V. 185 après J.-C

est égal à la somme des produits des côtés opposés; » elle est donnée comme lemme^ pour la construction d'une table des valeurs des cordes inscrites au cercle et répondant à des arcs donnés ^

Ptolémée fonda sa trigonométrie sur le théorème des six segments , que donne Ménélaûs, et se servit aussi, pour démontrer ce théorème, de son analogue sur le plan. Celui-ci est une relation entre les segments qu'une transversale, menée arbitrairement dans le plan d'un triangle, fait sur les trois côtés, à savoir que le produit de trois de ces segments y qui n'ont pas d'extrémités communes, est égal au produit des trois autres 2, On voit que c'est une généralisation de la proposition fondamentale de la théorie des lignes proportionnelles, savoir que : « une droite, menée parallèlement à la base d'un triangle, divise les côtés en parties proportionnelles. » Cette remarque suffit pour faire entrevoir toute l'utilité dont ce théorème peut être dans la Géométrie. Il sert particulièrement dans les questions où l'on doit démontrer que trois points sont en ligne droite : on imagine un triangle dont les côtés passent par ces trois points , et l'on vérifie si la relation en question a lieu entre les six segments que ces trois points font sur les trois côtés du triangle.

Ce théorème semblait inconnu, quand il reparut, au commencement de ce siècle, dans la Géométrie de position, et peu après dans la théorie des transversales, dont il est la base. Mais, à plusieurs époques, il avait déjà porté des fruits, indépendamment de son utilité comme lemme pour les démonstrations sphériques des Grecs. Il mérite, par son importance actuelle, qu'on en fasse l'historique. Nous consacrerons à cet objet la Note VI.

La Géométrie est encore redevable à Ptolémée de la doctrine des projec-

' Livre i, chap. IX. M. Carnot a montre, dans sa Géométrie de position, comment on peut déduire de ce théorème toute la trigonométrie rccliligne; et, depuis, Pergola a repris ce sujet, qu'il a traité complètement sous le litre : Dal teorema Tolemaico ritraggonsi immediatamente i teoremi dette sezioni angolari di Vieta e diWalliSy e le principale verità proposte nella Trigonometria analitica da moderni (tom. P' des Mémoires de l'Acadétnie des sciences de Naples, aon. 4819).

3 Livre i, chapitre XI^ intitulé : Préliminaires pour les démonstrations sphériques.

tiofis, dont il jeta les fondements en remployant pour la construction des cartes géographiques et la solution des problèmes de gnomonique^ dans deux ouvrages curieux, intitulés De l'Analemme, et Du Planisphère. Mais ce second ouvrage, où se trouve enseignée et pratiquée la projection stéréographique, parait à M. Delambre être d'Hipparque et non de Ptolémée, comme on Favait cru jusqu'ici.

Ptolémée avait composé un traité Des trois dimensions des corps, dans lequel il parla, le premier, de ces trois axes rectangulaires auxquels la Géométrie moderne rapporte la position d'un point quelconque dans Tespace ^

EnGn, parmi beaucoup d'autres ouvrages sur des matières diverses, nous citerons V Optique de Ptolémée, où se trouvait résolu ce problème de pure Géométrie, qui a occupé, depuis, plusieurs géomètres du premier rang : « trouver sur un miroir sphérique le point brillant, pour une position » donnée de Tœil et du point lumineux. »

§ 23. Ici se termine la première des trois périodes dans lesquelles nous avons divisé Tintervalle de dix-sept cents ans, qui sépare Ârchimède et Apollonius de la renaissance des lettres en Europe.

Les grands progrès que l'Antiquité devait faire faire aux sciences mathématiques sont accomplis. Nous n'allons plus trouver d'auteurs originaux; mais seulement de savants et célèbres commentateurs des ouvrages de l'école grecque établie à Alexandrie.

Cependant Pappus, qui se présente à leur tète, mérite d'être placé dans un rang plus élevé, parce que ses ouvrages tiennent encore du génie et de la force productrice des siècles antérieurs. PAPPUS. § 24. Ce géomètre, sur la fin du IV® siècle de l'ère chrétienne, rassembla,

dans ses Collections mathématiques 2, diverses découvertes éparses des mathématiciens les plus célèbres, et une multitude de propositions curieuses et de lemmes, destinés à faciliter la lecture de leurs ouvrages. Ces Collections,

^ DclambrCy slvL Ptolémée de la Biographie universelle.

^ Pappi Alexandrini Mathematicœ collectiones, a Frederico Commandino in latinum con-versas, et commentariis illustratœ, PisBDU 1588, in-fol.; item Bononiœ iGGO, in-fol.

monument précieux des mathématiques anciennes^ dont elles nous représentent à peu près Tétat, contiennent aussi diverses inventions de Pappus lui-même , que Descartes estimait comme l'un des plus excellents géomètres de Tantiquité ^

On y trouve la description^ sur la sphère, d'une ligne à double courbure remarquable. Cest une spirale que Pappus décrivait, à l'imitation de celle d'Archimède, en faisant mouvoir uniformément un point sur un arc de grand cercle de la sphère, qui tourne lui-même autour de son diamètre (livre i, proposition 30), Pappus trouva l'expression de la surface sphérique, comprise entre cetle courbe et sa base; premier exemple de la quadrature cTune surface courbe.

Le fameux théorème de Guldin, qui fait usage du centre de gravité pour la dimension des figures , se trouve dans les Collections mathématiques, et parait avoir été imaginé par Pappus lui-même ^.

§ 25. A la suite de la proposition 30 du livre i, un passage, qui sert d'introduction au problème de la trisection de l'angle, nous apprend que la science des surfaces courbes, et des lignes à double courbure tracées sur ces surfaces, ou produites par des mouvements composés (comme la spirale sphérique dont nous venons de faire mention), avait été cultivée par les Anciens. Pappus y parle des lieux à la surface, et cite à ce sujet les ouvrages de Démétrius d'Alexandrie, et de Philon de Tyane. Le premier avait pour titre : Recherches linéaires; c'est la seule indication qui nous en reste. Le second traitait des courbes qui naissent de l'intersection de certaines surfaces nommées plectoïdes.

