SYSTÈME DE NUMÉRATION

Le passage de la Gôomélrie de Boèee, dont il s'agit, parait être resté inaperçu pendant longtemps, quoique les manuscrits des œuvres de cet écrivain ne soient pas rares, et que sa Géométrie ait été imprimée dès 1491 , puis en 1499 et en 1570. Ce n'est, je crois, que vers le milieu du XVII' siècle que Isaac Vossius, dans ses notes sur la Géographie de Pomponius JUela, fit connaître ce passage, et signala les neu( caractères ou chiffres^ quil contenait. Depuis, c'a été une question souvent agitée, de savoir si c'est bien précisément de notre système de numération que Boèce veut parler, et si les Grecs en ont eu connaissance, ainsi qu'il le rapporte.

Ce point historique offrait un grand intérêt, par lui-même, et comme devant être d'une haute importance dans la question plus générale de l'origine du calcul indien, et des voies qu'il avait suivies pour se répandre au loin, et apparaître tout à coup parmi nous, au commencement du XIII*" siècle, dans de nombreux ouvrages '.

Cependant on n'a point encore été d'accord jusqu'ici sur la vraie signification du passage de Boèce, et l'opinion émise le plus généralement a été en faveur d'une autre pièce, du X" siècle, qui est une lettre et un petit Traité, attribués à Gerbert (devenu pape en 999,

* |o L'ouvrage de Léonard Fibonacci, de Pise, commençant ainsi : IncipU liber Abbcun^ compoiitus a Leonardo (ilio Bonacci Pisanoi in anno i202; el dans lequel se trouvent aussi, pour la première fois, en Europe, les principes de PAIgèbre.

2o LeTraité d* Arithmétique pratique, de Jordan Nemorarius (vers 1200), resté manuscrit dans la Bibliolbèqœ savilienne, sous le tilre : Aigorismus Jordanie lam in integris quam in fractis demonstratus. Cet ouvrage est différent de TAriiLméiique spéculative en dix livres, du même auteur, mise au jour el illustrée par Fabre d*Ëtaples,en 1406.

3<» Le Traité d*Arilkmélique de Sacro Bosco, inlitulé : Tractatui Algorismi^ écrit en 1236, en vers, et oooh

mençant par ces deux-ci :

ilœc aigorismus , as prœsens, dicitur in qud

Talibus Indorum fruimur bis quinque fiyuris.

4" Un passage du Spéculum doctrinale, de Vincent de Beauvais (1194-1264), intilulé : De computo et algo^ mmo (livre XVI, cbap. 9), oti la connaissance de nos neuf chiffres, et de leurs valeurs de position, ainsi que Tusage du zéro, sont parrailement exposés.

5» VAlgorisme, ou Traité d^ Arithmétique, écrit en français par un anonyme, sous Philippe le Hardi (tS70- 1285). (M. Daunou, dans le Discours sur Tétat des leUres en France, au Xill* siècle, mis en tête du tooL XVI de VHistoire littéraire de la France (in -4<>, Paris, 182 i), fait mention de ce Traité. quMI dit exister dans la Bibliothèque de S««-Geneviève, sous le n" BB2, in^*"; mais, malgré les recherches réitérées de MM. les oonserraleurs de cette Bibliothèque , nous n*avons pu Vy trouver).

6<» Le Traité de Maxime Planude, écrit en grec, vers la fin du XIIl* siècle, sous le titre : Calcul êekm hê Indiens t dit le grand calcul.

Il est assez singulier qu'aucun de ces traités d'Arithmétique, qui sont si précieux pour Thlstoire des sdenees, et qui marquent un grand pas dans Pesprit humain, n'ait encore été imprimé.

Outre ces ouvrages, il existe d'autres écrits du même temps, tels que le Calendrier de Roger Bacon, les Letins de Jordan Nemorarius, et les traités De spherœ et De computo, de Sacro Bosco, oh il est fait usage des chiffres arabes.

sous le nom de Sylvestre II), où Ton a aperçu notre système de numération, et Ton a répété, depuis que Wallis a émis cette opinion dans son Histoire de l'Algèbre, que Gerbert, le premier, nous a fait connaître le système de numération indien, qu'il avait appris des Sarrazins, en Espagne. Et c'est l'opinion émise encore dernièrement par Tillustre président de la Société asiatique de Londres, dans sa savante dissertation sur lorigine de T Algèbre ^ Mais il faut dire ici que c'est plutôt d'après le témoignage unique d'un historien du XII'' siècle, Guillaume de Malmesbury, dont les paroles ^ ont été empruntées et reproduites, un siècle après, par Vincent de Beauvais ^ qu'on a fondé cette opinion, que sur le Traité même de Gerbert, que l'on a rarement lu, et que Wallis particulièrement n'a pas connu. Et, chose assez singulière, si c'eut été l'çxamen de ce Traité qui eût servi de base à l'opinion de Wallis, nous ne balancerions pas à dire que la question agitée au sujet du passage de Boèce est résolue par cela même, et qu'à Boèce doit être reporté l'honneur attribué à Gerbert. Car la comparaison que nous avons faite, du Traité de Gerbert avec le passage de Boèce, ne nous laisse aucun doute qu'ils roulent absolument sur le même sujet et sur le même système de numération, et que l'un et l'autre ont la même origine. Cette remarque, qui n'avait pas encore été faite, aura besoin d'être justifiée ; j'y reviendrai dans un autre moment, et je ferai alors quelques autres observations, auxquelles peut donner lieu le Traité de Gerbert ^. Je dois ici me renfermer uniquement dans l'examen du passage de

