SIU LA GÉOMÉTRIE DE BHAHMEGUPTA

Les ouvrages de Brahmegupta , dont l'Europe est redevable au célèbre M. Colebrooke, sont extraits d'un Traité d'Astronomie, dont ils forment le douzième et le dix-huitième chapitre. Le douzième est un Traité d'Arithmétique (intitulé Ganita), et le dix-huitième tni Traité d'Algèbre (intitulé Cuttaca), La Géométrie fait partie du Traité d'Arithmétique, où elle occupe les sections IV, V^ ..., L\, sous les titres, dans le texte anglais : Plane figure^ lyxcarallonsy Stocks, Satv, Mounds of Grain, et Measure by Shadow.

La section IV, intitulée : Figuues planes, triangle et quadrilatère^ se compose de vingttrois propositions, comprises sous les paragraphes !21-43.

Toutes ces propositions se réduisent à des énoncés, d'un style elliptique, extréuienient concis, et ne sont accompagnées d'aucune démonstration. Elles sont présentées d'une manière générale, sans le secours d'aucune figure, et sans qu'il en soit fait aucune applica-

< A Pooita, qu(* Tuii poul n^gurfi(M' commo le principal établissemetU des Uramines, il y a tout au plus diiL ou «luu/.e persoiiiios (iiii <'nleudeiil le Lilavafi ou le Bija-Ganita; et quoiqu'il y ait plusieurs astronomes de profession il lk)Uil)ay, M. Ta>lor n'en a pas trouvé un seul qui entendit une page du Lilavati. (Delambre, Histoire de l'Astro^ nomie ancienne, \. I, p. 5i5 )

section des deux côtés; les segments sont les parties comprises entre le pied de la perpendiculaire et les deux extrémités de la base.

Dans un triangle rectangle, un côté de Tangle droit est appelé le côté, l'autre le droit (upright)y et le troisième Yhypoténuse. Au mot droit , qui ne s applique dans notre nomenclature mathématique qu'aux angles, nous substituerons celui de cathète, qui était employé par les Grecs et par les Latins.

Le polygone de quatre côtés est appelé tétragone (excepté dans le titre de rouvrage : Triangle et quadrilatère); Tun des quatre côtés est la base; son opposé est appelé le sommet (summit), et les deux autres les flancs.

Ne pouvant nous servir du mot sommet, qui s'applique invariablement dans notre langue, è un point, et jamais à une ligne, nous lui substituerons celui de corauste, à rimitation des Latins, qui donnaient aussi un nom particulier au côté opposé à la base du quadrilatère, et rappelaient coratistus. Ce mot se rencontre dans quelques anciens manusorils, el « été reproduit, en 1496, dans la Margarita philosophica,

Los perpendiculaires du quadrilatère sont abaissées, sur la base, des deux sommets qui sont les extrémités supérieures des deux flancs ; de sorte qu elles correspondent respectivement aux deux flancs. Chacune d'elles fait sur la base deux segments. Le premier, situé tMiti*o Ih perpendiculaire et le flanc correspondant, est appelé le segment , Tautre est son co9nplèmefit. Les Indiens se servent du mot diagonale dans la même acception que nous.

Dans le rectangle, les dénominations sont spéciales. Le rectangle est appelé oblong; et deux côtés eontigus sont appelés, comme dans le triangle rectangle, le coté et le droit ; MotiH dirons le côté et la cathète.

Le mot (rapèze (Jtrapezium) est employé plusieurs fois sans être défini. On voit par une note (le M. (iOlebrooke, placée au commencement de la partie géométrique de Bhaseara j et empruntée du scoliaste Ganesa, que ce mot, qui répond à la dénomination sanscrite Nnhnmn^chaturbhuja, s'applique au tétragone qui a ses quatre côtés inégaux.

CYhI la signilication qu'il avait chez les Grecs (voir la définition 34' du 1^' livre d*Kuulide), et qui a été conservée jusqu'ici chez les géomètres anglais ^ C'est la significa-

I AuJoiinriHii , (*n France, le mol trapèze s'applique exclusivemenl au quadrilatère qui a deux côtés parallèles, ni «m deux autres eôtés non |uirall(Mes. C'est vers le milieu du siècle dernier qu'il a pris cette nouvelle sigaiûcalion ; JUMque-l(i II avait eu celle d'Kuclide.

Cependimt II avait déjà revu à dilfén^ntes è|H)ques, même éloignées, cette signification particulière; car, daos la pro|Hmlllon 174*' du 7" llvn' des Collections mathémaliques de Pappus, ce mol s'applique nécessairement à an quadiilulére qui a deux cAlés parallèles et ses deux autres côtés quelconques; et, dans le Commentaire d*£alocius Nur lu 40" propuNltlon du 1'''' livre des Coniques li' Apollonius, il a la même signification. Dans les temps modernes IMMIM la trouvinmexprlnuM* formellement dans un ouvrage de Peucer : Etementa doctrinœ de circuits cœltslihuê. In N" inOU, oti noUH llMonti : Quir vero non 't:(i^\ïvi\vyp'ji\i\iaL sunt, aut duas liabent lineas œquabititer dwlanh'H, ut r/#<wfr»C'«i mtnsuhf: aut nullas prorsus parallelas lineas habent, ut TpaTrt^ti&y^.

lien l.allnn avaient appelé mvnsa, ou mensula, le quadrilatère qui a deux côlés parallèles. Stévin Ta appelé liuitm, parce que, dll-ll, Il re.snemhle mieux à une hache qu'à une table. (Œuvres mathématiques de Slérln,

jlu i'e«le loiileii le» deiioudnatlonN n'iatives aux diveiM^s formes du quadrilatère, ont beaucoup varié.

