des lignes divisées harmoniquement dans le cercle. Il s'y trouve aussi quelques cas particuliers de la relation d'involution de six points^ quoique cette relation ne s'y trouve pas dans toute sa généralité. Ce livre est une introduction d'où se déduisent^ dans la suite, des démonstrations faciles et générales de théorèmes qui avaient coûté, aux Anciens, de longs et pénibles développements. C'est en cela que consistent la nouveauté et le mérite de la méthode de La Hire. ^ A exception du problème ad très et quatuor lineas, et des beaux théorèmes généraux qui faisaient la base des ouvrages de Desargues et de Pascal, toutes les autres propriétés connues des coniques se trouvaient réunies, pour la première fois, dans le traité de La Hire, et démontrées synthétiquement, d'une manière uniforme et élégante. Plusieurs étaient dues à ce géomètre. Parmi celles-ci, nous citerons d'abord la théorie des pôles, qui consiste dans les trois théorèmes suivants :

1* « Si, autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale qui » rencontre une conique en deux points, les tangentes en ces points se » croiseront toujours sur une même droite. » (Propositions 27 et 28 du » livre 4^, et 24 et 27 du livre 2.)

Et réciproquement : « Si, de chaque point d'une droite, on mène deux ^ tangentes à une conique, la droite qui joindra les deux points de contact » passera par un point fixe. » (Propositions 26 et 28 du livre 4*% et 23 et 26 du livre 2.)

Ce point a été appelé, dans ces derniers temps, le pôle de la droite : celle-ci est la polaire du point.

2® « Si, par un point fixe, on mène plusieurs transversales qui rencontrent une conique, les droites qui joindront deux à deux les points de i^Qcontre de deux quelconques des transversales se rencontreront sur la polaire du point fixe.» (Propositions 22 et 23 du livre l*'', et 30 du livres.)

3"^ « Enfin : le point où chaque transversale rencontre la polaire du

» point fixe est le conjugué harmonique de ce point fixe^ par rapport aux » deux points où la transversale rencontre la courbe. » (Propositions 21 du livre 1«% et 23 et 26 du livre 2.)

Cette dernière proposition était connue d^Apollonius.

Elle est^ dans le traité de La Hire^ la proposition fondamentale^ dont presque toutes les autres se déduisent. On voit^ par exemple^ dans la proposition 3 du 3® livre ^ comment elle conduit naturellement à la propriété du carré de Fordonnée comparé au rectangle fait sur l'axe.

Ainsi cette proposition joue^ dans le grand traité de La Hire^ Icrinénie rôle que la proposition du lattis rectum dans Apollonius; que le théorème de rinvolulion de six points dans le Brouillon projet des Coniques de Desar-i* gues^ et que Fhexagrammc mystique dans Touvrage de Pascal.

II est aisé de voir quc^ des trois propositions énoncées^ les deux premières sont comprises dans le théorème sur le quadrilatère inscrit aux coniques : nous avons dit que Pascal Pavait probablement déduit de son hexagramme; et la troisième est une conséquence aussi de ce même théorème, au moyen de la 134'°« proposition du 7« livre des Collections mathématiques, que nous avons citée en parlant de Pappus.

Mais Touvrage de Pascal n'ayant jamais été publié, La Hire a le mérite de l'invention de ces belles propositions. Depuis, elles ont été reproduites par Mac-Laurin, dans son Traité des Fluxions, et dans son Traité des Courbes géométriques; par R. Simson, dans son Traité des Sections coniques; par Carnot, dans sa Théorie des Tra^isversales ; et par divers autres géomètres.

La première et sa réciproque ont été démontrées, dans la Géométrie descriptive de Mongc, d'une manière intuitive fort élégante, et ont été étendues^ par cet illustre géomètre, aux surfaces du second degré. C'est de cette époque que datent l'importance et les usages de cette théorie des pôles, renfermée auparavant dans les ouvrages profonds que nous venons de nommer, et presque inconnue aux jeunes géomètres qui n'ont étudié les coniques que dans les traités analytiques.

Parmi d'autres propriétés remarquables des sections coniques^ dues à La Hire^ nous citerons encore le lieu géométrique du sommet d'un angle droit circonscrit à une conique^ lequel est un cercle pour Tellipse et Thyperbole, et une droite pour la parabole (8^ livre, .propositions 26, 27 et 28) ^ : c'est Monge aussi qui a généralisé cette proposition, et fait voir que le point d'intersection de trois plans rectangulaires, tangents k une surface du second degré, se trouve toujours sur une sphère qui devient un plan si la surface est un paraboloïde.

ia Qire a considérablement enrichi la théorie des foyers, et donné une construction élégante et facile, par la ligne droite et le cercle, d'une conique qai doit passer par trois points et dont le foyer est donné. Problème utile en astronomie, et pour lequel le célèbre astronome et géomètre Halley, qui l'avait résolu le premier, avait employé une hyperbole -.