« This (Gerberl), upon his relurn, he communicated to Christian Europe, teaching the method ofnumbers ^mtnder the désignation o/'Abacus, a name apparently first introduced by him (rationes numerorum Abaci), 6y •mrules abstruse and difficuH to he understood, as William of Malmesbury afprms. It was probably owing to Mhis obscurity ofhisrules and manner or trealing the Arahian^ or rather Indian arithmetic^ that it made so ^mie progress between his lime atid that of the Pisan (Leonardo of Pisa), (Colebrooke , Brahmegupta and ^hascara, Algebra, dissertation, p. lui.)

* Abacum certe primus a Saracenis rapiens , régulas dédit, quœ a sudantibus ahacistis vix intelliguntur, ^éir De gestis Anglorum libri V. (Livre 2, pp. 64 et 65.)

* Spéculum historiale. Duaci, 1624, in-f«. Voir livre 24, chap. XCVIII, p. 997.

* Par exemple, ce Traité, et la lettre d'envoi qui lui sert de préface, sont-ils bien de Gerbert? Et en suppoqu*ils roulent sur notre système de numération (ce que je crois), leur origine directe vient-elle des Sarra-

ins d'Espagne ? Ces deux questions, qui sont soulevées ici pour la première fois depuis que, sur l'autorité de

almesbury , on a fait honneur à Gerberl de rimporlatiou du système arabe, ne sont peut-être pas dépourvues

'intérêt. Car cette lettre et le Traité, qu'on croit généralement être restés manuscrits, sont imprimés en entier,

le titre de numerorum divisione, dans les Œuvres de Bède (672-735), comme étant de cet écrivain.

I est assez étonnant qu'ils n'y aient pas été aperçus, surtout par Montucla et par Delambre, qui , l'un et l'autre,

Qt parlé de ce chapitre des Œuvres mathématiques de Bède. (Voir Histoire des Mathématiques^ tom. I'**, p. 495,

Histoire de r Astronomie ancienne, tom. I", p. 322.)

Maintenant, ce sera peut-être un point d'histoire à résoudre, de savoir si la lettre et le système de numération ttribaés à Gerbert, sont de lui ou de Bède.

Sans vouloir aborder cette question, qui est du ressort des savants écrivains qui continuent V Histoire litté' aire de la France, nous nous permettrons de dire que la grande ressemblance, quant au fond et dans les mots , que nous reconnaissons entre ce Traité et le passage de Boèce , nous porte à le croire de l'écrivain le tas rapproché de ce dernier; c'est-à>dire de Bède, qui ne lui est postérieur que de deux siècles. Une autre son, c'est que, du temps de Gerbert, les Maures d'Espagne devaient se servir, comme les Indiens et les , du zéro (ou du point , comme zéro) ; de sorte que Gerberl , en transmettant leur système de numéra- ^Jkm, aurait fait usage et aurait parlé expressément du zéro, dont nous ne pouvons trouver aucune trace dans

la Géométrie de Boèce, qui est la partie la plus importante de eet ouvrage , surtout comme document historique unique.

Voici la traduction, à peu près littérale » qui nous parait rendre le sens de ce passage:

« Les Anciens avaient coutume d appeler digits toute espèce de nombre au-dessous de » la première limite, c'est-à-dire ceux que nous comptons depuis un jusqu'à dix, qui sont » 1,2, 3,4,5, 6,7, Set 9.

» Ils appelaient articulés tous ceux de Tordre des dizaines , et des ordres suivants à » TinGni ^ ;

» Nombres composés tous ceux qui sont compris entre la première et la seconde Utnite^ » c'est-à-dire, entre dix et vingt, et tous les autres suivants, excepté les limites;

» Et nombres incomposés tous les digits et toutes les limites ^.

» Les nombres multiplicateurs changent de place entre eux ; c est-à-dire que tantôt le

le Traité cd question, où nous supposons que ce signe auxiliaire est suppléé par remploi de colonnes, comme dans Boèce, ainsi que nous allons le dire. Enfin , une troisième considération , qui rend admissible Popinion que Bède a pu écrire ce Traité, c'est que Ton trouve nos chiffres dans quelques manuscrits très-anciens des œavres de cet écrivain , ainsi que Ta remarqué Wallis dans son Histoire de 1^ Algèbre (p. li).

' C'esl-à-dire tout décuple ou centuple, etc., d*un digit.

Celte distinction des nombres, en digits et en articulés, avait pour objet surtout de donner des dénominations spéciales au chiffre des unités et à celui des dizaines, dans un nombre exprimé par deux chiffres, tel qae 27; parce que ces deux chiffres, considérés dans un calcul, pouvaient bien ne pas représenter les véritables unités et dizaines de la question. C'est ce qui a lieu, par exemple, si le nombre 27 résulte, dans une multiplication, du produit du premier chiffre du multiplicateur par le deuxième ou le troisième chiffre du multiplicande.