I e Mielanuli*. Iipp*''*^ P**'' l*'»* tireen trtpoutat;^ a |)ris le nom de tctragonus parte altéra longior chet les

^on que nous lui donnerons aussi dans les propositions de Brahmegupta. Mais, pour que

^^ propositions aient un sens, il nous faut nécessairement supposer que le trapèze a ses

^a^Ofiales à angle droit. Dans deux propositions seulement cette restriction n'est pas

nécessaire ; il y a lieu de croire cependant qu'elle entrait dans Tesprit de Brahmegupta.

^ite première condition dans la construction du trapèze n'est pas la seule que Fauteur

'hindou ait dû observer. Nous avons reconnu qu eh outre ce trapèze doit être inscriptible

au cc^xle. Aucune de ces deux conditions ne se trouve indiquée, ni dans le texte de

Bral^ irnegupta, ni dans les notes du scoliaste Ghaturveda. Le mot trapèze n'est employé que

deixsc fois par Bhascara, et nous voyons que, dans les deux cas, l'auteur l'applique à un

^iiadsnlatère construit d'une manière particulière, et qui a ses diagonales rectangulaires.

us emploierons le mot trapèze dans ce sens, à défaut d'un autre mot, voulant con-

une expression abréviative, qui contribuera à faire ressortir le caractère propre des

isitions de l'auteur hindou.

signi6cation que nous venons d'attribuer au mot trapèze suffît déjà, avec la condi- ^'^■^ <|ue cette figure est inscriptible au cercle, pour donner un sens à plusieurs de ces litions, mais non pas à toutes; et, dans plusieurs autres, il faut admettre pareilnt, quoiqu'elles ne concernent pas le trapèze, qu'il s'agit encore du quadrilatère '^^^^■•iplible. Dans celles-ci, le quadrilatère a deux côtés opposés égaux entre eux, ou bien côtés égaux.

ïs premières suppositions suffisent pour effectuer la construction des figures sur '^^^m:ielles roulent les propositions de Brahmegupta ; mais cela n'est pas assez : il faut •re suppléer au silence de l'auteur, et découvrir quelles sont les propriétés dont ces ï^s, ainsi construites, jouiront ; propriétés qui ont f:ut le véritable objet de l'ouvrage, question se présentera également pour d'autres propositions relatives au triangle, I^es conditions particulières de construction de cette figure sont bien indiquées, mais il n'est rien dit des propriétés dont elle jouira, ^'après cela, voici le résumé des propositions que nous trouvons dans l'ouvrage de imegupta. Nous les présentons en donnant, à celles dont l'énoncé était incomplet et K^telligible, le sens et l'interprétation dont nous venons de parler. Nous les plaçons par

(voir Boèce, Cassiodore). Au Moyen âge, Campanus et Vincent de Beauvais lui ont donné celui de

^€M^ne long, qu'il a conservé à la Renaissance, dans les ouvrages de Zamberti, de Tartalea, etc. Ensuite

ques auteurs Font appelé ohlong {voir Alstedius; Encyclopœdia universa, lib. XV). Enfin il a pris en

le nom de rectangle (Mersenne,Z>e la vérité des sciences, p. 815) qu'il a conservé. En Angleterre il

Ppelle toujours oblong.

Vincent de Beauvais , écrivain du Xlll« siècle, auteur d'nne encyclopédie intitulée Spéculum mundi, où se ^eat réunis, avec un immense savoir, une foule de documents précieux pour Thistoire, appelait climiam le ^^^^»)be des Grecs, qui est notre losange; simile climiam le rhomboïde, ou parallélogramme ; ei climinaria tous quadrilatères irréguliers, c'esl-à-dire les tnipézes des Grecs, ^^^mpanus, écrivain du même temps, à qui Ton doit en Europe la première traduction d'Euclide, qu'il avait '^SQT un texte arabe, a appelé le rbombe helmuayn; le parallélogramme, similis helmuayn; et le trapèze ^^^iclide, helmuariphe. Ces noms élaieni employés à la Renaissance; on les trouve dans la Géométrie pratique ^^ ^ndwardin, et dans les ouvrages de Lucas di Borgo et de Tartalea.

groupes, sans observer Tordre qu'elles ont dans Touvrage indien ; mais, au moyen des numéros de leurs paragraphes, on pourra établir cet ordre.

l** Quatre propositions sur le triangle, qui sont:

Première : Le carré de Thypoténnse, dans le triangle rectangle; § 24.

Deuxième : La manière de calculer la perpendiculaire en fonction des côtés ; § 2â.

Troisième : L'aire du triangle, en fonction des trois côtés; § 21.

Quatrième : Une expression du diamètre du cercle circonscrit au triangle ; § 27.

Ces propositions, les deux premières du moins, doivent être considérées comme des lemmes, utiles pour la suite.

2*^ Trois propositions qui ont pour objet de construire un triangle dont les côtés et la perpendiculaire, et conséquemment Taire et le diamètre du cercle circonscrit, soient des nombres rationnels :

Première ; Triangle rectangle ; § 35.

Deuxième : Triangle isoscèle ; § 33.

Troisième ; Triangle scalène ; § 34.

3"* Neuf propositions sur le télragone inscriptible au cercle, qui sont :

Première : L'aire du quadrilatère, en fonction des quatre côtés; § 21.

Deuxième : L'expression de ses diagonales ; § 28.

Troisième : La manière de calculer le diamètre du cercle circonscrit, en fonction des côtés ; et une expression particulière de ce diamètre pour le trapèze (tétragone qui a ses diagonales rectangulaires); § 26.

Quatrième: Une expression particulière de la diagonale et de la perpendiculaire, dans un télragone inscrit, dont les flancs sont égaux; §23.

Cinquième : Manière de calculer les segments que les diagonales et les perpendiculaires font les unes sur les autres, dans un tétragone inscrit, dont les flancs sont égaux; §25.