§ 27. Jusqu'à Descartes, il n'y avait eu qu'une manière de concevoir la génération des coniques : c'était dans le solide; c'est-à-dire, dans le cône à base circulaire. Mais la Géométrie de cet illustre novateur fit, comme dans les autres parties des mathématiques, une révolution complète dans la théorie de ces courbes : elle apprit à leur donner naissance sur le plan, et sans qu'il fut besoin d'employer la considération du cône. Il suffisait à Descartes de remarquer que, dans son système de coordonnées, toutes les

' La Rire a aussi donné (dans les Mémoires de V Académie des sciences, année 1704), le lieodes angles égaux, aigus ou obtus, circonscrits à une conique, lequel est une courbe du qun- (n^e degré, qui se réduit au second, et devient une hyperbole, quand la conique proposée est une parabole.

Dans ce même Mémoire, La Hire a traité la même question pour la cycloïde, et est par- Tenu à ce résultat curieux, savoir, que tous les angles égaux, droits, aigus ou obtus, circonscrits iceUe courbe, ont leurs sommets sur une seconde cycloïde raccourcie ou allongée.

Nous avons trouvé que les épicycloïdes du cercle jouissent de la même propriété ; c'est-à-dire que:

Si â une épicycloïde, engendrée par un point d'une circonférence de cercle qui roule sur un t»tre cercle fixe, on circonscrit des angles tous égaux entre eux, leurs sommets seront situés nr une épicycloïde allongée ou raccourcie.

' Metkodus directa et geometrica cujus ope investigantur Aphelia,etc»f Planetarum. Transac- TKNI8 PHILOSOPHIQUES , année 1676, n« 128.

coniques étaient représentées par Téquation générale du second degré. Ce mode d'expression analytique était propre à la recherche et au développement de leurs nombreuses propriétés. Cette méthode fut adoptée d'abord par Wallis, qui, le .premier, donna un traité analytique des sections coniques; et depuis, par la plupart des géomèlres qui écrivirent sur ces courbes. Cependant on continua encore, pendant un siècle, de considérer les coniques dans le cône; et les traités qui parurent dans cet intervalle réunirent les deux méthodes, celle des Anciens et celle de Descartes.

La manière de Desargues et de Pascal, de considérer les coniques, finirait dans celle des Anciens, puisqu'ils formaient ces courbes par la perspective du cercle. Mais leur méthode tirait Tun de ses principaux avantages de l'emploi de la théorie des transversales, dont les Anciens avaient fait usage dans les systèmes de lignes droites seulement , et non dans la théorie du cercle ni des coniques.

Grégoire de St.-Vincent, comme nous l'avons dit, avait imaginé de nombreuses manières de former les coniques l'une par l'autre ; Schooten en avait donné diverses descriptions organiques; De Witt avait fait un pas de plus, en formant ces courbes de différentes manières assez générales, dont il s'était servi avec habileté pour démontrer leurs propriétés principales; mais ses modes de description n'étaient pas les mêmes pour les trois courbes.

La Hire, ayant sous les yeux la manière universelle, mais analytique, de Descartes, et les tentatives de De Witt, chercha aussi un mode de description générale des coniques sur le plan , qui pût servir à démontrer leurs mêmes propriétés que dans le solide.

§ 28. Il exécuta son dessein de deux manières, dans deux ouvrages qui précédèrent son grand Traité de 1685, et commencèrent sa réputation comme géomètre, en 1673 et 1679.

Dans le Traité de 1679 ^, La Hire définit les sections coniques, des courbes

* Nouveaux élétnens des sections coniques. Les lieux géométriques. La construction ou effèction des équations. (In- 12; 4679.)

telles^ que la somme ou la difierenec des dislances de chacun de leurs points à deux points fixes ^ est constante^ ou bien dont chaque point est à égale distance d'un point et d^une droite fixes. De ce seul point de départ^ il conclut un grand nombre de propriétés de ces courbes.

Cette manière de présenter la théorie des coniques a été adoptée par plusieurs géomètres^ qui en ont fait la base de leurs ouvrages^ tels que le marquis de Lhospital^ R. Simson^ Guisnée^ Mauduit^ etc.

La Hire réunit à cet ouvrage deux autres parties différentes sur les lieux géymétriques^ traités par la mélhode de Descartes, et sur leur usage pour la construction des équations.

Cette dernière partie est terminée par la construction, en n'employant que la ligne droite et le cercle, d'un des plus fameux problèmes sur les coniques, qui est de leur mener une normale par un point pris au dehors de la courbe. Ânderson *, Sluze et Huygens Pavaient résolu pour la parabole seulement; ce qui n'offrait pas une grande difficulté, parce que la question, D^ayant dans ce cas que trois solutions, pouvait être résolue par un seul cercle. Mais le cas de l'ellipse et de l'hyperbole, qui admet quatre solutions, était une question très-difficile, qui suffisait pour prouver toute la sagacité de La Hire dans l'Analyse de Descartes.

