DA . BG -♦- DB . AG — DG . AB

Cette équation exprime la relation la plus simple entre quatre points A, B, G, D, situés en ligne droite;

3® Enfin, quand le point D est à l'infini, l'équation générale devient

Êâ! BG -+- ÊB* AC — ÊC! AB = AB . BG . GA. C'est réquation de Stewart.

1^ Soit un polygone régulier de m côtés, circonscrit à un cercle dont le rayon est R ; soit n un nombre quelconque plus petit que m ;

Si, d'un point quelconque (pris dans tintérieur du polygone si n est impair, et pris partout où ton voudra si n est pair), on abaisse des perpendiculaires sur les côtés du polygone : la somme des puissances n de ces perpendiculaires sera égale à

m. (R- -+- AvTl— • -♦- Br*R"-* -+- €©•. R"-« ■♦- etc.);

V étant la distance du point au centre du cercle; A le coefficient du troisième terme du binôme élevé à la puissance n, multiplié par j; B fc coefficiefit du cinquième terme, multiplié par ^;C le coefficient du septième terme multiplié par jYê > ^^ ^'^^ ^^^ autres. (Prop. 40). De sorte que

2«.4V6* Etc., etc.

Si le point d^où Ton abaisse les perpendiculaires est pris sur la circonférence^ la formule se réduit à

m. -— ^ ' R". (Proposition 39.)

Ce théorème général comprend les propositions 3, 5^ ^% 23^ 28^ 29 et 45.

2^ Soit un polygone régulier de m côtés, inscrit à un cercle dont le rayon est R ; et soit n un nombre plus petit que m ;

Si tan prend arbitrairement un point dont la distance au centre du cercle

soit \y la somme des puissances 2n des distances de ce point à tous les som-mets du polygone sera égale à

m (R*" -+- a*t?Tl*^' -♦- ô'v^R*-* -♦- c'w'R*-» -♦- etc.) ;

a étant le coefficient du second terme du binôme élevé à la puissance n; b le coefficient du troisième terme ; c le coefficient du quatrième terme; et ainsi des autres. (Prop. 42).

Si le point est pris sur la circonférence y la formule se réduit à

m . ^^ 2"R*". {Proposilion 41 .)