Les dénominations de digits ei articulés {digitus et articulus) méritent bien d*étre remarquées ici, car on peut dire qu'elles suffiraient seules pour indiquer qu'il est question de notre système de numération , avec lequel elles se sont toujours présentées depuis : au X« siècle ou antérieurement, dans le Traité attriboé à Gerbert; au XI1I« siècle, dans les ouvrages de Sacro Bosco , de Vincent de Beauvais, etc. ; et, à la Renaissance» dans tous les Traités d'Arithmétique, qui commencent toujours comme ce passage de Boèce (voir Optisculumde praœi numerorum quod algorismum vocant, pièce très-ancienne, trouvée' et mise au jour en 1503, par Josse Clicthovée; Margarita phitosophica; Summa de Arithmelica, de Lucas di Borgo; Algorithmus demonstralus, de Schoner; Septem partium Logisticœ arithmetiees quesliones, de Schroler; Jrithmetica pracUca in quinque partes digesta, de Morsianus; Arithmetica practica libris IV absolutat d'Oronce Finée; Arithmeticœ praUcae melhodus facilis, de Gemma Frisius , etc.)

2 Ainsi les limites étaient des nombres, et n'étaient autres que les articulés.

11 n'y avait donc , dans le fait, que trois espèces de nombres : les digits ^ les articulés et les nombres composés.

Cette division des nombres, en trois espèces, était enseignée dans tous les Traités d'Arithmétique, à la Renaissance. Le mot /tme«, que nous avons traduit par limite, était aussi employé dans plusieurs ouvrages; mais il n*jr désignait pas des nombres : il s'appliquait à des collections de nombres. On appelait limites (latine) les différents ordres d'unités, dizaines, centaines, etc., que les Grecs appelaient eweaâèç. Ainsi primus limes était l'ordre ou la colonne des unités ; secundus limes, l'ordre ou la colonne des dizaines ; et ainsi de suite.

Le passage suivant de V Algorithmus demonstralus, de Schoner, définit bien nettement la signiûcation des mots digitus, articulus, numerus compositus, et limes.

Digitus est omnis numerus minor decem. Articulus est oYnnis numerus qui digitum décuplai, aut digUi decuptum, aut d^cupli decuplum , et sic in infinitum. Separanlur autem digiti et articuli in limites. Limes eti collectio novem numerorum, qui aut digiti sunt , aut digitorum œque multiplices, quilibet sui relatifri. Limes itaque primus digitorum. Secundus primorum articulorum. Tertius est secundorum arliculorum. Et sic in infinitum. Numerus compositus est qui constat ex numeris diversorum limitum. Item numerus compositus est qui pluribus figuris significativis reprœsentatur.

On voit, à la suite du neuf, un rond dans lequel est inserite la lettre a ; nous parlerons plus loin de ee dixième signe.

Au-dessous de celle première ligne en est une seconde^ ^ur laquelle sont les chiffres romains I, X, C, M , X, C, M .1, etc.... , écrits de droite à gauche.

Trois autres lignes, ensuite, contiennent en chifTres romains d autres nombres, qui sont respectivement la moitié, le quart et le huitième de ces premiers.

Enfin, sur deux autres lignes, sont d autres caractères romains représentant les fractions de Fonce; et, sur ime dernière ligne, sont les nombres 1, 2, 3, 4, 12, écrits en

chiffres romains.

De tout cela , nous ne prenons que la ligne des chiffres 1 , X , C , M , X , etc. ; et nous supposons que la table dont Boèce veut parler, « que les Anciens, dit-il, appelaient table de Pythagore, et à laquelle les Modernes ont donné le nom (ï Abaque, » n'était point la table de 7nultiplication, mais un tableau destiné à faire les calculs, dans le nouveau système de numération qu'il va exposer.

Voici ce qui caractérisait ce tableau , et ce qui le rendait propre à cet usage.

Dans la partie supérieure, était une ligne horizontale, divisée en un certain nombre de parties égales; et des lignes verticales partaient des points de division. Ces lignes, prises deux à deux conséculivement, formaient des colonnes.

Sur les portions de la ligne horizontale, comprises entre ces colonnes, étaient inscrits, en allant de droite à gauche, les chiffres romains I,X, C,M, X, C, M.T, X.M.T, etc., signifiant un, dix, cent, mille, dix mille, cent mille, mille mille, dix mille mille, etc.; comme il suit :

A Taide de ce tableau, subslilué à la table de multiplication, nous allons pouvoir, je crois, donner un sens intelligible au texte de Boèce, dont je reprends la traduction :

« Voici comment ils se servaient du tableau qui vient d'être décrit. Ils avaient des n apices ou caractères, de diverses formes. Quelques-uns s'étaient fait des notes d apices,

» telles que 1 répondait à l'unité; VD ^ deux; i^ à trois; ' I ^ à quatre;

» È, h cinq; 1 à six ; 1 >' à sept; O à huit; et enfin ^ à neuf *. Quelques

* Nous reproduisons ici les neuf ciiifTre^ sous la forme quMls ont dans ce passage de noire manuscrit Plusieurs

» autres, pour faire usage de ce tableau, prenaient les lettres de l^alphabet; de^manièrc » que la première repondait à Tunilé, la seconde à deux, la troisième à trois, et les » suivantes aux nombres naturels suivants. D'autres, enfin, se bornaient à employer, dans » ces opérations, les caractères usités avant eux pour représenter les nombres naturels. » Ces apices (quels qu'ils fussent), ils s'en servaient, comme de la poussière^ ; de ma- » nière que, s'ils les plaçaient sous l'unité, chacun d'eux ne représentait toujours que des » digits. »

Cette dernière phrase et les suivantes sont très-importantes. C'est là que nous croyons

"voir ce qui fait précisément le caractère propre de notre système de numération , c'cst-à-

^ire la valeur de position des chiffres. Pour les comprendre, il faut fixer son attention sur

Me tableau que nous avons décrit et tracé ci-dessus. Car c'est ici que se montrent l'utilité et

■'usage de ce tableau.

