Troisième partie. Propositions sur le quadrilatère

1** La demi-somme des côtés est écrite quatre fois, on en retranche séparément les côtés, et Ton fait le produit des restes. La racine carrée de ce produit est Taire, inexacte dans le quadrilatère, mais reconnue exacte dans le triangle; §§ 167 , 168.

C*cst la formule de Bralimegupta , que Bhascara a copiée , sans Tavoir comprise , et sans avoir aperçu qu'il y était question de quadrilatère inscrit au cercle. Voilà pourquoi il dit que la règle est inexacte pour le quadrilatère; et qu'il prouve ensuite qu'il est absurde de demander l'aire d'un quadrilatère dont on ne connaît que les côtés, parce qu'avec les rpémes côtés, dit-il, on peut former plusieurs quadrilatères différents ^; §§ 169-170, 171, 172.

2'' Dans le quadrilatère équilatéral, ou losange, l'aire est égale à la moitié du produit des deux diagonales. L'aire du rectangle est le produit de la bas&par la hauteur; § 174.

supérieure du renlangle retranche du iriangle un petit (riangle qui est divisé, parla perpendiculaire, en dem triangles rectangles. Ceux-ci sont e^^anx, res|)ecli veulent, aux deux triangles qu'il faul »jouler à la portion inférieure du iriangle proposé, |H)ur compléter le rectangle. D'où il couclut que l'aire du Iriangle est égale à celle da rcclangle, et conséquemmenl égale au produit de la base par la moitié de la perpendiculaire.

Celte demonshalionest très-simple et parle aux yeux autant qu'à l'esprit. C'est celle qu'emploient les Arabes, et qui a été adoptée à la Renaissance, particulièrement par Lucas di liorgo et Tartalea.

* Le scoiiaste Suryadasa, auteur de deux commentaires excellents sur le Lilavati et le BijorGanita (Colebrooke; Brahmegupta and Bhascara^ Atgebra, p. xxvi), ne paraît pas avoir été plusliabile que Bhascara dans rinlellifi^enoe de la proposition de Brahmegupta. Car il donne cette singulière raison pour prouver que Taire est exacte dans le triangle et inexacte dans le quadrilatère :

«• Si les trois restes sont additionnés ensemble , leur somme est égale à la moitié de la somme de tous les c5lés. Le produit de la multiplication continue des trois restes, éiant multipbé par la somme de ces restes, le produU ainsi obtenu est égal au produit du carré de la perpendiculaire multiplié par le carré de la moitié de la base. C'est une quantité carrée, car un carré multiplié par un carré, donne un carré. La racine carrée étaul exlraile, le résultat est le produit de la perpendiculaire |)ar la moitié de la base, et c'est l'aire du triangle Donc la véritable aire est ainsi trouvée. Dans un quadrilatère, le produit de la multiplication ne donne pas une quantité carrée, mais une irrationnelle. Sa racine approximative est l'aire de la figure; non pas toutefois la véritable, car, divisée par la perpendiculaire, elle devrait donner la moitié de la somme de la base et de la coraoste. • (Litavati, p. 72.)

» Former, avec ces qiiatres mêmes côtés, un autre quadrilatère qui ait d'autres diago- » nales, et particulièrement celui qui aura ses perpendiculaires égales. »

Bhascara résout cette question; puis il ajoute :

» Ainsi, avec les mêmes côtés, il peut y avoir différentes diagonales dans le tétragoue. » Quoique indéterminées, les diagonales ont cependant été trouvées comme déterminées » par Brahmegupta et d'autres. Leur règle est la suivante :

» § 190. Règle. Les sommes des produits des côtés aboutissant aux extrémités des » diagonales étant divisées Tune par Tautre, et multipliées par la somme des produits des » côtés opposés, les racines carrées des résultats seront les diagonales dans le trapèze.

» L'objection qu'on peut faire contre ce moyen de trouver les diagonales, c'est qu'il est » long, comme je vais le faire voir en proposant une méthode plus courte.

