ARCHITAS

fabuleuse^ avait déjà occupé les géomètres. Hippocrate de Chîo, si connu par la quadrature de ses lunules^ l'avait réduit à la recherche de deux moyennes proportionnelles entre le côté du cube donné et le double de ce côté; ce qui probablement a donné lieu au problème général des deux moyennes proportionnelles.

Celui-ci a été résolu de différentes manières ^ qui toutes font honneur aux géomètres de l'antiquité. La première solution est due à Platon^ qui employa un instrunient composé d'une équerre sur l'un des côtés de laquelle glisse une droite qui lui est perpendiculaire^ et reste conséquemment parallèle au second côté; premier exemple^ sans doute ^ de la solution mécanique d'un problème de Géométrie.

Menechme^ disciple de Platon, se servit des lieux géométriques, qui furent deux paraboles, ayant même sommet et leurs axes rectangulaires; ou bien une parabole et une hyperbole entre ses asymptotes.

Eudoxe, autre disciple et ami de Platon, se servait de certaines courbes qu'il avait inventées pour cet objet; malheureusement sa solution ne nous est point parvenue, et nous ne savons quelles étaient ces courbes.

La solution d'Archilas, célèbre pythagoricien dont Platon avait suivi les leçons en Italie, était purement spéculative; mais elle a cela de remarquable qu'elle faisait usage d'une courbe à double courbure, qui parait être la première qui ait été considérée par les géomètres ; du moins elle est la plus ancienne de celles qui nous sont parvenues ^

' Voici la description de cette courbe : < Que, sur le diamètre de la base d'un cylindre » droit circulaire, on conçoive un demi-cercle dont le plan soit perpendiculaire h celui de la » base du cylindre; que le diamètre tourne autour d'une de ses extrémités et emporte, dans » ce mouvement circulaire , le demi-cercle , toujours situé dans un plan perpendiculaire à » celui de la base du cylindre; ce demi-cercle rencontrera, dans chacune de ses positions, la » surface cylindrique en un point : la suite de tous ces points formera la courbe à double j» courbure en question. »

Pour résoudre le problème des deux moyennes proportionnelles, Ârchitas coupait cette courbe par un cône de révolution autour de Taréte du cylindre, menée par l'extrémité fixe du diamètre du demi-cercle mobile; le point d'intersection donnait la solution cherchée.

Les quatre solutions du problème des deux moyennes proportionnelles ^ que nous venons de citer^ sont^ comme on le voil^ essentiellement différentes. Ce problème continua^ pendant un grand nombre de siècles^ d'occuper les géomètres 9 qui en multiplièrent les solutions. Eutocius^ mathématicien du VP siècle, rapporte, dans son Commentaire sur le second livre de la sphère et du cylindre d'Archimède, celles d'Ératosthène, d'Apollonius, de Nicomède, de Héron, de Philon de Byzance, de Pappus , de Dioclès et de Sporus. Nous citons ces mathématiciens suivant Tordre chronologique.

§ 3. Les savantes méthodes ébauchées par Platon et ses disciples furent cultivées avec ardeur par leurs successeurs, et fournirent la matière à plusieurs ouvrages assez considérables, où sont développées les principales propriétés de ces célèbres courbes, les sectiom coniques qui, deux mille ans après, ont joué un si grand rôle dans le mécanisme de Tunivers, lorsque Kepler les reconnut pour les vraies orbites parcourues par les planètes et leurs satellites, et que Newton découvrit dans leurs foyers les points mêmes où résident les forces qui animent tous les corps du système du monde.

Le principal de ces ouvrages était d'Aristée; il contenait cinq livres sur abistée,

, ^. . 1 A • I . 1 j^ M • vers 350 avant J.. G.

les sections coniques; les Anciens en parlent avec beaucoup déloges; mais malheureusement ils ne nous sont point parvenus, non plus que cinq livres sur les lieux solides, du même géomètre ^ .

§ 4. C'est à peu près à cette époque que remonte la découverte de la ddiostrate. quadratrice de Dinostrate. Cette courbe , dont la principale propriété la rend propre à la division d'un angle en un nombre quelconque de parties proportionnelles à des lignes données, parait avoir été inventée pour résoudre le problème de la trisection de Fangle, agité dans Técole de Platon. Elle résou-

* Ces cinq livres sur les lieux solides, dont parle Pappus dans le 7* livre de ses Collections mathématiques y ont étë rétablis, sur cette indication, par Viviani, dans le style pur de la Géométrie ancienne, sous ce titre : De locis solidis secunda divinalio geometrica in quinque libros injurié temporum amissos Aristei senioris geometrœ auctore Vincenlio Viviani, etc. (In-fol. Florence, i70i). Viviani avait déjà rétabli (en 4659) le y livre des coniques d'Apollonius, dont on n'avait alors que les quatre premiers, et qui a été retrouvé, avec le 6* et le 7% par Borelli, pendant que Viviani terminait son travail.

drait aussi le problème de la quadrature du cercle, si Ton savait la construire géométriquement; et c'est cette propriété qui lui a fait donner, chez les Anciens, le nom de quadratrice. II parait, d'après Pappus, que cette propriété a été découverte par Dinostrate, frère de Menechme. De là, les Modernes ont appelé celte courbe la quadratrice de Dinostrate. Cependant il semble résulter, de deux passages de Proclus *, que Hippias, géomètre et philosophe contemporain de Platon, en est le véritable inventeur, el en avait démontré les propriétés 2.

PERSEus. § 5. C'est dans ces premiers temps de la Géométrie que nous parait

devoir être placé Perseus, qui mérite quelque célébrité pour l'invention de ses lignes spiriques. Ce géomètre formait ces courbes en coupant, par un plan, la surface annulaire, ou tore, que produit la révolution d'un cercle autour d'un axe fixe, mené dans son plan.

