EA.EA' FA . FA

eb.eb' FB.FB'

est un maximum ou un minimum. C'est-à-dire que, si l'on prend un autre point quelconque m, le rapport

ittA.mA'

mSTniB'

atteindra son maximum ou son minimum quand le point m viendra se confondre avec Pun des points E, F qui sont conjugués harmoniques par rapport aux points A, A', et par npport aux points B, B'.

(18) Deux systèmes de points A , A' et B, B', et leur point central 0» jouissent de la propriété suivante, démontrée par Pappus (propositions 45,46,... et 56 du livre septième des Collections mathématiques) :

Si l'on prend sur la droite AB, ou sur son prolongement, un point quelconque m, on aura toujours la relation

mA . mA' — mB . mB' .y (AB -^ A'B') . mO.

< M. Poncelet a présenté, d*ane autre manière, celte discussion relative aux points E, F, en se servant de la constmction géonétriqae propre à la détermination de ces points. ( Voir Traité des Propriétés projêcHûeê, pag.201).

ticuliersy nous devons les y rattacher, et les regarder comme des corollaires des relations (B) qu*exprime celte proposition 1 30.

(23) Les équations (A) ne paraissent pas remonter au delà de Desargues; c^est sous leur forme que ce géomètre a caractérisé Vinvolution de six points, à Toccasion du beau théorème suivant, qui est devenu si fécond dans la Géométrie récente :

Un quadrilatère étant inscrit à une conique y les points où une transversale quelconque rencontre la conique et les quatre côtés du quadrilatère j sont en involution.

Il est extrêmement facile de démontrer ce théorème par de simples considérations de Géométrie *.

(24) Et l'on en conclut successivement les deux suivants, qui sont plus généraux : Quand deux coniques sont circonscrites A un quadrilatère , si l'on tire une transversale

quelconque qui rencontre ces courbes en quatre points, et deux côtés opposés du quadrilatère en deux autres points ^ ces six points seront en involution,

Quand trois coniques smit circonscrites à un mênie quadrilatère, une transversale quel-» conque les rencontre en six points qui sont en involution.

Ces deux théorèmes sont, comme on le voit^une généralisation de celui de Desargues, qui s'en conclut connne corollaire. M. Sturm les a démontrés, le premier, par l'Analyse ^.

(23) Le dernier pourrait servir à démontrer les différentes propriétés de Tinvoluiion de six points, que nous avons appelées arithmétiques. Pour cela, on considérerait différentes autres coniques passant par les quatre mêmes points que les trois premières ; chacune d elles pouvant être déterminée par une cinquième condition. Si Ton demande qu'une de ces coniques soit tangente à la transversale, on trouvera les points doubles; si Ton veut <|u'ime des coniques ait une asymptote parallèle à la transversale, on trouvera le point central; etc.

(26) Une propriété bien importante de Tinvolution de six points, c'est que : Si, d'un jyoint jrris arbitrairement, on mène des droites à ces six points, les relatiofis d'invo* lution (A) et (B), qui ont lieu entre les segments compris entre les points, auront lieu aussi entre les sinus des angles formés par les six droites qui interceptent ces segments.

On a coutume de démontrer cette proposition, en exprimant les segments en fonction des sinus des angles qui les comprennent. Mais la théorie du rapport anharmonique de quatre points nous en fournit une démonstration plus simple. Car il suffit de remarquer que chacune des relations d'involution (A) et (B) est une égalité de deux rapports anharmoniques (ainsi que nous le ferons voir dans la seconde partie de cette Note). Ces rapports conservent les mêmes valeurs quand on y substitue, aux segments, les sinus des angles qui comprennent ces segments; par conséquent la relation d'involution a lieu entre les sinus des angles que les six droites font entre elles.

Réciproquement, quand une telle relation a lieu entre les sinus des angles que six

« Voir la Note XV.

* Annales de Mathématiques, tom. XVII, pag. 180.

(32) Nous dirons que :

Six points y qui sont conjugués deux à deuxj sont en involtUion, quand quatre d'entre eux ont leur rapport anharmonique égal à celui de leurs coryugués.

Ainsi les six points A, B, G, A', B', C, dont les trois A', B', G' sont conjugués respectivement des trois premiers, sont en involution si le rapport enharmonique des quatre points A, B, G, et G' est égal au rapport anharmonique de leurs conjugués, A', B% C et G; c est-à-dire si Ton a Tune des trois équations :

CA C'A C'A CA'