II AVERTISSEMENT

depuis des années y ne me permettaient pas de prendre part à celte réimpression. Mais mon ami, M. Catalan, professeur à FUniversité de Liège, a eu la bonté de me suppléer dans la révision des épreuves. Je le prie d'en agréer ici mes bien affectueux remerciments.

Une autre objection pouvait se présenter. Depuis 1837, la Géométrie a fait des progrès considérables, qui ont été le sujet d'un des Rapports entrepris sous le ministère et sur la demande de Fhonorable M. Duruy. Cette circonstance pouvait rendre fort douteuse l'opportunité d'un travail déjà ancien de près d'une quarantaine d'années. Cependant M. Hayez, imprimeur de l'Académie de Belgique, et M. Gauthier-Villars, qu'il a désiré s'associer, ont bien voulu accomplir la pensée de l'Académie. Qu'ils veuillent bien aussi en agréer mes remerciments.

Paris, 20 mai 1875.

Nous nous proposons^ dans cet Aperçu, de présenter une analyse rapide des principales découvertes qui ont porté la Géométrie pure au degré d'extension où elle est parvenue de nos jours ^ et particulièrement de celles qui ont préparé les méthodes récentes.

Nous indiquerons ensuite^ parmi ces méthodes^ celles auxquelles nous paraissent pouvoir se rattacher la plupart des innombrables théorèmes nouveaux dont s'est enrichie la science dans ces derniers temps.

EnOn nous exposerons la nature et le caractère philosophique des deux principes généraux de retendue^ qui font Tobjet principal de ce Mémoire.

Nous avons distingué^ dans Thistoire de la Géométrie^ cinq Époques principales. On jugera , après la lecture , si les caractères particuliers que nous avons reconnus à chacune de ces cinq Époques peuvent justifier cette division.

Plusieurs Notes sont jointes à cet Aperçu. Les unes sont destinées au développement de certains passages que nous avons dû traiter brièvement dans le discours; d'autres présentent quelques détails historiques dont rétendue ne nous permettait pas de les donner comme annotations marginales, parce qu'elles auraient entravé la lecture. Plusieurs autres enfin seront le fruit de nos propres recherches sur différentes parties des théories géométriques dont nous aurons eu à parler, et présenteront peut-être quelques résultats nouveaux.

Celles-ci ne paraîtraient pas indispensables, si Ton n'envisageait que le but historique de notre travail. Mais nous avons eu en vue surtout, en retraçant la marche de la Géométrie, et en présentant l'état de ses découvertes et de ses doctrines récentes, de montrer, par quelques exemples, que le caractère de ces doctrines est d'apporter, dans toutes les parties de la science de l'étendue, une facilité nouvelle et les moyens d'arriver à une généralisation, jusqu'ici inconnue, de toutes les vérités géométriques; ce qui avait été aussi le caractère propre de l'Analyse, lors de son application à la Géométrie. Aussi conclurons-nous, de notre Aperçu, que les ressources puissantes que la Géométrie a acquises depuis une trentaine d'années sont comparables, sous plusieurs rapports, aux méthodes analytiques, avec lesquelles cette science peut rivaliser désormais, sans désavantage, dans un ordre Irès-étendu de questions.

Cette idée se trouvera reproduite, puissions -nous dire justifiée! dans plusieurs endroits de cet écrit, parce qu'elle en est Torigine et qu'elle n'a point cessé de présider aux longues recherches qu'ont nécessitées la partie historique, les Notes, et les deux Mémoires qui composent cet ouvrage.

Hàtons-nous de dire, cependant, pour éviter toute interprétation inexacte de notre but et de notre sentiment sur les deux méthodes qui se partagent le domaine des sciences mathématiques , que notre admiration pour l'instrument analytique, si puissant de nos jours, est sans bornes, et que nous n'entendons pas lui mettre en parallèle, sur tous les points, la méthode géométrique. Mais, convaincu qu'on ne saurait avoir trop de moyens d'in-

vestigation dans la recherche des vérités mathématiques^ qui toutes peuvent devenir également faciles et intuitives quand on a trouvé et suivi la voie étroite qui leur est propre et naturelle^ nous avons pensé qu'il ne pouvait qu'être utile de montrer, autant que nos faibles moyens nous le permettaient, que les doctrines de la pure Géométrie otTrent souvent, et dans une foule de questions, cette voie simple et naturelle qui, pénétrant jusqu'à Torigine des vérités, met à nu la chaîne mystérieuse qui les unit entre elles, et les fait connaître individuellement, de la manière la plus lumineuse et la plus complète.

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