< a Je me pei*suade que certains germes primitifs de«{ vérités que la nature a déposés dans rintelligenee humaine, et que nous étouffons en nous à force de lire et d'entendre tant d'erreurs diverses , avaient, dans cette simple et naïve antiquité, tant de vigueur et de force, que les hommes éclairés de cette lumière de raison qui leur faisait préférer la vertu aux plaisirs, l'honnête à Tutiie, encore qu'ils ne sussent pas la raison de cette préférence, s'étaient fait des idées vraies et de la philosophie et des mathématiques, quoiqu'ils ne pussent pas encore pousser ces sciences jusqu'à la perfection. Or, je crois rencontrer quelques traces

de ces mathématiques véritables dans Pappus et Diophante • (Descartes, Règles pour la

direetion de l'esprit, 4* règle.) * Voyez la fin de la Préface du 7* livre des Collections mathématiques.

Montucla observe avec raison qu'il n'est pas facile de deviner, sur une aussi légère indication, quelles étaient ces surfaces et quelles étaient ces courbes. Mais un autre passage de Pappus (livre 4, proposition 29), dont il semble que ce savant historien n'ait pas eu connaissance, nous apprend que la surface de la vis à filet carré est une surface plectoïde; ce qui nous fait supposer que ce mot désignait d'une manière générale les surfaces réglées, auxquelles il nous parait convenir à raison de Y entrelacement des lignes droites que présentent ces surfaces, ou bien qu'il désignait les surfaces appelées maintenant conoïdes, engendrées par une droite mobile qui s'appuie sur une droite fixe et sur une courbe, en restant toujours parallèle à un même plan; ou bien encore qu'il désignait particulièrement les surfaces héliçoïdes, ou seulement la surface héliçoïde rampante, c'est-à-dire celle de la vis à filet carré.

Un savant géomètre napolitain, M. Flauti, dans un ouvrage récent, affecte, d'une manière générale , le nom de surfaces plectoïdes à toutes les surfaces engendrées par une ligne droite K

Gommandin, dans son Commentaire de Pappus, avait pensé que le mot plectoïde pouvait provenir d'une erreur de copiste, et qu'il devait être remplacé par celui de cylindrique. Mais cette supposition est évidemment erronée; car le mot plectoïde, dans le passage de Pappus qui donne lieu à l'observation de Gommandin ^, s'applique incontestablement à la surface de la vis à filet carré, et non à une surface cylindrique.

§ 26. Pappus, à l'occasion de la quadratrice de Dinostrate, fait connaître deux propriétés de la surface héliçoïde rampante, qui méritent d'être remarquées, comme renfermant deux modes de construction de la quadratrice, et surtout comme offrant une des belles spéculations des Anciens sur les surfaces courbes et les lignes à double courbure.

Après avoir donné la génération, qu'il appelle mécanique, de la quadratrice, par l'intersection d'un rayon du cercle qui tourne autour du centre,

* Geometriçk di silo sut piano e nello spazio ; Naples i821. ^ Livre 4, proposition 29, note F, pag. 9!2 de Tëdition de i660.

et d'un diamètre qui se meut parallèlement à lui-même (livre 4^ proposition 25), Pappus dit que cette courbe peut se former par les lieux à la surface, ou bien par la spirale d'Ârchimède. Voici quels sont ces deux modes de construction :

Premier moyen, proposition 28. « Soit une hélice décrite sur un cylindre droit circulaire; de ses points on abaisse des perpendiculaires sur Taxe du cylindre : ces droites forment la surface héliçoïde rampante;

» Par Tune de ces droites on mène un plan , convenablement incliné sur le plan de la base du cylindre ; ce plan coupe la surface héliçoïde suivant une courbe dont la projection orthogonale sur la base du cylindre est la quadratrice. »

Second moyen , proposition 29. « Qu'une spirale d'Ârchimède soit prise pour la base d'un cylindre droit; que Ton conçoive un cône de révolution ayant pour axe Farête du cylindre menée par l'origine de la spirale; ce cône coupera la surface cylindrique suivant une courbe à double courbure ^ ;

« Les perpendiculaires abaissées, des différents points de cette courbe, sur l'arête en question du cylindre, formeront la surface héliçoïde rampante (que Pappus appelle en cet endroit surface /?fectoirf(?);

» Un plan mené par une arête de cette surface , et convenablement incliné, la coupera suivant une courbe dont la projection orthogonale sur le plan de la spirale sera la quadratrice demandée. »

Ces deux constructions consistent, l'une et l'autre, à couper la surface héliçoïde rampante par un plan mené par une arête , et à projeter la section sur un plan perpendiculaire à l'axe de la vis.

* Cette courbe est Vhélice conique : elle est Tune des lignes k double courbure que les Anciens ont connues. Proclus en parle dans son Commentaire sur la 4* définition du i*' livre d'Euclide. Dans les temps modernes cette courbe a occupé plusieurs géomètres, parmi lesquels on dislingue Pascal (De la dimension d'un solide formé par le moyen d'une spirale autour d'un cône; OEuvres de Pascal, tom. V, pag. 422); et Guido-Grandi {Epistola ad Th. Cevam; OEuvres posthumes d'Uuygens, tom. II).

M. Garbinski, professeur à TUniversitc de Varsovie, a donne, il y a quelques années, une construction graphique des tangentes à cette hélice conique (voyez Annales de mathématiques y tom. XVI, pag. i67 et 376).

Dans la première solution^ on détermine la surface de la vis au moyen d'une hélice, par laquelle on fait passer les génératrices de cette surface; dans la seconde, Ton détermine ces génératrices par le moyen d'une courbe à double courbure : Tintersection d'un cylindre droit qui a pour base une spirale, par un cône de révolution ayant pour axe Taréte du cylindre menée par l'origine de la spirale.

§ 27. Nous remarquerons que ces deux constructions reposent sur les propriétés suivantes de la surface héliçoïde rampante, que Pappus n'énonce pas expressément , mais qui se trouvent démontrées dans ses deux propositions 28 et 29 :

l"" Si l'on coupe la surface héliçoïde rampante par un plan mené par une de ses génératrices, la section se projette orthogonalement, sur un plan perpendiculaire à l'axe de la surface, suivant une quadratrice de Dinostrate * ;

2** Un cône de révolution , qui a pour axe celui d'une surface héliçoïde rampante, coupe cette surface suivant une courbe à double courbure, qui se projette orthogonalement, sur un plan perpendiculaire à cet axe, suivant une spirale d'Archimède.