Il ne nous reste d'autres renseignements sur ce sujet qu'un passage de Proclus, dans son commentaire sur le !«'' livre d'Euclide ^, où il décrit distinctement la génération de ces courbes dans la surface annulaire, et en attribue l'invention à Perseus.

Quelques lignes plus bas, Proclus ajoute que Geminus avait écrit sur ces lignes spiriques. Ce document est précieux, parce qu'il prouve l'antériorité de Perseus sur Geminus, qu'on 5ait avoir vécu vers le temps d'Hipparque, dans les deux premiers siècles avant l'ère chrétienne.

* Voy, la proposition 9 du livre 3 , et le commencement du 4' livre du Commentaire de Proclus sur le 4' livre d'Euclide,

^ Le P. Léotaud, géomètre du XVIP siècle, très-versé dans la Géométrie ancienne, a écrit sur cette courbe un traité, où il lui découvre une inGnité de propriétés curieuses, qui répondent au titre du livre : Liber in quo mirabiles quadratricis f'acullates varias exponuntur. L'auteur la compare à la spirale d'Archimède et à la parabole; la fait servir à la détermination des centres de gravité; lui reconnaît des branches inGnies, etc. Jean Bernoulli a aussi découvert quelques propriétés de cette courbe. {Voy. tom. I", pag. 447 de ses OEuvres, et tom. II, pag. 176 et 479 du Commerce épistolaire avec Leibniz.)

' Sur la déGnition quatrième d'Euclide.

Proclus parle aussi des spiriques dans son Commentaire de la déGnition septième , et au commencement de son 4' livre, où il dit encore les spiriques de Perseus.

▼. 185 avtnt J.-C.

II est à regretter que les écrits de Perseus et ceux de Geminus ne nous soient point parvenus; il serait intéressant de voir leur théorie géométrique de ces spirites^ qui sont des courbes du quatrième degré ^ dont Tétude semble exiger aujourd'hui des équations de surfaces^ et un calcul analytique assez profond (voyez la Note I).

§ 6. Euclide^ le célèbre auteur des Éléments de Géométrie, établit le lien eucude, entre Técole de Platon, où il avait étudié, et celle d'Alexandrie, qui prenait naissance.

Beaucoup de géomètres, chez les Grecs, avaient écrit, avant Euclide, sur les éléments de Géométrie; Proclus nous transmet leur noms, et y distingue Hippocrate de Ghio; Léon, dont Touvrage était plus plein, plus utile que celui de son prédécesseur; Theudius de Magnésie, recommandable pour Tordre qu'il avait mis dans sa rédaction; Hermotime de Golophon, qui, perfectionnant les découvertes d'Eudoxe et de Thœtète, mit aussi beaucoup du sien dans les éléments. Peu de temps après vint Euclide, <x qui, » ajoute Proclus, rassembla les éléments, mit en ordre beaucoup de choses » trouvées par Eudoxe, perfectionna ce qui avait été commencé par Thœtète, i> et démontra plus rigoureusement ce qui n'avait encore été que trop mol- » lement démontré avant lui ^ »

Euclide introduisit, dans les Eléments de Géométrie, la méthode appelée Réduction à l'absurde , qui consiste à prouver que toute supposition contraire à une proposition énoncée conduit à quelque contradiction; méthode utile surtout dans les questions où l'infini se présentait sous la forme des irrationnelles, dont Archimède, dans plusieurs de ses ouvrages, et Apollonius, dans son 4® livre des coniques, ont fait un usage heureux, et dont les géomètres, de nos jours encore, ont tiré un grand parti, dans des questions où la science n'était pas encore assez avancée pour procurer des démonstrations directes, les seules qui mettent une vérité dans toute son évidence, et qui éclairent et satisfassent pleinement l'esprit.

I Proclus , livre 2 , chap. IV, de son Commentaire sur le 1^ livre dTuclidc.

Les Eléments d^Euclide sont en treize livres. On y joint ordinairement deux autres livres sur les cinq corps réguliers, attribués à Hypsicle, géomètre d^Alexandrie, postérieur à Euclide de 150 ans.

« Pour se former une idée de l'ouvrage entier, on pourrait le considérer comme composé de quatre parties. La première comprendrait les 6 premiers livres, et se diviserait en trois sections , savoir : la démonstration des propriétés des figures planes, traitée d'une manière absolue, et comprise dans les livres 1,2, 3 et 4 ; la théorie des proportions des grandeurs en général, objet du 5® livre; et l'application de cette théorie aux figures planes. La seconde partie renfermerait les 7«, 8® et 9® livres, qu'on désigne par l'épithète à' arithmétiques , parce qu'ils traitent des propriétés générales des nombres. La troisième partie serait formée du 10« livre seulement, où l'auteur considère en détail les grandeurs incommensurables. La quatrième partie, enfin, se composerait des â derniers livres, qui traitent des plans et des solides. De tout ce grand corps de doctrine, on n'a fait passer dans l'enseignement que les 6 premiers livres, le 11» et le 12« ^ »

§ 7. C'est surtout à ses Eléments qu'Euclide doit la célébrité de son nom. Mais ce n'était pas le seul de ses ouvrages qui méritât l'admiration. Ce grand géomètre avait reculé les bornes de la science par divers autres écrits, qui ne lui feraient pas moins d'honneur, s'ils nous étaient parvenus. L'un d'eux seulement, mais le moins important, intitulé les Données y nous est connu. C'est une continuation des Eléments, destinée à en faciliter les usages et les applications à toutes les questions qui sont du ressort de la Géométrie.

Euclide appelle donnée, ce qui résulte immédiatement, en vertu des propositions comprises dans ses Éléments, des conditions d'une question.

