A'B'.A'B B'A'.B'A AB . A'B' CB . CB
A'CA'C CA'.CA
De ces huit équations Jes quatre dernières, numérotées V, ^\ 3', i\ se déduisent respectivement des quatre premières , numérotées 1 , 2, 3, 4, au moyen des équations (A).
Nous donnerons plus loin (45)^ la démonstration de ces huit équations.
(38) Voici une formule d'une autre forme, qui exprime Tinvolution de six points, par une équation à quatre termes, entre six segments différents.
Soient a, S, y, les points milieux des trois segments AA', BB', CC ; supposons ces trois points placés dans Tordre a, S, y : on aura la relation
aA . 6y — €B .a^^ -♦- yQ .a6 = a6 .6y .ya.
Cette équation est unique; c'est-à-dire qu'il n'en existe point une seconde qui ait la même forme.
Sa démonstration se déduira (46) d'une autre relation générale , que nous donnerons eî-dessous.
(39) Quand les deux points C, C se confondent en un seul point E, la relation devient
âlcE — ëB.aE = a6.aE.6E.
Si les deux points B, B' se confondent aussi en un seul F, il vient :
«A = aE.aF.
C'est une des formules qui expriment que les points A, A' sont conjugués harmoniques par rapport aux points E, F.
(40) On peut exprimer, comme Ton sait, la relation harmonique de quatre points, au moyen d'un cinquième point arbitraire, auquel on rapporte les quatre points proposés. Il est aussi une manière d exprimer Tinvolution de six points en se servant d'un point auxiliaire, auquel on rapporte les six points proposés; et cette manière donne lieu à un nombre infini d'équations, dont une seul suditpour exprimer l'involution.
Soient A et A', B et B', C et G' les six points en involiition , et m un septième point pris arbitrairement sur la droite à laquelle appartiennent les premiers; soient a, 6, y, les points milieux des segments AA', BB', CC; supposant ces points placés dans l'ordre où nous les énonçons, on aura la relation
(F) wA.mA'.êy — wiB.rwB'.ar -♦- »wC.mC'.a€ = 0.
Cette équation a lieu quelle que soit la position du point m.
En supposant que ce point se confonde successivement avec les points en involution , ou avec les points a, ë, j^, ou avec divers autres points déterminés, on aura diverses relations qui exprimeront, toutes, l'involution de six points.
(41) La démonstration de l'équation (F) est facile. Nous allons faire voir que, si cette équation a lieu pour une position du point m, elle aura lieu aussi pour une autre position quelconque de ce point; c'est-à-dire qu'en appelant M cette nouvelle position du point m, on aura nécessairement
(F) MA.MA'.er — MB.MB'.ar-*-MC.MC'.a6 = 0;
ensuite nous montrerons que l'équation (F) a eflectivement lieu pour une certaine position du point m.
Pour déduire l'équation (F') de l'équation (F), j'écris :
iiiA = MA — MîTi, fwA' = MA' — Mwi ,
ou
Pareillement :
et
mA.t/iA' =MA.MA' — (MA -♦- MA') Mm h- Mm, mX . mA' = MA . MA' — 2M« . Mm -♦- Mm* wB . mB' = MB . MB' — 2M6 . Mm ^ Mm", mC.mC = MC.MC — 2Mr.Mm -f- M^
L'équation (F) devient donc :
MA.MA'.Sr — MB. MB'. ar-^ MC.MC. ar
— 2.Mm.(ey.Ma — ay.MS -♦-aÇ.Mr) -♦- (Cy — ay -¥• aC) MÎn = 0.
Or 9 on a, entre les quatre points a, S, y, M, la relation
6^. Ma — ay.M^ -4- aS.MysssîO,
ainsi que nous lavons démontré dans la Note IX (pag. 305); on a aussi, entre les points
ocy Sy y^ la relation
réquation ci-dessus se réduit donc à Téquation (F'), qu'il s'agissait de démontrer.
