F II

On peut calculer Taire du trapèze par la formule du paragraphe 21 ; mais il est plus simple de remarquer que, les diagonales étant à angle droit, cette aire est égale au demiproduit de ces deux lignes; ainsi son expression est |^ (ab' -+- ba^) (aa' -h bb').

Le diamètre du cercle circonscrit est égal, suivant la seconde partie du paragraphe 26, à la racine carrée de la somme des carrés des deux côtés opposés, qui est ici

Les perpendiculaires BE, CF, abaissées des deux sommets B, C sur la base AD, calculées dans les deux triangles ABD, ACD, par la règle du paragraphe 22, ainsi qu^il est dit par Brahmegupta, au paragraphe 29, sont :

BE =- (ao' -4- 66), CF = - laW h- 6a'). c c

des deux triangles générateurs, mais aussi efleetuer la construction du quadrilatère. Car il suffit de former, comme nous venons de le dire, les quatre triangles rectangles AOB, BOC, COD, DOA, et de les réunir. C'est ainsi que les scoliastes, particulièrement Ganesa, dans ses notes sur louvrage de Bhaseara, ont compris la construction du quadrilatère, et ont suppléé, de la sorte , à la condition d'inscriptibilité au cercle, que nous supposons avoir été dans les intentions de Brahmegupta. On conçoit dès lors comment Chaturveda a pu faire des applications numériques des règles de Brahmegupta, en ignorant cette condition d'inscriptibilité.

Avec les quatre côtés d'un quadrilatère inscrit au cercle, on peut former deux autres quadrilatères, qui seront inscrits au même cercle. Ainsi a, S, y^ d étant les quatre côtés pris consécutivement, du quadrilatère, on peut les placer dans Tordre a, 6,^,)^, ou bien dans l'ordre a, y, 6, d. Ces trois quadrilatères ont, deux à deux, une même diagonale; de sorte que, de leurs six diagonales, il n'y en n que trois différentes; les trois autres étant égales, respectivement, à ces trois premières K

Si Ton applique cette remarque à la ligure de Brahmegupta, les deux nouveaux quadrilatères ne seront plus des trapèzes^ ccst-à-dire, qu'ils n'auront plus leurs diagonales à angle droit. Mais ces lignes seront encore rationnelles, ainsi (|ue toutes les autres parties du quadrilatère, que nous avons calculées pour le trapèze. De sorte que les deux nouveaux quadrilatères satisfont à la question générale que nous supposons que l'auteur hindou s*est proposée ; aussi aurait-il pu comprendre ces deux quadrilatères dans sa solution.

L'existence de ces deux nouveaux quadrilatères a été connue de Bhascara, qui a donné l'expression de la troisième diagonale, mais qui n'a nullement aperçu quel était lobjet de la proposition de Brahmegupta, soit par rapport à l'inscriptibilité au cercle, soit par rapport à la rationalité des diiïérentes parties de la figure.

Cette troisième diagonale est égale à ce'. C'est précisément la valeur du diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère. Ce (|ui prouve que le quadrilatère a deux angles droits qui sont opposés. Cette forme particulière du quadrilatère, qui mérite d'être remarquée, ne l'a pas été par Bhascara ^.

' Ces trois quadnlatères ont la aième surface. Leurs trois diagonales ditlereutes ont , avec cette surface et le diamètre du cercle circonscrit , une relation |qui consiste en ce que : f^ produit des trois diagonales, divisé par le double du diamètre du cercle circonscnt , .est égal à l'aire de l'un des quadrilatères.

Cette proposition paraît due à Albert Girard , qui Ta énoncée dans sa Trigonométrie. Nous ne trouvous pas (|u'elle ait été reproduite depuis.

