CHAPITRE Ve

CIIYQUIËME ÉPOQUE.

§ 1. Dans ces derniers temps ^ après un repos de près d'un siècle^ la Géométrie desenpi Géométrie pure s'enrichit d'une doctrine nouvelle, la Géométrie descriptive, complément nécessaire de la Géométrie analytique de Descartes, et qui, coDune elle, devait avoir des résultats immenses, et marquer une ère nouvelle dans l'histoire de la Géométrie.

Cette science est due au génie créateur de Monge.

Elle embrasse deux objets :

Le premier est de représenter sur une aire plane tous les corps d'une forme déterminée, et de transformer ainsi, en constructions planes, les opérations graphiques qu'il serait impossible d'exécuter dans l'espace.

Le second est de déduire, de cette représentation des corps, leurs rapports mathématiques, résultant de leurs formes et de leurs positions respectives.

Cette belle création , qui fut d'abord destinée à la Géométrie pratique et aux arts qui en dépendent, en constitua réellement la théorie générale, puisqu'elle réduisit, à un petit nombre de principes abstraits et invariables, et à des constructions faciles et toujours certaines, toutes les opérations géométriques qui peuvent se présenter dans la Coupe des pierres, la Charpente^ la Perspective, la Fortification, la Gnomonique, etc., et qui aupara-

vant ne s'exécutaient que par des procédés incohérents entre eux^ incertains, et souvent peu rigoureux. (Voir la Note XXIII.)

§2. Mais^ outre ri mportance due à cette première destination^ qui donnait un caractère de rationalité et de précision à tous les arts de construction^ la Géométrie descriptive en eut une autre très-grande^ due aux services réels qu'elle rendit à la Géométrie rationnelle^ sous plusieurs rapports, et aux sciences mathématiques en général.

La Géométrie descriptive, en effet, qui n'est que la traduction graphique de la Géométrie générale et rationnelle, servit de flambeau dans les recherches et dans l'appréciation des résultats de la Géométrie analytique ; et , par la nature de ses opérations^ qui ont pour but d'établir une correspondance complète et sure entre des figures efTectivement tracées sur un plan et des corps fictifs dans l'espace, elle familiarisa avec les formes de ces corps, les fit concevoir idéalement, avec exactitude et promptitude, et doubla de la sorte nos moyens d'investigation dans la science de l'étendue.

La Géométrie devint ainsi en état de répandre plus aisément sa généralité et son évidence intuitive sur la mécanique et sur les sciences physicomathématiques.

Cette influence utile de la Géométrie descriptive s'étendit naturellement aussi sur notre style et notre langage en mathématiques^ qu'elle rendit plus aisés et plus lucides^ en les affranchissant de cette complication de figures dont l'usage distrait de l'attention qu'on doit au fond des idées, et entrave l'imagination et la parole.

La Géométrie descriptive^ en un mot, fut propre à fortifier et à développer notre puissance de conception ; à donner plus de netteté et de sûreté à notre jugement; de précision et de clarté à notre langage; et^ sous ce premier rapport^ elle fut infiniment utile aux sciences mathématiques en général.

§ 3. En la considérant en particulier comme simple doctrine gé(Nmétrique^ nous trouvons encore qu'elle apporta un immense secours dans la science de l'étendue. Car elle devint^ par ses principes et par la corrélation constante qu'elle établissait entre les figures à trois dimensions et les figures

planes^ un véritable moyen de recherche et de démonstration en Géométrie rationnelle ; et par ses procédés y qui sont en Géométrie pratique ce que les quatre règles de Tarithmétique sont dans la science du calcul^ elle fournit un moyen de solution a priori dans des questions où la Géométrie de Descartes ^ toute-puissante en tant d'autres circonstances^ se trouvait arrêtée par les bornes que rencontrait TAIgèbre elle-même.

§ 4. Monge nous donna ^ dans son Traité de Géométrie descriptive^ les premiers exemples de Futilité de Talliance intime et systématique entre les figures à trois dimensions et les figures planes. Cest par de telles considérations qu'il démontra^ avec une élégance rare et une évidence parfaite^ les beaux théorèmes qui constituent la théorie des pôles dans les courbes du second degré; la propriété des centres de similitude de trois cercles pris deux à deux^ lesquels centres sont trois à trois en ligne droite; et diverses autres propositions de Géométrie plane.

Depuis^ les élèves de Monge cultivèrent avec succès cette Géométrie, d^un genre vraiment nouveau, à laquelle on a souvent donné, avec raison, le nom d'école de Monge, et qui consiste, comme nous venons de le dire, à introduire dans la Géométrie plane des considérations de Géométrie à trois dimensions.

Les découvertes faites de cette manière sont nombreuses; leur exposé présenterait certainement une page intéressante dans l'histoire de la Géométrie; mais nous ne pouvons nous le permettre ici, ni entrer dans des détails qui allongeraient beaucoup trop cet écrit ^

§5. Les procédés par lesquels Monge transforma les figures de Tespace Méthode de iransmata.

lion des figures.

en figures planes, parles projections orthogonales sur deux plans rectan-

* L*uii des géomètres qui les premiers aperçurent toutes les ressources de cette méthode, fut M. Brianehon, qui, dans un Mémoire imprimé dans le treizième Cahier du Journal de l'École potytechniqve (année 1810), présenta sur ce sujet des réflexions neuves et étendues, auxquelles M. Poncelet nous apprend devoir la première idée des belles et nombreuses recherches géométriqiies, contenues dans son Traité des Propriétés projectives. L'école de Monge est très-redevable aussi à M. Gergonne, qui la servie utilement par ses propres travaux, toujours empreints de Tues philosophiques profondes, et par Taccueil qu'il a fait, dans ses Annales de Mathéma- Hqueê, aux productions des anciens élèves de TÉcole polytechnique.

gulaires qu'il suppose abattus Tun sur Tautre^ offrenl en particulier un moyen de découvrir une foule de propositions de Géométrie plane sur les figures qui résultent de Fensemble de ces deux projections. De sorte quUl n'est point d'épuré de Géométrie descriptive qui n'exprime quelque théorème de Géométrie plane. Dans la plupart de ces théorèmes^ se trouveront des lignes parallèles entre elles et perpendiculaires à la droite qui servait d^iotersection aux deux plans de projection; mais^ si Ton fait ensuite la perspective de la figure sur un plan^ ces lignes deviendront concourantes en un point , et le théorème prendra une plus grande généralité.

Voilà donc^ comme nous l'avons dit^ un moyen très-fécond de démontrer^ d'une manière toute nouvelle et toute particulière^ une foule de propositions de Géométrie plane. On démontrera ainsi la plus grande partie des théorèmes^ sinon tous^ de la théorie des transversales^ et la plupart des innombrables propriétés des sections coniques.

Prenons^ par exemple^ l'épure où il s'agit de trouver le point d'intersection des trois plans ; ce point sera à l'intersection des trois droites suivant lesquelles ces plans se coupent deux à deux ; les projections de ces trois droites sur l'un des deux plam de projection passent dom par un même point ; ce fait^ évident^ devient l'expression du théorème suivant :

Si tofi a dans un plan deux triangles dont les côtés concourent deux à deux en trois points situés sur une ménie droite L, et que par un point, pris arbitrairement, on mène trois droites aux sommets du premier triangle ; qu'on les prolonge jusqu'à ce qu'elles rencontrent en trois points la droite L ; qu'ion joigne ces trois points, respectivement, aux trois sommets du second triangle, par trois droites; ces droites iront concourir en un même point.

Ce théorème serait susceptible de plusieurs conséquences : nous nous bornerons à faire remarquer qu'on en conclut^ comme corollaire^ le théorème de Desargues dont nous avons parlé (deuxième Époque^ § 28); il suffit de supposer que le point pris arbitrairement est le point de concours de deux des trois sommets du premier triangle respectivement aux sommets correspondants du second.

L'épui-e au moyen de laquelle on construit les traces d'un plan qui doit passer par trois points dont les projections sont données^ conduit à un autre théorème^ de même nature que le précédent^ et qui donne ^ comme corollaire , le réciproque de celui de Desargues.

§ 6. Ce genre de démonstration conduit^ avec une égale facilité^ à des propriétés des coniques^ et même des courbes de tous les degrés.

Coucevons^ par exemple^ dans le plan horizontal^ une conique qui soit la base d'un cylindre dont la direction des arêtes soit donnée; que Ton construise la trace de ce cylindre sur le plan vertical; puis^ qu'on fasse la perspective de Fépure sur un plan quelconque : on aura une figure qui représentera une première conique tracée arbitrairement^ et une seconde conique construite^ au moyen de la première^ par les intersections de lignes droites issues de deux poinis fixes.

Si, au lieu de la première conique , on prend une courbe d'un degré quelconque^ on aura une seconde courbe qui sera du même degré.

Voilà donc un moyen de transformer^ sur un plan^ une courbe quelconque en une autre du même degré.

Il est clair que les tangentes à la seconde courbe se détermineront au moyen des tangentes à la première ; et ces tangentes se couperont, deux à deux, en des points qui seront tous en ligne droite. Ce sera la droite qui représente l'intersection des deux plans de projection. Cette circonstance offre un théorème de Géométrie concernant les courbes de tous les degrés.

Prenons, pour dernier exemple, un cylindre vertical ayant pour base, sur le plan horizontal, une conique; qu'on le coupe par un plan mené arbitrairement, et que l'on construise, sur le plan vertical, la projection de la courbe d'intersection; ce sera une seconde conique. Les tangentes à ces deux coniques se correspondront deux à deux , comme représentant les projections de chaque tangente à la courbe d'intersection du cylindre par le plan transversal; si donc, au moyen de ces projections, on cherche les points où ces tangentes, dans l'espace, rencontrent l'un des deux plans de projection, ces points formeront une ligne droite, trace du plan transversal sur

i94 HISTOIRE DE LÀ GEOMETRIE.

le plan de projection. Cette circonstance donnera lieu à une propriété générale des deux coniques qui sont les projections de la conique située dans l'espace. Qu'on fasse la perspective de Fépure sur un plan , il en résultera une propriété générale du système de deux coniques quelconques^ qui est celle-ci :

Si^ par le point de concours des deux tangentes communes à deux coniques quelconques situées dans un plan^ on tire arbitrairement une transversale qui rencontre chacune de ces courbes en deux points y et qu'on leur mène leurs tangentes en ces points; les tangentes à la première rencontreront les tangentes à la seconde en quatre points qui seront^ deux à deux, sur deux droites fixes, quelle que soit la transversale menée par le point de concours des deux tangentes communes aux deux coniques.

Il est plusieurs autres manières de démontrer^ par des considérations de Géométrie à trois dimensions^ ce théorème important dans la théorie des coniques; par exemple^ si par une courbe du second degré on fait passer deux cônes ^ ayant pour sommets deux points quelconques de l'espace^ et qu'on cherche la seconde courbe d'intersection des deux cônes ^ ce sera une seconde conique. Les relations entre ces deux courbes^ situées dans l'espace sur deux cônes ^ sont faciles à saisir. Maintenant^ si l'on construit l'épure qui donne la projection de la seconde conique sur le plan de la première^ on aura un système de deux coniques situées dans un même plan^ et dont toutes ces relations des deux courbes dans l'espace offriront des propriétés intéressantes^ au nombre desquelles se trouvera le théorème que nous venons d'énoncer.

§ 7. Ces exemples nous suffisent pour montrer comment chaque épure de Géométrie descriptive peut exprimer un théorème de Géométrie plane ^ et nous croyons pouvoir dire que cette voie ouvrira une mine féconde de vérités géométriques. Sous ce point de vue, la Géométrie descriptive de Monge offre une méthode de Géométrie rationnelle. Nous rappellerons méthode de Transmutation des figures.

Outre ce premier résultat de la Géométrie descriptive, d'opérer la trans-

mutatioD des propriétés des figures à trois dimensions^ en propriétés des figures planes^ nous devons faire remarquer un autre usage particulier de cette géométrie : c'est de conduire à une infinité de moyens d'opérer^ sur le plan^ des transformations de figures en figures du même genre ^ ainsi qu'avaient fait La Hire et Newton; c'est ^ en particulier^ d'offrir une infinité de moyens d'atteindre le but que s'était proposé La Hire : décrire sur un plau, au moyen du cercle, les différentes sections coniques, et de transporter aiosi, dans le plan, les opérations de la perspective. Il suflSt, en effet, de coucevoir un cône à base circulaire, ayant pour sommet un point quelcooque de l'espace , et de couper ce cône par un plan mené arbitrairement; la section sera une conique , dont une des projections pourra être regardée comme une transformée de l'une des projections de la base du cône ; et comme cette transformée se construira par des opérations planes, le but de La Hire se trouvera atteint.

Cette solution générale du problème de La Hire conduira, comme ou le fH'esseDla cause de l'indétermination des différentes données de la question, auQ grand nombre de méthodes différentes; et l'on parviendra, de plusieurs maDJères, à celle même de La Hire.

§ 8. Bien qu'on ait apprécié les services que Mongc a rendus en familiarisant avec les considérations de la Géométrie à trois dimensions, et en apprenant à passer tour à tour de cette Géométrie a la Géométrie plane, et de celle-ci à la première, on n'a peut-être pas reconnu, dans le mode particulier de démonstration dont nous venons de donner des exemples, toute l'importaoce qui lui est due, tant à cause des vérités géométriques auxquelles il pouvait conduire, et dont un grand nombre alors eussent été neuves, que parce qu'il était un premier exemple de transmutalion des figures à trois dimensions en figures planes, et réciproquement. Les services rendus par le seul mode de tranformalion usité jusqu'alors, la perspective, dont Pascal surtout avait fait un si heureux usage, et dont La Hire, dans son Traité des Ptanicmiqties^ avait réduit toules les opérations à des constructions planes, étaient de nature à faire concevoir tous les avantages des autres modes de

transformation qui pourraient se présenter^ soit dans Tespace^ soit sur le plan.

Mais au surplus, en réfléchissant sur les procédés de TAIgèbre, et en recherchant la cause des avantages immenses qu'elle apporte dans la Géométrie, ne s'apcrçoit-on pas qu'elle doit une partie de ces avantages à la facilité des transformations que Ton fait subir aux expressions qu'on y introduit d'abord ? transformations dont le secret et le mécanisme fonl la véritable science , et l'objet constant des recherches de l'analyste. N'était-il pas naturel de chercher à introduire pareillement, dans la Géométrie pure, des transformations analogues, portant directement sur les figures proposées et sur leurs propriétés ?

La théorie des projections stéréographiques, par laquelle on applique à * des systèmes de coniques semblables et semblablement placées (parmi les-

quelles peuvent se trouver des droiles et des points), les propriétés évidentes et palpables de systèmes de courbes planes tracées sur une surface du second degré, cette théorie, dis-je, est un exemple frappant des avantages des transformations géométriques. Diverses méthodes qui se rattachent, comme nous le ferons voir, aux deux principes généraux de l'étendue, la dualité et ïhomographie des figures, que nous démontrons dans cet écrit, sont de telles méthodes de transformation.

Ces sortes de méthodes , dont l'utilité nous paraît bien constatée , méritent d'être cultivées; et, si nous ne nous abusons, les géomètres qui voudront méditer sur cet objet apprécieront davantage l'importance philosophique de la méthode de Iransmutation que nous avons cherché a faire ressortir des principes de la Géométrie descriptive de Monge. Géométrie |>er>periive § 9. Lcs doclrlncs dc Mougc out déjà donné lieu à un ouvrage du môme cM cuii.inery. g^j^pg^ j^j-^j Foccasion sc présente de parler ici, par anticipalion : la Géométrie perspective de M. Cousinery, ingénieur des ponts et chaussées (in-4% 1828), qui difl'ère de la méthode de Monge en ce que l'auteur ne fait usage que d'une seule projection , ou perspective , sur un plan.

Un plan, situé dune manière quelconque dans l'espace, est déterminé

dans répure par deux droites parallèles^ dont Tune est la trace de ce plan sur celui de projection , et l'autre est la trace d'un second plan parallèle au premier, mené par Vœil ou point central, d'où partent les lignes projetantes. Une droite est déterminée d'une manière analogue par deux points, dont l'un est celui où elle perce le plan de projection, et l'autre est celui où une seconde droite menée par le point central, parallèlement à la première, perce ce même plan. Pour déterminer un point, il faut connaître deux droites sur lesquelles il se trouve, dont l'une peut passer par l'œil, et se réduire, en perspective, à un point. Ces procédés sont simples et ingénieux; les épures auxquelles ils conduisent ne sont point trop compliquées, et elles sont susceptibles, comme celles de la Géométrie descriptive de Monge, d'exprimer divers théorèmes de Géométrie, ainsi que le fait voir M. Cousinery.

Sans chercher à apprécier les avantages que celte méthode pourra peutêtre offrir sous le rapport industriel , c'esl-à-dire comme instrument analogue à la Géométrie descriptive de Monge, dans les arts de construction, nous ne la considérerons que comme moyen de transformation des figures, et comme méthode pour la recherche et la démonstration d'une foule de vérités géométriques : sous ce rapport, elle nous parait digne de l'attention des amateurs de la Géométrie. M. Cousinery, en se bornant à quelques exemples qui suffisaient pour convaincre de l'utilité de sa méthode, a ouvert un nouveau champ de spéculations géométriques, où l'on sera sur de glaner abondamment.

8 10. Il nous reste, au sujet de la Géométrie descriptive de Monffe, à wonvea., ...«tie de déparler de l'influence qu'elle a encore eue sur les progrès de la Géométrie derfigu^"!'"^^'** pure, en introduisant dans cette science un mode de démonstration que les Anciens auraient repoussé comme une licence incompatible avec leurs principes rigoureux, et qui a eu, entre les mains de Monge et des géomètres de son école, les plus heureux résultats.

Pour définir cette méthode, nous dirons « qu'elle consiste à considérer » la figure, sur laquelle on a à démontrer quelque propriété générale, dans » des circonstances de construction générale, où la présence de certains

» points^ de certains plans ou de certaines lignes^ qui dans d'autres cir- » constances seraient imaginaires^ facilite la démonstration. Ensuite , on » applique le théorème qu'on a ainsi démontré aux cas de la figure où ces » points^ ces plans et ces droites seraient imaginaires; c'est-à-dire^ qu^on » le regarde comme vrai dans toutes les circonstances de constructions » générales que peut présenter la figure à laquelle il se rapporte. » La Géométrie de Monge nous offre de beaux exemples de cette manière d'agir.