Nous reprenons la dernière phrase de Boècc , et nous continuons : « S'ils plaçaient ces divers apices sous l'unité (c*est-à-dire dans la colonne des unités), ^ ils représentaient toujours les digits,

» Plaçant le premier nombre, c'est-à-dire deux (car l'unité, comme il est dit dans les ^ Arithmétiques , n'est pas un nombre, mais l'origine et le fondement des nombres), ^ plaçant donc deux sous la ligne marquée dix, ils convinrent qu'il signifierait vingt; que ^ trois signifierait trente; quatre, quarante; et ils donnèrent, aux autres nombres suivants, ^ les significations résultant de leur propre dénomination.

» En plaçant les mêmes apices sous la ligne marquée du nombre cent, ils établirent ^ que 2 signifierait deux cents; 3, trois cents; 4, quatre cents; et que les autres répon- ^ draient aux autres dénominations.

B Et ainsi de suite dans les colonnes suivantes : et ce système n'exposait à aucune terreur. »

On peut voir, je crois, dans ceci une description assez claire du principe de notre système c numération, la valeur déposition des chiffres, croissant suivant une progression décuple, n allant de droite à gauche. Les colonnes dont il était fait usage, et qui sont formellement «diquées dans le texte par le mot paginula ou pagina (petite bande), permettaient de se asser du zéro, parce que là où nous l'employons, on laissait la place vide. Un passage de 1 '"'Arithmétique de Planude s'accorde avec cette supposition, que, dans l'origine de notre ^stème de numération, on se servait de colonnes qui dispensaient de l'usage du zéro, ar Planude dit que le zéro (ri^Kfpa) se met dans le vide; et comme les places augmentent

soDt différeDts, comme on voit, de ceux qui se trouvent avec leurs uoms en dehors du texte, ce qui fait supposer ^«16 oeux-^i ont été ajoutés par quelque copiste. Cela nous confirme dans l'opinion que celte ligne de chiffres ne ''disait pas partie, dans Taulographe de Boèce, du tableau dont il parle ; et que ce tableau se composait seulement ^« colonnes verticales, au haut desquelles étaient inscrits les nombres un, dix, cent, mille, etc., signifiant unités, Misaines , centaines , etc.

' lia varie ceu pulverem dispergere..,. Boèce fait allusion sans doute à la poussière, au pulvis erudituê de

Cicéron {De yiaturd Deorum, lib. Il), que les Anciens étendaient sur leurs abaques, pour y tracer leurs figures de

Géométrie.

les valeurs des chiffres y ainsi font les zéros qui remplissent les places vides ^ Ainsi, antérieurement à Tusage du zéro, il y avait des places vides; ce qui ne pouvait se faire qu'au moyen de colonnes. Peut-être , quand on aura voulu supprimer les colonnes, et ne pas s astreindre à Tusage d'un tableau préparé pour ce genre de calculs, aura-t-on laissé seulement celles ou se trouvaient des zéros ; de sorte qu'alors deux petites lignes verticales (formant une colonne) auraient fait l'office du zéro. Ensuite on aurait changé cette figure en celle du zéro actuel , qui est d'une description plus simple.

Après avoir exposé succinctement le principe du nouveau système de numération, Boèce donne les règles de la multiplication et de la division. Voici comment il s'exprime :

« Dans les multiplications et les divisions, il faut savoir, et observer avec soin, dans » quelle colonne on doit placer les digits, et dans laquelle les articulés. Car, si uiî » nombre des unités est multiplicateur d'un nombre de dizaines, on place les digits dans » les dizaines, et les articulés dans les centaines; si le même nombre est multiplicateur

• d'un nombre des centaines, on place les digits dans les centaines, et les articulés dans

• les mille; s'il est multiplicateur d'un nombre des mille, on place les digits dans les

• mille, et les articulés dans les dix mille; et multiplicateur d'un nombre des cent mille, » on pince les digits dans les cent mille , et les articulés dans les mille-mille.

» Mais si im nombre des dizaines est multiplicateur d'un nombre des dizaines, on

• place les digits dans la colonne marquée cefit, et les articulés dans les mille;

» S'il est multiplicateur d'un nombre des centaines, on place les digits dans les mille, » et les articulés dans les dix-mille;

• Multiplicateur d'un nombre des mille, on place les digits dans la colonne des dix

• mille, et les articulés dans celle des cent mille;

• Kt multiplicateur d'un nombre des cent mille, on place les digits dans les mille-

• milles et les articulés dans les dix mille-mille.

■ Sembinblement, un nombre des centaines étant multiplicateur, etc. » Toul ce pnNHHge est très-intelligible, et répond parfaitement aux règles que nous observt»nN pour In multiplication; il confirmerait, au besoin, le sens que nous avons donné aux plinmeN préré(l(*ntes. C est dans ce passage principalement qu'on a trouvé de l'analogie avec iiolir NyNl^nie de numérution.