Ce second théorème oiïre une construction de la spirale par les lieux à la surface, analogue à celle que Pappus donne pour la quadratrice.

§ 28. Ces considérations de surfaces courbes et de lignes à double courbure, pour la construction d'une courbe plane, qui rentrent aujourd'hui dans la Géométrie descriptive et font le caractère principal de l'école de Monge, méritaient, ce me semble, d'être remarquées dans l'ouvrage de Pappus. Elles auraient pu conduire ce géomètre à une construction des tangentes à la spirale et à la quadratrice. Il eut suffi de remarquer que ces tangentes sont les projections des tangentes aux deux courbes tracées

* Nous avons reconnu que si le plan sécant, au lieu de passer par une génératrice de la surface héliçoïde, est mené d'une manière arbitraire, on obtient alors, en projection, une quadratrice allongée ou accourcie; ou en d'autres termes, une concho'ide de la quadratrice de Dinostrate.

sur la surface héliçoïde ^ et que la tangente en un point de rintersection de deux surfaces est rintersection des plans tangents^ en ce point ^ aux deux surfaces. On parvient ainsi , fort aisément y aux propriétés connues des tangentes de la spirale et de la quadratrice ^ Mais c'est là tout à fait Tesprit de notre Géométrie descriptive moderne; et il n'est pas probable que les Anciens aient poussé aussi loin leurs spéculations dans la science des surfaces courbes. Il est douteux même que^ du temps de Pappus^ on eut une idée bien nette du plan tangent en un point de la surface héliçoïde.

§ 29. En réfléchissant sur la nature des deux théorèmes que nous avons énoncés ci-dessus^ on est conduit à les regarder comme de simples applications de deux modes généraux de transformation des courbes planes^ en d'autres courbes diflîérentes^ au moyen de la surface héliçoïde rampante. Et de ces modes de transformation résultent des relations de construction et de propriétés 9 entre des courbes qui ne paraissaient avoir de commun que la même forme d'équation entre des variables diflerentes : telles sont quelques spirales et les courbes qui portent le même nom dans le système de coordonnées ordinaires. Je développerai cette idée dans la Note VIII.

§ 30. On remarque 9 dans \q% Collections mathématiques, plusieurs théorèmes qui appartiennent aujourd'hui à la théorie des transversales^ entre autres celui qui en est le fondement : ils font supposer que cette utile et élégante doctrine était employée par les Anciens^ principalement dans leurs écrits sur l'Analyse géométrique, auxquels se rapportent ces théorèmes.

Parmi ces propositions, qui appartiennent à la théorie des transversales, et dont plusieurs sont relatives à la proportion harmonique, nous citerons les suivantes , qui sont démontrées, dans le 7^ livre, comme lemmes destinés à faciliter la lecture des porism^s d'Euclide.

La 129"^ proposition fait voir que, quand quatre droites sont issues d'un

* M. Th. Olivier, habile professeur de Géométrie descriplive à l'École des Arts et Manufactures, a àé}h fait usage de ce moyen, pour construire la tangente à la spirale d'Archimcde {Bulletin de la Société philomalique de Paris, année 1853, pag. â!2).

méTne point, elles forment sur une transversale, menée arbitrairement dans leur plan, quatre segments qui ont entre eux un certain rapport constant, quelle que soit la transversale. Ainsi soient a, b, c, d, les points où les quatre droites sont rencontrées par une transversale quelconque^ et ojc, ad, bc, bd, les quatre segments : le rapport ^ : — sera existant, quelle que soit la tramversale.

Cette proposition mérite que nous lui consacrions tout ce paragraphe^ pour appeler sur elle, dès à présent, Fatlention de nos lecteurs.

Les propositions 136, 137, 140, 142 et 145 sont, ou des cas particuliers, ou la réciproque de celte proposition principale.

Répétée sous tant de formes par Pappus, elle paraît avoir été d'une grande utilité dans les porismes d'Euclide. Cependant elle est aujourd'hui sans application.

En recherchant les usages que les Modernes en ont pu faire, nous trouvons que Pascal Fa mise, dans son Essai pour les coniques, au nombre des théorèmes principaux dont il se servait dans son Traité de ces courbes; que Desargues fit, d'un de ces cas particuliers (qui est précisément la 137® proposition de Pappus), la base d'une de ses Pratiques de la perspective (édition de Bosse, 1648, pag. 336); et que R. Simson l'a démontrée comme lemme de Pappus, et s'en est servi pour la démonstration d'une proposition de son Traité des Porismes.

Dans ces derniers temps, M. Brianchon l'a énoncée au commencement de son Mémoire sur les ligotes du deuxième ordre, et M. Poncelet l'a citée dans son Traité des propriétés projectives (pag. 12). Mais ces deux habiles géomètres en ont fait peu d'usage, n'ayant eu à considérer le plus souvent que le cas particulier où les quatre droites forment un faisceau harmonique.

Cette proposition nous parait donc avoir à peine, jusqu'ici, fixé l'attention des géomètres. Cependant nous la croyons susceptible de nombreuses applications, et nous la regardons comme pouvant devenir l'une des plus utiles et des plus fécondes de la Géométrie.

Cette proposition jouera un rôle important dans nos deux principes de dualisation et de déformation des figures y comme étant la base de la partie qui concerne leurs relations de grandeur; et nous aurons aussi à en faire usage dans le cours de cette introduction.

Par cette raison^ nous éprouvons, dès à présent, le besoin de donner un nom au rapport des quatre segments qu'on y considère. Ce rapport étant dit harmonique dans le cas particulier où il est égal à Funité, nous rappellerons, dans le cas général , rapport ou fonction anharfnonique.

Ainsi, quand quatre droites, issues d'un même point, seront rencontrées par une transversale en quatre points a, 6, c, rf, le rapport ~: ^sera dit fonction anhannoniqne des quatres points a, 6, e, d.