» § 191-192. Règle. Les cathètes et les côtés de deux triangles rectangles, multipliés » réciproquement par les hypoténuses, sont les côtés; et de cette manière est formé un » trapèze dans lequel les diagonales peuvent se déduire des deux triangles.

» Le produit des cathètes, ajouté au produit des côtés , est une diagonale; la somme des • produits des cathètes et des côtés, multipliés réciproquement, est l'autre diagonale.

» Quand cette courte méthode se présentait, je ne sais pourquoi une règle laborieuse » a été employée par les premiers écrivains. »

Bhascara ajoute que : « Si la corauste et l'un des flancs changent de place, l'une des » diagonales deviendra égale au produit des hypoténuses des deux triangles rectangles. >

Nous devons conclure, de ce passage, que Bhascara n'a pas compris les propositions de Brahmegupta qu'il reprend. Celui-ci , comme nous l'avons déjà dit, n'a pas énoncé les formules, données au paragraphe 191-192 de Bhascara, parce qu'elles n'étaient, dans son esprit, qu'une simple vériûcation de la rationalité des diagonales, et non pas le sujet d*une proposition.

Bhascara remarque qu'en changeant de place deux côtés contigus du quadrilatère, on en forme un second, où l'une des diagonales est différente, et a pour expression le produit des hypoténuses des deux triangles générateurs. Cela est vrai; mais Bhascara ne dit pas plus, pour ce second quadrilatère que pour le premier, quelles seront ses propriétés qui avaient été l'objet de l'ouvrage de Brahmegupta. Il ne remarque pas non plus que ce nouveau quadrilatère a deux angles droits.

9° Calcul des segments que les diagonales et les perpendiculaires d'un quadrilatère, et les côtés prolongés, font les uns sur les autres ; §§ 193-194, 195-196, 197, 198-200.

On suppose connus les côtés, les diagonales et les perpendiculaires.

Tous ces calculs sont sans difficulté; ils reposent sur le principe de la proportionnalité des côtés dans les triangles équiangles.

Telles sont les propositions sur le quadrilatère. Elles forment, avec celles qui concernent le triangle, la partie de l'ouvrage de Bhascara qui correspond aux dix-huit premiers paragraphes de celui de Brahmegupta. Avant de passer aux autres propositions de Bhascara, nous allons faire ressortir les différences que ces premières ont avec celles de Brahmegupta, dont elles ne sont qu'une imitation.

Ces diflérences portent sur les points suivants :

1"* Toutes les propositions de Bhascara sont étrangères au cerele, dont il est question formellement dans renoncé des paragraphes 26 et 27 de Brahmegupta, et qui joue le rôle principal dans plusieurs autres propositions.

3* La formule pour Faire du quadrilatère (inscrit au cercle), donnée par Brahmegupta , est déclarée inexacte par Bhascara.

3* L'expression générale des diagonales du quadrilatère inscrit , donnée par Brahmegupta, est censurée par Bhascara, comme étant d'un calcul pénible, et est regardée par lui comme n*étant applicable qu*à un quadrilatère d'une construction particulière.

i* Plusieurs propositions de Brahmegupta ne se trouvent point dans Touvrage de Bhascara. Telles sont les suivantes :

Première : L'expression du diamètre du cercle circonscrit à un triangle ou à un quadrilatère ;

Deuxième: L'expression particulière du diamètre du cercle circonscrit à un quadrilatère ayant ses diagonales rectangulaires ;

Troisième : La propriété de ce quadrilatère, qui consiste en ce que la perpendiculaire sur l'un de ses côtés, menée par le point d'intersection des deux diagonales, passe par le milieu du côté opposé ;

Quatrième : La manière de former un triangle, isoscèle ou scalène , dont les côtés et la perpendiculaire soient des nombres rationnels;

Cinquième: La manière de former un quadrilatère inscriptible au cercle, dont deux côtés opposés, ou bien trois côtés, soient égaux, et dont toutes les parties, ainsi que le diamètre du cercle y soient rationnels.