§ 29. Le Traité de 1673, intitulé : Nouvelle mélhode en Géométrie, pour les sections des superficies coniques et cylindriques, est celui où La Hire se montre vraiment original et novateur, et celui surtout qui nous porte à placer ce géomètre au rang des fondateurs de la Géométrie moderne.

Cet ouvrage se compose de deux parties, dont chacune offre une méthode nouvelle, et a un mérite différent. Le titre que nous venons d'énoncer se rapporte plus particulièrement à la première partie, où l'auteur considère les coniques dans le cône : la seconde, où il les engendre sur le plan, est intitulée Planiconiques.

La première partie peut être regardée comme un essai de la méthode

* A. Andersoni Exercitationum mathematicarum Decas prima y etc. Paris; 1619, in-4*.

que La Hire a suivie^ douze ans après ^ dans son grand Traité; car il y commence par vingt lemmes qui roulent sur la môme matière que le l^ livre de ce Traité, et dont il se sert ensuite pour démontrer, avec une généralité nouvelle alors, et sans se servir du triangle par Taxe, les principales propriétés des coniques. Mais ses démonstrations sont loin d^ofirir le même degré d^élégance et de simplicité que celles du Traité de 1685.

Dans ses Plankoniques, La Hire imagina une description générale des coniques sur le plan, au moyen du cercle, comme dans Fespace, et sans connaître aucune propriété de ces courbes; puis il fit voir que les courtes ainsi engendrées sont eiïeclivement les mêmes que celles que Ton peut tracer, dans Fespace, sur le cône. Ce que cette méthode a surtout de beau, c'est que les mêmes lemmes qui ont servi à transporter aux sections du cône les propriétés du cercle , servent pareillement pour 1^ appliquer aux Planiconiques, et les démonstrations restent les mêmes que dans la première partie.

§ 30. Ce premier ouvrage de La Hire étant extrêmement rare, et les auteurs qui en ont parlé dans le temps n'en ayant point fait connaître l'esprit ^y on nous pardonnera d'entrer ici dans quelques développements pour dire ce qu'était cette merveilleuse théorie des Plankoniques, restée si longtemps ensevelie et ignorée, et qui offrait la première méthode suffisamment générale pour la transformation des figures en d'autres figures du même genre.

Concevons dans un plan deux droites parallèles entre elles, que l'auteur appelle l'une formatrice, l'autre directrke , et un point appelé pôle. Par

• Les Transactions philosophiques y année 1676, n** 129, rendent un compte favorable de l'ouvrage de La Hire, mais ne parlent pas de la partie des Planiconiques,

Le Journal des Savans, année 1674 (i7 décembre), après avoir donné l'analyse de la première partie de Touvrage, dit ces seuls mois des planiconiques, qui devaient suflire pour les préserver de l'oubli : < L'auteur a ajouté à sa nouvelle méthode un traité des planiconiques, qiiî » est très-beau et très-commode, puisque, par Ih, il n'est plus besoin d'imaginer aucun solide, » ni plan, que celui sur lequel est la figure. »

Wolf, dans son Commentaire des principaux écrits des géomètres, cite les autres ouvrages de La Hire et omet celui dont il est ici question. Montucla n'en dit mot non plus. Cependant Cornélius h fieughem en avait fait mention dans sa Bibliographica mathemalica, et Murrbard, depuis, l'a inscrit aussi dans sa Bibliotheca mathematica.

chaque point M d'une courbe donnée dans le plan^ on mène^ sous une direction arbitraire^ une transversale; elle rencontre la directrice en un point qu'on joint au pôle par une droite^ et la formatrice en un second point, par lequel on tire une parallèle à cette droite. Cette parallèle rencontre la droite qui va du point M au pôle y en un point M '^ qui est dit formé par le point M.

Chaque point de la courbe proposée forme ainsi le point correspondant d^uoe seconde courbe.

Les points d'une ligne droite forment des points appartenant à une seconde ligne droite, et ces deux droites se coupent sur la formatrice.

Enfln, les points d'un cercle forment les points d'une section conique.

Pour démontrer cette proposition sans supposer aucune propriété des coniques , Lia Hire imagine uri cône à base circulaire , dans lequel est faite une section plane; il abat le plan du cercle sur celui de la section, en le faisant tourner autour de la droite d'intersection de ces deux plans; puis, prenant cette droite pour formatrice, une seconde droite (qui, dans la position primitive du plan du cercle , était son intersection par un plan mené par le sommet du cône , parallèlement à celui de la section) pour directrice , et pour pôle un certain point qu'il détermine convenablement : il prouve, par des comparaisons de triangles semblables, que la section peut élre formée par le cercle ^

Telle est la méthode par laquelle La Hire effectuait sur le plan , sans avoir besoin d'aucun solide, ni d'autre plan que celui de la figure, les sections d'un cône. C'est ce qu'il appelait réduire le cône et ses sections en plan, f appliquai à ces sections planes, dit-il dans la préface de son Traité de 1679, les mêmes démonstrations que f avais faites pour les solides, et je pà dire que cet ouvrage eut assez de bonheur pour mériter* l'approbation des jdus savans géomètres.