Par exemple : « Si , d'un point donné on mène une droite qui touche un

* Nous empruntons cette analyse des Éléments d'Euclide de Texcellente Notice de M. Lacroix, publiée dans la Biographie universelle.

cercle donné de position^ la droite menée est donnée de position et de grandeur. » (Proposition 91 des Donnéf^^ d^EucIide. )

Les propositions des Données étaient toujours citées comme celles des Eléments^ par les géomètres anciens et par ceux du moyen âge , dans toutes leurs recherches géométriques; Newton même en fait usage dans ses Principes, ainsi que des coniques d'Apollonius : mais depuis y ces traces de l'antiquité ont disparu des écrits des géomètres, et le livre des Données n'est plus guère connu que de ceux qui étudient l'histoire de la science ^

On peut déduire aisément de quelques propositions du livre des Données, la résolution des équations du second degré, qu'on ne trouve, chez les Anciens, que dans Diophante, postérieur de plus de 600 ans à Euclide. Telle est, par exemple, cette proposition : « Si deux droites comprennent un espace donné, dans un angle donné , et si leur somme est donnée, chacune d'elles sera donnée. » (Proposition 85 ^)

Le IS** livre des Eléments, qui traite de l'inscription au cercle et à la sphère des polygones et des polyèdres réguliers, contient, à la suite de la ^^ proposition, la définition suivante de l'analyse et de la synthèse : « Ce » que c'est que l'analyse , et ce que c'est que la synthèse.

' Euclide fait usage, dans ses Données, d'une expression embarrassante dans le raisonnement, et dont le sens même est difficile à comprendre dans la dëGnition qu'il en donne. Comme elle se trouve dans Appollonius et dans Pappus, et qu'elle était encore employée dans des ouvrages du dernier siècle, nous croyons utile de faire mention ici de cette expression. Euclide dit que : < Une grandeur est plus grande h Tégard d'une autre d'une donnée qu'en raison, quand la grandeur donnée étant retranchée, le reste a, avec l'autre, une raison donnée. > (DëGnition il*

des Données.) Ainsi, soit A plus grand que B d*une donnée qu'en raison; soit c cette donnée,

A— c et fi la raison : on aura — — = fi.

Euclide a voulu, comme on le voit, énoncer sous forme d'une égalité à deux termes une équation à trois termes.

^ Cette question renferme la résolution des deux équations xy = a\x-^y=by qui donnent immédiatement l'équation du second degré x* — &x-4-a*=o. Ainsi la solution de la question d'Euclide donne les racines de cette équation du second degré.

Une autre proposition (la 87«) résout les deux équations xy == a\ x* — iiy* = 6', dont les racines s'obtiennent par une équation du quatrième degré, réductible au second.

» Dans Tanalysc , on prend comme accordé ce qui est demandé^ parce » qu'on arrive, de là, à quelque vérité qui est accordée.

» Dans la synthèse, on prend ce qui est accordé , parce qu'on arrive, de » là, à la conclusion, ou à Tinteiligence de ce qui est demandé. »

Plusieurs propositions, à la suite de cette définition, sont traitées par l'analyse et par la synthèse.

§ 8. Parmi les ouvrages d'EucIide qui ne nous sont point parvenus, les géomètres regrettent principalement quatre livres sur les sections coniques, dont il avait considérablement augmenté la théorie; deux livres sur les lieux à la surface * ; et enfin , trois livres sur les porismes.

D'après la préface du 7« livre des Colleclions mathématiques de Pappus, il parait que ce traité des porismes brillait d'un génie pénétrant et profond, et qu'il était éminemment utile pour la résolution des problèmes les plus compliqués. ( Collectio artificiosissima multarum rerum, quœ spectant ad analysin difficiliofuiîn et gêner alium problematum.) Trente-huit lemmes, que ce savant commentateur nous a laissés pour l'intelligence de ces porismes, nous prouvent qu'ils formaient un ensemble de propriétés de la ligne droite et du cercle, de la nature de celles que nous fournit, dans la Géométrie récente, la théorie des transversales.

Pappus et Proclus sont les seuls géomètres de l'antiquité qui aient fait mention des porismes; mais déjà, au temps du premier, la signification de ce mot s'était altérée, et les définitions qu'il nous en donne sont obscures. Celle de Proclus n'est pas propre à éclaircir les premières. Aussi , c'a été une grande question, parmi les Modernes, de savoir la nuance précise que les Anciens avaient établie entre les théorèmes et les problèmes d'une part , et ce troisième genre de propositions, appelées /?omm^^ , qui participaient, à ce qu'il parait, des uns et des autres; et de savoir particulièrement ce qu'étaient les porismes d'EucIide.

* Nous formerons, dans la Note 11, quelques conjectures sur cet ouvrage d'Euclide, qu'on n'a point encore cherche à rétablir.

Pappus^ il est vrai^ nous a transmis les énoncés de trente propositions appartenant à ces porismes; mais ces énoncés sont si succincis et sont devenus si défectueux par des lacunes et Tabsence des figures qui s^y rapportaient^ que le célèbre Halley^ si profondément versé dans la Géométrie ancienne^ a confessé n'y rien comprendre *, et que, jusque vers le milieu du siècle dernier, bien que des géomètres d'un grand mérite ( roye?^ la Note III) aient fait de cette matière l'objet de leurs méditations, aucun énoncé n'avait encore été rétabli.

Ce fut R. Simson qui eut la gloire de découvrir la signification de plusieurs de ces énigmes , ainsi que la forme des énoncés qui était propre à ce genre de propositions.

Voici le sens de la définition que ce géomètre a donnée des porismes :

Le porisme est une proposition dans laquelle on annonce pouvoir déterminer^ et où ton détermine effectivement certaines choses ayant une rela-tion indiquée avec des choses fixes et connues, et avec d'autres choses variables à Hinfini: celles-ci étant liées entre elles par une ou plusieurs relations connues , qui établissent la loi de variation à laquelle elles sont soumises.

Exemple : Étant donnés deux axes fixes, si de chaque point d'une droite on abaisse des perpendiculaires p, q sur ces deux axes, on pourra trouver une longueur de ligne a, et une raison a, telles que l'on ait entre ces deux perpendiculaires la relation constante ^^^ = «.

