CORRÉLATIVES
114. 11 nous reste à examiner diverses méthodes particulières^ propres à la construction des figures corrélatives^ dont nous n'avons point voulu parler eocore, pour mieux montrer combien le principe de dualité, démontré directendent ^ et envisagé de la manière la plus générale dans ses deux parties, est d'un usage facile et spontané. Mais on conçoit que des méthodes particulières pourraient, dans certains cas, offrir des avantages, parce qu'elles établiraient, entre deux figures corrélatives , quelques rapports particuliers, qui n'ont |>as lieu explicitement, en général, dans deux figures corrélatives quelconques. Par exemple, ne pourrait-on pas établir la corrélation de manière qu'il y eut, entre les deux figures, des relations concernant certains éléments de ces figures, tels que les volumes, les surfaces, les longueurs de courbes, etc.? De telles corrélations particulières conduiraiont, cH>rtainenient, à une foule de vérités géométriques que l'on ne peut sou)^'onnor.
Lo moyeu de ret^herche, dans cette question d'une si haute importance, nouH 8on)blo renfermé dans le peu d'Analyse qui nous a servi à mettre en évidonco lo princi)>e de dualité. En effet, pour former une figure corrélative d'une ligurt^ donnée, analytiquement, ou géométriquement, on dispose
Cette équation ne contenant qu'au premier degré les coordonnées x'^ y\ z'y il résulte^ du théorème I (§ 11)^ que si le sommet du cône parcourt un plan^ le plan de contact tournera autour d'un point fixe; si le sommet du cône parcourt une droite^ le plan de contact tournera autour d'une droite; et en général^ si le sommet du cône parcourt une surface du degré m^ le plan de contact roulera sur une surface à laquelle on pourra mener^ par une même droite^ m plans tangents. Cest-à-dire que le plan de contact formera uiie figure corrélative de la figure parcourue par le sommet du cône.
Le plan de contact mobile est appelé le plan polaire du sommet du cône^ et ce sommet est dit le pôle du plan.
Ainsi la théorie des pôles et des plans polaires peut servir pour la construction des figures cofrélatives.
116. Ajoutons^ à ces propriétés descriptives des figures j9otore^ réci-proquesy la suivante^ qui concerne leurs relations de grandeur :
Si le sommet du cône prend quatre positions a^ b^ c^ d^ e?i ligne droite, le plan de contact prendra quatre positions A, B, C, D, telles quon aura toujours
sin. C, sin. D, ca da sic. G, B ' sin. D, B cb' db
Ce qui résulte du théorème IV (§ IL)
Cette relation complète la théorie des polaires réciproques, considérée dans ses applications à la construction des figures corrélatives et à la démonstration des deux parties du principe de dualité.
117. Remarquons que Féquation du plan mobile, telle que la donne cette théorie, ne renferme que neuf constantes arbitraires, tandis que l'équation générale, qui nous a servi à démontrer le principe de dualité, en contient quinze. Le mode de construction des figures corrélatives , qui résulte de cette théorie, n'est donc pas le plus général; de sorte qu'une figure donnée^ et sa corrélative construite par cette théorie, n'offrent pas, dans leur ensemble , la plus grande généralité possible (ce que nous rendrons évident dans le paragraphe suivant). On peut donc espérer qu'en disposant convenable-
ment des quinze constantes arbitraires^ on parviendra à des modes de construction qui offriront^ entre les deux figures^ des relations que ne peut donner la théorie des polaires; de même qu'en variant la forme de la surface du second degré auxiliaire^ on peut obtenir^ de cetle théorie^ des propriétés différentes des ûgures.
Ainsi, en prenant une sphère pour surface auxiliaire^ M. Poncelet^ et d^autres Géomètres ensuite^ sont parvenus à des résultats fort intéressants^ concernant les relations d'angles des figures. {Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques; Journal de M. Crelle, t. IV.)
En prenant un paraboloïde , nous avons obtenu des résultats d'un autre genre ^ concernant principalement les relations métriques. (Correspondance mathématique de M. Quetelet, tomes V et VI.)
118. On sait que quand le plan polaire d'un point passe jmr un second point, récip'oquement le plan polaire de ce second point passe par le premier. C'est de là qu'est venue la dénomination de polaires réciproques. Cette propriété résulte de ce que l'équation du plan polaire d'un point (x^, y', z') ne change pas, quand on y met x, y, z, kh place de x', y', z', et réciproquement.
Ainsi les plans polaires des différents points d'un plan P passent par un même point p, qui lui-même a pour plan polaire, par rapport à la même surface, précisément le plan P.