* Cette propriété du quadrilatère, d'avoir deux angles droits, fait voir que la question de construire uu quadrilatère inscriptible au cercle, dont les côtés. Paire, les diagonales, les perpendiculaires, ajosi que le diamètre du cercle, soient exprimés en nombre rationnels, est susceptible d'une solution ti'ès-.simple, qui consiste à prendre, pour le diamètre du cercle , un nombre rationnel (|uelcouque, et à d(k'omi>oser, de deux Dianiéres «lifférentes, le carré de ce noml)re en deux autres carrés. Les racines de ces ncmibres carrés seront les côtés du quadrilatère. On formera, de cette manière, les mêmes quadrilatères (lue par la méthode de Brahmegupta.

Il est facile de voir que Ton peut encore opënîr ainsi : Que l'on prenne un triangle scalène quelconque AfiC, «le manière (|ue ses côtés et sa perpendiculaire soient des noml)res rationnels; et que, par ses deux sommets B, C, ou élève des {perpendiculaires sur les côtés AH, AC, nspectivement. Ces droites se couperont eu un point D, et le quadrilatère ABDC satisfera à la (piestion. En chan^ï^anl Tordre de ses tôt('»s, on n»rmera le trapèze (W Hrahniegupta.

NOTES. Ui

Jieprenons les expressions de la perpendiculaire CF et du segment FD. On a

CF = - (a6' -H 60') , FD = - (66' — 00') . c c

Les 'deux lignes CF FD sont les côtés d'un triangle rectangle dont Thypoténuse est CD =^bc\ Ces expressions ne contiennent pas explicitement la quantité c'y ni par conséquent le côlé CD, mais seulement les quantités a', b'y dont la somme des carrés est égale au carré de c\ ou CO = a'b et DO=6'6, dont la somme des carrés est égale au carré dé CD. Ces expressions seraient donc encore rationnelles, quand bien même c'y ou le côté CD, ne le serait pas. Par conséquent les lignes CF, FD donnent une solution géométrique de ce problème : Décomposer un nombre donné (carré ou non) en deux nombres carrés, eontUMissant une première solution de la question.

Remplaçant c'^ par A, on pourra exprimer ainsi, algébriquement, la question et sa solution :

Potsr résoudre l'équation x* H- y* = A , en nombres rationnels , quand on connaît un premier système de racines x', y' de cette équation, on prendra arbitrairement trois nombres a, b, c, tels que l'on ait a^ H- b* = c* ; et les racines cherchées seront

ay' -¥■ 6x' X = »

by' — ax'

^s formules, auxquelles conduit naturellement la question géométrique de Brahmeypia, contiennent virtuellement les formules générales pour la résolution de Téquation

/* ^*^ A=y* *, que Ion a trouvées, au grand étonnement des géomètres européens, dans ^'S^bre de cet auteur hindou, et qui, dans le siècle dernier, avaient fait honneur au P'^ticl £|||er, qui, le premier, y était parvenu parmi les Modernes.

effet , dans l'équation à résoudre 2;*+^*=: A, et dans les deux équations de condition x^'^i/*esK et ■*" ^* *i^ c*, remplaçons a? par a? ^TT, a;para/Ï^C,aparaV^C; elles deviendront

Cx'* ^ j/'« = A, Cat +6» =:c«;

^ '^^ e^lMTCsitOM des racines xeiy deviendront, par ces substitutions ,

ai/'^bx'

Xss »

Caaf — by' y =

^ VMit les racines de Téquatiou

Cap» ^ y« = A.

^^Mî^rroBs, maintenant, que ces racines satisfont à cette équation, quelles que soient les valeurs des deux

