CONCLUSION

§ 49. Après les considérations que nous venons de développer, sur la nature et la destination des deux principes de dualité et d'homographie , on

* Nous citerons, par exemple, ce théorème qui peut entrer dans les principes de la inëcanique pratique : On peut toujours transporter un corps solide d'une première position dans une autre position déterminée^ par le mouvement continu dune vis à laquelle on aurait fixé ce corps. ( Voir le Bulletin universel des sciences, novembre i 830 ; ou la Correspondance mathématique de Bruxelles, lom. VU, pag. 352.)

pensera peut-être que sMl doit exister^ dans la science de retendue^ quelques fois primordiales vraiment grandes et fécondes^ comme en Analyse le calcul i ofinitésimal ^ qui a résumé et perfectionné toutes les méthodes de quadratures ^Sde maxima^ comme en mécanique le principe des vitesses virtuelles, d'où ^f]^#âgraDge a tiré tous les autres, comme dans les phénomènes célestes la grande ^4^1 de Newton *; on pensera peut-être, dis-je, que les deux simples théoes de Géométrie , d'où dérivent les deux principes de dualité et d'homofphie, sont de ceux qui approchent le plus, dans Tétat actuel de la Géoie^ de ces grandes lois générales qui nous sont encore inconnues, des deux théorèmes, en effet, embrassent dans leurs conséquences directes, — seulement une multitude de vérités particulières , mais aussi des théori^^ €t des méthodes fécondes et d'une grande portée.

^SsDS entrer dans le détail des applications de ces deux théorèmes, et des rouK C:^^ nouvelles qu'ils ouvrent aux spéculations géométriques, il nous suffira ^dft Jre que le premier divise en deux grandes classes toutes les propriétés X^^tendue; qu'il n'en est pas une, quelque générale qu'elle soit, qu'il ne à convertir en une autre aussi générale dans son genre ; mje le second généralise toutes les vérités particulières et isolées, en montre pports communs, et les lie entre elles en les rattachant à une seule et « vérité générale; et ce théorème comprend aussi, comme le premier, Kîaéthodes dans ses innombrables corollaires.

les

^est ropinioo, sans doute, des personnes accoutumées à contempler plus particulièrement K^^opriëtés de retendue, leur nature, leur enchaincmcnt et surtout cette conlinuUé nierveil- » qui leur donne, à un degré éminent, un caractère d'extensibilité indéfinie, que ne prcpoint d'autres sciences positives, celle des nombres, par exemple. Cette opinion sur la T^^^^^^étrie et son avenir est celle d'un savant, a qui ses travaux dans plusieurs parties différentes ^^iences mathématiques, et la place distinguée qu'il a déjà prise, quoique jeune, dans les ^^ières Académies de l'Europe, donnent une grande autorité : « 11 est fâcheux, m'écrivait . Quetelet, que la plupart des mathématiciens de nos jours jugent si défavorablement de la

^"^^mëtrie pure Il m'a toujours paru que ce qui les retient le plus est le défaut de gêné-

^ %ë des roëlhodcs qu'ils pensent y voir. Mais est*ce bien la faute de la Géométrie, ou de ceux ^^%]i root cultivée? Je serais très-disposé a croire qu'il existe quelques grandes vérités qui ^^^ivent être pour ainsi dire la source de toutes les autres, à peu près comme le principe des ^^itesscs virtuelles est pour la mécanique. »

§ 20. Les principes de dualité et d'homographie^ et les diverses méthodes qui en dérivent; les autres modes de transformation, que nous avons reconnus dans la Géométrie desanptive de Monge et dans la Géométrie perspective de M. Gousinery, et celui que fournit la théorie des projections stéréographiques^ font, avec la théorie des transversales, les plus puissantes doctrines actuelles de la Géométrie récente, et lui donnent un caractère de facilité et d'universalité qui la distingue de la Géométrie ancienne.

Ces modes de transformation, en eiïet, sont autant de moyens surs, de moules, pour ainsi dire, qui servent à créer, à volonté, des vérités géométriques sans nombre.

Qu'on prenne une figure quelconque dans l'espace, et Tune de ses propriétés connues ; qu'on applique à cette figure l'un de ces modes de transformation, et qu'on suive les diverses modifications ou transformations qu'éprouve le théorème qui exprime cette propriété, on aura une nouvelle figure, et une propriété de cette figure, qui correspondra à celle de la première.

Ces moyens, que possède la Géométrie récente, de multiplier ainsi à l'infini les vérités géométriques, peuvent être assimilés aux formules et aux transformations générales de l'Algèbre, qui donnent, avec sûreté et promptitude, la réponse aux questions diverses qu'on leur soumet, ou bien, en quelque sorte, aux réactifs du chimiste, qui opèrent d'une manière sûre et invariable la transmutation des matières qu'il leur présente; ces moyens sont donc de véritables instruments, que ne possédait point l'ancienne Géométrie, et qui font le caractère distinclif de la Géométrie moderne.

Dans la Géométrie ancienne, les vérités étaient isolées; de nouvelles étaient difficiles à imaginer, à créer; et ne devenait pas géomètre inventeur qui voulait.

Aujourd'hui, chacun peut se présenter, prendre une vérité quelconque connue, et la soumettre aux divers principes généraux de transformation; il en retirera d'autres vérités, difl*érentes ou plus générales; et celles-ci seront susceptibles de pareilles opérations; de sorte qu'on pourra multiplier, presque à l'infini, le nombre des vérités nouvelles déduites de la première : toutes, il

est vrai^ ne mériteront pas de voir le jour, mais un certain nombre d^entre elles pourront offrir de Tintérét et conduire même à quelque chose de trèsgéoéral.

Peut donc qui voudra, dans Tétat actuel de la science, généraliser et créer eo géométrie ; le génie n'est plus indispensable pour ajouter une pierre à férfifice.

Aussi croyons-nous pouvoir regarder la Géométrie dans un état prononcé de progrès et de perfectionnements rapides; et pensons*nous qu'on peut dire aujourd'hui, avec raison, de cette science, ce qui a paru, dans un temps, faire 1^ caractère exclusif de la Géométrie analytique : « L'esprit de la Géo* » métrie moderne est d'élever toujours les vérités, soit anciennes, soitnou- » velles, à la plus grande généralité qu'il se puisse ^ »

* Fou lenellc» Histoire de l'Académie des sciencesy ann. 1704; sur les spirales d l'infini.

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