Ainsi ^ pour démontrer que^ si des cônes circonscrits à une surface du second degré ont leurs sommets en ligne droite^ les plans de leurs courbes de contact passent tous par une môme droite , Monge suppose que , par la droite lieu des sommets des cônes ^ on peut mener deux plans tangents à la surface; les courbes de contact des cônes passeront toutes par les deux points de conta(;t de ces plans tangents ; leurs plans passeront donc tous par la droite qui joindra ces deux points. Le théorème est donc démontré^ pour la disposition supposée de la figure; et Monge prononce que cette démonstration s'étend au cas où l'on ne pourra point mener de plans tangents à la surface par la droite lieu des sommets des cônes ; c'est-à-dire , que le théorème a lieu pour toute position possible de cette droite.

Cette méthode de Monge nous parait fondée sur cette observation^ qu'une figure peut présenter dans sa construction la plus générale deux cas différents : dans le premier^ certaines parties (points^ plans^ lignes ou surfaces) dont ne dépend pas nécessairement la construction générale de la Ggure, mais qui en sont des conséquences conllngentes ou accidentelles, sont réelles et palpables; dans le second cas, ces mômes parties n'apparaissent plus : elles sont devenues imaginaires; et cependant les conditions générales de construction de la figure sont restées les mômes.

Par exemple, si l'on dit de tracer dans l'espace une surface du second degré et une ligne droite, qui aient entre elles toute la généralité possible de position, cette question comportera deux cas : celui où la ligne droite rencontre la surface, et celui où elle ne la rencontre pas; et ces deux cas offriront la môme généralité, parce que dans chacun d'eux la ligne droite

sera tirée arbitrairement^ sans que Ton ait égard à la position déjà donnée à la surface du second degré ; ils différeront en ce que les deux points (intersection de la ligne droite et de la surface sont réels dans le premier cas^ et imaginaires dans le second. Nous dirons que ces deux points sont une des relations contingentes, ou accidentelles^ du système de la surface et de la droite.

Nous n'avons pas besoin de faire remarquer que nous n'entendons nullement parler ici des circonstances particulières de construction d'une figure^ auxquelles on a consacré l'expression de cas particuliers, qui sont celles où plusieurs points^ lignes^ ou surfaces^ viennent à se confondre. Ainsi ^ dans l'exemple précédent^ si la droite est tangente à la surface du second degré^ ce sera un cas particulier; et un théorème démontré sur cette figure ne serait point regardé comme s'appliquant nécessairement à la figure générale.

§11. La méthode dont il s'agit^ qui nous parait avoir pris naissance dans les beaux exemples que M onge nous en a donnés dans sa Géométrie descriptive, a été suivie depuis par la plupart de ses disciples^ mais toujours tacitement, comme JMonge avait fait lui-même^ c'est-à-dire sans entrer dans les considérations que nous venons de présenter^ et sans chercher à justifier cette manière de raisonner.

Ce n'est que dans ces derniers temps que M. Poncelet a abordé franche- Principe de eominuaé. nient cette question^ qui méritait d'être approfondie^ et qu'il l'a rattachée à un point de doctrine important dans la Géométrie rationnelle. On voit que nous voulons parler du principe de continuité, que ce savant géomètre a mis en avant et développé dans son Traité des Projyriétés projeclives, et dont il a foit les plus heureuses applications ; mais qui^ n'étant point démontré rigourensement, n'a été considéré, par d'autres célèbres académiciens, que comme wae forte induction , et un moyen précieux pour deviner et pressentir les vérités, mais non pour suppléer aveuglément, et dans tous les cas, à leur démonstration rigoureuse.

n faut en convenir : si les géomètres, en pratiquant la méthode de Monge, ^k principe de continuité, devaient justifier cette manière d'agir par des con-

sidérations de pure Géométrie y puisées dans quelques principes préexistants et démontrés a priori, les moyens, jusqu'à ce jour, nous paraîtraient leur manquer : et si leur marche, comme celle de Monge, a toujours été assurée et n'a point laissé de nuage dans leur esprit, ils ont puisé, ce me semble, cette confiance dans le sentiment d'infaillibilité que les habitudes de l'Analyse algébrique ont fait naître en eux.

Démonstration de la § 12. Nous croyous cu cffct qu'ou pourra, dans chaque cas particulier,

methodr de Monge.

justifier a posteriori la méthode en question, par un raisonnement fondé sur les procédés généraux de l'Analyse.

Il suffit d'observer que les deux circonstances générales de construction d'une figure, dont nous avons parlé, et dont la distinction est importante, parce qu'elles nous paraissent être la véritable origine de la question qui nous occupe, n'entrent jamais en considération dans l'application de l'Analyse finie à la Géométrie. Les résultats obtenus par cette méthode s'appliquent, dans toute leur étendue, à ces deux circonstances générales de construction. Ces résultats sont des théorèmes concernant les parties intégrantes et permanentes de la figure, celles qui appartiennent à sa construction générale , et qui sont toujours réelles dans les deux cas ; théorèmes tout à fait indépendants des parties secondaires, ou contingentes et accidentelles de la figure, qui peuvent être indifféremment réelles ou imaginaires, sans changer les conditions générales de construction de la figure.

Donc, quand ces résultats généraux sont démontrés, n'importe comment^ sur l'une des deux figures, on peut conclure qu'ils ont également lieu dans l'autre figure.

Cette manière de justifier la doctrine de Monge, qu'on regardera peut-être aussi comme une démonstration a posteriori du principe de continuité, considéré en Géométrie, comporte les exceptions dont ce principe sera susceptible; car ces exceptions ne seront autres que celles que rencontrerait l'Analyse elle-même. Ainsi, par exemple, on devra se garder d'appliquer ce principe aux questions dans lesquelles, si l'on voulait faire entrer dans l'Analyse les circonstances générales de construction dont nous avons parlé, on trouve-

rait qu'il a aurait à changer autre chose que les signes des coefficients des quantités variables; par exemple^ les signes des exposants de ces quantités ' ; on ne devra point l'appliquer non plus aux questions qui^ traitées par FAnalyse^ exigeraient des intégrales définies^ parce qu'un simple changement de signe^ qui établirait la difl*érence entre les deux circonstances générales de eonstruction de la figure^ changerait totalement les résultats de l'Analyse.

Mais^ dans toutes les questions de Géométrie qui n'exigeraient que le secours de l'Analyse finie ^ telle que Descartes nous a appris à en faire usage^ on pourra mettre toute confiance dans la méthode de Monge. Ainsi ^ par exemple^ si l'on considère dans l'espace un cône du second degré et un plan transversal^ placé de la manière la plus générale par rapport au cône^ ce plan pourra avoir deux positions différentes^ qui satisferont également à cette condition de plus grande généralité possible. Dans la première^ il coupera le cône suivant une hyperbole^ dont on pourra tracer les deux asymptotes; dans la seconde^ il coupera le cône suivant une ellipse; et les deux droites qui^ dans la première figure^ étaient les asymptotes de l'hyperbole^ seront imaginaires dans la seconde figure. Néanmoins^ toute propriété générale de la première figure^ démontrée même avec le secours des deux asymptotes^ appartiendra à la seconde figure^ pourvu^ bien entendu^ que cette propriété ne concerne point directement^ ni implicitement^ les asymptotes: dans ce cas elle ne serait point une propriété générale , indépendante des circonstances de construction qui font que ces asymptotes sont ou ne sont pas réelles.

Ce que nous disons de l'ellipse et de l'hyperbole ne s'applique pas à la parabole^ parce que la position du plan transversal^ qui donne pour section dans le cône une parabole^ est une position particulière. Ainsi ^ une propriété de la parabole^ qu'on aurait démontrée en s'appuyant sur cette cir-

* Nous ne pensons pas que de telles questions puissent se présenter. Car les deux circon- 8tanf«s gëni^rales de construction d'une figure, dont la considf^ralion est la base de notre nunière d'envisager la méthode de Monge, nous paraissent ne différer, dans l'expression algé- Wquedf la figure, que parla différence des signes des eoefTicients indépendants.

constance que le plan transversal qui la fait naître dans le cône a une position particulière par rapport h ce cône^ n'appartiendrait points par la seule vertu du principe de Monge^ à Tellipse ou à Fhyperbole.

§ 13. Ces mêmes considérations ont lieu pour les surfaces du second degré. Elles se divisent^ sous un certain rapport^ en deux classes : pour Tune de ces surfaces (Fliyperboloïde à une nappe) ^ le plan tangent en chacun de ses points la touche suivant deux droites entièrement comprises sur la surface; et^ pour les deux autres surfaces (Fellipsoïde et Thyperboloïde à deux nappes)^ ces deux droites sont imaginaires. Eh bien^ une propriété générale de rhyperboloïde , démontrée avec le secours des deux droites en question^ pourvu qu'elle ne comprenne^ ni directement^ ni implicitement^ ces deux droites dans son énoncé^ appartiendra également aux deux autres surfaces.

Par exemple^ qu'on veuille démontrer les deux théorèmes qui constituent la doctrine des projections stéréographiques : on prendra Thyperboloïde à une nappe^ pour lequel^ avec le secours des deux droites que^ par chaque points on peut mener sur sa surface^ ces deux théorèmes sont évidents; et Ton conclura immédiatement^ avec toute sûreté^ qu'ils ont également lieu pour les autres surfaces du second degré.

On conçoit que si, au lieu de démontrer ces deux théorèmes relativement à rhyperboloïde à une nappe, surface d'une construction tout aussi générale que celle de l'ellipsoïde et de rhyperboloïde à deux nappes, on les eût démontrés pour la sphère, on n'aurait pas pu les appliquer^ en vertu seulement de la méthode de Monge, aux autres surfaces du second degré, parce que la sphère n'est point une surface d'une construction générale.

§ 14. Mais nous pouvons dire, tout de suite, qu'avec le secours d'une autre Méthode de généralisa- méthode, OU applîquc les propriétés générales de la sphère à l'ellipsoïde; et

alors, par la méthode de Monge, elles deviennent des propriétés générales de toutes les surfaces du second degré. Celte méthode de transformation , que nous avons exposée dans la Correspondance polytechnique ( tom. III ,

tion

pag. 326)^ est analytique : elle consiste à faire croître proportionnellement les coordonnées de chaque point de la sphère. Nous nous en sommes servi pour transformer les propriétés descriptives^ et celles qui concernent les volumes des corps; depuis, nous Favons appliquée aux propriétés concernant les longueurs des lignes courbes et les aires des surfaces courbes. Nous Favons généralisée aussi^ sous un autre rapport^ en la rendant propre à transporter aux hyperboloïdes les propriétés générales des paraboloïdes^ comme celles de la sphère à Fellipsoïde. Mais cette méthode générale étant comprise^ comme cas particulier^ dans notre principe général de déformation homographiqae, nous DiDsisterons point davantage sur ses usages et son degré d'utilité.

Nous devons faire remarquer une différence caractéristique qui distingue cetle méthode de celle dont nous parlions d'abord ^ quoique par Fune et par Fautre on généralise un premier résultat.

Le mode de déformation que nous venons d'indiquer est une véritable méthode de généralisation^ qui transporte à une figure^ d'une construction tout à fait générale^ les propriétés connues d'une figure d'une construction particulière.

L'autre méthode^ au contraire^ qui fait usage des relations contingentes^ D'opéré que sur une propriété d'une figure de la construction la plus générale^ et la transporte à une autre figure d'une construction non moins générale, qui ne diffère de la première figure que par des circonstances secondaires et accidentelles qui ont servi à la démonstration^ mais qui^ ayant en quelque sorte été éliminées dans le résultat des raisonnements où on les avait fait entrer, ne sont pour rien, ni directement, ni implicitement, dans l'énoncé <lela proposition qu'il s'agissait de démontrer.

§ 15. Cette méthode nous paraîtrait mériter, plus qu'aucune autre, le nom de méthode d'intuition^ puisqu'elle est véritablement fondée sur la vue iei choses. Mais ce caractère d'intuilion est le propre, en général, des méthodes qui reposent sur la pure contemplation de l'étendue , et particulière- Dttent de celles où l'on fait intervenir la considération des figures à trois dimensions, pour la démonstration des propositions de Géométrie plane. La

dénomination de méthode d'intuition^ qui convient en général à la Géométrie de Monge, ne caractériserait donc pas ce principe, en vertu duquel on applique, à un étal général d'un système, les propriétés qu'on a démontrées pour un autre état, également général, du même système. Mais la dénomination de Méthode ou principe des relations contingentes nous paraîtrait la caractériser d'une manière assez précise et assez complète.

Nous préférons cette dénomination à celle de principe de continuité, parce que ce principe implique l'idée de l'infini, qui n'entre nullement dans la méthode des relations contingentes. Nous développerons cette idée dans la Note XXIV.

Nous pourrions citer beaucoup d'exemples de l'application qu'on a faite, tacitement, du principe des relations contingentes; mais nous avons trouvé une question nouvelle qui nous parait éminemment propre à montrer t^usage et Futilité de ce principe, c'est celle où il s'agit de déterminer, en grandeur et en direction, les trois diamètres principaux d'un ellipsoïde dont trois diamètres conjugués sont donnés. La solution de cette question ne se serait peut-être pas présentée aussi aisément par toute autre méthode. (Voir la Note XXV.)

§ 16. Ce principe des relations contingentes sera peut-être basé un jour sur quelque principe métaphysique de l'étendue figurée , tenant à des idées d'homogénéité, telles que celles qu'on a apportées quelquefois dans les sciences naturelles, particulièrement dans celles des corps organisés; il semble appartenir déjà à quelque principe général de dualité, tel que celui que paraissent présenter ces mêmes corps où l'on a à reconnaître deux genres d'clémenls, éléments permanents, éléments variables; fixité et mouvement.

Mais, eu attendant que notre principe des relations contingentes soit ainsi démontré a ;;r/o;7, il nous paraît assez justifié par les procédés de l'Analyse, comme nous l'avons fait voir, pour qu'on l'emploie avec assurance.

Ce serait, du reste, une chose heureuse, pour les progrès de la Géométrie ralionnelle, que tous les géomètres n'abandonnassent pas les principes rigoureux des Anciens, et que, pendant que les uns, en se confiant aux procédés

faciles de la méthode de Monge^ enrichiraient la science de vérités nouvelles, les antres cherchassent à établir ces vérités sur d'autres fondements, offrant toute la rigueur désirable. Cette sorte d'association et ce double but seront utiles à la Géométrie, et contribueront puissamment à la doter de nouveaux principes et à fonder leur véritable métaphysique. 11 faudra en effet, après avoir découvert quelque vérité par la méthode, en quelque sorte superficielle, de Monge, qui s'empare et tire parti de quelque circonstance externe et palpable, mais accidentelle et fugitive; il faudra, dis-je, pour établir celte vérité sur des raisons permanentes et indépendantes des circonstances variables de construction de la figure, aller au fond des choses et faire usage, non plus comme iMonge, des propriétés secondaires et contingentes qui suffisent, dans certains cas, pour déOnir diverses parties de la figure, mais bien des propriétés intrinsèques et permanentes de ces mêmes parties de la figure. Nous entendons par propriétés intrinsèques et permanentes celles qui serviraient, dans tous les cas, à la définition et à la construction des parties de la figure que nous avons appelées intégrantes ou principales; tandis que les propriétés secondaires et contingentes sont celles qui peuvent disparaître et devenir imaginaires, dans certaines circonstances de construction de la flgure.

La théorie des cercles tracés sur un plan nous offre un exemple de cette distinction que nous faisons entre les propriétés accidentelles, et les propriétés penmnentes d'une figure. Le système de deux cercles comporte toujours l'existence d'une certaine droite, dont la considération est fort utile dans toute cette théorie. Quand les deux cercles se coupent, cette droite est leur corde cotnmufie, et cette seule circonstance suffit pour la définir et la construire : voilà ce que nous appelons une de ses propriétés contingentes ou accidenteffe*. Mais quand les deux cercles ne se coupent pas, cette propriété disparaît quoique la droite pourtant existe toujours, et que sa considération soit encore extrêmement utile dans la théorie des cercles. 11 faut donc définir celte droite et la construire par quelqu'une de ses autres propriétés, qui ait lieu dans tous les cas de construction générale de la figure, ou du sys-

tème des deux cercles. Ce sera une de ses propriétés permamntes. Cest par ces considérations que M. Gaultier ^^ au lieu d'appeler cette droite la corde commune des deux cercles^ Ta appelée axe radical; expression puisée dans une propriété permanente de cette droite, qui consiste en ce que les tangentes aux deux cercles, menées par Fun quelconque de ses points, sont égales entre elles, de sorte que chaque point de cette droite est le centre d'un cercle qui coupe orthogonalement les deux cercles proposés ^.

La connaissance des propriétés intrinsèques et permanentes des différentes parties d'une figure, qu'on sera conduit à rechercher quand les propriétés accidentelles disparaîtront, sera très-utile au perfectionnement des théories géométriques , en leur donnant toute la généralité qu'elles comportent, et souvent le degré d'évidence intuitive qui fait un des caractères de la méthode de Monge.

* Journal de l'École polytechnique, 16* Cahier, ann. 4843.

Le beau Mémoire de M. (xaultier offre la première solution, vraiment générale, de la question du contact des cercles ou des sphères; solution qui permet de supposer que les cercles dcvieii nent des points ou des droites, et les sphères, des points ou des pians.

^ La même propriété a fait donner, depuis, à cette droite, par M. Sleiner, le nom de ligne d'égale puissance. (Voir le Journal de M. Crelle, tom. P^et les Annales de M. Gergonne, tom. XVII,pag. Î295.)

Celte droite jouit, comme Ton sait, de beaucoup d'autres propriétés permanentes remarquables, qui suffisent pour la construire, et qui auraient pu aussi servir à la définir. Ainsi, si ron décrit un cercle quelconque qui coupe les deux proposés, ses cordes communes avec eux se rencontreront sur cette droite.

Si, par un des deux centres de similitude des deux cercles, on mène une transversale qui les rencontre, et que, par les points de rencontre, on mène les tangentes, aux deux cercles, les tangentes du premier cercle rencontreront respectivement celles du second, qui ne leur seront |)as parallèles, en deux {)oints qui seront sur la droite en question.

CVst celte dernière propriété, qui a également lieu dans le système de deux coniques quelconques tracées sur un plan, dont nous nous sommes servi pour déûnir deux droites qui existent toujours dans le système de deux coniques, et dont chacune joue le même rôle, par rapport aux deux coniques, que laxe radical par rapport h deux cercles. L'expression d'axe radical étant fondée sur une relation de grandeur particulière aux cercles, ne pouvait convenir à ces deux droites, et nous les avons appelées axes de sywplose, à cause de la rencontre ou du concours, qui a lieu sur ces deux droites, des tangentes aux deux coniques, menées en des points situés sur une transversale issue d'un de leurs centres d'homologie. (Voir Annales de Mathématiques, tom. XVlll, pag. 285.)