Vlnineht eiiNuile les règles de la division. L auteur commence ainsi :

N Mniiitenniit Ich divisions, de quelques grands nombres qu'il s'agisse, deviennent

• fiiiflIrM pour le lecteur dont IVsprit est préparé par ce qui précède. Aussi nous n'en par-

• loniiiM que Nommniremeut ; et, s'il se rencontre quelque difficulté, nous laissons à l'attenn lluii ilii leeleur le soin de la résoudre. »

|/ob*tMirltt\ tlii tt»xie ne nous permet pas d'en traduire la suite; nous supposons qu'il lMill« t'*l pnt'NeiMi ti'(UH|iié et iléfeetucux; mais cette suite n'est pas nécessaire pour fixer iMilf r MpliihMi ntir le Hy»lème de nuujéralion que Boèce vient d'exposer; ce qui précède

Mlffll ♦ |Ii«InmiI(M«i //mImK'i' «<«• IWëtrvHomii» ancimne, t. !•% p. 519.

JLes règles que Fauteur donne pour la division, nous paraissent se rapporter aux cinq ^s suivants :

1 ** Diviser des dizaines par des dizaines, ou des centaines par des centaines, etc.; 2^ Diviser des dizaines, ou des centaines, ou des milles, etc., par des unités; ou bien des centaines ou des mille, etc., par des dizaines;

S^ Diviser des dizaines ou un nombre composé de dizaines et d'unités , par un nombre cowrarM]^sé de dizaines et d'unités ;

-^^ Diviser des centaines ou des mille, etc., par un nombre composé de dizaines et d*Ls voilés;

£S^ Enfin, diviser des centaines ou des mille, par un nombre composé de centaines et «''«JCiifés.

se termine le premier livre de la Géoméirie de Boèce.

passage que nous venons de rapporter est le seul que Ton ait cité comme traitant " ^-* 1^ nouveau système de numération, et c'est le seul probablement qui se trouve dans les ''^ ^ >^ wjserils sur lesquels on a travaillé jusqu'ici. Mais celui que nous avons sous les yeux, ^^^■^•-îcnt encore, à la fin du second livre, un second passage sur le même sujet, qui mé- "^^ d'être connu , car il nous parail montrer bien distinctement la valeur de position des en i ilk >es. Le voici :

rès le tableau des fractions de l'once , Boèce ajoute :

Dans la formation du tableau ci-dessus, ils (les Anciens) se servaient de caractères de ifférentes sortes et de formes différentes. Mais nous, nous n'en employons pas d'autres, ^ns tout ouvrage de ce genre, que ceux que nous avons tracés dans la construction de A ^^ibaque. Nous avons assigné la première ligne de ce tableau aux unités; la seconde aux izaines; la troisième aux centaines; la quatrième aux mille; et enfin, les autres lignes mjx limites ^ des autres nombres. Si on place des apices sur la première ligne, ils représenteront des unités; sur la seconde des dizaines, sur la troisième des centaines, sur la miatrième des mille, et ainsi de suite des autres. »

nsuite Boèce donne les valeurs des fractions de l'once, dont auparavant il a donné lement les noms : digitus, staiera, quadrans, drachma^ etc. out ce passage se rattache évidemment au tableau des divisions de l'once, et doit être bli dans l'ouvrage de Boèce.

e ce qui précède, nous croyons pouvoir conclure que le système de numération exposé

Boèce, est le système décimal, dans lequel les neuf chiffres dont il se sert prenaient

valeurs de position, croissant en progression décuple, en allant de droite à gauche; et

n, que ce système de numération était précisément celui des Indiens et des Arabes, et

*^ ^^ôtre actuel; avec cette différence légère, que, dans la pratique, les places où nous met-

^^*^s le zéro, restaient vides alors; et que cette dixième figure auxiliaire était suppléée par

^xmploi de colonnes marquant distinctivement l'ordre des unités, dizaines, centaines, etc.

Ici Boéoe donne au mot limes une acception semblable à celle qu'il a prise chez les Modernes. Voir, dans une i ci-dessos, le passage que nous avons cité de VAlgorithmus demonêtratus , de Scboner.

Nous devons ajouter ici que, dans le manuscrit dont nous nous servons, à la suite des neuf ctiiffres tracés avec leurs noms sur une même ligne, se trouve, après le neuf, un dixième caractère, qui est un rond dans lequel est une petite lettre a. Ce dixième signe représente, bien probablement, le zéro; la qui y est inscrit est peut-être la terminaison du mol siiphra; ou la première du mot arcus^ que nous trouvons employé dans une autre pièce contenue dans le même manuscrit, et relative au même système de numération, pour exprimer le mot colonne, parce que les colonnes qui y sont tracées sont surmontées d*arcs de cercles, de sorte que cette lettre a voudrait dire que le rond tient lieu d'une colonne. Cette origine du zéro serait assez naturelle.

Nous ne supposons pas que celle dixième figure se soit trouvée dans Tautographe même de Boèce; elle aura été ajoutée plus tard. Mais il est bon de la remarquer dans un manuscrit du W siècle, parce que c'est une opinion partagée par des écrivains d'une grande autorité, que le zéro ne nous a été apporté qu'au commencement du XIIP siècle, par Fibonacci.