L'absence de ces dernières propositions (quatrième et cinquième) dans l'ouvrage de Bhascara, prouve que ce géomètre n'a point eu en vue, comme Brahmegupta, de résoudre la question de construire un quadrilatère inscriptible au cercle, et dont toutes les parties soient rationnelles.

Enfin nous devons dire que l'ouvrage de Bhascara contient quelques propositions sur le triangle rectangle, qui ne se trouvent pas dans celui de Brahmegupta , et qui , en effet, y eussent été étrangères à la théorie qui est l'objet de cet ouvrage.

En résumé: l'ouvrage de Brahmegupta résolvait complètement, et avec précision, la question de construire un quadrilatère inscriptible au cercle, dont toutes les parties fussent rationnelles. Aucune proposition n'était étrangère à cette question, ni inutile pour sa solution.

Celui de Bhascara n'a point un objet unique. On peut le diviser en trois parties principales, indépendantes les unes des autres.

Dans la première, on donne l'expression de la |)erpendiculaire dans un triangle , et la formule pour le calcul de l'aire de cette figure, en fonction des trois côtés ;

Dans la deuxième, on traite de la construction d'un triangle rectangle en nombres rationnels, et de quelques questions sur le triangle rectangle;

Dans la troisième, l'auteur calcule différentes lignes dans un quadrilatère quelconque, dont on connaît les quatre côtés et une diagonale.

Il y a donc des diflëreiiccs nombreuses et tranchées entre les deux ouvrages. Malgré ces diflërences, nous devons reconnaître que le plus récent nVst qu'une imitation ou une copie du premier ; copie imparfaite et défigurée, qui prouve évidemment que Bhascara n a pas compris Touvrage de Brahmegupra.

Les notes de divers scoliastes, qui accompagnent le texte du LUaiati^ nous monU^nt que ces écrivains n ont pas été plus heureux que Bhascara, et qu'ils n'ont pas eu non plus rintelligcncc des propositions de Brahmegnpta.

Mais les propositions qu'il nous reste à citer, du chapitre VI du Lilavati, ont beaucoup plus de valeur que celles qui leur correspondent, dans le Traité de Brahmegupta. Nous allons en présenter les principales, où Ion aura à remarquer surtout une expression très-approchée du rapport de la circonférence au diamètre, et une formule très-simplc* |>ourle calcul approximatif d'une corde, en fonction de son arc.

J 201. « Le diamètre du cercle étant D, l'expression D. ^jg^ est à peu près la circoii- » férence; D. y est l'approximation employée dans la pratique. »

Ces deux expressions ne se trouvent pas dans l'ouvrage de Brahmegupta. Le rapport ^ est celui d'Archimcde. Le premier, j^gjj, est plus exact; car il est égal a 3,14160, et l'on a y sa 5,14281)71 Pour obtenir une plus grande approximation il faut se servir du rapport 3,141 592()....

L'approximation des Indiens * est remarquable surtout à cause du petit nombre de chiffres qui y entrent. Toutefois le rapport d'Adrien Metius, 1^1 = 3,14159292...., est préférabUî.

S 203. « Hiff/to, Le (|uart du diamètre, multiplié par la circonférence, est l'aire du cercle. » Cette aire, multipliée par 4, est la surface de la sphère. Celte surface, multipliée par le » diamètre et divisée par 6, est la valeur précise du volume de la sphère. »

,S.S 20».20(}. « livffto. Soit D le diamètre du cercle; D«|^ est l'aire du cercle, d'une » manière asse/ rapprochée; D^ || est sa mesure grossière, employée dans la pratique;

" ^'*' îT T^''*^ '" "^*'^"'*^- *'" volume de la sphère. » (les deux dernières expressions résultent du rapport d'Archimède; car on a

Jl D* 22 D* 1 D»^ D* 22

^TÎ^'TT' "2 "^2r'T"""6"y

§ 20G-207. Ce sont les relations entre la corde, sa flèche et le diamètre du cercle, données par Brahmegupta ; ^ 41 et 42.