Ainsi ^ la circonstance que l'axe radical de deux cercles est leur corde commune quand ils se coupent^ a conduit Monge à démontrer^ en considérant trois cercles sur un plan comme les sections diamétrales de trois sphères^ que les axes radicaux de ces cercles^ pris deux à deux^ passent par un même point. Ce théorème n'est pas moins évident si l'on part, pour déGnir ces trois axes, de leur propriété permanente reconnue par M. Gaultier. Car on voit tout de suite que le point d'intersection de ces deux axes jouit d'une propriété caractéristique des points du troisième axe; d'où l'on conclut qu'il se trouve sur ce troisième axe,

§ 17. La doctrine des relations contingentes nous semble pouvoir offrir imugimiiret en céo-

métrie.

encore un avantage; c'est de donner une explication satisfaisante du mot imaginaire, employé maintenant en Géométrie pure, où il exprime un être de raison sans existence, mais auquel on peut cependant supposer certaines propriétés, dont on se sert momentanément comme d'auxiliaires, et auquel on applique les mêmes raisonnements qu'à un objet réel et palpable. Cette idée d'imaginaire, qui parait au premier abord obscure et paradoxale, prend donc, dans la théorie des relations contingentes, un sens clair, précis et légitime. (Voir la Note XXVI.) Sous ce rapport, la distinction que nous avons faite entre les propriétés intrinsèques et permanentes des figures, et leurs propriétés fugitives et contingentes, paraîtra peut-être de quelque utilité.

§ 18. La Géométrie descriptive de Monge est une source de bonnes doc-siyiedeMongeeDGéotrines, qui n'a point encore été épuisée. Après y avoir reconnu le germe, plus ou moins développé, de plusieurs méthodes, qui accroissent la puissance et étendent le domaine de la Géométrie, nous y voyons aussi l'origine ' d'une nouvelle manière d'écrire et de parler cette science. Le style, en effet, est si intimement lié à l'esprit des méthodes, qu'il doit avancer avec elles; de même qu'il doit aussi, s'il a pris les devants, influer puissamment sur elles et sur les progrès généraux de la science. Cela est incontestable, et na pas besoin de preuves.

L'ancienne Géométrie est hérissée de figures. La raison en est simple.

Puisqu^on manquait alors de principes généraux et abstraits^ chaque question ne pouvait être traitée qu'à Tétat concret^ sur la figure même qui était Tobjet de celte question^ et dont la vue seule pouvait faire (i^couvrir les éléments nécessaires à la démonstration ou à la solution cherchée. Mais on n'a pas été sans éprouver les inconvénients de cette manière de procéder^ par la difficulté de construction de certaines figures^ et par leur complication^ qui en rend Fintelligence laborieuse et pénible. Cest surtout dans les questions de la Géométrie à trois dimensions^ où les figures peuvent devenir tout à fait impossibles^ que Finconvénient que nous signalons se fait le plus sentir.

Ce défaut de la Géométrie ancienne fait Fun des avantages relatifs de la Géométrie analytique^ où il se trouve éludé de la manière la plus heureuse. On a dû se demander^ après cela^ s'il n'était point aussi ^ en Géométrie pure et spéculative^ une manière de raisonner sans Fassistance continuelle de figures^ dont un inconvénient réel^ même quand leur construction est facile^ est tout au moins de fatiguer l'esprit et de ralentir la pensée.

Les écrits de Monge, et le professorat de cet illustre maître^ dont les manières nous avaient été conservées par Fun de ses plus célèbres disciples^ héritier de sa chaire ' ^ ont résolu la question. Ils nous ont appris qu^il suffit^ maintenant que les éléments de la science sont formés et très-étendus^ d'introduire dans notre langage et dans nos conceptions géométriques^ ces principes généraux et ces transformations analogues à celles de FÂnalyse^ qui; en nous faisant connaître une vérité dans sa pureté primitive et sous toutes ses faces^ se prêtent à des déductions faciles et fécondes ^ par lesquelles on arrive naturellement au but. Tel est l'esprit des doctrines de Monge; et^ quoique sa Géométrie descriptive^ qui nous en offre des exem-

* M. Arago, aujourdliiii Secrétaire perpétuel de rAcadémîe des sciences, quitta ]es l>ancs de l'École pour devenir suppléant de Monge, et bientôt après professeur titulaire. Les Notices scientifiques de V Annuaire du bureau des longitudes, par lesquelles cet illustre astronome popularise en Europe la science si difficile des phénomènes physiques, sont encore un modèle précieux du style sans figures, qui nous paraît éminemment propre à hâter les progrès de la Géométrie.

fieSy fasse par sa nature essentiellement usage de figures^ ce n'est que dans ses applications effectives et mécaniques^ où elle joue le rôle d'instrument^ qu'elle opère ainsi : mais personne^ plus que Monge^ n'a conçu et n'a fait de la Géométrie sans figures. C'est une tradition^ dans l'École polytechnique, que I\longe savait^ à un degré inouï^ faire concevoir dans l'espace toutes les formes les plus compliquées de l'étendue^ et pénétrer dans leurs relations générales et leurs propriétés les plus cachées^ sans aulre secours que celui de ses mains ^ dont les mouvements secondaient admirablement sa parole^ quelquefois difficile^ mais toujours douée de la véritable éloquence du sujet : la netteté et la précision^ la richesse et la profondeur d'idées.

§ 19. Nous avons essayé, dans les pages qui précèdeni, d'apprécier, autant influence des docinne* que nos faibles lumières nous le permettent, la nature et l'étendue des ser- *y*« vices rendus à la Géométrie rationnelle par les doctrines de Monge. H nous resterait à parler de l'influence qu'elles ont eue aussi sur la Géométrie ana- Ijlique, et même sur l'Algèbre, considérée comme pure théorie des grandeurs abstraites, en général. Mais ce serait nous écarter du but de cet écrit, et surtout il y aurait témérité a nous d'aborder un tel sujet, où nous ne saurions être qu'historien, et qui a déjà été traité par un géomètre qui joint la profondeur à la variété des connaissances dont il a fait preuve dans toutes les parlies des sciences mathématiques et philosophiques ^

Aussi nous nous bornerons à dire simplement que l'Algèbre, qui avait déjà dii des progrès considérables à la Géométrie, lors de l'alliance que Descaries Otde ces deux sciences, lui en dut de nouveaux, dans ses parties les plus relevées et les plus épineuses, Vinivyralion des équalions différentielles à plmeurs variables^ par la corrélation profonde que Monge sut établir entre les symboles de cette langue, et les formes et les grandeurs de l'étendue. Nous citerons, par exemple, la double expression analytique de certaines familles de surfaces, par une équation différentielle, et par une équation finie

* Emi historique sur les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge, pnr îi' Ch. Dupin ; pag. 199-248 de rëdilion in- 8°.

renfermant des fonctions arbitraires ^ dont la seconde se trouvait précisément l'intégrale complète de la première.

On conçoit qu'en rapportant ainsi les phrases analytiques à des objets

visibles^ dont les parties ont entre elles des rapports évidents et palpables^

la Géométrie ait pu contribuer puissamment aux progrès de l'Analyse; et^ en

un mot, que Monge ait pu faire de l'Algèbre avec de la Géamétrie *.

prof^rên de la Géomé- § 20. Il uous paraît résultcr^ des considérations dans lesquelles nous

MoDge. sommes entré au sujet des doctrines purement géométriques de Monge ^

qu'à l'apparition de sa Géométrie descriptive, la Géométrie proprement dite, cette science qui avait illustré Euclide^ Archimède^ Apollonius; qui avait été le seul instrument de Galilée^ de Kepler^ de Pascal^ d'Huygens, dans leurs sublimes découvertes des lois de l'univers; qui enfin avait produit les immortels Principes mathématiques de la philosophie naturelle, de Newton; que cette Géométrie pure^ dis-je^ qui depuis un siècle était délaissée^ fut tout à coup agrandie dans ses conceptions et dans ses propres ressources.

On dut concevoir dès lors le désir et l'espoir de tirer rationnellement, de cette science seule, les vérités nombreuses dont l'Analyse de Descartes l'avait enrichie.

ouvinget de c;«mot Dlvcrs ouvragcs furent entrepris dans ce but et dans cet esprit.

Les premiers qui parurent, et qui, par leur importance et l'influence qu'ils ont eue, méritent d'être mis hors ligne, sont la Géométrie déposition, et y Essai sur la théorie des tramver sales , de l'illustre Garnot.

Ces deux ouvrages , dans l'histoire des progrès de la Géométrie rationnelle, ne doivent point être séparés de la Géométrie descriptive de Monge, ayant été, comme elle, et dans le même temps, une continuation des belles méthodes de Desargues et de Pascal, et ayant aussi, comme elle,

* < L^Analyse ne peut que retirer un très-grand avantage de son application à ce genre de » Géométrie; car je donne la solution de plusieurs problèmes d'Analyse qu*on aurait peut-être » beaucoup de peine à résoudre sans les considérations géométriques. » (Monge, Mémoire sur les propriétés de plusieurs genres de surfaces courbes, inséré dans le tom. IX des Mémoires des

SAVAKS ÉTRANGERS, anU. 1775.)

contribué puissammeot aux nouvelles théories et aux découvertes de la Géométrie.

Ce rapprochement entre les doctrines et les travaux des quatre grands

géomètres que nous venons de nommer^ qu'avaient pu faire pressentir nos

observations sur les méthodes de Desargues et de Pascal^ nous parait établir

la véritable chaîne des pensées qui ont présidé aux progrès de la Géométrie.

Mais peut-être devons-nous ajouter quelques mots pour développer nos

idées sur ce point, et justifier ce rapprochement.

§ 21. Les figures que considère la Géométrie^ et leurs parties^ ontoei» georti de méthodes, «n Géométrie

entre elles deux sortes de relations : les unes, qui concernent leurs formes "tionneiie. et leurs situations, appelées relations descriptives, et les autres, qui concernent leurs grandeurs, appelées relations métriques. Ainsi, par exemple, qu'autour d'un point fixe, pris dans le plan d'une conique, on fasse tourner une transversale; et que, par les deux points où elle rencontre la courbe, dans chacune de ses positions , on mène les tangentes à cette courbe : ces deux tangetites auront leur point de concours sur une droite fixe, qui sera la polaire du point fixe. Voilà une propriété descriptive de la conique; voilà une relation descriptive d'un point et de sa polaire.

Maintenant, que, sur chaque transversale, on prenne le point conjugue harmonique du point fixe, par rapport aux deux points où la transversale rencontre la courbe : ce point conjugué harmonique sera précisément sur la pokire du point fixe. Voilà une propriété métrique des coniques ; voilà une relation métrique d'un point et de sa polaire.

Ces deux sortes de propriétés, descriptives et métriques, des figures suffisent individuellement pour la solution d'un grand nombre de questions. Mais il est toujours utile, et souvent indispensable, de les considérer, en même temps, les unes et les autres. La science de l'étendue doit les comprendre sans distinction, ou serait incomplète.

De là, on le conçoit, deux genres de méthodes en Géométrie rationnelle; ou du moins deux parties distinctes d'une méthode générale : celle des relations descriptives et celle des relations métriques.

Desargues ^ Pascal^ La Hire et Le Poivre procédèrent des deux manière; c'est-à-dire qu'ils firent usage des deux genres de relations des figures : des relations descriptives^ en se servant de la perspective pour transformer les figures; et des relations métriques^ par l'usage répété de la proportion harvionique, de la relation à^involution, et de diverses autres propositions appartenant à la théorie des transversales.

Cette distinction admise^ on reconnaîtra que la Géométrie descriptive de Monge était une généralisation^ immense^ il est vrai^ de la première méthode^ la perspective, que ces géomètres employaient pour la démonstration des relations purement descriptives de leurs figures : nous avons vu en effet qu'elle est propre à cet usage, et c'est même dans le but de justifier nos paroles actuelles que nous nous sommes étendu alors sur ses applications à cet objet.

Quant à la théorie des transversales, comprise d'abord implicitement dans la Géométrie de position, puis exposée, sous son véritable titre, dans an écrit spécial , nous avons déjà dit et prouvé que ses principes et plusieurs de ses théories principales avaient été la base des découvertes de Desargues et de Pascal ; nous devons donc regarder cette théorie comme la mise en corps de doctrine des principes qui avaient servi à ces deux grands géomètres.

Ainsi nous pouvons dire que la méthode de Monge et celle de Carnet sont, en Géométrie rationnelle, la généralisation et le perfectionnement immédiat des méthodes de Desargues et de Pascal,- que ce sont deux branches d'une même méthode générale, qui ont leurs avantages propres et particuliers, et qu'on ne doit point séparer, dans l'étude complète des propriétés de l'étendue. Il serait, au contraire, extrêmement utile de les y faire toujours marcher simultanément, sur deux lignes parallèles : elles s'aideraient mutuellement, et les progrès de la science en seraient plus complets et plus rapides ^ Monge, et parmi ses disciples, surtout le savant auteur des Déve^

^ Les ouvrages de Monge et de Carnot offrent de beaux exemples de ces deux méthodes pour ]a démonstration des mêmes théorèmes, et prouvent, de plus, l'utilité de la concomitance que nous voudrions voir souvent établie entre elles ; car les applications que Carnot fait de sa Ihéorie

loppements et des Applications de Géométrie, nous ont donné Fexemple d'ane telle corrélation de méthodes^ par celle qu'ils ont établie entre les procédés logiques de la pure Géométrie et le langage abstrait et symbolique de TAIgèbre.

§ 22. Nous ne pouvons faire ici l'analyse des nombreuses et importantes propositions qui abondent dans les deux ouvrages de Carnot; nous nous boroerons à y faire remarquer la belle propriété générale des courbes géométriques de tous les degrés^ concernant les segments qu'une telle courbe fait sur les côtés d'un polygone tracé dans son plan; propriété qui constitue TeittensioD de la théorie des transversales à la Géométrie des courbes^ et de laquelle^ en particulier^ se déduit^ comme corollaire^ le troisième théorème de Newton^ relatif aux produits des segments faits sur des parallèles.

Passons aux autres ouvrages qui, après ceux de Monge et de Carnot, ont Divep* oum^e* d«

Gcométrie.

servi le plus utilement la science.

Tels nous paraissent être :

Inintéressant essai de la Géométrie de la règle, intitulé : Solutions jwu cie^mnues de différens problèmes de Géométrie pratique (in-8®, 80 pages, ^ï^ XII), où M. Servois, après avoir réuni les théorèmes principaux de la tb^rie des transversales, en montre les usages en Géométrie rationnelle, f^our la démonstration des propositions, et dans la Géométrie pratique, pour ("Résoudre sur le terrain, par des alignements, les ditîérents problèmes qui se i^Brésenlent surtout à la guerre.

\m Développements et les Applications de Géométrie, de M. Gh. Dupin, où

transTerstles, portent en partie sur plusieurs propriétés des sections coniques, et sur celles

axes radicaux et des centres de similitude de trois cei*eles tracés dans un plan, que Monge

^'^ ail démontrées par de pures considérations de Géométrie. Mais Carnot, en se servant des rela-

"^ iQs métriques des figures, parvient, en même temps qu'aux théorèmes de Monge, à plusieurs

I^'V*t»|mété8 concernant ces relations métriques, qui échappent en général à Fautre méthode,

en principe sur les propriétés purement descriptives des figures.

N<ms avions déji fait quelques réflexions sur ces deux manières différentes de démontrer et

Us découvrir en Géométrie , à la suite de nos considérations sur le principe des relations con-

^ÂjDgeatet.

Ton a vu , pour la première fois, traiter par de pures considérations de Géométrie les questions difficiles de la courbure des surfaces, qui avaient exigée entre les mains d'Ëuler et de Monge, toutes les ressources de la plus savante Analyse.

Les Eléments de Géométrie à trois dimensions (partie synthétique)^ de M. Hachelte, où plusieurs questions sur les tangentes et les cercles osculateurs des lignes courbes, dont on n'avait jusqu'alors que des solutions analytiques, furent résolues aussi dans toute leur généralité, par des considérations purement géométriques.

Le Mémoire sur les lignes du second ordre, de M. Brianchon, où se Irouvent déduites, pour la première fois, du célèbre théorème de Desargues sur Tinvolution de six points, de nombreuses propriétés de ces courbes.

Le Mémoire sur l'application de la théorie des transversales y du même auteur ^

* Cet ouvrage a pour objet, comme celui de M. Servois, la solution de plusieui's problèmes par la ligne droite seulement. Dëjà M. Brianchon s'était occupé de cette partie de la Géométrie, soas le titre même de Géométrie de la règle. (\oïr Correspondance sur l'École polytechnique, tom.II, pag. 585.)

Ce genre de Géométrie n'est point absolument nouveau. Nous avons parlé de l'ouvrage de Schooten sur ce sujet, et d*un ouvrage un peu antérieur, intitulé : Geometria peregrinans. Le traité de Schooten : De concinnandis demonstrationibus, etc., contient aussi des exemples de cette Géométrie; on en trouve d'autres dans les Récréations mathématiques d'Ozanam (édition de 1778), et dans divers traités d'nrpentagc, particulièrement dans celui de Mascheroni, intitulé : Problèmes pour les arpenteurs y avec différentes solutions. (Pavie, 1795.)

L'occasion se présente ici de faire mention de la Géométrie du compas^ de Mascheroni (ann. 1797), ouvrage original et curieux, qui a pour objet la résolution, par le compas seulement, des problèmes que Ion résout ordinairement par la règle et le compas. Cette Géométrie est plus riche et plus étendue que celle de la règle, parce qu'elle embrasse les problèmes du second degré, qui sont tous ceux qui forment le domaine de la Géométrie ordinaire. Mascheroni fait voir qu'elle s'applique aussi , avec facililé, à la solution approximative des problèmes qui dépendent des sections coniques, et d'une Géométrie plus relevée.

