EXCENTRIQUES

(46) c On peut décrire, dans un plan, une inGnité de coniques qui aient pour foyers » communs deux pointas donnés ; elles forment deux séries d'ellipses et d'hyperboles ; » chaque ellipse coupe en quatre points, et à angle droit, chacune des hyperboles.»

Pareillement :

On peut former une infinité de surfaces du second degré, qui aient toutes pour conique excentrique commune une conique donnée; toutes ces surfaces se partagent en trois groupes; dans le premier, ce sont des ellipsoïdes; dans le second, des hyperboloïdes à une nappe; et dans le troisième, des hyperboloïdes à deux nappes;

Deux surfaces quelconques , appartenant à deux groupes différents , se coupent partout à angle droit ; et leur ligne d'intersection est une ligne de courbure de chacune des deux surfaces ;

Trois surfaces quelconques, appartenant respectivement aux trois groupes, se coupent en huit points ;

En chacun de ces points les normales aux surfaces sont les axes principaux du cône qui a ce point pour sommet et qui passe par l'une des coniques excentriques communes aux trois surfaces ;

Et les deux génératrices de l'hyperboloïde à une nappe, en ce point, sont les deux lignes focales de ce cône,

(47) « Plusieurs coniques, décrites des mêmes foyers, jouissent de toutes les pro- » priétés d'un système de coniques inscrites à un même quadrilatère : les côtés du » quadrilatère sont imaginaires, mais deux de ses sommets opposés sont réels, ce sont » les deux foyers ; et la droite qui joint ces deux points peut être considérée comme Tune » des coniques inscrites au quadrilatère. »

Cette propriété capitale des coniques décrites des mêmes foyers , dont M. Poncelet a déjà fait usage, peut être la source d'un grand nombre de propriétés de ces courbes; et de ces propriétés peuvent se déduire, comme cas particuliers, celles des foyers par rapport h chaque conique.

Pareillement :

(52) Qiiand plusieurs surfaces du second degré ont les mêmes coniques eoxeniriques^ $i, par une droite quelconque de l'espace, on letir mène des plans tangents, les normales à ces surfaces, menées par leurs points de contact avec ces plans y formeront un paraboloïde hyperbolique.

(53) Si la droite par laquelle sont menés les plans tangents est normale à Tune des surfaces, le paraboloïde deviendra une conique; et les points de contact des plans tangents aux surfaces seront sur une courbe plane, du quatrième degré.

Et si la droite est située d^une manière quelconque dans un des plans principaux des surfaces, les points de contact des plans tangents menés par cette droite seront sur iine circonférence de cercle.

(54) Quand plusieurs surfaces ont mêmes coniques excentriques; si un point quelconque de l'espace est regardé comme le sommet commun d'autant de cônes circonscrits à ces sur^ faces, les plans des courbes de contact envelopperont une surface développable, qui Jouira de la propriété que chacun de ses plans tangents la coupera suivant une conique; les trois plans principaux des surfaces, et les trois plans principaux communs aux cônes qui leur seront circonscrits (32), seront des plans tangents de cette développable;

Cette surface est du quatrième degré, et son arête de rebroussement est la courbe à double courbure^ du troisième degré.

(55) Quand plusieurs surfaces ont mêmes coniques excentriques; si, d'un point quelconque de l'espace, on abaisse des noi*males sur ces surfaces :

1® Ces normales formeront un cône du second degré;

^ Les plans tangents aux surfaces, menés par les pieds des normales, formeront une développable du quatrième degré.

(56) Quand plusieurs surfaces ont les mêmes coniques excentriques; si, d'un point pris dans l'un de leurs plans principaux, on abaisse des normales sur ces surfaces :

1^ Toutes ces normales seront situées dans deux plans, dont l'un sera le plan principal, et l'autre sera perpendiculaire à ce plan principal;

^ Les pieds des normales comprises dans le plan principal seront sur une courbe du troisième degré , qui est celle que M, Quetelet a appelée focale à fiosud ^ ;

Z* Les pieds des normales comprises dans le second plan sont sur une circonférence de cercle, qui a pour diamètre la perpendiculaire abaissée du point fixe sur la polaire de ce point, prise par rapport à la conique excentrique située dans le plan principal ou ce point est place;

4^ Enfin les plans tangents aux surfaces, menés par les pieds des premières normales, enveloppent tm cylindre parabolique; et les plans tangents, menés par les pieds des autres normales, passent tous par une même droite, située dans le plan principal.

Si Ton conçoit, menée par le point fixe, une conique concentrique, semblable et semblablement placée à la conique excentrique, le plan dans lequel sont les secondes normales sera normal à celte conique.

' M. Quetelet a trouvé cette courbe comme lieu géométrique des sections faites dans un cône droit y par des plan» menés par une même droite, tangente au cône et perpendiculaire à l'une de ses arêtes.