X = LU, Y = MU, Z = NU

où ces coordonnées n'entrent qu'au premier degré.

92. Si, réciproquement, on veut déterminer, dans la première figure, le plan auquel correspondra tel point désigné de la seconde figure, on fera usage des mêmes équations (3), où l'on remplacera les coordonnées a?, y, Zy qui entrent dans les polynômes X, Y, Z, U, par les coordonnées a?", y^\ z"

du point donné de la seconde figure; et ces équations donneront les valeurs des paramètres L^ M, N, du plan cherché.

Désignons par X", Y", Z", U", ce que deviennent les polynômes X, Y, Ta y U^ par la substitution dont nous venons de parler; on aura

et Téquation du plan de la première figure^ auquel correspond le point (a:", y", 2^") de la seconde figure, sera

93. Remarquons que si le point (ar", y", z") était considéré comme appartenant à la première figure, le plan qui lui correspondrait dans la seconde aurait pour équation

Cette équation diffère, en général, de la précédente; ce qui fait voir que : Dans deux figures corrélatives, à un même point de l'espace, considéré

successivement comme appartenant à la première figure, puis à la seconde,

correspondent deux plans différents.

Dans quelques modes de construction des figures corrélatives, tel que

celui des polaires réciproques, ces deux plans se confondent toujours. Mais

c^est là un caractère particulier de ces figures, étranger en quelque sorte au

principe de dualité, et dont, en effet, nous n'avons point eu besoin de faire

usage dans nos applications de ce principe.

Nous donnerons, dans un des paragraphes suivants, la théorie générale

des figures corrélatives qui jouissent de cette propriété particulière.

94. Nous avons dit comment on déterminera , au moyen des trois équations linéaires (3), les coordonnées du point qui correspond, dans une figure corrélative, à un plan de la figure donnée. Gomme ce calcul , sans offrir de difficulté, est un peu long, nous allons en donner le résultat.

Conservons à X, Y^ Z et U, les expressions générales que nous leur avons données (8); et désignons par le symbole (aft'c") le polynôme

par le symbole (a'6"c'") ce que devient ce polynôme quand on y change a en a', 6' en 6'', c" en c'"; par (d^a^^b^^*) ce que devient ce premier polynôme, quand on y change a on d\ 6' en a", c" en 6'"; et ainsi de suite.

Les expressions des coordonnées a?, y^ z, du /îom/ qui correspond au plan donnée seront

(rf6'c") — ((i'6'V") L -4- (d"6'"c) M — (rf'"6c') N

JC =

(da'c") — {d'a"c"') L h- (rf"a'"c) }li—[d'"ac")^ (a6'c") — (a'6"c"') L -+- (a"6'"c) M — (a'" 6c') N '

{da'b") — ((/'a"c'") L H- (rf"a"'6) M — (rf"^a6")N ^ "^ (a6'c") — (a 6"c'") L -♦- (a"6"'c) M - (o'"6c' ) N *

Au moyen de ces formules ^ on connaîtra tous les points de la figure corrélative, correspondant à des plans déterminés de la figure proposée.

Ainsi la construction des points et des plans de la figure corrélative la plus générale, d'une figure proposée, sera extrêmement facile.

95. Si cette figure proposée est une surface courbe exprimée par son équation, nous avons vu (3) comment, par une simple élimination, on trouvera l'équation de la surface corrélative.

El si Ton veut déterminer celte surface par points, on observera que chacun de ses points est le pôle^ ou point correspondant, d'un plan tangent à la surface proposée (théorème II). Les coordonnées de ce point seront donc données par les formules précédenles, où L, M, N seront les coefficients de l'équation du plan tangent en un point de la surface proposée.