Le sens que nous avons donné au passage de Boèce a reposé sur cette double supposition^ que le mot abacus, qui s'y trouve employé, ne s'applique point à la table de multiplication, comme on l'avait supposé jusqu'ici, mais bien à un tableau d'une disposition particulière, propre à la pratique des nombres, dans notre système de numération. Cette double supposition n'est pas contredite par les documents littéraires qui nous restent sur la signification ancienne du mot abacus, et se trouve confirmée par celle qu'il a prise dans le Moyen âge, et qu'il avait encore au XVI'' siècle.

En effet :

1° On sait, par divers auteurs grecs et romains, qui ont fait usage, avant Boèce, des mots aoaè et abacus , qu'ils signifiaient proprement un tableau sur lequel les Anciens faisaient leurs calculs d'Arithmétique et leurs figures de Géamétrie, (Voir Polybe, V* livre; Plutarque, Vie de Caton d'Ulique^ sur la fin; Perse, satyre 1"*, vers 131; Martianus Capella, De nuptiis Philologiœ et Mercurii-, liber VI , de Geometriâ,)

2^ Nulle part, avant Boèce, il n'est parlé ni de la table de multiplication, ni de la table de Pythagore: ce n'est que sur l'autorité de ce passage de sa Géométrie, où s'est trouvée, dans des manuscrits, la table de multiplication , qu'on a appliqué, depuis, à cette table, les noms de mensa pythagorica , et de abacus pythagorkus.

Et il est à remarquer que, dans son Traité d'Arithmétique, où Boèce a fait un grand usage de cette table, pour mettre en évidence les propriétés des nombres considérés, dans leurs diverses catégories, en nombres triangulaires, pcntagonaux, etc., il ne l'a désignée ni sous le nom de Pythagore, ni par le mot abacus.

On ne trouve, après Boèce, qu'un seul auteur ancien, Bède, qui ait appelé mensa pythagorica seu abacus numerandi, une table de multiplication, qui est beaucoup plus étendue que celle dont nous faisons usage. Mais il faut vérifier si ce double titre est bien dans les manuscrits de Bède, surtout dans les plus anciens.

3^ Le mot abacus est employé dans la lettre et dans le Traité De numerorum divisùme, attribués à Gerbert, et là évidemment il ne désigne pas la table de multiplication, mais

^'^A le nouveau système de numération que Fauteur expose. Or, comme nous Tavons dit

^^Q8 une note précédente, ce système est absolument le même que celui de Boècé ; nous

^^ons donc en conclure que, dans Boèce aussi, le mot abacus a une signification parti-

Molière , qui se rapporte à ce système.

IVous supposerons que Boèce s'est servi de ce mot abacus (sous-entendant peut-être

pyi/Mff€mcwi) pour désigner le tableau propre à faire les calculs, dans le nouveau système

de nunaération ; et qu'un écrivain postérieur, tel que Gerbert, a donné ce nom au système

lui-mânie.

Cdc« conjecture semble confirmée par Fopinion que Wallis a fondée sur de nombreux docuixicnts historiques, savoir : que le mot abacusy dans le Moyen âge et à la Renaissance, a été employé comme synonyme de algorismus {De Algebrâ tractatus, pag. Î6); que l'un et Pciucre ont toujours désigné la pratique des nombres par les ckiiTres arabes, c'est-à-dire notre système de numération * (i6td., pag. 1 9) ; et que, dans quelque auteur où l'on trouvera le moc algorismus, on pourra conclure, avec certitude, que ces chifi'res étaient connus au temps de cet écrivain *.

L«e fmssage de la Géométrie de Boèce, et le Traité de numerorum divisione, attribué à Gerbert, sont jusqu'ici les seuls monuments anciens de notre système de numération, qui nous soient connus. Nous en avons trouvé un troisième, à la suite de la Géométrie de Boéce, dans le manuscrit du XI" siècle dont nous avons parlé. Nous ferons connaître cette pièce dans un autre écrit. Elle confirmera, je crois, le sens que nous avons donné au passage de Boèce. Les neuf chiffres y ont les noms igin^ andras, etc.; et leurs valeurs, c'està-dire les nombres qu'ils expriment, sont indiqués par neuf vers que voici :

Ordine primigeno ' noroen possidet Igin,

Andrcu ecce locuin prcvindicat ipse secundum. OrmU post numerus non compositus sibi primus.

»ii8 voyons qu'en effet, au commencement du Xni« siècle, Fibonacci appelle son Traité d'Arithmétique '•^^^ €4bbaci.

j^^ siècle après, on autre auteur italien, Paolo di Dagomari, qui eut de la célébrité comme géomètre, astroet littérateur, était surnommé Paolo deW abbaco, c'est-à-dire Paul de l'Arithmétique, à cause de sa e habileté dans la science des calculs. ^ fin du XV* siècle, Lucas Paccioli dit que notre système d* Arithmétique a été appelé abacus, pour dire, à "^^^Hière des Arabes, muocto arabico; mais que suivant d*autres, ce mot dérive d'un mot grec. (Summa de ^^99ietica. Disiinctio 2^ ; de numeratione.) ^ oivrage du même temps, de Fr. Pellos, a pour titre : Sen segue de la art de arithmeticha , e semblantment

-,j^***«w/ria dich ho nonimat compendion de lo abaco complida es la opéra per Fr. Pellos Impresso in

^?f ^»^*iio, io prêtent compendion de Abaco per 1492.