(Ou, suivant le style ancien, la première perpendiculaire sera plus grande, à l'égard de la seconde, d'une donnée qu'en raison.)

Ici^ les choses fixes données sont les deux axes; les choses variables sont les perpendiculaires/?^ q; la loi commune, à laquelle ces deux choses variables sont assujetties, est que le point variable, d'où ces perpendiculaires sont abaissées , appartient à une droite donnée ; enfin , les choses à trouver sont

* Note de Halley, à la suite du texte de Pappus sur les porismes, reproduit, avec la préface du 7* livre des Collections mathématiques, au commencement du traité d'Apollonius, de sec» tione rationis, in-4% 4706.

la ligne a, et la raison a, qui établiront, entre les choses fixes et les choses variables de la question, la relation prescrite.

Cet exemple suffît pour faire comprendre la nature des porismes, comme Ta conçue R. Simson , dont Topinion a été généralement adoptée depuis.

Cependant nous devons ajouter que tous les géomètres n'ont pas reconnu, dans Touvrage de Simson, la vraie divination de celui d'Euclide. Pour nous, en adoptant le sentiment du célèbre professeur de Glasgow, nous dirons pourtant que nous ne trouvons pas dans son travail la divination complète de la grande énigme des porismes. Cette question, en effet, était complexe, et ses différentes parties exigeaient toutes une solution que Ton cherche en vain dans le traité de Simson.

Ainsi Ton devait se demander :

l"" Quelle était la forme des énoncés des porismes;

2"" Quelles étaient les propositions qui entraient dans Fouvrage d'Euclide ; notamment celles dont Tindication, très-imparfaite, nous est laissée par Pappus;

3"" Quels^ont été Tintention et le but philosophique d'Euclide, en composant cet ouvrage dans une forme inusitée;

4® Sous quels rapports il méritait Téminente distinction qu'en fait Pappus, parmi les autres ouvrages de Tantiquité; car la forme seule de Ténoncé d'un théorème n'en constitue pas le mérite et l'utilité;

S"" Quelles sont les méthodes, ou les opérations actuelles, qui se rapprochent le plus, sous une autre forme, des porismes d'Euclide, et qui les suppléent dans la résolution des problèmes ; car on ne peut croire qu'une doctrine aussi belle et aussi féconde ait disparu complètement de la science des géomètres ;

6^ Et enfin, il y aurait à donner une interprétation satisfaisante de différents passages de Pappus sur ces porismes; par exemple, de celui où il dit que les Modernes, ne pouvant tout trouver par eux-mêmes, ou, en quelque sorte, pommer complètement, ont changé la signification du mot; car si le porisme n'avait consisté que dans la forme de son énoncé, conmie il

i87-SlS afant J.-C.

semble résulter du traité de R. Simson^ il aurait toujours été facile de porismer toutes les propositions qui en auraient été susceptibles; et Ton ne voit pas pourquoi les Modernes y auraient trouvé des difficultés qui leur auraient fait changer la signification du mot.

Nous sortirions du cadre de cet écrit en poussant plus loin ces réflexions sur la doctrine des porismes; mais ce sujet nous paraissant offrir beaucoup d'intérêt^ à raison surtout de ses rapports avec les théories qui font le domaine de la Géométrie moderne^ nous donnerons suite à ce paragraphe dans la Note III ^ où nous essayerons même de présenter quelques idées nouvelles sur cette grande question des porismes.

§ 9. Peu de temps après Euclide^ deux hommes d'une force d'esprit archimède, prodigieuse^ Àrchimède et Apollonius^ marquèrent la plus grande époque de la Géométrie chez les Anciens^ par de nombreuses découvertes qui ont fondé plusieurs théories^ des plus importantes aujourd'hui^ dans toutes les parties des sciences mathématiques.

La quadrature de la parabole^ donnée de deux manières différentes par Archimède ^ fut le premier exemple de la quadrature rigoureuse d'un espace compris entre une courbe et des lignes droites.

Chacun sait que les spirales, la proportion de leur aire avec celle du cercle, et la manière d'en mener les tangentes; que le centre de gravité d'un secteur parabolique quelconque; l'expression des volumes des segments des sphéroïdes et des conoïdes paraboliques ou hyperboliques ^; la proportion de la sphère et du cylindre circonscrit; le rapport de la circonférence au diamètre, etc., sont d'autres découvertes d'Archimède, découvertes à jamais mémorables, par la nouveauté et la difficulté qu'elles présentaient alors, et parce qu'elles sont le germe d'une grande partie de celles qui ont été faites depuis, principalement dans toutes les branches de la Géométrie qui ont pour objet la mesure des dimensions des lignes et des surfaces courbes, et qui exigent la considération de l'infini.

* Archimède appelle sphéroïdes les solides engendrés par la révolution d'une ellipse tournant sur son grand ou son petit axe; et eofundes les solides engendrés par la révolution d'une parabole ou d'une hyperbole tournant sur son axe.

La question du rapport de la circonféreDce au diamètre était le premier exemple d'un problème résolu par approximation; exemple si utile et si souvent mis à profit dans le calcul algébrique^ comme dans les constructions géométriques.

§ 10. Les procédés d'Archîmède, pour démontrer des vérités si nouvelles et si difficiles^ constituent la méthode ôl exhaustion , qui consistait à regarder la grandeur cherchée, Faire d'une courbe, par exemple^ comme la limite dont s'approchaient de plus en plus des polygones inscrits et circonscrits dont on multipliait, par la bissection, le nombre des côtés, de manière que la différence devint plus petite qu'aucune quantité donnée. On épuisait ainsi, en quelque sorte, celte différence; d'où est venu le nom de méthode d'exhaustion. Ce rapprochement continuel entre les polygones et la courbe donnait, de celle-ci, une idée de plus en plus précise; et, la loi de continuité servant de guide, on parvenait à la connaissance de la propriété cherchée. Ensuite on démontrait, en toute rigueur, le résultat ainsi obtenu, par le raisonnement ad absurdmn.