Sixième : Manière de calculer les perpendiculaires et les segments qu'elles font sur la base, dans le trapèze inscrit ; § 29.

Septième: Manière de calculer les segments faits, sur les diagonales, par leur point d'intersection, dans le même quadrilatère; §§ 30-31.

Huitième : Manière de calculer la perpendiculaire menée du point d'intersection des diagonales sur un côté, et le prolongement de cette perpendiculaire jusqu'au côté opposé; S§ 30-31.

Neuvième : Manière de calculer les segments que les perpendiculaires font sur les diagonales et sur les côtés, et ceux que les côtés opposés font sur eux-mêmes; § 32.

4"* Quatre propositions sur la manière de construire un quadrilatère inscriptible au cercle, dont les côtés, les diagonales, les perpendiculaires, les segments que ces lignes font les unes sur les autres. Taire du quadrilatère et le diamètre. du cercle circonscrit, soient des nombres rationnels:

Première : Construction d'un rectangle ; § 35.

Deuxième : Construction d'un quadrilatère dont deux côtés opposés doivent être égaux ; S 36.

La section V est intitulée Excavations. Elle donne la mesure d'un prisme ei d'une pyramide y et une méthode pour mesurer approximativement, dans la pratique, un corps irrégulier.

Dans les sections VI , VII et VIII, intitulées Stacks , Saw et Mounds of grain , lauleur donne des régies approximatives pour mesurer des piles de briques, des pièces de bois et des tas de grains.

La section IX est intitulée Mesure par le gnomon.

L'auteur suppose une lumière placée sur un pied vertical, et un gnomon, qui est un style placé aussi verticalement. Il résout ces deux questions :

1*^ Connaissant la hauteur de la lumière, celle du gnomon, et la distance entré le pied de la lumière et celui du gnomon, trouver rombre projetée par le gnomon; § 53.

2^ Trouver la /lauteur de la lumière, en connaissant les ombres portées par le gnomon placé dans deux positions différentes; § 54.

Telles sont les propositions qui composent la partie géométrique de louvrage de Brahmegupta.

Avant de nous livrer à Texamen de celui de Bhascara , nous allons faire quelques observations sur plusieurs de ces propositions.

La règle pour la construction d'un triangle rectangle, en nombres rationnels, s*exprimc algébriquement ainsi :

Soit a un côté du triangle, et h une quantité-quelconque, le second côté sera :

et l'hypoténuse :

Cette règle repose sur Tidcntité

ig..)'„l(^.)V...

Brahmegupta ne prononce pas, dans son énoncé, le mot rationnel; mais on trouve la même règle au paragraphe 38 de son Algèbre, et il l'intitule ; Règle pour la construction d'un triangle rectangle en nombres rationnels.

Bhascara donne la même proposition, dans la partie géométrique du Lilavati, % 140, et il ajoute que les côtés seront rationnels.

Celte règle, pour la construction du triangle, est, comme on le voit, une généralisation des deux règles que Proclus, dans son Commentaire sur la quarante^sepîième proposition du premier livre d'Euclide, attribue à Pythagore et à Platon, pour former un triangle rectangle en nombres entiers, un côté étant donné en nombre impair ou |>air.

Ces deux règles des Géomètres grecs sont exprimées par les foriiiulcs :

quon obtient en faisant successivement, dans celle de Braliniegupla , 6=:1 et 6 = 3. La formule de Brahmegupta peut prendre la forme :

(a* H- 6«)« = (o* — 6*)* -*- 4oV.

Cette formule a été trés-usitée chez les géomètres modernes, où elle est le fondement de leurs méthodes pour la résolution des équations indéterminées du second degré. Brahmegupta s*en sert pour la construction du triangle isoscèle, dont les côtés et la perpendieulaire sont des nombres rationnels. Voici sa règle :

Hetb étant deux nombres quelconques, (a^ -h b^) sera l'expression des deux côtés égaux du triangle, et 2 (a* — b^) sera la base : ta perpendiculaire sera 2ab ; § 33.

Pour former un triangle scalène dont les côtés et la perpendiculaire soient des nombres rationnels, on aperçoit, dans la règle algébrique de Brahmegupta, § 34, qu'il construit deux triangles rectangles en nombres rationnels, ayant un côté commun. Ce côté est la perpendiculaire du triangle scalène formé avec les autres côtés.

Plusieurs géomètres modernes ont résolu de cette manière la même question (tx>tV les Commentaires de Bechet de Méziriac sur le 6" livre des Questions arithmétiques de Diophante, et les Sectiones triginta miscellaneœ, de Schooten, p. 429).

Nous avons reconnu que les deux propositions sur le triangle isoscèle et le triangle scalène sont utiles pour la construction que Brahmegupta donne, sous les paragraphes 36 et 37, pour le tétragone inscriptible au cercle, ayant deux ou trois côtés égaux.

La formule

(a* H- (^ = (a*—by -4- 4aV,

qui a servi à Brahmegupta pour construire en nombres rationnels un triangle rectangle, quand un côté est donné, peut servir aussi pour le cas où Thypoténuse est donnée; car, soit s cette hypoténuse; faisons 6«»1 dans la formule, et multiplions ses deux membres

pw* (5TÏF ' ^''® deviendra

4oV (^ia^-iy

* lloéGe,en se servant aussi de ces deux formules, clans le 2« livre de s^a Géométrie, attribue la seconde à ktéhytm.

ce qui fait voir que les deux côtés du triangle seront de la forme

2ac c(o* — I)

a étant un nombre arbitraire.

Bhascara a donné cette formule. Elle ne se trouve point dans Touvrage de Brahmegupta, parce qu*elle est inutile pour la solution de la question du quadrilatère inscrit, sur laquelle roulent toutes ses propositions.