Ainsi soit

l'équation de cette surface; et

(x - X') p-^iy- t/) q'-{z- z) = 0

Téquation de son plan tangent au point (j?'^ if y z^)\ ff ^ q' étant les coeffi-

dz dz dx dy

cients différentiels ^ )^ , où Ton a remplacé les coordonnées or, y, z, par a?',

y', z'. On a

L = —^-—.. M=— îU— . N -'

Substituant ces valeurs dans les formules précédentes, on obtient

(rttV) (pV -+- q'y' - z') - (d'6"c"') p' -+- (d"6"'c) 7' -4- (rf'"6c' )

(rfaVQ (p^x^ -f- y^y^-^ z') -~ (ri^o'c"^) p^ -f- (d"a'"c) g' -4- ((/"^ac") (aô'c") (p'x' -♦- çy — z') — (o'6"c'") p' -f- (a"6'"c) 9' h- (a"'6c' ) '

{da'b") ip'x' -4- q'y'--z') — (d^a'c"^) p^ -4- (rf"a"^6) g' -4- (rf^^^afc") ^ "" (ab'c") [p'x' -4- g'y' — z') — (a'6'V")p' -+- (a"6"'c) 7' -4- (a"'he)

Telles sont les coordonnées d'un point de la surface corrélative d'une surface proposée, en fonction des coordonnées d'un point de celle-ci. Les deux points se correspondent; mais comme jusqu'ici le mot correspondant nous a servi pour désigner la relation entre deux parties corrélatives, dans une figure et sa transformée, telles qu'un point et un plan, nous dirons que ces deux points des deux surfaces sont réciproques.

On reconnaît les points réciproques dont Monge avait donné une expression particulière dans le titre d'un Mémoire qui, je crois, n'a pas été publié (voy. la Note XXX),

§ XIX. Construction géométrique des figures corrélatives.

96. Soient a, 6, c, dy e, cinq points quelconques de la figure proposée; on pourra prendre arbitrairement, dans l'espace, cinq plans A, B, G, D, E, comme devant correspondre respectivement à ces cinq points, dans la figure corrélative qu'il s'agit de construire (§ 11, théorème Y).

Il nous faut déterminer, dans cette figure :

1^ Le phn qui correspond à un sixième point quelconque de la figore proposée ;

Et 2"" le point qui correspond à un plan quelconque de cette figure proposée.

Pour cela^ considérons le tétraèdre abcd. Par le point e^ menons trois plans^ passant respectivement par les trois arêtes ab^ bCy ca; et, par un sixième point m, menons trois autres plans passant aussi par les trois arêtes ab, aCy bc.

Soit M le sixième plan de la figure corrélative^ qui correspond au point m : c'est le plan que nous voulons déterminer. Aux quatre plans qui^ dans la première figure, passent par Tarête aô, et qui sonl caby dab, eab, mab, correspondent, dans la seconde figure, les quatre points GâB, DAB, EAB^ MAB *. Le rapport anharmonique des quatre plans est égal au rapport anharmonique des quatre points (théorème IV). Cette égalité fera connaître le point MAB, c'est-à-dire le point où le plan cherché coupe la droite d'intersection des deux plans donnés A, B. Une égalité semblable fera connaître le point où le même plan cherché rencontrera la droite d'intersection des deux plans donnés A, G. Enfin, une troisième égalité semblable fera connaître le point où ce plan rencontre la droite d'intersection des deux plans B, C. Ainsi le plan cherché est déterminé par trois de ses points. C'est la première question que nous avions à résoudre.

Maintenant, pour trouver le point n qui correspond à un plan N de la première* figure, on prendra le point où ce plan N rencontre l'arête da du premier tétraèdre : à ce point correspondra, dans le second tétraèdre, le plan mené par l'arête DA et par le point cherché. On aura ainsi, sur l'arête rfa, quatre points qui seront : 1** a; 2** d; 3** le point où le plan ebc rencontre l'arête da; 4** le point où le plan N rencontre cette arête; et l'on aura quatre plans correspondants, passant par l'arête DA, lesquels seront : l"" A; 2^ D; 3"" le plan mené par le point où le plan E rencontre l'arête BC; 4® le plan mené par le point cherché. Le rapport anharmonique de ces quatre plans

* Nous désignons un point par les trois lettres qui représentent trois plans passant par ce point.

sera égal à celui des quatre points; cette égalité fera connaitre le quatrième plan 9 celui qui passe par le point cherché.

