PREMIÈRE PARTIE

PRINCIPE DE DUALITE.

§ ^^ Deux méthodes a suivre.

Nous avons dit, dans notre Cinquième É|)0(|ue, que le Principe de Dualité, que nous énoncerons d'une manière absolue comme une propriété inhérente aux formes de Fétendue, n'est qu'une déduction rationnelle d'un seul théorème de Géométrie. Il paraîtrait donc naturel de commencer par démontrer ce théorème, pour en tirer, comme une simple consé(|uence, le principe en question. C'est en eiïet ce que l'on peut faire aisément. Mais si, généralement, une déduction d'une vérité fondamentale oiïre moins de généralité que cette vérité première, de telle sorte que l'on ne puisse passer indiffé-

remment de Fun à Tautre^ il n^en est pas ainsi du principe de dualité^ tel que nous allons le présenter. Ce principe comporte une si grande généralité^ et il est d'une manière si précise l'expression ou la traduction du théorème en question^ dans toute sa portée, que Ton peut passer du principe de dualité à ce théorème, avec la même facilité que du théorème au principe.

De li^ résulte que Ton peut suivre deux marches difTérentes^ Tune conduisant directement au principe^ et Tautre directement au théorème.

Dans la première^ nous faisons usage de la Géométrie analytique de Descartes, c'est-à-dire de la doctrine des coordonnées; la seconde se renferme dans les seules ressources de la Géométrie pure des Anciens qui^ de la sorte, auraient pu parvenir, avec leurs seules connaissances acquises^ au principe de dualité.

Cette seconde manière de procéder serait plus logique, et plus conforme au but que nous nous sommes proposé dans cet écrit : la généralisation et Taccroissement des doctrines de la Géométrie; mais, bien que cette marche soit extrêmement simple, il nous faudrait cependant prendre d'un peu haut diverses considérations géométriques auxquelles on est moins accoutumé aujourd'hui qu'à l'emploi des formules de l'Analyse. Pour nous conformer donc aux habitudes de la plupart des Géomètres, et oiïrir une lecture plus facile, nous emploierons, pour le moment^ la méthode analytique. Ainsi nous démontrerons directement le principe de dualité, et nous en conclurons l(» théorème unique de Géométrie, dont ce principe n'est que l'expression.

Nous donnerons dans un autre écrit, où nous présenterons la théorie et (livorses applications du rapport anharmonique y la démonstration directe, purement géométrique et indépendante de la doctrine des coordonnées^ du théorème général en question. Cette démonstration, quand les voies seront préparées, sera plus briève et plus facile que la marche analytique que nous allons employer pour le moment.

§ II. Méthode analytique. — Propositions préliminaires.

4 . Théorème I. Si l'on conçoit dans l'espace un plan mobile, déterminé dans chacune de ses positions par une équation rapportée à trois axes coordonnés quelconques des \yy et z; et que les paramètres de cette équation contiennent y au premier degré y les coordonnées d'un point que nous appellerons directeur ;

i** Quand ce point parcourra un plan, le plan mobile tournera autour d'un point fixe ;

2** Quand le point parcourra u?i^ droite , le plan mobile tournera autour d'une seconde droite ;

3® Quand le point parcourra une surface courbe, le plan mobile roulera sur une autre surface courbe ;

Si la première surface est du secoiid degré, la seconde sera aussi du second degré;

Et si la première surface est géométrique et du degré m , la seconde surface sera aussi géométrique, et telle que, par une droite quelconque, on pourra lui mener m plam tangents.

En effet soient x^, y\ z', les coordonnées du poini direcieur; Téquation du plan mobile sera de la forme

(I) Xx'-f- Yy -+-Zz' = U;

X, Y, Z et II étant des polynômes de la forme ax -{- by -{- cz — d, ou les coordonnées couranies x, y, z n'enirent qu'au premier degré. Soit

(2) Lx ^ My -^ Nz = i

Téquaiion du plan que parcourt le point directeur; L^ M^ N étant des constantes : les coordonnées x^, y', z' de ce poini auront entre elles la relation

(3) Lx' ^ My -+- Nz' -= I .