Les Indiens faisaient usage, concurremment, de T Algèbre et de la Géométrie dans leurs spéculations mathématiques; de rAlgèbre pour abréger et faciliter la démonstration de leurs propositions géométriques, et de la Géométrie pour démontrer leurs règles d'Algèbre et peindre aux yeux, par des figures, les résultats de l'Analyse. Nous verrons des exemples de cette manière d'opérer, dans plusieurs passages des ouvrages de Bliascara, et dans les ouvrages des Arabes, qui ont reçu des Indiens cette alliance de l'Algèbre à la Géométrie. Il parait donc possible que les Indiens soient parvenus à leur solution des équations indéterminées du second degré, par des considérations géométriques puisées dans la question du paragraphe 38, et que ce soit là la raison primitive de la présence du morceau de Géométrie intercalé dans les Traités d'Arithmétique et d'Algèbre de Brahmegupta. Ce qui viendrait à l'appui de cette conjecture, c'est qu*il parait que les Arabes s'étaient aussi occupés des équations indéterminées du second degré, et qu'ils les avaient résolues par des considérations géométriques; ce en quoi ils auraient été, probablement, les imitateurs des Indiens. Gela semble résulter d'un passage de Lucas di Borgo, qui, dans sa Summa de Arithmetica j Geomeiria, etc. (distinctio prima, tractatus qtiartatus), parle du Traité des nombres carrés de Léonard de Pise, où se trouvait résolue l'équation x*-»-y*=A, par des considérations et des figures géométriques. Les formules de Léonard de Pise, que Lucas di Borgo rapporte <, sont les mêmes que celles que nous avons déduites de la question

nombres G et A, qui par conséquent peuvent être supposés négatifs. De sorte que Téqualion peut prendre la

forme

(ir«=bA=:y«; et ses racines deviennent

^^^ • ^ (Maf-^-hyf

Nous donnons le signe positif à la valeur de y, parce que cette variable n*enirant qu*au carré dans réquation, son signe est indifférent.

Les équations de condition entre x' et y' d*une part, et a, 6, c, de Tautre , sont '

Ca;'* ± A = y'*,

Cesl-à-dire que x' et y' sont un système de racines de Téquation proposée; et que - et - sont un système de racines de Téquation V*x* -\-\ = y*.

Les formules (1), qui résolvent Péquation Cor'db A=y*, sont précisément celles que Ton trouve dans TAIgëbre (le Brahme^'upta ^section VII ; pag. 364 et art. 68 de la traduction de M. Coiebrooke )

Ainsi ces formules générales pouvaient se déduire facilement de la simple question de Géométrie traitée par Tauleur indien.

' Cardan dit aussi avoir emprunté de Léonard de Pise ces mêmes formules, qu*il donna, sans démoostratioo, dans sa Practica Arilhmetice (cbap. 66, question 44). Viète est le premier qui les ail démontrées, au commenoemeiit du 1V« livre de ses Zét^tiques. Sa demonstralioii est analytique. Peu de temps apiés , Alexandre Anderson sVst aussi occupé de cotte question d'Analyse indelerm née, et a démontré, par des considérations géométriques, les formules de Diopliaute, qui sont dilferentes de celles de Léonard de Pise (voir Exercitationum maUiemaU^ carum Decas prima, Paris, 1619, in-4*»}.

Dans les notices historiques sur les équations indéterminées du second degré, on ne fait remonter qu'à Fermât

NOTES. i43

9^inétrique de Brahmegupta. Or, Léonard de Pise avait rapporté ses connaissances liaihéinaliques de TArabie. Nous devons donc attribuer ses formules, pour la résolurion des équations indéterniinées du second degré, aux Arabes, et penser que ceux-ci les avaient reçues des Indiens.

A prés avoir formé notre opinion sur les questions précises qui avaient été Tobjet des

para^i-aphes 21 à 38 de 1 ouvrage de Brahmegupta, nous avons été curieux de savoir si,

parmi les Modernes, et à quelle époque, les mêmes questions avaient été traitées; et si

I*on pouvait établir une sorte de comparaison entre le travail des géomètres hindous et

celui des géomètres européens.