Les paragraphes 26 et 27 sont les seuls où Brahmegupta ait fait mention du cercle eirconscrit à la figure. Aucune condition semblable n*est indiquée dans aucune des autres propositions y qui nous ont paru se rapporter au quadrilatère inscriptible au cercle.

Le paragraphe 27, qui donne la manière de calculer le diamètre du cercle circonscrit à un triangle, exprime la formule connue : « le produit de deux côtés d'un triangle, divisé par » la perpendiculaire abaissée sur le troisième côté, est le diamètre du cercle circonscrit. »

La manière de calculer le diamètre du cercle circonscrit au tétragone est la même; on considère le triangle formé par deux côtés contigus et une diagonale. L'expression des diagonales se trouve dans le paragraphe 28.

Pour le tétragone qui a ses deux diagonales rectangulaires, le diamètre est égal à la racine carrée de la somme des carrés de deux cotés opposés.

Cette proposition repose sur la propriété connue, des cordes qui se coupent à angle droit dans le cercle : La somme des carrés des quatre segments faits sur les deux cardes, par leur point d'intersection, est égale au carré du diamètre du cercle. Propriété qui est la onzième proposition du traité d'Archimède, qui porte le titre de Lemmes.

Le paragraphe 21, qui donne Taire du triangle et du quadrilatère, en fonction des côtés, nous semble mériter une attention particulière, de la part surtout des personnes qui aiment à rechercher les documents historiques que peuvent présenter les annales des sciences.

Ce paragraphe se compose de deux parties , dont la première nous parait susceptible de deux interprétations différentes. Si nous suivons textuellement son énoncé, elle exprime, en quelque sorte, une proposition négative; elle dit que telle règle, pour le calcul de Faire d'un triangle et d'un tétragone, est fausse. Au contraire, en faisant un léger changement au texte , nous en lirons une règle exacte pour le calcul du trapèze, qui joue le rôle principal dans l'ouvrage de Brahmegupta .

Première interprétation :

l^ Le produit des demi-sommes des côtés opposés donne une aire inexacte du triangle et du tétragone;

2^ La demi-somme des cotés est écrite quatre fois; on en retranche successivement les côtés; on fait le produit des restes : la racine carrée de ce produit est l'aire exacte de la figure \

' Voici le texte de M. (>>lebrooke, qu*il faut avoir sous les yeux pour apprécier les deux interpréUUons doal

parmi nous^ au Moyen âge. Car nous les trouvons dans les œuvres de Bède, parmi ces questions d'Arithmétique ad acuendos juvenes ^ ^ qu'on a regardées eomme le germe du livre si connu des Récréations mathématiques ^^ et que le prince abbé de Saint-Emeran a attribuées au célèbre Alcuin, le maître et l'ami de Charlemagne.

Ces deux règles, qui attestent que nous avons eu nos temps d'ignorance, auraienl^les pénétré dans Tlnde, où des géomètres, véritablement dignes de ce nom, les auraient reconnues fausses? Et la proposition de Brahmegupla aurait-elle été destinée à subsituer, à cette pratique ignorante, une règle vraiment exacte et géométrique?

Il semble, du moins à raison de leur identité, que ces règles des Occidentaux, et celles que Tauteur hindou énonce comme fausses, ont une même origine. Car il n'en est pas de Terreur comme de la vérité. La vérité, en Géométrie, est la loi commune; elle est une, elle appartient à tous les temps, a toutes les intelligences qui savent la comprendre; et sa présence sur plusieurs points, chez plusieurs peuples, n'est pas une preuve de communications entre eux. Mais quant à l'erreur, ses formes n'ont pas de loi ; elles sont diverses» innombrables; et la conformité, dans ce cas, dénote une origine commune.

Cette circonstance offre peut-être quelque intérêt, comme fait historique attestant des communications scientifiques dans un temps éloigné, et prouvant, du reste, la haute supériorité des Hindous d'alors sur les Occidentaux contemporains.

Seconde interprétation de la proposition.

Dans notre seconde manière d'interpréter la proposition , nous changeons quelques mots du texte, et nous lui faisons dire :

i* Dans le trapèze^ l'aire est égale à la demi^somme des produits des côtés opposés;

9* Pour le triangle et le tétragone, la demi-somme des cotés est écrite quutre fois; on en retranche séparément les cotés; on fait le produit des restes; la racine carrée de ce produit est l'aire de la figure '.

< Venerabilis Bedœ opéra; 4 tom. in-fol; Cologne » 1613 ; t. I, colonnes 104 el 109. De campo quadranguio ; un quadrangle a sa base égale à 34 , le côlé opposé égal à 32 , et ses deux flancs égaux à 30 et à 32 : son aire est

De campo trianguto; un triangle a ses flancs égaux à 30 , et sa base égale à 18; soA aire est

1^ X-=:30xO«270.

Ces règles fausses sont encore appliquées dans les questions intitulées : De civitate quadrangulà; De eivttailf Iriangulâ,

' Montucla, Histoire des Mathématiques, tom. I, p. 496.

' Voiei quel pourrait être renoncé qui répoudrait à cette interprétation ; on verra queb légers changement» il suffirait de ftiire au texte anglais pour Pobtenir : Half the sum of the products of the sides and eounierêidêê is thearea ofa trapezium. In a triangle ad tétragone half the sum of the sides set down four times, emd rally lessened hy the sides, being multiplied togelher, the square-root oftheproduct is the areû.

Il est toujours question y bien entendu, du trapèze et du tétragone inscriptibles au

cerele.

