OB

Ghacune de ces sept équations comporte les six autres y et constitue seule llnvolution des cinq points A, A% B, B' et 0. La propriété caractéristique de ce point 0 est que son conjugué se trouve à Tinfini. Nous rappellerons le point central des deux systèmes A, A' etB,B'.

La position de ce point central est déterminée par chacune des sept équations précédentes. La première exprime que le produit des distances de ce points aux deux premiers points conjugués f est égal au produit de ses distances aux deux autres points conjugués : cette relation va nous conduire à une propriété remarquable de Tinvolution de six points.

(12) Soient A, A'; B, B'; G, G' ces six points; et soit 0 le point central relatif aux quatre premiers, de sorte qu'on ait OA.OA' =OB.OB'. Appelons un instant 0' son conjugué, lequel est à Tinfini. Les six points A, A\ B,B' et 0, 0' forment une involution. Il résulte donc, du théorème (8), que les deux systèmes G, G' et 0, 0', et un quelconque des deux autres, le premier A, A', par- exemple, forment une involution. G'est-à-dire que le point 0 est le point central des deux systèmes A, A' et G, G'. Ainsi Ton a OA.OA' = OG.OG'. Mais déjà OA.OA =0B. OB'. On a donc ce théorème général :

Quand trois systèmes de deux points forment une involution y il eociste toujours un certain point tel, que le produit de ses distances aux deux points de chaque système est constant.

Réciproquement : quand on prend sur une transversale y à partir d'un point fixe O , deux points tels que le produit de leurs distances au point 0 soit égal à une quantité can^ stante, trois systèmes de deux points ainsi déterminés seront en involution.

Quand les deux premiers points seront pris du même côté, par rapport au point 0, il en devra être de même des deux points de chacun des deux autres systèmes, pour que les

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produits aient le même signe; et pareillement quand les deux prenu'ers points seront pris de eôtés opposes par rapport à un point 0.

(13) Le théorème préeédent, qui, je crois, n'a point encore assez fixé l'attention des personnes qui ont écrit sur cette matière, me parait être la propriété la plus simple de i'involutîon de six points, et celle par laquelle se manifestera le pins souvent, dans les spéculations géométriques, cette involution.

Nous dirons que le point 0, considéré dans une involution de six points, est le point central de Tinvolution.

(14) Ce point central conduit naturellement aux points doubles, dont nous avons déjà parlé , et fait voir que ces points peuvent être imaginaires.

En effet» soient A, A', B, B' les quatre premiers points d'une involution. Ils suffisent pour déterminer le point central 0. Si les deux points A, A' sont d*un même côté par rapport à ce point 0, il en sera de même des deux points B, B' , et des deux autres points C, C qui doivent compléter Tinvolution. On peut donc supposer que ces deux derniers se réunissent en un seul, que nous appelons E; et Ton aura, pour déterminer ce point, réquation

OA.OA' = OB.OB' = Oè'.

Ce point E peut être pris arbitrairement d'un côté ou de l'autre du point 0; deisorte qu'il y aura deux points E.

Ainsi, les quatre premiers points A, A' et B, B' étant donnés, l'involution pourra être complétée de deux manières par un cinquième point, qui sera considéré comme double.

Mais si Ton suppose que lés deux premiers points A , A' soient placés de côtés différents, par rapport au point 0, il en sera de même des points B, B' et des points C, G' qui doivent compléter Tinvolution ; ces deux derniers ne pourront donc jamais se confondre. Ainsi, dans ce cas, il n'y aura pas de points doubles : l'Analyse donnerait, pour leur construction, une expression imaginaire.

({S) Soient six points en involution A, A', B, B', C, C. Que les deux premiers soient du même côté du point central 0; on pourra prendre, des deux côtés de ce point, deux points E , F , tels que

qË'=ÔF = OA.OA'.

Cette double équation exprime, que les deux points E, F sont conjugués harmoniques par rapport aux points A , A'.

Mais on a aussi

j5ë'=5P*Lob.OB';

les points E, F sont donc aussi conjugués harmoniques par rapport aux points B, B'»et de même pour les autres points C, C D'où résulte cette propriété, déjà connue, de Tin-

volulion de six poinls : il existe deux points qui sont conjugués hannoniques par rapport aux deux points de chacun des trois systèmes de l'involution. Ces deux points sont situés de part et d'autre et à égale distance du point central de Hnvolution. Mais ces points peuvent être imaginaires.

(16) Il est aisé de voir que, quand les points B, B' seront situés sur le segnoeni AA', ou entièrement au dehors de ce segment, les points E, F seront réels;

Au contraire, quand Tun des deux points B, B' sera sur le segment A A', et lautre sur son prolongement, les points en question seront imaginaires.

En effet, dans le premier cas, le point 0, qui est toujours réel, sera évidemment en dehors des segments A A', BB', pour que Féquaiion OA.OA'aaOB.OB' poisse avoir lieo; c'est-à-dire que les points A, A' seront placés du même côté du point 0; et dès lort les points E, F seront réels.

Dans le second cas , le point 0 sera placé sur la partie commune aux deax segments AA', BB' , et les deux points A, A' seront de côtés différents par rapport au point O : dès lors les deux points E, F seront imaginaires ^

(17) Les points E, F jouissent d'une autre propriété caractéristique, qui était démon* trée par Apollonius dans son traité de sectione dtterminatâ, comme on le voit par les propositionsjôl, 62 et 64 du septième livre des Collections mathématiques de Pappus; c'est que chacun des rapports