L'éclat que jeta cette première production de La Hire fut de peu de

* Celle démonstrRtîon est assez diflicile ; le principe de perspective, que nous avons déduit du théorème de Desargues, en offre une qui est naturelle et d^une extrême simplicité.

iSO HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

durée; et cet ouvrage, malgré son mérite incontestable, est, depuis plus d'un siècle, tombé dans Toubli; ce dont nous nous étonnerions, si nous ne savions que chaque époque a ses questions du moment, et que les idées les meilleures et les plus fécondes, pour être bien saisies , doivent venir dans le temps où les esprits sont tournés vers Tobjet auquel elles se rapportent. L'étude des sciences nous offre, à chaque pas, la preuve de cette vérité *. LE POIVRE. § 31. La méthode de La Hire a pourtant été reproduite, ou plutôt inventée

de nouveau, en 1704, par Le Poivre (de Mons), géomètre inconnu de nos jours, mais qu'il y aurait injustice à ne pas nommer à côté de Desargues, Pascal et La Hire, dans l'histoire de l'origine et des progrès de la Géométrie moderne. Son ouvrage est intitulé : Traité des Sections du cylindre et du cône, comidérées dam le solide et dans le plan, avec des démonstrations simples et nouvelles. (In-8^ de 60 pages.) La partie relative à la description des coniques sur le plan n'est au fond que la méthode de La Hire, mais présentée d'une manière très-différente, qui mérite que nous en exposions ici l'esprit el les procédés ^.

Il parait que la première idée de l'auteur a été de tracer sur un cône une section plane, sans mener effectivement le plan qui la contient; ce qu'il fait de

I Nous pourrions ajouter, avec Montucla: < Qu'il est des préjugés jusque dans la Géométrie, et qu'il est rare que ceux qui sont dès longtemps accoutumes h une certaine manière de raisonner soient disposes à quitter une ancienne habitude pour en contracter une nouvelle. • {Histoire des Mathématiques , tom. 11, pag. 144.)

^ II a été rendu compte de cet ouvrage dans le Journal des Savans, année i704; et dans les Acta eruditorum, année 1707.

L'article fort étendu du Journal des Savans parait supposer que la méthode de Le Poivre est prise de celle de La Hire. Mais la voie d'invention est trop différente dans Tune et Tautre, pour que nous adoptions cette conjecture. Ajoutons que l'ouvrage de Le Poivre a un mérite qui ne se trouve pas dans celui de La Hire et qui n'a point été remarqué par l'auteur de Tarlicle du journal; c'est de contenir un second mode de description de ses figures, basé sur leurs relations métriques, dont Fauteur aurait pu tirer un parti considérable s'il eût poussé plus loin cette idée heureuse.

Le Journal de Leipzig parle très-favorablement de Touvrage de Le Poivre, t I^on solum , inquî! , intra paucas pagellas palmarias sectionum conicarum proprietates mira facilitate ae perspicuitate expticat ; sed intereas quoque aliquot proponit anteàparum cognitas.

deux manières : par rintersection de chaque arête du cône et d'une autre droite menée convenablement^ ou bien par une proportion dont le dernier terme détermine^ sur chaque arête ^ le point de la section. Puis^ il observe que ces mêmes procédés peuvent s'exécuter aussi sur le plan même du cercle qui sert de base au cône^ comme dans Tespace, et donner naissance aux mêmes courbes. Concevons un cône à base circulaire : un plan coupant^ mené arbitrairement^ déterminera sur le cône une section; c'est cette courbe qu'il s'agit de construire^ en faisant abstraction du plan qui la contient. Pour cela^ il faut d'abord prendre dans l'espace les éléments nécessaires à la détermination de la position de ce plan; ce qui peut se faire de diverses manières. Le J^oivre prend la trace du plan coupant sur la base du cône et une seconde droite parallèle à cette trace, et qui est l'intersection du plan de la base par e plan mené^ par le sommet du cône, parallèlement au plan coupant. Ces eux droites et le sommet du cône déterminent la position du plan coupant : es trois données doivent donc suffire pour la construction de la courbe qui ésulterait de l'intersection du cône et de ce plan, s'il existait réellement. Or, il est aisé de voir que, pour effectuer cette» construction, il n'y a qu'à ener par un point M du cercle, base du cône^ appelé cercle gémrateur, ne transversale quelconque qui rencontrera la trace du plan coupant et sa arallèle, en deux points ; joindre le second de ces poinis au sommet S du ^^ne, par une droite, et mener par l'autre point une parallèle à cette droite, parallèle est évidemment dans le plan coupant, et rencontre l'arête Jl du cône, en un point M' qui appartient à la courbe cherchée. Pour un wtre point du cercle générateur y on aura un autre point de la section. Cette construction est générale, quelle que soit la position du point S dans t'*cspace; et elle subsiste quand ce point est situé sur le plan du cercle, auquel Cas il n'y a plus de cône. La courbe formée alors par le point est encore Une section conique K