Des essais du même genre que la Géométrie de la règle et celle du compas, et qui tiennent pour ainsi dire le milieu entre les deux, avaient déjà occupé, longtemps auparavant, de célèbres mathématiciens. Cardan, le premier, dans son livre de subtilitate, avait résolu plusieurs problèmes d'Euclide, par la ligne droite et une seule ouverture de compas, comme si l'on n'avait, dans la pratique, qu'une règle et un compas invariable. Tartalea ne tarda pas à suivre son rival sur ce

Le Traité des Propriétés projectives des figures, de M. Poncelet, qui a poar but^ comme l'indique le titre ^ la recherche des propriétés qui se conservent dans la transformation des figures^ par voie projective; et où^ par rasage heureux de trois doctrines puissantes : le principe de continuité, la théorie des polaires réciproques, et la théorie des figures homologiques à deux et à trois dimensions, le savant auteur a su démontrer, sans un mot de calcul, toutes les propriétés connues des lignes et des surfaces du second degré, et un grand nombre d'autres qui lui sont dues, et dont plusieurs sont regardées déjà comme des plus importantes de cette riche théorie.

Divers Mémoires de M. Gergonne, de M. Quetelet, de M. Dandelin et d'autres géomètres, qui ont paru dans les recueils scientifiques ^, ont aussi enrichi la science de découvertes précieuses, qui ont contribué à ses progrès.

§23. De ces ouvrages, dont un mérite commun fut d'offrir, tous, des Méii.o.ie» r«enie» eo

" O 7 7 7 Géométrie.

preuves convaincantes et multipliées des ressources infinies que la Géométrie pure peut puiser en elle-même, sont nées ces vérités simples et fécondes, qui attestent seules la perfection de la science dont elles sont les véritables bases : des théories, dont le germe se trouvait, inaperçu depuis des siècles, dans les écrits des géomètres, ont apparu, se sont développées rapidement, et ont donné lieu aux méthodes qui constituent la Géométrie récente.

Parmi ces méthodes, nous distinguerons :

Premièrement, la théorie des transversales, dont le principal théorème,

temia, et étendit cette manière par de nouveaux problèmes. {General iratiato di nutneri, e fiûiure; 5*^ partey libro terzo; in-fol. Venise, 1500). Enfin, un savant géomètre piëinonlais, J.*B. de Bencdîclis , en fit Tobjet d'un traité intitulé : Resolulio omnium Euclidis prohlema- («My (Uiorumque ad hoc necessario inveniorum, unà tanlummodo circini daté aperturà; ia4'. Venise, 1553.

* Le Journal et la Correspondance de l'Ecole polytechnique; \cs Annales de M. Gergonne; la Onrtspondance mathématique et physique de M. Quetelet ; le Journal allemand de M. Crelle.

Plusieurs géomètres allemands : MM. Steiner, Plucker, Môbius, etc., dignes collaborateurs des célèbres analystes Gauss,CrelIe, Jacobi,Lejeune-Dirichlet, etc., écrivent, dans ce dernier recueil, sur les nouvelles doctrines de la Géométrie rationnelle. Nous éprouvons un vif regret de ne pouvoir citer ici leurs ouvrages, qui nous sont inconnus, par suite de notre ignorance de la langue dans laquelle ils sont écrits.

relatif au triangle coupé par une droite, a une haute antiquité, mais auquel Carnot a donné une nouvelle existence, en en montrant, le premier^ toute Futilité et la fécondité, et en le transportant, par une généralisation infiniment heureuse, dans la théorie des lignes et des surfaces courbes ^

Deuxiènievient, les doctrines sur la transformation des figures en d^aulres figures du même genre, comme fait la perspective.

Parmi les méthodes de cette nature, nous citerons :

t"" La perspective elle-même, dont les principes sont la base des ouvrages de Desargues et de Pascal sur les coniques^ et dont les usages, depuis^ se soiit étendus et souvent répétés.

2^ La méthode qui consiste à faire croître, dans un rapport constant^ les rayons visuels menés aux diiïérenls points d'une figure, pour former une figure semblable et semblablement placée.

Z"" Celle qui fait croître proj)orlionnellement les ordonnées des points d'une figure, ainsi qu'on opère dans le dessin d'un profil dont on veut rendre les dimensions en hauteur plus facilement appréciables, méthode employée par Durer 2, Porta 5, Stevin, Mydorge et Grégoire de Saint-Vincent, pour former Tellipse par le cercle ^.

i"" Celle par laquelle on incline toutes les ordonnées d'une figure, en les faisant tourner autour de leurs pieds sur le plan de projection, et en leur conservant le parallélisme entre elles; procédé usité surtout en architecture, pour la construction des arcs rampants ^.

* Un théorème analogue, relatif aux segments faits, sur les trois côtés d'un triangle, par Iroîs droites issues d'un même point et aboutissant respectivement aux sommets opposés, est aussi l'un des principaux de la théorie des tramversales. Celui-ci , qu'on a attribué jusqu'ici à Jean Bernoulli, a été démontré en premier lieu par Jean Ceva. (Voir la note Vil.)

' Institutiones geome(ricœ. Livre 1".

' Elemenla curvilinea. Livre l".

^ Le P. Nicolas, qui a fait aussi usage de cette méthode dans son Traité des conehoîdes et des cissoïdeSf a appelé homogèneSy les courbes ainsi formées Tune par Fautre. (De conchoîdibvs ei cissoîdibus exercitationes Geometriœ ; in-4^ Tolosœ, 1692.)

' On peut, en même temps, augmenter proportionnellement les ordonnées. M. Hachette a fait usage de ce mode de déformation dans deux propositions de Géométrie, pour démontrer qu'une

5® La méthode pour la construction des bas-reliefs^ enseignée par Bosse et Pétitot * ; et celle qu'a proposée, depuis, M. Breysig, sous le titre : Essai iune théorie de la perspective des reliefs, disposée de manière à servir en même temps aux peintres, în-8**. Magdebourg, 1798 ^.

6* La méthode des Planiconiques de La Hire , et celle de Le Poivre , ayant pour objet, Tune et Tautre, de décrire, sur le plan de la base d'un côoe, les mêmes courbes que donneraient, dans l'espace, les sections du cèoe par un plan.

7' Celle de Newton, pour transformer les figures en d'autres du même

des propriétés de la projection stéréographique de la sphère ne pourrait avoir lieu dans une autre surface qu'autant qu'elle serait du second degré. (Voir Correspondance polytechnique, lom. l*', pag. 77.)

11 est aisé de voir que ce mode de déformation peut être ramené à celui qui consiste à faire croître les ordonnées d'une surface suivant leur propre direction, et dans un rapport constant.

* La construction des bas-reliefs est regardée, généralement, comme incertaine et dépourvue de règles rigoureuses, comme était, par exemple, la perspective, il y a deux siècles, dans Tesprit delà plupart des peintres. Cependant Bosse a écrit quelques règles géométriques pour cette coDslniction. Nous les trouvons dans son Traité des pratiques géométrales et perspectives (in-8% 1665). Un passage du même ouvrage nous apprend que Desargues, qui eut la gloire d'introduire, dans les arts de construction, les principes et la rigueur des opérations géométriques, avait appliqué, à la construction des bas-reliefs, sa manière de pratiquer la perspective. Il nous ^tperniis de penser que ce sont les idées de Desargues, ou sa méthode même, que Bosse nous a iraosmises.

Nous trouvons, depuis, de semblables règles pour les bas-reliefs, dans le Traité de Perspec-- <<Mde Pétitot, intitulé : Raisonnement sur la perspective, pour en faciliter l'usage aux artistes, io-fol., Parme, 1758 (en français et en italien).

Ces règles de construction de bas-reliefs, produisant des figures du même genre que les proposées, nous devons les comprendre parmi les méthodes dont nous faisons ici l'énumération. 11 ttt vrai que ces règles sont presque ignorées, et surtout qu'elles n'ont jamais été employées, en ueométrie rationnelle, pour la recherche et la démonstration des propriétés des figures; mais elles D'en sont pas moins susceptibles d'un tel usage.

* Nous ne connaissons, de l'ouvrage de M. Breysig, que le titre, qui est rapporté par M. Ponttlet,àla page 597 du 8* volume du Journal de M. Crelle; mais nous n'hésitons point à mettre le mode de construction des reliefs, qu'il contient, au nombre des méthodes propres à transformer les figures à trois dimensions en d'autres figures du même genre, M. Poncelet nous apprenant que les préceptes de l'auteur se trouvent d'accord avec les siens propres, qui produisent de telles figures.

genre, comprise dans le lemme 22 du premier livre des Principes; et qui fut généralisée par Waring ^

8° Celle dont nous avons fait usage pour appliquer à Tellipsoïde les propriétés de la sphère, qui consiste à faire croître, dans des rapports constants^ les coordonnées des points de la figure proposée. {Correspondance sur t Ecole polytechnique, tom. III, pag. 326) ^.

9^ Enfin, la belle théorie des figures homologiques ou perspective^relief, de M. Poncelet, qui rentre dans celle de La Hire et Le Poivre par le cas des figures planes, mais qui n'avait point encore été conçue pour les figures à trois dimensions ^.

' X et y étant les coordonnées d'un point d'une courbe donnée, et x\ y' colles du point correspondant de sa transformée , Waring prend les relations :

II présente ce mode de transformation comme une généralisation de celui de Newton, où Ton a

aï' ^ X'

(Principes math., livre i*% lemrae 22); et il se borne à faire voir que la nouvelle coarbe sera du même degré que la proposée. [Miscellanea analyticay pag. 82; Proprietates curvarum algebraïcarum, pag. 240.)

Nous démontrerons que les courbes ainsi construites peuvent être, aussi bien que celles de Newton, produites par la perspective; de sorte que la généralisation de Waring ne porte que sur la position de la nouvelle courbe par rapport à la proposée, et non sur sa forme, ni sur ses propriétés individuelles.

^ Euler avait indiqué ce mode de transformation pour les courbes planes; mais sans en faire d'applications : il dit que les courbes ainsi construites Tune par Taulre ont de Vaffinité; il les appelle Lineœ affines, {iniroductio in analysin infinitorum ; livre 2, art. 442.)

3 M. Le François a fait usage, dans ces derniers temps, de la théorie des figures homologiques, comme moyen de déformation de quelques courbes du troisième degré, particulièrement des focales de MM. Quetelet et Van Recs. (Dissertatio inauguralis mathematica de quibusdam curvis geometricis ; in-4". Gand, 1830.) La méthode de ce géomètre diffère de celle de M. Poncelet, en ce qu'il se sert, pour construire ses courbes homologiques, d'une de leurs relaUoDS métriques. Mais cette relation n'est pas la plus générale que comporte cette théorie ; elle est un rapport Aari/io/itft/e; tandis qu'on peut prendre un rapport anharmonique, qui donne plas de

Nous réunissons sous un même titre ces diverses méthodes^ parce que Dous ferons voir que toutes^ et la perspective proprement dite elle-même^ dérivent d'un seul principe fondamental^ dont elles ne sont que des applications particulières.

Troisièmement, la théorie des polaires réciproques^ que les élèves de Monge puisèrent dans les précieuses leçons de cet illustre professeur; dont il fut fait d'abord quelques usages particuliers pour transformer des figures en d'autres^ où des droites correspondaient à des points et des points à des droites {voir la» Note XXVI); et sur laquelle le célèbre auteur du Traité des Propriétés projectives des figures a appelé toute l'attention des géomètres, en la faisant servir, le premier, à la transformation des relations de grandeur métrique ou angulaire.

Quatrièmement y la doctrine des projections stéréographiques, qui, considérée d'abord dans la sphère seulement, servait à la construction de certaines cartes géographiques; et qui, accrue d'un nouveau théorème, et étendue d'une manière très-générale aux surfaces du deuxième degré, ofTre aujourd'hui un moyen de recherche aussi simple qu expéditif K Les Mémoires

généralité à la construction des figures. Nous reviendrons sur cet objet dans notre Mémoire sur U Déformation homographique,

La considération des relations métriques des figures étant la partie principale de ce Memoirf , on nous permettra de rappeler ici qu'il a été adressé à rAcadéniic de Bruxelles en janvier 1850; et qu'ainsi il a précédé la publication de la thèse de IH. Le François, que ce géomètre nous a fait Thonneur de nous adresser quelque temps après.

' La théorie des projections stéréographiques de la sphère, telle qu'on l'emploie aujourd'hui (iaus la Géométrie spéculative, se compose des deux principes suivants :

1* La projection de tout cercle tracé sur la sphère est un cercle;

2* Le centre de ce cercle est la projection du sommet du cône circonscrit à la sphère suivant Itcerde mis en projection.

Ce second théorème, aussi essentiel que le premier, n*est connu que depuis quelques années; BOUS l'avons énoncé pour la première fois, et démontré analytiquement, dans les Éléments de Crfomelrte à trois dimensions de M. Hachette (année 1817). Depuis, nous avons appliqué, par de simples considérations de Géométrie, à toute surface du second degré, la théorie des projec- ^s stéréographiques, et nous l'avons généralisée sous deux rapports : i*" en considérant des wHaces du second degré, inscrites h la proposée, au lieu de sections planes de celles-ci ; "1^ en

de rÂcadcmie de Bruxelles^ particulièrement^ contiennent les applications les plus heureuses de cette élégante doctrine^ par MM. Quetelel et Dandelin.

§ 24. Telles nous paraissent être les quatre grandes divisions auxquelles on pourrait rattacher^ sous le point de vue philosophique des méthodes , dans rétat actuel de la Géométrie^ la plupart de ses nombreuses découvertes récentes. Dans une cinquième^ on comprendrait quelques théories particulières et spéciales^ que leurs auteurs ont fait reposer sur les seuls principes de la Géométrie pure. Telles sont^ entre autres^ la théorie des tangetites conjuguées^ due à M. Dupin^ qui en a fait les plus utiles applications spéculatives et pratiques; et la nouvelle Théorie des caustiques, par laquelle M. Quetelet a réduit^ à quelques principes de Géométrie élémentaire^ cette partie importante et difficile de Toptique^ a laquelle ne pouvaient suffire toutes les ressources de l'Analyse.

Ces théories^ qui semblent au premier abord étrangères aux méthodes dont nous venons de parler^ pourraient pourtant s'y rattacher sous certains rapports* et en recevoir d'utiles secours. Les singuliers rapprochements que M. Quetelet a faits entre sa théorie des caustiques et celle des projections stéréographiques^ en sont une première preuve; nous aurons occasion ailleurs d'en donner d'autres ^

prenant pour plan de projection un plan quelconque. (Voir Annales de Maihétnatiques , lom. XVllI, pag. 305, et loni. XIX, pag. 157.)

* Par exemple, M. Ch. Dupin , dans sa belle Théorie géométrique de la courbure des surfaces, n'a pas dégagé entièrement de considérations analytiques la démonstration de cette proposition : < Quand deux surfaces du second degré ont leurs sections principales décrites des mêmes » foyers, elles se coupent partout à angle droit. » Les méthodes récentes conduisent, de diverses manières, à une démonstration purement géométrique de ce théorème.

Disons même, pour offrir un exemple de la portée de ces méthodes, que Ton parvient, sans plus de difficulté, à cette proposition beaucoup plus générale : Quand deux sur faces du second degré ont leurs sections principales décrites des mêmes foyers, de quelque point de respaee qu'on les considère, leurs contottrs apparents paraissent se couper à angle droit.

Nous ajouterons que les beaux résultats contenus dans un Mémoire sur les axes conjugués eî les moments d'inertie des corps (16' Cahier du Journal de l'École polytechnique), où M. Binet a fait usage de la même proposition que M. Ch. Dupin, et ceux auxquels M. Ampère est aussi parvenu sur le même sujet, dans son Mémoire intitulé : Quelques propriétés nouvelles des

§ 35. En même temps qu'une étude approfondie de Tétat actuel de la perr«etionnemeni da.

. i**/*ii«*« • méthode» récent c«.

Géométrie pure tend à justifier la division systématique que nous avons établie, elle fait voir, par le manque de généralité et de caractère précis d'une foule de théorèmes qui se rattachent aux méthodes que nous venons d'indiquer, que ces méthodes elles-mêmes n'ont point encore l'étendue, la fécondité et le degré de puissance désirables.

Ainsi, par exemple, les méthodes comprises dans notre deuxième et notre troisième division, d'un usage facile et général pour la découverte et la démonstration des propriétés descriptives des figures, n'ont encore été appliquées que d'une manière restreinte aux relations de grandeur (lignes, surfaces ou volumes). N'est-il pas présumable qu'il leur manque quelque principe qui les rende applicables à des relations beaucoup plus générales, et peut-être à toutes sortes de relations ?

On conçoit donc que ces méthodes ne reposent point encore sur d'assez larges bases. Et en effet, nous croyons pouvoir dire que chacune d'elles est susceptible d'une très-grande extension.

§26. La première, celle des transversales^ peut être accrue de principes Théorie des tran^ver-

sales.

nouveaux, qui la rendent propre à de nouveaux usages, et suppléent en mille circonstances, et particulièrement dans l'étude des propriétés générales des courbes géométriques, à l'Analyse de Descartes : dans son état actuel inéme, elle peut servir à diverses questions, qui ne lui point encore été soumises; par exemple au problème général des tangentes et à celui des rayons de courbure de toutes les courbes géométriques, dont nous avons indiqué les solutions dans le Bulletin universel des sciences (juin 1830) K

^^^ permanents de rotation des corps ^ nous ajouterons, dis-je, que ces belles découvertes, ^rdëes comme étant du domaine de la mécanique, et que leurs auteurs ont obtenues par J'Analyse, peuvent aussi dériver de pures considérations géométriques : et peut-être trouveftit-on que cette voie rattache davantage ces diverses découvertes à leurs principes premiers, en montre mieux renchaincment, et en rend Texposition plus facile et plus rationnelle.

Cest ainsi que la Géométrie, en reculant ses limites, apportera toujours son flambeau dans «loflque partie nouvelle des sciences physico-mathématiques.

^ Cofislnidion des tangentes, — Pour déterminer la tangente en un point m d'une courbe

Projections .iiirèogra- § 27. La doctfîne des projections stéréographiques^ outre TexteDsion

qu'elle a déjà reçue par son application à toutes sortes de surfaces du second degré ^ est susceptible d'une nouvelle généralisation qui consisterait à placer Tœil^ non plus en un point de la surface^ mais arbitrairement en un lieu quelconque de Tespace^ même à Tinfini. De cette manière les sections planes de la surface du second degré ne seront plus^ en projection^ des coniques homothétiques entre elles ^ ou bien des coniques ayant toutes un même axe de symptose; ces courbes auront entre elles une dépendance d'une expression plus générale; elles auront toutes un double contact (réel ou imaginaire) avec une même conique^ perspective du contour apparent de la surface du second degré (celte conique pouvant elle-même être imaginaire).

Ce théorème appartient à M. Poncelet^ qui Ta donné dans son Traité des Propriétés projectives (art. 610), et en a montré Tusage pour Tétude des

géométrique, d*un degré quelconque, on mène par ce point deux transversales mA, fit A', sous des directions arbitraires; on fait les produits des segments compris, sur ces droites, entre le point m et les autres points où elles rencontrent la courbe; soient V, P' ces deux produits.