La proposition de Pappus consiste en ce que cette fonction a constamment la même valeur, quelle que soit la transversale, les quatre droites, issues d'un même point, restant les mêmes. C'est là une belle propriété de la fonction anharmonique de quatre points, qui la distingue de toute autre fonction qu'on pourrait former avec les segments compris entre les quatre points.

La notion de la fonction anharmonique nous parait de nature à apporter une grande simplification dans plusieurs théories géométriques.

Elle sera bien plus propre que le théorème de Ptolémée à servir de fondement à la théorie des transversales, où elle procure des démonstrations intuitives de toutes les propositions connues sur les systèmes de lignes droites, et donne lieu à beaucoup d'autres propositions nouvelles.

Elle sera utile surtout dans la théorie des coniques, où elle montrera, entre une infinité de propositions isolées, une liaison et des rapports qui les rattachent toutes à un petit nombre de principes généraux.

Nous comptons consacrer un écrit particulier à la théorie du rapport anharmonique. Mais il nous faut en faire connaître dès à présent quelques propositions principales, particulièrement une autre forme algébrique sous laquelle peut s'exprimer la proposition de Pappus; nous renvoyons, pour cet objet, à la Note IX.

§ 31. Revenons à Pappus.

La 130^ proposition est une relation entre six segments formés^ sur une transversale, par les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère quelconque. La 127® et la 128® en sont des cas particuliers.

Au lieu de regarder la figure du livre de Pappus comme représentant les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère coupé par une transversale, on peut la considérer comme représentant les trois côtés d'un triangle, et trois droites menées par les sommets de ce triangle et concourant en un même point. Ces six droites déterminent sur la transversale six segments, dont chacun est pris entre un côté du triangle et une des deux droites menées par les sommets adjacents à ce côté. La proposition de Pappus est facile alors à énoncer et à retenir; elle consiste en ce que le produit de trois segments, qui nont point d'extrémités communes, est égal au produit des trois autres : rapport semblable à celui qui constitue le théorème de Ptolémée.

Envisagée ainsi , cette proposition de Pappus pourra servir pour démontrer que trois droites, menées de certaine manière parles sommets d'un triangle, concourent en un même point; de même que celle de Ptolémée sert à démontrer que trois points , placés d'une certaine manière sur les côtés d'un triangle, sont en ligne droite.

La 131« proposition fait voir que, dans tout quadrilatère, une diagonale est coupée harmoniquement par la seconde diagonale et par la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.

La 132® énonce un cas particulier de ce théorème, qui, lui-même, peut être regardé comme une conséquence du théorème général exprimé par la proposition 130.

La 139®, dont les propositions 134, 138, 141 et 143 sont, ou la réciproque, ou des cas particuliers, prouve que, quand un hexagom a ses six sommets placés, trois à trois, sur deux droites, les trois points de con^ cours de ses côtés opposés sont en ligne droite. Théorème remarquable par lui-même, et parce qu'il peut être considéré comme le germe du fameux théorème de Pascal, sur l'hexagone inscrit à une conique. Au système des

HISTOmE DE LA GÉOMÉTRIE. 57

deux droites^ dans lesquelles Pappus inscrivait son hexagone^ se trouve substituée^ dans le théorème de Pascal^ une conique quelconque K

La proposition 130^^ que nous avons citée plus haut^ a reçu une généralisation semblable^ que nous ferons connaître en parlant de Desargues.

Pappus énonce dans sa préface^ comme généralisation d\m porisme d'Euclide^ un beau théorème^ relatif à la déformation d'un polygone dont tous les côtés passent par des points situés en ligne droite^ pendant que ses sommets, moins un, parcourent des droites tracées arbitrairement. Ce théorème a acquis quelque célébrité dans le siècle dernier, par la nouvelle généralisation qu'il a reçue entre les mains de Mac-Laurin et de Braikenridge, et par la rivalité qu'il a excitée entre ces deux illustres géomètres. M. Poncelet a de nouveau traité cette matière avec toute l'étendue et la facilité que comportent les doctrines de son savant Traité des propriétés projectives des figures. (Section 4, chap. II et III.)

§ 32. Nous devons faire mention d'une question qui peut se rattacher, comme les précédentes, à la théorie des transversales; c'est le fameux problème ad très aut plures lineas, rapporté par Pappus comme l'écueil des Anciens, et auquel Descartes a donné une nouvelle célébrité, en en faisant la première application de sa Géométrie. Il s'agissait, étmit données plusieurs droites, de trouver le lieu géométrique d'un point tel que les perpendiculaires, ou plus généralement les obliques abaissées de ce point sur ces droites, sotis

* La proposition 139 de Pappus, que nous présentons ici comme exprimant une propriété de rbexagone inscrit à deux droites , peut être considérée sous un autre point de vue, et donne lieu alors h cet autre théorème remarquable, que Simson a énoncé le premier, comme étant l'an des porismes d*EucIidc, celui auquel se rapportent ces mots de Pappus : « Quod HiBC ad OâTUM PuifCTUM VBB6IT. • Étant prts, dans un plan y deux points fixes et un angle qui ait son sommet situé sur la droite qui joint ces points ; sij de chaque point d'une droite donnée, on mène deux droites à ces deux points fixes , elles rencontreront respectivement les deux côtés de l'angle em deux points; et la droite qui joindra ces deux points passera toujours par un même point (Simsooy De Porismatibus, proposition 34).

Nous citons ce théorème, parce qu'il nous sera utile dans la suite. Son analogue dans Pespaec, qui n'a point encore été donné, se présentera naturellement comme corollaire de nos principes de transformation des 6gures.

des angles donnés, satisfissent à la condition que le produit de certaines d'entre elles fût dans un rapjjort constant avec le produit de toutes les autres.