PotJtr obtenir eet énoncé, il suffit de supprimer le mot inexact (gro$s)y de remplacer lé&aff€yne par trapèze ^ et de faire passer le mot triangle dans la seconde phrase, en y intrcxluisant celui de tétragone. Cette seconde phrase conserve sa signification primitive; el la première prend un sens clair , et devient une proposition assez belle qui, peut-être, n*avaîl point encore été remarquée. Sa démonstration est facile , car les deux diagonales étant âi angle droit, il est évident que Taire du trapèze est égale à la moitié du produit de Tune par Fautre. Mais ce produit , suivant le théorème de Ptolémée sur le quadrilatère inscrit , dont Brahmegupta s'est évidemment servi dans la proposition du paragraphe 28 *, est é£;al à la somme des produits des côtés opposés. Donc la moitié de celte somme est •'aire du trapèze.

On n avait cité, jusqu'ici , du paragraphe 21, que la partie relative à la formule de '**îre du triangle, en fonction des trois côlés; et Ion n'avait point fait attention à la formule de Taire du quadrilatère inscrit au cercle, qui aurait mérité à tous égards la préférence sur ■a première; ni à cette proposition, qui déclare inexactes des règles identiques à celles qui ont été pratiquées par les Latins , puis parmi nous dans le Moyen âge.

La formule de Faire du triangle avait fait d'autant plus de sensation , dans l'ouvrage de

^•^hnriegupta, qu'on ignorait généralement qu'elle eût été connue dans l'Anriquité, par-

*w^lièremenl des Grecs. Montucla, qui l'avait attribuée d'abord à Tartalea , n'en avait fait,

^■^uite, remonter l'origine qu'à Héron le jeune, écrivain du VII® siècle. Aussi, M. De-

•'ïibre, en rendant compte de l'ouvrage de Brahmegupta, dans le discours qui précède

'^ -histoire de l'Astronomie au Moyen âge, n'a trouvé d'autre objection à faire, dans

^^•^ides Grecs, contre cette formule du géomètre indien, si ce n'est que ce théorème

'•"^Urieiix n'est que d'une utilité fort médiocre en Astronomie. Mais nous devons con-

^^^ ici que ce théorème, qui est resté inaperçu dans l'histoire de l'Ecole d'Alexandrie,

^^^ été connu. On le trouve démontré dans un traité de Géodésie de Héron l'ancien (deux

^^*es avant l'ère chrétienne), intitulé la Dioptre, ou le Niveau , que M. Venturi, de

„. *^gne, a traduit, il y a une vingtaine d'années, sous le titre // Traguardo, dans son

istoire de l'Optique*. M. Venturi a encore trouvé ce théorème, sans démonstration, dans

P '■^Bgment de Géométrie d'un auteur latin qui lui a paru être antérieur à Boèce. Nous

^^oris vu aussi dans un manuscrit du XI® siècle, que possède la Bibliothèque de Chartres.

y '^it partie d'un Traité de la Mesure des Ggures, que nous croyons éire le même écrit

^ ^ eite M. Venturi, et que nous serions porté à attribuer à Frontinus. Ainsi la priorité,

.^'^^ à la formule de l'aire du triangle, ne peut appartenir à Brahmegupta. Mais ce

**^étre peut la céder, sans rien perdre de l'estime qu'elle avait fait accorder à son

^^f[e, puisque nous y trouvons la formule, beaucoup plus importante, de l'aire du

|,^ ^Ou» n^entendons pas dire que Brahmegupta a emprunté ce théorème de TAImageste de Ptolémée ; mais (|u'il

^^^^ ^mo, et qu'U s*eD est servi pour parvenir à rexpression des diagonales du quadrilalére inscrit, qu'il donne ^^ ^^ paragraphe 28.

^ommentori «opra la siwrin e le leorie deW ottica. Bologna, 1814, in-4'», pp. 77-147.

quadrilatère inscrit, en fonction des côtés, qui lui appartient incontestablement, comme ne s'étant trouvée dans aucun ouvrage antérieur.

Celle-ci avait paru jusqu'ici appartenir aux Modernes. Snellius Ténonce comme éuoi de lui, dans son commentaire sur la première proposition du livre De problemaiibuê miscellaneisy de Ludolph Van Ceulen ^ Mais nous avons quelque raison de croire qu^elle avait déjà été trouvée quelques années auparavant ^. Sa démonstration géométrique n^était pas sans difficulté, au dire même d'Ëuler, qui en a donné une dans les Mémoires de Pétersbourg ', trouvant très-embrouillées les deux que Philippe Naudé avait données précédemment, dans les Mémoires de Berlin^. Cette proposition se trouve dans peu d'ouvrages, quoique souvent, dans le XVI'' siècle et depuis, on se soit occupé du quadrilatère inscrit, ainsi que nous le dirons plus loin.

Quant à la formule de Taire du triangle, on la rencontre partout, chez tous les peuples et dans tous les temps. Les Arabes Font connue, et c est d'eux que nous est venue la première démonstration que nous en ayons eue en Europe. On la trouve dans un ouvrage de Géométrie, des trois fils de Musa ben Schaker, traduit de Tarabe en latin, sous le titre Verba filiorum Moysi, filii Schaker, Maliumeti, Hameti, Hasen *. Elle y est démontrée d'une manière géométrique, différente de celle de Héron d'Alexandrie; ce qui nous fait supposer que les Arabes l'avaient reçue des Indiens; d'autant plus que les trois fils de Musa ben Schaker disent, dans leur ouvrage, que cette formule a été employée par beaucoup d'écrivains , sans démonstration ; et que d'ailleurs on sait que ces trois célèbres Géomètres avaient puisé une partie de leurs connaissances mathématiques dans les ouvrages indiens ^. M. Libri a remarqué la formule en question dans un Traité géométrique du juif Savodarsa, écrit vers le XIP siècle 7. Elle se trouve ensuite dans la Pratique de la Géométrie y de Léonard de Fisc, où elle est démontrée à la manière des trois frères arabes.