Deux autres égalités semblables feront connaitre deux autres plans^ menés par les deux arêtes DB^ DG^ respectivement^ et passant par le point cherché. Ainsi ce point sera donné par Tintersection de trois plans qu'on déterminera facilement.

Le problème de la construction géométrique des figures corrélatives est donc résolu complètement.

97. Dans la pratique^ on exprimera le rapport anhannonique de quatre plans par celui des quatre points où ces plans rencontrent une transversale; et Ton prendra^ pour cette transversale, l'arête du tétraèdre opposée à celle par laquelle passent les quatre plans.

On réduira, de cette manière, la construction des figures corrélatives, à des formules très-simples et d'une grande généralilé.

Les quatre plans A, B, G, D, de la seconde figure, forment un tétraèdre dont les quatre faces correspondent, respectivement, aux quatre sommets du tétraèdre abcd de la première figure. Désignons par a', 6', e', e/' les quatre sommets, respectivement opposés à ces faces.

Soient e, a les points ou les deux plans ebc^ mbc rencontrent l'arête ac/; et soient e', J les points où les deux plans E, M rencontrent l'arête a' d^ du second tétraèdre.

Le rapport anharmonique des quatre plans abc^ dbc, ebc, mbc sera le même que celui des quatre points, a^ dy e, a; mais il est égal, comme nous Pavons dit ci-dessus (96), à celui des quatre points d', a', e', a', qui correspondent aux quatre plans, dans la seconde figure. On aura donc

d'où

aa ea ad' ed' ad ed a'a' t'a'

att ad' iea i'd'\ 7d^ 7^' \7d'' 7^'] '

Le rapport ^:^ est une quantité constante, quel que soit le point ?/i,

puisqu^il ne dépend que de la position du point donné^ e et du plan pris arbitrairement E ^ qui lui correspond.

Ainsi Ton a

«a ad' (o) ^=^-w'

an a a

>. étant une quantité constante.

Pareillement S étant le point où le plan mac rencontre l'arête bd du premier tétraèdre; et 6' le point où le plan M rencontre Tarête b' d' du second tétraèdre, on aura

66 6'rf'

[JL étant une constante.

Et enfin, appelant y le point où le plan mab rencontre Farête cd, et / le point où le plan M rencontre Tarête & rf' du second tétraèdre, on aura

yc yd'

yd y'c'

V étant une troisième constante.

98. Ces trois équations donnent, immédiatement, la construction des points et des plans de la figure corrélative d'une figure proposée.

Car les points «', 6', y', déterminés par ces équations, appartiennent^ respectivement, à trois plans passant par les arêtes 6'c', da^y a'b[ du second tétraèdre, et correspondant aux trois points «,6, y; et, réciproquement, les trois points, a^ S y appartiennent à trois plans, passant par les trois arêtes 6c, ca, ab du premier tétraèdre, et correspondant aux points «' 6' /.

D'après cela, veut-on construire le plan de la seconde figure qui correspond H un point m de la première? Par ce point m on mènera les trois plans mbCy mca, mab y qui rencontreront les arêtes arf, 6rf, cd en trois points; on regardera, dans les formules ci-dessus, a, S, y comme étant ces trois points; et alors a', 6', y' seront les points où le plan cherché rencontre les trois arêtes a'rf', 6'rf', c'rf' du second tétraèdre.

Veut-on construire le point de la seconde figure, correspondant à un plan

de la première? On regardera, dans les formules, a, 6, y comme étant les points où le plan donné rencontre les trois arêtes arf, 6f/, crf du premier tétraèdre; et alors a', & ^ y seront les points où les Irois plans, menés par le point cherché et les trois arêtes 6'c', c'a', a!V du second tétraèdre, rencontreront les arêtes opposées a'rf', 6'e/', c'rf'; ce point sera donc déterminé *.