On a dit souvent que les Anciens avaient regardé les courbes comme des polygones d'une infinité de côtés. Mais ce principe n'a jamais paru dans leurs écrits; il n'aurait pu convenir à la rigueur de leurs démonstrations; et ce sont les Modernes qui l'ont introduit dans la Géométrie , et ont simplifié par là les anciennes démonstrations. Cette idée heureuse fut le passage de la méthode d'exhaustion aux méthodes infinitésimales.

On a dit aussi que la méthode d'Archimède était embarrassée et difficile à concevoir; et l'on s'appuie du témoignage de Boulliaud, géomètre assez habile du XYIl^ siècle, qui dit n'avoir pu bien comprendre les démonstrations du livre des spirales. Mais cette opinion est contraire aux sentiments des Anciens, que l'ordre et la clarté admirables qu'Euclide avait introduits dans la Géométrie, rendaient si bons juges dans cette question. Pour la repousser avec la propre opinion des Modernes, il nous suffit de dire qu'elle est contraire aussi au sentiment de Galilée et de Mac-Laurin, qui avaient profondément médité sur les ouvrage d'Archimède. <« Il est vrai, ajoute Mac-Laurin,

▼. 247 avtnl J.-G.

qu^il a cru devoir établir plusieurs propositions pour préparer à la démonstration des principaux théorèmes^ et c'est ce qui a fait regarder sa méthode comme ennuyeuse. Mais le nombre de pas n'est pas le plus grand défaut qu'une démonstration puisse avoir : on doit seulement examiner s'ils sont nécessaires pour rendre la démonstration parfaite et concluante. » {Traité des Fluxions, introduction.)

M. Peyrard^ qui parait être de nos jours le savant qui a le plus approfondi^ dans toutes leurs parties, les ouvrages des quatre grands géomètres de l'Antiquité : Euclide^ Archimède^ Apollonius et Pappus^ qu'il a traduits et commentés^ dit formellement : « Archimède n'est véritablement difficile que » pour ceux à qui les méthodes des Anciens ne sont pas familières; il est » clair et facile à suivre pour ceux qui les ont étudiées ^ »

§ 11. Apollonius fit^ sur les sections coniques^ un traité en huit livres. Les Apollonius, quatre premiers renfermaient tout ce qu'on avait écrit avant lui sur cette matière^ où il avait seulement étendu et généralisé certaines parties; c'est ce qu'on appelait alors les Eléments des coniques; les quatre autres comprenaient les inventions propres de ce grand géomètre.

Ce fut Apollonius qui considéra^ le premier^ les coniques dans un cône oblique quelconque à base circulaire; jusque-là^ on ne les avait conçues que dans le cône droite ou de révolution ; et encore avait-on toujours supposé le plan coupant perpendiculaire à l'une des arêtes du cône; ce qui obligeait à prendre trois cônes, d'ouverture différente, pour former les trois sections coniques. On désignait ces courbes par les mots : section du cône acutangle^ section du cône obtusangle, et section du cône rectangle; elles ne prirent les noms ^ellipse, d'hyperbole et de parabole que dans l'ouvrage d'Apollonius \

* Préface de la traduction des OEuvres d'Archimède.

' Cependant les deux mots ellipse et parabole étaient connus d'Arcliiroède. Le premier se trouve dans le litre de Tun de ses traites (de la quadrature de la parabole)^ quoiqu'il ne s*y rencontre jamais dans le texte; et le second commence à être employé dans la proposition 9* du livre des conoïdes et des sphéroïdes.

Tout ce savant trailé repose à peu près sur une propriété unique des sections coniques^ qui dérive directement de la nature du cône où ces courbes sont formées. Cette propriété^ que laissent ignorer la plupart des traités modernes^ mérite que nous la fassions connaître ici^ comme étant la clef de toute la doctrine des Anciens^ et comme étant absolument nécessaire pour Tintelligence de leurs ouvrages.

Concevons un cône oblique à base circulaire : la droite menée de son sommet, au centre du cercle qui lui sert de base, est appelée Vaxe du cône. Le plan mené par Taxe, perpendiculairement au plan de la base, coupe le cône suivant deux arêtes, et détermine dans le cercle un diamètre : le triangle qui a pour base ce diamètre, et pour côtés les deux arêtes, s'appelle le triangle par l'axe. Apollonius suppose, pour former ses sections coniques, le plan coupant perpendiculaire au plan du triangle par l'axe. Les points où ce plan rencontre les deux côtés de ce triangle sont les sommets de la courbe; et la droite qui joint ces deux points en est un diamètre. Apollonius appelle ce diamètre latus transversum.

Que, par Tun des deux sommets de la courbe, on élève une perpendiculaire au plan du triangle par Taxe; qu'on lui donne une certaine longueur, déterminée comme nous le dirons ci-après; et que, de l'extrémité de cette perpendiculaire, on mène une droite à l'autre sommet de la courbe. Maintenant que, par un point quelconque du diamètre de la courbe, on élève perpendiculairement une ordonnée : le carré de cette ordonnée , comprise entre le diamètre et la courbe, sera égal au rectangle construit sur la partie de l'ordonnée comprise entre le diamètre et la droite, et sur la partie du diamètre comprise entre le premier sommet et le pied de l'ordonnée. Telle est la propriété originaire et caractéristique qu'Apollonius reconnaît à ses sections coniques, et dont il se sert pour en conclure, par des transformations et des déductions très-habiles, presque toutes les autres. Elle joue, comme on le voit, dans ses mains, à peu près le même rôle que l'équation du second degré à deux variables, dans le système de Géométrie analytique de Descaries.