Par un point /a, pris arbitrairement dans le plan de la courbe, on mène deux transversales, parallèles aux droites mA, y/iA'; et Ton fait les produits des segments compris, sur ces transversales, entre le point p et la courbe; soient II, n' ces deux produits.

On portera, sur les droites tiiA, mA', a partir du point m, deux lignes proportionnelles

aux rapports ^ 9 -p respectivement : la droite qui joindra les extrémités de ces lignes sera

parallèle à la tangente en m.

Ainsi la direction de la tangente est déterminée.

On pourrait construire directement la normale. Pour cela, on porterait, sur les deux Irans-

p P' versales issues du point m , des lignes proportionnelles aux rapports tî ' jp ; P"^ les extrémités

de ces lignes et par le point m, on ferait passer un cercle : son rentre serait sur la normale à la courbe, au point m.

Construction des cercles osculuteurs. — Pour déterminer le cercle osculateur en un point m d'une courbe géométrique, on mènera, par ce point, la tangente à la courbe, et une transversale quelconque mA; on prendra les produits des segments compris, sur ces deux droites, entre le point m et les autres branches de la courbe; soient 1 et P ces deux produits.

Par un point p, pris arbitrairement dans le plan de la courbe, on mènera deux parallèles à la tangente et à la transversale; et on fera les produits des segments compris, sur ces parallèles, entre le point /x et la courbe ; soient r et tt ces produits.

On portera sur la transversale mA une ligne égale à — • t^ : Vextrémité de cette ligne sera snr le cercle osculateur cherché.

propriétés d'un système de coniques ayant toutes un double contact avec une même conique. Si Ton y jointe comme dans la projection stéréographique proprement dite^ un second théorème relatif à la projection des sommets des cènes circonscrits à la surface du second degré suivant ses sections planes^ cette théorie nouvelle offrira un champ de recherches intéressantes et inépuisables, et où se trouveront résolus une foule de problèmes sur la construction des coniques assujetties à des conditions diverses. (Voir la Note XXVIII.) § 28. Les méthodes comprises dans notre deuxième division , qui parais- Méthodes de déforma.

, , tion des figures.

seot étrangères les unes aux autres, et sont destmées à des usages pratiques différents, peuvent, étant considérées comme moyen théorique de rfe/brmatim des figures^ être résumées en un seul et unique principe de déformation, qoiles remplacera toutes; principe qui nous parait offrir une doctrine nouvelle d'une grande portée, et d'un usage facile et plus étendu que celui de

Il suit de ceUe construction que, si Ton appelle e l'angle formé par la transversale mA et M tangente, le rayon de courbure R = .^ — ^ .

Si la courbe est du degré m, r et tt contiendront m facteurs linéaires, P en contiendra « — 1, et T en contiendra m — 2.

Quand la courbe sera tracée, ces facteurs seront des lignes comprises sur les transversales; ^ quand la courbe sera déterminée par son équation , on connaîtra immédiatement, au moyen déceliez:!, les valeurs des quatre produits P, T, tt, t ; ce qui résulte, comme on le sait , de la théorie générale des équations.

Quand la courbe est tracée, il faut qu'elle le soit complètement, c'est-à-dire que toutes ses branches soient décrites, pour que les transversales la rencontrent en autant de points que rindique le degré de la courbe. Par exemple, si la courbe est une de celles du quatrième degré, appelées ovales de Descaries , il faut connaître sa compagne j seconde ovale, jouissant des Oléines propriétés que la première, non indiquée par la construction que Descartes et dautres géomèlres ont donnée de ces courbes , mais qui est renfermée dans la même équation. ( Voir la Noie XXI.)

Us constructions précédentes peuvent être simplifiées, parce qu'au lieu de quatre transverttles, parallèles deux à deux, on peut n'en mener que trois, dont deux issues du point de la courbe, et la troisième tout à fait arbitraire. Cette modiGcation des solutions ci-dessus repose wr la belle propriété générale des courbes géométriques , donnée par Carnot dans sa Géométrie iifoiilion, pag. 291.

M. Poncelet a aussi donné une construction des tangentes aux courbes géométriques, dans son Mémoire présenté, en septembre 185J, à l'Académie des sciences de Paris, sous le titre : Ànaltfie des transversales, appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfoeei gimétriques. (Voir le tom. VIII du Journal de M. Crelle, pag. 229.)

CCS diverses méthodes. Cette doctrine reposera sur uq seul théorème de Géométrie^ que nous regardons comme la dernière généralisation, et pour ainsi dire comme Foriginal des principes qui donnaient lieu à ces méthodes. Nous ajouterons que toutes les autres méthodes semblables, qu'on pourrait découvrir par la suite, pour convertir les figures en d'autres du même genre, ne seront aussi que des déductions de ce seul et unique théorème. Polaires réciproques, et § 29. Quaut à la théorlc dcs polaires réciproques, qui sert à transformer

autres méthodes sem* 11/^1 ■•jh* /i

biabien. les figures en d autres figures de genre dînèrent (dans lesquelles les plans

et les points correspondent respectivement à des points et à des plans des

figures proposées), et à convertir les propriétés de ces figures en propriétés

Principe de dualité, dcs figurcs nouvclIcs, ce qui établit une dualité permanente des formes et

des propriétés de Tétendue figurée, nous avons déjà annoncé [Annales de Mathématiques, tom. XVIIl, pag. 270), que cette théorie n'est point une méthode unique pour ces fins : il en existe plusieurs autres, qui mettent en évidence cette dualité , et qui sont d'un usage aussi facile dans leurs applications.

Ainsi, la dualité reconnue depuis deux siècles ^ dans la Géométrie de la sphère, où chaque figure a sa figure supplémentaire, dans laquelle des arcs de grands cercles correspondent aux points de la première, et passent par un même point quand ces points de la première figure sont sur un même arc de grand cercle, cette dualité, dis-je, met dans une évidence parfaite la dualité des figures planes, et ofi*re un moyen facile de transformation de ces figures.

Que Ton conçoive en effet, sur une sphère, une première figure quelconque, et la figure supplémentaire (c'est-à-dire, la figure enveloppe des arcs de grands cercles dont les plans sont perpendiculaires aux rayons qui aboutissent aux points de la première); et qu'on fasse la perspective de ces deux figures sur un plan , l'œil étant placé au centre de la sphère ; on aura , en

' Nous avons dit que le théorème sur lequel repose cette dualité est dû à Sncllius, et que sa découverte avait été préparée par les transformations de (linnglcs sur la sphère , que Viète avait faites pour résoudre quelques cas de la trigonométrie sphérique.

perspective deux figures^ dont l'une sera la transformée de l'autre ^ et où la dwdité en question sera évidente.

Mais ou reconnaît aisément que cette transformation d'une figure plane peut s'eiïectuer directement sur le plan de la figure^ sans l'emploi d'une sphère auxiliaire. En eiïet^ la perpendiculaire abaissée^ de chaque point de la figure proposée^ sur la droite qui correspond à ce point dans la seeoude figure^ passera par un point fixe^ projection orthogonale du centre de la sphère sur le plan de la figure ; et cette perpendiculaire sera divisée en ce point en deux segments^ dont le produit sera constant^ comme étant égal au carré de la distance du centre de la sphère au plan de la figure. Il suffira donc, pour former une transformée d'une figure proposée, de mener, par un point fixe de son plan, un rayon à chacun des points de cette figure; de prendre, sur le prolongement de ce rayon, au delà du point fixe, une ligne proportionnelle à sa valeur inverse^ et de mener, à rexlrémité de cette ligne, une perpendiculaire au rayon. Toutes ces perpendiculaires correspondront respectivement aux points de la figure proposée, et envelopperont sa transformée.

§ 30. II est manifeste que ce procédé de construction des figures transformées s'applique aux figures à trois dimensions; nous l'énoncerons ainsi :

Etant donnée une figure dans l'espace ; que, d'un point fixe , pris arbifrumnent, on mène à tous les points de cette figure des rayons, et que wr ces rayons [ou bien sur leurs prolongements au delà du point fixe), on Jiorte des lignes qui leur soient respectivement proportionnelles; que, par les ^^mitts de ces lignes, on mène des plans perpendiculaires aux rayons; tow ce« plaiis envelopperont une seconde figure qui sera la transformée de la J^jmée, comme on l'entend dam le principe de dualité. C'est-à-dire qu'aux plans dans la figure proposée, correspondront des points dans la nouvelle figure, et quand ces plans passeront par un même point, ces points seront sur un même plan ^

' La démonstration de ce thëorëme est extrêmement faeile. Nous In donnerons dnns la noie XXIX.

Quand les ligues proportiouuelles aux valeurs inverses des rayonsjnenés du point fixe aux points de la figure proposée^ sont prises sur les directions de ces rayons, les plans menés par les extrémités de ces lignes, perpendiculairement aux rayons, peuvent être considérés comme les plans polaires des points de la figure proposée, par rapport à une certaine sphère décrite du point fixe comme centre.

Notre mode de transformation comprend donc celui de la théorie des polaires réciproques considérées dans la sphère ; et il est plus général que celui-ci, en ce que, dans la théorie des polaires, les plans correspondant aux points d'une figure proposée sont toujours menés entre ces points et le centre de la sphère, tandis que, dans notre mode de transformations, ces plans peuvent être menés au delà du point fixe qui représente ce centre ^

Cette connexion intime entre la théorie des polaires réciproques , d'Invention toute récente, et la dualité des figures tracées sur la sphère, connue et usitée depuis près de deux siècles, nous a paru mériter d'être remarquée ici.

§ 31. Passons à d'autres modes de transformation.

Il en est deux qui reposent, comme le précédent, sur des théories connues. Le premier est ofi'ert par le Porisme d'Ëuclide, que nous avons cité en parlant des Collections mathématiques de Pappus (1** Epoque, § 31, en note); car, dans ce porisme, pour chaque point d'une figure plane on construit une droite , et l'on reconnaît aisément que, si les points de la première figure sont en ligne droite, les droites correspondantes, dans la seconde figure, passent par un même point.

Le second résulte de la théorie des courbes et surfaces réciproques, dont Mongeadonné Texpression analytique. {Voir la Note XXX.)

* La plus grande généralité que nous venons de signaler n a lieu que sous le rapport géométrique, et non quand on emploie la voie analytique; parce que, dans ce dernier cas, oo peut supposer imaginaire le rayon de la sphère par rapport à laquelle on prend les polaires; et alors les plans polaires des points de la figure proposée sont menés au delà du point qui représente le centre de la sphère.

§ 32. On peut imaginer d'autres modes de transformation.

Par exemple^ soient dans l'espace un angle trièdre^ et un triangle situé dans un plan mené par le sommet de Tangle trièdre; que^ par chaque point d'ooe Ogure donnée dans l'espace ^ on mène trois plans passant pas les trois côlés du triangle; ils rencontreront respectivement les trois arêtes de l'angle triédre en trois points qui détermineront un plan; tous les plans ainsi déterminés envelopperont une seconde figure ayant, avec la proposée, les rapports et les dépendances qui constituent la dualité en question.

Uoe figure étant donnée dans l'espace, qu'on lui imprime un mouvement ioGniment petit quelconque, et qu'on mène, par ses diiïérents points, des plans normaux à leurs trajectoires; tous ces plans envelopperont une seconde flgure, qui sera une transformation de la proposée, de même nature que la précédente.

Que l'on suppose qu'une figure donnée dans l'espace soit sollicitée par plusieurs forces, et que, par chaque point de la figure, on mène le plan principal de ces forces relatif à ce point; tous ces plans envelopperont une seconde ligure qui sera encore une transformation de la proposée, de même nature que les précédentes.

§33. De ces trois modes de transformation dans Tespace, le premier, celui qui fait usage de l'angle trièdre, a son analogue sur le plan; c'est le Porkme d'Euclide. Les deux autres n'ont point leurs analogues sur le plan : oiais ils n'en sont pas moins propres à la transformation des figures planes. Eq effet, qu'une figure plane soit donnée à transformer; on imprimera à son plan un mouvement infiniment petit dans Tespace; les plans normaux aux trajectoires des diflerents points de la figure envelopperont une surface conique (qui aura son sommet en un point du plan de la figure) ' , et un plan transversal , mené arbitrairement dans fespace, coupera cette surface conique suivant une figure qui sera une transformée de la proposée.

On pourra faire servir ainsi, à la transformation des figures planes,

' Nous donnerons la démonstration de ce théorème dans un écrit sur les propriétés géométriques du luouvenient d'un corps solide lihrc dans l'espace.

chacun des procédés qvCon emploiera pour la transformation des figures dans Tespace^ et qui n'aurait pas son analogue sur le plan. Primipe de transforma. § 34. Nous pourrious citcr d'autros modes particuliers de transformation^

lion le plu» général.

qui feraient comme les précédents, soit dans l'espace, soit sur le plan, le même office que la théorie dos polaires réciproques.

Mais toutes ces méthodes peuvent être remplacées, comme celle de déformation^ dont nous avons parlé ci-dessus, par un seul et unique principe, plus général et plus étendu que chacune d'elles. Ce principe, qui constitue une doctrine complète de transformation des figures, prend sa source dans un seul théorème de Géométrie, qui nous paraît être la raison première de cette propriété inhérente aux formes de letendue, la dualité , sur laquelle do savants géomètres ont déjà écrit, mais sans remonter, malgré les vues trèsphilosophiques qu'ils ont apportées dans celte partie de la Géométrie, à son principe primordial, indépendant de toute doctrine i)articulière. c-racière particulier de § 33. Nous allous tout dc suilc fairc concevoir, par quelques réflexions

la théorie des | D'aires

réciproques. gyp j^ uaturc dc cc pHucipc de transformation, et sur la théorie des polaires

réciproques, comment il offre une plus grande généralité que cette théorie.

Les figures considérées dans ce genre de transformation ont entre elles une concordance, ou réciprocité, qui consiste en ce que : à chaque point de la flffure proposée correspond un plan dans sa dérivée; et^ réciproquement, à chaque point de celle-ci correspond un plan dam la figure proposée. Cela résulte d'une seule et uniifue condition dans la construction de la seconde figure, à savoir que : tous les plans qui, dans cette figure y correspondent à des points de la proposée , situés sur un même plan, doivent passer m cessairement par un même point. Voilà comment un point de la seconde figure répond à un plan de la première.

Cette condition, qui constitue à elle seule la doctrine de transformation dont nous parlons, parce qu'elle la distingue d'une infinité d'autres modes de transformation, dans lesquels des plans correspondent à des points, ou bien des points à des plans, mais où ces deux circonstances n'ont pas lieu en même temps; cette condition, dis-je, se trouve remplie dans la théorie des

polaires^ oii Ton sait que tous les plans polaires des points d'un même plan passent par un même point (ou, en d'autres termes, quand des cônes circonscrits à une surface du second degré ont leurs sommets sur un même plan, les plans de leurs courbes de contact avec la surface passent par un même point). Voilà pourquoi la théorie des polaires offre un moyen de transformation des figures, et met en évidence la dualilé de Fétendue.

Mais cette théorie offre une circonslance particulière : c'est que le point par où passent les plans polaires des points de la première tigure qui sont situés sur un même plan , a lui-même pour plan polaire ce plan. De sorte que la première figure se (ronsiruirait au moyen de la seconde, absolument (le la même manière que cette seconde a été construite au moyen de la première. Ainsi, il y a réciprocité parfaite, ou plutôt identité parfaite de construction entre les deux tîgures.

La théorie des polaires ayant été jusqu'à ce jour le seul moyen employé pour la transformation des figures, on pourrait croire qu'elles doivent leur concordance, ou réciprocité de formes, dont nous parlions tout à l'heure, à ridentité de construction qui a lieu dans celte théorie des polaires. Ce serait une erreur grave. Cette identité de construction est une propriété accidentelle, particulière aux figures que produit la théorie des polaires, et qui se présente aussi dans d'autres modes de transformation; mais ce n'est point elle qui donne lieu à la dualité de l'étendue; et, en effet, elle n'existe point dans divers autres modes de transformation, et notamment dans celui qui, comme nous le ferons voir, comprend tous les autres comme corollaires, ou cas particuliers. Aussi nous ne ferons aucun usage de cette identité de construction , et nous l'écarterons de l'exposition de notre doctrine de transformation, comme y étant étrangère, et ne s'y rencontrant que par circonslance particulière et accidentelle.

§ 36. Dans le mode de transformation par voie de mouvement inOnimentcaraciérepartiruiierde

,,,.,,. plusicMif autres mo-

petit, n y a identité de construction, comme dans la théorie des polaires : j«^» '*« iransform.c'esl-à-dire que les plans normaux aux trajectoires des points d'une première figure enveloppent une seconde ligure telle, que si elle eut été

construite^ et qu'elle eut éprouvé le ménie mouvement que la première^ les plans normaux à ses trajectoires envelopperaient la première ligure.

Une pareille réciprocité a lieu aussi dans les ligures faites par Femploi d'un système de forces.

Mais il n'en est plus de même dans les transformations faites par la considération de Tangle trièdre. Si un point parcourt une ligure donnée^ le plan déterminé comme nous avons dit, au moyen de l'angle trièdre, enveloppera une seconde ligure qui sera la dérivée ou transformée de la première. Mais si le point parcourt cette seconde figure, le plan mobile n'enveloppera points comme dans la théorie des polaires et dans la transformation par voie de mouvement iniiniment petit, la première figure; il en enveloppera une troisième, toute dilTérente. Dans le cas particulier seulement où les trois sommets du triangle seraient situés dans les plans des faces de l'angle trièdre^ il y aurait identité, c'est-à-dire que la troisième ligure ne serait autre que la première.

Dans le mode de transformation des ligures planes, fourni par le Porisme d'Ëuclide, il ne peut jamais y avoir identité de construction. Ainsi^ quand le point mobile parcourt une figure proposée, sa droite correspondante^ ou dérivée, enveloppe une seconde figure; mais si le point mobile parcourt cette seconde figure, sa droite dérivée en enveloppera une troisième qui sera différente de la première.