^^oici ce que nous avons trouvé à ce sujet :

J.^S. Benedictis a résolu la question de construire, avec quatre càtés donnéSy un 7««^»c<y-i7a(ère inscriptible au cercle (voir son recueil intitulé : Diversarum speculationum ^"^^^^^fé^maticarum et physicarum liber, Taurini, 1585; in-fol"). Ce problème lui avait été

par le prince Charles-Emmanuel de Savoie. 1594, le célèbre Joseph Scaliger en inséra une solution inexacte dans ses Cyclo- ^^^'T-mca elementa duo (Leyde, in-fol.). a, b, c, d étant les quatre côtés donnés, on coric^lurait, de cette solution, que le diamèrre du cercle auquel le quadrilatère formé

ces quatre côtés serait inscrit, aurait pour expression V^a^ -h b^ -h l/c* -h cP. D'où *' S1.Ï ivrait que le problème admettrait deux autres solutions, pour lesquelles les diamètres c*ercles seraient l/ô* -h c* + 1^6* -+- d^, l/a* -h (P -h Vb^ -h c*. De sorte que Sca-

"^^** aurait, dans le fait, résolu avec la ligne droite et le cercle une question qui aurait "''^ cJépendre, en Analyse, d'une équation du troisième degré. Mais il est vrai que cette «rque, s*il Ta faite, ne pouvait Tarréter ; car on sait que sa grande repu ration littéraire rtant à ambitionner aussi le premier rang parmi les mathématiciens, il avait résolu —seulement le problème de la quadrature du cercle, qui était lobjet de ses Cyclometrica entay mais aussi celui d'inscrire, au cercle, tout polygone régulier d'un nombre air de côtés *.

t ouvrage fut réfuté aussitôt qu'il parut par Errard,de Bar-le-Duc, ingénieur du roi ^; nsuite par Viète ', Adrianus Romanus * et Clavius ^.

^ioe des travaux des géomètres modernes. On aurait dû citer, avant Fermai, l.éonard de Pise, Lucas di 0, Cardan et Viète surtout, qui se sont servis des formules mêmes sur lesquelles repose e( d*oii |»eiit se ^ire la solution générale d'Euler.

Elementum prius ; prop» XV.

-^ Béfutaiion de quelques propositions du livre de M. De C Escale , de la quadrature du cercle, par lui intitulé :

^^^^lometrica elemenla duo. Lettre adressée au roi. Paris, septembre lo94; chez Auray, rue S»-Jean-de-Beau- *^,aa Belléropbon couronné.

^eo de mois suffisent à Errard pour moi)ti*er la fausseté des propositions 5« et 6*' de Scaliger, qui di.seni : i)u$ le circuit du dodécagone inscrit au cercle peut plus que le circuit du cercle; et 2* que le carré du circuil ^* cercle est décuple au carré du diamètre.

' CeHe réfutation est Tobjet du Pseudo-Me.solabum et alia qnœ.lam adjuncla capitula, qui parut on 1596. "* Apologia pro Archimede^ adclariss viruni Josephum Scaliyerum. Exercitaliones cyclicœ contra J. Srali- ^rum, Orontium finœum, et Haymarum Ursum, in dercm dialoyos di.stinrt(P. Wucel)urgi, 1597. in-fol. * Voir sa Géométrie pratique.

Viète» à ce sujet, résolut la question du quadrilatère, et montra les paralogismes qui avaient égare Sealiger. Sa solution parut en 1596, dans son Pseudo-Mesolabum.

Nous trouvons ensuite Prœtorius, qui consacra à cette question un livre intitulé : Pro* blema, quod jubet ex quatuor redis tineis datîs quadrttaterum fieriy quod sit in circu/o, aliquot modis explicatum; à Johan. PiiiGTOiuo Joachimico, Norinbergae, 1598, in-4^ (de 36 pages).

Cet ouvrage est précieux sous plusieurs rapports ; d'abord par quelques indications qu'il contient sur Thistoire du problème; et ensuite parce que, résolvant la même question que Brahmegupta, au sujet des conditions de rationalité de quelques parties de la figure, il nous fournit un point de comparaison entre les Indiens et nous, dans une question particulière et originale chez lauteur hindou, comme chez Fauteur européen.