* Après avoir dil qu*auparavanl ou calculait séparément les aires des deux triangles dont se compose le quadrilatère ; Snellius ajoute : Quanià operosior est hœc vulgata ad instigandam aream via , tantà grcUius novum hoc nostrum theoreinatum benevolo leclori futurum speramus.

* Prxtorius, dans un ouvrage sur le quadrilatère inscrit au cercle, qui porte la date de 1508, et dont noos parlerons plus loin, dii que Ton a déjà cherché le diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère, en fonciioii des côtés , et Vaire du quadrilatère.

' Novicommentahi^i. I'', ann. 1747 et 1748. Variœ demomlrationes geometriœ. »« La démonstration analyn tique de celte formule n'e^t pas difficile, mais ceux qui ont cherché à en donner une démonstration géomé- » trique ont trouvé de très-grandes difficultés. »

Les Nova acla de Pétersbourg, t. X, ann. 179i, contiennent une autre démonstration , par N. Fuss.

* Misceltanea BeroUnensia, t. III, ann. 1723.

^ Cet ouvrage n*existe qifen manuscrit. La Biblioihè(|ue royale de Paris en possède un exemplaire qui est Joint à uu grand nombre d'autres pièces scieQtidques intéressantes, traduites de Tarabe et réunies sous le titre Mathematica (Supplément latin , n» 49, in-fol. Voir V Histoire des Sciences mathématiques en Italie, de M. Libri T. I", p. 266)

I/Académie de Bàle en i)ossède aussi un manuscrit, sous le titre Liber trium fratrum de Geometrid.

^ Casiri, Ribliotheca Aradico-Uispana Escurialensis, etc. Mohammed ben Musa Indorum in prosclarissimiê incenlis ingenium et acumen ostendit. (T. !<''', p. 427.) On lit encore, dans la table de rouvrage : Ubrum arUs Logisticœ à Khata Indo editum enornavit. (Mohammed ben Musa.)

7 Histoire des Sciences mathématiques en Italie, p. 160.

j/ r^^wr^ii quon Ta trouvée aussi, avec la même démonsiration » dans quelque écrit de

jn Nemorarius, postérieur de quelques années à Léonard de Pise. A la Renaissance,

#€)rmule a paru dans presque tous les ouvrages de Géométrie. Reisch Ta donnée dans

j^ j^^^^Mwgarita philosophica , en 1496. Nous avons de fortes raisons de croire qu'il lavait

^gM^ w^m^MMUiée deTauteur latin dont nous avons parlé plus haut. On la trouve ensuite, avec

|3 .^-a ^^ jyioDstration de Léonard de Pise, dans la partie géométrique de la Summa de Arith"

fff^^*^^=^Sj Geomelritty etc., de Lucas di Borgo (Distinctio prima, capitulum octavum,

fot^ 4 2)9 et dans la troisième partie du Traité général des nombres et des mesures, de

'Y^ M^m^sklcai. Cardan la insérée, sans démonstration, dans sa Practica arilhmetice <; et Oronce

ffîwm^^^ dans sa Géométrie, livre 2, ehnp. IV. Ramus, dans ses Sdiolœ mathematicœ , a

rBjp^f^^^rêé la démonstration de Jordan et de Tartalea, en critiquant leur manière d'énoncer

la flV>v*xiiule, et leur reprochant de dire que Taire du triangle est la racine carrée du produit

de ^z^mialre lignes; locution inusitée dans la Géométrie des Grecs, où le produit de deux ou

de c trois lignes avait une signification géométrique, mais non le produit de quatre lignes.

Sn^IIÂus, en reproduisant cette critique de Kamus, dans ses notes sur les ouvrages de

Ltidolpli Van Ceulen ^, a énonce la règle à la manière des Grecs, en disant que Taire du

irist tTB^t^ est égale à celle d'un rectangle dont un côté est moyen proportionnel entre deux

des qtjifitre facteurs qui entrent dans Texpression algébrique, et dont Tautre côté est

rnoy^f B proportionnel entre les deux autres facteurs. Millet Dechales s est conformé aussi

à œ ^cy le rigoureusement géométrique des Grecs.

I^ A:>rmule en question se trouve dans une infinité d'autres ouvrages, qu'il est inutile

de cîftc^v ici. Presque tous se servent de la démonstration de Lucas di Borgo, laquelle est

celle cJ^^s Arabes, qui nous a été apportée par Fibonacci. Quelques-unes cependant sont

dîffér^ar^ Ces : telles sont celles de Newton *, d'Euler *, de Boscovich ^. Celles-ci doivent le

degré ^Jg ^3 simplicité qui les distingue à la connaissance a priori de la formule dont il s'agit

de ^c>««^%rer une expression géométrique. Celle de Héron et celle des Arabes ont le mérite

d'é^-re K^^turelles, et de porter le cachet de l'invention. Mais probablement la voie algé-

br*4^^» <jui fait usage de Texpression de la perpendiculaire, est celle qui aura procuré ori-

gi^**^^*^^^ent la découverte de cette formule, particulièrement chez les Indiens ; car ce genre

de ^^ *^^ onstration est tout à fait dans l'esprit de leurs spéculations mathématiques, qui

pep^^^^ï^ t. sur l'alliance de l'Algèbre et de la Géométrie.

i^ota^ terminerons nos observations sur cette formule par une remarque sur les trois

nomt^r^s 13, 14 et 15, que les Indiens ont pris, dans l'application nimiérique qu'ils en ont

(aii*i. <j^^g nombres sont très-remarquables, en ce qu'ils paraissent inséparables de la for-

lïi^iie. ^^ g^i^j^ non-seulement ceux des Indiens, à plusieurs siècles d'intervalle, mais aussi

^ jT^^- ^. De mensuris superficierum ; art. 4.

i ^^ figurarum transmutatione et seclione; Prohienia 35, p. 73.