§ XX. Suite du précédent. —- Discussion des formules pour la construction GÉOMÉTRIQUE DES FIGURES CORRÉLATIVES. DiVERS THÉORÈMES DE

GÉOMÉTRIE QUI s'eN DÉDUISENT. GÉNÉRALISATION d'un PORISME d'EuCLIDE.

99. Les formules (a) conduisent naturellement à divers corollaires, dont plusieurs offrent des propositions de Géométrie, nouvelles et très-générales.

D'abord ces formules expriment le théorème suivant :

Etant donnes deux tétraèdres quelconques abcd, a'b'c'd'; si, par chaque point d'une figure donnée, on mène trois plans passant, respectivement, par les trois arêtes bc, ca, ab du premier tétraèdre, et rencontrant ses arêtes opposées aux points a, S, y;

Puis qu'on prenne, sur les arêtes d'à', d'b', d'c' du second tétraèdre, trois points «', S', / de inanière qu'on ait toujours

(ta

art

arf

yc yd

y'rf'

X, /ùi et V étant trois coefficients constants.

Nous regrettons d'avoir été obligé de réserver exclusivement le mot correspondant pour désigoeft dans la figure corrélative, le plan ou le point qui correspondent à un point ou ^ un plan de la figure proposée. Si nous avions eu une autre expression, nous aurions appelé correnpondants les points tels que a et a\ et nous aurions pu ainsi abréger le discours dans ce qui précède.

Le plan, déterminé par les trois point a', 6', y', enveloppera une seconde figure qui sera corrélative de la première.

De sorte qu'aux points de la première figure^ qui seront situés dans un même plan^ correspondront^ dans la seconde figure^ des plans passant tous par un même point.

100. Maintenant^ remarquons que si^ du point m, on abaisse des perpendiculaires sur les plans abc et dbc, leur rapport sera égal à celui des perpendiculaires abaissées^ du point a y sur les mêmes plans ^ lequel est égal à

aa. si n. (c/a,a6c) aa.

aa . sin. (aa, abc) aa.

Dans le tétraèdre a^b^&d^^ le rapport des perpendiculaires abaissées , des

ri' g.' fP t.'

deux sommets rf', a', sur le plan «'6'/, est égal à ^; donc, ^,^, étant proportionnel à^^> d'après les équations ci-dessus, nous pouvons dire que le rapport des distances du point r/i, aux deux faces aéc, rfôc, est proportionnel au rapport dos distances du plan M aux deux sommets d^y a' du second tétraèdre. D'où il suit que :

Dans deux figures corrélatives, le rapport des distances d'un point quelconque de la première figure, à deux plans fixes de cette figure, est au rapport des distances du plan qui correspond à ce point, dans la seconde figure, aux deux points qui correspondent aux deux plans de la première, dans une raison constante, quel que soit le point pris dans la première figure.

101. De là, on conclut le théorème suivant, qui n'est autre que le théorème (99) présenté sous un autre énoncé :

Étant donnée une figure dans l'espace, et étant pris deux tétraèdres quelconques, dont A, B, C, D sont les faces du premier, e^ a, b, c, d fes sommets du second;

Si, de chaque point m de la figure proposée, on abaisse des perpendiculaires sur les quatre faces du premier tétraèdre, et qu'on prenne les rapports de la première perpefidiculaire aux trois autres ;

Et que Von mène un plan transversal M , de manière quêtant prises ses distances aux quatre sommets a, b, c, d du second tétraèdre, les rapports de la première distance aux trois autres soient dans des raisons comtantes avec les trois premiers rapports, respectivement; ce plan M, qui correspondra ainsi, dans toutes ses positions, au point m de la figure proposée, formera une seconde figure, corrélative de cette proposée.

