XX -¥- y'y -♦- z'z -4- K

Xy tfy Zy sont les coordonnées qui déterminent chaque plan passant par

ce point Nous avons vu (79) qu'on peut les remplacer par les distances Pj p'y p"y p"'y de ce plan, aux sommets i, A, B, C, du tétraèdre; on aura

donc

xy ^ y>" -H «y -4- Kp -= 0.

Nous avons vu aussi (80) que le point représenté par cette équation est le centre de gravité des quatre points iy A, B, C, si on leur suppose des masses proportionnelles aux quantités K, x'y y\ z'. On conclut donc, du théorème précédent, celui-ci:

Si ton a quatre points fixes matériels, et qu'on prenne leur centre de gravité; et qu£ , la masse de l'un d'eux restant comtante, celles des trois autres points varient en conservant entre elles une relation constante, du degré m, le centre de gravité des quatre points engendrera mie surface du degré m.

On pourrait faire varier les masses des quatre points; mais alors il faudrait qu'elles eussent entre elles une relation homogène; le centre de gravité de ces quatre points engendrerait une surface d'un degré égal à celui de cette relation.

89. Autre application. Pour faire une seconde application du nouveau système de coordonnées, à une question qui offrirait des difficultés, si Ton voulait faire usage du système ordinaire, proposons -nous de démontrer cette propriété générale des surfaces géométriques :

Etant donnés une surface géométrique, deux plans fixes et un axe parallèle à t intersection de ces deux plans ; si l'on mène un plan trafisversal quelcolique, et que, par les deux droites suivant lesquelles il coupera les deux plans fixes, l'on mène les deux faisceaux de plans tangents à la surface; les produits des segments compris sur l'axe fixe, entre le plan transversal et les deux faisceaux de plans tangents, seront entre eux dans un rapport constant, quel que soit le plan transversal.

Prenons un système de trois axes coordonnés Aar, By, C^:, parallèles entre eux. Que le plan des deux axes Ax, Uy, et celui des deux axes Ax, Cz, soient les deux plans donnés.

Soit F (xy y^ z) = 0 l'équation de la surface. Soient a:', y', z', les coordonnées d'un plan transversal; les plans tangents menés à la surface^ par la droite d'intersection de ce plan transversal et du plan des deux axes kx^ By, couperont l'axe A^ en des points dont les distances Zy au point G, seront données par l'équation

On peut mettre cette équation sous la forme ou

dF fPF iz — z')* dr^ (z — zT

m étant le degré de l'équation de la surface.

Les racines [z — z') de cettte équation sont les segments compris^ sur l'axe des Zj entre le plan transversal et les plans tangents; leur produit est égal à

\ ,^,..tn.F{x\y\z')

'/Il

dz

Mais la transversale donnée est parallèle à l'axe G^; donc les segments interceptés sur elle^ entre le plan transversal et les plans tangents^ sont proportionnels aux segments interceptés^ entre les mêmes plans ^ sur TaxeCz. Ainsi le produit des segments faits sur la transversale est égal à

K.1.2...m.F(x',y',z') dTF '

dz'""

K étant une constante qui dépend seulement de la distance entre la transversale donnée et le plan des deux axes Xx^ By.

Pareillement^ si par la droite d'intersection du plan transversal et du plan des axes kx^ Cz^ on mène les plans tangents à la surface ^ le produit des

segments compris sur la transversale^ entre le plan transversal et les plans tangents^ sera égal à

K' étant une seconde constante qui ne dépend que de la distance de la transversale au plan des deux axes Xxy Cz.

Le rapport des deux produits des segments faits sur la transversale^ suivant renoncé du théorème^ est donc égal à

Ce rapport est constant, parce que Téquation de la surface étant du degré m, les deux expressions

sont des nombres ; le théorème est donc démontré.

90, Notre système de coordonnées peut procurer aussi une démonstration directe des propriétés générales des surfaces géométriques, que nous avons déduites (§ XIII), par le principe de dualité, du théorème de Newton sur les diamètres des courbes. Nous avons donné cette démonstration directe dans la Correspofidance mathématique de M. Quetelet, t. VI, p. 81, Je ne pense pas que le système de coordonnées en usage puisse conduire à]une démonstration de ces propriétés, d'un nouveau genre, des surfaces géométriques.

§ XVIII. CONSTKUCTION ANALYTIQUE DES FIGURES COHKÉLATIVES.

91. Dans les applications que nous venons de faire du principe de dualité, pour démontrer des propriétés générales de retendue, nous avons fait usage de ce principe seul, pris dans toute sa généralité, sans avoir besoin de

construire les figures corrélatives^ et sans avoir égard aux différentes variétés de formes qu'elles pourraient présenter^ suivant le mode de construction qu'on emploierait.

Mais Ton peut demander de construire la figure corrélative d'une figure donnée. Cela se fera très-aisément, de deux manières générales, analytique-^ ment et géométriquement.

D'abord par l'Analyse. On prend Téquation générale d'un plan, rapportée à trois axes coordonnés quelconques, et renfermant, au premier degré, les coordonnées a:', y', 2?', d'un point; cette équation sera de la forme

(i) Xx' -♦. Yy' -^ Zz' = U ;

X, Y, Z et U étant des fonctions linéaires des coordonnées courantes X, y, z.

Si l'on veut déterminer un plan de la figure corrélative, correspondant à un point de la figure proposée, on mettra les coordonnées de ce point dans l'équation (1), à la place de ^', y', z'; et cette équation deviendra celle du plan cherché.

Si l'on veut déterminer un point de la figure corrélative, correspondant à un plan de la figure proposée , on prendra l'équation de ce plan : je la suppose

(i) Lx -4- My -+- Nz == i ;

et les coordonnées du point cherché seront données, ainsi que nous Pavons démontré (1), par les trois équations