Mais on peut toujours substituer, au mode de construction employé pour former la seconde figure au moyen de la première, un autre mode qui servira à construire cette première au moyen de la seconde. Dans des cas particuliers, tels que ceux que présentent la théorie des polaires, le mouvement infiniment petit de la figure proposée, etc., ces deux moyens de construction^ qui généralement sont différents, se trouvent être les mêmes. Nous donnerons les relations générales qui ont lieu entre ces deux modes de construction, de manière à conclure toujours l'un de l'autre. L« théorie de. polaires 8 37. Nous souimcs cutré dans des considérations, peut-être trop déve-

n esl paH le mode ^ i ■

X* ge"nér!l!î!'''*'" ** loppécs, pour bien |)énétrer le lecteur de cette idée, que la dualité de Téten-

due ne provient nullement des circonstances de construction qui avaient semblé^ dans la théorie des polaires réciproques^ faire le caractère distinctif des modes de transformation propres à mettre cette dualité en évidence.

H résulte aussi ^ de ces considérations^ que la théorie des polaires réciproques n'est pas le mode de transformation le plus général. Mais si c'eût été la seule vérité que nous eussions voulu mettre en évidence^ il nous aurait suffi de dire que^ dans le mode général^ qui comprend tous les autres^ on peut^ pour construire la flgure corrélative d'une figure proposée^ prendre arbitrairement dans l'espace cinq plans comme correspondant à cinq points désignés de la première figure; tandis que^ dans la théorie des polaires réciproques, deux. ligures corrélatives ont entre elles des dépendances beaucoup plus restreintes. Car si l'on y considère deux tétraèdres dont les sommets de l'un correspondent aux plans du second^ les quatre droites qui joindront les sommets du premier^ respectivement aux sommets du second^ opposés aux plans qui correspondent aux quatre sommets du premier^ ces quatre droites^ dis-je^ seront toujours quatre génératrices d'un même mode de génération d'uD hyperboloïde à une nappe ^

Les autres modes de transformation otïrent pareillement quelques dépendances particulières de situation entre les figures et leurs transformées^ mais qui sont différentes de celles que nous venons d'énoncer pour les figures polaires réciproques.

Aiosi^ dans la transformation par voie de mouvement infiniment petite on trouve que deux droites quelconques^ et leurs dérivées, sont toujours quatre génératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde. §38. Nous n'avons parlé, jusqu'à présent, que des relations de ^^scrip- Transform^i^^^^

angulaires.

* Cela provient de ce que les droites qui joignent les quatre sommets d'un tétraèdre aux t^ des faces opposées, pris par rapport à une surface du second degré quelconque, sont tttotre génératrices d*un même mode de génération d'un hyperboloïde à une nappe.

Ce théurème, que nous avons démontré dans ]es Annales de Mathématiques, tom. XIX^ P^- 76) est susceptible d*nn grand nombre de corollaires. On en conclut, par exemple, que if» quatre perpendiculaires, abaissées des sommets d'un tétraèdre sur les faces opposées, sont qufOre génératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde.

tion et de situation entre les (igures et leurs transformées; mais Ton doit considérer aussi leurs dépendances de grandeur métrique ou angulaire. Ce seront ces dépendances qui serviront à traduire les théorèmes où entrent des rela-' lions de grandeur.

Ces dépendances générales de grandeur, entre une figure et sa transformée, reposent sur un principe très-simple, qui n'a point été mis en usage dans la théorie des polaires; aussi cette théorie, qu'on a appliquée d'une manière fort générale à la transformation des relations de description, ne Ta été que d'une manière restreinte aux relations de grandeur : d'abord parce qu'on ne lui a point soumis toutes les relations auxquelles elle est propre, et ensuite parce que, faute du principe dont nous parlons, il a fallu prendre deux cas particuliers de cette théorie pour opérer la transformation d'une relation de grandeur. On a pris pour surface auxiliaire, ou une sphère, ainsi que l'a fait^ le premier, M. Poncelet, dans son Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques *^ et ensuite M. Bobillier -; ou un paraboloïde, comme nous l'avons proposé dans nos deux Mémoires sur la Transformation jmrabolique des relations métriques ^.

Les dépendances de grandeur entre une figure et sa dérivée, ne sont pas les mêmes dans ces deux modes de transformation. Elles consistent, dans le premier cas, en ce que l'angle de deux plans d'une figure est égal à l'angle des rayons de la sphère auxiliaire qui aboutissent aux deux points correspondant à ces plans dans la seconde figure; et, dans le second cas^ en ce que le segment intercepté sur l'axe du paraboloïde auxiliaire par deux plans d'une figure, est égal à la projection orthogonale, faite sur cet axe, de la droite qui, dans l'autre ligure, joint les deux points correspondant à ces plans.

Ces deux modes de transformation ont été appliqués l'un et l'autre,

* Journal de M. Crellc, loin. IV. Ce Mémoire a ëlé présenlé, à rAcadëmie des sciences de Paris, le i2 avril 1824.

^ Annales de Malhémaliques y iom.WXW^^ïxu. 18:27-18:28. ^ Correspondance mathématique de M. Quelelet, (oro. V et VI.

pris une autre surface auxiliaire , on aurait eu la propriété correspondante pour des droites concourant en un même point.

Il est vrai que Ton peut, par une autre voie (et c'est Tobjet des méthodes comprises dans notre seconde division), appliquer les propriétés de la sphère aux autres surfaces du second degré, et les propriétés d'un système de droites parallèles entre elles à des droites concourant en un môme point; mais il y aurait à faire deux opérations, graphiques ou intellectuelles^ au lieu d'une.

§ 40. Au surplus, sauf quelques cas particuliers, où les relations de description ou de grandeur d'une figure sont trop restreintes pour qu^on emploie le principe de transformation général et absolu, que nous exposerons dans cet écrit, ce principe offrira presque toujours, notamment en ce qui concerne les relations métriques, outre l'avanlage d'une plus grande généralité dans les résultats, celui d'une application plus facile et plus spontanée que celle d'aucune méthode particulière.

Sous ce rapport, ce principe de transformation et le principe de dé formation qui remplacera les diverses méthodes comprises dans notre seconde division, appliqués dans leur plus grande généralité et de la manière la plus abstraite, nous paraîtront justifier ce précepte de l'illustre auteur de la Mécanique céleste : « Préférez les méthodes générales, attachez-vous à les » présenter de la manière la plus simple, et vous verrez en même temps » qu'elles sont presque toujours les plus faciles ' ; » auquel M. Lacroix a ajouté, avec l'autorité que lui donnent dans les sciences sa grande expé^ rience et son profond savoir, que « les méthodes générales sont aussi les » plus propres à faire connaître la vraie métaphysique de la science ^. » Théories pariicuiières §41. La Géométric s'cst accruc, depuis une trentaine d'années, de propositions et même de théories nouvelles, si nombreuses et si variées, que nous avons dû, dans notre aperçu de ses progrès pendant cet intervalle ,

* Séances des Écoles normales; in-8*, 1800; lom. IV, png. 49.

* Essais sur V Enseignement; 3* édition, in-8% 1828.

ooiis borner à y distinguer les méthodes principales^ à en montrer forigine, la nature et les usages en Géométrie rationnelle.

Une analyse plus étendue de tant de travaux^ sur lesquels reposent dans ce moment les progrès virtuels et l'avenir de la Géométrie, serait incontestablement d'une grande utilité, mais exigerait un volume, et dépasserait de beaucoup les limites que nous devons observer ici.

Cependant, nous ne pouvons nous dispenser de signaler, parmi tant d'autres^ deux doctrines, qui, sous des rapports diiïérents, nous paraissent d'une importance majeure pour le perfectionnement de la Géométrie spéculative, et pour ses applications aux questions des phénomènes physiques. Nous voulons parler de la théorie des surfaces du second degré, et de la Géométrie de la sphère, c'est-à-dire, de la doctrine des figures tracées sur la sphère.

Cette dernière est si ancienne, et les surfaces du second degré paraissent un sujet si rebattu, depuis surtout quelques années, que l'on ne pense pas, peut-être, qu'il reste grand'chose à faire sur ces deux objets, et qu'ils méritent l'importance que nous voulons leur donner. Nous devons donc nous empresser de justifier notre opinion, pour prévenir le sentiment d'incrédulité que nous craignons qu'elle rencontre chez plusieurs des géomètres qui nous feront l'honneur de nous lire.

§42. La Géométrie de la sphère a une haute antiquité; elle a pris nais-GooiDëiriedeiaspi sance le jour où l'astronome philosophe a voulu découvrir la chaîne qui lie les phénomènes du monde planétaire. Ainsi, nous avons vu qu'Hipparque, Théodose, Ménélaus, Ptolémée, ont été très-avant dans la trigonométrie sphérique. Mais toute cette théorie se réduisait au calcul des triangles; et si, depuis, elle s'est étendue et a atteint, entre les mains de nos plus célèbres géomètres, un haut degré de perfection, c'a été en conservant toujours à peu près le même cadre, parce qu'elle avait toujours la môme destination, le calcul des triangles pour le service de l'astronome et du navigateur, et pour les grandes opérations géodésiques qui ont fait connaître la véritable forme du globe terrestre. Mais cette doctrine, qui répond à peu près à celle des lignes droites et des triangles dans la Géométrie plane, ne constitue poinf, à

lere.

elle seule, la Géométrie de la sphère. Combien d'autres figures, à commencer par la plus simple, le cercle, ne peut-on pas considérer sur cette surface courbe, à Tinstar des figures décrites sur le plan ?

Il n'y a pourtant guère qu'une quarantaine d'années que cette extension si naturelle a été introduite dans la Géométrie de la sphère. C'est aux géomètres du Nord qu'elle est due. Car si nous en exceptons la théorie des épicycloïdes sphériques, et quelques questions isolées, telles que celle des courbes que Guido Grandi a appelées délies, nous ne voyons guère que Ton ait cherché à résoudre, sur la sphère, les questions analogues à celles de la Géométrie plane, avant Lexell, qui, dans les Actes de Pétersbourg (tom. V et VI), a recherché les propriétés des cercles décrits sur la sphère, analogues à celles des cercles décrits sur le plan. C'est à ce géomètre qu'on doit l'élégant théorème sur la courbe qui est le lieu des sommets des triangles sphériques de même aire et de même base.

Peu après, son compatriote Fuss, dans deux Mémoires qui font partie des JKova acta (tom. II et III), résolut quelques problèmes de la Géométrie de la sphère, et s'occupa particulièrement des propriétés d'une certaine ellipse sphérique. C'est la courbe qui est le lieu des sommets des triangles de même base et dont la somme des deux autres côtés est constante. Fuss trouva que cette courbe est l'intersection de la sphère par un cône du second degré, qui a son sommet au centre de la sphère : en d'autres termes, c'est la ligne de courbure des cônes du second degré ^

Ces premiers travaux de Lexell et de Fuss ne tardèrent point à être continués dans les recueils de la même Académie ^, par Schubert, que nous avons déjà cité comme ayant assis toute la trigonométrie sphérique sur le seul théorème de Ptolémée. Ce géomètre résolut plusieurs questions sur les lieux

* Cette courbe se décrit sur ]a sphère, comme l'ellipse sur ]e plan, au moyen d*un fil dont les extrémités sont fixées à deux foyers, et qui est tendu par un stylet mobile. Les formules analytiques dont Fuss fnit usage le conduisent à ce résultat remarquable : si la longueur du 61 est égale à la demi-circonférence de la sphère Ja courbe décrite est toujours un grand cercle, quelle que soit la distance des deux foyers.

^ Xdvu actu, tom. XII, ann. I7î)4, pag. 190.

^ométriques des sommets de triangles qui ont même base^ comme dans les problèmes de Lexell et de Fuss^ mais dont les deux autres côtés ont entre eu X diverses autres relations nouvelles.

Ce genre de recherches ^ qui promettait une moisson abondante de vérités nouvelles et curieuses^ est pourtant resté a peu prés inaperçu^ à tel point que Télégant théorème de Lexell^ bien qu'il ait été reproduit par iM. Legecdre dans les nombreuses éditions de sa Géométrie^ n'avait point fait soupçonner Texistence du théorème analogue^ et non moins curieux^ que do ime la théorie des figures supplémentaires. Ce n'est que dans ces derniers leBMps que M. Sorlin y est parvenu directement, dans un Mémoire sur la trigonométrie sphérique, où la dualité, c'est-à-dire les doubles propriétés des fi|K:iires tracées sur la sphère, est présentée dans une concordance complète *• C'^^esl aussi depuis peu d'années seulement, que l'ellipse ^sphérique de Fuss a ^té remise sur la scène par M. iMagnus, de Berlin, qui, après avoir découvrit et démoniré directement, par l'Analyse, la propriété correspondante dsfc ns le cône, en conclut celle de celle ellipse. Mais ce géomètre en décou- ^ ii**it une seconde, non moins belle, et analogue aussi avec Tune des princiles propriétés de l'ellipse plane : c'est que les deux arcs de grands cercles, cnésdes foyers à un point de la courbe, font des angles égaux avec l'arc Dgent en ce point ^.

§ 43. Quelques autres géomètres avaient déjà, quelques années auparavant, résolu différentes questions de la Géométrie de la sphère, et cherché Ic^urs analogies avec celles de la Géométrie plane. Ainsi M. Lhuilier, de Genève, a trouvé, dans les triangles sphériques rectangles, les théorèmes ^analogues aux principales propriétés des triangles rectilignes rectangles, telles que le carré de l'hypoténuse^; et déterminé le centre des moyennes distances d'un triangle sphérique '*. M. Gergonne a proposé, dans les Annales

' Annales de Mathématiques, tom. XV, ann. 1 8:24-1 82!i.

* /6jW., tom. XVI.

* /6id., lom. I", ami. 1810-181 1.

^ /6id., tom. Il, ann. 181M812.

de Mathématiques , plusieurs questions de Géométrie sphérique^ ayant 9ussi leurs analogues sur le plan; nous citerons^ entre autres^ cette belle propriété du quadrilatère spliérique^ qui lui est commune avec le quadrilatère rectiligne : quand la somme de deux côtés opposés est égale à la somine des deux autres côtés, le quadrilatère est circonscriptible au cercle *. Depuis^ M. Guéneau d'Aumont^ professeur à la Faculté des sciences de Dijon ^ a découvert dans les quadrilatères sphériques inscrits au cercle, cette propriété caractéristique, qui correspond, dans la théorie des ligures supplémentaires, au théorème de M* Gergonne : la somme de deux angles opposés du quadrilatère est égale à la somme des deux autres angles ^ ; propriété qui sera nécessairement Tune des principales dans les éléments de la Géométrie de la sphère, comme exprimant une relation simple et féconde entre quatre points appartenant à un petit cercle. M. Quetelet a considéré, sur la sphère, des polygones formés par des arcs de grands ou de petits cercles indifféremment, et a donné, pour le calcul, de leurs surfaces une formule simple et élégante 5. Cette question avait déjà, à plusieurs reprises, occupé les géomètres; d'abord le P. Courcier **, dont nous avons parlé comme ayant écrit sur certaines courbes à double courbure ; puis d'Alembert ^ et Bossut ^, qui y avaient appliqué les ressources de l'Analyse, et pour qui cette question avait été une preuve que la Géométrie pure offre souvent une voie plus facile et plus expéditive que le calcul le plus ingénieux et le plus subtil.

§ 44. Nous n'apercevons, jusqu'ici, que quelques propositions détachées, fort belles , et bien capables d'inspirer le goût de la Géométrie de la sphère , mais qui n'annoncent point encore une étude méthodique et suivie de cette partie de la science de l'étendue. C'est dans ces derniers temps qu'on a

* Ënonccc à la page 384 du loiiie V, cl déiiionlréc pai* M. Durraiide, à lu page 49 du lomc VI. ^ Annales de âfathématiques, tom. Xll,aiin. I821-18'22.

' Nouveaux Mémoires de r Académie de Bruxelles^ lom. II, ann. 1822.

* Supplemenlum sphœromelriœy sive (riangulaiium et aliarum in sphœra figurarum quoad areas mensuratio, 1-G70.

^ Mémoires de la Société royale de Turin, tom. IV, pag. 127; a un. 176G-I76Î). ^ Traité de Calcul différentiel et intégral, lom. Il, pag. 522.

entrepris de fonder les théories de la sphère à Tinstar de celles de la Géométrie du plan. M. Steiner^ je crois ^ est entré le premier dans cette voie y par la publication de son mémoire intitulé : Transformation et division des figures sphériques au moyen de constructions graphiques *, qui repose sur Féléganl théorème de M. Guéneau d'Aumont^ que nous venons de citer. M. Steiner y démontre la proposition qui correspond, par la théorie des flgures supplémentaires, au théorème de Fuss sur Fellipse sphérique ^, et reconnaît, dans ces courbes, deux arcs de grands cercles qui y jouent le rôle des asymptotes dans Thyperbole plane. (Ce sont les deux arcs que nous avons nommés arcs cycliques dans notre Mémoire sur les coniques sphériijues, et auxquels nous étions parvenu de notre côté par la considération des plans des sections circulaires d'un cône du second degré.)

Nous ne pouvons entrer dans d'autres détails au sujet du travail de H. Steiner, écrit en allemand, et que nous ne connaissons que par l'analyse qui s'en trouve dans le Bulletin universel des sciences^ tom. VIII, pag. 298. C'est ainsi que nous citerons encore M. Gudermann, comme ayant fait aussi UDe élude spéciale et approfondie de l'analogie des figures sphériques avec les flgures planes '.

§ 45. Ainsi la Géométrie de la sphère est commencée d'une manière

^ Journal de M. Crel]e, tom. II.

* Celle proposition est celle-ci : l'enveloppe des l:ases des triangles qui ont même surface et ^n angle commun^ est une ellipse sphérique. Nous croyions, quand nous avons aussi démontré eelle proposition , d'abord dans noire Mémoire sur les surfaces du second degré de révolution, puis dans un écrit spécial sur les coniques sphériques, y être parvenu le premier, ne connaissant poini alors l'analyse du mémoire de M. Steiner, qui se Irouve dans le Bulletin des sciences, ^oscela, nous n aurions point manqué de citer le travail de ce profond géomètre, avec le t&éme empressement que nous rois à rappeler, en plus d'une occasion, celui de M. Magnus, sur fe même sujet.