« Le rapport — no doit pas Htv attribut^ ;^ Hliasoara ; il est beauiH)up plus ancien que ce géomètre. On le trouve sous la Umw — -» dans l'Algi^bro de Molianimod ben Musa, qui, après avoir donné les deux ra|>- |H>ris — ei l 10, dii que les Asironomes se servent d'un tnVisiùme, qui est ^^' {Voir p. 71 de la traduclion de

M. Kmléric l^osen.)

l)\ipivs cela on |h'uI se demander si ce rap|H)rt ap|vartient aux Indiens ou aux Arabes. M. Rosen et M. Libri pen»enl t|uM esl d'orijîine indienne. ^Voir Mohammifii hm Musa, Atgebra transtated by F. Rosen, p. IM; el Hièlnnu' ths svifuci's wnihèmatiqiurs fit //«/iV, \k\»» liHj Ce rapport est connu en Europe depuis loiigt<»nips. JMirbiii'li iMi parle dans mmi Traité de lu ci»nslnuiioii des sinus, et Stévin dans sa Géographie.

§g 309-311 et 212. « Dans le cercle donl le diamèlre est 2000, les côtés du triangle » équilatéral inscrit, et des autres polygones réguliers, sont : ))our le triangle, 1732 ^; pour » le létragone,1414,^; pour le pentagone, 1175 7^; pour Thexagone, 1000; pour Thepla- » gone,867:j^; pour loclogone, 765^; et pour le nonagone, 683^. »

L'auteur ajoute : « De différents autres diannètres, on déduira d'autres côtés, comme » nous le montrerons sous le litre de construction des sinus, dans le Traité sur les sphé- ■ riques.

■ La règle suivante enseigne une méthode expéditive pour trouver les cordes, par une » approximation grossière. »

$ 213. Soient : c la circonférence , « Tare, 1) le diamètre et C la corde; on aura

40 aie - a)

mt

Cette formule approximative est très-curieuse; il serait intéressant de savoir comment les Indiens y sont parvenus. M. Servois la obtenue en prenant la formule qui donne, en série, le sinus d'im arc en fonction de cet arc. (Voir Correspondance sur r École polytechnique, lom. m, 3** Cahier.)

S 214. Exemple. Le diamètre étant 240, les cordes des arcs de 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 et 180 degrés, seront 42, 82, 120, 154, 184, 208, 226, 236 et 240.

S 215. Formule qui donne lare a, en fonction de la corde C, de la circonférence c et du diamètre D :

On tire cette formule de celle du paragraphe 213, en résolvant une équation littérale,

du second degré.

Les chapitres VII, VIII, IX et X ne contiennent rien de plus que ceux auxquels ils correspondent, dans louvrage de Brahmegupta.

Le chapitre XI a pour objet le calcul des distances par lombre du gnomon. On y trouve les questions traitées par Brahmegupta , et, de plus, celle-ci : un gnomon étant éclairé par deux points lumineux différents, si Ton connaît la différence des ombres et la différence de leurs hypoténuses, on saura déterminer les ombres.

Cela se réduit à ce problème :

Connaissant la perpendiculaire d'un triangle, la différence des segments qu'elle fait 9ttr la base, et la différence des deux autres côtés, constmire le triantjle.

Soient : h la hauteur, ou perpendiculaire du triangle; ^ la diffërence des segments ; d la différence des côtés ; les segments seront égaux à

~[^dtzd\/ i

C'est la formule de Bhascara.

On trouve, dans le Bija-Ganita, plusieurs question de Géométrie résolues parle calcul , et plusieurs régies d'Algèbre, démontrées par la Géométrie. Toutes ces questions sont traitées avec une précision et une élégance bien remarquables.

Dans quelques-unes, qui pouvaient être résolues de plusieurs manières, c'est la solution la plus simple que Fauteur a choisie: on croit lire un passage de V Arithmétique universelle^ où Newton donne des préceptes si judicieux sur le choix des inconnues.