Il reste à faire voir que Téquation (F) a lieu pour une certaine position particulière du point m. Supposons que m soit situé au point central de Tinvolution de six points : on aura mA.mA'=wB.mB' = mC.mC'; et Téquation deviendra
6r — ay -f- a6 «=» 0,
équation identique.
Ainsi la formule (F'), ou (F) qui lui est semblable, est démontrée.
(42) On peut remplacer, dans Téquation (F), les segments «6, oy, 6y, par d'autres segments entre les seuls points A, A', B, B', G et C; car
BC -f- B'C AC -♦- A'C AB -♦- A'B'
6«y = > ay = » a6 = •
(43) Supposons que, dans Tinvolution, les deux points G, C se confondent en un seul |M)int E, et que les points B, B', se confondent en F; Téquation deviendra
(G) wiA.mA'.EF — mF.aE-4-mE.aF = o.
Gette équation exprime une relation entre quatre points A, A', E, F, dont les deux premiers sont conjugués harmoniques par rapport aux deux autres, et un cinquième point nt pris arbitrairement.
En donnant cà ce cinquième point différentes positions particuh'ères, on aura différentes expressions de la relation harmonique de quatre points.
(44) L'équation (F) nous parait être, jusqu'ici, l'expression la pins étendue et la plus féconde de l'involution de six points; car on en conclut toutes les équations que nous avons données, et diverses autres qui conduisent à des expressions simples de plusieurs rapports de produits de segments, à considérer dans cette théorie.
Par exemple, en supposant que le point m se confonde avec le point A, on trouve cette expression très-simple du rapport de AC.AC' à AB.AB' :
AC.AC ay AC -4- A'C
AB.AB' a6 AB + A'B L'expression de
A'B . A'B' est la même; d'où l'on conclut les équations (A).
(45) Supposant que le point m soit en B, il vient
BC.BC 6r BC-4-B'C'
BÂ.BA' 6a BA-4-B'A
Ajoutant, membre à membre, cette équation à la précédente, et remarquant que I*on a ay — 6y = «S, on obtient la première des huit équations (D).
(46) L*équation (Ë) se déduit aussi, très-aisément, de Téquation (F).
En effet , on a entre les trois points a, 6, y, et un quatrième point quelconque m, la relation suivante, due à Matthieu Stewart :
ma. . îy — m^ , (xy -¥■ my . a€ = aê . 6y .y a * .
Hetranebani, de cette équation, Téquation (F), il vient
{mv. — twA . m\j 6r — (tîïl — wiB.twB') ay -♦- (my- — wCrnC) a6 = a6.6y .
Mais
ma — aA = (moL -♦- aA) (ma — aA) = niA . t/i A' ;
d'où ^ ^
ma — mA . iwA' = aA.
Pareillement
♦wê — wiB . wiB = 6B, my — mC.mC = yC.
L*équation ci-dessus devient donc
aA.êy — €B.a7' -4- yC.a6 = aê.êy,^a. C. Q. F. D.
(47) On conclut aussi , de l'équation (F), la propriété du point central , qui a été connue de Pappus (18). Pour cela, supposons le point C situé ù Tinfini, de sorte que le point C devienne le point central 0; et écrivons Téquation (F) sous la forme
ay mG
mA.mk — mB.mB'. ^mC.ay. = 0.
Le point y est aussi à Tinfini, et Ton a
ay 6C-4-6G' mC ^ mC 2
6r 2 ' 6r 6CH-6C' JC ^
mC ■*" mC
• <:*i\>l lo m*coihI des Some général thcorcma^ etc. {Voir quatrième Époque , § 28.)
Or 6C 6C'
— = 0, — = ^; mC mC
donc !îî£' — 5.
et l'équation devient
wiA . m A' — mB . mB' -4- 2a6 .mO = 0.
Remplaçant aS par