Cette question, connue sous le nom de Problème de Pappus , depuis que Descartes Fa ainsi désignée, avait exercé la sagacité d'Euclide et d'Apollonius, qui ne l'avaient résolue que pour trois ou quatre droites, auquel cas le lieu géométrique demandé est une conique; d'où résulte cette propriété générale des coniques : « Quand un quadrilatère quelconque est inscrit à une conique, le produit des distances de chaque point de la courbe à deux côtés opposés du quadrilatère, est au produit des distances du même point aux deux autres côtés, dans un rapport constant. »

Newton a donné, de ce beau théorème, une démonstration par la Géométrie pure, et s'en est servi utilement dans ses Principes mathématiques de la Philosophie naturelle. Les traités des coniques, qui ont paru dans les premiers temps après ce grand ouvrage, lui ont emprunté ce théorème, mais sans en faire tout l'usage auquel il était propre; depuis, il a en quelque sorte disparu de la théorie des coniques \ Cependant, nous croyons pouvoir le regarder comme la plus universelle et la plus féconde de toutes les propriétés de ces courbes. Nous citerons particulièrement, qomme n'étant que des corollaires de ce théorème unique, le fameux hexagramme mystique de Pascal, le théorème de Desargues sur l'involution de six points, le rapport constant du produit des ordonnées au produit des segments faits sur l'axe, le beau théorème de Newton sur la description organique des coniques, et enfin un autre théorème fondé sur la notion du rapport que nous avons nommé ci-dessus anharmonique , et d'où se déduisent une infinité de propriétés diverses des coniques.

* La stérilité qu'eut pendant des siècles cette proposition fondamentale, d'où dérivent presque toutes les propriétés des coniques, et le peu d'importance que parurent aussi mériter, jusqu'à ces derniers temps, les beaux théorèmes de Desargues et de Pascal, qui en sont des corollaires naturels, rappellent cette pensée de Bailly,dont la justesse est bien sentie: « Il » semble que les idées aient comme nous une enfance et un premier état de faiblesse; elles ne » produisent point à leur naissance, et elles ne tiennent que de Tâge et du temps leur vertu » féconde. » {Histoire de l'Astronomie modemCj lom. II, pag. 60.)

Mais nous dirons^ en passant^ que ce dernier théorème est lui-même d^une telle généralité^ et se démontre a priori d'une manière si facile, que c'est celui que nous proposerions pour fondement d'une théorie des coniques. (Voir la Note XV.)

§ 33. Ici se présente naturellement une observation qui pourra justifier l'importance que nous avons déjà cherché à donner à la proposition 120 de Pappus, et à la notion du rapport anharmonique. C'est que tous les théorèmes que nous venons de tirer du 7« livre des Collections mathématiques, y compris celui sur la déformation d'un polygone et le théorème ad quatuor lineas, avec plusieurs autres théorèmes sur Tinvolution de six points, dont nous allons parler tout à l'heure; théorèmes des plus généraux et des plus utiles dans la Géométrie récente, peuvent dériver tous, comme d'une source commune, de cette seule propriété du rapport anharmonique de quatre points. Et cette manière de les présenter sera aussi simple que possible; car elle ne nécessitera pour ainsi dire aucune démonstration.

Après avoir reconnu que la plupart des lemmes de Pappus, qui paraissent se rapporter au l®** livre des porismes d'Ëuclide, peuvent se déduire de la proposition en question, nous avons pensé que cette proposition pourrait bien aussi être la clef de tout ce i^^ livre des porismes, et conduire à une interprétation des énoncés que Pappus nous a laissés. Car il existe toujours ainsi, dans toute théorie, quelque vérité principale dont toutes les autres dérivent. Et, en effet, en prenant la proposition dont il s'agit pour point de départ dans un essai de divination des porismes , nous avons obtenu divers théorèmes qui nous ont paru répondre aux énoncés en question.

§ 34. Nous citons encore, du 7® livre des Collections mathématiques, une quarantaine de lemmes relatifs au traité De determinatâ sectione d'Apollonius, et qui rentrent aujourd'hui dans les nouvelles doctrines de la Géométrie. Ce sont des relations entre les segments faits, par plusieurs points, sur une ligne droite.

On n'aperçoit pas, au premier abord, la vraie signification de ces nom-

breuses propositions, ni les rapports qui peuvent les rattacher ensemble à une même question ; et la lecture dans cet état en est pénible. Mais avec quelque attention y on reconnaît qu'elles sont toutes relatives à la théorie de Vinvolution de six points, créée par Desargues, et devenue d'un grand usage dans la Géométrie récente. Ce ne sont pas les propriétés de la relation d'involution la plus générale, celle qui a lieu entre six points (il parait même que les Anciens n'ont pas connu les transformations de cette relation générale) ; mais ce sont des propriétés de plusieurs relations que Ton peut aujourd'hui considérer comme des cas particuliers de cette relation générale.

Ainsi, les propositions 22, 29^ 30, 32, 34, 35, 36 et 44 concernent une involution de cinq points. On y considère deux systèmes de deux points conjugués ^ , et leur point central, celui dont le produit des distances aux deux premiers points est égal au produit de ses distances aux deux autres; et l'on déduit de là une autre relation entre les cinq points.

Pour conclure cette relation de la relation générale entre six points, il faut observer que le conjugué du cinquième point, ou point central, est à l'infini.

Les propositions 37 et 38 concernent une involution de quatre points, qui sont deux points conjugués, un point double et le point central. D'une relation entre ces quatre points, on en conclut une autre.

Les propositions 39 et 40 sont une même propriété d'une involution de cinq points; on y considère deux systèmes de deux points conjugués, et un point double.

Les propositions 41 , 42 et 43 sont une relation entre deux systèmes de deux points conjugués et leur point central; relation nouvelle, d'une forme différente des relations connues de l'involution de six points.

Il en est de même des douze propositions 45, 46, et 56, qui sont

' \\ est utile, pour faciliter rintelligence de ce passage sur Jes Icmmcs de Pappus, de lire la Note X, où nous présentons les différentes propriétés de la relation d'involution de six points, c'est-à-dire les diverses transformations et les conséquences de cette relation. Nous y expliquons ce qu*on doit entendre par points conjugués , point central ^ et points doubles.

une relation générale entre deux systèmes de deux points conjugués, leur point central et un autre point quelconque. Les propositions 41, 42 et 43 ne donnent que des corollaires de cette relation générale.

Enfin, les propositions 61, 62 et 64 expriment une belle propriété de maximum et de minimum^ concernant deux systèmes de points conjugués et un point double : elle consiste en ce que le rapport des produits des distances de ce point double aux points conjugués est un maximum ou un minimum.