Ainsi, ayant à trouver la base d'un triangle scalène dont les côtés sont 13 et 5, et l'aire 4, Bhascara observe que « si l'on prend pour l'inconnue la base cherchée, on » tombe sur une équation quadratique. Mais si l'on cherche la perpendiculaire abaissée » sur l'un des côtés donnés, du sommet opposé, et les segments faits sur ce côté, on en » déduit, par une simple extraction de racine carrée^ la base cherchée. Elle est 4. • (Bija- Ganita,$ 117.)

Bhascara donne deux démonstrations du carré de l'hypoténuse. La première consiste à chercher, par une proportion, l'expression des segments faits sur l'hypoténuse par la perpendiculaire , et à ajouter ensemble ces deux segments. C'est la démonstration employée par Wallis. (De sectionibus angularibusy cap. VI.)

La seconde est tout à fait d'origine indienne ; elle est fort remarquable. Sur les côtés d'un carré, Bhascara construit intérieurement quatre triangles rectangles égaux entre eux, ayant pour hypoténuses ces côtés, et il dit : voyez. En effet, la vue de la figure suffit pour montrer que l'acre du carré égale les aires de quatre triangles (ou quatre fois Taire de l'un d'eux), plus l'aire d'un petit carré qui a pour côté la différence des deux côtés de l'angle droit de l'un des quatre triangles. C'est-à-dire que l'on a, en appelant c Thypoténuse d'un des triangles et a, 6 ses deux autres côtés :

ab c« = 4— -^ (a — 6)* = 2a6 H- (a — 6)»,

ou 0*= o' -H 6';

ce qui est la proposition qu'il fallait démontrer. (Bija-Ganita,^ 146.)

Les formules d'Analyse :

sont démontrées par des figures qui parlent aux yeux et à l'esprit, sans qu'il soit besoin d'aucune explication (§ 147, 149 et 150).

Géométrie, de même qu'ils nous offrent des Traités d Arithmétique et d'Algèbre. Nous croyons avoir démontre, en effet, que tel ne pouvait avoir été lobjet de louvrage de Brahmegupta, qui roule sur une seule question de Géométrie. Mais nous ne pouvons en dire autant de Touvrage de Bhaseara; et nous consentons à y voir le résumé des connaissances géométriques en circulation, dans les temps modernes , chez le peuple indien. La manière dont l'auteur a déligurc louvrage de Brahmegupta pour former le sien, et les notes des divers scoliastes, dont aucun ne la repris, nous prouvent que la science a singulièrement décliné chez les Indiens, et qu'il n'ont plus de véritable Traité de Géométrie.

Nous ne saurions nous prononcer de même sur l'état de la science au temps de Brahmegupta. Les documents nous manquent; et nous ne pourrions dire si l'intelligence et le génie mathématiques de cet écrivain et de ses contemporains étaient bien à la hauteur des ouvrages, si parfaits et si remarquables, qu'il nous a transmis; ou bien si ces ouvrages ne seraient pas eux-mêmes, comme ceux des écrivains postérieurs, de simples fragments d^m savoir véritable et très-ancien, qui auraient échappé à la destruction des temps et qui n'auraient point encore perdu , dans le siècle de Brahinegiipta, leur perfection et leur pureté primitives. I^e célèbre hollandais Stévin, qui admettait un siècle sage « où les » hommes ont eu une connaissance admirable des sciences, » siècle qui avait précédé celui des Grecs et qui ne lui avait transmis qu'une faible partie seulement de son savoir antique S Stévin, disons-nous, et notre illustre Bailly ^ ne bal.'mceraient point à se prononcer dans cette question, à la vue des ouvrages si étonnants de Brahmegupta.

Pour nous, qui n'avons pointa aborder ici une si haute question historique, nous nous bornerons à appeler, sur la partie géométrique des ouvrages de Brahmegupta et de Bhaseara, qu'on avait négligée jusqu'ici, l'attention des savants orientalistes, et des érudits qui s'occupent de l'histoire de l'Inde et de la marche de la civilisation humaine. Cette partie géométrique pourra leur procurer quelques documents et quelques aperçus utiles.