On voit par là que le diamètre de la courbe, et la perpendiculaire élevée

à Tune de ses extrémités suffisent pour construire cette courbe. Ce sont là les deux éléments dont se sont servis les Anciens pour établir leur théorie des coniques. La perpendiculaire en question fut appelée ^ par eux y latus erectum : les Modernes ont d'abord changé ce nom en celui de latus rectum, qui a été longtemps employé; et ensuite Font remplacé par celui de paramètre y qui est resté. Apollonius^ et les géomètres qui écrivirent après lui, donnèrent différentes expressions géométriques, prises dans le cône, de la longueur de ce latus rectum pour chaque section : mais aucune ne nous a paru aussi simple et aussi élégante que celle de Jacques Bernoulli. La voici : « Que Ton mène un plan parallèle à la base du cône, et situé à la même distance de son sommet que le plan de la section conique proposée : ce plan coupera le cône suivant un cercle, dont le diamètre sera le latus rectum de la conique ^ »

De là on conclut aisément la manière de placer une conique donnée sur un cône aussi donné.

§ 12. Les plus belles propriétés des sections coniques se trouvent dans le traité d'Apollonius. Nous citerons celles des asymptotes, qui font la partie la plus considérable du livre 2; le rapport constant des produits des segments faits, par une conique, sur deux transversales parallèles à deux axes fixes, et menées par un point quelconque (propositions 16 à 23 du livre 3); les propriétés principales des foyers de Tellipse et de Thyperbole, qu'Apollonius appelle points d'application (môme livre, propositions 43 à 32) 2; les deux beaux théorèmes sur les diamètres conjugués (7« livre, propositions 42 et 22; 30 et 34).

Nous devons citer encore le théorème suivant, qui est devenu d'une si haute importance dans la Géométrie récente, comme étant la base de la théorie des polaires réciproques, et dont La Hire, auparavant, avait déjà fait le fondement de sa théorie des coniques :

« Si, par le point de concours de deux tangentes à une section conique,

* Novum theorema pro doctrina secUonum conicarum (Âcta Erud. ann. 1689, pag. 586.) « Voy. la Note IV.

» on lire une transversale qui rencontre la courbe en deux points, et la » corde qui joint les points de contact des deux tangentes en un troisième » point, ce troisième point, et le point de concours des deux tangentes seront » conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers. » (Livre 3, proposition 37,)

Les 23 premières propositions du livre 4 sont relatives à la division harmonique des lignes droites tirées dans le plan d'une conique. Ce sont, pour la plupart, divers cas du théorème général que nous venons d'énoncer. Dans les propositions suivantes, Apollonius considère le système de deux coniques, et démontre que ces deux courbes ne peuvent se couper qu'en quatre points. Il examine ce qui arrive quand elles se touchent en un point ou en deux points, et traite de divers autres cas des positions respectives qu'elles peuvent présenter.

Le cinquième livre est le monument le plus précieux du génie d'Apollonius. C'est là qu'ont paru pour la première fois les questions de maxima et de minima. On y retrouve tout ce que les méthodes analytiques d'aujourd'hui nous apprennent sur ce sujet; et l'on y reconnaît le germe de la belle théorie des développées. En effet, Apollonius prouve qu'il existe, de chaque côté de l'axe d'une conique , une suite de points d'où l'on ne peut mener, à la partie opposée de la courbe, qu'une normale; il donne la construction de ces points, et observe que leur continuité sépare deux espaces qui présentent cette différence remarquable, savoir : de chaque point de l'un on peut mener deux normales à la courbe ; et, de chaque point de l'autre, on n'en peut mener aucune. Voilà donc les centres d'osculation, et la développée d'une conique parfaitement déterminée.

Apollonius fait usage d une hyperbole auxiliaire, dont il détermine les éléments, pour construire les pieds des normales abaissées, d'un point donné, sur la conique proposée. Toutes ces recherches sont traitées avec une sagacité admirable.

Ce grand ouvrage avait fait donner à Apollonius le surnom de gémnètre par excellence, ainsi que le rapporte Geminus.

Les sept premiers livres seuls nous sont parvenus; les quatre premiers dans leur langue originale^ et les trois suivants en arabe. Halley a rétabli le huitième dans sa magnifique édition des Coniques (T Apollonius , la seule qui soit complète ^

§ 13. Apollonius avait laissé d'autres écrits nombreux^ qui avaient la ^\\ii^n^omohîexV Analyse géométrique. Mais un seul, le traité De sectione ralionis, nous est parvenu; d'autres, qui avaient pour titres: De sectione spatii ; De sectione dete7*minatâ ; De tactionibus ; De inclinationibus ; De Lacis planis, ont été rétablis par divers géomètres, dans les deux siècles derniers, d'après les indications de Pappus.

Apollonius a la gloire aussi d'avoir appliqué la Géométrie à l'astronomie. On lui attribue la théorie des épicycles, qui servaient à expliquer les phénomènes des stations et des rétrogradations des planètes. Ptolémée le cite, à ce sujet, dans son Almageste.

§ 14. Parmi les contemporains d'Archimède et d'Apollonius, on distingue ératosthive, Ératosthène, qui naquit 276 ans avant l'ère chrétienne (11 ans après Archimède et 31 ans avant Apollonius). Ce philosophe, profond dans tous les genres de savoir, et qui fut, sous le troisième Ptolémée, directeur de la Bibliothèque d'Alexandrie, avait mérité d'être placé au même rang que les trois célèbres géomètres de l'antiquité, Aristée, Euclide et Apollonius, qui avaient travaillé sur l'Analyse géométrique. Pappus cite de lui un ouvrage en deux livres, qui se rapporte à cette méthode, mais qui ne nous est point parvenu. Il avait pour titre : De Locis ad Medietates: nous né savons ce qu'étaient ces lieux.

Ératosthène avait inventé, pour la solution des deux moyennes proportion-

' Appollonii Pergœi conicorum libri octo; in-foL, Oxoniœ; i7i0.