Prœtorius nous apprend qu'anciennement ce problème avait été traité, et que Ton avait cherché le diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère, et Taire de cette figure; qu'ensuite Regiomontanus avait aussi proposé ces questions; puis , que Simon Jacob avait calculé les diagonales du quadrilatère et le diamètre du cercle. Enfin il cite la solution de Viète, et ajoute que, plus récemment encore, d autres solutions en ont été données; mais qu'il ne les connaît pas.

Après ce préambule historique , Prœtorius résout le problème en cherchant les expressions des diagonales, et montre comment on calculera le diamètre.

Ensuite il se propose de déterminer quatre nombres qui , étant pris pour les côtés du quadrilatère, donnent pour les diagonales, ainsi que pour le diamètre du cercle, des valeurs rationnelles. Et il résout cette question de diflërentes manières. Dans Tune il trouve, pour les côtés du quadrilatère, les quatre mêmes nombres 60, 52, 25 et 39, qu'emploie Brahmegupta. Mais il ne les place pas dans le même ordre, et il forme ainsi un quadrilatère diflérent de celui du géomètre indien *. Dans l'exemple suivant, il remarque qu'on peut changer deux côtés de place, et il forme avec d'autres nombres, qui sont 52, 56, 39 et 33, un autre quadrilatère inscriptihie. Nous avons reconnu que ce quadrilatère a ses diagonales rectangulaires comme celui de Brahmegupta; ce que Prœtorius n'a pas observé. Ce géomètre n'a pas remarqué non plus que différentes parties du quadrilatère, que Brahmegupta a calculées, étaient aussi exprimées en nombres rationnels, comme les diagonales et le diamètre du cercle. De sorte que Ion peut dire que Brahmegupta a plus approfondi cette question, et Ta traitée plus complètement que les Modernes.

< Practorius prend un triangle quelconque ABC, ayant ses côtés rationnels et tels que sa perpendiculaire soit aussi rationnelle. Il le construit au moyen de deux triangles rectangles, comme nous Pavons dit au sujet du paragraphe 34 de Brahmegupia. Deux côlés de ce triangle, AB, AC,soiit pris pour d.'ux côlés consécutifs du quadrilatère cherché; et le troisième, BG, pour la diagonale qui les soutend. H reste à construire les deux autres côlés do quadrilatère: Praetorius deierniine leurs longueurs en menant quelques lignts, et en faisant deux proportions.

CfUe solution peut élre singulièrement abrégée; car nous avons reconnu qu'il suffit de mener, par les points B, C,deux droites iierpendiculairt's aux côtés AB et AC, respectivement. Ces droites sont les côtés cherchés.

Cette construction faH voir que le quadrilatère de Praelorius a deux angles droits, et que sa seconde diagonale est précisément le diamètre du cercle circonscrit ; ce que ce géomètre n*a peut-être pas aperçu.

La théorie du quadrilatère inscrit n^offre plus aujourd'hui aucune difficulté, et a passé dans les ouvrages élémentaires où Ion donne le théorème de Ptolémée sur le produit des deux diagonales, et un second théorème sur le rapport de ces lignes : de ces deux propositions se déduisent les valeurs des deux diagonales. M. Legendre a complété cette théorie en donnant, dans les Notes jointes à ses Êlémenfs de Géomélriey la démonstration, par le calcul, des formules pour Taire du quadrilatère et le diamètre du cercle circonscrit. Mais je ne sache pas que Ton ait jamais, depuis Praetorius, résolu la question de construire un quadrilatère inscriptible, dont les parties fussent rationnelles; ni même que ion ait fait attention à Touvrage de ce géomètre. L apparition de cette question , dans le Traité de Brahmegupta, semble donner une sorte d'à-propos, et un nouveau mérite, à celui de Prœtorius *.