^^«^QnCliclhovéc, au commencement duXVI siècle, appelle son Traité d'AritbméUque,fVaa?f> numerandi quem ^J^^m dieunl, et y joint un Traité semblable, d*un auteur aiicifu qui lui est inconnu, et qu'il intitule : Opus- ^**« de Praxi numerorum quod algorismum vocanL Ce qui pi'ouve bien qu'au temps de Clicthovée, abacus

^^^oriemus étaient sjrnonymes et s'appliquaient à notre système de numération, comme l'a pensé Wallis. ^^^^f ulricunque inscriptore aliquo Algorismi nomen reperitur, certo concludas figuras hasce ed œtate fuisse

^^^^US (DB AL6BB1A TBACTATUS, p. 12).

^d M trouve on blanc dans le manuscrit. Le mot sibi conviendrait.

Denique bis binos succedens indicat Arbat.

Significat quinos ficto de nomÎDe Quitnas.

Sexta tenct Calcis perfccto munere gaudens.

Zenis enîin digne scpteno fulget honore.

Octo beatificos Temenitis exprimit unus.

Hinc scquitur Sipos est qui rota namque vocatur'.

Nous ne nous sommes occupé, dans cette Note, que de rechercher la vraie signification du passage de Boècc, et de fixer notre opinion sur la question de savoir s*ii se rapportait à notre système de numération. Mais ce passage a donné lieu à une autre question , qui est même celle qui a été le plus souvent discutée : c*est de savoir si, comme le dit Boèce, ce système a été connu des pythagoriciens. Plusieurs écrivains Tout pensé ^; mais le plus grand nombre n*ont pu admettre que les Grecs aient possédé un système de numération supérieur au leur, et dont ils auraient méconnu rexcellence au point de le laisser se perdre dans Toubli. Cette objection est grave; et Montucla, pour y répondre, suppose qu'il s'agit des Grecs d'un temps rapproché, où le savoir et lamour des sciences étaient déjà sur leur déclin. Cette supposition est plausible ; mais est-il bien nécessaire d*y avoir recours? Nous pensons que Montucla ne Ta faite que parce que ion s'exagère, en général, la difffTcnce qu'il y a entre le système de numération des Grecs et celui des Indiens» et la difficulté prétendue d'opérer dans le premier. Il nous semble qu'au contraire les deux systèmes diffèrent très-peu l'un de l'autre. Tous deux ont pour base la progression décuple, et expriment un nombre quelconque de la même manière, par unités, dizaines, centaines, mille, etc., au moyen des neuf nombres radicaux et générateurs : un, deux,

trois, y neuf, qui forment l'ordre des unités, et servent à former l'ordre des dizaines,

des centaines, des mille, etc. En un mot les deux systèmes de numération reposent, Tun et l'autre, sur la même formule suivante, qui exprime la composition d'un nombre quelconque :

N=:A.iO''-*-B.iO'-*-*-C.10''-*-^ .-. -^E.iO*. -f-F,

où chacun des nombres générateurs: A, B, C , E, F, est l'un quelconque des neaf premiers : w», deux, trois, .... , new/1

' Ce dernier vers s'applique ici au chiffre 9. Néanmoins, dans la suite de l'écrit, le 9 est appelé celentit. Quelle est la raison de ce double nom, sipos et celentis, qui se trouve aussi, comme nous Pavons vu ci-dessus, dans le manuscrit de Boèce?

Dans ce nouvel écrit on remarque, à la suite des neuf chiffres, comme aussi dans celui de Boéce, un rond, qui représente sans doute le zéro. Le mot sipos, dans le principe, n'aurail-il pas été desu'né à ceUe dixiéoie figme, à latiuclle il convient bien? Alors il manquerait ici un vers pour le cbiO're 9, celtntis.

Nous soumettons ces questions aux lecteurs à qui la connaissance de Thébreu pourra en faciliter la solotfoo.

3 Conrad Dasypodius, Isaac Vossius, lluet, Dom Calmet, Edouard Bernard, Weidler, Jean Ward, Bayer, Villoispn, Montucla.

Il a paru en Italie, au commencement de ce siècle, une nouvelle dissertation sur la question qui nous oocape; elle a pour titre : Memorie suUe cifre arabiche. Milan, 1813, grand in-4o. Nous ne nous sommes pas procuré cet écrit.

Quelle est donc la différence réelle entre les deux systèmes de numération? GVst 9u*après avoir représenté, dans l'un et Tauire, les neuf nombres de Tordre des unités par - Oeuf caractères particuliers, les Grecs représentent les neuf nombres de chacun des ordres suivants par d'autres caractères différents, tandis que les Indiens les représentent par les oeuf premiers caractères eux-mêmes, dont les valeurs diverses sont différentiées et indiquées par les places qu'ils occupent : et comme ces places sont les mêmes dans les deux systèmes 9 on voit que les calculs ne doivent point être plus difficiles dans l'un que dans TauCre, et qu'ainsi il n'y avait pas de raison bien majeure pour substituer le système indien, quoique plus savant et plus complet, au système grec; substitution qui aurait pu se faire entre les mathématiciens, mais qu'il n'aurait pas été facile d'imposer à tout un peuple. On en trouve la preuve chez les Romains, dont le système de numération rendait les c^alculs extrêmement pénibles, et qui néanmoins l'ont conservé, quoiqu'ils connussent celui des Grecs, qui lui était infiniment supérieur.