On voit aisément que les valeurs des coordonnées x,y, z^ tirées des trois équations suivantes :

(4) X = LU, Y=MU, X = Nl\

déterminent un point qui se trouve sur le plan mobile^ dans toutes ses positions. Car si Ton substitue ces coordonnées dans Téquation (1) du plan mobile^ il en résultera Téquaiion Lx' + %' + ^z^ = \ , qui est identique^ puisqu'elle n'est autre que Téquation de condition (3).

Ainsi le plan mobile, dans toutes ses positions, passe par un point fixe^ dont les coordonnées sont déterminées par trois équations (4) ; ce qui démontre la première partie du théorème.

Appelons ce point fixe le pôle du plan que le point directeur a parcouru.

Quand le point directeur parcourt une droite; que Ton imagine deux plans passant par cette droite : le point directeur se mouvra dans ces deux plans en même temps ; le plan mobile passera donc par deux points fixes qui seront \e% pôles de ces plans; ce plan mobile tournera donc autour de la droite qui joint ces points; ce qui est la seconde partie du théorème.

Si le point directeur parcourt une surface courbe A, le plan mobile enveloppera une seconde surface courbe A'.

Supposons la surface A géométrique et du degré m : une transversale menée arbitrairement la rencontrera en m points; à chacun de ces points^ considéré comme point directeur, correspondra un plan tangent à la surface A'; ces plans tangents, qui seront en nombre m y passeront tous par une même droite (d'après la seconde partie du théorème); la surface A' admettra donc m plans tangents passant par une môme droite quelconque.

Si la surface A est du second degré, la surface A' sera donc aussi du second degré; ce qui démontre les deux dernières parties du théorème.

2. La surface A', qui est l'enveloppe du plan mobile, quand le point directeur parcourt la surface A, peut être déterminée d'une seconde manière^ par points, au moyen du théorème suivant:

Théorème II. Quand le point directeur parcourt une. surface courbe A,

Supposons^ par exemple^ que le point directeur parcoure la surface du second degré représentée par Téquation

Téquation du plan tangent au point [x', y^, z^) de cette surface sera

X (Ax' H- D) ^ y (By' ^ E) -4- z (€«' ^ F) = K — (Dx* -^ Ey' -f- Fz').

Les trois équations de condition ci-dessus seront donc

X [K — (Dx' -+- Ey' ^ Fz')] = (Ax' h- D),U, Y [K — (Dx' -+- Ey' -f- Fz')] = (By' h- E) U, Z [K — (Dx' ^ Ey' -^ Pz')] = (Cz' h- F) U.

Il suffit d^éliminer x^, y^, z^ entre ces trois équations et la suivante

Ax** -f- By" -f. C«" H- 2 (Dx' -^ Ey' -f- Fz') = K.

Le résultat

/X» Y* V\ /., D» E» F«\ / LD ME NF\»

t-*-BÏ-*-^Jr-"T"B-*-c)==l'-"T""F"--cJ'

est Téquation de la surface enveloppe. Cette équation est du second degré, puisque X; Y^ Z sont des fonctions linéaires des cordonnées courantes o?^ y,z.

4. Théorème III. Quand le point directeur se meut à t infini, le plan mobile tourne autour d'un point fixe , comme si le point directeur parcourait un plan.

En efTet, si le point directeur est situé à Pinfini sur une droite ayant pour

équations on aura

x'«=az', y'=-6z';

()t rriquution (i) du pian mobile, correspondant à cette position du point diri'cteur, deviendra

(oX + fcY-4-Z)z'=U.

Or^^ z' est infini; cette équation se réduit donc à

aX -4- 6Y ^ Z = 0.

Telle est Téquation du plan mobile^ dans sa position correspondant au point directeur situé à Pinfini^ sur la droite dont nous avons posé les équations.

Ce plan passe évidemment par le point dont les coordonnées x, y y z sont déterminées par les trois équations

Donc^ dans quelque position que soit situé; à Finfini^ le point directeur, le plan mobile passera par le point fixe que déterminent ces trois équations, comme si le point directeur parcourait un plan. C. Q. F. D.

5. Si Ton cherchait à déterminer ce plan, il faudrait mettre dans les trois équations (4), à la place de x, y, Zy leurs valeurs tirées des trois équations ci-dessus; on aurait ainsi les valeurs des coefficients L, M, N correspondant à la position de ce plan. Or ces équations deviennent