^ ^^9us mathematicus. 1690, in-fol., t. \", Trigonometriœ iiber tirdu^, prop. X. . '^^^ihmétique universelle; 1. 1", problème XI. ^ AToei (7ofiim«n/arii de Pétei-sbourg: t. I". ami. I7i7 H I7iî5. -^t*^ra, etc.; l. V, «pus M.

454 iNOTES.

ceux de Héron d'Alexandrie, de Héron le jeune *, des trois frères arabes, Mohammed, Hamet et Hasen; ceux de Léonard de Pise, de Jordan, de Lucas di Borgo, de Georges Valla *, de Tarlalea , et de presque tous les écrivains qui ont reproduit la formule. Le morceau de Géométrie latin que nous avons cité, et la Margarita philosophicay sont peutêtre les seuls ouvrages qui ne s'en soient pas servis, ayant pris, pour application numérique de la formule, un triangle rectangle; mais ces ouvrages emploient les trois mêmes nombres dans d autres passages, pour calculer Taire d'un triangle en cherchant la valeur de la perpendiculaire. Pour la même question, traitée dans TAIgêbre de Mohammed ben Musa (Pun des trois frères arabes cités ci-dessus), on trouve pareillement ces trois nombres ^.

C'est une circonstance assez intéressante, aux yeux de l'historien, que partout se retrouve l'usage de la formule en question, et surtout des trois nombres 13, 14 et 15, employés dans les ouvrages les plus anciens, et chez tous les peuples, disons-nous; chez les Grecs, presque à l'origine comme au déclin de l'Ecole d'Alexandrie; dans les Indes, chez les Latins, chez les Arabes; et, dès la Renaissance, dans toutes les parties de l'Europe où les sciences sont cultivées.

L'usage général de ces trois nombres semble dire qu'ils ont eu une origine commune. Telle avait été d'abord notre pensée, et nous avions regardé ces trois nombres comme une circonstance heureuse, propre à répandre quelque jour sur la question concernant la nature et l'étendue des communications scientifiques qui ont eu lieu, dans des temps reculés, entre l'Inde et la Grèce. Mais nous n'avons pas tardé à reconnaître que ces nombres n'offraient probablement pas les secours historiques que nous en avions espérés d'abord. En clfet, on aura cherché naturellement, pour application immérique de lexpression de l'aire d'un triangle, soit par la formule en question, soit par le calcul de la perpendiculaire, trois nombres pour lesquels cette aire, et conséqucmment cette perpendiculaire, fussent exprimées en nombres rationnels. La solution de cette question n'offre pas de dilliculté. Elle se réduit à construire deux triangles rectangles en nombres rationnels, ayant un côté commun. C'est ainsi que Brahmegupta a fait, comme nous Tavons dit au sujet de son paragraphe 34. Et il est à remarquer que la manière de construire un triangle reclangle, en nombres rationnels et entiers, était connue des Grecs cl des Latins, qui se servaient des deux formules imaginées, l'une par Pythagore, et l'autre par Arcbytas ou Platon.

.Maintenant, parmi tous les systèmes de deux triangles rectangles exprimés en nombres

* Voir son Traité de Géodésie , manuscrit qui se trouve à la [bibliothèque ro^vale, sous le n» 2013.

Barocci a donné une traduction , accompagnée de commenlaii'es , du Traité de Géodésie de Ilérou le jeune et de son livre sur les machines de fçucrre. sous le tilre : Ueronis mechanici liber de Machinis heliicis, necrum liber de yeodesid; in-4°, Veneliis. 157:2. Mais le manuscrit dont il s'est servi était incomplet, et la formule de Taire du trian};le ne s'y trouve pas.

^ Geonjii Vallœ l*laceiilini viri Clariss. De expetendi^ et fuyiendis rébus opus, etc.; 2 vol. io-fol., Venise, iriOl. Liber XI V, et GeomelriœW; cap. VII, Dimensio universalis in omni triangulo.

^ The AUjebra of Mohammed bcn }fu.sa, edited and franslated by F. Hosen. London. 1851, in-8*, p. 8i du foxtp an^^lais. et p. (il du texte arabe.

^^iiers, et ayant un cùlé commun, on aura pris celui où ces nombres sont les plus peiils; ce s€>ëU ceux qui ont pour côlés, le premier 3, 12, 13, cl le second 9, 12, 13.

Plaçant ces deux triangles de manière que leurs deux côtés égaux se confondent et que les autres cdtés des angles droits soient dans le prolongement Ttm de Fautre, on forme le triangle scalène qui a sa base égale à 14, et ses deux autres côtés égaux à 15 et 13. Cest ainsi que différents géomètres, chacun de son côté, auront pu être conduits au triangle exprimé par les nombres 13, 14 et 15. Cependant nous devons dire qu'avee les deux triarfegles rectangles dont nous nous sommes servi pour former celui-là , on en peut former un autre encore plus simple. Pour cela, il faut superposer leurs deux côtés 9 et 3; il en rés\ilie le triangle qui a pour base 4, et pour côtés 13 et 13. Sa hauteur est 12, comme poui- le premier. Mais ce triangle est obtusangle; sa perpendiculaire tombe en dehors de sa base; et, bien que ce cas puisse se présenter aussi souvent que celui d'un triangle aeutoriglc, on le regarde généralement comme étant moins propre à servir d exemple. Ainsi, oalurellement, on aura choisi le triangle dont les côtés sont 13 , 14 et 13.

CHes considérations montrent que l'on ne doit pas conclure, de ce que les Indiens ont ennployé les nombres 13, 14 et 13, de même que Héron l'ancien, dans leurs applications de la formule de l'aire du triangle, qu'ils ont reçu cette formule du Géomètre d'A. I^xandrie. Mais l'eussent-ils reçue, les droits de Brahmegupta, au titre de Géomètre '^^bilCjn'en recevraient aucune atteinte, puisque son ouvrage contient une formule beauc^^tsp plus importante et des questions plus difficiles, dont nous ne trouvons pas de traces ch^aE les Grecs.