Pappus donne, par une construction élégante, Fexpression géométrique de ce rapport; mais il ne fait qu'énoncer la propriété de maximum ou minimum, qui se trouvait démontrée dans Fouvrage d'Apollonius. C'est une véritable perte que celle de la démonstration géométrique de ce cas de maximum ou minimum par les Anciens , quoiqu'elle n'offre aucune difTiculte à l'Analyse moderne. Fermât en a fait une des premières applications de sa belle méthode de maximis et minimis (Opéra inathematica , pag. 67).

§ 3S. Cette analyse des quarante-trois lemmes de Pappus nous paraît pouvoir en faire saisir l'esprit général et en faciliter la lecture. On y voit que plusieurs propositions expriment un même théorème : c'est que les énoncés de ces propositions s'appliquent à des figures spéciales, et ont entre eux quelques différences provenant de la différence de position des points que l'on y considère. C'est cette différence de position des points donnés et du point cherché qui a fait donner à l'ouvrage d'Apollonius le nom de Section déterminée; et les différents cas que présentent les variations de position de ces points, sont ce que ce géomètre, et Pappus d'après lui, ont appelé EpilagmaK

C'est un des grands avantages de la Géométrie moderne sur l'ancienne, de pouvoir, par la considération des quantités positives ou négatives, comprendre, sous un même énoncé, les cas divers que peut présenter un

* C'est le sentiment de Halley et de R. Simson. Le savant Commandin n'avait point trouvé la signification de ce qu'Apollonius appliquait a une partie de ses propositions {Collect. math., pag. 296 de l'édition de 1660). Le mot monachi, qu'on trouve aussi dans Pappus, parait avoir été affecté par Apollonius aux propositions concernant les maxima et les minima.

même théorème^ par la diversité de positions relatives des différentes parties d'une figure. Ainsi ^ de nos jours^ les neuf problèmes principaux et leurs nombreux cas particuliers , qui faisaient Fobjet des quatre-vingt-trois théorèmes contenus dans deux livres de la Section déterminée d'Apollonius^ ne font plus qu'une seule et même question^ résolue par une formule unique.

Beaucoup d'auteurs ^ dans leurs écrits sur l'Analyse géométrique des Anciens , se sont occupés de la Section déterminée, et ont cherché, soit à en rétablir complètement les deux livres, soit à en résoudre seulement diverses questions détachées. Nous trouvons, au commencement du XVII® siècle, Snellius, Alexandre Anderson, Marin Ghetaldi; vers la fin du même siècle, Roger de Vintimille, Hugo de Omérique; puis, R. Simson dans son ouvrage posthume, Opéra reliqua, anno 1776; et, presque à la même époque, Giannini dans ses Opuscula mathematica.

Dans ces derniers temps, J. Leslie a encore consacré plusieurs pages à ce problème, dans son Analyse géométrique (livre 2, propositions 10-18). Cette question est liée intimement à la théorie de Vinvolution de six points, et sa solution parait devoir dériver de cette théorie. En effet, une propriété nouvelle de l'involution nous a offert naturellement une construction simple et générale du problème de la section déterminée, qui nous parait différer de toutes celles que l'on a données jusqu'ici. La même théorie offre aussi une démonstration du cas de maximum traité par Apollonius. (Voir la Note X.)

§ 36. Les lemmes de Pappus, sur les Lieux plans d'Apollonius, présentent aussi quelques relations entre les segments faits par des points sur une droite, mais qui sont différentes des précédentes, et ne dérivent point, comme celles-ci, des relations générales d'involution de six points. Cependant, on peut les rattacher aussi à une seule et même proposition, qui exprime une propriété générale de quatre points pris arbitrairement sur une ligne droite, laquelle est le second des théorèmes généraux de Mathieu Stewart K

> Some gênerai theorems of considérable use in the ffigher paris ofmaihemaiics. Édimbourgy 4746, in-8».

Nous donnerons renoncé du théorème en question en parlant de Stewart, dans notre quatrième Époque,

Ainsi ^ les propositions 123 et 124^ qui expriment une relation entre quatre points pris arbitrairement sur une droite^ et un cinquième déterminé d'après une certaine condition^ sont une conséquence facile de ce théorème.

Les propositions 125 et 126 expriment une relation entre quatre points pris arbitrairement en ligne droite ; et Ton reconnaît aisément que cette relation n'est qu'une transformation très-simple du même théorème.

Les quatre propositions 119-122^ qui^ avec les quatre dont nous venons de parler^ font les huit lemmes de Pappus^ sur les lieux plans d'Apollonius, concernent le triangle. Il est assez remarquable que ces quatre propositions y qui paraissent si différentes des autres et n'avoir aucun rapport avec elles, sont aussi des conséquences du même théorème de Stewart.

§ 37. R. Simson, en rétablissant les porismes d'Ëuclide, la section déterminée et les lieux plans d'Apollonius , a démontré un à un les nombreux lemmes dé Pappus relatifs à ces trois ouvrages. On voit, par ce que nous venons de dire, combien aujourd'hui , en rattachant toutes ces propositions à quelques-unes seulement, on simplifierait ce travail. Mais une telle simplification n'était pas encore dans l'esprit de la Géométrie au temps de R. Simson (il y a près d'un siècle); et, y eût-elle été, elle n'eût point convenu au but de cet habile et profond géomètre , qui était de suivre pas à pas les traces et les indications de Pappus.

§ 38. Les autres lemmes du 7® livre des Collections mathématiques, que nous passons sous silence, nous offrent moins d'intérêt que ceux que nous avons cités. Ce sont des propositions isolées, relatives au cercle, au triangle et aux sections coniques, et qui ne présentent pas de difficultés. Ces lemmes s'appliquent au traité De inclinationibas , à celui De tactimiilms, aux huit livres des Coniques d'Apollonius; et enfin ^ aux Lieux à la surface d'Euclide.

Nous nous bornerons à remarquer, parmi les lemmes relatifs au traité De tactionibus, le problème suivant, qui est résolu très-simplement par Pappus : « Faire passer, par trois points situés en ligne droite, les trois côtés d'un

triangle qui soit inscrit à un cercle donné. » (Proposition 117«.) Les propositions 105^ 107 et 108 sont des cas particuliers de cette question ; on y suppose Fun des trois points situé à Finfini.