SUR LA GÉOiMÉTRlE DES LATINS.

Nous continuerions, pour ainsi dire, le même sujet, en passant de la Géométrie des Indiens à celle des Arabes. Mais, comme ce que nous aurons à dire de celle-ci, se liera plus naturellement encore avec les premiers travaux des géomètres européens, à la renaissance des lettres, où nous verrons l'élément arabe non moins répandu, et non moins influent

» Œuvres mathématiques de Simon Stévin; in-fol., Leyde, 1C34. Géographie; définition VI, p. 106.

' « Ces méthodes savantes, pratiquées par des ignoranls, ces systèmes, ces idées philosophiques, dans des » têtes qui ne sont point philosophes, tout indique un |>euple antérieur aux Indiens el aux Chaldéens : peuple qui >» eut des sciences perfectionnées, une philosophie sublime et sage, et qui, en disparaissant de dessus la terre, a •' laissé aux peuples qui lui ont succédé quelques vérités isolées , échappées à la destruction , el que le basaid » nous a conservées. » {Histoire de V Astronomie ancienne, livre III, § xviii.)

Deux raisons concourent à nous autoriser à former cette conjecture. D'abord, Boèee» nu commencement du second livre de sa Géométrie , qui roule sur la mesure des surfiices, nomme Julius Frontinus comme ayant été très-habile dans cel art, et annonce qall lai a fait des emprunts pour ce second livre. Vers la 6n de Touvrage, Boéce donne la liste des principaux ai*penteurs romains, et y inscrit Julius Frontinus. Cette double circonstance nous prouve que cet auteur avait écrit sur la Géométrie pratique. Ensuite, nous remar- <|uons que le morceau de Géométrie que nous trouvons dans le manuscrit dont nous venons (le parler, présente, avec le second livre de Boèce, tant de points de ressemblance, qu'on en doit conclure avec certitude que Tun des deux ouvrages a été copié en grande partie sur lautre. Le style pur et plus facile de ce morceau de Géométrie, annonce qu'il est antérieur à répoque où a vécu Boèce; nous sommes donc porté naturellement à conclure qu'il

Aristotelia lib. elenchorum; Boetii Logica, Rhetorica.Arithmetica, Musica; Julii Firmici mathematUa; MaUmi Junioris geometria ; canones ^ tabulœ et diversa de Aitronomiâ,

Ce litre est emprunté d*uue note placée sur la partie intérieure de la couverture en Jtois du Tohime, et qui parait aussi ancienne que lui ; elle est ainsi conçue :

In hoc volumine continentur :

Liber elenchorum Aristotelis;

Logica^ Bhetorica^ AriihmeUea, Musica y Boeeii;

Mathematica Julii Firmici ^ Materni Junioris;

Geometria;

Canonei, tabulœ et alia de Astronomiâ.

Vis-à-vis les mots Mathematica Julii y etc., se trouve une annotation qui parait aussi fort ancienne, et oh nous croyons lire : Hanc suppoaitam credo. Et, en effet, nous ne trouvons aucune pièce de Julius Ffrmicos Matemos. Mais il est vrai que, malheureusement, il manque 104 feuilles (140. ..243) dans cemanuscrit,^ parUr du cbap.XX du second livre du Traité de la Musique, de Boéce. Nous 8U|)posons que le reste de la Musique occupait 64 feailles à peu prés ; de sorte que 40 feuilles auraient contenu d'autres matières qui nous sont inconnues et où aurait pa se trouver quelque chose de Flrmicus Maternus ; cependant on ne connaît et on ne cite, de cet auteur, que son Traité d'Astrologie, en huit livres.