' U Bulletin des sciences (tom. XV, pag. 75, février 1831) s'exprime ainsi, dans le compte Kadu du tome VI du Journal de M. Crelle : c M. Gudermann expose quelques théorèmes qui

* seraliacbent à une théorie nommée par lui la Sphérique analytique, théorie dont il a exposé

* les principes dans un écrit publié récemment a Cologne. 11 s'agit de passer par la voie de > l'analogie des propriétés des figures planes, h celles des figures tracées sur la surface d'une

* sphère, et rapportées k un système de coordonnées sphériques. »

régulière et dogmatique; et les noms des géomètres qui Tout entreprise nous garantissent des progrès rapides dans cette partie de la science de rétendue. On ne contestera point Futilité théorique de pareilles recherches. Il nous suffit, je crois, pour la prouver, de faire remarquer que la Géométrie plane n'est qu'un cas particulier de la Géométrie de la sphère, où Ion suppose le rayon inOni; qu'ainsi toutes les vérités principales de la première doivent participer aux propriétés plus générales de la seconde : et il est toujours utile de contempler les vérités géométriques dans leur plus grande étendue, dans leur plus grande généralité, dans leur plus grande approximation, pour ainsi dire, des lois suprêmes, dont la recherche doit être Fobjet constant des etïorts des géomètres. Elles ont, dans cet état de généralité, des rapports et des analogies qu'on ne rencontre point dans leurs corollaires, qui en montrent Fenchaînement, et servent à selever plus haut et à découvrir des principes généraux, dont les traces étaient effacées ou inaperçues dans les propositions plus circonscrites et plus particulières. La Géométrie de la sphère, ne fût-elle donc considérée que comme mode de généralisation des propriétés des figures planes, et indépendamment de son caractère et de sa valeur propres et absolus, mériterait Fattention et Fétude des géomètres. Car, et nous Fa vous déjà dit ailleurs ', dans Fétat où est parvenue la Géométrie, la généralisation est le moyen le plus propre à nous conduire à de nouveaux progrès et à de nouvelles découvertes. Cette manière de procéder dans Fétude de la science doit présider aux travaux du géomètre 2.

Surfaces iiu deuxième § 46. Il uous rcstc, pour tcrmiucr notre aperçu de la marche et des progrès de la Géométrie récente, à parler de Fune de ses théories particulières les plus importantes et les plus cultivées, celle des surfaces du second degré.

< Chap. III, § 20.

^ < Un aperçu de la science véritablement utile est celui qui ne voit, qui ne cherche dans les progrès qu'elle fait chaque jour, que les moyens d'arriver u des lois générales, de renfermer les notions acquises dans des généralisations d*un ordre plus élevé. > (\\QYSc\ni\ ^ Discours sur l'étude de la philosophie naturelle.)

Traité des surfaces du second degré, se trouve démontrée, pour la première fois, Tune de leurs plus belles propriétés, à savoir que les trois surfaces

l'Analyse. J'en trouvai, étant élève de TÉcoIe polytechnique, une démonstration purement

géométrique, qui a passé dans l'enseignement de l*Ecoie, et a été reproduite dans divers

ouvrages. (Foirle Traité de Géométrie descriptive de M. Vallée, pag. 86; et celui de M. Leroy,

professeur à l'École polytechnique, pag. 2G7.)

Cette démonstration repose sur ce théorème : Étant donné un quadrilatère gauche ABCD,

si une droite mobile s*appuie sur les deux côtés opposés AB, CD, en deux points m, n, tels

que l'on ait

mA nD

rwB "~ fîc'

a étant une constante y cette droite engendrera un hyperboloïde à une nappe. Car elle s'appuiera, dans toutes ses positions, sur toute autre droite qui rencontrerait les deux autres côtés opposés du quadrilatère en deux points p, 9, tels que Ton ait

gA pB

(Voir Correspondance polytechnique, tom. Il, pag. 446.)

La démonstration de ce théorème est très-facile, puisqu'elle n'exige que la connaissance du ihéorème de Ptolémée, sur le triangle coupé par une transversale. (Correspondance polytechnique, tom. 111, pag. G). Depuis, la théorie du rapport anharmonique m'en a offert une seconde démonstration, encore plus simple et plus élémentaire, qui ne repose absolument que sur la notion du rapport anharmonique. (Totr la note IX.)

Ce théorème s'applique aussi à la génération des sections coniques et exprime une belle propriété générale de ces courbes. (Voir la Corresp. mathém,, de M. Quetelet, t. IV, p. 363).

En disant que la double génération de l'hypcrboloîde à une nappe prit naissance dans l'École polytechnique, nous n entendons parler que de Thypcrboloïde à axes inégaux; et nous devons ajouter que la double génération, par une droite, de l'hyperboloîde à une nappe de révolution, était connue, mais peut-être oubliée, car sa découverte date de loin, et a été reproduite rarement. Nous trouvons qu'elle est due à Wren, qui la ûi connaître dans une Note très-courte, insérée dans les Transactions philosophiques (année 1669, pag. 96i), sous le titre : Generatio corporis cylindroidis hyperholici , elaborandis lentibus hyperbolicis aecomodati. Wren indique l'usage qu'on pourra faire de ce mode de génération par une droite, poor la construction de lentilles hyperboliques.

En i698. Parent a aussi trouvé cette propriété de riiyperboloïde de révolution, qu'il a démontrée, dans deux Mémoires différents, par l'Analyse et par de simples considérations de Géométrie. (Essais et Recherches de mathématiques et de physique, tom. Il, pag. 645, et tom. III, pag. 470.) Cette propriété, que n'ont pas les autres surfaces produites par la révolution d*une conique autour d'un de ses axes principaux, fait dire à Parent que l'hyperboloîde k une nappe est la plus complète de ces surfaces, puisqu'on y peut faire six sections différentes,

cfoQées d'un centre, Tellipsoïde et les deux hyperboloïdes *, ont toujours un système de trois diamètres conjugués rectangulaires ^.

§ 47. Depuis, les élèves de Monge ont cultivé avec succès la théorie des surfaces du second degré, et ont poussé très-loin la recherche de leurs propriétés : d'abord de celles qui ne concernent que la constitution propre de chaque surface prise isolément, et considérée dans ses relations seulement avec les êtres géométriques plus simples qu'elle, le point, la droite et ie plan; et ensuite de celles qui naissent de la comparaison de deux ou plusieurs surfaces entre elles. Et ce fut encore Monge qui fit les premiers pas d»ns ces recherches plus compliquées. Mais nous ne pouvons entrer dans le détail de toutes ces découvertes, quelque attrait qu'il dût nous présenter. Elles se lient tellement à toutes les recherches géométriques qui ont eu lieu depuis trente ans, que nous tomberions, malgré nous, dans une prolixité que nous devons nous efforcer d'éviter. Nous indiquerons, pour suppléer à ïiotre silence sur ce sujet, les passages où M. Ch. Dupin, en analysant les travaux de Monge en Géométrie analytique, a rappelé les services de ses élèves; et l'introduction du Traité des Propriétés projectiles, où M. Pon- ^^let, avec un soin minutieux et bien louable, a signalé la priorité que d'au- ^■•es pouvaient avoir sur une partie des vérilés géométriques qui devaient ^^ouler naturellement de ses nouvelles doctrines.

§ 48. Malgré l'importance des progrès qu'a faits la théorie des surfaces progrès doni u ihéorif

cond f degré est susceptible.

*^^'oîr : l'espace parallèle, Tanglc rectilignc, le cercle, la parabole, Tellipse et Tliyperbole. Ce t5<*Ofnèlre appelle celle surface cylindroïde hyperbolique , de même que Wren, et se sert aussi '^^ îMi propriété d'être engendrée par une droite, pour la construction, sur le tour, des moules ^3^perlK)liques, propres à la dioptrique.

buveur avait aussi démontré celle propriété de rhyporholoïde de révolution, ainsi que ^" ^sieurs autres propositions concernant les volumes et les surfaces des conoïdes, dont Parent ^^^it communiqué les énoncés à ce géomètre. {Essais et Recherches de mathématiques et de f^^ysique, tom. III, pag. K-âô.)

* Nous regardons le cône du second degré comme un cas particulier des hyperboloïdes, de ■^^^me qu'en Géométrie plane on regarde le système de deux lignes droites comme une forme Particulière, ou limite, de l'hyperbole. C'est pourquoi nous ne mettons pas la surface conique •^ nombre des surfaces principales douées d'un centre.

' Voir le l i* Cahier du Journal de l'Ecole polytechnique, pag. 1 70.

du second degré^ nous devons ajouter qu'ils ne sont qu'une mince partie de ceux dont elle nous paraît encore susceptible. On le concevra en jetant un coup d'œil sur les propriétés principales des coniques^ dont nous ne connaissons point encore toutes les propriétés analogues dans les surfaces du second degré. Ces propriétés analogues cependant existent, ne fût-ce que pour donner, comme corollaires, en supposant que la surface perde une de ses dimensions et se réduise à une conique, les propriétés de ces courbes. Non-seulement les surfaces du second degré doivent présenter tous les phénomènes que nous oiïrent les coniques, mais on doit y en trouver beaucoup d'autres, qui sont dus à leur forme plus complète, à leurs trois dimensions, et qui disparaissent avec Tune de ces dimensions : tels sont ceux, par exemple, qui concernent ces lignes de courbure, que Monge a fait connaître le premier, et dont MM. Binet et Dupin ont trouvé ensuite d'admirables propriétés '.

En nous bornant à celles des propriétés des surfaces du second degré que la simple analogie avec les coniques doit nous faire soupçonner, nous indiquerons, par exemple, les foyers de ces courbes, qui sont la source d'une partie de leurs plus belles et plus importantes propriétés. Ces points se retrouvent dans trois des surfaces de révolution (l'ellipsoïde allongé, l'hyperboloïde à deux nappes et le paraboloïde ) , où M. Ch. Dupin leur a reconnu aussi des propriétés précieuses, en théorie, et pour l'explication de certains phénomènes physiques ^. C'était là certainement une indication que quelque chose de semblable, et de plus général, devait se trouver dans toute surface du second degré; mais je ne sache pas que l'on ait encore cherché ce que cela pouvait être.

Persuadé qu'une telle théorie, qui correspondrait dans les surfaces du second degré à celle des foyers dans les coniques, serait une source nouvelle de propriétés intéressantes , et très-utiles pour avancer dans la connaissance parfaite de ces surfaces, nous en avons fait l'objet de nos recherches.

' M. Dupin est parvenu, entre autres beaux résultats, et par des considérations de pure Géométrie, à une description mécanique des lignes de courbure des surfaces du second degré. (Journal de i'Évoh polytevlmique , 14* Cahier.)

* Applications de Géométrie, in-4". 1818.)

L'analogie que nous avions déjà suivie assez loin^ entre les foyers des coniques et certaines droites dans les cônes du deuxième degré ^, nous mettait naturellement sur la voie des propriétés analogues dans les surfaces^ en nous indiquant que c'étaient des courbes qui devaient y jouer le rôle de ces droites dans le cône^ et de ces points dans les coniques. Nous donnerons^ dans la Note XXXI ^ quelques résultats qui nous font supposer que nous avons rencontré Tanalogie que nous cherchions. Nous comptons publier ce travail^ mais nous en livrons, par avance, les éléments, désirant vivement que Touverture qu'ils donneront sur cet objet présente assez d'attrait pour provoquer d'autres efforts que les nôtres.

§ 49. Il est une autre question, d'où dépendent aussi les progrès futurs de la théorie des surfaces du second degré, et dont toute l'importance a été appréciée par l'Académie de Bruxelles. C'est celle de l'analogie qui doit exister entre quelque propriété de ces surfaces, encore inconnue, et le célèbre Ihéoréme de Pascal dans les coniques 2.

Ce théorème, abstraction faite des différentes transformations dont il est susceptible , et considéré uniquement sous la forme et l'énoncé qui lui sont propres, peut encore être envisagé sous deux aspects différents. On peut le regarder comme exprimant une relation générale et constante entre six points quelconques d'une conique, c'est-à-dire un déplus qu'il n'en faut pour déterminer cette courbe; ou bien comme exprimant une propriété générale d'une conique par rapport à un triangle tracé arbitrairement dans son plan ^.

D'après cela, on peut concevoir de deux manières, dans l'espace, l'analogue du théorème de Pascal. Ce sera, dans le premier cas, une propriété générale de dix points appartenant à une surface du second degré, c'est-àdire un point de plus qu'il n'en faut pour déterminer une telle surface. Dans

' Mémoire de Géométrie, sur les cônes du second degré,

* Ce que nous allons dire du théorème de Pascal doit s'entendre aussi de celui de M. Brian- <^n,qui joue le même rôle dans la théorie des coniques.

' Ce triangle est formé, par exemple, par les côtés de rang impair de l'hexagone considéré àin$\t théorème de Pascal; et alors ce théorème exprime que trois des cordes comprises dans laconique, entre les trois angles du triangle, rencontrent respectivement les trois côtés opposés ^n trois points qui sont en ligne droite.

le second cas^ ce sera une propriété générale résultant du système d^une surface du second degré et d'un tétraèdre placé d'une manière quelconque dans Fespace.

La première question y qui devait être la plus utile à Tavancement de la théorie des surfaces du second degré, avait été proposée par TÀcadémie de Bruxelles (année 1825) : elle est resiée sans solution. Au concours suivant, FAcadémie a donné plus de latitude aux géomètres, en demandant simplement le théorème analogue, dans les surfaces du second degré, à celui de Pascal dans les coniques; ce qui comprenait la première question, et laissait eu même temps toute Kherté sur la manière d'envisager le théorème de Pascal et l'analogie qui pouvait exister, sur ce point, entre les surfaces et les courbes du second degré.

Cette nouvelle question de l'Académie n'offrait point, comme la première, de grandes diflicultés. Nous donnons, dans la Note XXXII, l'énoncé d'un théorème qui nous parait la résoudre. Car il exprime une propriété générale d'un tétraèdre et d'une surface du second degré, analogue à la propriété d'un triangle et d'une conique, qu'exprime le théorème de Pascal. Mais il y a loin de ce théorème à la relation générale de dix points quelconques d'une surface du second degré; et la recherche de cette relation est bien digne d'occuper les géomètres. Sans doute , nous n'avons point encore tous les éléments nécessaires pour cette recherche: c'est une raison pour étudier sous tous les ra[)ports, sous toutes les faces, les propriétés des surfaces du second degré. Aucune théorie, aucune découverte, quelque minime qu'elle paraisse d'abord, n'est à négliger; car, à défaut d'une application immédiate, chaque vérité partielle a du moins l'avantage d'être un anneau de la chaîne continue qui lie entre elles toutes les vérités de cette vaste théorie; et ce simple anneau est peut-être un germe de grandes découvertes, que développeront rapidement les méthodes de généralisation de la Géométrie moderne.

§ 50. Ce serait peut-être une étude préparatoire ulile, pour parvenir à la relation de dix points d'une surface, que de résoudre complètement, et dans tous les cas possibles, le problème où il s'agit de construire une surface du second degré assujettie a neuf conditions, qui sont de passer par des points et de

toucher des plans. Ce problème mérite déjà, par lui-même, les efforts des géomètres. Cependant nous ne voyons encore, jusqu'à ce jour, que M. Lamé qui se soit occupé de Tun des cas généraux qu'il présente. Cet habile professeur a déterminé les éléments suflisant pour la construction de la surface du second degré qui doit passer par neuf points donnés K Mais la discussion de sa solution générale , et Texamen de ses corollaires et des cas particuliers qui s'y présentent, mérite de nouvelles recherches.

Peut-être encore serait-il utile, avant d'aborder sérieusement la question des dix points d'une surface du second degré, de chercher la relation générale qui a lieu entre neuf points appartenant à la courbe à double courbure du quatrième degré, intersection de deux surfaces quelconques du second d^. Huit points dans l'espace déterminent une telle courbe : il doit donc y avoir une relation constante entre ces huit points et un neuvième, pour que ce dernier se trouve sur la courbe que déterminent les huit premiers.

Ou bien, faut-il encore chercher préalablement la relation entre sept points de la courbe à double courbure du troisième degré, intersection de deux hyperboloïdes à une nappe, ayant une génératrice droite commune, et qui ^t toujours déterminée par six points pris arbitrairement dans l'espace. Celle question n'offre pas les mêmes difficultés que les autres, et nous croyons l'avoir résolue. (Voir la Note XXXIII).

Peut-être enfin devrait-on, au lieu de prendre pour original et terme de comparaison le théorème de Pascal , faire les mêmes essais sur l'un des aulres théorèmes qui expriment comme lui une propriété de six points d'une conique, et qui en sont ou des conséquences ou de simples transformations, comme nous l'avons fait voir dans la Note XV. Nous avions pensé que, parmi ces théorèmes , celui que nous avons présenté comme expression différente «le la propriété anharmonique des points d'une conique (Note citée, art. 21), pourrait, au moyen de trois transversales prises arbitrairement dans l'espace, conduire à la relation cherchée , entre dix points d'une surface du second

' Exomtn des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de Géométrie;

degré. Nos premiers efTorts ont été infructueux; cependant nous fondons

encore quelque espoir sur ce môme théorème^ et nous désirons que Ton essaye

d'en tirer quelque parti.

couriietâdonbiecour- § 51. Lcs courbcs à doublc courbure du quatrième et du troisième degré,

du'5îi«!rièmê'd?gr?. quî vienuent de s'offrir naturellement à l'occasion de la grande question des

dix points d'une surface du second degré, ont d'autres titres pour prendre place dans les recherches des géomètres. Ces courbes peuvent aussi, comme les surfaces du second degré, présenter dans l'espace certaines analogies avec les coniques; et il est une foule de questions dans lesquelles on les trouvera, quand on ne se bornera plus, dans les applications de la Géométrie, à la simple considération des coniques, et qu'on approfondira les questions plus difficiles qui se résolvent par des combinaisons de surfaces du second degré.

Les courbes dont nous parlons n'ont encore été que très-peu étudiées, et nous ne trouvons même que celles du quatrième degré dont on ait donné quelques propriétés générales, dues à MM. Hachette, Poncelet et Quetelet.

M. Hachette, les considérant comme l'intersection de deux cônes quelconques du second degré, a discuté les formes des courbes planes du quatrième degré que donne leur projection ou perspective sur un plan *.

M. Poncelet, dans son Traité des Propriétés projectives (art. 616), a démontré que, par la courbe du quatrième degré provenant de l'intersection de deux surfaces quelconques du second degré, on peut généralement faire passer quatre cônes du second degré.

Et enfin, M. Quetelet a fait voir qu'en projetant sur un plan la courbe d'intersection de deux surfaces du second degré, déterminées convenablement, on peut produire toutes les courbes planes du troisième degré ^. Ce théorème, qui sera utile pour transporter aux courbes planes du troisième degré, certaines propriétés des courbes a double courbure du quatrième,

* Correspondance sur l'Ecole polytechnique, toin. 1'% pag. 5()8. ^ Correspondance mathématique de Bruxelles, toni. V, pag. 195.

n'avait point encore indiqué le degré de cette surface^ M. Poncelet s'étant borné à dire qu'il ne pouvait dépasser le douzième ^

Les applications du théorème en question^ à la théorie des courbes planes du quatrième degré ^ seront nombreuses; car on rencontre beaucoup de ces courbes que Ton reconnaît provenir de la perspective ou de la projection de Pintersection de deux surfaces du second degré ^.