Ce problème^ qu'on a généralisé en plaçant les trois points d'une manière quelconque ; est devenu célèbre par la difficulté qu'il présentait^ par les noms des géomètres qui Font résolu^ et surtout par la solution^ aussi générale et aussi simple qu'elle pouvait l'être, donnée par un enfant de seize ans, Oltaïano, Napolitain (voir la Note XI).

Nous citerons enfin la 238® et dernière proposition, qui s'applique aux Lieux à la surface, et qui est la propriété de la directrice dans les trois sections coniques; savoir : « les distances de chaque point d'une conique, à un foyer et à la directrice correspondante, sont entre elles dans un rapport constant. » Ce beau théorème ne se trouve pas dans les coniques d'Apollonius.

§ 39. Le livre 8® des Collections traite principalement des machines employées dans la mécanique pratique; on y parle aussi de leur usage pour la description organique des courbes. Diverses propositions de Géométrie se trouvent encore dans ce livre. Il en est une fort remarquable, sur le centre de gravité d un triangle ; nous l'énoncerons ainsi : « Si trois mobiles, placés aux sommets d'un triangle, partent en même temps et parcourent respectivement les trois côtés, en allant dans le même sens et avec des vitesses proportionnelles aux longueurs de ces côtés, leur centre de gravité restera immobile. »

Les géomètres modernes ont étendu ce théorème à un polygone quelconque, plan ou gauche. Montucla, en le démontrant par des considérations de mécanique, dans les Récréations mathématiques d'Ozanam, avait pensé que la démonstration par la Géométrie pure offrirait des difficultés. Celle qu'en donne Pappus s'appuie sur le fameux théorème de Ptolémée, concernant les segments faits, sur les côtés d'un triangle, par une transversale. Pappus, dans le cours de sa démonstration, suppose la connaissance de ce théorème, dont il donne ensuite la démonstration.

§ 40. La proposition 14 du même livre est une solution très-simple de ce problème : étant donnés deux diamètres conjugués d'une ellipse, trouver les deux axes principaux, en grandeur et en direction. Pappus ne fait qu'énoncer sa construction , sans la démontrer. Euler en a rétabli la démonstration , et a donné en même temps plusieurs autres solutions du même problème (Novi Commentarii , de Pétersbourg, t. III, ann. 17S0-1751). D'autres géomètres Font aussi traité à leur manière.

Ayant résolu la question analogue dans Fespace , où il s'agit de trouver, en grandeur et en direction , les trois axes principaux d'un ellipsoïde dont trois diamètres conjugués sont donnés, nous en avons conclu une nouvelle construction des axes de l'ellipse, qui nous parait enchérir encore sur le degré de simplicité que présentaient déjà plusieurs solutions de ce problème ^

Et, en effet, c'est une remarque qu'on peut faire souvent dans l'étude de la Géométrie, que les solutions de la Géométrie plane, qui ont leurs analogues dans Fespace, sont toujours les plus générales et les plus simples.

Ce principe donne un moyen d'épreuve, une sorte de critérium, pour reconnaître si l'on est parvenu , dans une question , à toute la généralité et à toute la perfection dont elle est susceptible, ou, en d'autres termes, si l'on a rencontré la méthode et la vraie route qui lui sont propres.

§ 41. La préface du T^' livre des Collectiofis m^ithématiques contient une définition nette de V Analyse et de la Synthèse, qui ne laisse aucun doute sur le caractère précis des deux méthodes; et Pappus donne souvent,

* Soient : o le centre de l'ellipse, oa, o6 ses deux demi-diamètres conjugués donnes.

Par le point a on mènera une droite perpendiculaire à ob, sur laquelle on prendra les segments ae, ae' ëgaux à 06 ;

On tirera les deux droites oe, oe' :

I* Les axes principaux de Tellipse divisent en deux également l'angle de ces deux droites et son supplément;

2* Le grand axe est égal à la somme de ces deux droites, et le petit axe égal à leur différence.

dans le cours de ce 7® livre, des exemples de Tune et de l'autre, appliquées à une même question.

A la suite de cette défînition , Pappus donne les titres des ouvrages que les Anciens avaient composés sur ce qu'ils appelaient le lieu résolu. Ils comprenaient, sous ce mot, certaines matières dont la connaissance est nécessaire à ceux qui veulent se mettre en état de pouvoir résoudre les problèmes. Ces ouvrages étaient, pour la plupart, des exemples de leur Analyse géometrique; en voici les titres, tels que les rapporte Pappus : un livre d'Ëuclide, des Données; deux livres d'Apollonius, de La section de raison; deux de La section de l'espace et deux des Attouchements, du même; trois livres d'Euclide, des Porismes; deux livres encore d'Apollonius, des Inclinaisons; deux des Lieux plans et huit des Coniques ; cinq livres du vieux Aristée, des Lieux solides; deux livres d'Ëuclide, des Lieux à la surface; et deux livres des Moyennes raisons , par Ëratosthène. A ce catalogue il faut ajouter les deux livres d'Apollonius, de la Section détermime, dont Pappus parle dans la suite.

De tous ces ouvrages, il n'est venu jusqu'à nous que les Données d'Ëuclide, les sept premiers livres des Coniques d'Apollonius, et son traité de la Section de raison. Mais, sur ce qu'en a dit Pappus, les autres ont été rétablis, au XVI® siècle et au XVII% par divers géomètres, dans le style de la Géométrie ancienne.

§ k% Le goût de cette Géométrie, qui a donné tant d'éclat aux sciences mathématiques jusques il y a près d'un siècle , surtout dans la patrie de Newton, s'est affaibli depuis, et aurait presque disparu, si les géomètres italiens ne lui fussent restés fidèles. On doit, de nos jours, au célèbre Pergola, et à ses disciples, MM. Bruno, Flauti, Scorza, plusieurs' écrits importants sur l'Analyse géométrique des Anciens, qui s'y trouve rétablie dans sa pureté originaire.

Les ouvrages que les Anciens avaient composés sur cette matière, et dont nous venons de rapporter les titres que nous a laissés Pappus, formaient un système de compléments de Géométrie, qui eussent hâté les

progrés de cette science^ s'ils nous eussent été transmis intacts^ à la renaissance des lettres.