M. Peyrard, dans les préfaces de sa traduction d'Archimède et de sa traduction dTuclide en trois langues, avait annonce une traduction française des Coniques d* Apollonius, Plusieurs feuilles étaient déjà imprimées quand la mort est venue enlever c« savant laborieux. Il serait ii rq^tter que le fruit de ses travaux fût perdu pour la France. Les fonds destinés à Tencou. ragement des sciences ne sauraient avoir une application plus utile que la publication de cet ouvrage.

né 976 avant J.-C.

uelles^ un instrument appelé mésolabe, qu'il décrit lui-même dans une lettre adressée au roi Ptolémée^ et où il fait Fhistoire du problème de la duplication du cube. Cette lettre nous a été conservée par Eutocius, dans son Commentaire sur ta sphère et le cylindre, d'Ârchimède. Pappus donne aussi, dans ses Collections mathématiques, la construction du mésolabe d'Ératosthène.

§ 15. Les travaux d'Ârchimède et d'Apollonius ont marqué Tépoque la plus brillante de la Géométrie ancienne.

Depuis, on a pu les regarder comme Torigine et le fondement de deux grandes questions qui ont occupé les géomètres à toutes les époques, et auxquelles se rattachent la plupart de leurs travaux, qu'elles divisent en deux classes; de telle sorte qu'elles semblent se partager le domaine de la Géométrie.

La première de ces deux grandes questions est la quadrature des figures curvilignes, qui a donné naissance au calcul de l'infini^ imaginé et perfectionné successivement par Kepler, Cavalieri, Fermât, Leibniz et Newton.

La seconde est la théorie des sections coniques, pour laquelle ont été inventées d'abord l'Analyse géométrique des Anciens, puis les méthodes de la perspective et des transversales; qui était le prélude de la théorie des courbes géométriques de tous les degrés, et de cette partie considérable de la Géométrie, qui ne considère, dans les propriétés générales de l'étendue, que les formes et les situations des figures; et se sert seulement d'intersections de lignes ou de surfaces, et de rapports de distances rectilignes.

Ces deux grandes divisions de la Géométrie, qui ont leur caractère particulier, pourraient être désignées par les dénominations de Géométrie des mesures et Géométrie des formes et des situations, ou Géométrie d'Archimède et Géométrie d'Apollonius.

Ces deux divisions, du reste, sont celles de toutes les sciences mathématiques, qui ont pour but, suivant l'expression de Descartes, la recherche ARisTOTE, de Vordre et de la mesure ^ Aristote avait déjà émis la même pensée en ces

384Stt.

* « Tous les rapports qui peuvent exister entre les êtres d*un même genre se réduisent à

termes: « De quoi s'occupent les mathématiciens^ si ce n'est de Yordre et de » la proportion? * »

Cette définition des sciences mathématiques^ et les deux grandes divisions qu'elle y marque^ s'appliquent surtout à la Géométrie. On a donc lieu de s'étonner que celle-ci soit appelée communément^ même dans les meilleurs traités^ la science qui a pour objet la mesure de l'étendue. Cette définition, évidemment incomplète, donne une idée fausse du but et de l'objet de la Géométrie. Cette observation n'est peut-être pas dépourvue de toute espèce d'intérêt, et nous lui donnerons suite dans la Note V.

§ 16. Après Archimède et Apollonius, et pendant trois à quatre siècles, quelques géomètres renommés à juste titre, sans égaler ces deux grands hommes, continuèrent à enrichir la Géométrie de découvertes et de théories utiles; ensuite vinrent, pendant deux à trois siècles encore, les commentateurs qui nous ont transmis les ouvrages et les. noms des géomètres de l'antiquité; puis enfin les siècles d'ignorance, où la Géométrie a sommeillé chez les Arabes et chez les Persans, jusqu'à la renaissance des lettres en Europe.

Nous allons énoncer rapidement les principaux travaux des écrivains les plus célèbres qui fleurirent dans les deux premières périodes de cet inlervalle de dix-sept siècles.

Mais nous devons dire d'abord que l'époque où nous entrons est celle des grands progrès de l'astronomie. C'est à cette science principalement que se rapportent les travaux des géomètres que nous allons avoir à citer, et que ces géomètres, à l'exception de Nicomède, doivent en grande partie leur célébrité.

Ce changement de direction dans les esprits était une suite nécessaire

deux , Vordre et la mesure. > {Règles pour la direction de l'esprit ; ouvrage posthume de Descartes, 14* règle.)

Prëecdemnient Dcscarlcs avait déjà dit : t Toutes les sciences qui ont pour but la recherche de Vordre et de la mesure se rapportent aux mathématiques. » (Jbid., 4' règle.)

' 3* chapitre du il* livre de la Métaphysique d'Aristote.

des grandes découvertes d'Archimède et d^Apollonius^ qui demandaient des

siècles d'études et de méditations^ avant qu'on pût aller au delà^ dans les

matières qu'avaient traitées ces deux grands génies.

NicoMÈDE, § 17, Les ouvrages de Nicomède ne nous sont point parvenus. Ce géo-

T. 150 av.nl j.-c. j^^jj.^ ^^ jj^^g ^j conuu quo comme inventeur de la conchoïde, dont il

fit un usage ingénieux pour résoudre^ par un procédé mécanique^ le problème des deux moyennes proportionnelles^ et celui de la trisection de l'angle.

La conchoïde, déjà célèbre par cette circonstance qu'elle résolvait les deux plus fameux problèmes de l'Antiquité, acquit une importance nouvelle, par la remarque que fit Viète, que tous les problèmes dont la solution dépend d'une équation du troisième degré peuvent se ramener à ces deux-là; et surtout par l'emploi que Newton fit de cette courbe, dans son Arithmétique universelle, pour construire toutes les équations du troisième degré. HippARQUE, § 18. Hipparque, le plus grand astronome de l'antiquité, le véritable

fondateur de l'astronomie mathématique, avait composé un ouvrage en douze livres, où se trouvait la construction des cordes des arcs de cercle *.