I Pour s*en convaincre, il suffit de concevoir la courbe que nous venons de construire dans ^'espace, cl delà projeter sur le plan du cercle, avec toutes les lignes qui ont servi à sa <^onflrucUon. En projection on aura une courbe, et des droites qui serviront à sa construction,

Ainsi^ la construction de Fauteur s'applique à la description des coniques sur le plan, comme dans Tespace. Pour le cas du plan, c'est, comme on le voit, la même construction que celle de La Hire. Le point S est le pôle, la trace du plan coupant est la formatrice, et sa parallèle est la directrice.

§ 32. Il y a, en général, dans les questions de Géométrie, deux manières d'appliquer les solutions auxquelles la théorie a conduit. La première est de déterminer les points cherchés par des constructions de lignes; la seconde, de les déterminer par des formules qui se réduisent ensuite à des calculs numériques. Il est toujours utile de chercher ces deux genres de solutions, parce que chacune comporte des propriétés de la figure que l'autre n'indique point : la question est résolue complètement quand elle a été envisagée sous toutes ses faces, et que les diverses propriétés graphiques et métriques qui se rattachent aux deux solutions dont nous parlons, ont été découvertes et mises dans tout leur jour.

La construction que nous venons de donner pour décrire les coniques, soit dans l'espace, soit sur le plan, appartient au premier mode de solution. Pour la convertir en une formule numérique, on compare deux triangles semblables, qui ont un sommet commun au point M du cercle générateur, et l'on en tire une proportion entre leurs côtés adjacents à ce sommet. Cette proportion donne la distance du point M' de la conique au point correspondant du cercle : c'est la formule cherchée *.

comme les droites dans Tcspacc à la conslruction de la section du cône; c'est-à-dire que la construction de la courbe projette sera absolument semblable à celle de la courbe située dans l'espace; et, si Ton prend les lignes projetantes perpendiculaires a la trace du plan de la section sur celui de la base du cane, et également inclinées sur ces deux plans, alors la courbe projetée sera égale a la section du cône; ce sera donc une section conique.

De là aussi on conclut que, pour transporter aux coniques les propriétés du cercle, une seule démonstration suflit, que Ton considère la conique sur le plan du cercle ou dans l'espace.

* Il eût mieux valu prendre pour inconnue la distance du point M' au point S; la formule aurait conduit naturellement à diverses propriétés des coniques, particulièrement à celles de leurs foyers, dont Tauteur n'a rien dit. Il eût suffi, pour cela , de placer le point S au centre du cercle générateur.

CeUe dernière observation, relative à la position du point S, s'applique aussi au Traité de

,^ 33. La méthode de La Hire et de Le Poivre était la plus heureuse et la plus féconde qu'on pût imaginer pour découvrir les nombreuses propriétés des coniques par celles du cercle ; mais les avantages qu'elle offrait ne devaient point se borner à cet usage particulier; elle avait un avenir plus grande comme offrant un moyen général de transformer, sur le plan, les figures en d'autres du même genre, ainsi que ferait la perspective.

L'importance de ces méthodes, qui forment l'une des doctrines principales de la Géométrie récente, nous engage à enlrer encore dans quelques considérations au sujet de celle de La Hire et de Le Poivre, qui montreront ses rapport^ avec les pratiques de la perspective, avec une méthode analogue imaginée dans le même temps par Newton, et avec plusieurs autres méthodes, d'invention plus moderne, dont nous aurons à parler dans la suite.

Le mode de ti'ansformation du cercle en une conique sur le plan, employé par La Hire et Le Poivre, a pour propriété caractéristique que : à chaque point et à chaque droite, considérés comme appartenant au cercle générateur, correspondent un point et une droite appartenant à la conique; et les relations de position des deux figures sont telles, que deux points correspondants sont en ligne droite avec un point fixe S, et que deux droites correspondantes concourent sur un axe fixe : cet axe est la droite que nous avons appelée formatrice dans la méthode de La Hire, et qui nous représentait, dans celle de Le Poivre, la trace d'un plan coupant.

Ce point S et l'axe fixe^ considérés comme appartenant au cercle, sont eux-mêmes leurs correspondants par rapport à la conique, de sorte qu'ils jouent le même rôle par rapport à chacune des deux courbes.