De tels compléments manquent à la Géométrie moderne : car on sent qu'eu égard à ses progrès et à son état de perfectionnement^ ces complémeiils doivent être faits aujourd'hui sur des bases autres que celles de Técole grecque. Ils devront être empreints, surtout, de l'esprit de simplicité et de généralité qui fait le caractère des nouvelles doctrines de la Géométrie.

§ 43. Vers le même temps que Pappus, le géomètre Serenus s'acquit serekus. quelque célébrité par un ouvrage en deux livres, sur les sections du cylindre et du cône ^, où il démontra, contre le sentiment de la plupart des géomètres de son temps, l'identité des ellipses faites dans ces deux corps, qu'il suppose à base circulaire et scalènes, c'est-à-dire obliques.

On distingue dans le premier livre les deux problèmes suivants, dont les solutions sont d'une facilité et d'une élégance qui ne laissent rien à désirer : « Étant donné un cône oblique, à base circulaire, coupé suivant une ellipse, faire passer par cette ellipse un cylindre qui ait aussi pour base un cercle, sur le plan de la base du cône (proposition 20). » Et, réciproquement : « Étant donné un cylindre coupé suivant une ellipse, etc. » (Proposition 21.)

Serenus suppose, comme Apollonius, que le plan coupant, dans le cône, est perpendiculaire au triangle par l'axe : et c'est ici le lieu de remarquer, puisque nous n'allons plus trouver, jusques aux temps modernes, d'autre écrivain sur les coniques, qu'il parait que les Anciens n'ont jamais formé ces courbes que de cette manière particulière; c'està-dire par des plans perpendiculaires au triangle par l'axe; et que la question de savoir quelles courbes donneraient d'autres plans sécants, menés tout à fait arbitrairement, n'a point été agitée par eux, ou du moins n'a pas été résolue. Peut-être leur avait-elle présenté des difficultés qu'il était

* Halley a fait réimprimer en grec et en latin ces deux livres, & la suite de son édition des Coniques d'Apollonius.

réservé aux Modernes de surmonter. Nous verrons que ce fut Desargues qui eut le mérite de faire ^ le premier^ ce pas important dans la théorie des coniques^ où il fut imité immédiatement par Pascal^ et ensuite par La Hire.

Nous remarquerons encore ici que le cône à base circulaire^ où les Anciens formaient leurs coniques, esl resté complètement étranger à leurs spéculations; tellement qu'à Texception du théorème de la section souscontraire, ils ne nous en ont transmis aucune propriété. C'est seulement dans ces derniers temps qu'on s'est occupé de cette matière, qui offre un nouveau champ de recherches.

DiocLÉs. § 44. Diodes, inventeur de la cmoïrfe, dont il se servit pour résoudre

le problème des deux moyennes proportionnelles, est de près d'un siècle postérieur à Pappus. On lui doit aussi une solution , par l'emploi de deux sections coniques, d'un problème difficile, traité par Archimède, où il s'agit de mener un plan qui divise la sphère en raison donnée, mais dont ce grand géomètre n'a point laissé la construction qu'il avait promise. La question devant dépendre d'une équation du troisième degré, et par conséquent ne pouvant être construite que par une section conique, ou une courbe d'un genre supérieur, il est probable qu'Archimède , qui ne se sert jamais que de la règle et du compas pour la résolution de ses problèmes, n'avait point donné suite à cette question, après en avoir promis la solution ^

La construction de Dioclès nous a été conservée par Ëutocius, dans son Commentaire du second livre du Traité de la sphère et du cylindre, d' Archimède.

pRocLus, § 45. Vers le milieu du V® siècle, un philosophe célèbre, Proclus, chef

de l'école platonicienne établie à Athènes, y cultiva les mathématiques, et

' Cette question est la proposition 5' du second livre du Traité de la sphère et du cylindre. Elle a donné lieu à une Note très-intéressante de M. Poinsot, imprimée dans le Commentaire de Peyrard sur les œuvres d' Archimède, pag. 4G12, où l'on trouve l'interprétation géométrique des deux racines étrangères à la question de la sphère. Ces racines se rapportent à une question plus générale, qui comprend la sphère et riiyperholoïdc de révolution.

contribua^ par ses travaux et ses instructions, à en soutenir Féclat encore pendant quelque temps. Il nous est resté, de ce géomètre, un commentaire sur le premier livre d'Euclide, qui contient des observations curieuses, concernant rhistoire et la métaphysique de la Géométrie. On y trouve une description de Fellipse, par le mouvement continu d'un point d'une droite dont les extrémités glissent sur les côtés d'un angle ^

Parmi les philosophes qui succédèrent à Proclus dans son école, nous citerons, comme ayant rendu quelques services à la Géométrie, Marinus, auteur d'une préface ou introduction aux Données d'Euclide , où il explique la nature et le genre d'utilité de ces Données; et Isidore de Milet, trèssavant dans la Géométrie, la mécanique et l'architecture, auteur d'un instrument pour décrire la parabole, d'un mouvement continu, et résoudre par là le problème de la duplication du cube ; premier exemple , sans doute, avec celui de la description de l'ellipse indiquée par Proclus, de la description organique des coniques, dont les Modernes ont fait une étude spéciale. Cet instrument, dont parle Eutocius, ressemblait à la lettre grecque h Eutocius, disciple d'Isidore, nous a laissé des commentaires sur les coniques d'Apollonius et sur quelques ouvrages d'Archimède. Celui du second livre du Traité de la sphère et du cylindre est précieux pour l'histoire de la science, parce qu'il contient plusieurs fragments de Géométrie, des auteurs les plus anciens qui nous soient connus, et dont les ouvrages ne nous sont point parvenus. Ces fragments sont relatifs à la solution du problème de la duplication du cube, ou des deux moyennes proportionnelles. Nous avons nommé, au commencement de cette Epoque, d'après cet ouvrage d'Eutocius, les géomètres auxquels ils appartiennent. C'est en exposant la solution de . Menechme qu'Eutocius parle de l'instrument dont Isidore se servait pour décrire la parabole, d'un mouvement continu.

§ 46. Les travaux des mathématiciens que nous venons de nommer furent les derniers qui illustrèrent l'école d'Alexandrie. Les arts et les