§ 53. Ayant à parler des courbes à double courbure du troisième et du quatrième degré , nous avons commencé par celles-ci , parce que nous croyons qu'elles sont les seules dont on se soit occupé jusqu'à présent. Les premières cependant sont beaucoup plus simples et plus faciles à étudier. Nous avons trouvé qu'elles jouissent de diverses propriétés intéressantes^ et qu'elles se présentent dans beaucoup de questions. Celte matière pourrait donner lieu à un ample développement que nous devons omettre ici.

Nous nous bornerons à dire que la perspective des courbes à double courbure du troisième degré ^ ne donne point toutes les courbes planes du troi-

' Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques ^ art. i05; Journal mathématique de M. Crelle, lom. IV.

^ Ainsi, par exemple, les ovales de Descartes, ou lignes aplanëtiques, sont la projection stcrëographique de la ligne de pénétration d'une sphère par un cône de révolution {Théorème de M. Quetelet, voir la note XXI). On conclura de là que ces célèbres ovales ont toujours deux points conjugués imaginaires, situés à Tinfini. Ce que l'on ne verrait peut-être pas par d'autres voies; car on a négligé jusqu'à présent, dans la recherche des points singuliers des courbes, les solutions imaginaires, et même aussi les points situés à Tinfini, lesquels échappent souvent h l'Analyse. Les uns et les autres cependant font partie des affections particulières des courbes, et doivent jouer un rôle important dans leur théorie.

Ainsi encore, les Icmniscatcs, formées par les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point fixe sur les tangentes d'une conique, sont les projections stéréographiques de l'intersection d'une sphère et d*un cône du second degré (Théorème de M. Dandelin; voir le 4* volume des Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles) \ on en conclut que ces courbes ont, à Tinfini, deux points conjugués imaginaires. On sait qu'elles ont un troisième point double ou conjugué toujours réel, qui est le point par où l'on mène les perpendiculaires; on conclut de là que CCS courbes admettent seulement six tangentes issues d'un même point. D'autres considérations de Géométrie plane m'ont encore conduit à ce résultat.

Beaucoup d'autres courbes du quatrième degré ont pareillement des points conjugués imaginaires, situés à l'infini. Telles sont les spiriques ou sections planes de la surface annulaire; la cassinoïde, etc.

second degré, et de résoudre les questions qui s'y rapportent, il nous parait naturel de penser que , pareillement, dans les phénomènes généraux qui font Tobjet de la physique, où ces surfaces joueront un rôle suffisamment important, on devra pouvoir aussi, avec le seul secours de leurs propriétés et des lois générales du sujet, parvenir, par le seul raisonnement et la pure Géométrie, à l'interprétation et à la théorie complète des phénomènes. C'est-à-dire, en un mot, que la Géoynétrie appliquée aux phénomènes physiques , cette science de Kepler, d'Huygens, de Newton, de Mac-Laurin, de Stewart, de Lambert, se trouvera accrue, par le perfectionnement de la théorie des surfaces du second degré, d'une utile et féconde doctrine qui lui permettra de prendre un nouvel essor, après un repos de près d'un siècle. Et nous ne doutons point que cette méthode, toujours directe et naturelle, et si satisfaisante pour l'esprit, ne contribue puissamment à éclairer sa marche et à étendre ses découvertes dans toutes les parties de la philosophie naturelle ^

* Un Mémoire tout récent de M. Poinsot, sur la Rotation des corps, est un exemple frappant de la facilité et des avantages de la méthode géométrique dont nous parlons. Cette question si difïïcile, et qui a coulé tant d'efforts aux plus célèbres analystes, depuis un siècle, y est traitée avec une lucidité et une facilité vraiment admirables, et bien faites pour détruire ce préjugé, qui, ne voulant voir dans la Géométrie que la haute antiquité de son premier âge, et non la nature de ses services et de sa destination générale, nie son caractère de perfectibililé et l'assimile à une langue morte, désormais inutile et impuissante pour les besoins de lesprit humain. Qu'on nous permette d'opposer à cette erreur, qui n'est propre (|u'à arrêter les progrès de U\ science, l'opinion si imposante de l'illustre auteur de la Mécanique analytique, émise il y a soixante ans , à l'occasion même d'une des grandes questions du système du monde, où la Géométrie avait devancé l'Analyse : c Quelques avantages que l'Analyse algébrique ait sur » les méthodes géométriques des Anciens, qu'on appelle vulgairement, quoique fort impropre- > ment, synthèse y il est néanmoins des problèmes où celle-ci parait préférable, tant par la clarté » lumineuse qui raccompagne que par lelégance et la facilité des solutions qu'elle donne. Il en » est même pour lesquels l'Analyse algébrique parait en quelque sorte insuflisante , et où U » semble que la méthode synthétique soit seule capable d'atteindre. > (Sur l'attraction des » sphéroïdes elliptiques. Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1773.)

Nous avions pensé qu'il serait utile, pour chercher à détruire cette erreur, de coordonner entre elles toutes ces vérités partielles et isolées, de les faire dériver toutes de quelques-unes seulement prises parmi les plus générales, et de rattacher celles-ci aux méthodes dont nous avons parlé; ce qui eût été aussi une justification de notre classification. Ce travail aurait porté le titre d'Essais de compléments de Géométrie rationnelle. Son objet principal eut été une exposition dogmatique des méthodes en question et de leurs principales applications. Nous y joignions une théorie nouvelle et purement géométrique des surfaces du second degré, et une théorie, géométrique aussi, des courbes planes du troisième degré, avec lesquelles enfin il est temps de se familiariser; condition nécessaire des progrès ultérieurs de la Géométrie, comme Ta été jusqu'à ce jour la connaissance complète des courbes du second degré.

Nos matériaux étaient plus ou moins avancés, ainsi qu'on peut en juger par diverses Notes que nous y avons puisées pour nous en servir dans cet écrit. Mais, ainsi qu'il devait arriver dans un travail qui embrassait tant de recherches diverses, la matière s'est étendue, et nous avons reconnu qu'il nous fallait un plus long temps et un plus grand cadre que nous ne l'avions cru d'abord, pour le terminer sans une trop grande imperfection; et des retards trop prolongés devant avoir aussi leurs inconvénients, nous nous sommes décidé à écrire d'abord séparément sur les difl'érentes parties que nous destinions à cet ouvrage, nous promettant de revenir ensuite à notre premier projet, et désirant toutefois qu'une plume plus habile, plus capable de le mener à bien , nous prévint dans l'accomplissement d'une entreprise que nous croyons utile à la Géométrie.

§ 2. Nous nous proposons de traiter, dans le Mémoire qui va suivre, des méthodes comprises dans notre deuxième et notre troisième division, et de mettre au jour les deux principes généraux de l'étendue, auxquels nous avons dit que toutes ces méthodes peuvent se rattacher, et qui constituent deux doctrines générales de déformation et de transformation des figures.

§ 3. Nous démontrerons ces deux principes d'une manière directe, qui en fera des vérités absolues et abstraites, dégagées et indépendantes de toutes

Après avoir démontré ce principe, nous en ferons diverses applicatioos^ qui nous conduiront à des propositions nouvelles, dont plusieurs seront des propriétés générales, d'un genre tout nouveau, des courbes planes et à double courbure, et des surfaces géométriques : puis nous donnerons la construction analytique et géométrique des figures corrélatives les plus générales; et enfin, nous exposerons les rapports qui ont lieu entre ce principe et la théorie des polaires réciproques; et nous en déduirons plusieurs autres* méthodes particulières, qui offriraient, comme cette théorie, des moyens faciles de mettre en usage ce principe, s'il n'était démontré directement et a priori y comme une propriété inhérente à l'étendue figurée.

§ 5. Parmi les applications du principe de dualité, il en est une qui mérite que nous en fassions ici une mention particulière.

En jetant un coup d'œil sur l'état de la Géométrie avant qu'on eût fait usage de la théorie des polaires pour transformer certains théorèmes^ on s'aperçoit que l'on ne connaissait que très-peu de vérités qui fussent les corrélatives d'autres vérités connues. Dans la théorie des courbes, par exemple, aucune de leurs propriétés générales n'avait sa corrélative. Cette circonstance prouve que la méthode analytique de Descartes, à laquelle on devait les plus belles découvertes, particulièrement dans la Géométrie des courbes, n'est pas applicable, ou du moins présenterait des obstacles très-grands, si l'on cherchait à l'appliquer à ce genre de théorèmes qu'on obtient immédiatement, en vertu du principe de dualité, comme corrélatifs de théorèmes démontrés par cette méthode de Descartes. Le principe de dualité donne donc sous ce rapport, à la Géométrie pure, un avantage incontestable sur la méthode analytique.

Mais on ne conclura pas de là que l'Algèbre, cet instrument merveilleux, qui, jusqu'à ce jour, s'est prêté à toutes les conceptions géométriques, doive refuser son secours aux nouvelles propriétés de l'étendue, qui semblent échapper aux procédés de Descaries. On pensera, au contraire, qu'il suflSra

tions prescrites par ce principe. Alais nous n'avons point voulu nous permettre de substituer une nouvelle dénomination à celle qui a été généralement reçue.

de Descartes^ Tœuvre que s'est proposée ce grand philosophe dans sa magnifique conception de l'application de TÀlgèbre à la Géométrie.

§ 6. Ce que nous venons de dire de la Géométrie analytique , relativement aux propriétés de retendue^ découvertes par le principe de dualité^ s'applique aussi ^ en partie^ à la théorie des transversales^ telle que Garnot Fa formée^ et qu'elle a été appliquée depuis une trentaine d'années. Celte théorie ne convient pas^ dans son état actuel ^ pour la démonstration de beaucoup de théorèmes relatifs aux lignes et aux surfaces courbes, qui sont les corrélatifs d'autres théorèmes qu'on a démontrés par cette théorie même. Cependant elle s'applique à ceux de ces théorèmes qui ne concernent que les systèmes de lignes droites, parce que Carnot a compris, dans cette théorie, le théorème de Jean Bernoulli (ou plutôt de Jean Ceva^ comme nous l'avons dit. Note VI), qui se trouve être le corrélatif de celui de Ptolémée.

Il suffira d'introduire pareillement, dans la théorie des transversales, quelques théorèmes relatifs aux lignes et aux surfaces courbes, pour la mettre en état de satisfaire, par elle-même et directement, aux doubles questions qui doivent toujours se présenter désormais dans les spéculations géométriques. Ces théorèmes, qui seront précisément les corrélatifs des principes actuels de la théorie des transversales, ont déjà été obtenus par M. Poncelet, dans ses applications de la théorie des polaires réciproques; et cet habile géomètre en a fait usage dans son Mémoire intitulé : Analyse des tramversales appliquée à la recherche des propriétés projectives des ligms et surfaces géométriques (Voir tom. VIII du Journal de M. Crelle). Utilité du principe de § 7. Âprès avolr montré que le principe de dualité étend ses applications gèiire. sur la Géométrie analytique, en y introduisant un nouveau système de coor-

données, nous devons ajouter que l'influence et la portée de ce principe peuvent s'étendre jusque sur l'Algèbre même, considérée dans son abstraction absolue. On ne doit point s'étonner de cela; car Monge nous a appris, par d'assez beaux exemples, qu'aux lois de l'étendue et qu'à toutes les conceptions de la Géométrie suffisamment générales , peuvent correspondre des considérations et des résultats de pure Algèbre.

§ 9. Voici quelle sera la seconde manière de faire servir le principe de dualité à la découverte de théorèmes d'Algèbre.

Que Ton ait trouvé par ce principe un théorème de Géométrie , et qu'en cherchant à démontrer ce théorème par l'Analyse, c'est-à-dire par la méthode des coordonnées, on éprouve une difficulté insurmontable provenant de l'imperfection actuelle de la science algébrique, on cherchera à préciser le point de difficulté, ou, en d'autres termes, la notion algébrique qu'il serait nécessaire d'admettre pour arriver à la conclusion désirée. Cette notion algébrique sera un théorème d'Algèbre, qui se trouvera, de la sorte, démontré par des considérations géométriques.

Un exemple éclaircira suffisamment cette manière de procéder.

Supposons qu'on veuille démontrer, par la méthode des coordonnées en usage, ce théorème : Si^ à une surface gémnétrique donnée, on mène tous ses plans tangents parallèles à un tnême plan transversal, leurs points de contact avec la surface auront, pour centre des moyennes distances, un même point de l* espace, quelle que soit la position du plan transversaL

En représentant par F {x, y, z)=Q l'équation de la surface, on trouve que les coordonnées des points de contact des plans tangents sont données par cette équation et par les deux suivantes :

r/F rfF __

dx dz

dF , cfF dy dz

a et 6 étant les deux quantités angulaires qui déterminent la direction commune aux plans tangents. Éliminant^ et^ entre ces trois équations, on aura une équation résultante en x, dont les racines seront les abscisses des points de contact des plans tangents avec la surface. Il faudra donc, d'après le théorème énoncé, que la somme de ces racines soit la même, quelle que soit la direction commune des plans tangents, c'est-à-dire quels que soient les deux paramètres a et b. De la résulte donc ce théorème d'Algèbre :

Usages du principe So destinatîoD première est de généraliser les propriétés de Tétendue.

De là naissent deux usages distincts auxquels il sera propre. Car cette généralisation peut se faire de deux manières : elle peut porter sur la construction et sur la forme de la figure, ou bien sur les propriétés de cette figure.

Dans le premier cas, la question qu'on se propose est celle-ci : Cminaissant les propriétés crune certaine figure^ en conclure les propriétés analogues d'une figure du même genre, inais d'une construction plus générale.

Par exemple, étant données certaines propriétés du cercle ou de la sphère^ en conclure les propriétés correspondantes des sections coniques ou des surfaces du second degré.

Dans le second cas, la question peut être énoncée ainsi : Connaissant quelques cas particuliers d'u?ie certaine propriété générale, inconnue, d'une figure, en conclure cette propriété générale.

Par exemple, prenons trois diamètres conjugués d'une surface du second degré : on sait que la somme de leurs carrés est égale à une quantité constante. Ce théorème donnera lieu à cette question : étant donnée une surface du second degré, et étant pris un point quelconque dans l'espace, par lequel on mène trois droites; à quelles conditions de construction devront satisfaire ces droites, pour que, dans le cas particulier où ce point serait le centre de la surface, elles deviennent trois diamètres conjugués; et quelle sera la propriété de ces trois droites qui deviendra celle des trois diamètres conjugués que nous avons énoncée?

Ainsi, on conçoit bien les deux questions générales auxquelles est destiné le principe de déformation homographique.

§ 13. La première de ces deux queslions donne lieu à une véritable méthode de recherches.

En effet, qu'il s'agisse de démontrer telle propriété d'une figure; on prendra, parmi l'infinité des figures homographiques possibles, celle dans laquelle, à raison de sa simplicité ou d'autres circonstances, le théorème sera, sinon évident, au moins d'une démonstration plus facile. C'est ainsi que

progrès de la science. Car il n'est point de découverte un peu capitale dont on n'ait rencontré^ longtemps auparavant^ quelques germes et quelques cas parliculierS; qui auraient pu sur-le-champ^ à Faide de ces méthodes de généralisation^ conduire à cette découverte. Il est donc important de rechercher et de cultiver ces sortes de méthodes.

§ 15. Nous ferons diverses applications du principe de déformation homographique : Tune d'elles portera sur le système de coordonnées qui constitue la Géométrie de Descartes ^ et conduira à un nouveau système de Géométrie analytique plus général^ et qui serait propre à la démonstration directe^ par l'Analyse, des propositions que ce principe aurait servi à démontrer, comme généralisation de celles auxquelles s'applique la doctrine de Descartes.

**^?iîitr ''^ho^ro ^"^ § ^ ^* Le principe général de déformation homographique comprend ^^'^' plusieures méthodes particulières, qui serviront pour des questions spéciales

et plus restreintes. Nous en distinguerons trois principales :

La première sera la théorie des figures homologiques, de M. Poncelet, qui servira, par exemple, pour déduire des propriétés de la sphère une foule de propriétés des surfaces de révolution, du second degré, ayant un foyer; mais nous y joindrons le principe des relations métriques, sans lequel cette élégante théorie ne pourrait atteindre à une foule de questions, et serait incomplète *.

La deuxième sera une méthode propre à l'extension des relations angulaires, qui servira particulièrement pour appliquer les propriétés de la sphère aux surfaces de révolution, du second degré, n'ayant pas de foyer. Aucune des méthodes de transformation n'a encore été propre à ce genre de recherches.

Et la troisième sera destinée à une classe très^nombreuse de propriétés appartenant à la Géométrie des mesures, c'est-à-dire aux longueurs^

^ Par exemple, ce principe des relations de grandeur est indispensable pour connaître les propriétés métriques du système de deux coniques quelconques, dont M. Poncelet a donné les propriétés descriptives; il en est de même pour la théorie des bas-reliefs, dont les propriétés métriques ne sont pas moins importantes que leurs propriétés purement descriptives.

principe^ en lui-même^ renferme un troisième genre d^utilité^ qui consiste dans la notion même de Vhomographie des figures. En effet, la considération de deux figures homographiques, et la connaissance des rapports qui les lient Tune à l'autre, présentent des vérités géométriques nouvelles, auxquelles peuvent se rattacher, comme corollaires, une foule de théorèmes connus, et qui peuvent conduire à beaucoup d'autres résultats nouveaux, qu'on n'obtiendrait que difficilement sans le secours de cette doctrine des figures homographiques.

Par exemple, nous dirons que les diverses manières de décrire les coniques^ données par Newton, Mac-Laurin, De Witt, etc., et un grand nombre de propriétés de ces courbes, qui paraissent n'avoir aucun rapport entre elles, sont des conséquences immédiates de la théorie des figures homographiques. ( Voir les Notes XV et XVI.)

Les propriétés que présente le système de deux corps égaux, et même de deux corps semblables, situés d'une manière quelconque dans l'espace, sont aussi des conséquences de cette même théorie. Et ces propriétés, qu'on n^a point encore cherchées, sont nombreuses et conduisent à divers théorèmes curieux sur le mouvement infiniment petit, et même sur le déplacement fini quelconque d'un corps solide *.

Nous ne considérerons, dans ce Mémoire, les figures homographiques que comme moyen de déformation propre à la démonstration et à la généralisation des théorèmes, nous proposant d'exposer, dans un autre écrit particulier, leurs propriétés générales dont nous venons de parler.