Une objection qui, au premier abord, paraît très-forte contre l'opinion de ceux qui pensent que les Grecs ont connu le système indien, c'est que dans le leur ils n'avaient pas de rooyen pour exprimer de très-grands nombres (ils s'arrêtaient à quatre-vingt-dix-neuf millions), et qu'Archimède a écrit un livre des Principes, pour remédier à ce défaut, et «est servi, dans son Arénaire, du moyen qu'il avait imaginé. Si dans l'école de Pythagore, dit-on, on avait possédé le système indien, Archimède l'eût connu, et n'aurait pas eu l^esoin de chercher les moyens d'exprimer de grands nombres, puisqu'il lui aurait suffi de proposer ce système. Sans doute, si Archimède avait voulu créer un nouveau système ^ numération, on en conclurait qu'il ne connaissait pas celui des Indiens; mais tel n'a P^î«ïl été son but : il n'a voulu que trouver le moyen d'exprimer de grands nombres, dans le système même des Grecs. Qu'a-t-il fait pour cela? Il a appliqué à ce système, à partir "® la limite où il cessait de satisfaire aux besoins du calcul, le système indien, c'est-à-dire y t?aleiir déposition des chiffres. Est-ce là une preuve qu'Archimède ignorait ce système indien? Peut-on dire même qu'il n'en avait pas parlé dans son livre des Principes, qui "^ nous est pas parvenu, et qui roulait sur la numération, et appliquait au système des ^■'ees le principe des valeurs de position des chiffres? Dans son Arénaire, il n'a point eu à entrer dans les détails qui se seront trouvés dtins les Principes , parce que cet ouvrage " ^Vait pas pour objet d'exprimer de grands nombres , comme on parait le croire quelque- K>is • ji nyjijj pQup q[jjçj uniquement de calculer le nombre des grains de sable qui se trou- ^^raîent dans la sphère décrite du Soleil comme centre et embrassant les é(oiles fixes. Et, ^^ Nombre calculé, il voulait l'exprimer dans le système de numérafion des Grecs. C'es( I^Ut* cela qu'il propose de donner, aux chiffres placés au delà de la huitième colonne, des ^le^ir de position qui étaient les mêmes que dans le système indien.

X^^ peu de documents qui nous restent, ne nous disent pas comment se faisait la fixation ^^ Ce point à partir duquel les chiffres avaient une valeur de position. Élait-ce par un signe '^^•^tîculier? ou bien fallait-il que les huit premières colonnes fussent en nombre complet? ^^ qtii aurait introduit, dans le système grec, la considération du zéro, sous une forme qucl- '^^que, telle qu'un point, un vide ou une colonne. On sait, du reste, que le zéro était

connu des Grecs, et qu'il leur servait à marquer Tabsence de degrés ou de minutes, etc., dans leurs calculs des fractions sexagésimales '.

Toutes ces considérations n'étaient pas au-dessus du génie d'Archiméde; mais rien, ce. me semble, ne doit nous autoriser à dire qu'il n'a pas pu en puiser le principe dans la connaissance du système indien; ou bien que, s'il avait connu ce système, il eût fait autrement dans son Arénaire.

Mais Apollonius, dira-t-on, s'est occupé aussi, après Archimède, de perfectionner le système de numération des Grecs : il a réduit à quatre colonnes les octades ou tranches de huit colonnes d'Archimède; s'il eût connu le système indien, il aurait appliqué, à partir de la deuxième colonne, le principe de valeur de position qu'il appliquait à la cinquième.

Mais, pour juger le travail d'Apollonius, qui ne nous est point parvenu, et dont le résultat seul nous est connu par des fragments de Pappus, il faut rechercher pourquoi il s'est fixé à quatre colonnes, plutôt qu'à trois ou à cinq. La raison nous parait être celle-ci : c'est que les Grecs avaient trente-six chiffres pour exprimer tous les nombres composés de quatre colonnes, tels que 2354. Les vingt-sept premiers chiffres étaient des lettres différentes de leur alphabet; et les neuf suivantes, qui exprimaient les mille, étaient les neuf chiffres des unités, marqués d'un iota, ou d'un accent. C'étaient ces trente-six mêmes chiffres qui leur servaient à exprimer les nombres au delà des simples mille, jusqu'à la huitième colonne exclusivement; et, à partir de la cinquième colonne, ces chiffres représentaient des myriades, et on plaçait au-dessus d'eux la lettre m, ou bien après eux, et avant la quatrième colonne, les lettres su; pour désigner ces myriades. Ces signes étaient embarrassants, compliquaient les calculs, et pouvaient faire naître des erreurs; et Apollonius a voulu les supprimer. C'est ce qu'il a fait en imaginant les tranches de quatre colonnes , et en leur donnant des valeurs de position.

Nous voyons dans cette idée d'Apollonius, de même que dans celle d'Archimède, Tintention de conserver religieusement les caractères employés par les Grecs, avec leur signification, et de les approprier à l'expression de tous les nombres possibles. Et nous voyons que ces deux grands géomètres sont parvenus à leur but de la manière la plus heureuse, en attribuant à ces caractères des valeurs de position, suivant le principe même de la numération indienne.

Cela prouve-t-il qu'ils aient ignoré absolument ce système indien?

SUR UN PASSAGE DE LA GÉOMÉTRIE DE BOÉCE, RELATIF AU PENTAGONE DE SECONDE ESPÈCB.