Il suit de là que , dans les ûgures corrélatives construites par la théorie des polaires, à un même point de l'espace, considéré comme appartenant successivement à la figure proposée, puis à sa corrélative, correspofid un même plan.
119. Cela n'a pas lieu, en général, dans la construction des figures corrélatives ; ainsi que nous l'avons déjà vu (93). C'est donc là un des caractères particuliers des figures corrélatives construites par la théorie des polaires. Ce caractère se présente dans d'autres modes de construction, ainsi que nous le verrons dans un des paragraphes suivants. Mais il est important de remarquer ici que cette identité de construction des deux figures corrélatives. Tune par l'autre, dans la théorie des polaires, doit être regardée, dans la
théorie générale des figures corrélatives^ comme un fait accidentel^ tout à fait indifférent^ soit pour la démonstration du principe de dualité^ soit pour l'application de cette théorie à la transformation des propriétés de rétendue.
1 20. Nous ne saurions trop appeler Tattention du lecteur sur réquation (116):
sin. CjA sin. D,A ca da ,
sin.C, B sin. D,B cb db
qui représente toutes les relations immédiatement transformables par la théorie des polaires^ de même que par les autres méthodes du même genre. Faute d'avoir aperçu celte relation^ et de Tavoir reconnue comme le type unique de toutes celles que Ton pouvait soumettre à la théorie des polaires réciproques, on a été obligé de faire intervenir, dans les transfor-mations polaires, la théorie des déformations par voie de perspective, pour les figures planes, et par la considération des figures homologiques , pour les figures à trois dimensions. De sorte que Ton a fait dépendre les applications du principe de dualité, de la théorie des figures homologiques *, tandis que
* M. Poncclel, dans son Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques, après «voir pris unc.coniquc, ou une surface du second degré quelconque, pour transformer les relations descriptives, prend, pour la transformation de^ relations métriques, un cercle et une splici'c. Puis il justifie celte méthode et démontre la généralité de ses résultats, en ces termes : « On peut remarquer en passant, qu'attendu la nature particulière des relations que nous D venons dVxaminer, ces différents théorèmes auraient lieu, d'une manière analogue, dans le » cas où, à la place d'un cercle, on prendrait une section conique quelconque pour direetrice
> ou auxiliaire; car on peut toujours considérer l'un de ces systèmes comme la perspective ou
> projection centrale de l'autre, pourvu néanmoins que les figures auxquelles ils se rapportent ■ soient elles-mêmes projcctives de leur nature^ et ne concernent par conséquent aucune » grandeur constante et déterminée.
» Au surplus, je crois devoir le dire expressément, cette observation, qui s'applique égale* • ment au cas de l'espace que nous aurons bientôt h examiner, n'ajoute rien à la gënëralitë » des conséquences qu'il est possible de déduire des théorèmes précédents, quoique leur » énoncé suppose que les figures polaires réciproques soient prises simplement par rapport k
> un cercle auxiliaire. » (Voir Journal de M. Crelle, l. IV, p. 55.)
Ainsi M. Poncclet démontre a posteriori, au moyen de la Perspective, la généralité de ses transformations faites sur le plan , avec un cercle pour conique auxiliaire. Pour le cas de Tespaoe
Les théorèmes nouveaux auxquels nous sommes parvenu dans les paragraphes précédents^ la généralité qu'ils comportent^ et la facilité avec laquelle nous les avons obtenus, nous semblent justifier Fimportance que nous attachons à la relation anharmonique et à Péquation ci-dessus.
121. Cette équation, abstraction faite de son importance dans la théorie des polaires réciproques, considérée comme moyen de tranformation des figures, exprime une belle propriété des surfaces du second degré, dont on n'a pas encore fait usage, et qui mérite d'être introduite dans la théorie de ces surfaces, où elle sera susceptible d'applications très-nombreuses. Nous en présenterons, pour le moment, une seule qui, concernant la description des figures polaires réciproques, ne sera point étrangère à l'objet de cet écrit; et même les théorèmes que nous y démontrerons nous seront utiles dans le paragraphe suivant. Mais, pour ne point interrompre notre examen des différentes méthodes particulières propres à la construction des figures corrélatives, nous reportons cette application de l'équation en question dans un dernier paragraphe, sous le titre de Note.
$5 XXIII. Autre méthode, tirée de la considération des surfaces du second
DEGRÉ , ET PLUS GÉNÉRALE QUE CELLE DES POLAIRES RÉCIPROQUES. APPLI- CATION DE CETTE MÉTHODE.