Si, du point fixe, on peut mener deux tangentes au cercle, elles seront aussi tangentes à la conique; et si l'axe rencontre le cercle en deux points, la conique passera par ces deux points.

La Hire, qui démontre les propriétés des foyers, mais en supposant ces points connus a prtort, comme dans les coniques d'Apollonius, et sans être conduit à leur découverte. En plaçant le pôle au centre du cercle, la formatrice ci la directrice étant d'ailleurs quelconques (mais parallèles entre elles), on forme une conique qui a pour foyer le pôle; et diverses pro|)riétés du cercle s'appliquent immédiatement à la conique , relativement à son foyer.

i34 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

On démontre encore que^ si deux droites sont parallèles^ leurs correspondantes concourent en un point situé sur la droite que nous avons appelée la directrice, de sorte qu^à un point quelconque^ situé à Tinfini dans la première figure^ correspond^ dans la seconde figure^ un point situé sur la directrice; ce qui prouve^ attendu qu'il n'y a qu'une ligne droite qui puisse correspondre à une ligne droite^ que tous les points d'un plan^ situés à l'infini^ doivent être considérés comme appartenante une même ligne droite.

§ 34. On reconnaît, à ces diverses propriétés, les figures homologiques dont M. Poncelet a donné, le premier, la théorie dans son Traité des Propriétés projectives. Le pôle S est le centre d'homologie, et la formatrice est Vaxe d'homologie.

Les personnes qui ont l'habitude des pratiques de la perspective reconnaîtront aussi, dans ce mode de déformation, les figures mêmes que l'on trace sur un plan, comme devant être la perspective l'une de l'autre.

Ainsi, qu'on regarde la foi^iatrice (ou axe d'homologie), comme la ligne de terre, la directrice comme la ligne horizontale, le pied de la perpendiculaire abaissée du pôle (ou centre d'homologie) sur cette directrice, comme le point de vue, et enfin que, pour déterminer le point de distance, on porte, à partir du point de vue, un segment égal à cette perpendiculaire, sur la directrice; puis, qu'avec ces données on construise la perspective de la conique décrite par La Hire, on trouvera précisément son cercle générateur. ( Foye-? la Note XVIII.)

Ainsi, la description générale des coniques sur le plan, qu'avait désirée ce géomètre, existait à son insu depuis longtemps; mais elle ne servait que comme simple pratique de la perspective, à l'usage seulement des artistes. La Hire a le mérite très -grand d'avoir, le premier, conçu l'idée de se servir d'une telle déformation de figure comme méthode de Géométrie rationelle, pour transporter directement à une courbe les diverses propriétés d'une autre courbe décrite sur le même plan.

Cette méthode était une généralisation de deux autres modes de transformation d'une figure en une autre de même nature. Le premier consiste à

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. iSS

mener d^un point flxc des rayons à tous les points d^une courbe^ et à les prolonger dans un rapport constant : leurs nouvelles extrémités forment une seconde courbe semblable à la première^ et semblablement placée par rapport au point fixe ; le second mode de transformation consiste à abaisser^ detOQsles points d'une courbe^ des ordonnées sur un axe fixe, et à les prolonger^ à partir de cet axe, dans un rapport donné : leurs extrémités appartiennent à une seconde courbe qui est du même degré et du même genre que la proposée; et les tangentes en deux points correspondants de ces deux courbes se rencontrent sur Taxe fixe. C'est de cette manière qne Stévin, Grégoire de Saint- Vincent et, avant eux, le célèbre peintre Albert Durer, formaient Fellipse au moyen du cercle. On tombe sur ces deux modes de déformation en supposant, dans celui de La Hire, que la trace et la directrice, dans le premier cas, et le point S dans le second, soient à rinfini.

Noos trouvons, dans la Géométrie des lignes courbes de John Leslie ^, une construction des coniques, par Tintersection de deux droites mobiles autour de deux pôles fixes, qui revient à celle de La Hire. Ce célèbre géomètre a tiré cette construction des pratiques de la perspective; mais il n^eo a point fait usage, comme La Hire et Le Poivre, pour démontrer les propriétés des coniques.

S 35. Dans le même temps que La Hire conçut sa méthode de description des coniques au nu)yen du cercle. Newton en imagina aussi newton, une du même genre, dont le but général était d'opérer, sur le plan, des transformations de figures, dans lesquelles des points répondissent à des points, et des droites à des droites; et où certaines droites convergentes devinssent parallèles. Il donna cette méthode dans le premier livre de ses Principes y et montra comment elle pouvait servir pour transformer une conique quelconque en un cercle, et simplifier ainsi des problèmes difficiles.

Ce grand géomètre donna une construction géométrique et une exprès-

' Geomeirical analysis and Geomelry ofcurve Unes, etc. Edinburgh, 1821, in-8*.