La feuille 244, la première après la lacune, contient la fin d'un écrit sur les corps réguliers. Puis, on trouve différentes pièce.H, placées les unes à la suite des autres, sans titres, et sans indication d'auteurs, et qui traitent, la plupart, de la Géométrie des arpenteurs romains et des mesures dont il faisaient usage. Nous avons distingué parmi ce pèle- mêle les morceaux suivants, dont les deux derniers surtout rendent le manuscrits très-précleax :

1* Celui que nous attribuons i Frontinus;

2o Le livre d'Arithmétique, de Martianus Capella;

3« Le cinquième livre de l'ouvrage De re ruslicây de Golumelle, qui traite de la mesure des champs;

40 Différents autres fragments de Géométrie, des arpenteurs romains ;

^ Un passage du quinzième chapitre des Êtgmologies d*Isidore de Séville, qui traite des mesures;

G» Les deux livres de la Géométrie de Boèce, dont le premier contient les neuf chiffres et le passage relatif au nouveau sjrstème de numération; et dont le second est terminé par un autre passage, encore relatif i celle numération, et qui ne se trouve pas dans les éditions qu'on a données de Boèce;

7* Enfin, un antre écrit sur l'usage des neuf chiffres, qui présente des analogies frappantes, d*une part avec les passages de Boèce et la lettre de Gerbert, d'autre part avec notre propre système de numération.

Cet écrit, dont il parait qu'on n'a |K>int encore eu connaissance, pourra jeter quelque jour sur la question, encore controversée, de la vraie signification des passages de Boèce et de Gerbert, et de la date précise de Tintroduction , en Europe, de la numération indienne.

Le ntaniiscrit est terminé par quelques notions de la sphère céleste, puis un Traité d'Astrologie et des tables -jiblroiionilques.

à Frontinus. Car la régie qui concerne le triangle équilaléral est en contradiction avec une autre règle, parfaitement géométrique, donnée auparavant. Ainsi nous trouvons d abord, sous le titre de trigono ysopleuro: «a étant le côté d'un triangle isopleure, » a' — f^\ est le carré de la perpendiculaire; la perpcndiciilairc, multipliée par -1, est » Taire du triangle. Soit a = 30, il vient

» C'est Taire du triangle. » Cette règle est exacte, et Tapplicalion numérique Test aussi, en négligeant toutefois les fractions dans Texlraction de la racine de 675 ^ On doit s'étonner alors de trouver ensuite, encore sous le titre de trigono ysopleuro , cette seconde règle : « a étant le côté du triangle isopleure, son aire est ^^^. Soit o=28, Taire . du triangle sera i^i!±i^, ou 2|?= 406. .

Remarquez que, de la sorte, le triangle dont le côté est 28, a une plus grande surface que celui dont le côté est 30. Ce rapprochement entre les deux exemples numériques de Tauteur, semble annoncer que la seconde règle lui est étrangère et a été prise d'un autre écrit.

Cette seconde manière de procéder est suivie de sa démonstration^ mais qui ne présente qu'une pétition de principe. Voici la raisonnement de Tauteur. Une aire donnée S est la surface d'un certain triangle équilatéral, dont le côté est égal à *^^-^^-A, Mettant, à la place de S, Taire trouvée ^ ^", on a pour résultat a, qui est le côté du triangle proposé; donc Taire trouvée est exacte.

Le défaut de cette prétendue démonstration est manifeste, caria formule

1/8. aire -4-1 - 1 côté =

fl*-i-a

est précisément, sous une autre forme, la même que celle-ci : aire = ^ a""» qu'il s'agit de démontrer.

Mais pour passer de Tune à l'autre de ces deux formules, il faut résoudre une équation

» PivndreV'67o = 26.cVst la même chose que 15. 1^3 = ^6, ou ^3=~| • D'après, cela Texpression de Paire du triangle, qui est exactement ~ V^^ dévie

devient

C*est la formule dont se sont servis quelques auteurs latins, tels que Golumelle (De re rusticâ; liv. 5, cbap. II), et (|ui a été employée encore dans les temps modernes. On la trouve dans plusieurs ouvrages de Géooiélrie prall(|ue (voir Georgii Vallœ, de expetendis et fugiendis rébus; liber XIV el GEOHETRiiB V ; cap. IIII. — // brew IraUnlo di Gcometria del sig. Gio. Franc. Peverone di Cuneo; in Lione, 15.%, in-4«. — Livre III de la Géometrh' pratique de Henrion ; pag. 341 et 349; seconde édition, Paris, 16:23).

aux sept arts libéraux : la Grammaire, la Dialectique, la Rhétorique , la Géométrie, TArithmétique, TAstronomie * et la Musique.