102. La propriété caractéristique des figures corrélatives consiste en ce que, aux points de Tune, qui sont situés dans un même plan, correspondent, dans l'autre , des plans passant tous par un inéme point. D'après cela, on conclut, du théorème (99), cette proposition de Géométrie :

Etant donnés un tétraèdre S ABC et un plan, situas d'une manière quelconque dans r espace ;

Si, par chaque jmnt de ce plan, on mène trois plans, passant respectivement par les trois arêtes à la base ABC du tétraèdre, et rencontrant respectivement les trois arêtes opposées SA, SB, SC, en trois points ay Sy y; et qu'on forme les rapports des segments que ces points font sur ces arêtes, lesquels rapports sont

aS 6S yS ^' 6B' ^'

Puis, que l'on prenne arbitrairement un secotid tétraèdre S'A'B'C, et que Von divise ses arêtes au sommet, par trois points «', 6', y', de manière que les trois rapports

soie^it aux trois premiers ^ respectivement , dam des raisom constantes et quelconques;

Le plan déterminé par ces trois points «', 6', y', qui correspoMra, dans toutes ses positions, aux différents points du plan donné, passera toujours par un même point fixe.

103. Ce théorème, qui résulte ici, comme corollaire, de notre théorie

amhrtiqae des fifores corrélatiTes, ai iiaftiit ■riM—oîii toute b docfrioe. El» et «nple Ibéoréme de Géomélrie était déoMMlré m priori, et directement, Doos eo coociorioDS toute b théorie de ces fiçwes, comprenant leurs rebiioQS descriptives et leurs reiatîoos de ^sden*.

Cest de ee théorème que nous avons voulu parler dans b partie historique de cet ouiTa^re (cinquième Époque, ^ 34), en dîsnt que b théorie f:énérale des transformations analogues à celles que présente b théorie des polaires réciproques, et d'où résulte le principe de dualité, dérivait d'un seul théorème de Géomélrie. Nous donnerons, dans un autre écrit, b démonstration géométrique et directe de ce théorème , et nous ferons voir comment tout ce qui se rapporte à cette doctrine de transformation peut en dériver. De sorte que le calcul algébrique, dont nous avons fait usage pour exposer cette théorie, ne sera nullement nécessaire ; et les ressources de b pure Géométrie lui suffiront, comme cela doit être, puisque cette théorie est elle-même une simple question de Géométrie.

104. Reprenons les trois équations (a), sm lesquelles est fondée b construction des figures corrélatives; et supposons que la fêMobc du premier tétraèdre soit située à Tinfini : les segments aa,Sbyyc seront infinis ; et, dans Féquation

aa ta fîà* t'd'

md ' id «V ' s'a'

qui a donné lieu aux trois équations (a), le rapport ^ deviendra égal k Tunité. Cette équation se réduira donc à

ed a oud a

— X consl.

les trois équations (a) deviennent

ad^

yd —

Vd'

Oq pourra faire usage de ces formules pour certaines transformations de figures dont les propriétés seraient exprimées en fonction des projections de leurs points sur trois axes fixes.

105. Maintenant^ supposons que le sommet d^ du second tétraèdre^ lequel peut être pris arbitrairement dans Fespace^ soit situé à Tinfini. L'équation

id ad' e'd'

sVcrira

ad = aoL . — ; ;

et, parce que le rapport ^ est égal à Tunité, on aura

ad = a' a! .

^est une constante; on a donc enfin

Et, pareillement,

ya=iv .y c ,

Ainsi, ce sont là les trois équations qui serviront aux transformations, quand on voudra que le point qui correspond, dans la seconde figure, à rinfini de la première, soit lui-même a Finfini.

68i MËMOULE DE GËOMETRIË.

Cest ce qui a lieu^ par exemple^ dans la transformation parabolique , dans la transformation par voie de mouvement infiniment petit, ou bien par la considération d'un syslèm£ de forces.

106. Mais ces divers modes particuliers de transformation rentrent, comme on le voit, dans le principe général exprimé par les trois équations ci-dessus; et ce principe général conduirait, immédiatement, à toutes les propriétés nouvelles des courbes et des surfaces courbes, auxquelles nous sommes parvenu dans nos deux Mémoires sur la transformation parabolique *. Et cela justifie ce que nous disions, au commencement du premier de ces deux Mémoires : que ce n'était point un privilège exclusif pour la théorie des polaires réciproques, de pouvoir servir à la transformation des figures; qu'il existait d'autres moyens, qui même étaient d'une grande simplicité. Et si l'on observe que les formules (c) ne sont qu'un corollaire des formules (a), on verra que les théorèmes auxquels elles conduisent, tels que ceux que nous avons obtenus par la transformation parabolique, ne sont, ainsi que nous l'avions annoncé alors **, que des cas particuliers de théorèmes plus généraux , qui répondent aux formules (a).