1643 -ni7.

sion analytique^ Tune et Tautre très-simples^ de ses figures transformées^ mais sans laisser apercevoir la route qui Favait conduit à ce mode de transformation des figures; et c'est peut-être pourquoi il a été peu cultivé depuis; car Tesprit éprouve toujours quelque difficulté et quelque répugnance aux choses qui ne portent pas en elles plus que Févidence qui convainc ^ et où ne se trouve |)as celle qui éclaire et montre les véritables raisons des choses. Nous avons été curieux de comparer cette méthode à celle de La Hire , et de rechercher les différences qui pouvaient les caractériser, et donner quelque avantage à Tune sur Tautre, espérant par là retrouver le fil qui avait pu guider Newton. Nous avons reconnu que ses figures n'étaient autres que celles de La Hire placées dans une position différente , Tune a Tégard de Tautre; el qu'on peut aussi les produire par la perspective, en les abattant ensuite sur un môme plan, mais d'une autre manière que ne l'avait fait La Hire ; et c'est ainsi probablement que Newton aura imaginé sa méthode. Ce procédé est en effet l'une des pratiques de perspective enseignées par quelques auteurs, dont nous citerons Vignole, Sirigati , Pozzo. {Voir la Note XIX.)

§ 36. Il nous serait facile de montrer les ressources immenses que ces méthodes de transformation des courbes sur un plan auraient offertes , depuis un siècle et demi, aux géomètres, si une fatale et injuste prévention ne les avait éloignés de la culture de la Géométrie pure. Mais il nous suffît d'avoir montré que celle de La Hire, particulièrement, conduisait aux mêmes transformations et au même but que la belle théorie des figures homologiques , dont M. Poncelet a tiré des résultats aussi nombreux que remarquables. Cette méthode d'ailleurs, comme celle de Newton, n'est qu'un corollaire de notre principe général de déformation homographiqiie, et nous ferions double emploi en nous étendant ici davantage sur ses applications.

§ 37. En terminant cet historique des premières méthodes de transformation des courbes, nous remarquerons que la manière ingénieuse par laquelle Le Poivre est parvenu à la sienne, aurait mérité aussi rattention

des géomètres; car elle repose sur une idée qui comprend tout un système de Géométrie desa^iptive^ ou de représentation graphique^ sur une aire plane ^ des corps situés dans Fespace. Cette idée consiste à représenter, dans la pratique de la perspective, un plan situé dans Fespace, par deux droites parallèles tracées sur le tableau^ dont l'une est la trace du plan, et Tautre la trace d'un plan parallèle, mené par le point de vue. De cette manière, une droite est déterminée par deux points, qui sont ceux où cette droite et sa parallèle, menée par le point de vue, percent le tableau. Ainsi, voilà un moyen de représenter sur un plan tous les corps de l'espace, en se servant uniquement d'un point fixe pris arbitrairement au dehors de ce plan. Ce nouveau mode de Géométrie descriptive a été conçu et mis à exécution, il y a peu d'années, par M. Cousînery, ingénieur des ponts et chaussées. Nous reviendrons sur l'ouvrage de ce géomètre, quand nous en serons à parler de la Géométrie descriptive de Monge.

§ 38. Les travaux des géomètres que nous avons cités au commence- Géomêirie analytique à

/ trois dimensions.

ment de cette troisième Epoque, comme les promoteurs de la Géométrie de Descartes, ne roulèrent généralement que sur la Géométrie plane. Cependant, ce célèbre philosophe, comprenant toute la portée et la puissance de sa doctrine des coordonnées, ne l'avait pas restreinte aux courbes planes, et en avait montré l'usage dans la Théorie des Courbes à double wrbwre. Pour cela, des points d'une courbe quelconque tracée dans l'espace, il abaissait des perpendiculaires sur deux plans rectangulaires ; leurs pieds formaient deux courbes planes qu'il rapportait chacune à deux axes <^rdonnés situés dans son plan, et dont l'un était l'intersection des deux plans.

Cette doctrine des courbes situées dans l'espace conduisait, comme on le voit, au système de coordonnées à trois dimensions , et à l'expression d'une surface par son équation unique entre ces trois coordonnées. Mais les spéculations des géomètres se bornèrent, pendant longtemps, aux courbes planes ; e( la Géométrie analytique à trois dimensions ne se développa que plus d'un

demi-siècle après.

C'est, je crois, Parent qui représenta pour la première fois, en 1700, une surface courbe par une équation entre trois variables, dans un Mémoire qu'il lut devant l'Académie des sciences.