Dans le livre de la Géométrie, Fauteur semble avoir employé ce mot suivant son sens étymologique; car il débute par des notions de géographie. Ce qui est de la Géométrie proprement dite, se réduit à quelques déGniiions des lignes , des Ggures planes et des solides, qui la plupart sont prises d'Euelide, et énoncées sous leur nom grec; chose assez remarquable, parce que dans d autres écrits du même temps ou un peu moins anciens, tels que ceux de Boèce, de Cassiodore, les noms grecs ont été remplacés par des dénomi* nations latines.

Le livre d'Arithmétique, de Martianus Gapella, est plus savant que son livre de Géométrie. Il est, comme TArithmétique de Boèce, une imitation des ouvrages platoniciens et pythagoriciens, particulièrement de celui de Nicomaque, qui traite des propriétés des nombres et de leurs divisions en diverses catégories, des nombres pairs, impairs, composés, parfaits, imparfaits, abondants, diminutifs, plans, solides, triangulaires, etc.

Saint Augustin a écrit sur la Musique. On lui attribue aussi, assez légèrement, des principes d'Arithmétique et de Géométrie, mais qui n offrent qu'une simple nomenclature.

Il en est de même du traité de Géométrie, de Cassiodore, compris dans son seizième livre, qui traite des sept arts libéraux, et de la partie géométrique de ceue espèce d*eneyclopédie que le célèbre Isidore de Séville a laissée sous le litre d'Étymologies.

La Géométrie de Boèce a plus d'importance que les écrits dont nous venons de parler» parce qu'elle est plus savante, qu'elle fait connaître pour la première fois, chez les Latins, la Géométrie d'Euclide, et qu'elle contient quelques traits intéressants de l'histoire des sciences. Nous allons donner ime analyse de cet ouvrage, qui est aujourd'hui peu connu.

Il est en deux livres. Le premier est une traduction, à peu près littérale, des définitions et des énoncés des propositions des quatre premiers livres d'Euclide. Ensuite on Cr<mTe, sous le titre de figuris geometricis, quelques problèmes résolus par Boèce, qui n'offrent rien d'intéressant.

Ce premier livre est terminé par l'exposition d'un nouveau système de numération , différent des systèmes grec et romain, qui fait usage de neuf chiffres, et quç l'on a cru reconnaître pour être précisément notre système de numération actuel. Mais ce point de l'histoire des sciences, qui depuis deux siècles a fixé rattention des savants, n'a pas eneore été résolu d'une manière définitive. Nous reviendrons, plus loin, sur ce passage intéressant de la Géométrie de Boèce. Nous discuterons aussi, dans un article spécial , un autre passage du même livre, où nous croyons trouver la description du pentagone étoile ou de seconde espèce.

Le second livre est consacré à la Géométrie pratique, telle qu'elle était connue des arpenteurs romains. L'analyse que nous avons donnée, en parlant de Frontinus, d'un Traité de Géométrie pratique, resté manuscrit, répond à ce second livre, qui parait avoir

* Dans ce huitième livre se irutive uu chapitre irés-reiriarquable, intitulé: Quod lellus nofi sil centrum omnibus planetis, oii Martianus Capella fait tourner Mercuie et Vénus autour du Soleil. CVsl là que Copernic a pris la première idée de son système.

SUR LE PASSAGE DU PREMIER LIVRE DE LA GÉOMÉTRIE DE BOÉGE, RELATIF A UN NOUVEAU