Ses calculs et ses opérations astronomiques exigeaient la trigonométrie rcctiligne et la trigonométrie sphérique , dont il avait donné les principes géométriques dans son traité Des levers et couchers des étoiles , et dont il paraît certain qu'il fut le premier inventeur 2.

C'est à Hipparque aussi que paraît remonter la découverte des projections stéréographiques, et celle de deux théorèmes célèbres de Géométrie

' Thëon cite ce traité (Commentaire sur l'Atmagesle, liv. 4, ch. IX).

^ D*une part, Hipparque dit, dans son Commentaire du poème d'Aratus, qu'il a démontré la solution des triangles sphériques qui servent à trouver le point orient de Vécliptique; ensuite on ne trouve, avant lui, aucune trace de trigonométrie sphérique, ni même de trigonométrie rectiligne. Archimède, ainsi que le remarque M. Delambre^ dans son Histoire de l'astronomie ancienne (tom. I*', png. 104), pour mesurer le diamètre du soleil, superpose un angle au sommet d*un triangle isoscèle, dont les côtés et la base sont donnés :on n'avait pas encore eu l'idée de calculer les cordes des angles. Ainsi la trigonométrie rectiligne était ignorée.

plane et de Géométrie sphérique^ que nous citerons en parlant de Ménélaûs et de Ptolémée.

§ 19. On attribue à Geminus^ qu'on suppose avoir vécu un peu après Nicomède et Hipparque^ un ouvrage sur diverses courbes^ entre autres rhélice décrite sur la surface d'un cylindre droit circulaire , dont il démontrait cette propriété, commune avec la ligne droite et le cercle seulement, d'être partout semblable à elle-même ^ Un autre ouvrage de Geminus, intitulé Enarrationes geometricœ, souvent cité par Proclus, devait être une sorte de développement philosophique des découvertes géométriques. Ces deux ouvrages ne nous sont point parvenus : on prétend que le premier se trouve, manuscrit, dans la bibliothèque du Vatican.

§ 20. Théodose réunit, sous le titre de Sphériques ( SPHiERicoRUM libri très), diverses propriétés des grands cercles tracés sur la sphère, nécessaires pour établir solidement les fondements de l'astronomie et le calcul des triangles sphériques. Ce calcul n'en fait pas partie , le mot triangle n'y est pas même prononcé. Mais, quelque élémentaire que soit cet ouvrage, il a été très-estimé, comme étant méthodique et profond. Aussi a-t-il été commenté par Pappus, puis traduit par plusieurs géomètres modernes d'un grand mérite.

On a de Théodose deux autres traités, intitulés De Habitationibus , et De Diebus et Noctibus , ayant pour objet la démonstration des phénomènes que doivent apercevoir les habitants de la Terre, suivant leur position sur le globe , et celle du Soleil dans l'écliptique.

§ 24. Ménélaûs, géomètre et astronome, avait écrit, comme Théodose, sur la Géométrie de la sphère, un traité en trois livres, intitulé Sphériques, qui ne nous est parvenu que traduit en arabe et en hébreu : le texte grec a été perdu. Cet ouvrage va au delà de cehii de Théodose, car il traite spécialement des propriétés des triangles sphériques, mais non point encore de leur calcul, c'est-à-dire, de la trigonométrie sphérique qui, peut-être, avait fait partie d'un autre écrit de Ménélaûs, en six livres, sur le calcul des cordes, dont parle Théon , et qui a été perdu.

GEMINCS, 100 «Tanl J.-C.

THÉODOSE, 100 avant J.-C.

MÉNÉLAllS, 80 après J.-C.

Proclus, Commentotre «tir le 4*^ livre d'Euctide, 4* définition et proposition 5'.

La plus importante proposition des Sphériqties de Ménélaûs est la première du 3® livre, qui fut la base de toute la trigonométrie sphérique des Grecs. C'est une propriété des six segments faits, sur les trois côtés d'un triangle sphérique, par un arc de grand cercle quelconque. Ce théorème fut aussi en grande considération chez les Arabes, qui le commentèrent dans plusieurs écrits, et l'appelèrent Règle d'intersection. Son analogue dans la Géométrie plane, que donne aussi Ménélaûs, comme lemme pour la démonstration du premier, et dont nous allons parler ci-dessous à l'article de Ptoléméc (parce que c'est dans l'Almageste que généralement on l'a remarqué), a acquis une nouvelle et haute importance dans la Géométrie récente, où l'illustre Carnot l'a introduit, en en faisant la base de sa théorie des transversales.

Nous citerons encore, des Sphériques de Ménélaûs, les deux théorèmes suivants, qui paraissent être dus à ce géomètre : 1° l'arc de grand cercle, qui divise en deux également un angle d'un triangle sphérique, fait sur le côté opposé deux segments dont les cordes sont entre elles comme celles des côtés adjacents; et, 2° les trois arcs qui divisent en deux également les trois angles d'un triangle, passent par un même point.

Ménélaûs avait aussi écrit sur la théorie des lignes courbes. Pappus nous apprend qu'une telle ligne, probablement à double courbure, car elle naissait de l'intersection de surfaces courbes, était appelée admirable par ce géomètre ^ .

PTOLÉMÉE, § 22. Ptolémée, astronome et géomètre d'un savoir immense, nous a laissé,

dans son Almageste ^, un Traité de trigonométrie rectiligne et de trigonométrie sphérique, le seul qui nous soit parvenu des Grecs, les ouvrages d'Hipparque, sur cette matière, ayant été détruits. On y trouve cette belle propriété du quadrilatère inscrit au cercle, que « le produit des deux diagonales

^ Collections mat II éma(ique8,\\\. 4, après la proposition 30.

* Ptoléméc avait donné à son Traité d'astronomie le litre de Composition, ou Syntaxe mathématique. Ses éditeurs ont changé ce titre en celui de Grande composition ; les traducteurs arabes en ont fait la Très-grande (Almagesti); et le nom d' Almageste lui est resté.