107. Supposons que les bases abc y a'b'c' des deux tétraèdres soient. Tune et l'autre, à l'infini : les rapports ^ et^> dans l'équation (A), seront égaux à l'unité; et il en résulte que les trois équations (a) deviendront

arf =—-5

6'rf'

'yd = — -•

108. Si les deux sommets dy W des tétraèdres sont, l'un et l'autre^ à

Correspondance mathématique et physique ^ tomes V et VI; années 1829 el 1830. *• /6irf., t. V, p. 305.

rinfini^ les formules deviendront

aa=— >

109. Nous pourrions encore supposer que les deux tétraèdres se confondissent^ et ensuite que leur base commune ou leur sommet commun fussent à Finfini.

110. Les différents cas que nous venons d'examiner donneraient lieu à divers théorèmes^ semblables au théorème général (99), mais qui n'en seraient que des corollaires; par cette raison, nous nous dispenserons de les énoncer.

111. Enfin, il nous reste un dernier cas à examiner, qui va nous conduire à un mode général de description, purement graphique, des figures corrélatives, et à un théorème de Géométrie, correspondant, dans l'espace , à une proposition sur Thexagone inscrit à deux lignes droites, souvent répétée par Pappus, et regardée par R. Simson comme Tun des porismes d'Euclide.

Supposons que les quatre sommets a', 6', c', d^ du second tétraèdre soient placés, respectivement, sur les quatre faces opposées aux sommets a, 6, c, d du premier tétraèdre.

Soit e un cinquième point donné, de la première figure. Prenons, pour le plan correspondant E, dans la seconde figure, le plan déterminé par les trois points c', y', x', où les trois plans ebc^ eca, eab rencontrent, respectivement, les trois arêtes rf'a', rf'6', rf'c' du second tétraèdre. Soient c, y, x les points où ces trois plans rencontrent les trois arêtes da, db, de du premier tétraèdre.

Soient m un sixième point quelconque de la première figure , et M le plan correspondant de la seconde figure; soient a, 6, y les points où les trois plans mbc, nica, mab rencontrent, respectivement, les trois arêtes (/a,, db, de;

et a', &y / les point ou le plan M rencontre les trois drétes d'à', rf'6', d^d du second tétraèdre. On aura Féquation

ad ed ao! f'o'

Le premier membre de cette équaiion exprime le rapport anharmonique des quatre plans ahc^ dhc, d)c, abc qui passent par Taréte bc. Les trois premiers de ces plans rencontrent Taréte d'à', du second tétraèdre, aux points d', a', £'. Soit a ' le point où le quatrième de ces plans rencontre cette arête; le rapport anharmonique des quatre plans s'exprimera, d^une seconde manière, par le rapport anharmonique des quatre points d', a', ff', a', lequel est

On a donc I e^lité

•fV

Comparant cette équation à la précédente, on en conclut que les deux points a', a'' se confondent; c'est-à-dire que le point a' est à Fintersection de larète d'à' par le plan 9n6c. D'où Ton conclut que le plan M, correspondant au point m, passe par les trois points où les plans mbc, mca, mab rencontrent, respectivement, les trois arêtes d^a'y d'h'^ d'c\

Ou a donc ce théorème : •

Etant donim, dam f espace, un tnangle et un angle trièdre dont le sommet est sêtaè sur le plan de ce triangle ^ et dont les arêtes correspondent y une à une, aux ctités du triangle; si, par chaque point d'une figure donnée, on mène trois plans passant, respectivennent , par les trois côtés du triangle et rencontrant, respectivement, les trois arêtes opposées de t angle trièdre, en trois points; le plan déterminé par ces trois points enveloppera une figure corrélative de la proposée.