K-«^ paragraphe 28 de Brahmegupta donne les expressions des diagonales d'un quadrilale»-^ inscrit au cercle, en fonction des côlés. Ce sont les formules connues. Elles résolvent ie |[>x-^oblème où il s'agit de construire, avec quatre côtés donnés, un quadrilatère inscriptible ^^^rcle. De sorte que le géomètre indien a connu la solution de ce problème. Cette cirtance n'est pas indifférente. Car ce problème, agiré chez les Modernes, y a eu pendant ^*^ ^«mps quelque célébrité; et tous n'y ont pas réussi.

^i^ous donnerons une courte notice des Géomètres qui s'en sont occupés , dans nos obser- ^^î^ns sur le paragraphe 38, qui est une suite de ce premier problème.

our ne pas trop allonger cette Note, nous omettrons les observations auxquelles peu- 1 donner lieu les propositions des paragraphes 23, 23, 29, 30-31 et 32. Nous dirons ement que la seconde partie du paragraphe 30-31 énonce une proposition assez remar- ^^^ble. Brahmegupta montre comment on calculera la perpendiculaire abaissée du point ^ ^^tcrsection des deux diagonales du trapèze sur sa base, et donne (sans indiquer le yen de la calculer), l'expression du prolongement de cette perpendiculaire, jusqu'à la supérieure. De celte expression, nous concluons immédiatement que cette perpendicu- Te passe par le point milieu de la base supéiieure. Proposition facile à démontrer, mais i mérite d'être signalée dans l'ouvrage de Brahmegupta. Elle fait bien voir qu'il est estion d'un quadrilatère qui satisfait aux deux conditions d'être inscriptible au cercle d'avoir ses diagonales à angle droit.

Nous allons rapporter les énoncés des quatre propositions comprises sous les para-

is

graphes 35, 30, 37 el 38, qui nuiis onl paru résoudre la question de eonslrnire un quadri-

latère inscriptible, cldonl toutes les parties fussent rationnelles.

§ 35. Le coté est pris arbitrairement; son carré est divisé par une quantité quelconque; du quotient on retranclie cette quantité; la moitié du reste est In cathète de l'oblong; el, si Von y ajoute la quantité, ou aura la diagonale.

Ainsi soient a le côté de loblong, b la quantité prise arbitrairement : la cathète et la diagonale seront

En effet, on a

D après ce que nous avons déjà dit de cette formule , appliquée à la construction du triangle rectangle, on ne peut douter qu'il ne s'agisse ici de la construction d'un oblong dont les diagonales soient exprimées , comme les côtés , en nombres rationnels.

L'aire de l'oblong sera rationnelle aussi; et il en sera de même du diamètre du cercle circonscrit à l'oblong , puisque ce diamètre est égal aux diagonales.

S 36. Que les diagonales d'un oblong soient les flancs d'un tétragone; que le carré du côté de l'oblong soit divisé par une quantité prise arbitrairement, et que le quotient soit retranché de celte quantité; le reste divisé par 2, augmenté de la cathète de l'oblong, sera la base; et, diminué de la cathète, sera la corauste.

Soient a et 6 le côté et la cathète de l'oblong, et c une quantité prise arbitrairement. Les deux flancs du tétragone seront égaux aux diagonales de l'oblong; sa base sera égale à

et sa corauste, a

§ 37. Les trois cotés égaux d'un tétragone, qui a trois cotés égaux, ont pour valeur le carré de la diagonale de l'oblong. On trouve le quatrième coté en retrandmnt le carré de la cathète de trois fois le carré du coté de l'oblong.

Si ce quatrième coté est le plus grand, il sera la base du tétragone ; s'il est le plus petit, il sera la corauste.

Ainsi soient a le côté de l'oblong et b sa cathète; a^ + 6^ sera le carré de sa diagonale. Nous supposons qu'il est formé suivant la règle du paragraphe 35; de sorte que sa diagonale, W a* -h 6^, sera un nombre rationnel.

On prendra (a^ -4- 6^) pour la valeur des trois côtés égaux du tétragone, et (3a^ — 6^) sera l'expression du quatrième côté.

§ 38. Les côtés des cathètes de deux triangles rectangles, multipliés réciproquement par

règle , on reconnaît aisément qu'ils proviendront de la multiplication des deux côtés d'an même irianglc par Thypoténuse de I autre; el les deux moyens, de la multiplication des deux côtés de celui-ci par Thypoténuse du premier. Car la somme des carrés des deux côtés ac\ b&y est égale à la somme des carrés des deux autres côtés a'Cy b'c; cette somme étant cV^. Ce qui prouve que si ac' est le plus grand côté^ bc' sera le plus petit; conséquemment ac' et bc', qui proviennent de la multiplication des côtés d'un même triangle par rhypoténuse delautre, seront opposés entre eux, dans la construction du tétragone.

Nous concluons de là que la somme des carrés des deux côtés opposés est égale à la somme des carrés des deux autres côtés ; et le quadrilatère étant supposé inscriplibie dans le cercle, il résulte de cette égalité des sommes des carrés des côtés opposés , que le$ deux diagonales du quadrilatère sont à angle droit. Ainsi il est démonti*é géométriquement que, dans le paragraphe 38, le mot trapèze s'applique exclusivement au quadrilatère qui a ses diagonales à angle droit.

Soit AfiCD le trapèze; on aura

AB = ac', BC = a'c, CD = 6c'. AD = 6'c. Les formules du paragraphe 28 donnent, pour ses diagonales :

AC = ab' -f ba\ BD = aa' ^ bb\