Nous terminerons ici nos observations sur les dix-huit premiers paragraphes de la partie géométrique de Brahmegupta. Les autres paragraphes offrent peu d'intérêt. Nous y remarquerons seulement le rap|K)rt de la circonférence au diamètre, exprimé par la proposition du paragraphe 40, lequel serait égal à l 10. Il |>arail, d'après le texte anglais ^, que Brahmegupta a regattlé cette expression comme étant le rapport exacf de la circonférence au diamètre. Chaturveda, dans ses notes, semble le croire ainsi. Cela ne nous étonne point de la prt de i^e scH>liaste; mais il est diOicile de penser qu'un géomètre qui a été capable d*écrire sur la llu*orie du quadrilatère inscrit au cercle, et de résoudre les questions que nous avons trouvées dans louvrage de Brahmegupta, ait commis cette faute. Il est vrai que la quadrature du cercle a été aussi Técueil d'un grand nombre de géomètres modernes, qu'elle a entraînés dans des erreurs semblables , quoique plusieurs d'entre eux eussent donné des preuves d'un véritable et profond savoir en Mathématiques. Il nous suffira de eiier On^uw Finée et Grégoire de Saint-Vincent.

L'evpression l 10 est précisément le rapport que J. Scaliger disait avoir trouvé le premier» ei croyait avoir démontré géométriquement : mais on connaissait depuis longtemps eu Kuiv|H^ etMie expression , qu on savait n'être qu'approchée. On l'attribuait aux Arabes ou auv Indiens « ei Ion supposait que ces peuples l'avaient regardée comme étant exacte.

Ku elTou Purluieh (^1445-1461), dans son livre intitulé : Tractalus Georgii PeurtHU'hii SHfttr i^n^fH^ilnmes Pioletnœi de sinibus et chordiSy s'exprime ainsi : Indi vero ffiVMMf» .<• unis scirti radiées numeromm rectà radiée enrentium inventre , ille faciliter

* i IHti^\^u» (IN^7-I0li(t n'est cité, généra lemeiit, qui^ comme invenlcur de Tinstrumenl géodésique appelé U i^f^Hs'^SHft^ qui iHHhhut longl«'m|is a eu le nom de Tabula Prœloriana; mais il fut un géomèlre très-habile «'I lu\x«^^^t^i^KM^ «bus MM) lomps Snellius, en citant son ouvrage sur le quadrilatère, s'exprime ainsi : Clarissimus I |S\rf'*Mi«i k^^mm tittwm s^cientîa nulii secutidus^ de quatuor iinets in circula inlegrum librum publtcavit, ♦H \|K*» mh!h^ y^%^^ ««î^rHUW^i san^ ft acuiè hoc idem problema effici posse demonotravit .

I 0 wU^t^iv iM^4^vi«Hir do Mathématiques, Doppelmayer. lui a consacré une notice dans sa Biographie des maïh»M«<^MvM»^ ol ï»rlî>los do Nur»*mlH»rg, 1730, in-fol. (en allemand), oij Ton voit que Prœtorius a imprimé peu d xmM^it^^v; ttiAi^ ituo plusieurs do si's manuscrits sont conservés à Aliorf, oîi il a vécu, dans la plus grande estime,

|H ndAMi »\«!ii<»wlo »»s,

\>\\ Wywwi" «« o\U\iil de cette notice dans Touvrage de Géodésie pratique de J.-J. Marinoni, intitulé : Dere «« ^H*s»>*r^«»^*» **^i^^ AotliVriia praxis exponitur, etc. Vienn» Austriœ, 1751 , in-4°.

• flki» ^i^mtfte HHf^ Iht square of the semidiameier, being severally muUiplied by three, are Ihe praclicai ♦• vHm»**«VHiy i«af* «rofi. Tht .^uare^roota fxiractedfiom ten time,s Ihe squares of the same are Ihe neai raluen.

4^ Formule qui donne Taire du triangle en fonction des côtés; § 167.

Nous renoncerons ci-dessous, au sujet du quadrilatère.