Ce Mémoire, écrit dune manière assez peu soignée, comme les autres ouvrages de l'auteur, géomètre, du reste, très-habile et pourvu de connaissances très-variées, mérite pourtant d'êlre remarqué comme offrant la première application de notre système de coordonnées dans l'espace ; et cette application portait sur des questions assez difficiles. On y trouve l'équation de la sphère, et celle de son plan tangent; la détermination des ordonnées maxima et minima dans certaines sections de la sphère ; les équations de diverses surfaces du troisième degré, et des courbes à double courbure passant par les points auxquels répondent des ordonnées maxima et minima ; enfin , la construction des points d'inflexion de certaines courbes tracées sur les surfaces *.

Depuis , Jean Bernouilli a aussi exprimé les surfaces par une équation entre trois coordonnées, à l'occasion du problème de la ligne la plus courte qu'on puisse tracer sur une surface, entre deux points donnés.

Mais ce ne fut qu'en 1731 que Clairaull, dans son célèbre Traité des Courbes à double courbure, qu'il composa à l'âge de seize ans ^, exposa pour

' Des aiîections des superficies : i° de leurs plans tangents; 2° des plus grands et plus petits des superficies et de leurs plus grands et plus petits absolus; 3° des courbes qui soutiennent ou contiennent les plus grands et plus petits des superficies; 4^ des courbes qui soutiennent ou contiennent les inflexions des superficies. Voir le deuxième volume des Essais et Recherches de mathématiques et de physique de Parent; 3 vol. in-i2, seconde édition, 1713.

^ Dès rage de douze ans, Clairault s'était déjà annoncé dans le monde savant, par un Mémoire sur quatre courbes géométriques, qui a été jugé digne d'être imprimé h la suite d'un Mémoire de son père, dans le recueil de l'Académie de Berlin [Miscellanea Berolinensia, tom. IV, ann. i 734).

Son frère puîné, mort à l'âge de seize ans, avait annoncé la même précocité de talent, en mettant au jour, à quatorze ans, un écrit sur Diverses quadratures circulaires elliptiques et hyperboliques, suivi d'une construction des paraboles cubiques et de diverses autres courbes par des mouvements continus.

Ce petit ouvrage, qui a obtenu l'approbation de l'Académie des sciences de Paris en 1730, et qui u été imprimé en 173J, mérite d'être placé, dans le cabinet des bibliographes, à eôtë de

la première fois^ d^une manière méthodique, la doctrine des coordonnées dans l'espace 9 appliquée aux surfaces courbes et aux lignes à double courbure qui naissent de leur intersection.

Les questions relatives aux tangentes de ces courbes, à leur rectification,

à la quadrature des espaces qu'elles déterminent par leurs ordonnées, sont

résolues, dans ce traité, avec une élégance et une facilité qui ne le cèdent

aux méthodes actuelles que sous le rapport de la symétrie des formules ,

introduite par Monge dans son grand Traité de V application de l'Algèbre à

k Géométrie.

La dénomination de Courbe à double courbure, adoptée par Glairault, parce ([u'une telle courbe participe de la courbure de deux courbes planes qui en Uhïlk% projections, est due à Pitot \ qui l'avait employée dans un Mémoire, pitot. concernant Thélice tracée sur un cylindre droit circulaire, lu à l'Académie lew-tTTi des sciences en 1724.

§ 39. Nous avons eu occasion de faire voir, en parlant d'Architas, de Geminus et de Pappus, que les courbes à double courbure n'ont pas été étrangères aux études des Anciens. Depuis, et jusqu'à Glairault, d'où datent

ITmi pour les coniques de Pascal, et des Recherches sur les Courbes à double courbure, du frère aioé deTauleur. La rareté du livre ajoute au prix de cette curiosité littéraire, offerte par un gcomctre de quatorze ans.

' Pitot, en se proposant de carrer la courbe appelée d'abord la compagne de ta cycloïde, puis, par Leibniz, la ligne des sinus, parce que ses abscisses seraient égales aux sinus des ordonnées si on enroulait celles-ci sur une circonférence du cercle; Pitot, dis-je, trouve : \° que cette courbe est ce que devient, dans le développement d'un cylindre droit circulaire sur son plan *«»l5^nl, lellipse qui aurait été formée sur ce cylindre par un plan scc4mt incliné de 45 degrés swson axe; et, 2% que celte courbe provient aussi d'une hélice tracée sur le même cylindre, et projetée sur un plan parallèle à Taxe du cylindre.

Ces deux propositions ont été démontrées, depuis, dans plusieurs ouvrages.

U courbe dont il s'agit, considérée comme provenant d'une ellipse, dans le développement <(" cylindre, a fixé l'attention de Schubert, qui en a donné la quadrature et la rectification, dans fcsA^oro Acla de Pétersbourg, tom. XIII, année 1795-17%.

Burja, dans un Mémoire sur les cotmaissances mathêmaliques d'Arislote, a remarqué (juc ce prince des philosophes de Fantiquité a parlé de cette même courbe dans la question sixième de ^ dixième section de ses Problèmes.